高考分布列概率试题

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高三数学随机变量的分布列试题

高三数学随机变量的分布列试题

高三数学随机变量的分布列试题1.随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P(<X<)的值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意得,+++=1,解得a=.于是P(<X<)=P(X=1)+P(X=2)=+=a=,故选D.2. [2014·四川模拟]在四次独立重复试验中,事件A在每次试验中出现的概率相同,若事件A至少发生一次的概率为,则事件A恰好发生一次的概率为()A.B.C.D.【答案】C【解析】设事件A在每次试验中发生的概率为p,则事件A在4次独立重复试验中,恰好发生k 次的概率为pk=p k(1-p)4-k(k=0,1,2,3,4),∴p0=p0(1-p)4=(1-p)4,由条件知1-p=,∴(1-p)4=,∴1-p=,∴p=.∴p1=p·(1-p)3=4××()3=,故选C.3.[2014·唐山检测]2013年高考分数公布之后,一个班的3个同学都达到一本线,都填了一本志愿,设Y为被录取一本的人数,则关于随机变量Y的描述,错误的是()A.Y的取值为0,1,2,3B.P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3)=1C.若每录取1人学校奖励300元给班主任,没有录取不奖励,则班主任得奖金数为300Y D.若每不录取1人学校就扣班主任300元,录取不奖励,则班主任得奖金数为-300Y【答案】D【解析】由题意知A、B正确.易知C正确.对于D,若每不录取1人学校就扣班主任300元奖金,录取不奖励,则班主任得奖金数为-300(3-Y)=300Y-900.4.设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此两球所得分数之和,求ξ分布列;(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若E(η)=,V(η)=,求a∶b∶c.【答案】(1)ξ的分布列为(2)3∶2∶1【解析】(1)由已知得到:当两次摸到的球分别是红红时ξ=2,此时P(ξ=2)==;当两次摸到的球分别是黄黄、红蓝、蓝红时ξ=4时,P(ξ=4)==;当两次摸到的球分别是红黄,黄红时ξ=3时,P(ξ=3)==;当两次摸到的球分别是黄蓝,蓝黄时ξ=5时,P(ξ=5)==;当两次摸到的球分别是蓝蓝时ξ=6时,P(ξ=6)==.所以ξ的分布列为ξ23456由已知得到:η有三种取值即1,,所以η的分布列为所以,所以b=2c,a=3c,所以a∶b∶c=3∶2∶1.5.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的.(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率;(3)记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求ξ的分布列.【答案】(1)0.5(2)0.8(3)ξ0123【解析】解:记A表示事件:进入商场的1位顾客购买甲种商品;记B表示事件:进入商场的1位顾客购买乙种商品;记C表示事件:进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种;记D 表示事件:进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种.(1)C=A·B+A·B,P(C)=P(A·B+A·B)=P(A·B)+P(A·B)=P(A)·P(B)+P()·P(B)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5.(2)D=A·B,P(D)=P(A·B)=P(A)·P(B)=0.5×0.4=0.2,P(D)=1-P(D)=0.8.(3)ξ~B(3,0.8),故ξ的分布列P(ξ=0)=0.23=0.008;P(ξ=1)=×0.8×0.22=0.096;P(ξ=2)=×0.82×0.2=0.384;P(ξ=3)=0.83=0.512.6.甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是,假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率;(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列.【答案】(1)、、(2)X的分布列为【解析】(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1,“甲队以3∶1胜利”为事件A2,“甲队以3∶2胜利”为事件A3,由题意,各局比赛结果相互独立,故P(A1)==,P(A2)=××=,P(A3)=××=.所以,甲队以3∶0、3∶1、3∶2胜利的概率分别是、、;(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4,由题意,各局比赛结果相互独立,所以P(A4)=××=.由题意,随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3,根据事件的互斥性得P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=,P(X=1)=P(A3)=,P(X=2)=P(A)=,4P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=.故X的分布列为7.一个袋子中装有7个小球,其中红球4个,编号分别为1,2,3,4,黄球3个,编号分别为2,4,6,从袋子中任取4个小球(假设取到任一小球的可能性相等).(1)求取出的小球中有相同编号的概率;(2)记取出的小球的最大编号为,求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(1);(2)随机变量的分布列为:346随机变量的数学期望 .【解析】(1)应用古典概型概率的计算公式,关键是利用组合知识,确定事件数;(2) 随机变量的可能取值为.计算相应概率即得随机变量的分布列为:数学期望 .试题解析:(1):设取出的小球中有相同编号的事件为,编号相同可分成一个相同和两个相同 2分4分(2) 随机变量的可能取值为:3,4,6 6分, 7分, 8分9分所以随机变量的分布列为:346所以随机变量的数学期望 . 12分【考点】古典概型,互斥事件,离散型随机变量的分布列及数学期望.8.某商场为吸引顾客消费推出一项促销活动,促销规则如下:到该商场购物消费满100元就可转动如图所示的转盘一次,进行抽奖(转盘为十二等分的圆盘),满200元转两次,以此类推;在转动过程中,假定指针停在转盘的任一位置都是等可能的;若转盘的指针落在A区域,则顾客中一等奖,获得10元奖金;若转盘落在B区域或C区域,则顾客中二等奖,获得5元奖金;若转盘指针落在其他区域,则不中奖(若指针停到两区间的实线处,则重新转动).若顾客在一次消费中多次中奖,则对其奖励进行累加.已知顾客甲到该商场购物消费了268元,并按照规则参与了促销活动.(1)求顾客甲中一等奖的概率;(2)记X为顾客甲所得的奖金数,求X的分布列及其数学期望.【答案】(1)(2)【解析】(1)设事件A表示该顾客中一等奖,P(A)=×+2××=,所以该顾客中一等奖的概率是.(2)X的可能取值为20,15,10,5,0,P(X=20)=×=,P(X=15)=2××=,P(X=10)=×+2××=,P(X=5)=2××=,P(X=0)=×=.所以X的分布列为数学期望E(X)=20×+15×+10×+5×=.9.辽宁某大学对参加全运会的志愿者实施“社会教育实践”学分考核,因该批志愿者表现良好,该大学决定考核只有合格和优秀两个等次,若某志愿者考核为合格,授予0.5个学分;考核为优秀,授予1个学分,假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、,他们考核所得的等次相互独立.(1)求在这次考核中,志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率;(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量X,求随机变量X的分布列.(3)求X的数学期望.【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)记“甲考核为优秀”为事件A,“乙考核为优秀”为事件B,“丙考核为优秀”为事件C,“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.则P(E)=1-P( )=1-P()P()P( )=1-××=.(2)由题意,得X的可能取值是,2,,3.因为P(X=)=P()=,P(X=2)=P(A )+P(B)+P(C )=,P(X=)=P(AB)+P(A C)+P( B C)==,P(X=3)=P(ABC)=,所以X的分布列为:(3)由(2)知E(X)=×+2×+×+3×==.10.随机变量的分布列如右:其中成等差数列,若,则的值是.【答案】.【解析】由题意,则.【考点】随机变量的期望和方差.11.一个盒子中装有分别标有数字1、2、3、4的4个大小、形状完全相同的小球,现从中有放回地随机抽取2个小球,抽取的球的编号分别记为、,记.(Ⅰ)求取最大值的概率;(Ⅱ)求的分布列及数学期望.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)所以的分布列:数学期望.【解析】(1)随机变量的分布列问题,首先确定随机变量的所有可能值;(2))本题属古典概型,各随机变量所对应的事件包含的基本事件无法用公式求出,需一一列举出来.列举时要注意避免重复和遗漏,这是极易出错的地方试题解析:(Ⅰ)当时,最大。

高中数学-分布列10题解析

高中数学-分布列10题解析
分布列 10 题
1.(2022·全国·统考高考真题)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每 个项目胜方得 10 分,负方得 0 分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校 获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结 果相互独立. (1)求甲学校获得冠军的概率; (2)用 X 表示乙学校的总得分,求 X 的分布列与期望. 【答案】(1) 0.6 ;
(2)分布列见解析, E X 13 .
【分析】(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 A, B,C ,再根据甲获得冠军则至少 获胜两个项目,利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出; (2)依题可知, X 的可能取值为 0,10, 20,30 ,再分别计算出对应的概率,列出分布列, 即可求出期望. 【详解】(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 A, B,C ,所以甲学校获得冠军的概 率为
中抽取
6
人,则男生、女生分别抽到
2
人和
4
人,所以
P
C
2 4
C62
6 15
2 5
,所以选中的
2
人都是女生的概率为 2 . 5
4.(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)随着春季学期开学,某市市场监管局加强了对学
校食堂食品安全管理,助力推广校园文明餐桌行动,培养广大师生文明餐桌新理念,以
(1)完成列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“运动达标”与“性 别”有关.
运动达标 运动不达标 总计
男生 女生
总计 (2)现从“不达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取 6 人,再从这 6 人中任选 2 人进行体育运动指导,求选中的 2 人都是女生的概率. 参考数据: P( 2 k0) 0.25 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001

高二数学随机变量的分布列试题答案及解析

高二数学随机变量的分布列试题答案及解析

高二数学随机变量的分布列试题答案及解析1.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题,比赛规定:对于每一个题,没有抢到题的队伍得0分,抢到题并回答正确的得1分,抢到题但回答错误的扣1分(即得-1分);若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则X的所有可能取值是________.【答案】-1,0,1,2,3【解析】甲获胜且获得最低分的情况是:甲抢到一题并回答错误,乙抢到两题并且都回答错误,此时甲得-1分,故X的所有可能取值为-1,0,1,2,3.2.从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取1件,假设事件A“取出的2件产品都是二等品”的概率P(A)=0.04(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率;(2)若该批产品共10件,从中任意抽取2件;X表示取出的2件产品中二等品的件数,求X的分布列.【答案】(1) 0.2 (2) X的分布列为【解析】解:(1)设任取一件产品是二等品的概率为p,依题意有P(A)=p2=0.04,解得p1=0.2,p2=-0.2(舍去).故从该批产品中任取1件是二等品的概率为0.2.(2)若该批产品共10件,由(1)知其二等品有10×0.2=2件,故X的可能取值为0,1,2.P(X=0)==.P(X=1)=.P(X=2)==.所以X的分布列为X0123.已知~,且,则等于( )A.B.C.D.【答案】A【解析】∵~,∴,∴,故选A【考点】本题考查了二项分布点评:熟练掌握二项分布列的期望、方差公式是解决此类问题的关键,属基础题4.一名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有5个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列;(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列;(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.【答案】(1)的分布列为:01 2 345(2)的分布列为:012345(3)【解析】(1)由于~,则,所以的分布列为:(2)也就是说{前个是绿灯,第个是红灯},也就是说(5个均为绿灯),则,;所以的分布列为:012345(3)所求概率【考点】本题考查了随机变量的分布列点评:分布列的求解分三步:确定随机变量的取值有那些,求出每种取值下的随机事件的的概率,列表对应即为分布列5.设随机变量~,又,则和的值分别是()A.和B.和C.和D.和【答案】C【解析】因为随机变量~,所以,,所以=,=。

