求解度约束最小生成树问题的新算法
量子遗传算法求解度约束最小生成树
中 图法分 类 号：Ｐ ０ ． Ｔ ３ １ 文 献标识 码 ： ６ Ａ 文章 编号 ：６ ２ ２ ６ （０ ０ ０ — ０ ８ ０ １７ — ８ ８ ２ １ ）６ ０ ３ — ５
（ ） 度 约束 ， １为 约束 条 件 （ ） （ ） ２ ，３ 保证 了所得 到 的是一 棵 生成树 。
２２量 子遗 传 算 法 ．
遗 传算 法 （ｅ ｅ ｃａ ｏｉ ｍ， Ａ） 模拟 生 物进 化过 程 中优 胜劣 汰 规则 与 群体 内部 染 色体信 息 交换 ｇｎ ｔ ｌ ｒ ｈ Ｇ 是 ｉ ｇ ｔ
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这里， １边（√ 在最优树中， ， ） 产０为其他。 变量 ＩＩ ｓ为集合Ｓ中所含图 Ｇ的接点个数。 约束条件
有 成熟 的算法 进行 有 效求解 。 圆但如果 对生 成树 中的各 顶点 度数（ｅｒ） ｄ ｇｅ再加 上一 定 的限制 。 能超 过 即不 预 先 给定 的数值 ， 问题 的性 质 将变 得截 然不 同 。在解 决不 同研 究领 域 中的实 际 问题 时 ， 则 由于 要求 不 同 ， 往会 对最 小 生成 树 问题 产 生许 多 限制 ， 往 节点 带 有 度约束 的最小 生 成树 就 是其 中一类重 要 的度 约
求最小生成树问题,常用的方法
求最小生成树问题,常用的方法最小生成树（Minimum Spanning Tree）问题是一个经典的图论问题，其涉及到给定一个加权无向图，求其最小的生成树。
在实际问题中，求解最小生成树问题非常重要。
例如，最小生成树问题被广泛应用于网络设计、电路布线、机器学习等众多领域。
本文将介绍求解最小生成树问题的常用方法，包括Kruskal算法、Prim算法和Boruvka算法。
我们将详细介绍这些算法的原理和步骤，并给出各种算法的优缺点和适用情况。
1. Kruskal算法Kruskal算法是一种基于贪心策略的算法。
它首先将所有边按照权重大小排序，然后从小到大遍历边。
对于每个边，如果它连接了两个不同的连通块，则将这两个连通块合并成一个。
重复这个过程，直到所有的边都被考虑完。
最终的联通块就构成了最小生成树。
Kruskal算法具有简单、高效、容易实现的特点。
它的时间复杂度为O(E log E)，其中E为边的数量。
Kruskal 算法的实现需要使用并查集。
Kruskal算法的优点是它是一种局部最优的策略，因此它能够在众多情况下得到最优解。
另外，它能够处理稀疏图和稠密图，因为它不需要全局访问图的结构。
2. Prim算法Prim算法也是一种基于贪心策略的算法。
它从一个任意的节点开始，不断加入与已经加入的节点相邻的最短边，直到所有节点都被加入。
这个过程类似于将一个连通块逐渐扩张为最小生成树。
Prim算法的时间复杂度为O(E log V)，其中E为边的数量，V为节点的数量。
Prim算法的实现需要使用堆数据结构来进行边的最短距离的管理。
Prim算法的优点是它比Kruskal算法更加容易实现和理解。
另外，Prim算法能够处理不连通图，因为它从任意一个节点开始加入边。
此外，Prim算法也能够处理含有负权重的边的图。
3. Boruvka算法Boruvka算法是一种基于分治策略的算法。
它首先将所有的节点看作单独的连通块，然后每个连通块都选择当前权重最小的边加入。
最小生成树克鲁斯卡尔算法详解
最小生成树克鲁斯卡尔算法详解转载自：数据结构中图结构的最小生成树克鲁斯卡尔算法详解我一直想把克鲁斯卡尔算法实现，但是由于马上就要考试了，而且自己由于天气寒冷等各种原因没能如愿。
不过在昨天一天的努力中，我终于完成了克鲁斯卡尔算法的实现。
算法是c++的，图的数据结构是以邻接矩阵为基础，并且使用了模板，所以可以对任何类型的顶点进行最小生成树的生成。
克鲁斯卡尔算法中的核心思想就是逐个在边的集合中找到最小的边，如果满足条件就将其构造，最后生成一个最小生成树。
它首先是一系列的顶点集合，并没有边，然后我们从邻接矩阵中寻找最小的边，看看它是否和现有的边连接成一个环，如果连接成环，则舍弃，另外取其它的边。
如果不连接成环，则接受这个边，并把其纳入集合中。
以此类推。
我们知道，一课有n个顶点的树(无论是树还是二叉树)，它必定有n-1个边。
我们只需要对上述操作循环至少n-1次(因为可能选出的边会构成环，不是我们需要的边)。
下面就是我寻找最小边的c++代码：Code：min=INFINITY；for(i=0；i vexnum；i++){for(j=i；j vexnum；j++){if(arcs[i][j].adj！=INFINITY&&minarcs[i][j].adj){if(arcs[i][j].adj=vexSet.lowcost&&！vexSet.IsAlreadyIn(i,j)){min=arcs[i][j].adj；track_i=i；track_j=j；}}}}首先让min为最大(INFINITY)，然后让其与邻接矩阵的一个个元素进行比较，我在遍历邻接矩阵的时候使用的是上三角(◥)法，因为无向网的邻接矩阵是对称矩阵。
当然我们必须记录满足调件的顶点的下标，所以track_i、track_j就变得必要了。
又因为我们要满足每次选取的最小权值的边呈递增数列，所以arcs[i][j].adj vexSet.lowcost(其中vexSet.lowcost为上次保存的最小边)就变得必要了。
2.kruskal算法求解最小生成树算法
Kruskal算法是一种用于求解最小生成树的算法，它的主要特点是按边的权值大小进行排序，并逐步添加边，直到构成一棵生成树为止。
在实际应用中，Kruskal算法通常被用来解决各种最小生成树的问题，比如公路修建、通信网络的建设、电路板的设计等等。
本文将着重介绍Kruskal算法的原理、步骤和具体应用，以期为读者提供全面的了解和指导。
一、Kruskal算法的原理Kruskal算法是一种基于贪心策略的算法，它通过不断地选择边来构建生成树，直到所有的顶点都被包含在生成树中。
其基本原理可以概括如下：1. 将图中的所有边按权值大小进行排序。
2. 依次从小到大选择边，并检查是否形成环路。
3. 如果没有形成环路，则将该边添加到生成树中。
Kruskal算法的核心思想是“先小后大”，即先选择权值较小的边，直到所有的顶点都被包含在生成树中。
由于Kruskal算法是基于边来构建生成树的，因此它适用于稀疏图和稠密图，而且在实际应用中通常具有较好的效率。
二、Kruskal算法的步骤Kruskal算法的具体步骤可以简单总结为以下几个步骤：1. 初始化：将图中的所有边按权值大小进行排序。
2. 创建一个空的数组T来存储最小生成树的边。
3. 依次从排序后的边集合中选择边e，并检查是否添加e会形成环路。
4. 如果不形成环路，则将边e添加到数组T中。
5. 直到T中包含了n-1条边为止，其中n为顶点的个数。
三、Kruskal算法的具体实现下面我们通过一个简单的示例来说明Kruskal算法的具体实现步骤。
示例：假设有如下的图G和边集合E：顶点集合V：{A, B, C, D, E, F, G, H}边集合E：{(A, B, 4), (A, H, 8), (B, C, 8), (B, H, 11), (C, D, 7), (C, F, 4), (C, I, 2), (D, E, 9), (D, F, 14), (E, F, 10), (F, G, 2), (G, H, 1), (G, I, 6), (H, I, 7)}我们可以按照如下的步骤来求解最小生成树：1. 首先对边集合E进行按权值的排序：(E, F, 2), (G, H, 1), (C, I, 2), (A, B, 4), (C, F, 4), (H, I, 7), (C, D, 7), (D, E, 9), (A, H, 8), (B, C, 8), (G, I, 6), (B, H, 11), (D, F, 14)2. 初始化一个空的数组T来存储最小生成树的边，初始化一个数组parent来记录每个顶点的父节点。
求解度约束最小生成树的新的快速算法
ＤＯ ：０３ ７￣ｉ ｎ１０ — ３ １ ０ ８ １ １ 文章编号 ：０ ２ ８ ３ （ ０ ８３ － ０ １０ 文献标识码 ： 中图分类号 ：Ｐ ０ Ｉ １． ８ ．ｓ． ２ ８３ ． ０ ． ． ４ ７ ｓ ０ ２ ３０ １０ — ３ １２ ０ ）１ ０ ５ —２ Ａ Ｔ３１
摘
要： 针对度约束最小生成树 问题 ， 出了一种新的快速算法。 提 新的快速 算法分为两个主要部分 ， 第一部分从 一棵最小生成树 出
发， 构造一棵度约束树。第二部分设计 了一种改进 策略 ， 从第一部分求得的度 约束树 出发 ， 每次去掉树的一条边 ， 将顶 点按照连通 性划分成两个集合 ， 在不违反度约束的情况下 ， 从这两个集合构成的边割 中， 选择 一条权值减少最大的边添加到图中。 通过 大量的
Ｃ ｍ ｕ ｒＥ ｎｅｉ ｎ ｐ ｌ ａｏｓ ｏ ｐ ｔ ， ｅｒ ｇ ａｄ Ａ ｐｉ ｔ ｎ 计算机工０ ８４ ３ ） ４ １
求解 度约束最小 生成树 的新 的快 速算法
王立 东 ， 刘红 卫 ， 陈宏 钦
