2013-上海八校联考-理数
上海市各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编(3)函数与导数
上海市各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编（3）函数与导数一、选择题:18．（上海市八校2013届高三下学期联合调研理）受全球金融危机和国家应对金融危机政策的影响，某公司2012年一年内每天的利润()Q t (万元)与时间t (天)的关系如图所示，已知该公司2012年的每天平均利润为35万元，令()C t (万元)表示时间段[0,]t 内该公司的平均利润，用图像描述()C t 与t 之间的函数关系中较准确的是( )【答案】D18．（上海市黄浦区2013年4月高考二模理）如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是A ．[1,1)- B. {}1,0- C. (,1][0,1)-∞- D. [1,0](1,)-+∞【答案】A16．（上海市黄浦区2013年4月高考二模理）函数21()1(2)2f x x x =+<-的反函数是 A ．22(13)y x x =-≤< B. 22(3)y x x =->C ．22(13)y x x =--≤< D. 22(3)y x x =--> 【答案】D16．（上海市黄浦区2013年4月高考二模文）函数21()1(2)2f x x x =+<-的反函数是（ ）A ．22(13)y x x =-≤<B ．22(3)y x x =->C ．22(13)y x x =--≤<D ．22(3)y x x =--> 【答案】D17．（上海市黄浦区2013年4月高考二模文）如果函数y ||2x =-的图像与曲线22:C x y λ+= 恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）A ．{2}∪(4,)+∞B ．(2,)+∞C ．{2,4}D ．(4,)+∞④设定义在R 上的两个函数()f x 、()g x 都有最小值，且对任意的x ∈R ，命题“()0f x >或()0g x >”正确，则()f x 的最小值为正数或()g x 的最小值为正数．上述命题中错误的个数是 （ ） （A ）1． （B ）2． （C ）3． （D ）4． 【答案】D18、(上海市奉贤区2013年1月高考一模文理)定义域是一切实数的函数()x f y =，其图像是连续不断的，且存在常数λ(R λ∈)使得 ()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—伴随函数”． 有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ—伴随函数”；②“12—伴随函数”至少有一个零点．；③2()f x x =是一个“λ—伴随函数”；其中正确结论的个数是 （ ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．0个； 【答案】A16、(上海市奉贤区2013年1月高考一模文理)已知函数sin (0)y ax b a =+>的图像如左图所示，则函数log ()a y x b =+的图像可能是（ ）【答案】C 二、填空题:2．（上海市八校2013届高三下学期联合调研文理）函数0.5log y x =的定义域为 。
上海市各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编(8)立体几何
上海市各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编（8）立体几何一、选择题:16、（虹口区2013届高三一模）已知1l 、2l 、3l 是空间三条不同的直线，下列命题中正确 的是（ ）.A 如果21l l ⊥ ，32//l l ．则31l l ⊥． .B 如果21//l l ，32//l l ．则1l 、2l 、3l 共面． .C 如果21l l ⊥ ，32l l ⊥．则31l l ⊥． .D 如果1l 、2l 、3l 共点．则1l 、2l 、3l 共面．【答案】A【答案】C 二、填空题:11．（上海市八校2013届高三下学期联合调研理）如图为一几何体的的展开图，其中ABCD 是边长为6的正方形，SD=PD ＝6，CR=SC ，AQ=AP ，点S,D,A,Q 及P,D,C,R 共线，沿图中虚线将它们折叠，使P ，Q ，R ，S 四点重合，则需要________个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体。
【答案】2410．（上海市八校2013届高三下学期联合调研文）如图为一几何体的的展开图，其中ABCD 是边长为6的正方形，SD=PD ＝6，CR=SC ，AQ=AP ，点S,D,A,Q 及P,D,C,R 共线，沿图中虚线将它们折叠，使P ，Q ，R ，S 四点重合，则这样的几何体的体积为________。
【答案】7210．（上海市黄浦区2013年4月高考二模理）已知,,A B C 是球面上三点，且4,90AB AC cm BAC ==∠=，若球心O 到平面ABC 的距离为22__________3cm .ABCDA 1B 1ED 1C 1DCBAED 1C 1B 1A 1【答案】64π7. （上海市闵行区2013年高考二模理）一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角为3π，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】8π三、解答题:19．（上海市黄浦区2013年4月高考二模理）（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，113A D . （1）求该四棱柱的侧面积与体积；（2）若E 为线段1A D 的中点，求BE 与平面ABCD 所成角的大小. 【解】⑴根据题意可得：在1Rt AA D ∆中，高22113AA A D AD =-=∴(222323)232S =⨯+⨯+⨯⨯=22312V =⨯⨯=⑵过E 作EF AD ⊥，垂足为F ，连结BF ，则EF ⊥平面ABCD ，∵BE ⊂平面ABCD ，∴EF BF ⊥∴在Rt BEF ∆中，EBF ∠就是BE 与平面ABCD 所成的角 ∵1,EF AD AA AD ⊥⊥，∴1EF AA ∥，又E 是1A D 的中点，∴EF 是1AA D ∆的中位线，∴11322EF AA ==在Rt AFB ∆中2222125BF AF AB =+=+=∴335tan 5210EBF ∠=÷=∴35EBF ∠=19．（上海市黄浦区2013年4月高考二模文）（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，且113A D =G A 1B 1C 1D 1EA (O )BCD A BCE C 1A 1B 1F（1）求该正四棱柱的体积；（2）若E 为线段1A D 的中点，求异面直线BE 与1AA 所成角的大小． 解：（1）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中， ∵1AA ⊥平面ABCD ，AD ⊂≠平面ABCD ，∴1AA AD ⊥，故13AA =，………………3分 ∴正四棱柱的体积为2(2)312⨯=． ………………6分 （2）设G 是棱AD 中点，连,GE GB ，在△1A AD 中， ∵,E G 分别为线段1,A D AD 的中点， ∴EG ∥1A A ，且11322EG AA ==， ∴GEB ∠就是异面直线1AA 与BE 所成的角． ……8分 ∵1A A ⊥平面ABCD ，GB ⊂≠平面ABCD ，∴1AA GB ⊥，又EG ∥1A A ，∴EG BG ⊥， ……………………10分 ∵3,2GEBG =∴tan2BG GEB GE ∠===GEB∠= 所以异面直线1AA 与BE 所成角的大小为． …………………………12分20．（上海市闵行区2013年高考二模理）（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，2AB AC ==，16AA =，点E F 、分别在棱11AA CC 、上，且12AE C F ==．（1）求四棱锥B AEFC -的体积；（2）求BEF ∆所在半平面与ABC ∆所在半平面所成二面角θ的余弦值． [解]（1）B AEFCV -=111(42)224332AEFC S AB =⋅=⋅⋅+⨯⨯=……7分（2）建立如图所示的直角坐标系，则)0,0,0(A ,(0,2,0)B ,(0,0,2)E ,(2,0,4)F ，(2,0,2)EF =,(0,2,2)EB =- ……………………2分设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =，则22011,1220n EF x z z x y n EF y z ⎧⋅=+=⎪⇒==-=⎨⋅=-=⎪⎩取得， 所以(1,1,1)n =- ……………………………2分 平面ABC 的法向量为1(0,0,1)n =，则111cos 3n n n n θ⋅===⋅ 所以BEF ∆所在半平面与ABC ∆所在半平面所成二面角θ．