高中数学--离散型随机变量及其分布列

高中数学--离散型随机变量及其分布列

高中数学--离散型随机变量及其分布列1.若随机变量X 的概率分布列为且p 1=12p 2,则p 1等于( )A.12 B.13 C.14D.16 【解析】 由p 1+p 2=1且p 2=2p 1可解得p 1=13.【答案】 B2.已知随机变量X 的分布列为P (X =i )=i2a (i =1,2,3),则P (X =2)等于( )A.19 .16 C.13D.14【解析】 ∵12a +22a +32a =1,∴a =3,P (X =2)=22×3=13.【答案】 C3.袋中有大小相同的5只钢球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,任意抽取2个球,设2个球号码之和为X ,则X 的所有可能取值个数为( )A .25B .10C .7D .6 【解析】 X 的可能取值为1+2=3,1+3=4,1+4=5=2+3,1+5=6=4+2,2+5=7=3+4,3+5=8,4+5=9.【答案】 C4.随机变量X 的分布列如下:其中a ,b ,c【解析】 ∵a ,b ,c 成等差数列,∴2b =a +c .又a +b +c =1,∴b =13,∴P (|X |=1)=a +c =23.【答案】 235.(2012·安徽高考)某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是A 类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道A 类试题和一道B 类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束。

试题库中现共有n +m 道试题,其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题,以X 表示两次调题工作完成后,试题库中A 类试题的数量.(1)求X =n +2的概率; (2)设m =n ,求X 的分布列.【解】 (1)X =n +2表示两次调题均为A 类型试题,概率为n m +n ×n +1m +n +2=n (n +1)(m +n )(m +n +2).(2)m =n 时,每次调用的是A 类型试题的概率为P =12,随机变量X 可取n ,n +1,n +2.P (X =n )=(1-p )2=14,P (X =n +1)=2p (1-p )=12,P (X =n +2)=p 2=14,所以X 的分布列为课时作业【考点排查表】1.设某项试验的成功率为失败率的2倍,用随机变量X 去描述1次试验的成功次数,则P (X =0)的值为( )A .1 B.12 C.13D.15【解析】 设X 的分布列为:即“X =0”表示试验失败,“X 设失败的概率为p ,成功的概率为2p .由p +2p =1,则p =13,因此选C.【答案】 C2.若P (X ≤x 2)=1-β,P (X ≥x 1)=1-α,其中x 1<x 2,则P (x 1≤X ≤x 2)等于( ) A .(1-α)(1-β) B .1-(α+β) C .1-α(1-β)D .1-β(1-α) 【解析】 由分布列性质可有:P (x 1≤X ≤x 2)=P (X ≤x 2)+P (X ≥x 1)-1=(1-β)+(1-α)-1=1-(α+β). 【答案】 B3.已知离散型随机变量X 的分布列为则k 的值为( ) A.12 B .1 C .2D .3【解析】 由分布列性质有k n +k n +…+kn =1,得k =1.【答案】 B4.今有电子原件50个,其中一级品45个,二级品5个,从中任取3个,出现二级品的概率为( )A.C 35C 350 B.C 15+C 25+C 35C 350C .1-C 345C 350D.C 15C 245+C 25C 245C 350【解析】 不出现二级品的结果数为C 345, 不出现二级品的概率为C 345C 350,∴出现二级品的概率为1-C 345C 350.【答案】 C5.设袋中有80个红球,20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为( )A.C 480C 610C 10100B.C 680C 410C 10100 C.C 480C 620C 10100D.C 680C 420C 10100【解析】 超几何分布恰有6个红球则有4个白球,结果数为C 680C 420, ∴恰有6个红球的概率为C 680C 420C 10100.【答案】 D6.一只袋内装有m 个白球,n -m 个黑球,连续不放回地从袋中取球,直到取出黑球为止,设此时取出了ξ个白球,下列概率等于(n -m )A 2mA 3n的是( ) A .P (ξ=3) B .P (ξ≥2) C .P (ξ≤3)D .P (ξ=2)【解析】 由超几何分布知P (ξ=2)=(n -m )A 2mA 3n 【答案】 D 二、填空题7.随机变量X 的分布列P (X =k )=a ⎝⎛⎭⎫23k,k =1,2,3,…,则a 的值为________.【解析】 由 ∞k =1P (X =k )=1,即 a ⎣⎡⎦⎤23+⎝⎛⎭⎫232+⎝⎛⎭⎫233+ (1)∴a 231-23=1,解得a =12.【答案】 128.若离散型随机变量X 的分布列为常数c =______.【解析】 由离散型随机变量分布列的基本性质知 ⎩⎪⎨⎪⎧9c 2-c +3-8c =1,0≤9c 2-c ≤1,0≤3-8c ≤1,解得c =13.【答案】 139.抛掷2颗骰子,所得点数之和X 是一个随机变量,则P (X ≤4)=________.【解析】 相应的基本事件空间有36个基本事件,其中X =2对应(1,1);X =3对应(1,2),(2,1);X =4对应(1,3),(2,2),(3,1).所以P (X ≤4)=P (X =2)+P (X =3)+P (X =4) =136+236+336=16. 【答案】 16三、解答题10.设一汽车在前进途中要经过4个路口,汽车在每个路口遇到绿灯(允许通行)的概率为34,遇到红灯(禁止通行)的概率为14.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地时才停止前进,ξ表示停车时已经通过的路口数,求:(1)ξ的分布列;(2)停车时最多已通过3个路口的概率.【解】 (1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4.用A k 表示事件“汽车通过第k 个路口时不停(遇绿灯)”,则P (A k )=34(k =1,2,3,4),且A 1,A 2,A 3,A 4独立.故P (ξ=0)=P (A 1)=14;P (ξ=1)=P (A 1·A 2)=34×14=316;P (ξ=2)=P (A 1·A 2·A 3)=(34)214=964;P (ξ=3)=P (A 1·A 2·A 3·A 4)=(34)314=27256;P (ξ=4)=P (A 1·A 2·A 3·A 4)=(34)4=81256.从而ξ有分布列:(2)P (ξ≤3)=1-P (ξ=4)=1-81256=175256.即停车时最多已通过3个路口的概率为175256.11.在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品,从这10件产品中任取3件,求:(1)取出的3件产品中一等品件数X 的分布列;(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.【解】 (1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 310,从10件产品中任取3件,其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3-k7,那么从10件产品中任取3件,其中恰有k 件一等品的概率为P (X =k )=C k 3C 3-k7C 310,k =0,1,2,3.所以随机变量X 的分布列是(2)设“取出的3A ,“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1,“恰好取出2件一等品”为事件A 2,“恰好取出3件一等品”为事件A 3.由于事件A 1,A 2,A 3彼此互斥,且A =A 1∪A 2∪A 3,而P (A 1)=C 13C 23C 310=340,P (A 2)=P (X =2)=740,P (A 3)=P (X =3)=1120,∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P (A )=P (A 1)+P (A 2)+P (A 3)=340+740+1120=31120. 12.一个袋中装有若干大小相同的黑球、白球和红球,已知从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是25;从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是79.(1)若袋中共有10个球; ①求白球的个数;②从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X ,求随机变量X 分布列;(2)求证:从袋中任意摸出2个球,至少得到1个黑球的概率不大于710,并指出袋中哪种颜色的球个数最少.【解】 (1)①记“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事件A ,设袋中白球的个数为x ,则P (A )=1-C 210-x C 210=79,得到x =5.故白球有5个.②随机变量X 的取值为0,1,2,3, P (X =0)=C 35C 310=112;P (X =1)=C 15C 25C 310=512;P (X =2)=C 25C 15C 310=512;P (X =3)=C 35C 310=112.故X 的分布列为:(2)证明:设袋中有n 由题意得y =25n ,所以2y <n,2y ≤n -1,故y n -1≤12.设“从袋中任意摸出两个球,至少有1个黑球”为事件B , 则P (B )=25·n -y n -1+35·y n -1+25·y -1n -1=25+35×y n -1≤25+35×12=710. 所以白球的个数比黑球多,白球个数多于25n ,红球的个数少于n5.故袋中红球个数最少.四、选做题13.(2012·全国新课标高考)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量n (单位:枝,n ∈N )的函数解析式.(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:以100(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求X 的分布列; (2)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.【解】 (1)当n ≥16时,y =16×(10-5)=80. 当n ≤5时,y =5n -5(16-n )=10n -80.得:y =⎩⎪⎨⎪⎧10n -80,(n ≤15),80, (n ≥16).(n ∈N )(2)①X 可取60,70,80P (X =60)=0.1,P (X =70)=0.2,P (X =80)=0.7 X 的分布列为②购进17y =(14×5-3×5)×0.1+(15×5-2×5)×0.2+(16×5-1×5)×0.16+17×5×0.54=76.4.76.4>76得:应购进17枝.。

专题八 概率与统计 第二讲 概率,随机变量及分布列——2023届高考数学二轮复习重点练(含解析)

专题八 概率与统计  第二讲 概率,随机变量及分布列——2023届高考数学二轮复习重点练(含解析)