Ｗ ＡＮＧ Ｌｉ ｄ ｎ ＬＩ － ｏ ｇ， Ｕ Ｈｏ ｇ ｗｅ ， ｎ － ｉ ＣＨＥＮ Ｈｏ ｇ ｉ ｎ —ｑｎ
ｃ ｌ ｔｓｓ ｓ ｏ ｈ ｔ ｔｅ ｎ ｗ ｆ ｓ ａｇ ｒ ｈ ｈ ｓ ｖ ｒ ｏ ｄ ｐ ｒ ｒ ｎ ｅ ａ ｅ ｔ ｈ ｗ ｔ ａ ｈ ｅ ａ ｔ ｌｏ ｔ ｍ ａ ｅｙ ｇ ｏ ｅ ｏ ｍａ ｃ ． ｉ ｆ
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最小生成树普里姆算法
最小生成树普里姆算法一、前言最小生成树是图论中的重要概念，其应用广泛，如网络设计、电路设计、机器人路径规划等。
普里姆算法是一种用于求解最小生成树的经典算法之一，本文将详细介绍普里姆算法的原理和实现。
二、基本概念1. 最小生成树：在一个无向连通图中，生成树是指包含所有顶点的树，最小生成树则是指权值和最小的生成树。
2. 权值：在图中每条边上都有一个权值，表示该边的重要性或代价。
通常情况下，权值越小，则该边越重要或者代价越低。
3. 顶点集合：一个图可以由若干个顶点组成，顶点集合即为这些顶点组成的集合。
4. 边集合：在一个图中，连接两个顶点之间的线段称为边，在这些边构成的集合即为边集合。
三、普里姆算法原理普里姆算法是一种贪心算法，其基本思想是从任意一个节点开始构建最小生成树，并逐步扩展节点集合。
具体步骤如下：1. 选择任意一个节点作为起始节点，将其加入节点集合中。
2. 从节点集合中的所有节点出发，找到连接到其他节点的边中权值最小的边，并将连接的节点加入节点集合中。
3. 重复步骤2，直到所有顶点都被加入节点集合中。
4. 最终得到的树即为最小生成树。
四、普里姆算法实现普里姆算法可以用优先队列（堆）来实现，以提高效率。
具体实现步骤如下：1. 初始化一个空的最小生成树和一个空的优先队列。
2. 随机选择一个起始顶点，并将其加入最小生成树和优先队列中。
3. 取出堆顶元素（即权值最小的边），判断该边所连的两个顶点是否已经在最小生成树中。
如果两个顶点都已经在，则跳过；如果只有一个顶点在，则将另一个顶点加入最小生成树和优先队列中；如果两个顶点都不在，则将这两个顶点和这条边加入最小生成树和优先队列中。
4. 重复步骤3，直到所有顶点都被加入最小生成树中。
五、代码实现以下是基于邻接矩阵实现普里姆算法的C++代码：```#include <iostream>#include <queue>using namespace std;const int MAXN = 100;const int INF = 0x3f3f3f3f;int g[MAXN][MAXN]; // 邻接矩阵表示图int n; // 图中顶点数struct Edge {int from, to, weight;bool operator<(const Edge& e) const {return weight > e.weight;}};priority_queue<Edge> q; // 优先队列（堆）void prim() {bool vis[MAXN] = {false}; // 记录每个顶点是否已经在最小生成树中vis[0] = true; // 从第一个顶点开始构建最小生成树for (int i = 1; i < n; i++) {if (g[0][i] != INF) { // 将所有与第一个顶点相连的边加入优先队列中q.push({0, i, g[0][i]});}}while (!q.empty()) {Edge e = q.top();q.pop();if (vis[e.from] && vis[e.to]) { // 如果这条边所连的两个顶点都已经在最小生成树中，则跳过continue;}cout << e.from << " -> " << e.to << " : " << e.weight << endl;if (!vis[e.from]) { // 如果这条边所连的起始顶点不在最小生成树中，则将其加入最小生成树vis[e.from] = true;for (int i = 0; i < n; i++) {if (g[e.from][i] != INF && !vis[i]) { // 将所有与该顶点相连的边加入优先队列中q.push({e.from, i, g[e.from][i]});}}}if (!vis[e.to]) { // 如果这条边所连的终止顶点不在最小生成树中，则将其加入最小生成树vis[e.to] = true;for (int i = 0; i < n; i++) {if (g[e.to][i] != INF && !vis[i]) { // 将所有与该顶点相连的边加入优先队列中q.push({e.to, i, g[e.to][i]});}}}}}int main() {cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {cin >> g[i][j];if (g[i][j] == 0) { // 如果两个顶点之间没有边，则将其权值设为INFg[i][j] = INF;}}}prim();return 0;}```六、总结普里姆算法是一种简单易懂、实现方便的求解最小生成树的算法。
基于prüfer数的遗传算法求解度约束最小树问题
Ｏ（ｂ的空 间［ ｒ） ８ １ 。本文将运用基于 ｐｔｅ 数编码的遗传算法求解 ｒｆｒ ｌ Ｄ ＭＳ Ｃ Ｔ问题 ， 与启发式算法 、 并 快速近似算法的结果进行比较
研究。
年提出的 ， 目的是寻找 电力线 网络最优的布局ｌ ｌ １ 。在实 际问题 中 ， 成树的结构往往需要满 足各种不 同的约束 条件 ， 生 于是产 生了一系列带约束的最小树问题。 例如 ， 在最小生成树 问题 中 ，
ｅｆ ｃｉｅ ｓ ｏ ｈｅ ｅ ｅ ｉ ａｇ ｒｔ ｍ ｉ ｐｒ ｔ ． ｆｅ ｔｖ ｎｅ ｓ ｆ ｔ ｇ ｎ ｔｃ ｌｏ ｈ ｉ ｎ ａｃｉ ｃｅ
Ｋｅ ｏ ｄ ：ｐ ｔｅ ｕ ｂ ｒＧ ｎ ｔ ｌｏ ｔｍ（ Ａ） Ｍｉｉ ｍ Ｓ ａ ｎｎ ｒｅ ＭＳ ）ｄ ｇｅ — ｏ ｓ ａ ｅ ｙ ｗ ｒ ｓ ｒｆｒ ｎ ｉ Ｔ ｅ （ Ｔ ； ｅ ｒｅ ｃｎ ｔ ｉ ｄ ｉ ｃ ｉ ｇ ｒｎ
ｃ ｍｐｌｘｔ ． ｉ’ ｖ ｒ ｉ ｏ ｔ ｔ ｃａ ｓ ｏ ｔ ｖ ｌ ｅ ｎ ｏ ｅ ｉｙＢｕｔ ｔ Ｓ ｅ ｙ ｍｐ ｒａｎ ｂｅ ｕ ｅ ｆ ｉｓ ａ ｕ ｉ ｐｒ ｃｉ ｅＩ ｔ ｉ ｐａ ｅｒ ｗｅ ｉｃ ｓ ａ ｔｃ ．ｎ ｈ ｓ ｐ ， ｄ ｓ ｕｓ ｈｏ ｗ ｔ ｓ ｖ ｔ ｓ ｏ ｅ ｂ ｍｅ ｎｓ ｏ ｏｌｅ ｈｉ ｐｒｂｌｍ ｙ ａ
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Ｍ Ｕ Ｙｕ ｎ—ｚＩ， ｌ ＺＨＯＵ Ｇｅ ｇ ｉ ｎ ｔｃ ｌ ｏ ｉ ｍ ｂ ｓ ｄ ｎ ｒ ｆ ｒ ｕ ｉ ｎ— ｕ ． Ｇｅ ｅ ａ ｇ ｒｔ ｉ ｈ ａ ｅ ｏ ｐ ｆ ｅ ｎ ｍｂ ｒ ｏ ｓ ｌ ｉ ｇ ｉ ｅ ｆ ｒ ｏ ｖ ｎ Ｄｅ ｒ ｅ－ ｎ ｔａ ｎ ｄ ｇ ｅ Ｃｏ ｓ ｒ ｉ ｅ Ｍ ｉ ｉ ｕ ｎｍ ｍ
克里斯卡尔算法最小生成树
克里斯卡尔算法最小生成树什么是克里斯卡尔算法？克里斯卡尔算法是一种求解最小生成树(Minimum Spanning Tree, MST)的算法，它采用贪心算法的思想，在给定一个连通图的情况下，通过逐步选择边来生成树，最终得到权值和最小的生成树。
为了更好地理解克里斯卡尔算法，我们首先要明确最小生成树的概念。
在一个连通图中，最小生成树是指连接图中所有顶点的树，并且树上所有边的权值之和最小。
生成树是一个无环的连通图，具有n个顶点的连通图的生成树必然含有n-1条边。
克里斯卡尔算法的步骤如下：1. 初始化：将图中的每个顶点看作是一个单独的树，每个树只包含一个节点。
同时，创建一个空的边集合用于存储最小生成树的边。
2. 对所有边按照权值进行升序排列。
3. 依次选择权值最小的边，并判断该边连接的两个节点是否属于不同的树（不属于同一个连通分量）。
4. 如果两个节点不属于同一个树，则将这条边添加到边集合中，并将两个节点合并为同一个连通分量。
5. 重复步骤3和步骤4，直到最小生成树的边数达到n-1条为止。
6. 返回边集合，即为最小生成树。
通过这个步骤的执行，克里斯卡尔算法能够保证运行过程中生成的树权值和是最小的。
这是因为在选择边时，我们总是选择权值最小且不会形成环路的边，这样生成的树就不会包含多余的边。
需要注意的是，克里斯卡尔算法适用于带权无向连通图，如果是带权有向图，需要先进行转化为无向图的操作。
另外，克里斯卡尔算法在实际应用中有着广泛的应用，比如网络设计、电路设计以及地图路线规划等领域。
总结一下，克里斯卡尔算法是一种通过贪心思想解决最小生成树问题的算法。
它通过逐步选择权值最小的边，并将不同的树合并为一个连通分量的方式，生成一个权值和最小的生成树。
在实际应用中，克里斯卡尔算法具有重要的意义，能够为我们提供高效、经济的解决方案。
通过了解和学习克里斯卡尔算法，我们能够更好地理解图论中的最小生成树问题，并运用其解决实际问题。
最小生成树克鲁斯卡尔算法
最小生成树克鲁斯卡尔算法