…3分 19．（杨浦区2013届高三一模理科）（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，4==BC AP ，︒=∠30ABC , E D 、分别是AP BC 、的中点， （1）求三棱锥ABC P -的体积；（2）若异面直线AB 与ED 所成角的大小为θ，求θtan 的值. 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分， 第2小题满分7分 ．(1)由已知得，,32,2==AB AC ………2分 所以 ，体积33831==∆--PA S V ABC ABC P ………5分 (2)取AC 中点F ，连接EF DF ,，则DF AB //， 所以EDF ∠就是异面直线AB 与ED 所成的角θ. ………7分由已知，52,32,2=====PC AB AD EA AC ，EF DF EF AB ⊥∴⊥, . ………10分在EFD Rt ∆中，5,3==EF DF ，所以，315tan =θ. ………12分 (其他解法，可参照给分)PABCDEAA 1B 1c 1BC19．（浦东新区2013届高三一模 理科）（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===,45ABC ︒∠=. （1）求点A 到平面1A BC 的距离； （2）求二面角1A A C B --的大小. 解：（1）2,45,90AB AC ABC BAC ︒︒==∠=∴∠=，143A ABCV -∴=. 11122,23A BC A B BC AC S ∆===∴=. …3分 设点A 到平面距离为h ，由11123,33A BC A ABC h S V h ∆-⋅=∴=.∴点A 到平面距离为233. ……6分20．（嘉定区2013届高三一模 理科）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，BC AC ⊥，2===PA BC AC ． （1）求异面直线AB 与PC 所成角的大小； （2）求三棱锥ABC P -的表面积S ．20．（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分） （1）取PA 中点E ，PB 中点F ，BC 中点G ， 连结EF ，FG ，EG ，则EF ∥AB ，FG ∥PC ，所以EFG ∠就是异面直线AB 与PC 所成的角（或其补角）．…………（2分）P A B CFD 1C 1B 1A 1DCBA EFD 1C 1B 1A 1DCBAE连结AG ，则522=+=CG AC AG ，……（3分）622=+=AG EA EG ， …………（4分）又22==PC AB ，所以2==FG EF ．…………（5分）在△EFG 中，212cos 222-=⋅-+=∠FG EF EG FG EF EFG ，……（7分） 19．（黄浦区2013届高三一模理科）（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ,F 分别为线段1DD ,BD 的 中点．（1）求异面直线EF 与BC 所成的角； （2）求三棱锥11C B D F -的体积．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 解：（1）连1BD ，由E 、F 分别为线段1DD 、BD 的中点，可得EF ∥1BD ，故1D BC ∠即为异面直线EF 与BC 所成的角． …………………2分在正方体1111ABCD A B C D -中，∵BC ⊥平面11CDD C ，1CD ⊂≠平面11CDD C ，∴1BC CD ⊥，在Rt △1BCD 中，2BC =，122CD = ∴11tan 2D CD BC BC∠== 12D BC ∠= 所以异面直线EF 与BC 所成的角为2 6分（2）在正方体1111ABCD A B C D -中，由1BB ⊥平面ABCD ，CF ⊂≠平面ABCD ， 可知1BB CF ⊥，∵CB CD =，F 是BD 中点，∴CF BD ⊥，又1BB 与BD 相交，∴CF ⊥平面11BDD B ， …………………………9分 又11111112222222B D F S B D BB ∆=⋅=⨯=， G P AB FE故1111114222333C BD F B D F V S CF -∆=⋅=⋅⋅=， 所以三棱锥11C B D F -的体积为43． ……………………………………12分 直线PM 与AM 所成角等于直线PM 与CN 所成角． …………………………2分 因为PA 垂直于底面,所以AM PA ⊥,点M 分别是DC 的中点, 6=DC 53=∴AM 在PAM Rt ∆中,8=PA ,53=AM ,1558538tan ==∠PMA ,1558arctan=∠∴PMA …………………………4分即异面直线PM 与CN 所成角的大小为1558arctan．…………………………6分 解法二：以A 为坐标原点建立空间直角坐标系可得)0,6,3(M ，)8,0,0(P ，)0,0,3(N ，)0,6,6(C ，)8,6,3(-=∴PM ，)0,6,3(--=∴CN …………………………2分直线PM 与CN 所成角为θ，向量CN PM 与的夹角为ϕ10954534510945cos -=⋅-==CNPM CN PM ϕ …………………………4分 又1095453cos cos ==ϕθ，1095453arccos =θ，即异面直线PM 与CN 所成角的大小为1095453arccos ．…………………………6分 （说明：两种方法难度相当）所以四棱锥ABCD P -的表面积是144 …………………………………………12分 20、（崇明县2013届高三一模）（本题14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分） （文科）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，AO ⊥平面BCD ， 2CA CB CD BD ====．（1）求三棱锥A BCD -的体积； （2）求异面直线AE 与CD 所成角的大小．（理科）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中, 11AA AD ==, E 为CD中点． （1）求证：11B E AD ⊥；（2）若2AB =，求二面角11A B E A --的大小．20、（理科）（1）方法一、以A 为坐标原点，以AB 、AD 、AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系,设AB a =，则1,1,12a B E ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1(0,1,1)AD =. A B CE DA 1D 1B 1C 1AB EODCDCBAP所以 , 11110,B E AD B E AD ⋅=⊥。
2013年上海高考数学理科试卷(带详解)
【试题解析】因为ABCD A1B1C1D1为长方体，AB C1D1
, AB C1D1，
故ABC1D1为平行四边形， 故BC1
AD1（步骤1），显然B
不在平面D1AC上，于是直线BC1
平行于平面D1AC（步骤2）；直线BC1到平面D1AC的距离即为点
B到平面
D1AC的距离设
为h考虑三棱锥ABCD
.
【难易程度】容易
【参考答案】1
5
2
【试题解析】联立方程组得
(
1)
1
1
5（步骤1），
2
又⋯0，故所求为1 5．（步骤
2）
2
8．盒子中装有编号为
1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个
球的编号之积为偶数的概率是
___________（结果用最简分数表示）.
【测量目标】古典概型，随机事件的的概率
不便宜，故选B．
17．在数列
{ an}中，an
2n
1，若一个
7
行
12
列的矩阵的第
i行第j
列的元素
ai, j
aiaj
aiaj
，（i
1,2,
,7; j
1,2,
,12
）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数
为
（
）
A 18
B 28
C 48
D 63
【测量目标】指数函数模型.