专题八 概率与统计 第二讲 概率,随机变量及分布列1.为了援助湖北抗击疫情,全国各地的白衣天使走上战场的第一线,他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机,编号分别为1,2,3,4,5,6,同时到达武汉天河飞机场,每五分钟降落一架,其中1号与6号相邻降落的概率为( ) A.112B.16C.15D.132.一个不透明的袋子中装有4个完全相同的小球,球上分别标有数字为0,1,2,3.现甲从中摸出1个球后放回,乙再从中摸出1个球,谁摸出的球上的数字大谁获胜,则甲、乙各摸一次球后,甲获胜且乙摸出的球上数字为偶数的概率为( ) A.14B.13C.49D.3163.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A.110B.15C.310D.254.某次战役中,狙击手A 受命射击敌机,若要击落敌机,需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次,已知A 每次射击,命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2,0.4,0.1,未命中敌机的概率为0.3,且各次射击相互独立.若A 至多射击2次,则他能击落敌机的概率为( ) A.0.23B.0.2C.0.16D.0.15.设两个相互独立事件A ,B 都不发生的概率为19,则A 与B 都发生的概率的取值范围是( )A.80,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.15,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.28,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.40,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.一个旅行团到漳州旅游,有百花村与云洞岩两个景点可选择,该旅行团选择去哪个景点相互独立.若旅行团选择两个景点都去的概率是49,只去百花村不去云洞岩与只去云洞岩不去百花村的概率相等,则旅行团选择去百花村的概率是( ) A.23B.13C.49D.197.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责,每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师各自分别将活动通知的信息独立且随机地发给4位同学,且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为( )A.25B.1225C.1625D.458.(多选)从甲袋中摸出1个红球的概率是13,从乙袋中摸出1个红球的概率是12.从甲袋、乙袋各摸出1个球,则下列结论正确的是( )A.2个球都是红球的概率为16B.2个球不都是红球的概率为13C.至少有1个红球的概率为23D.2个球中恰有1个红球的概率为129. (多选)在4件产品中,有一等品2件,二等品1件(一等品与二等品都是正品),次品1件,现从中任取2件,则下列说法正确的是( )A.两件都是一等品的概率是13B.两件中有1件是次品的概率是12C.两件都是正品的概率是13D.两件中至少有1件是一等品的概率是5610. (多选)在一次随机试验中,A,B,C,D是彼此互斥的事件,且A B C D+++是必然事件,则下列说法正确的是( )A.A B+与C是互斥事件,也是对立事件B.B+C与D是互斥事件,但不是对立事件C.A C+与B D+是互斥事件,但不是对立事件D.A与B C D++是互斥事件,也是对立事件11.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625,则该队员每次罚球的命中率为__________.12.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________.13.从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人,则甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为_____________.14.一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率.(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求2n m<+的概率..假定甲、乙两位同学15.设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.答案以及解析1.答案:D解析:6架飞机的降落顺序有66A 种,而1号与6号相邻降落的顺序有2525A A 种,所以所求事件的概率252566A A 1A 3P ==.故选D.2.答案:A解析:甲、乙各摸一次球,有可能的结果有4416⨯=(种),甲摸的数字在前,乙摸的数字在后,则甲获胜的情况有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),共6种. 其中甲、乙各摸一次球后,甲获胜且乙摸出的球上数字为偶数有4种,则所求概率41164P ==. 3.答案:D解析:先后有放回地抽取2张卡片的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共25种.其中满足条件的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共10种情况.因此所求的概率102255P ==.故选D. 4.答案:A解析:A 每次射击,命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2,0.4,0.1,未命中敌机的概率为0.3,且各次射击相互独立.若A 射击1次就击落敌机,则他击中了敌机的机尾,概率为0.1;若A 射击2次就击落敌机,则他2次都击中了敌机的机首,概率为0.20.20.04⨯=或者第1次没有击中机尾且第2次击中了机尾,概率为0.90.10.09⨯=,因此若A 至多射击2次,则他能击落敌机的概率为0.10.040.090.23++=.故选A. 5.答案:D解析:设事件A ,B 发生的概率分别为()P A x =,()P B y =,则1()()()(1)(1)9P AB P A P B x y ==-⋅-=,即11199xy x y +=++≥+x y =时取“=”,211)9∴≥23≤43(舍去),409xy ∴≤≤.4()()()0,9P AB P A P B xy ⎡⎤∴==∈⎢⎥⎣⎦.6.答案:A解析:用事件A 表示“旅行团选择去百花村”,事件B 表示“旅行团选择去云洞岩”,A ,B 相互独立,则4()9P AB =,()()P AB P AB =.设()P A x =,()P B y =,则4,9(1)(1),xy x y x y ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩解得2,323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(舍去),故旅行团选择去百花村的概率是23.故选A.7.答案:C解析:设“甲同学收到李老师的信息”为事件A ,“收到张老师的信息”为事件B ,A ,B 相互独立,42()()105P A P B ===,则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1(1())(1())15525P AB P A P B -=---=-⨯=.故选C. 8.答案:ACD解析:设“从甲袋中摸出1个红球”为事件1A ,“从乙袋中摸出1个红球为事件2A ,则()113P A =,()212P A =,且1A ,2A 独立.对于A 选项,2个球都是红球为12A A ,其概率为111326⨯=,故A 正确;对于B 选项,“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件,其概率为15166-=,故B 错误;对于C 选项,2个球中至少有1个红球的概率为()()1221211323P A P A -=-⨯=,故C 正确;对于D 选项,2个球中恰有1个红球的概率为1121132322⨯+⨯=,故D 正确.故选ACD. 9.答案:BD解析:由题意设一等品编号为a ,b ,二等品编号为c ,次品编号为d ,从中任取2件的基本情况有(,)a b ,(,)a c ,(,)a d ,(,)b c ,(,)b d ,(,)c d ,共6种. 对于A ,两件都是一等品的基本情况有(,)a b ,共1种,故两件都是一等品的概率116P =,故A 错误; 对于B ,两件中有1件是次品的基本情况有(,)a d ,(,)b d ,(,)c d ,共3种,故两件中有1件是次品的概率23162P ==,故B 正确;对于C ,两件都是正品的基本情况有(,)a b ,(,)a c ,(,)b c ,共3种,故两件都是正品的概率33162P ==,故C 错误;对于D ,两件中至少有1件是一等品的基本情况有(,)a b ,(,)a c ,(,)a d ,(,)b c ,(,)b d ,共5种,故两件中至少有1件是一等品的概率456P =,故D 正确. 10.答案:BD解析:由于A ,B ,C ,D 彼此互斥,且A B C D +++是必然事件,故事件的关系如图所示.由图可知,任何一个事件与其余三个事件的和事件互为对立,任何两个事件的和事件与其余两个事件中任何一个是互斥事件,任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件互为对立,故B,D 中的说法正确.11.答案:35解析:设此队员每次罚球的命中率为p ,则216125p -=,所以35p =. 12.答案:16;23解析:甲,乙两球都落入盒子的概率为111236⨯=.方法一:甲、乙两球至少有一个落入盒子的情形包括:①甲落入、乙未落入的概率为121233⨯=;②甲未落入,乙落入的概率为111236⨯=;③甲,乙均落入的概率为111236⨯=.所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为11123663++=.方法二:甲,乙两球均未落入盒子的概率为121233⨯=,则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为12133-=.13.答案:23解析:从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人,有{甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁},共6种结果;其中甲、乙两人中有且只有一人被选取,有甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},共4种结果. 故甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为4263=. 14.答案:(1)13. (2)概率为1316. 解析:(1)从袋中随机取两个球,其一切可能的结果组成的样本点有:1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6个.从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有:1和2,1和3,共2个, 因此所求事件的概率为2163P ==.(2)先从袋中随机取一个球,记下编号为,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为m , 试验的样本空间{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),Ω=(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共16个样本点.又满足条件2n m ≥+的样本点有:(1,3),(1,4),(2,4),共3个. 所以满足条件2n m ≥+的事件的概率为1316P =,故满足条件2n m <+的事件的概率为1313111616P -=-=. 15.答案:(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概均为23,故2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,从而3321()C ,0,1,2,333kkk P X k k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以随机变量X的分布列为随机变量X 的数学期望2()323E X =⨯=.(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y ,则2~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭,且{3,1}{2,0}M X Y X Y ===⋃==.由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥,且事件{3}X =与{}1Y =,事件{}2X =与{}0Y =均相互独立,从而由(1)知()P M =({3,1}{2,0})(3,1)(2,P X Y X Y P X Y P X ==⋃=====+=8240)(3)(1)(2)(0)2799Y P X P Y P X P Y ====+===⨯+⨯12027243=.。

概率分布列及期望专题

概率分布列及期望专题

概率分布列及期望专题类型一、独立重复试验例1、某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为43,某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心.且每人只拨打一次,求他们中成功咨询的人数ξ的分布列及其期望.练习:根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立.(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率;(Ⅱ)X 表示该地的l00位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求X 的期望.类型二、超几何分布例2、研究性学习小组要从6名(其中男生4人,女生2人)成员中任意选派3人去参加某次社会调查.(1)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率;(2)设所选3人中女生人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.类型三、耗用子弹数型例3、某射手有3发子弹,射击一次命中概率为0.9,如果命中就停止射击,否则一直到子弹用尽,求耗用子弹数ξ的分布列.练习、某次篮球联赛的总决赛在甲队与乙队之间角逐,采用七局四胜制,即若有一队先胜四场,则此队获胜,比赛就此结束.由于天气原因场地最多使用6次,因甲、乙两队实力相当,每场比赛获胜的可能性相等,问需要比赛的次数ξ的分布列及期望。

类型四、取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列例4、一批零件中有3个合格品与3个不合格品.安装机器时,从这批零件中任取一个.如果每次取出的不合格品不再放回去,求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列.练习、在医学生物试验中,经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子:6只果蝇和2只苍蝇),只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔.若用ξ表示剩余果蝇的数量,求ξ的分布列与期望.类型五、古典概型求概率例5、某市公租房房屋位于A.B.C三个地区,设每位申请人只申请其中一个片区的房屋,且申请其中任一个片区的房屋是等可能的,求该市的任4位申请人中:(Ⅰ)若有2人申请A 片区房屋的概率;(Ⅱ)申请的房屋在片区的个数的ξ分布列与期望。

概率论分布列期望方差习题及答案

概率论分布列期望方差习题及答案

概率论分布列期望方差习题及答案The following text is amended on 12 November 2020.圆梦教育 离散型随机变量的分布列、期望、方差专题姓名:__________班级:__________学号:__________1.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛,甲对A ,乙对B ,丙对C 各一盘,已知甲胜A ,乙胜B ,丙胜C 的概率分别为,,,假设各盘比赛结果相互独立。