最小生成树克鲁斯卡尔算法是一种基于贪心思想的图论算法，主
要用于解决图的最小生成树问题。
该算法精简高效，在实际应用中广
泛使用。
最小生成树问题是指，在一个带权无向图中，选取一些边，使得
它们组成一棵树，且这棵树的所有边的权值之和最小。
这个问题可以
用克鲁斯卡尔算法来解决。
克鲁斯卡尔算法的思想是，首先将所有边按照权值从小到大排序，依次将每条边加入到已选的边集合中，如果加入该边后形成了环路，
则不选择该边。
最终生成的边集合就是该图的最小生成树。
这个算法的时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边数。
虽然速度不
如其他复杂度更快的算法，但克鲁斯卡尔算法的代码简洁易懂，并且
适用于边数较小的图，正因为如此，在实际应用中它的使用非常广泛。
在大型计算机网络中，最小生成树算法常用于广域网的拓扑设计
问题。
在城市交通规划中，也可以应用最小生成树算法，来设计更加
合理的交通路线。
需要注意的是，最小生成树仅仅是起到了将所有节点连接起来的
作用，它并不保证任意两个节点之间都有最短路径。
如果需要求解两
点间的最短路径问题，需要使用单源最短路径算法，如Dijkstra算法
和Bellman-Ford算法等。
总之，最小生成树克鲁斯卡尔算法在实际应用中扮演着重要的角色，尤其在计算机网络和城市规划领域的应用非常广泛。
学习并掌握这个算法，对于解决实际问题具有重要的指导意义。
最小生成树算法详解
最小生成树算法详解最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是图论中的一个经典问题，它是指在一个加权连通图中找出一棵包含所有顶点且边权值之和最小的树。
在解决实际问题中，最小生成树算法被广泛应用于网络规划、电力传输、城市道路建设等领域。
本文将详细介绍最小生成树算法的原理及常见的两种算法：Prim算法和Kruskal算法。
一、最小生成树算法原理最小生成树算法的核心思想是贪心算法。
其基本原理是从图的某个顶点开始，逐步选取当前顶点对应的边中权值最小的边，并确保选取的边不会构成环，直到所有顶点都被连接为止。
具体实现最小生成树算法的方法有多种，两种常见的算法是Prim 算法和Kruskal算法。
二、Prim算法Prim算法是一种基于顶点的贪心算法。
它从任意一个顶点开始，逐渐扩展生成树的规模，直到生成整个最小生成树。
算法的具体步骤如下：1. 初始化一个空的生成树集合和一个空的顶点集合，将任意一个顶点加入到顶点集合中。
2. 从顶点集合中选择一个顶点，将其加入到生成树集合中。
3. 以生成树集合中的顶点为起点，寻找与之相邻的顶点中权值最小的边，并将该边与对应的顶点加入到最小生成树中。
4. 重复第3步，直到生成树中包含所有顶点。
Prim算法是一种典型的贪心算法，其时间复杂度为O(V^2)，其中V为顶点数。
三、Kruskal算法Kruskal算法是一种基于边的贪心算法。
它首先将所有边按照权值从小到大进行排序，然后从小到大依次选择边，判断选取的边是否与已选取的边构成环，若不构成环，则将该边加入到最小生成树中。
算法的具体步骤如下：1. 初始化一个空的生成树集合。
2. 将图中的所有边按照权值进行排序。
3. 依次选择权值最小的边，判断其两个顶点是否属于同一个连通分量，若不属于，则将该边加入到最小生成树中。
4. 重复第3步，直到最小生成树中包含所有顶点。
Kruskal算法通过并查集来判断两个顶点是否属于同一个连通分量，从而避免形成环。
度约束欧氏Steiner最小树问题及其求解
ｍ ｉ ｍ ａ ｒ ｅ ｐｒ ｂ ｅ ｎｉ ｌｔ ｅ ｏ ｌ ｍ
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最小生成树算法及其算法
最小生成树算法及其算法最小生成树(Minimum Spanning Tree，简称MST)是一种在无向图中找到一棵包含所有顶点，且边权重之和最小的树的算法。
MST应用广泛，例如在通信网络中铺设光缆、构建公路网，以及电力线路规划等方面。
常见的求解MST的算法有Prim算法和Kruskal算法。
1. Prim算法：Prim算法采用贪心的策略，在每一步选择当前生成树与未选择的顶点中，权重最小的边，并将该边所连接的顶点加入生成树中。
Prim算法的具体步骤如下：1)初始化一个空生成树，将其中一个顶点加入生成树中。
2)在未选择的顶点中，选择权重最小的边，并将其所连接的顶点加入生成树中，同时将边加入生成树中。
3)重复上述步骤，直到所有的顶点都加入生成树中。
Prim算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为顶点数。
如果使用优先队列来选取权重最小的边，时间复杂度可以优化到O(E log V)，其中E 为边数。
2. Kruskal算法：Kruskal算法也是一种贪心算法，它首先将所有边按照权重从小到大排序，然后按顺序将边加入生成树中。
在加入边的过程中，要注意不能形成环路。
Kruskal算法的具体步骤如下：1)初始化一个空生成树。
2)将所有边按照权重从小到大排序。
3)依次选择权重最小的边，将该边所连接的顶点加入生成树中。
如果加入该边会形成环路，则舍弃该边。
4)重复上述步骤，直到生成树中包含了所有的顶点。
Kruskal算法的时间复杂度为O(E log E)，其中E为边数。
由于排序边的时间复杂度较高，Kruskal算法通常使用并查集来快速判断是否形成环路，从而优化算法的效率。
无论是Prim算法还是Kruskal算法，得到的最小生成树在边数上都等于顶点数减1，且具有最小权重和。
这是由于MST的定义决定的。
总之，最小生成树算法是在图中找到一棵包含所有顶点的树，使得边的权重之和最小。
Prim算法和Kruskal算法是两种经典的求解最小生成树问题的贪心算法，它们的时间复杂度分别为O(V^2)和O(E log E)。
求解度约束最小生成树的新的遗传算法
Ｅ． Ｅ 中有 ｍ 条 边 。 这些 边 按 照花 费 的 大小 升 序 排 列 ． 每 设 将 则 条 边 与 一 个 ｌｍ 的序 数 相 对 应 。序 集 表 示 法 是 指 将 生 成树 的 ～ 每 条 边 用 与其 相 对 应 的 序 数 来 代 替 组 成 的序 数 集 合 来 表示 生
所谓的度约束最小生成树问题就是要在已知网络中求一棵连接着所有网络节点且花费其中网络节点之间的连接可以代表节点之间的传输距离线路的质量或者网络延迟以下统称为花费最小的一棵树且该树的各个节点的度均不超过一个给定的约束
维ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ资讯
求解 度约束最小 生成树 的新 的遗传 算法
Ｋｅ ｒ ｓ ｅ ｅｉ ｌｏ ｔｍ； ｎｍｕ ｐ ｎ ｉｇ Ｔ ｅ （ Ｔ）ｇｏ ａ ｏ ｖ ｒｅ ｃ ｙ ｗｏ ｄ ：ｇ ｎ ｔ ａｇ ｒ ｈ Ｍｉｉ ｍ Ｓ ａ ｎｎ ｒｅ ＭＳ ；ｌｂ ｌｃ ｎ ｅｇ ｎ ｅ ｃ ｉ
１ 引 言
许 多 网 络 优 化 问题 ， 通 信 网 、 播 主 干 网 等 网 络 拓 扑 结 如 多 构 设计 问题 ， 先要 求 计算 最小 生成树 （ ｎｍ ｍ Ｓ ａ ｎ ｇＴ ｅ， 首 Ｍｉ ｕ ｐｎ ｉ ｒｅ ｉ ｎ Ｍｓ ） Ｔ 问题 。Ｍｓ 算 法 有 时 候 会 生 成 一 个 最 小 生 成 树 ， 的 所 Ｔ 它 有 边 都 连接 到一 两 个 网 络 节 点 上 。这 个 解 决 方 案 虽 然 理 想 ， 但 因为 过 度依 赖 很 少 的 几 个 节 点 而使 之 变 得 非 常 脆 弱 ， 旦 出 现 一 问题 ． 很 难 修 复 ， 无 法 保 证 网络 负荷 的均 衡 。此 外 ． 许 多 就 且 将 边 连 接 到一 个 节 点 的 技 术 很 难 实 现或 者 代 价 非 常 昂贵 。 因此 ， 为 了规 划合 理 的传 输 网络 ， 有必 要 限 定 连 接 到 节 点 的边 的 数 量
一种基于遗传算法的度约束最小生成树求解方法
均解为 179118, 最好解为 169, 求取该值的成功率
84% ,其中在最终解中出现次数较多的最好值染色
体分别是 : p = " 52656383" 和 p = " 11563283" ,均对 应生成树 T = 〈1, 2 〉 〈2, 6 〉 ,〈3, 5 〉 ,〈4, 6 〉 ,〈6, ,
第 36 卷 第 1期 曲 阜 师 范 大 学 学 报 Vol . 36 No. 1 Journal of Qufu Normal University Jan. 2010 2010 年 1 月
一种基于遗传算法的度约束最小生成树求解方法
帅训波 , 马书南
3 收稿日期 : 2009 2 04 2 02
[ 32 5]
第二元素集 :
2
3Hale Waihona Puke 4图 1 集合 A 表示 DCM ST的两段编码 由图 G的最小生成树定义知 , 任取顶点 vi , 必有 一条边与其关联 , 即存在〈 vi , vj 〉 ∈ A 或〈 vj , vi 〉 ∈ A. 也就是说 , 如果从 A 中的各个序偶中取一个元素 , 可 以组成 n - 1 各不相同数的排列 . 由此不难理解 , 求