【考查方式】给出了数列矩阵以及行列元素的关系，求出矩阵元素不同数值的个数
y)
2sin( x
y) cos( x y)
，sin 2x sin 2 y
，故
2
3
2013届高三八校联考数学(理)
八校联考数学（理）试卷 第1页 共6页 八校联考数学（理）试卷 第2页 共6页2013年江西省 联 合 考 试数学（理科）命题人：上饶县中 杨学武 萍乡中学 杨井根（本试卷满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1．已知122,12z i z i =+=-，则复数201220132131i z z i z +=--的模等于（ ）B.D.2．已知R 是实数集，集合3|1M x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，{}|3N y y t t ==-≥，则R N C M= ( ) A. []2,3 B. [2,)+∞ C.(,2]-∞ D.[]0,23．一个算法的程序框图如右，则其输出结果是（A.0B.2C.12+ 1 4．某几何体的三视图（单位：m ）如图所示，则其表面积为（ ）A ．2(96m +B ．2(64m +C ．2(144m +D ．2(80m + 5．若圆锥曲线C 是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过3(2,(,2A B -，则（ ）A ．曲线C 可为椭圆，也可为双曲线B ．曲线C 一定是双曲线 C ．曲线C 一定是椭圆D ．这样曲线C 不存在 6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足150S >，160S <，则3151212315S S S S a a a a 、、…中最大项为（ ） A.66S a B. 77S a C. 88S a D. 99S a 7．函数()f x 的导函数为()f x '，对任意的x R ∈，都有2()()f x f x '>成立，则（ ）A.3(2ln 2)2(2ln 3)f f >B. 3(2ln 2)2(2ln3)f f <C. 3(2ln 2)2(2ln3)f f =D. 3(2ln 2)2(2ln3)f f 与的大小不确定 8．已知点(,)x y 是不等式组 表示的平面区域内的一个动点，且目标函数2z x y =+的最大值为7，最小值为1，则4cy a c x b-+的取值范围是（ ） A.2,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 18,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 110,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 214,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM PN ⋅的取值范围ax by c ++≤4x y +≤1x ≥抚州一中 赣州一中 吉安一中 九江一中 萍乡中学 新余一中 宜春中学 上饶县中八校联考数学（理）试卷 第3页 共6页 八校联考数学（理）试卷 第4页 共6页是（ ）A.[]0,2B. ⎡-⎣C. ⎡⎣D. []1,2-10．一高为H 、满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数的大致图像可能是（ ）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2013年高考理科数学上海卷-答案
【解析】复数【解析】22 11x y= -【提示】利用行列式的定义，可得等式，配方即可得到结论【考点】二阶行列式的定义【解析】232a ab+1arccos3-，故答案为2.7x的系数是【提示】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第方程求解即可.x-=，即2380，CBA∠=43b-=-3322x y【解析】cos cosx，sin2sinx+276a x x -=面积相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为22π12π28π2π16π+=+，故答案为2π16π+.【考点】进行简单的合情推理 14.【答案】2【解析】因为(){|(),}g I y y g x x I ==∈，1([0,1))[1,2)f -=，1((2,4])[0,1)f -=，所以对于函数()f x ，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈，所以方程()0f x x -=即()f x x =无解；当[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，所以方程()0f x x -=即()f x x =无解；所以当[0,2)x ∈时方程()0f x x -=即()f x x =无解，又因为方程()0f x x -=有解x 0，且定义域为[0,3]，故当[2,3]x ∈时，()f x 的取值应属于集合(,0)[1,2](4,)-∞+∞，故若00()f x x =，只有02x =，故答案为2.【提示】根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当[0,1)x ∈时，[1,2)x ∈时()f x 的值域，进而可判断此时()f x x =无解；由()f x 在定义域[0,3]上存在反函数可知：[2,3]x ∈时，()f x 的取值集合，再根据方程()f x x =有解即可得到x 0的值. 【考点】反函数，函数的零点 二、选择题 15.【答案】B【解析】当1a >时，(,1][,)A a =-∞+∞，[1,)B a =-+∞，若A B =R ，则11a -≤，12a ∴<≤；当1a =时，易得A =R ，此时AB =R ；当1a <时，(,][1,)A a =-∞+∞，[1,)B a =-+∞，若A B =R ，则1a a -≤，显然成立，1a ∴<；综上，a 的取值范围是(,2]-∞，故选B .【提示】当1a >时，代入解集中的不等式中，确定出A ，求出满足两集合的并集为R 时的a 的范围；当1a =时，易得A =R ，符合题意；当1a <时，同样求出集合A ，列出关于a 的不等式，求出不等式的解集得到a 的范围.综上，得到满足题意的a 范围.【考点】集合关系中的参数取值问题，并集及其运算，一元二次不等式的解法 16.【答案】B【解析】“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B .【提示】因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件. 【考点】必要条件，充分条件与充要条件的判断 17.【答案】A【解析】该矩阵的第i 行第j 列的元素(1,2,,7;1,2,,12)i j ==……，当且仅当i j m n +=+时，ij mna a =(,1,2,,7;,1,2,,12)i m j n ==……，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i j +的所有不同和，其和为2，3，…，i j i a a a a ++为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a 、4a 、5a ；以D 顶点为终点的向量分别为1d 、2d 、3d 、4d 、5d ，∴利用向量的数量积公式，可知只有0AF DE AB DC =>，，m ()()i j k r s t a a a d d d ++++的最小值、最大值，m ∴【提示】利用向量的数量积公式，可知只有0AF DE AB DC =>，其余数量积均小于等于【考点】平面向量数量积的运算，进行简单的合情推理 13222223=，所以的一个法向量为(,,)n u v w =，则由n D A '⊥，n D C '⊥，可得0n D A '⊥=，0n D C '⊥=.(1,0,1)D A '=，(0,2,1)D C '=令1v =，可得，可得(2,1,2)n =-由于(1,0,BC '=-0n BC '∴=-，故有n BC '⊥内，可得直线BC '平行于平面D AC '. 由于(1,0,0)CB =，可得点B 到平面D 的距离|||2||n CB d n ⨯==的距离，设为h ，再利用等体积法求得h 的一个法向量为(2,1,2)n =-，再根据0n BC '=-，可得n BC '⊥，可得直线||||n BC n '的值，即为直线【考点】点、线、面间的距离计算，直线与平面平行的判定110x ≤≤（2）设利润为110≤≤x故甲厂应以【提示】（）函数11 / 11③若1a c ≥-，则由1n a a ≥得到1()8n n n a f a a c +==++，从而{}n a 为无穷等差数列，符合要求. 综上可知：a 1的取值范围为{8}[,)c c ---+∞.【提示】（1）对于分别取1n =，2，1()n n a f a +=，*n ∈N .去掉绝对值符合即可得出；（2）由已知可得8,()338,48,4x c x c f x x c c x c x c x c ++≥-⎧⎪=++--≤<-⎨⎪---<--⎩，分三种情况讨论即可证明； （3）由（2）及0c >，得1n n a a +≥，即{}n a 为无穷递增数列.分以下三种情况讨论：当14a c <--时，当14c a c --≤<-时，当1a c ≥-时.即可得出a 1的取值范围.【考点】数列的函数特性，等差关系的确定，数列与函数的综合。
2013年上海市中学考试数学试卷及问题详解Word版