(Ⅰ)求红队至少两名队员获胜的概率;(Ⅱ)用ξ表示红队队员获胜的总盘数,求ξ的分布列和数学期望E ξ.2.已知某种从太空带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为13,某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验,每次实验种一粒种子,假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次实验是失败的. (1) 第一小组做了三次实验,求实验成功的平均次数;(2) 第二小组连续进行实验,求实验首次成功时所需的实验次数的期望; (3)两个小组分别进行2次试验,求至少有2次实验成功的概率.3.一种电脑屏幕保护画面,只有符号“○”和“×”随机地反复出现,每秒钟变化一次,每次变化只出现“○”和“×”之一,其中出现“○”的概率为p ,出现“×”的概率为q .若第k 次出现“○”,则a k =1;出现“×”,则a k =1-.令S n =a 1+a 2+…+a n ()n N *∈.(1)当12p q ==时,求S 6≠2的概率;(2)当p =31,q =32时,求S 8=2且S i ≥0(i =1,2,3,4)的概率.4.在一个有奖问答的电视节目中,参赛选手顺序回答123A A A 、、三个问题,答对各个问题所获奖金(单位:元)对应如下表:当一个问题回答正确后,选手可选择继续回答下一个问题,也可选择放弃.若选择放弃,选手将获得答对问题的累计奖金,答题结束;若有任何一个问题回答错误,则全部奖金归零,答题结束.设一名选手能正确回答123A A A 、、的概率分别为421534、、,正确回答一个问题后,选择继续回答下一个问题的概率均为12,且各个问题回答正确与否互不影响.(Ⅰ)按照答题规则,求该选手1A 回答正确但所得奖金为零的概率;(Ⅱ)设该选手所获奖金总数为ξ,求ξ的分布列与数学期望.5.某装置由两套系统M,N 组成,只要有一套系统工作正常,该装置就可以正常工作。

高三数学概率综合试题

高三数学概率综合试题

高三数学概率综合试题1.随机变量η的分布列如下:x=;P(η>3)=;③P(1<η≤4)=.【答案】①0②0.45③0.45【解析】由概率分布的性质可得:0.2+x+0.35+0.1+0.15+0.2=1,解得:x=0.显然P(η>3)=P(η=4)+P(η=5)+P(η=6)=0.1+0.15+0.2=0.45.P(1<η≤4)=P(η=2)+P(η=3)+P(η=4)=0+0.35+0.1=0.45.2.某次考试中,从甲,乙两个班各抽取10名学生的成绩进行统计分析,两班10名学生成绩的茎叶图如图所示,成绩不小于90分为及格.(1)从每班抽取的学生中各抽取一人,求至少有一个及格的概率;(2)从甲班10人中取两人,乙班10人中取一人,三人中及格人数记为X,求X的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)【解析】(1)由茎叶图可知甲班有4人及格,乙班5人及格.事件“从两班10名学生中各抽取一人,至少有一人及格”记作A,则P(A)=1-=1-=.(2)X取值为0,1,2,3.P(X=0)==,P(X=1)=+=,P(X=2)=+=,P(X=3)==.所以X的分布列为X0123因此E(X)=0×+1×+2×+3×=.3.一袋中装有分别标记着1,2,3数字的3个小球,每次从袋中取出一个球(每只小球被取到的可能性相同),现连续取3次球,若每次取出一个球后放回袋中,记3次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为,设,则.【答案】【解析】,连续取3次球,它的取法共有,,其中有3种,有12种,有12种,因此它们的概率分别为,故.【考点】概率与统计.4.袋中标号为1,2,3,4的四只球,四人从中各取一只,其中甲不取1号球,乙不取2号球,丙不取3号球,丁不取4号球的概率为()A.B.C.D.【答案】B.【解析】不妨设甲取2号球.若乙取1号,则丙4丁3;若乙3,则丙4丁1;若乙4,则丙丁3.共3种情况.类似的,甲取3或4号球,各有3种情况,故共9种,而基本事件的总数为,故所求的概率为故选B.本题是一个错位排列模型.【考点】求错位排列的概率.5.(12分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生.(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i=1,2,3);(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.甲的频数统计表(部分)y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.【答案】(Ⅰ)输出y 的值为1的概率为;输出y 的值为2的概率为;输出y 的值为3的概率为(II )乙同学所编程序符合算法要求的可能性大【解析】(I )当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y 的值为1,故P 1=;当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y 的值为2,故P 2=; 当x 从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y 的值为3,故P 3=;∴输出y 的值为1的概率为;输出y 的值为2的概率为;输出y 的值为3的概率为; (II )当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i=1,2,3)的频率如下:6. 袋中有8个大小相同的小球,其中1个黑球,3个白球,4个红球. (I )若从袋中一次摸出2个小球,求恰为异色球的概率;(II )若从袋中一次摸出3个小球,且3个球中,黑球与白球的个数 都没有超过红球的个数,记此时红球的个数为,求的分布列及数学期望E . 【答案】(1)(2)随机变量的分布列为:【解析】解: (Ⅰ)摸出的2个小球为异色球的种数为 2分从8个球中摸出2个小球的种数为 4分故所求概率为 5 分(Ⅱ)符合条件的摸法包括以下三种:一种是有1个红球,1个黑球,1个白球,共有种 6分一种是有2个红球,1个其它颜色球,共有种, 7分一种是所摸得的3小球均为红球,共有种不同摸法,故符合条件的不同摸法共有40种. 9分由题意知,随机变量的取值为1,2,3.其分布列为:13分【考点】排列组合与分布列点评:主要是考查了分布列和排列组合的运用,属于基础题。

概率分布列含解析

概率分布列含解析

概率分布列练习题1.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击一个目标,则它们都中靶的概率是()A.35 B.34 C.1225 D.1425答案:D2.三个人独立地破译一个密码,他们能单独译出的概率分别为15,13,14,假设他们破译密码是彼此独立的,则此密码被破译出的概率为( )A.35 B.25 C.160D.不确定答案:A3.已知P(A)=0.3,P(B)=0.5,当事件A、B相互独立时,P(A∪B)=________,P(A|B)=________.答案0.650.34.加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为________.答案:3 705.在一条马路上的A、B、C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆汽车在这条马路上行驶,那么在这三处都不停车的概率是________.答案:35 1926.事件A、B、C相互独立,若P(A·B)=16,P(B·C)=18,P(A·B·C)=18,则P(B)=________,P(A·B)=________,P(B+C)=__________,P(B|C)=________.答案:121358127.有一个数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是12,乙能解决的概率是13,2人试图独立地在半小时内解决它,则2人都未解决的概率为________,问题得到解决的概率为________.答案:13238.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,其命中率分别为0.6,0.5,现已知目标被击中,则它是被甲击中的概率是()A.0.45 B.0.6 C.0.65 D.0.75 答案:D解析:令事件A、B分别表示甲、乙两人各射击一次击中目标,由题意可知P(A)=0.6,P(B)=0.5,令事件C表示目标被击中,则C=A∪B,则P(C)=1-P(A)P(B)=1-0.4×0.5=0.8,所以P (A |C )=P (AC )P (C )=0.60.8=0.75. 9.设10件产品中有4件不合格,从中任意取出2件,在所取得的产品中发现有一件不合格品,则另一件也是不合格品的概率为 .答案:15 10.已知随机变量ξ~B (6,13),则P (ξ≥2)=( )A.16143B.471729C.473729D.1243 答案 C11.袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,球的颜色全相同的概率是( )A.227B.19C.29D.127 答案 B12.某电子管正品率为34,次品率为14,现对该批电子管进行测试,设第ξ次首次测到正品,则P (ξ=3)的值为( )A .C 23(14)2×34B .C 23(34)2×14 C .(14)2×34D .(34)2×14 答案 C13.口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球,有放回地每次摸取一个球,定义数列{a n }:a n =⎩⎨⎧-1,第n 次摸取红球,1,第n 次摸取白球,如果S n 为数列{a n }的前n 项和,那么S 7=3的概率为( ) A .C 57×(13)2×(23)5 B .C 47×(23)2×(13)5 C .C 27×(23)2×(13)5 D .C 37×(13)2×(23)5 答案 C14.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠.若该电梯在底层载有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13,用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,则P (ξ=4)=________.答案 1024315.某单位6个员工借助互联网开展工作,每天每个员工上网的概率是0.5(相互独立),则一天内至少3人同时上网的概率为________.答案 213216.甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题,规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格.(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率;(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.解析(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B,则P(A)=C26·C14+C36C310=60+20120=23,P(B)=C28·C12+C38C310=56+56120=141517.2013年初,一考生参加北京大学的自主招生考试,需进行书面测试,测试题中有4道题,每一道题能否正确做出是相互独立的,并且每一道题被考生正确做出的概率都是3 4.(1)求该考生首次做错一道题时,已正确做出了两道题的概率;(2)若该考生至少做出3道题,才能通过书面测试这一关,求这名考生通过书面测试的概率.解析(1)记“该考生正确做出第i道题”为事件A i(i=1,2,3,4),则P(A i)=34,由于每一道题能否被正确做出是相互独立的,所以这名考生首次做错一道题时,已正确做出两道题的概率为P(A1A2A3)=P(A1)·P(A2)·P(A3)=34×34×14=964.(2)记“这名考生通过书面测试”为事件B,则这名考生至少正确做出3道题,即正确做出3道或4道题,故P(B)=C34×(34)3×14+C44×(34)4=189256.18.某射手每次射击击中目标的概率是,且各次射击的结果互不影响。

概率分布列及期望专题

概率分布列及期望专题

概率分布列及期望专题类型一、独立重复试验例1、某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为43,某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心.且每人只拨打一次,求他们中成功咨询的人数ξ的分布列及其期望.练习:根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为,设各车主购买保险相互独立.(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率;(Ⅱ)X 表示该地的l00位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求X 的期望.类型二、超几何分布例2、研究性学习小组要从6名(其中男生4人,女生2人)成员中任意选派3人去参加某次社会调查.(1)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率;(2)设所选3人中女生人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.类型三、耗用子弹数型例3、某射手有3发子弹,射击一次命中概率为,如果命中就停止射击,否则一直到子弹用尽,求耗用子弹数ξ的分布列.练习、某次篮球联赛的总决赛在甲队与乙队之间角逐,采用七局四胜制,即若有一队先胜四场,则此队获胜,比赛就此结束.由于天气原因场地最多使用6次,因甲、乙两队实力相当,每场比赛获胜的可能性相等,问需要比赛的次数ξ的分布列及期望。

类型四、取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列例4、一批零件中有3个合格品与3个不合格品.安装机器时,从这批零件中任取一个.如果每次取出的不合格品不再放回去,求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列.练习、在医学生物试验中,经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子:6只果蝇和2只苍蝇),只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔.若用ξ表示剩余果蝇的数量,求ξ的分布列与期望.类型五、古典概型求概率例5、某市公租房房屋位于三个地区,设每位申请人只申请其中一个片区的房屋,且申请其中任一个片区的房屋是等可能的,求该市的任4位申请人中:(Ⅰ)若有2人申请A片区房屋的概率;(Ⅱ)申请的房屋在片区的个数的ξ分布列与期望。