( 4 ) 遍历确定后的修正染色体所存储的数组 ,
在此染色体修正算法中 , 随机产生新顶点所采 用的启发式信息 , 根据各个非法基因所违反的约束 条件而具体灵活控制 . 对于序偶所表示的边而在图 中不存在的情况 , 也可以将其看成非法基因对待进 行修正 , 但在本文的研究过程中 , 为了兼顾保持算法 的效率性 , 并未将其看出非法基因 , 而是将图中不 存在边的权值赋一个较大值 , 从而在选择操作时大 概率地将其淘汰 . 213 算法构造 采用分段编码方式 , 并对遗传操作过程中产生 的非法染色体进行修正 , 求解度约束最小生成树的 遗传算法构造如下 : Step 1: 根据 DCM ST问题约束条件 , 生成由 n个 自然数表示的染色体种群 , 初始全局最优解为 p; Step 2:按照 211 节所述的分段编码设计流程 , 将种群中每个由 n 个自然数表示的染色体进行“ 译 码” , 即 :先得到序偶的两个元素集 , 然后组成 n - 1 条边 , 表示图的一个生成树 . 并计算各个染色体的 适应度 ; Step 3:根据排序选择算法对群体进行选择 , 如 果本代的最优解优于 p, 则 p被本代最优解替代 ; Step 4:应用均匀杂交算子和点式变异算子 , 进 行遗传操作 , 对当前种群所示解空间进行搜索 ; Step 5:启用 212 节的染色体修正算法 , 对遗传 操作过程中产生的各个非法染色体进行修正 ; Step 6: 判断是否满足算法结束条件 , 如果满 足 , 则输出最终解 p, 否则 , 转向 Step 2; Step 7:输出最终求解结果 . 算法构造过程中采用了排序选择 , 以保证算法 [ 12, 13 ] 具有良好的全局收敛性 . 本算法采用自然数串 式的分段编码表示 , 染色体长度为图的顶点数 n, 在 实际问题应用中 n 的值通常不大 , 因此在遗传操作 过程中往往存在群体模式较快集中的现象 . 借鉴遗 [ 92 11 ] 传算子优化组合应用思想 , 选用均匀杂交算子 与点式变异算子组合应用 , 进行优势互补 , 从而使得 [ 10, 11 ] 遗传算法具有良好的整体寻优能力 .
求解度约束最小生成树的一种改进算法
Ｋｅ ｗｏ ￣ ｙ ｒ
Ｍａ ｉ ｍ ｅ ｅ Ｄ ｇ ｅ ｏ ｓｒ ｉｔ Ｉ ｒｖ ｄ ａｇ ｒ ｈ ｘ ｍｕ ｄ ｇ ｅ ｒ ｅ ｅ ｃ ｎ ｔａｎ ｍｐ ｏ ｅ ｏ ｉ ｍ Ｍｉ ｉ ｍ ｐ ｎ ｉ ｇｔｅ ｒ ｌ ｔ ｎｍｕ ｓ ａ ｎ ｎ ｒ ｅ
ｔ ｅ ｐ ｅ ｓ ｆｗ ｒａ ｔ ｇ ｔ ｅ ｍ￣ ｉ ｍ ｅ ｅ ｆｔ ｅｓ ｅ ｉ ｅ ｏ ｅ ｈ ｓａｇ ｒ ｈ ｇ ｔ ｔｅ ｍｉ ｉ ｍ ｐ ｎ ｉｇ ｔ ｅ ｏ ｅ ｓ ｅ ｉ ｅ ｏ ｅｗｉ ｈ ｒ ｍｉ ｏ ａ ｒ ｎ ｉ ｈ ｅ ｎ ｍｕ ｄ ｇ ｅ ｏ ｐ ｃｆ ｄ ｎ ｄ ，ｔｉ ｌｏ ｔ ｍ ｅｓ ｈ ｎ ｍｕ ｓ ａ ｎ ｎ ｅ ｆｔ ｐ ｃｆ ｄ ｎ ｄ ｔ ｒ ｈ ｉ ｉ ｒ ｈ ｉ ｈ
ｍａ ｉ ｍ ｅ ｒ ｅ ｃ ｎ ｔａｎ ｅ ｗ ｒ ｙ ａ ｄ ｎ ｎ ｏ ｃ ｒｅ ｔｎ ｔ ｒ ｈ ｅ ｅ ｔ ｄ ｅ ｇ ｔ ｎ ｍｕ ｗｅｇ ｔｉ ｅ ｉ ｕ ｌ． Ａｔｔ ｅ ｓ ｍｅ ｘ ｍｕ ｄ ｇ ｅ ｏ ｓｒ ｉｔｉ ｎ ｔ ｏ ｋ Ｇ ｂ ｄ ｉｇ ｉ ｔ ｕ ｒｎ ｅｗｏ ｋ ｔｅ ｓ ｌ ｃｅ ｄ ｅ ｗｉ ｍｉｉ ｍ ｉｈ ｎ ｒ ｓ ａ ｓ ｎ ｈ ｄ ｈ ａ ｔ ｉ ｍｅ，ｔ ｅ ｃ ｍｐ ｅ ｉ ｆｔ ｅ ｎ ｗ ａｇ ｒ ｈ ｈ ｓｂ ｅ ｎ ｌ ｓ ｄ ａ ｅ １ ｈ ａｉ ｉ ｎ ｅｕ ｉｅ ｓ ｉ ｆ ｈ ｅ ｇ ｒ ｈ ａ ｅ ｓ ｏ ｈ ｏ ｇ ｈ ｏ ｌｘ ｔ ｏ ｅ ｌｏ ｔ ｍ ａ ｅ ｎ ａ ａｙ ｅ ｓｗ ｌ ｙ ｈ ｉ ．Ｔ ｅ ｖ ｄｔ ａ ｄ ｔ ｎｖ ｒ ａ ｔ ｏ ｅ ｎ ｗ ａ ｏ ｉ ｍ ｒ ｈ ｗｎ ｔ ｒ ｕ ｈ ｌ ｙ ｈ ｌ ｙ ｔ ｌ ｔ
克鲁斯卡尔算法求最小生成树的最短路径
克鲁斯卡尔算法求最小生成树的最短路径在计算机科学领域中，克鲁斯卡尔算法是一种经典的图论算法，用于求解最小生成树和最短路径的问题。
在本文中，我将深入探讨克鲁斯卡尔算法的原理和应用，以及其在实际生活中的意义和影响。
我将从简单的概念入手，逐步深入，帮助你更好地理解和掌握这一重要的算法。
1. 算法原理克鲁斯卡尔算法是一种基于贪心策略的算法，用于求解带权无向连通图的最小生成树。
其基本思想是从图中的所有边中选择权值最小的边，且保证不构成回路，重复这个过程直到所有的顶点都已经联通。
通过这种方式，最终得到的就是图的最小生成树。
算法的具体步骤可以分为以下几个部分：- 将图中的所有边按照权值进行排序- 依次考虑所有的边，若当前边的两个顶点不属于同一连通分量，则将其加入最小生成树中- 重复上述步骤直到所有的顶点都已经联通2. 算法应用克鲁斯卡尔算法在实际生活中有着广泛的应用。
以通信网络建设为例，假设我们需要在若干个城市之间铺设光纤网络，我们希望在网络总成本最低的前提下建立通信链路。
这时候，我们可以将城市看作图的顶点，城市之间的光缆看作边的权值，然后利用克鲁斯卡尔算法求解最小生成树，就可以得到一个在总成本最低的情况下连接所有城市的方案。
3. 个人理解对于我个人而言，克鲁斯卡尔算法是一种非常优雅的算法。
它简单而高效地解决了一个看似复杂的问题，展现了计算机科学中贪心策略的魅力。
在学习和了解这一算法的过程中，我深刻体会到了算法设计的巧妙以及数学结构在计算机科学中的重要性。
我也意识到算法并不仅仅是理论上的概念，它们在实际生活中有着广泛的应用，并对我们的生活产生着深远的影响。
在本文中，我对克鲁斯卡尔算法的原理和应用进行了深入的探讨，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一算法。
通过分析算法的原理和应用，我相信读者们将对克鲁斯卡尔算法有更深入的理解，并能够在实际问题中灵活运用这一算法。
希望本文能够为读者们带来一些启发和帮助，让我们一起探索和学习计算机科学的奥秘吧！克鲁斯卡尔算法的应用广泛，不仅仅局限于通信网络建设，还涉及到诸如城市规划、交通规划、电力系统设计等领域。
求解度约束最小生成树的一种启发式方法
数 （ｅ ｅ 再加上一定 的限制 ， ｄｇ ） ｒ 即不 能超过预先给 定的数值 ， 则问题 的性质将变得截然不 同． 现实中有 许多这样的例子 ， 电路设计、 如 管道铺设、 计算机网
１ 度约束最小生成树 的数 学模 型
度约束最小生成树问题可描述为对于连通赋权
图 Ｇ：（ ， Ｗ ）式 中 ｗ ＝［ ］ 图 Ｇ 的有 Ｅ， ， Ｗ × 为
络、 通信系统等等． 这种带有顶点度约束 的最小生成
树问题被 称之 为度 约束 最小 生成 树 （ ｅｒｅ ｃｎ ｄｇｅ— — ｏ
ｓｒｉｅ ｎｍｕ ａ ｎｎ ｅ ， Ｃ ｔａ ｄ ｍｉｉ ｍ ｓ ｎ ｉｇｔ ｅＤ Ｍ ） ｎ ｐ ｒ 问题 【 ｌ 卜３，
权矩阵， 其中 ｗ ＞Ｏ ｗ ＝ｚｉＷ ：Ｏ ， ｉ ） ｏ 且 ｑ ｏ ， ０ Ｄ（ ， ｊ
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上 海 理 工 大 学 学 报
第２ ９卷 第２ 期
Ｊ ．Ｕｎｖ ｒｉ ｆＳ ａ ａ ｆｒＳ ｉｎ ｅａ ｄＴｅｈ ｏｏ ｙ ｉｅｓ ｙ ｏ ｈ ｎ ｉ ｏ ｃｅ ｃ ｎ ｔ ｃｎ ｌｇ Ｖｏ． ９ Ｎｏ ２ ２ ０ １２ ． ０ ７
文章编号 ：０ ７—６ ３ （０ ７ ０ —０ ４ —０ １｛ ３ ７ ５ ２ ０ ）２ １２ ３
求解 度 约束 最 小 生成 树 的一种 启 发 式 方 法
廖飞雄 ， 马 良
（ 上海理 ７大学 管理学 院，上海 － ２０ ９ ） ０ ０ ３
摘要 ： 针对网络设计和优化 中度约束最小生成树 问题 ， 出了一种基于贪心思想的启发 式算法求 提 解度约束最小生成树 ． 在最小生成树的基础上， 将超过度约束的顶点降低度数使之 满足度约束条 件． 经大量数据测试并与其他算法进行比较， 明了该算法的有效性和通用性 ． 表 关键词 ： 度约束； 生成树 ； 启发式算法
一种求解度约束最小生成树问题的优化算法