实用文档文案大全2013年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列式子中，属于最简二次根式的是（）A9；B7；C20；D13．2．下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）A．210x??；B．210xx???；C．210xx???；D．210xx???．3.如果将抛物线22yx??向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．??212yx???；B．??212yx???；C．21yx??；D．23yx??．4．数据0，1，1，3，3，4的中位数和平均数分别是（）A．2和2．4；B．2和2；C．1和2；D．3和2．5．如图1，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且:3:5ADDB?，那么:CFCB等于（）A．5:8；B．3:8；C．3:5；D．2:5．6．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（）A．BDCBCD???；B．ABCDAB???；C．ADBDAC???；D．AOBBOC???．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．因式分解：21a??8．不等式组1023xxx???????的解集是29．计算：23baab??10．计算：??23abb????2f?11．已知函数??231fxx??，那12．将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字面e的概率是13．某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图2所示，那么报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为14．在⊙O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为15．如图3，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=C E，A C∥D F，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是（只需写一个，不添加辅助线）．16．李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系，其图像如图4所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是升．17．当三角形中一个内角?是另一个内角?的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中?称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为实用文档文案大全18．如图5，在△ABC中，ABAC?，8BC?，32tanC?，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为三、解答题：（本大题共7题，19~22题10分，23、24题12分，25题14分，满分满分78分）19．计算：1018212????????????．20．解方程组：22220xyxxyy?????????．21．已知平面直角坐标系xOy（如图6），直线12yxb??经过第一、二、三象限，与y 轴交于点B，点??2,At在这条直线上，联结AO，△AOB的面积等于1．（1）求b的值；（2）如果反比例函数kyx?（k是常量，0k?）的图像经过点A，求这个反比例函数的解析式．422．某地下车库出口处“两段式栏杆”如图（1）所示，点A是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图（2）所示，其示意图如图（3）所示，其中ABBC?，EF∥BC，143EAB??，1.2ABAE??米，求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到直线BC的距离）．（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计，参考数据：370.60sin?，370.80cos?，370.75tan?．）23．如图8，在△ABC中，90ACB??，BA???，点D为边AB的中点，DE∥BC 交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DEEF?；（2）联结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：BADGC?????．实用文档??20yaxbxa???文案大全24．如图9，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线经过点A和x轴正半轴上的点B，2AOBO??，120AOB??．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM，求AOM?的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．25．在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，联结BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP（如图10）．已知13AD?，5AB?．设APx?，BQy?．（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F．如果4EFEC??，求x 的值．62013年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷参考答案一、选择题1、B；2、D；3、C；4、B；5、A；6、C二、填空题7、（a+1）（a﹣1）； 8、x＞1； 9、3b； 10、2+； 11、1； 12、；13、40%；14、； 15、AC=DF； 16、2； 17、30°； 18、．三、解答题19．解：原式=2+﹣1﹣1+2=320．解：，由②得：（x+y）（x﹣2y）=0，x+y=0或x﹣2y=0，原方程组可变形为：或，解得：，21．解：（1）过A作AC⊥y轴，连接OA，∵A（2，t），∴AC=2，对于直线y=x+b，令x=0，得到y=b，即OB=b，∵S△AOB=OB?AC=OB=1，∴b=1；（2）由b=1，得到直线解析式为y=x+1，实用文档文案大全将A（2，t）代入直线解析式得：t=1+1=2，即A（2，2），把A（2，2）代入反比例解析式得：k=4，则反比例解析式为y=．．22．解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．∵∠EAB=143°，∠BAG=90°，∴∠EAH=∠EAB﹣∠BAG=53°．在△EAH中，∠EHA=90°，∠AEH=90°﹣∠EAH=37°，AE=1.2米，∴EH=AE?cos∠AEH≈1.2×0.80=0.96（米），∵AB=1.2米，∴栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH≈1.2+0.96=2.16≈2.2（米）．故栏杆EF段距离地面的高度为2.2米．23．证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，8∴DE=BC，∴EF=DF﹣DE=BC﹣CB=CB，∴DE=EF；（2）∵四边形DBCF为平行四边形，∴DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．24．解：（1）过点A作AE⊥y轴于点E，∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠AOE=30°，∴AE=1，EO=，∴A点坐标为：（﹣1，），B点坐标为：（2，0），将两点代入y=ax2+bx得：实用文档文案大全，解得：，∴抛物线的表达式为：y=x2﹣x；（2）过点M作MF⊥OB于点F，∵y=x2﹣x=（x2﹣2x）=（x2﹣2x+1﹣1）=（x﹣1）2﹣，∴M点坐标为：（1，﹣），∴tan∠FOM==，∴∠FOM=30°，∴∠AOM=30°+120°=150°；（3）∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠ABO=∠OAB=30°，∴AB=2EO=2，当△ABC1∽△AOM，∴=，10∵MO==，∴=，解得：BC1=2，∴OC1=4，∴C1的坐标为：（4，0）；当△C2AB∽△AOM，∴=，∴=，解得：BC2=6，∴OC2=8，∴C2的坐标为：（8，0）．综上所述，△ABC与△AOM相似时，点C的坐标为：（4，0）或（8，0）．25．解：（1）在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP2=AP2+AB2=x2+25．∵MQ是线段BP的垂直平分线，∴BQ=PQ，BM=BP，∠BMQ=90°，∴∠MBQ+∠BQM=90°，∵∠ABP+∠MBQ=90°，∴∠ABP=∠BQM，又∵∠A=∠BMQ=90°，∴△ABP∽△MQB，∴，即，化简得：y=BP2=（x2+25）．当点Q与C重合时，BQ=PQ=13，在Rt△PQD中，由勾股定理定理得：PQ2=QD2+PD2，即132=52+（13﹣x）2，解得x=1；又AP≤AD=13，∴x的取值范围为：1≤x≤13．∴y=（x2+25）（1≤x≤13）．实用文档文案大全（2）当⊙P与⊙Q相外切时，如答图1所示：设切点为M，则PQ=PM+QM=AP+QC=AP+（BC﹣BQ）=x+（13﹣y）=13+x﹣y；∵PQ=BQ，∴13+x﹣y=y，即2y﹣x﹣13=0 将y=（x2+25）代入上式得：（x2+25）﹣x﹣13=0，解此分式方程得：x=，经检验，x=是原方程的解且符合题意．∴x=．．（3）按照题意画出图形，如答图2所示，连接QE．∵EF=EC，EF⊥PQ，EC⊥QC，∴∠1=∠2（角平分线性质）．∵PQ=BQ，∴∠3=∠4，而∠1+∠2=∠3+∠4（三角形外角性质），∴∠1=∠3．又∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠3=∠5，12∴∠1=∠5，又∵∠C=∠A=90°，∴△CEQ∽△ABP，∴，即，化简得：4x+5y=65，将y=（x2+25）代入上式得：4x+（x2+25）=65，解此分式方程得：x=，经检验，x=是原方程的解且符合题意，∴x=．．。
2013年高考理科数学上海卷word解析版
x≥0 成立，则 a 的取值范围为______．
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力通根1保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷0资配不料置仅试技可卷术以要是解求指决，机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中2体2资配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下1可都关能可于地以管缩正路小常高故工中障作资高；料中对试资于卷料继连试电接卷保管破护口坏进处范行理围整高，核中或对资者定料对值试某，卷些审弯异核扁常与度高校固中对定资图盒料纸位试，置卷.编工保写况护复进层杂行防设自腐备动跨与处接装理地置，线高尤弯中其曲资要半料避径试免标卷错高调误等试高，方中要案资求，料技编试5术写卷、交重保电底要护气。设装设管备置备4线高动调、敷中作试电设资，高气技料并中课3术试且资件、中卷拒料中管包试绝试调路含验动卷试敷线方作技设槽案，术技、以来术管及避架系免等统不多启必项动要方方高式案中，；资为对料解整试决套卷高启突中动然语过停文程机电中。气高因课中此件资，中料电管试力壁卷高薄电中、气资接设料口备试不进卷严行保等调护问试装题工置，作调合并试理且技利进术用行，管过要线关求敷运电设行力技高保术中护。资装线料置缆试做敷卷到设技准原术确则指灵：导活在。。分对对线于于盒调差处试动，过保当程护不中装同高置电中高压资中回料资路试料交卷试叉技卷时术调，问试应题技采，术用作是金为指属调发隔试电板人机进员一行，变隔需压开要器处在组理事在；前发同掌生一握内线图部槽纸故内资障，料时强、，电设需回备要路制进须造行同厂外时家部切出电断具源习高高题中中电资资源料料，试试线卷卷缆试切敷验除设报从完告而毕与采，相用要关高进技中行术资检资料查料试和，卷检并主测且要处了保理解护。现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2013年上海市初中毕业生统一学业考试数学(含答案)