高考数学专题复习:离散型随机变量及其分布列

高考数学专题复习:离散型随机变量及其分布列

高考数学专题复习:离散型随机变量及其分布列一、单选题1.已知离散型随机变量X 的概率分布列如下:则实数a 等于( ) A .0.6B .0.7C .0.1D .0.42.已知随机变量X 的分布列是则P(X>1)=( ) A .23B .32C .1D .343.随机变量X 的分布列为()15kP X k ==,1k =,2,3,4,5,则(3)P X <=( ) A .15B .13C .12D .234.随机变量X 的分布列如下表所示:则()2P X ≤=( ) A .0.1B .0.2C .0.3D .0.45.若随机变量η的分布列如表:则()1P η≤=( ) A .0.5B .0.2C .0.4D .0.36.从装有2个白球、3个黑球的袋中任取2个小球,下列可以作为随机变量的是( ) A .至多取到1个黑球 B .至少取到1个白球 C .取到白球的个数D .取到的球的个数7.已知离散型随机变量X 的分布列如表:则实数c 等于( ) A .0.2B .0.3C .0.6D .0.78.若随机变量X 的分布列如下表所示,则a 的值为( )A .0.1B .0.2C .0.3D .0.49.设随机变量x 的分布列为()(),2,3,4,51===-kP X m m m m ,其中k 为常数,则()2log 3log P X 3<<80的值为( )A .23B .34C .45D .5610.随机变量X 所有可能取值的集合是{}2,0,3,5-,且()()()1112,3,54212P X P X P X =-=====,则()14P X -<<的值为( )A .13B .12C .23D .3411.若随机变量X 的分布列如下表,则(3)P X ≥=( )A .14B .13C .34D .11212.口袋中有5个球,编号为1,2,3,4,5,从中任意取出3个球,用X 表示取出球的最小号码,则X 的取值为( ) A .1B .1,2C .1,2,3D .1,2,3,4二、填空题13.若随机变量ξ的分布列为则a =__________.14.设随机变量ξ的分布列为()(1)C P k k k ξ==+,1,2,3k =,其中C 为常数,则1522P ξ⎛⎫<<=⎪⎝⎭__________.15.设随机变量X 的分布列为()()1CP X k k k ==+,1k =,2,3,C 为常数,则()3P X <=____.16.一串5把外形相似的钥匙,只有一把能打开锁,依次试验,打不开的扔掉,直到找到能开锁的钥匙为止,则试验次数X 的最大可能取值为__________. 三、解答题17.在10件产品中,有8件合格品,2件次品,从这10件产品中任意抽取2件,试求: (1)取到的次品数的分布列; (2)至少取到1件次品的概率.18.某闯关游戏分为初赛和复赛两个阶段,甲、乙两人参加该闯关游戏.初赛分为三关,每关都必须参与,甲通过每关的概率均为23,乙通过每关的概率依次为311,,.423初赛三关至少通过两关才能够参加复赛,否则直接淘汰;在复赛中,甲、乙过关的概率分别为1,314.若初赛和复赛都通过,则闯关成功.甲、乙两人各关通过与否互不影响. (1)求乙在初赛阶段被淘汰的概率;(2)记甲本次闯关游戏通过的关数为X ,求X 的分布列; (3)试通过概率计算,判断甲、乙两人谁更有可能闯关成功.19.在一个不透明的盒中,装有大小,质地相同的两个小球,其中一个是黑色,一个是白色,甲、乙进行取球游戏,两人随机地从盒中各取一球,两球都取出之后再一起放回盒中,这称为一次取球,约定每次取到白球者得1分,取到黑球者得0分,一人比另一人多2分或取满6次时游戏结束,并且只有当一人比另一人多2分时,得分高者才能获得游戏奖品.(1)求甲获得游戏奖品的概率;(2)设X表示游戏结束时所进行的取球次数,求X的分布列及数学期望.20.某校高二年级举行班小组投篮比赛,小组是以班级为单位,每小组均由1名男生和2名女生组成,比赛中每人投篮1次、每个人之间投篮都是相互独立的.已知女生投篮命中的概率均为13,男生投篮命中的概率均为23.(1)求小组共投中2次的概率;(2)若三人都投中小组获得30分,投中2次小组获得20分,投中1次小组获得10分,三人都不中,小组减去60分,随机变量X表示小组总分,求随机变量X的分布列及数学期望.21.一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的8个小球,其中白球与黄球各3个,红球与绿球各1个.现甲、乙两人进行摸球得分比赛,摸到白球每个记1分、黄球每个记2分、红球每个记3分、绿球每个记4分,以得分高获胜.比赛规则如下:(1)只能一个人摸球;(2)摸出的球不放回;(3)摸球的人先从袋中摸出1球:①若摸出的是绿球,则再从袋子里摸出2个球;②若摸出的不是绿球,则再从袋子里摸出3个球.他的得分为两次摸出的球的记分之和;(4)剩下的球归对方,得分为剩下的球的记分之和.(Ⅰ)若甲第一次摸出了绿球,求甲的得分不低于乙的得分的概率;(Ⅱ)如果乙先摸出了红球,求乙得分X的分布列.22.袋中有4个红球,()14,n n n N ≤≤∈个黑球,若从袋中任取3个球,恰好取出3个红球的概率为435. (1)求n 的值.(2)若从袋中任取3个球,取出一个红球得1分,取出一个黑球得3分,记取出的3个球的总得分为随机变量X ,求随机变量X 的分布列.参考答案1.D 【分析】利用分布列的性质,求a 的值. 【详解】据题意得0.20.30.11a +++=,所以0.4a =. 故选:D 2.A 【分析】直接根据离散型随机变量的分布列的性质求解即可得答案. 【详解】根据离散型随机变量的分布列的概率和为1得:113a b ++=, 所以23a b +=,所以()()()21=233P X P X P X a b >=+==+=,故选:A. 3.A 【分析】根据互斥事件的概率公式计算. 【详解】()()1231(3)121515155P X P X P X <==+==+==, 故选:A . 4.C 【分析】利用分布列的性质求出m 的值,然后由概率的分布列求解概率即可. 【详解】解:由分布列的性质可得,0.10.321m m +++=,可得0.2m =,所以(2)(1)(2)0.10.20.3P X P X P X ==+==+=. 故选:C . 5.C 【分析】利用分布列可求得()1P η≤的值. 【详解】由分布列可得()()()()11010.10.10.20.4P P P P ηηηη≤==-+=+==++=. 故选:C. 6.C 【分析】根据随机变量的定义,判断选项. 【详解】根据随机变量的定义可知,随机变量的结果都可以数量化,不确定的,由实验结果决定,满足条件的只有C ,取到白球的个数,可以是0,1,2. 故选:C 7.B 【分析】根据概率之和等于1,得0.10.240.361c +++=,解方程即可求出结果. 【详解】据题意,得0.10.240.361c +++=,解得0.3c =. 故选:B. 8.B 【分析】由概率和为1可得a 值. 【详解】由题意0.231a a ++=,解得0.2a =. 故选:B . 9.D 【分析】首先利用分布列中概率之和等于1求得k 的值,再计算()()23P X P X =+=即可求解. 【详解】由分布列的性质可知:()()()()23451P X P X P X P X =+=+=+==, 即12324354k k k k+++=⨯⨯⨯,解得:54k =,所以()5228k P X ===,()53624k P X ===, ()541248k P X ===,()152016k P X ===, 所以()()()2555log 3log 238246P X P X P X 3<<80==+==+=, 故选:D. 10.C 【分析】 先求得1(0)6P X ==,再由(14)(0)(3)P X P X P X -<<==+=可得结果. 【详解】依题意可得1111(0)1(2)(3)(5)142126P X P X P X P X ==-=--=-==---=,所以112(14)(0)(3)623P X P X P X -<<==+==+=. 故选:C. 11.A 【分析】分布列中概率之和等于1可得x 的值,再计算(3)(3)(4)3P X P X P X x ≥==+==即可. 【详解】由分布列中概率的性质可知:3621x x x x +++=,可得:112x =, 所以1(3)(3)(4)34P X P X P X x ≥==+=== 故选:A. 12.C 【分析】根据题意写出随机变量的可能取值. 【详解】根据条件可知任意取出3个球,最小号码可能是1,2,3. 故选:C 13.0.25 【分析】根据概率之和等于1,即可求得答案. 【详解】解因为0.20.31,a a +++= 所以0.25a =. 故答案为:0.25. 14.89【分析】根据分布列的性质求出C ,即可解出. 【详解】因为111311223344C C ⎛⎫=⋅++= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭.故43C =,所以15228(1)(2)22399P P P ξ⎛⎫<<=+=+= ⎪⎝⎭.故答案为:89.15.89【分析】首先根据概率和为1可得c 的值,再由()()()312P X P X P X <==+=即可得结果. 【详解】随机变量X 的分布列为()()1CP X k k k ==+,1k =,2,3,∴ 16122c c c ++=,即62 112c c c ++=,解得43c =, ∴()()()41183123269P X P X P X ⎛⎫<==+==+= ⎪⎝⎭,故答案为:89.16.4 【分析】结合题意找出试验次数X 最大的情况即可. 【详解】由题意可知,前4次都打不开锁,最后一把钥匙一定能打开锁, 故试验次数X 的最大可能取值为4. 故答案为:4.17.(1)分布列见解析;(2)1745【分析】(1)记取到的次品数为X ,则X 的可能值为0,1,2,分别计算概率,可得X 的分布列; (2)由(1)根据互斥事件的概率公式可得(1)(2)P P X P X ==+=; 【详解】解:(1)从这10件产品中任意抽取2件,共21045C =种情况;记取到的次品数为X ,取到的次品数X 值可能为0,1,2,其中282102(0845)C P X C ===;121821016(1)45C C P X C ===;222101)5(24C P X C ===;∴取到的次品数X 的分布列为:(2)由(1)得:至少取到1件次品的概率17(1)(2)45P P X P X ==+==. 18.(1)1124;(2)答案见解析;(3)甲更有可能闯关成功. 【分析】(1)乙初赛被淘汰的事件是乙初赛三关都没过的事件与恰过一关的事件和,再利用概率加法公式计算而得;(2)写出X 的可能值,计算出对应的概率即可得解; (3)分别计算出甲、乙闯关成功的概率即可作答. 【详解】(1)若乙初赛三关一关都没有通过或只通过一个,则被淘汰,于是得乙在初赛阶段被淘汰的概率:1121113121121142342342342324P =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=; (2)X 的可能取值为0,1,2,3,4,()3110()327P X ===,()1232121()339P X C ==⋅⋅=,()22321282()33327P X C ==⋅⋅⋅=,()322322211283()()3333381P X C ==⋅+⋅⋅⋅=,()32184()3381P X ==⋅=则X 的分布列为:(3)甲闯关成功的概率32232121120()()33333811P C =⋅+⋅⋅⋅=, 乙闯关成功的事件是初赛不被淘汰和复赛过关的事件积,而这两个事件相互独立,其概率22411113(1)496P =-⋅=, 显然有12P P >,所以甲更有可能闯关成功. 19.(1)716;(2)分布列见解析;期望为72.【分析】(1)甲获得游戏奖品有3种情况:①共取球2次,即第1次和第2次甲都取到白球,从而甲获奖的概为1122⨯;②共取球4次,即第4次取到白球,第3次取到白球,第1次和第2次有一次取到白球,从而甲获奖的概为4122⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭;③共取球6次,即第6次为白球,第5次取白球,若第4次取白球,则第3次取黑球,第1,2次中有1次取白球;若第4次取黑球,则第3次白球,第1,2次有一次取白球,从而甲获奖的概为6142⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭,再由互斥事件的概率公式可得答案;(2)由(1)的求解中可知,X 可能取2,4,6,用(1)的方法先分别求出X 等于2,4的概率,从而可得X 为6的概率,然后列出分布列即可,然后根据期望的概念求出结果即可.【详解】解:(1)设甲获得游戏奖品为事件A ,()641111724212226P A ⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪⎛⎫⎪⎝⎭⎝⎭.所以甲获得游戏奖品的概率为716(2)X 的可能取值为2,4,6, ()11122222P X ==⨯⨯=()41142224P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭,()()()161244P X P X P X ==-=-==. X 的分布列为11172462442EX =⨯+⨯+⨯=20.(1)13;(2)分布列见解析;期望为409.【分析】(1)小组投中两次分为两种情况,两次都是女生投中,和一次男生一次女生投中,从而求得概率;(2)根据题意,X 的可能取值为-60,10,20,30,分别求得各取值对应的概率,列出分布列,求得期望. 【详解】解:(1)一个小组共投中2次的概率 2122211212911133333273P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅+⋅-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)X 的可能取值为-60,10,20,30, 2214(60)113327P X ⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ()212212111241011133333279P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+--== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,2122112191(20)1133333273P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 2212(30)3327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭, X 的分布列为所以441212040()(60)102030279327279E X =-⨯+⨯+⨯+⨯==. 21.(Ⅰ)37,(Ⅱ)分布列见解析.【分析】(Ⅰ)记甲的得分不低于乙的得分为事件A ,则事件A 发生就是甲再摸出的两个球全是黄球或一红一个其他球,由此可求得概率.(Ⅱ)如果乙先摸出了红球,得3分,则还可以从袋子中摸3个球,那么得分情况有:6分,7分,8分,9分,10分,11分.分别计算概率后可得分布列. 【详解】(Ⅰ)记甲的得分不低于乙的得分为事件A ,则事件A 发生就是甲再摸出的两个球全是黄球或一红一个其他球,所以112163273()7C C C P A C +==; (Ⅱ)如果乙先摸出了红球,则还可以从袋子中摸3个球,得分情况有:6分,7分,8分,9分,10分,11分.33371(6)35C P C ξ===,2133379(7)35C C P C ξ===;1233379(8)35C C P C ξ===;213313374(9)35C C C P C ξ+===;111331379(10)35C C C P C ξ===; 2131373(11)35C C P C ξ===.ξ的分布列如下:22.(1)3;(2)详见解析. 【分析】(1)依题意得3434C 4C 35n +=,解方程可得结果;(2)X 的可能取值为3,5,7,9,求出相应的概率可得结果. 【详解】(1)依题意得3434C 4C 35n +=,又14n ≤≤,所以3n =;(2)X 的可能取值为3,5,7,9,3X =即取出的3个球都是红球,则()3437C 43C 35P X ===; 5X =即取出的3个球中2个红球1个黑球,则()214337C C 185C 35P X ===; 7X =即取出的3个球中1个红球2个黑球,则()124337C C 127C 35P X ===;9X =即取出的3个球都是黑球,则()3337C 19C 35P X ===. 所以,随机变量X 的分布列为。