ISSN 1000-9825, CODEN RUXUEW E-mail: jos@Journal of Software, Vol.21, No.12, December 2010, pp.3068−3081 doi: 10.3724/SP.J.1001.2010.03713 Tel/Fax: +86-10-62562563© by Institute of Software, the Chinese Academy of Sciences. All rights reserved.∗一种求解度约束最小生成树问题的优化算法王竹荣+, 张九龙, 崔杜武(西安理工大学计算机科学与工程学院,陕西西安 710048)Optimization Algorithm for Solving Degree-Constrained Minimum Spanning Tree ProblemWANG Zhu-Rong+, ZHANG Jiu-Long, CUI Du-Wu(School of Computer Science and Engineering, Xi’an University of Technology, Xi’an 710048, China)+ Corresponding author: E-mail: wangzhurong@Wang ZR, Zhang JL, Cui DW. Optimization algorithm for solving degree-constrained minimum spanningtree problem. Journal of Software, 2010,21(12):3068−3081. /1000-9825/3713.htmAbstract: To solve the degree-constrained spanning minimum tree (DCMST) problems with a large scale of nodes,an optimization algorithm based on grafting and pruning operator is proposed. Learning from the flower plantingtechniques, this paper establishes, an evolutionary computation framework containing accelerating and adjustingoperators based on conventional genetic operators. The grafting and pruning are performed by a greedy strategy andgain maximization respectively. The collision caused by possible local minima is analyzed and detected, and severalmethods dealing with the collision are discussed. To tackle the complexity of DCMST problems, some strategies ofgrafting and pruning are proposed. The convergence of the proposed algorithm and the computation complexity areanalyzed. For DCMST problems of Euclidean and uniform random non-Euclidean instances from 50 to 500 nodes,the experiments show that the quality and convergence rate of the proposed method are the best compared with theknown results.Key words: DCMST; genetic algorithm; grafting; pruning摘要: 为求解大规模结点度约束最小生成树问题,提出一种带有嫁接和剪接算子操作的优化算法.通过借鉴花草果树种植技术,建立一种以基本遗传算子为基础、带有加速和调节算子作为激励的进化计算体系;嫁接以一种贪婪的思想加速搜索,按收益最大化原则进行剪接.对可能陷入局部极值引起冲突的现象及冲突检测的方法进行分析,并提出了冲突的若干解决方法.针对DCMST问题求解中的复杂性,提出了几种有效的嫁接和剪接的策略,并对算法的收敛性和计算复杂度进行了分析.通过该算法对结点数为50~500之间的Euclidean问题和按均匀随机方式产生的non-Euclidean度约束最小生成树问题进行求解.与现有文献的实验结果对比表明,该方法在求解最好解的精度和收敛速度上均有一定的优势.关键词: 度约束最小生成树;遗传算法;嫁接;剪接中图法分类号: TP301文献标识码: A度约束最小生成树(degree-constrained minimum spanning tree,简称DCMST)问题是一类难解的NP-hard问∗ Supported by the National Natural Science Foundation of China under Grant No.60873035 (国家自然科学基金)Received 2009-02-12; Revised 2009-04-27; Accepted 2009-07-29王竹荣 等:一种求解度约束最小生成树问题的优化算法 3069 题[1],它在通信网络、电力线网络、计算机网络、大规模集成电路等方面都有重要的应用[2,3].一直以来,对它的研究引起国内外许多学者的关注.Narula 与Ho 最早提出一种分枝限界法(a branch and bound algorithm),该算法可以得到较小规模DCMST 问题的最佳解.Caccetta 等人提出了一种求解DCMST 问题的分枝和剪切算法(a branch and cut algorithm)[4].Andrade 等人提出了基于双重解信息的Lagrangian 算法[5].Behle 等人在标准分枝和剪切算法的基础上,利用0/1整型规划中的问题分离原则,提出了一种优先的分枝和剪切算法(a primal branch-and-cut algorithm)[6].近些年来,许多学者对以遗传算法、免疫算法[7]为代表的进化计算方法进行研究并取得广泛的应用.其中,一些学者利用进化计算方法开展对DCMST 问题求解.例如,Zhou 和Gen 首先提出利用遗传算法的途径求解DCMST 问题,文中采用一种pr üfer 计数来表示一棵生成树的编码方法[8].Knowles 等人设计了一种包含边结点权重信息的动态表结构的编码方法(the randomized primal method,简称RPM),是将其与多点爬山(multistart hillclimbing,简称MHC)、模拟退火(simulated annealing,简称SA)和遗传算法(GA)相结合的优化方法[3].Raidl 等人对最优解中包含低权重边的频次进行统计分析,推导出结点数为20~100的DCMST 问题边的权重及其在最优解中出现的概率公式,并以该概率作为执行变异操作边的选取依据的(1+1)-EA 算法[9].Soak 等人提出一种由子图边的结点组成的数字序列的编码方式(the edge-window-decoder),设计了几种按不同策略遍历子图边结点的算子(TCR)来构建生成树的算法[10].其他的方法如蚁群算法[11]、粒子流算法[12]等,均从不同方面取得了一定成效.不同的DCMST 问题可分为两大类,即non-Euclidean DCMST 和Euclidean DCMST 完全图问题.对这两大类约束最小生成树问题求解的复杂性,不同的文献有不同的看法.多数文献作者认为,按均匀随机方式产生的non-Euclidean 问题要比Euclidean 问题的求解更为复杂;与之相反,文献[10]的作者倾向Euclidean 问题的求解更具有挑战性.通过大量的实验测试及分析,我们认为,以均匀随机方法生成non-Euclidean 图例的DCMST 问题具有更大的变化性和多样性,使得这类问题解的结构及求解的难易性具有更大的变化性.一方面,这类问题的Prim 解对应的度值通常大于5,且在度为3时问题的最好解与Prim 算法解的比值随不同的问题或分布范围有所不同.一些文献证实,Euclidean 图例的DCMST 问题对应Prim 解的度最大为5,且在度值为3或4时最好解与Prim 算法解的比值在一定的范围内.当度为3时,该指标的界限值在不同的文献分别为5/3,1.5和1.402[13].文献[14]作者猜测性地认为,该指标界限值能进一步减小到 1.103.另一方面,对均匀随机方式产生分布在某一区间的non-Euclidean 问题,随着结点数增加,其解的复杂度逐渐降低.主要表现在:当结点数增大到某一值后,该类问题不再是一个难求的NP-hard 问题,较多情形下能以几乎1的概率构造出一棵度值为3的最小生成树,使其与Prim 算法得到的无约束生成树(对应的度值一般大于10)具有相同目标值.通过反复的编程测试及对存在问题的分析,我们发展了基于度排列的编码方法[1],通过利用度维关系,不需经过完全解码就能求出及利用待考察结点的关联结点及构成边的权重信息;结合花草果树的人工种植和培育技术,提出一种带有嫁接及剪接算子的遗传算法(a genetic algorithm with grafting and pruning operators,简称GPOGA).通过将该算法用于对DCMST 问题进行求解,与现有文献提供的实验数据的对比说明,本文算法在得到最好解精度以及算法的诸多性能指标均有很大提高.1 DCMST 的数学模型假设G =(V ,E )为网图,其中:V ={v 1,v 2,…,v n }是结点的有限集合,n =|V |为结点总数;E ={e 1,e 2,…,e m }是G 中边的集合,m 为边的总数.