y(升)
人数 80
A
3.5
50 40
30
F B
2.5
CE
甲 乙丙 丁 图2
O 图3 D
160
图4
240 x(千米)
14．在⊙中，已知半径长为 3，弦 AB 长为 4，那么圆心到 AB 的距离为___________．
EF ∥ BC ， EAB 1430 ， AB AE 1.2 米，求当车辆经过时，栏杆 EF 段距离地面的高度（即直线
EF 上任意一点到直线 BC 的距离）． （结果精确到 0.1 米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin 37°≈ 0.60，cos 37°≈ 0.80，tan 37°≈ 0.75．）
图5
C
[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]
19．计算： 8 2 1 0 ( 1)1 ． 2
x y 2
20．解方程组：
x
2
xy
2y2
0
．
21．已知平面直角坐标系 xoy （如图 6），直线 y 1 x b 经 2
过第一、二、三象限，与 y 轴交于点，点（2，1）在这条直线上，
4．数据 0，1，1，3，3，4 的中位线和平均数分别是（
）
（A） 2 和 2.4 ； （B）2 和 2 ； （C）1 和 2；
（D）3 和 2．
5．如图 1，已知在△ABC 中，点 D、E、F 分别是边 AB、AC、BC 上的点，
A DE
DE∥BC，EF∥AB，且 AD∶DB = 3∶5，那么 CF∶CB 等于（ ）
2013年高考理科数学上海卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)考生注意：1.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.2.本试卷共有23道试题,满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.计算：20lim313n n n →∞+=+ .2.设m ∈R ,222(1)i m m m +-+-是纯虚数,其中i 是虚数单位,则m = .3.若2211x xx y y y =--,则x y += . 4.已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若22232330a ab b c ++-=,则角C 的大小是 （结果用反三角函数值表示）.5.设常数a ∈R .若25()ax x+的二项展开式中7x 项的系数为10-,则a = .6.方程1313313x x -+=-的实数解为 .7.在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为 .8.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）. 9.设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且π4CBA ∠=.若4AB =,BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为 .10.设非零常数d 是等差数列1x ,2x ,…,19x 的公差,随机变量ξ等可能地取值1x ,2x ,…,19x ,则方差D ξ= .11.若1cos cos sin sin 2x y x y +=,2sin 2sin 23x y +=,则sin()x y += .12.设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x <时,2()97a f x x x=++.若()1f x a +≥对一切0x ≥成立,则a 的取值范围为 .13.在xOy 平面上,将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直 线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ,如 图中阴影部分.记D 绕y 轴旋转一周而成的 几何体为Ω.过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水 平截面,所得截面面积为48π,试 利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方 体,得出Ω的体积值为 .14.对区间I 上有定义的函数()g x ,记(){|()g I y y g x ==,}x I ∈.已知定义域为[0,3] 的函数()y f x =有反函数1()y f x -=,且1([0,1))[1,2)f -=,1((2,4])[0,1)f -=.若 方程()0f x x -=有解0x ,则0x = .二、选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.设常数a ∈R ,集合{|(1)()0}A x x x a =--≥,{|1}B x x a =-≥.若A B =R ,则a 的取值范围为( )A .(,2)-∞B .(,2]-∞C .(2,)+∞D .[2,)+∞16.钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的 ( )A .充分条件B .必要条件C .充分必要条件D .既非充分又非必要条件17.在数列{}n a 中,21n n a =-.若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素 ,i j i j i j c a a a a =++（1i =,2,…,7；1j =,2,…,12）,则该矩阵元素能取到的 不同数值的个数为( ) A .18B .28C .48D .6318.在边长为1的正六边形ABCDEF 中,记以A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a 、4a 、5a ；以D 为起点,其余顶点为终点的向量分别为1d 、2d 、3d 、4d 、5d .若m 、M 分别为()()i j k r s ta a a d d d ++++的最小值、最大值,其中{,,}{1,2,3,4i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆，则m ,M 满足--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）( )A .0m =,0M >B .0m <,0M >C .0m <,0M =D .0m <,0M <三、解答题（本大题共有5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分）如图,在长方体ABCD A B C D ''''-中,=2AB ,1AD =,1AA '=.证明直线BC '平行于平面C D A ',并求直线BC '到平面C D A '的距离.20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分. 甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤）,每一小时可获得利润是3100(51)x x+-元.（Ⅰ）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,求x 的取值范围；（Ⅱ）要使生产900千克该产品获得的利润最大,问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>.（Ⅰ）若()y f x =在,π2π[]43﹣上单调递增,求ω的取值范围；（Ⅱ）令2ω=,将函数()y f x =的图象向左平移π6个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图象.区间[,]a b （,a b ∈R ，且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点.在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.如图,已知双曲线221:12x C y -=,曲线2:||||1C y x =+.P 是平面内一点,若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点,则称P 为“12C C -型点”.（Ⅰ）在正确证明1C 的左焦点是“12C C -型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）； （Ⅱ）设直线y kx =与2C 有公共点,求证：||1k >,进而证明原点不是“12C C -型点”； （Ⅲ）求证：圆2212x y +=内的点都不是“12C C -型点”.23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.给定常数0c >,定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+.数列1a ,2a ,3a ,…满足 1()n n a f a +=,n ∈*N .（Ⅰ）若12a c =--,求2a 及3a ；（Ⅱ）求证：对任意n ∈*N ,1n n a a c +-≥；（Ⅲ）是否存在1a ,使得1a ,2a ,3a ,…,n a ,…成等差数列？若存在,求出所有这样的 1a ；若不存在,说明理由.数学试卷 第5页（共16页） 数学试卷 第6页（共16页）2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）答案解析一、填空题1.【答案】13【解析】201201lim lim 1331333n n n n n n→∞→∞++==++，故答案为13. 【提示】由数列极限的意义即可求解. 【考点】数列的极限 2.【答案】2-【解析】复数2(2)(1)i z m m m =-+-+为纯虚数，220m m ∴+-=，210m -≠，解得2m =-，故答案为2-.【提示】根据纯虚数的定义可得210m -=，210m -≠，由此解得实数m 的值. 【考点】复数的基本概念 3.