概率高考题(理科)

概率高考题(理科)

1某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。

(Ⅰ)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率; (Ⅱ)求中奖人数ξ的分布列及数学期望E ξ 解:(Ⅰ)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ,那么.21625)65(61)()()()(,61)()()(2=⋅==⋅⋅===C P B P A P C B A P C P B P A P答:甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是21625(Ⅱ)ξ的可能取值为0,1,2,3。

的分布列为所以中奖人数ξξ.3,2,1,0,)65()61()(343===-k C k P k k ξ 0 1 23P2161257225725 2161.21216137252722512161250=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE2如图,由M 到N 的电路中有4个元件,分别标为T 1,T 2,T 3,T 4,电流能通过T 1,T 2,T 3的概率都是p ,电流能通过T 4的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立.已知T 1,T 2,T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(Ⅰ)求p ;(Ⅱ)求电流能在M 与N 之间通过的概率;(Ⅲ)ξ表示T 1,T 2,T 3,T 4中能通过电流的元件个数,求ξ的期望.)解:记A 1表示事件,电流能通过.4,3,2,1,1=I T A 表示事件:321,,T T T 中至少有一个能通过电流, B 表示事件:电流能在M 与N 之间通过。

(I )321321,,,A A A A A A A ⋅⋅=相互独立,.)1()()()()()(3321321p A P A P A P A A A P A P -==⋅⋅=又,001.0999.01()1)(=-=-=P A P 故.9.0,001.0)1(2==-p p(III )由于电流能通过各元件的概率都是0.9,且电流能通过各元件相互独立。

分布列76题(带答案)

分布列76题(带答案)

1.甲,乙,丙三个同学同时报名参加某重点高校2012年自主招生,高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试,只有审核过关后才能参加文化测试,文化测试合格者即可获得自主招生入选资格.因为甲,乙,丙三人各有优势,甲,乙,丙三人审核材料过关的概率分别为0.5,0.6,0.4,审核过关后,甲,乙,丙三人文化测试合格的概率分别为0.6,0.5,0.75.(1)求甲,乙,丙三人中只有一人通过审核材料的概率;(2)求甲,乙,丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格的概率.2.乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换.每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;(2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分,求ξ的期望.3.某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核,规定:按顺序考核,一旦考核合格就不必参加以后的考核,否则还需要参加下次考核.若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为18的等差数列,他参加第一次考核合格的概率超过12,且他直到参加第二次考核才合格的概率为9 32.(1)求小李第一次参加考核就合格的概率P1;(2)求小李参加考核的次数X的分布列和数学期望E(X).1.解(1)分别记甲,乙,丙通过审核材料为事件A1,A2,A3记甲,乙,丙三人中只有一人通过审核为事件B,则P(B)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4=0.38.(2)分别记甲,乙,丙三人中获得自主招生入选资格为事件C,D,E,记甲,乙,丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格为事件F,则P(C)=P(D)=P(E)=0.3,∴P(F)=C23×0.32×0.7+C33×0.33=0.189+0.027=0.216.2.解记A i表示事件:第1次和第2次这2次发球,甲共得i分,i=0,1,2;A表示事件:第3次发球,甲得1分;B表示事件:开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2.(1)B=A0·A+A1·A,P(A)=0.4,P(A0)=0.42=0.16,P(A1)=2×0.6×0.4=0.48,P(B)=P(A0·A+A1·A)=P(A0·A)+P(A1·A)=P(A0)P(A)+P(A1)P(A)=0.16×0.4+0.48×(1-0.4)=0.352.(2)P(A2)=0.62=0.36.ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ=0)=P(A2·A)=P(A2)P(A)=0.36×0.4=0.144,P(ξ=2)=P(B)=0.352,P(ξ=3)=P(A0·A)=P(A0)P(A)=0.16×0.6=0.096,P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=2)-P(ξ=3)=1-0.144-0.352-0.096=0.408.E (ξ)=0×P (ξ=0)+1×P (ξ=1)+2×P (ξ=2)+3×P (ξ=3) =0.408+2×0.352+3×0.096 =1.400.3.解 (1)由题意得(1-P 1)·()P 1+18=932,∴P 1=14或58.∵P 1>12,∴P 1=58.(2)由(1)知小李4次考核每次合格的概率依次为58,34,78,1,所以P (X =1)=58,P (X =2)=932,P (X =3)=()1-58()1-34×78=21256, P (X =4)=()1-58()1-34()1-78×1=3256,所以X 的分布列为∴E (X )=1×58+2×932+3×21256+4×3256=379256.5.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ,系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p . (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求p 的值;(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的概率分布列及数学期望E (ξ). (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ,那么1-P (C )=1-110·p =4950,解得p =15.(4分)(2)由题意,P (ξ=0)=C 03⎝⎛⎭⎫1103=11 000, P (ξ=1)=C 13⎝⎛⎭⎫1102·⎝⎛⎭⎫1-110=271 000, P (ξ=2)=C 23110·⎝⎛⎭⎫1-1102=2431 000, P (ξ=3)=C 33⎝⎛⎭⎫1-1103=7291 000.(8分) 所以,随机变量ξ的概率分布列为故随机变量ξ的数学期望:E (ξ)=0×11 000+1×271 000+2×2431 000+3×7291 000=2710.6.某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响. (1)求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望.(2)求这名同学总得分不为负分(即ξ≥0)的概率.解(1)ξ的可能取值为-300,-100,100,300.P(ξ=-300)=0.23=0.008,P(ξ=-100)=3×0.22×0.8=0.096,P(ξ=100)=3×0.2×0.82=0.384,P(ξ=300)=0.83=0.512.所以ξ的概率分布为根据ξ的概率分布,可得ξEξ=(-300)×0.008+(-100)×0.096+100×0.384+300×0.512=180.(2)这名同学总得分不为负分的概率为P(ξ≥0)=0.384+0.512=0.896.7.某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.解设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y的分布列如下:(1)A需的时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以P(A)=P(Y=1)P(Y=3)+P(Y=3)P(Y=1)+P(Y=2)P(Y=2)=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22.(2)法一X所有可能的取值为0,1,2.X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5;X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟,所以P(X=1)=P(Y=1)P(Y>1)+P(Y=2)=0.1×0.9+0.4=0.49;X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,所以P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01;所以X的分布列为E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.法二X的所有可能取值为0,1,2.X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5;X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,所以P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01;P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=0.49;所以X的分布列为E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.2.(2011·浙江高考,理15)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)=112,则随机变量X的分布列及数学期望E(X)解析由P(X=0)=112,所以13×(1-p)×(1-p)=112,得p=12,所以X的分布列如下:所以E(X)=0×112+1×13+2×512+3×16=53.2、袋子A、B中均装有若干个大小相同的红球和白球,从A中摸出一个红球的概率是,从B中摸出一个红球的概率为p.(1)从A中有放回地摸球,每次摸出一个,有3次摸到红球即停止。