设1{,...,,...,|}i t i S v v v v V V ′′′′=∈⊆且|S |≥1;设T 为图G 的所有满足度约束的生成树的集合, 因此,对DCMST 问题求解就是寻找G 的一棵生成树,这里用一个向量x 表示,x ∈T ,使其满足给定的度约束并使对应边权重w ij (一般指边长或费用,本文以下均指边长)之和为最小值.DCMST 的数学模型可描述如下:3070Journal of Software 软件学报 V ol.21, No.12, December 2010111111||1||111 min{() |}subject to 1 1, 1,2,..., ||1, , 2(1)n n ij ij ij i j i n n ij i j i i c S S ij i j i i i z w x x x n d d i n x S i j d n −==+−==+−==+==×∈=−=S −∈=×−∑∑∑∑∑∑≤≤≤x x {0,1}, ,1,2,...,n ij x i j n⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∈=⎩∑ (1) 上述数学模型由DCMST 问题的优化目标函数及约束构成,其中:第1个约束为生成树包含不同结点的n −1条边;第2个约束为每个结点应满足的度约束条件,d c 为给定的度约束值;第3个约束表示生成树无环路;第4个约束为所有结点的度值和;第5个约束当x ij =1时,由结点〈v i ,v j 〉构成的边是生成树的一条边.2 GPOGA 算法体系2.1 GPOGA 算法思想在对与排序或路径长度有关的组合优化问题的求解中,广泛使用一项被称为邻域搜索(local search)的策 略[15].其基本思想是,在算子的搜索过程中,应充分利用相邻结点的路径长度信息,使结点或边交换后的收益最大.文献[15]指出,邻域搜索为获取NP-hard 问题的高精度解提供一种有效和可靠的途径.在类似问题的求解中,邻域搜索策略成为检验一个算子或算法是否具有高效性的基本前提.但应看到,它的基本出发点是利用一种贪婪思想,极有可能加速算法陷入局部最优.文献[9]的作者也指出,在对DCMST 问题的求解中,较小权重的边以较大的概率被选取参与变异操作很可能使算法以更大的概率陷入局部最优.我们发现,当使用local search 策略使算法陷入局部最优或消除非正常态时,一般会出现一种称为冲突的现象.而对冲突的检测和处理,成为本文算法要解决的一个关键问题.因此,从算子的作用看,如果将带local search 的算子归结为一种加速算子,则算法应包含另一种算子,本文称它为调整算子.其作用是双重的:一方面,它对出现的非正常态进行及时处理,使得当算法陷入局部最优时,能对这种情形进行有效的检测,并使其以较大的几率跳出;另一方面,它同样包含local search,使算子的搜索具有更高的效率.为便于叙述,以下先给出与本文算法相关的几个概念.本文所指的树(生成树)是指一棵非空树(n >1,除根结点之外的元素被分为m (m >0)个不相交的集合T 1,T 2,…, T m ,其中每一个集合T i (1≤i ≤m )又是一棵树,称为根结点的子树,文中称每棵子树为树的一条分支.在本文算法的嫁接和剪接操作中,当树发生变化时,指以待考察结点为根结点的整条分支的移动.定义1(收益和代价). 对一棵(生成)树T 1,若将某结点的一条分枝移至另一结点作为其一条分枝后产生的生成树为T 2,考察分枝移动前后生成树的边长和的变化,则定义收益(gain)和代价(cost)分别为111121111()()n n n n ij ij ij ij i j i i j i 2gain f T f T w x w x −−==+==+=−=×−×∑∑∑∑ (2) 112211111()()n n n n ij ij ij iji j i i j i cost f T f T w x w x −−==+==+1=−=×−×∑∑∑∑ (3) 公式(2)与公式(3)中,1212,ij ij x T x T ∈∈. 定义2(嫁接). 从(生成)树中选取具有某种优良特性的分枝(嫁接枝)接入到待考察结点中,以形成更好生成树个体(指收益大于0)的过程称为嫁接.定义3(剪接). 将(生成)树中的某一分枝(剪接枝)接入到另一位置,以形成可行个体或更好生成树的过程称为剪接.王竹荣等:一种求解度约束最小生成树问题的优化算法30712.2 嫁接算子及策略2.2.1 嫁接算子的构造嫁接算子操作可分为两步:1) 根据结点及其关联结点的边长信息,选择具有优良品质的嫁接枝;2) 将选择的嫁接枝重新接入,以形成更好的生成树个体,即嫁接后收益大于0.如何选取具有优良品质的嫁接枝,是嫁接操作的关键所在.要选取一条有效的嫁接枝,需解决以下两个关键问题:1) 有效利用边结点及其关联结点的边长信息.为了使嫁接及剪接操作更为有效,对各结点按其关联结点构成边的长度进行排序,并将排序结果保存在指针变量pnodesortdis中.2) 求任意结点的父结点及子结点关系.本文采用基于度的排列的编码方法,有关编码方法见文献[1].为此,设计了通过利用度维关系查找某一结点的父结点函数FindPareNode(par1,par2)及其子结点的函数FindChildNode(par1,par2),par1,par2为算法所需参数,它们在较好情形下的时间复杂度均为O(1),在最坏情形下的时间复杂度为O(n).FindPareNode的基本思想是,从当前位置向前扫描,记录扫描过的结点的度值,根据扫描过的结点与度值的关系计算出其父结点位置,其伪码描述如下:算法1(检索某一结点位置nodepos的父结点位置parvpos算法).Begin初始化参数:degreesum=0, counter=0, parvpos=nodepos;根据输入的个体individual,得到其结点维individual.chrom1和度维individual.chrom2;if parvpos=1 thenreturn 1;end ifparvpos=parcpos−1, counter=counter+1;degreesum=degreesum+individual.chrom2[parvpos];if parv>1 then degreesum=degreesum−1;while degreesum<counter doparvpos=parcpos−1,counter=counter+1;degreesum=degreesum+individual.chrom2[parvpos];if parv>1 then degreesum=degreesum−1;end while返回parvpos;End按收益优先及度约束控制嫁接策略执行嫁接操作,算法的伪码描述如下:算法2(嫁接算法).Begin设置所有结点使用标志变量pflagnodeuse为0;初始化参数contrpara=d c, i=1, k=1, bflaggrafting=false;while i≤n do设置counter=0,结点i对应结点序号的标志pflagnodeuse为1;由pnodesortdis得到与i关联的第k个结点序号inodeassono,并计算关联边长nodedis;while counter<contrpara && k≤n do求出inodeassono的父结点assoparenodeno及边长assonodedis;计算边交换后收益gain=nodedis−assonodedis;if inodeassono不是i的子结点且gain>0 then选择以inodeassono代表的分枝选,bflaggrafting=true;end ifif bflaggrafting=true then3072Journal of Software 软件学报 V ol.21, No.12, December 2010执行嫁接操作;counter =counter +1,将inodeassono 的标志pflagnodeuse 变为1,bflaggrafting =flase ;end ifk =k +1;求得与i 关联的第k 个结点序号inodeassono 及位置inodeassopos 及关联边长nodedis ;end whilei =i +1;end whileEnd2.2.2 嫁接策略为使嫁接操作能够处理不同情形的DCMST 问题,本文提出以下几种嫁接策略,它们分别是:1) 收益优先嫁接策略对考察结点,若所选关联结点分枝移至考察结点前后收益大于0,则该分枝可选为嫁接枝.按该策略执行嫁接,操作简便,且总体效果较好.其缺点是,嫁接后某些结点的分枝数可能大大超过给定的度约束值,从而增加剪接的负担.2) 无度约束最优嫁接策略对考察结点,选取与其具有最小边长的关联结点作为嫁接枝.按该策略执行嫁接,在理想的情形下,通过该策略可生成一棵无度约束的最小生成树.其缺点主要有:1) 针对给定某一度约束值d c ,若通过Prim 算法得到的无约束生成树对应的度值与d c 相差较大,该控制策略往往不能取得好的效果;2) 增加算法陷入局部最优解的 概率.3) 度约束控制嫁接策略对考察结点新加入的分枝进行控制,一般不超过给定的度约束值d c .