【答案】0 【解析】2211x x x y y y =--，222x y xy ∴+=-，2()0x y ∴+=，0x y ∴+=，故答案为0.【提示】利用行列式的定义，可得等式，配方即可得到结论. 【考点】二阶行列式的定义 4.【答案】1πarccos 3- 【解析】22232330a ab b c ++-=，22223a b c ab∴+-=-，222213cos 223aba b c C ab ab -+-∴===-.1πarccos 3C ∴=-，故答案为1πarccos 3-.【提示】把式子22232330a ab b c ++-=变形为22223a b c ab +-=-，再利用余弦定理222cos 2a b c C ab+-=即可得出. 【考点】余弦定理 5.【答案】2-【解析】52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为102103155rr r r r r r a T C x C x a x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1037r -=得1r =，7x ∴的系数是15aC .7x 的系数是10-，1510aC ∴=-，解得2a =-，故答案为2-. 【提示】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第1r +项，令x 的指数为7求得7x 的系数，列出方程求解即可. 【考点】二项式系数的性质 6.【答案】3log 4【解析】方程1313313x x -+=-，即3193133(31)x x-+-=-，即11833(33)x x x --+=-，化简可得232380x x --=，即(34)(32)0x x-+=.解得34x =，或32x =-（舍去），3log 4x ∴=，故答案为3log 4.【提示】化简方程1313313x x -+=-为3193133(31)x x-+-=-，即(34)(32)0x x -+=，解得34x =，可得x 的值. 【考点】函数的零点 7.【答案】12【解析】由cos 1ρθ=+得，cos 1θρ=-，代入cos 1ρθ=得(1)1ρρ-=，解得ρ=或ρ=，所以曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=，.【提示】联立cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=消掉θ即可求得ρ，即为答案. 【考点】点的极坐标和直角坐标的互化，两点间的距离公式 8.【答案】1318【解析】从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数为2936C =种；取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为2510C=种；则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为105368=；所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是51311818-=；故答案为13 18.【提示】利用组合知识求出从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数，再求出从5个奇数中任意取出2个奇数的取法种数，求出取出的两个球的编号之积为奇数的概率，利用对立事件的概率求出取出两个球的编号之积为偶数的概率.【考点】古典概型及其概率计算公式9.【解析】如图，设椭圆的标准方程为2221x ya b+=，由题意知，24a=，2a=，π4CBA∠=，BC=∴点C的坐标为(1,1)C-，因点C在椭圆上，222(1)114b-∴+=，243b∴=，22248433c a b∴=-=-=，3c=，则Γ的两个焦点之间的距离为3，故答案为.【提示】由题意画出图形，设椭圆的标准方程为2221x ya b+=，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案.【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质10.【答案】230d【解析】由题意可得112191191819291919x dx x xE x dξ⨯++++===+….11(1)(9)(10)nx E x n d x d n dξ∴-=+--+=-，222222222212[(9)(8)()0(2)(9)](129)1919dD d d d d d dξ∴=-+-++-+++++=+++………2229101930196dd⨯⨯=⨯=，故答案为230d.【提示】利用等差数列的前n项和公式可得121911918192x x x x d⨯+++=+…和数学期望的计算公式即可得出Eξ，再利用方差的计算公式即可得出22212191[()()()]19D xE x E x Eξξξξ=-+-++-…即可得出.【考点】极差，方差与标准差11.【答案】23【解析】1cos cos sin sin2x y x y+=，1cos()2x y∴-=，2sin2sin23x y+=，2sin[()()]sin[()()]3x y x y x y x y∴++-++--=，22sin()cos()3x y x y∴+-=，122sin()23x y∴+⨯=，2sin()3x y∴+=，故答案为23.【提示】利用两角差的余弦公式及1cos cos sin sin2x y x y+=，可得1cos()2x y-=，再利用和差化积公式2sin2sin23x y+=，得到22sin()cos()3x y x y+-=，即可得出sin()x y+.【考点】三角函数的和差化积公式，两角和与差的余弦函数12.【答案】87a≤-【解析】因为()y f x=是定义在R上的奇函数，所以当0x=时，()0f x=；当0x>时，则0x-<，所以2()97af x xx-=--+，因为()y f x=是定义在R上的奇函数，所以2()97af x xx=+-；因为()1f x a≥+对一切0x≥成立，所以当0x=时，01a≥+成立，所以1a≤-；当0x>时，2971ax ax+-≥+成立，只需要297axx+-的最小值1a≥+，数学试卷第7页（共16页）数学试卷第8页（共16页）数学试卷 第9页（共16页） 数学试卷 第10页（共16页）因为29776||7a x x a x x+-≥-=-，所以6||71a a -≥+，解得85a ≥或87a ≤-，所以87a ≤-，故答案为87a ≤-.【提示】先利用()y f x =是定义在R 上的奇函数求出0x ≥时函数的解析式，将()1f x a ≥+对一切0x ≥成立转化为函数的最小值1a ≥+，利用基本不等式求出()f x的最小值，解不等式求出a 的范围. 【考点】函数奇偶性的性质，基本不等式 13.【答案】22π16π+【解析】因为几何体为Ω的水平截面的截面积为48π，该截面的截面积由两部分组成，一部分为定值8π，看作是截一个底面积为8π，高为2的长方体得到的，对于4，看作是把一个半径为1，高为2π的圆柱平放得到的，如图所示，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为22π12π28π2π16π+=+，故答案为22π16π+.【提示】由题目给出的Ω的水平截面的面积，可猜想水平放置的圆柱和长方体的量，然后直接求出圆柱的体积与长方体的体积作和即可. 【考点】进行简单的合情推理 14.【答案】2【解析】因为(){|(),}g I y y g x x I ==∈，1([0,1))[1,2)f -=，1((2,4])[0,1)f -=，所以对于函数()f x ，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈，所以方程()0f x x -=即()f x x =无解；当[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，所以方程()0f x x -=即()f x x =无解；所以当[0,2)x ∈时方程()0f x x -=即()f x x =无解，又因为方程()0f x x -=有解x 0，且定义域为[0,3]，故当[2,3]x ∈时，()f x 的取值应属于集合(,0)[1,2](4,)-∞+∞，故若00()f x x =，只有02x =，故答案为2.【提示】根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当[0,1)x ∈时，[1,2)x ∈时()f x 的值域，进而可判断此时()f x x =无解；由()f x 在定义域[0,3]上存在反函数可知：[2,3]x ∈时，()f x 的取值集合，再根据方程()f x x =有解即可得到x 0的值.【考点】反函数，函数的零点 二、选择题 15.【答案】B【解析】当1a >时，(,1][,)A a =-∞+∞，[1,)B a =-+∞，若AB =R ，则11a -≤，12a ∴<≤；当1a =时，易得A =R ，此时A B =R ；当1a <时，(,][1,)A a =-∞+∞，[1,)B a =-+∞，若A B =R ，则1a a -≤，显然成立，1a ∴<；综上，a 的取值范围是(,2]-∞，故选B .【提示】当1a >时，代入解集中的不等式中，确定出A ，求出满足两集合的并集为R 时的a 的范围；当1a =时，易得A =R ，符合题意；当1a <时，同样求出集合A ，列出关于a 的不等式，求出不等式的解集得到a 的范围.综上，得到满足题意的a 范围. 【考点】集合关系中的参数取值问题，并集及其运算，一元二次不等式的解法16.【答案】B【解析】“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B .【提示】因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件.【考点】必要条件，充分条件与充要条件的判断 17.【答案】A【解析】该矩阵的第i 行第j 列的元素(1,2,,7;1,2,,12)i j ==……，当且仅当i j m n +=+时，ij mn a a =(,1,2,,7;,1,2,,12)i m j n ==……，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i j +的所有不同和，其和为2，3，…，19，共18个不同数值.故选A . 【提示】由于该矩阵的第i行第j列的元素数学试卷 第11页（共16页） 数学试卷 第12页（共16页）,(21)(21)212121i j i j i j i j i j i j a a a a a +=++=--+-+-=-(1,2,,7;1,2,,12)i j ==……，要使(,1,2,,7;,1,2,,12)ij mn i m j a n a ===…….