高中数学 概率与离散型随机变量的分布列试题(附答案)

高中数学 概率与离散型随机变量的分布列试题(附答案)

概率与离散型随机变量的分布列试题1. 一次投掷两颗骰子,求出现的点数之和为奇数的概率。

2. 一个自动报警器由雷达和计算机两个部分组成,两部分有任何一个失灵,这个报警器就失灵。

若使用100小时后,雷达部分失灵的概率为0.1,计算机失灵的概率为0.3,若两部分失灵与否是独立的,求这个报警器使用100小时而不失灵的概率。

3. 对同一目标进行3次射击,第1、第2、第3次射击的命中概率分别为0.4、0.5、0.7,求:(1)在这3次射击中,恰好有1次击中目标的概率; (2)在这3次射击中,至少有1次击中目标的概率。

4. 已知A 、B 、C 为三个相互独立事件,若事件A 发生的概率为21,事件B 发生的概率为32,事件C 发生的概率为43,求下列事件的概率: (1)事件A 、B 、C 都不发生; (2)事件A 、B 、C 不都发生; (3)事件A 发生且B 、C 恰好发生一个5. 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛,已知每一局甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4。

(1)赛满3局,甲胜2局的概率是多少?(2)若比赛采用三局二胜制,先赢两局为胜,求甲获胜的概率。

6. 某种项目的射击比赛规则是:开始时在距目标100m 处射击,如果命中记3分,同时停止射击;若第一次射击未命中,可以进行第二次射击,但目标已在150m 远处,这时命中记2分,同时停止射击;若第二次仍未命中,还可以进行第三次射击,此时目标已在200m 远处,若第三次命中则记1分,同时停止射击;若三次都未命中,则记0分,已知射手甲在100m 处击中目标的概率为12,他命中目标的概率与目标的距离的平方成反比,且各次射击都是独立的。

(1)求射手甲在200m 处命中目标的概率;(2)设射手甲得k 分的概率为P 0,求P 3,P 2,P 1,P 0的值; (3)求射手甲在三次射击中击中目标的概率。

7. 袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球,今从袋子里随机取出4个球。

高考复习 概率与随机变量X的分布列和数学期望

高考复习  概率与随机变量X的分布列和数学期望

1.(2016年山东卷)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.
2.(2015年安徽卷)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(Ⅰ)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
(Ⅱ)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望)
3.(2015年天津卷)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加,现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名,乙协会的运动员5名,其中种子选手3名,从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(Ⅰ)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;(Ⅱ)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.。

高考数学分布列专题及答案

高考数学分布列专题及答案

分布列1.(本小题满分14分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表:已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为3 5.(1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程);(2)能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由;(3)现从女生中抽取2人进一步调查,设其中喜爱打篮球的女生人数为ξ,求ξ的分布列与期望.(参考公式:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++,其中n a b c d=+++)2.(本小题满分14分)某同学在研究性学习中,收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产(Ⅰ)该同学为了求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+,根据表中数据已经正确计算出ˆ0.6b=,试求出ˆa 的值,并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数; (Ⅱ)若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒,小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊,后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题.记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.某商场准备在节日期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中,选出3种商品进行促销活动。

(1)试求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率;(2)商场对选出的商品采用有奖促销,即在该商品现价的基础上价格提高180元,同时允许顾客每购买1件促销商品有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都可获得奖金100元,假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的,试分析此种有奖促销方案对商场是否有利。

在高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中,已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目,第一小组选《数学运算》的有1人,选《数学解题思想与方法》的有5人,第二小组选《数学运算》的有2人,选《数学解题思想与方法》的有4人,现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.(Ⅰ)求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率;(Ⅱ)设ξ为选出的4个人中选《数学运算》的人数,求ξ的分布列和数学期望..(本小题满分14分)分布列参考答案1.(本小题满分14分)解:(1) 列联表补充如下:----------------------------------------3分(2)∵2250(2015105)8.3337.87930202525K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯------------------------6分 ∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为喜爱打篮球与性别有关.---------------------7分(3)喜爱打篮球的女生人数ξ的可能取值为0,1,2.-------------------------9分其概率分别为021*******(0)20C C P C ξ===,1110152251(1)2C C P C ξ===,2010152253(2)20C C P C ξ===--------------------------12分故ξ的分布列为:--------------------------13分ξ的期望值为:7134012202205E ξ=⨯+⨯+⨯= 2.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)11(12345)3,(44566)555x y =++++==++++=,因线性回归方程ˆ=+ybx a 过点(,)x y , ∴50.66 3.2a y bx =-=-⨯=,∴6月份的生产甲胶囊的产量数:ˆ0.66 3.2 6.8y=⨯+=…………….6分(Ⅱ)0,1,2,3,ξ=31254533991054010(0),(1),84428421C C C P P C C ξξ======== 213454339930541(2),(3).84148421C C C P P C C ξξ======== …………………….10分其分布列为5105140123 422114213E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= …………………….14分3.解:(1)从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中,选出3种商品,一共有39C 种不同的选法,选出的3种商品中,没有日用商品的选法有35C 种,……2分 所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为 3539537114242C P C =-=-=……4分 (2)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量ξ,其所有可能的取值为0,100,200,300。

分布列综合测试题 (3)(基础、好用、经典)

分布列综合测试题 (3)(基础、好用、经典)

分布列综合测试题一、选择题1.设随机变量ξ~B (6,12),则P (ξ=3)的值是( ) A.316 B.516 C.716 D.582.国庆节放假,甲去北京旅游的概率为13,乙、丙去北京旅游的概率分别为14,15.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )A.5960B.35C.12D.1603.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被击中,则它是被甲击中的概率为( )A .0.45B .0.6C .0.65D .0.754.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A .(12)5B .C 25(12)5C .C 35(12)3D .C 25C 35(12)55.口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球,有放回地每次摸取一个球,定义数列{a n }:a n =⎩⎨⎧-1, 第n 次摸取红球1, 第n 次摸取白球,如果S n 为数列{a n }的前n 项和,那么S 7=3的概率为( )A .C 57(13)2·(23)5B .C 27(23)2·(13)5C .C 57(13)2·(13)5 D .C 37(13)2·(23)5 二、填空题6.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625,则该队员每次罚球的命中率为________.7.设随机变量X ~B (2,p ),随机变量Y ~B (3,p ),若P (X ≥1)=59,则P (Y ≥1)=________.8.有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率为________.三、解答题9.某同学参加3门课程的考试 .假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p 、q (p >q ),且不同课程(1)求该生至少有(2)求p ,q 的值.10.某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛,每场均决出胜负,设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的,并且胜场的概率是13.(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率; (2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率; (3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的期望和方差.11.某公交公司对某线路客源情况统计显示,公交车从每个停靠点出发后,(2)全线途经10个停靠点,若有2个以上(含2个)停靠点出发后乘客人数超过18人的概率大于0.9,公交公司就考虑在该线路增加一个班次,请问该线路需要增加班次吗?解析及答案一、选择题1.【解析】 P (ξ=3)=C 36(12)3(1-12)3=516. 【答案】 B 2.【解析】 因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13,14,15.因此,他们不去北京旅游的概率分别为23,34,45,至少有1人去北京旅游的概率为P =1-23×34×45=35. 【答案】 B 3.【解析】 设目标被击中为事件B ,目标被甲击中为事件A ,则由P (B )=0.6×0.5+0.4×0.5+0.6×0.5=0.8,得P (A |B )=P (AB )P (B )=P (A )P (B )=0.60.8=0.75.【答案】 D 4.【解析】 移动五次后位于点(2,3),所以质点P 必须向右移动两次,向上移动三次.故其概率为C 35(12)3·(12)2=C 35(12)5=C 25(12)5. 【答案】 B 5.【解析】 S 7=3即为7次摸球中,有5次摸到白球,2次摸到红球,又摸到红球的概率为23,摸到白球的概率为13.故所求概率为P =C 27(23)2(13)5. 【答案】 B 二、填空题 6.【解析】 设该队员每次罚球的命中率为P (0<P <1),则依题意有1-P 2=1625,又0<P <1,∴P =35.【答案】 35 7.【解析】 ∵X ~B (2,p ),∴P (X ≥1)=1-P (X =0)=1-C 02(1-p )2=59,解得p =13.又Y ~B (3,p ),∴P (Y ≥1)=1-P (Y =0)=1-C 03(1-p )3=1927.【答案】 1927 8.【解析】 设种子发芽为事件A ,种子成长为幼苗为事件B (发芽,又成活为幼苗).依题意P (B |A )=0.8,P (A )=0.9. 根据条件概率公式P (AB )=P (B |A )·P (A )=0.8×0.9=0.72,即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.【答案】 0.72 三、解答题 9.【解】 事件A i 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”,i =1,2,3.由题意知P (A 1)=45,P (A 2)=p ,P (A 3)=q .(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ=0”是对立的,所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1-P (ξ=0)=1-6125=119125. (2)由题意知P (ξ=0)=P (A 1·A 2·A 3)=15(1-p )(1-q )=6125,P (ξ=3)=P (A 1A 2A 3)=45pq =24125.整理得pq =625,p +q =1.由p >q ,可得p =35,q =25. 10.【解】 (1)P =(1-13)2×13=427.所以这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为427.(2)6场胜3场的情况有C 36种,∴P =C 36(13)3(1-13)3=20×127×827=160729.所以这支篮球队在6场比赛中恰胜3场的概率为160729. (3)由于ξ服从二项分布,即ξ~B (6,13),∴E (ξ)=6×13=2,D (ξ)=6×13×(1-13)=43.所以在6场比赛中这支篮球队胜场的期望为2,方差为43. 11.【解】 (1)由表知,乘客人数不超过24人的频率是0.10+0.15+0.25+0.20=0.70,则从每个停靠点出发后,乘客人数不超过24人的概率约是0.70.(2)由表知,从每个停靠点出发后,乘客人数超过18人的概率约为12,设途经10个停靠站,乘车人数超过18人的个数为X ,则X ~B (10,12),∴P (X ≥2)=1-P (X =0)-P (X =1)=1-C 010(1-12)10-C 110·12×(1-12)9=1-(12)10-10×(12)10=1 0131 024>0.9, 故该线路需要增加班次.。