按该策略执行嫁接,可使嫁接后的生成树基本满足度约束要求.4) 双重信息嫁接策略对考察结点,在判断某一结点代表的分枝是否作为嫁接枝时,应将边长信息(决定收益)和位置次序关系信息(决定优先关系)同时进行分析.也就是说,某一结点代表的分枝移动到考察结点后,即使收益不如其他的分枝,但考虑其位置次序关系,应优先将该分枝选为嫁接枝.由于在嫁接中需要同时考察边长及位置次序关系,如果处理恰当,则可有效提高算法的求解精度和收敛速度.5) 概率选择嫁接策略文献[9]给出了当最大结点数为100时,第r 条边选择的概率值近似为/2((1)/)(/(1)1)r r q n n n n =−−−,n 为 结点数,r (1≤r ≤m )为按边长排序分配的序号,m 为边的总数.考虑到本文算法中嫁接算子的作用与文献[9]变异算子作用的差异,本文的处理方法是按边长排序:针对每一结点的边长信息设定一个阈值,当边长大于或等于该阈值时,其分配概率为0;当边长小于给定的阈值时,按边长或以边长排列分配位置次序,然后分别计算关联结点代表的分枝对应的概率值.以下分别对它们的概率进行分析.当按边长分配概率时,对考察结点i =1,2,…,n ,设给定的阈值为r i ,设与i 关联的某一结点j 构成的边长为len (i ,j ),定义len (i ,j )与r i 的距离dis (len (i ,j ),r i )为dis (len (i ,j ),r i )=r i −len (i ,j ) (4)因此,结点j 代表的分枝的选择概率为 1,0, (,)(,)|(,), (,)(,)i iij i i n k k ilen i j r r len i j p len i k r len i j r len i k =≠⎧⎪−⎪=<⎨⎪⎪⎩∑≥< (5) 当按以边长排列分配位置次序时,对考察结点i =1,2,…,n ,设给定的阈值为r i .由公式(4),计算出与i 关联的结王竹荣 等:一种求解度约束最小生成树问题的优化算法 3073 点j 构成的边长为len (i ,j )与r i 的距离dis (len (i ,j ),r i ),对dis (len (i ,j ),r i )按递减排序,以确定与i 关联的结点j 构成的边的位置次序rank (i ,j ),分别对它们分配1,2,…,m 值.则结点j 代表的分枝的选择概率为 1,0, (,)1(,) , (,)(1(,))i ij i m k k ilen i j r m rank i j p len i j r m rank i k =≠⎧⎪+−⎪=<⎨⎪+−⎪⎩∑当≥当 (6)公式(5)和公式(6)中,j =1,2,…,n 且j ≠i .在上述策略中,策略1)~策略4)属于稳定控制策略,策略5)属于非稳定控制策略.在算法设计中,嫁接操作在一般情形采用上述策略1)和策略3)就能取得较好的效果;当求解一些复杂及特殊情形的DCMST 问题,选择交替使用策略2)、策略4)或策略5).2.3 剪接算子及策略2.3.1 剪接算子构造嫁接时产生的生成树可能包含某些结点不满足度约束以及具有较差属性分枝的情形,均要进行剪接操作. 判断一条分枝是否在当前位置具有最(较)差属性的依据为下列两种情形之一:1) 若该分枝移动到另一关联结点的收益最(较)大;2) 若所有考察的分枝分别移动收益均小于0,则指移动后代价最小的分枝.算法3以一棵生成树子结点分枝进行修剪为例说明剪接操作的程序流程,算法的伪码描述如下:算法3(剪接算法).Begin初始化剪接参数,设置iprunflag ,iprunneedflag 为false ,设置初始位置i =1;while i ≤n do取当前结点度值nodegree ;if nodegree 大于给定的度约束值degreecons then iprunflag =true ;求解i 的子结点,结果保存在指针变量pichild 中;while pichild 非空 do寻找具有最差属性的子结点selectchildnode 分枝if 收益为大于0且iprunflag 为false thenif 检测无冲突 then iprunneedflag =true ;else if 冲突能有效解决iprunneedflag =true ;end ifif iprunflag or iprunneedflag 为true then 执行剪接操作,改变剪接标志;else break;if 剪接插入位置小于当前位置 then 指针回溯;取当前位置度值nodedegree ;if nodedegree ≤degreecons then iprunflag =flase ;end whilei =i +1;end whileEnd在剪接过程中,可能遇到的一个关键问题是冲突.在图1和图2的示例中,不失一般性,假定给定度约束值为3.由于序号为6的结点有4条分枝,必须剪去结点6的一条分枝.假定已检测到结点7代表的分枝具有最差的属性,而结点7与除结点6以外的最佳关联结点是结点3,那么将结点7代表的分枝插入到结点3之后就可以.这一插入过程未引起新的不满足度约束的情形,即不会引起冲突,其操作如图1所示.但是,如果结点7与除结点6之外只与结点4结合具有最好的特性,这时将引起新的冲突,因为结点4已有3条分枝,不能再插入新的分枝,否则引起新的不满足约束的情形发生,此时称插入后引起了新的冲突.其操作如图2所示.3074Journal of Software 软件学报 V ol.21, No.12, December 2010Fig.1 No collision emerges after inserting the branch denoted by node 7 as a new branch of node 3,the new associated edge is denoted by the dash line图1 将结点7代表的分枝插入到结点3之后未引起冲突,虚线为新构建的一条关联边245319678453219 6Fig.2 A collision emerges after inserting the branch denoted by node 7 as a new branch of node 4,the new associated edge is denoted by the dash line图2 将结点7代表的分枝插入到结点4之后引起冲突,虚线为新构建的一条关联边定义4(冲突及冲突检测). 在对消除不满足约束情形进行剪接或对具有较差属性的分枝进行剪接操作,若引起新的不满足约束的情形称为冲突;将发现这一冲突现象的过程称为冲突检测.定义5(冲突解决).1) 当冲突出现时,若冲突能在遍历一个或若干个结点后按收益最大化原则完全解决,称冲突能在与问题规模无关的常数内解决,此时冲突解决的时间复杂度为O (1).2) 当冲突出现时,若冲突能在遍历所有结点分枝后可按收益最大化原则完全解决,称冲突能在与问题规模相关的线性关系内解决,此时冲突解决的最坏时间复杂度为O (n ).3) 当冲突出现时,若冲突在遍历所有结点后仍无法按收益最大化原则完全解决,称冲突只能在与问题规模相关的非线性关系内解决,此时冲突解决的时间复杂度为多项式时间或指数时间.由定义5可知,当冲突出现时,若冲突能在O (1)和O (n )时间内解决,称冲突能完全解决.尽管冲突的多项式时间解决和指数时间解决有很大的区别,但冲突的多项式时间解决的循环递归将导致冲突的指数时间解决情形出现,为简化处理过程,称这两种情形为冲突不能完全解决.定义6(冲突的简化解决). 当冲突出现时,按收益较大化或代价较小化原则寻求在至多与问题规模相关的线性关系时间内解决该冲突的过程,称为冲突的简化解决.定义7(冲突的有效解决). 当冲突出现时,按收益较大化原则寻求在至多与问题规模相关的线性关系时间内解决该冲突的过程,称为冲突的有效解决.定义8(冲突的退化解决). 当冲突出现时,按代价最(较)小化的原则寻求在至多与问题规模相关的线性关系时间内解决该冲突的过程,称为冲突的退化解决.在冲突的解决过程中,使用了一种向前搜索的机制,这种机制能对已确定的边在考虑冲突存在及冲突解决中根据收益和代价进行重新评价,以确定相应的冲突解决方案.