则满足2121i j m n ++-=-，得到i j m n +=+，由指数函数的单调性可得：当i j m n +≠+时，ij mn a a ≠，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i j +的所有不同和，即可得出. 【考点】数列的函数特性 18.【答案】D【解析】由题意，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a 、4a 、5a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1d 、2d 、3d 、4d 、5d ，∴利用向量的数量积公式，可知只有0AF DE AB DC =>，其余数量积均小于等于0，m 、M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++++的最小值、最大值，0m ∴<，0M <，故选D .【提示】利用向量的数量积公式，可知只有0AF DE AB DC =>，其余数量积均小于等于0，从而可结论.【考点】平面向量数量积的运算，进行简单的合情推理 三、解答题 19.【答案】23【解析】解法一：因为-ABCD A B C D ''''为长方体，故AB C D ''∥，AB C D ''=，故A B CD''为平行四边形，故BC AD ''∥，显然BC '不在平面D AC '内，于是直线BC '平行于平面D AC '.直线BC '到平面D AC '的距离即为点B 到平面D AC '的距离，设为h ，考虑三棱锥-D ABC '的体积，以ABC 为底面，可得三棱锥-D A B C '的体积为111111323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，而A DC '△中，AC D C '==AD '=C A D '△的底边AD '上的高为，故C A D '△的面积1322223CAD S '==△，所以13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线BC '到平面D AC '的距离为23.解法二：以D A ''所在的直线为x 轴，以D C ''所在的直线为y 轴，以D D '所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则由题意可得，点(1,0,1)A 、(1,2,1)B 、(0,2,1)C 、(0,2,0)C '、(0,0,0)D '.设平面D AC '的一个法向量为(,,)n u v w =，则由n D A '⊥，n D C '⊥，可得0n D A '⊥=，0n D C '⊥=.(1,0,1)D A '=，(0,2,1)D C '=，020u w v w +=⎧∴⎨+=⎩，解得22u vw v =⎧⎨=-⎩. 令1v =，可得2u =，2w =-，可得(2,1,2)n =-. 由于(1,0,1)BC '=--，0n BC '∴=-，故有n BC '⊥再由BC '不在平面D AC '内，可得直线BC '平行于平面D AC '. 由于(1,0,0)CB =，可得点B 到平面D AC '的距离||23||n CB d n ===，故直线BC '到平面D AC '的距离为23. 【提示】解法一：证明ABC D ''为平行四边形，可得BC AD ''∥，再利用直线和平面平行的判定定理证得直线BC '平行于平面D AC '.所求的距离即点B 到平面D AC '的距离，设为h ，再利用等体积法求得h 的值；解法二：建立空间直角坐标系，求出平面D AC '的一个法向量为(2,1,2)n =-，再根据0n BC '=-，可得n BC '⊥，可得直线BC '平行于平面D AC '.求出点B 到平面D AC '的距离||||n BC d n '=的值，即为直线BC '到平面D AC '的距离.【考点】点、线、面间的距离计算，直线与平面平行的判定 20.【答案】（1）135x ≤≤-（2）甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元【解析】（1）生产该产品2小时获得的利润为3310051220051x x x x ⎛⎫⎛⎫+-⨯=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭根据题意，3200513000x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，即251430x x --≥3x ∴≥或15x ≤- 110x ≤≤，135x ∴≤≤-；（2）设利润为y 元，则生产900千克该产品获得的利润为390010051y x x x ⎛⎫=+-⨯⎪⎝⎭数学试卷 第13页（共16页） 数学试卷 第14页（共16页）2423111619000059103612x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=⨯--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦110x ≤≤，6x ∴=时，取得最大利润为46191045750012⨯⨯=元 故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元.【提示】（1）求出生产该产品2小时获得的利润，建立不等式，即可求x 的取值范围； （2）确定生产900千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润. 【考点】函数模型的选择与应用 21.【答案】（1）304ω<≤ （2）43π3【解析】（1）函数()y f x =在π2π,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且0ω>，π2π23ω∴≥，且ππ24ω-≤-，解得304ω<≤； （2）()2sin 2f x x =，∴把()y f x =的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到π2s i n 216y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴函数π()2s i n 216y g x x ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，令()0g x =，得5ππ12x k =+，或3ππ4x k =+()k ∈Z .∴相邻两个零点之间的距离为π3或2π3.若b a -最小，则a 和b 都是零点，此时在区间[,π]a a +，[,2π]a a +，…，*[,π]()a m a m +∈N 分别恰有3，5，…，21m +个零点，所以在区间[,14π]a a +是恰有29个零点，从而在区间(14π,]a b +至少有一个零点，π14π3b a ∴--≥.另一方面，在区间5ππ5π,14π12312⎡⎤++⎢⎥⎣⎦恰有30个零点，因此b a -的最小值为π43π14π33+=. 【提示】（1）已知函数()y f x =在π2π,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且0ω>，利用正弦函数的单调性可得π2π23ω≥，且ππ24ω-≤-，解出即可； （2）利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到π()2sin 216g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.令()0g x =，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离.若b a -最小，则a 和b 都是零点，此时在区间[,π]a m a +*()m ∈N 恰有21m +个零点，所以在区间[,14π]a a +是恰有29个零点，从而在区间(14π,]a b +至少有一个零点，即可得到a ，b 满足的条件.进一步即可得出b a -的最小值.【考点】正弦函数的单调性，根的存在性及根的个数判断，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换22.【答案】（1）C 1的左焦点为(，写出的直线方程可以是以下形式：x =(y k x =，其中||k ≥； （2）证明：因为直线y kx =与C 2有公共点，所以方程组||||1y kxy x =⎧⎨=+⎩有实数解，因此||||1kx x =+，得||1||1||x k x +=>.若原点是“12-C C 型点”，则存在过原点的直线与C 1、C 2都有公共点.考虑过原点与C 2有公共点的直线0x =或(||1)y kx k =>，显然直线0x =与C 1无公共点.如果直线为(||1)y kx k =>，则由方程组221y kx x y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，得222012x k =<-，矛盾.所以直线(||1)y kx k =>与C 1也无公共点.因此原点不是“12-C C 型点”. （3）证明：记圆O ：2212x y +=，取圆O 内的一点Q ，设有经过Q 的直线l 与C 1，C 2都有公共点，显然l 不与x 轴垂直，故可设l ：y kx b =+.若||1k ≤，由于圆O 夹在两组平行线1y x =±与1y x =-±之间，因此圆O 也夹在直线1y kx =±与1y kx =-±之间，从而过Q 且以k 为斜率的直线l 与C 2无公共点，矛盾，所以||1k >.因为l 与C 1由公共点，所以方程组221y kx b x y x=+⎧⎪⎨-=⎪⎩有实数解，得222(12)4220k x kbx b ----=.因为||1k >，所以2120k -≠，因此22222(4)4(12)(22)8(12)0kb k b b k ∆=----=+-≥，即2221b k ≥-.因为圆O 的圆心(0,0)到直线l的距离d =，所以222112k b d =<+，从而2221212kb k +>≥-，得21k <，与||1k >矛盾.因此，圆2212x y +=内的点不是“12-C C 型点”.【提示】（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为(，当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“12-C C 型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于数学试卷 第15页（共16页） 数学试卷 第16页（共16页）该焦点与(0,1)连线的斜率；（2）由直线y kx =与C 2有公共点联立方程组有实数解得到||1k ≤，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C 1和C 2有公共点； （3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线1y x =±与1y x =-±之间，进而说明当||1k ≤时过圆2212x y +=内的点且斜率为k 的直线与C 2无公共点，当||1k >时，过圆2212x y +=内的点且斜率为k 的直线与C 2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k 的范围，结果与||1k >矛盾.