概率分布列大题训练(一)

概率分布列大题训练(一)

概率分布列大题训练(一)1、设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若E(η)=53,D(η)=59,求a∶b∶c.2、某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示: X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率; (2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.3、某学生参加某高校的自主招生考试,须依次参加A,B,C,D,E五项考试,如果前四项中有两项不合格或第五项不合格,则该考生就被淘汰,考试即结束;考生未被淘汰时,一定继续参加后面的考试.已知每一项考试都是相互独立的,该考生参加A,B,C,D四项考试不合格的概率均为12,参加第五项不合格的概率为23.(1)求该考生被录取的概率;(2)记该考生参加考试的项数为X,求X的分布列其数学期望.4、某单位举行一次全体职工的象棋比赛(实行三局两胜制),甲、乙两人进入决赛.已知甲、乙两人平时进行过多次对弈,其中记录了30局的对弈结果如右表:根据表中的信息,预测在下列条件下的比赛结果:(1)在比赛时由掷硬币的方式决定谁先,试求甲在第一局获胜的概率; (2)若第一局由乙先,以后每局由负者先.①求甲以二比一获胜的概率;②若胜一局得2分,负一局得0分,用ξ表示甲在这场比赛中所得的分数,试求ξ的分布列与数学期望E(ξ).5、一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为12,且各件产品是否为优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.6、某人向一目标射击4次,每次击中目标的概率为13.该目标分为3个不同的部分,第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6,击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比. (1)设X表示目标被击中的次数,求X的分布列其数学期望; (2)若目标被击中2次,A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”,求P(A).7、某校校庆,各届校友纷至沓来,某班共来了n位校友(n>8且n∈N*),其中女校友6位,组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单,现随机从中选出2位校友代表,若选出的2位校友是一男一女,则称为“最佳组合”.(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12,求n的最大值;(2)当n=12时,设选出的2位校友代表中女校友人数为ξ,求ξ的分布列其数学期望.8、挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”,要想通过需要过五关:目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审.若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关,根据分析甲、乙、丙三位同学能通过复检关的概率分别是0.5,0.6,0.75,能通过文考关的概率分别是0.6,0.5,0.4,由于他们平时表现较好,都能通过政审关,若后三关之间通过与否没有影响. (1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率; (2)设只要通过后三关就可以被录取,求录取人数ξ的期望.9、在1,2,3,?,9这9个自然数中,任取3个数.(1)求这3个数中恰有1个是奇数的概率;(2)设ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为1,2,3,则有两组相邻的数1,2和2,3,此时ξ的值是2).求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ.10、某市准备从7名报名者(其中男4人,女3人)中选3人参加三个副局长职务竞选.(1)设所选3人中女副局长人数为X,求X的分布列其数学期望;(2)若选派三个副局长依次到A,B,C三个局上任,求A局是男副局长的情况下,B局为女副局长的概率.11、为适应2021年3月23日公安部交通管理局印发的《加强机动车驾驶人管理指导意见》,某驾校将小型汽车驾照考试科目二的培训测试调整为:从10个备选测试项目中随机抽取4个,只有选中的4个项目均测试合格,科目二的培训才算通过.已知甲对10个测试项目测试合格的概率均为0.8;乙对其中8个测试项目完全有合格把握,而对另2个测试项目根本不会. (1)求甲恰有2个测试项目合格的概率;(2)记乙的测试项目合格数为ξ,求ξ的分布列其数学期望.12、甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约.甲表示只要面试合格就签约,乙、丙约定两人面试都合格就一同签约,否则两个人都不签约.设甲面试合格的概率为12,乙、丙面试合格的概率都为13,且面试是否合格相互不影响.(1)求至少有一人面试合格的概率; (2)求签约人数的分布列和数学期望.感谢您的阅读,祝您生活愉快。

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高考分布列概率试题1.(湖南理18)某商店试销某种商品20天,获得如下数据:试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存货少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率。

(Ⅰ)求当天商品不进货的概率;(Ⅱ)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列和数学期型。

解(I)(“当天商品不进货”)(“当天商品销售量为0件”)(“当天商品销售量为1件”)(Ⅱ)由题意知,的可能取值为2,3.(“当天商品销售量为1件”)(“当天商品销售量为0件”)(“当天商品销售量为2件”)(“当天商品销售量为3件”)故的分布列为的数学期望为2.以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。

乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示。

(Ⅰ)如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差;(Ⅱ)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。

(注:方差,其中为,,……的平均数)解:(1)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10,所以平均数为方差为(Ⅱ)当X=9时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:9,9,11,11;乙组同学的植树棵数是:9,8,9,10。

分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有4×4=16种可能的结果,这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵,乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果,因此P(Y=17)=同理可得所以随机变量Y的分布列为:EY=17×P(Y=17)+18×P(Y=18)+19×P(Y=19)+20×P(Y=20)+21×P (Y=21)=17×+18×+19×+20×+21×=193.某产品按行业生产标准分成8个等级,等级系数X依次为1,2,……,8,其中X≥5为标准A,X≥为标准B,已知甲厂执行标准A生产该产品,产品的零售价为6元/件;乙厂执行标准B生产该产品,产品的零售价为4元/件,假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准(I)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示:且X1的数字期望EX1=6,求a,b的值;(II)为分析乙厂产品的等级系数X2,从该厂生产的产品中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 47 5 3 48 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数X2的数学期望.(III)在(I)、(II)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理由.注:(1)产品的“性价比”=;(2)“性价比”大的产品更具可购买性.解:本小题主要考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识,考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想,满分13分。

解:(I)因为又由X1的概率分布列得由(II)由已知得,样本的频率分布表如下:3 4 5 6 7 80.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数X2的概率分布列如下:3 4 5 6 7 8P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 所以即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.(III)乙厂的产品更具可购买性,理由如下:因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6,价格为6元/件,所以其性价比为因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8,价格为4元/件,所以其性价比为据此,乙厂的产品更具可购买性。

4.为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件,测量产品中的微量元素x,y的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据:(1)已知甲厂生产的产品共有98件,求乙厂生产的产品数量;(2)当产品中的微量元素x,y满足x≥175,且y≥75时,该产品为优等品。

用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量;(3)从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数的分布列极其均值(即数学期望)。

解:(1),即乙厂生产的产品数量为35件。

(2)易见只有编号为2,5的产品为优等品,所以乙厂生产的产品中的优等品故乙厂生产有大约(件)优等品,(3)的取值为0,1,2。

所以的分布列为故5.某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种家和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成n小块地,在总共2n 小块地中,随机选n小块地种植品种甲,另外n小块地种植品种乙.(I)假设n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为X,求X 的分布列和数学期望;(II)试验时每大块地分成8小块,即n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量(单位:kg/hm2)如下表:分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种?附:样本数据的的样本方差,其中为样本平均数.解:(I)X可能的取值为0,1,2,3,4,且即X的分布列为X的数学期望为(II)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:………………8分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:………………10分由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本方差差异不大,故应该选择种植品种乙.6.根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率;(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数。

求X 的期望。

解:记A表示事件:该地的1位车主购买甲种保险;B表示事件:该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险;C表示事件:该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种;D表示事件:该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买;(I)…………3分…………6分(II),即X服从二项分布,…………10分所以期望…………12分7.某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为A配方和B 配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每产品的质量指标值,得到时下面试验结果:A配方的频数分布表指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110] 频数8 20 42 22 8B配方的频数分布表指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110] 频数 4 12 42 32 10(I)分别估计用A配方,B配方生产的产品的优质品率;(II)已知用B配方生产的一种产品利润y(单位:元)与其质量指标值t的关系式为从用B配方生产的产品中任取一件,其利润记为X(单位:元).求X的分布列及数学期望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率).解(Ⅰ)由试验结果知,用A配方生产的产品中优质的平率为,所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知,用B配方生产的产品中优质品的频率为,所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42(Ⅱ)用B配方生产的100件产品中,其质量指标值落入区间的频率分别为0.04,,054,0.42,因此P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,即X的分布列为X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.688.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛,甲对A,乙对B,丙对C各一盘,已知甲胜A,乙胜B,丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立。

(Ⅰ)求红队至少两名队员获胜的概率;(Ⅱ)用表示红队队员获胜的总盘数,求的分布列和数学期望.解:(I)设甲胜A的事件为D,乙胜B的事件为E,丙胜C的事件为F,则分别表示甲不胜A、乙不胜B,丙不胜C的事件。

因为由对立事件的概率公式知红队至少两人获胜的事件有:由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立,因此红队至少两人获胜的概率为(II)由题意知可能的取值为0,1,2,3。

又由(I)知是两两互斥事件,且各盘比赛的结果相互独立,因此由对立事件的概率公式得所以的分布列为:因此9.如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,据统计,通过两条路径所用的时间互不影响,所用时间落在各时间段内的频率如下表:时间(分钟)10~20 20~30 30~40 40~50 50~60L1的频率0.1 0.2 0.3 0.2 0.2L2的频率0 0.1 0.4 0.4 0.1 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。

(Ⅰ)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径?(Ⅱ)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(Ⅰ)的选择方案,求X的分布列和数学期望。

解(Ⅰ)Ai表示事件“甲选择路径Li时,40分钟内赶到火车站”,Bi表示事件“乙选择路径Li时,50分钟内赶到火车站”,i=1,2.用频率估计相应的概率可得P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)>P(A2),甲应选择LiP(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)>P(B1),乙应选择L2.(Ⅱ)A,B分别表示针对(Ⅰ)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站,由(Ⅰ)知,又由题意知,A,B独立,的分布列为X 0 1 2P 0.04 0.42 0.5410.本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多。

某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费,超过两小时的收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)。

有人独立来该租车点则车骑游。

各租一车一次。

设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为;两人租车时间都不会超过四小时。

(Ⅰ)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;(Ⅱ)求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量,求的分布列与数学期望;解:(1)所付费用相同即为元。

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