王竹荣等:一种求解度约束最小生成树问题的优化算法30752.3.2 剪接策略在剪接过程中,由于某些策略与嫁接策略的思想类似,因而对它们仅作简要说明,分别如下:1) 收益优先剪接策略对考察结点的所有分枝,若所选分枝移至另一结点位置后收益大于0且未引起不能有效解决的冲突,则该分枝可选为剪接枝,执行剪接操作.2) 双重信息剪接策略对考察结点的所有分枝,在判断某一分枝是否作为剪接枝时,应将边长信息和位置次序关系信息同时进行分析.3) 退化剪接策略当不满足度约束时,若在剪接中出现不能有效解决的冲突,只能按代价最(较)小化原则进行剪接.2.4 GPOGA体系在基本遗传算法体系的基础上,结合嫁接和剪接算子,形成GPOGA算法,其伪码描述如下:算法4(GPOGA).Begin随机初始化种群P(0),t=0;计算P(0)中个体的适应值并按适应值排序;while 计算代数t≤max(gen) doj=0;while 新产生个体j<N do根据个体的适应值随机从当代种群中选择两个父个体,设为oldindi1和oldindi2;执行杂交操作CrossOver(oldindi1,oldindi2),将产生的新个体保存在newpop[j],newpop[j+1]中;执行变异操作Mutation(newpop[j]),Mutation(newpop[j+1]),同时,将两个新个体复制到临时种群变量数组temp1[j]和temp1[j+1]中;执行嫁接操作Grafting(newpop[j]),Grafting (newpop[j+1]);执行剪接操作pruning(newpop[j]),pruning(newpop[j+1]);计算并评价temp1[j],temp1[j+1],newpop[j],newpop[j+1],oldindi1及oldindi2的目标值,选择两个较好的个体复制到newpop[j]及newpop[j+1]中;j=j+2;end while计算新种群newpop的目标值、适应值并排序,同时将oldpop最好个体替换newpop中最差个体;将newpop种群中个体复制到oldpop中,调整其目标值、适应值及顺序;t=t+1;end while记录及输出结果.End在算法中采用的选择策略称为(μ+λ+λ),即将随机选择的两个父个体、由基本遗传算子——杂交及变异后产生的新个体及经嫁接和剪接后产生的新个体共同参与竞争,以选择两个较好的个体进入下一代种群空间.上述算法,根据情形也可采用基于适应值概率的转盘式选择策略.3076Journal of Software 软件学报 V ol.21, No.12, December 2010)3 算法分析3.1 算法的收敛性分析本文算法中,若考虑遗传算子的作用及精英选择策略,则算法是以概率1收敛到所求问题的最优解.单独从嫁接和剪接算子的作用来看,它们只是在一定程度上加速或减缓算法的收敛速度.考虑其综合效果,嫁接和剪接操作只能是加速算法的收敛速度,否则,得到的解被原有父个体替换而被抛弃.因此,本文算法以概率1收敛到问题的全局最优解.详细的证明过程可参考文献[16]的有关定理和结论.在对DCMST 问题求解时,由于嫁接和剪接算子均使用local search 策略以及嫁接和剪接策略的差异,它们在一定程度上可能使算法陷于局部最优;当陷于局部最优时,要跳出这种状态一般会出现冲突,本算法可以有效检测冲突,并提出了若干有效的解决方法.综合考虑本文算法各遗传算子的作用,与没有加入嫁接和剪接算子的情形相比,算法具有更强的寻优能力,同时算法获得问题最好解的概率增大.3.2 算法的时间复杂度分析该算法每一代计算主要由杂交、变异、嫁接、剪接及评价5部分组成.假定结点数大小为n ,种群规模为N ,度约束值为d c ,则杂交操作的时间复杂度为O (N ×n 2),变异操作的时间复杂度为O (N ×n 2),嫁接操作的最坏时间复杂度为O (N ×n 3).而在剪接操作中,考虑到树、回溯和冲突解决的最坏情形,其最坏时间复杂度为O (N ×(n × (n −1−d c )×n ×n )),而评价的时间复杂度为O (N ×n ×d c ),因此在一代运算中,算法的最差时间复杂度为2233243()()()()((1)( (2).c c c c T n O N n O N n O N n O N n n d O N n d O N n N n d N n N n d =×+×+×+××−−+××=××+××+×−××在本文所讨论的结点规模范围内,N 的取值与n 无关,度约束值d c 一般为常数3,因此,T (n )=O (2×N ×n 2+N ×n +N ×n 4−N ×n 3×d c )≈O (n 4).通过对测试用例计算时间的曲线拟合及分析,可得出本文算法的平均时间复杂度为O (n a ),2.5<a <3.0.我们认为,在算法中由于增加嫁接和剪接算子操作,虽然算法的最坏计算复杂度理论值可达O (n 4).但这一过程没有破坏模式定理和隐含并行性定理,上述两定理在本文算法中的基本遗传算子(杂交与变异算子)及新算子中均发挥作用.所不同的是,由于增加了知识的作用及冲突的解决,使得新算子由一种近似随机的搜索变成一种在知识指导下按一定方向进行的搜索.另一方面,评价算法性能的一个重要指标是评价次数,通过对non-Euclidean 和Euclidean 两大类测试问题的实验分析,本文算法在得到所求问题相同解精度解的评价次数均远低于相关文献给出的数据.即使考虑在一代中计算代价(或计算时间)的增加量,本文算法对所求问题的求解精度和收敛速度方面都有较大提高.4 实验及分析为了验证本文所提算法GPOGA 在求解DCMST 问题的有效性和正确性,我们在VC 环境下采用C/C++编程,某些图形曲线根据计算数据由Matlab 绘制输出.在对实验数据进行比较和分析时,本文采用以下几个指标作为对通过算法得到所求DCMST 问题的最好解的精度和算法的性能进行评价的依据,它们分别是:评价(次)数(evalutions)[1];最好解偏差(best-gap);平均最好解偏差(average-best gap).首先,我们对一个经典的9结点完全图DCMST 问题进行求解,该问题在度为3时的最好解为2 256[1].遗传操作基本参数设置与对比文献[3,9]所给参数设置基本相同.为避免随机性影响,我们进行了1 000轮测试.得到的实验结果为:在度约束为3时的最好解为2 256,最小收敛代数为1,最大收敛代数为5,平均收敛代数为1.52;算法在1 000轮测试中均收敛到2 256,即算法得到该问题最优解的概率为100%.这一测试结果,无论从算法的收敛速度还是算法收敛到最优解的概率均优于相关文献提供的实验数据.4.1 Non-Euclidean 图例DCMST 问题测试我们参照有关文献所提方法设计了一个专用的随机数生成器,该生成器按均匀随机方式产生[10,100]之间。
最小生成树及克鲁斯卡尔算法
最小生成树及克鲁斯卡尔算法
最小生成树是指在一个连通的无向图中，找到一棵生成树，使得所有
边的权值之和最小。
克鲁斯卡尔算法是一种用来求解最小生成树的贪
心算法。
克鲁斯卡尔算法的基本思想是将所有边按照权值从小到大排序，然后
依次加入生成树中，如果加入某条边会形成环，则不加入该边。
直到
生成树中有n-1条边为止，其中n为图中节点的个数。
克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边的数量。
因为需要对所有边进行排序，所以时间复杂度与边的数量有关。
最小生成树的应用非常广泛，例如在网络设计、电力传输、交通规划
等领域都有重要的应用。
在网络设计中，最小生成树可以用来构建网
络拓扑结构，使得网络的总成本最小。
在电力传输中，最小生成树可
以用来确定输电线路的布局，使得电力传输的成本最小。
在交通规划中，最小生成树可以用来确定道路的布局，使得交通运输的成本最小。
除了克鲁斯卡尔算法，还有其他求解最小生成树的算法，例如Prim算法、Boruvka算法等。
这些算法的基本思想都是贪心算法，但具体实
现方式有所不同。
总之，最小生成树是图论中的一个重要问题，克鲁斯卡尔算法是一种常用的求解最小生成树的算法。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的算法，并结合实际需求进行优化。
最小生成树01型算法
最小生成树01型算法最小生成树算法是一种用于解决图论中最小生成树问题的算法，其中最常见的是最小生成树01型算法。
本文将介绍最小生成树01型算法的原理、实现步骤以及应用场景。
一、最小生成树01型算法的原理最小生成树是指一个连通图的最小权重生成树，其中权重是边的属性。
最小生成树01型算法是基于贪心策略的算法，它通过选择权重最小的边来构建最小生成树。
算法的基本思想是从图中选择一条权重最小的边，并保证该边的两个顶点在生成树中没有形成环路。
然后再从剩余的边中选择下一条权重最小的边，直到所有顶点都被包含在生成树中为止。
最小生成树01型算法的步骤如下：1. 初始化一个空的生成树，将第一个顶点加入生成树中；2. 从剩余的边中选择一条权重最小的边，并检查该边的两个顶点是否已经在生成树中；3. 若两个顶点都已经在生成树中，则该边不符合条件，舍弃；4. 若两个顶点中有一个已经在生成树中，则将该边加入生成树，并将另一个顶点加入生成树中；5. 重复步骤2~4，直到所有顶点都被包含在生成树中。
三、最小生成树01型算法的应用场景最小生成树01型算法在实际应用中有着广泛的应用场景，以下为几个常见的应用场景：1. 网络规划：在网络规划中，最小生成树算法可以用于确定网络中最优的传输路径，以降低网络开销；2. 电力传输：在电力传输中，最小生成树算法可以用于确定电力线路的最优布局，以降低能源损耗；3. 道路规划：在道路规划中，最小生成树算法可以用于确定最短路径，以提高交通效率；4. 电路布局：在电路布局中，最小生成树算法可以用于确定电路板上各个元件之间的连接方式，以降低电路布局的复杂度。
最小生成树01型算法是一种经典的图论算法，它通过选择权重最小的边来构建最小生成树。
通过对算法的理解和实践，我们能够更好地应用它解决实际问题。
同时，最小生成树01型算法也为我们提供了一种思路，即通过贪心策略来解决问题。
在实际应用中，我们可以根据具体需求选择合适的算法，以达到最优解。