从而证明了结论.【考点】直线与圆锥曲线的关系，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质 23.【答案】（1）21()(2)2|24||2|422a f a f c c c c c ==--=--++---+=-=，31()(2)2|24||2|2(6)(2)10a f a f c c c c c ===++-+=+-+=+；（2）由已知可得8,()338,48,4x c x c f x x c c x c x c x c ++≥-⎧⎪=++--≤<-⎨⎪---<--⎩当n a c ≥-时，18n n a a c c +=-+>；当4n c a c --≤<-时，12382(4)38n n n a a a c c c c +=++≥--++=-； 当4n a c <--时，1282(4)8n n n a a a c c c c +=-->------=-. ∴对任意*n ∈N ，1n n a a c +-≥；（3）假设存在a 1，使得a 1，a 2，…，a n ，…成等差数列. 由（2）及0c >，得1n n a a +≥，即{}n a 为无穷递增数列. 又{}n a 为等差数列，所以存在正数M ，当n M >时，n a c ≥-，从而1()8n n n a f a a c +==++，由于{}n a 为等差数列，因此公差8d c =+. ①当14a c <--时，则211()8a f a a c ==---，又2118a a d a c =+=++，故1188a c a c ---=++，即18a c =--， 从而20a =，当2n ≥时，由于{}n a 为递增数列，故20n a a c ≥=>-，1()8n n n a f a a c +=∴=++，而218a a c =++，故当18a c =--时，{}n a 为无穷等差数列，符合要求；②若14c a c --≤<-，则211()338a f a a c ==++，又2118a a d a c =+=++，113388a c a c ∴++=++， 得1a c =-，应舍去；③若1a c ≥-，则由1n a a ≥得到1()8n n n a f a a c +==++，从而{}n a 为无穷等差数列，符合要求.综上可知：a 1的取值范围为{8}[,)c c ---+∞.【提示】（1）对于分别取1n =，2，1()n n a f a +=，*n ∈N .去掉绝对值符合即可得出；（2）由已知可得8,()338,48,4x c x c f x x c c x c x c x c ++≥-⎧⎪=++--≤<-⎨⎪---<--⎩，分三种情况讨论即可证明；（3）由（2）及0c >，得1n n a a +≥，即{}n a 为无穷递增数列.分以下三种情况讨论：当14a c <--时，当14c a c --≤<-时，当1a c ≥-时.即可得出a 1的取值范围.【考点】数列的函数特性，等差关系的确定，数列与函数的综合。
2013年上海市夏季高考数学真题(理科)试卷含答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题1．计算：20lim ______313n n n →∞+=+2．设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m =3．若2211x xx y y y=--，则______x y +=4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）5．设常数a R ∈，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则______a =．6．方程1313313x x -+=-的实数解为________7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________．8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示） 9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，2BC =，则Γ的两个焦点之间的距离为________10．设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x ，则方差_______D ξ=11．若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()________x y +=．12．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________13．在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为48π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________14．对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y fx -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =二、选择题15．设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（ ）(A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D)[2,)+∞16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件17．在数列{}n a 中，21nn a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,12i j ==）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）(A)18 (B)28 (C)48 (D)6318．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d .若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（ ）. (A) 0,0m M => (B) 0,0m M <> (C) 0,0m M <= (D) 0,0m M <<三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.C 11A21．（6分+8分）已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>； （1）若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，求ω的取值范围；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值．22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”；(3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”． 23．（3 分+6分+9分）给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+，数列123,,,a a a 满足*1(),n n a f a n N +=∈.（1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*1,n n n N a a c +∈-≥，；（3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存在，说明理由.2013年 上海 高考理科数学（参考答案）一． 填空题1.13 2. －2 3. 0 4. 1arccos 3π- 5. －2 6. 3log 47. 12+ 8.13189.10. 30d ² 11.23 12. 87a ≤- 13. 2216ππ+ 14. 2三． 解答题19. 【解答】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体，故1111//,AB C D AB C D =，故ABC 1D 1为平行四边形，故11//BC AD ，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC1平行于平面DA 1C；直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯= 而1AD C ∆中，11AC DC AD ==132AD C S ∆= 所以，13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23．20．【解答】(1)根据题意，33200(51)30005140x x x x+-≥⇒--≥又110x ≤≤，可解得310x ≤≤(2)设利润为y 元，则4290031161100(51)910[3()]612y x x x x =⋅+-=⨯--+故6x =时，max 457500y =元．21．【解答】(1)因为0ω>，根据题意有34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩ (2) ()2sin(2)f x x =，()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈，即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π，故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=． 23. 【解答】：（1）C 1的左焦点为(F ，过F的直线x =C 1交于()2±，与C 2交于(1))±，故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”，且直线可以为x =（2）直线y kx =与C 2有交点，则 (||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩，若方程组有解，则必须||1k >； 直线y kx =与C 2有交点，则 2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩，若方程组有解，则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2型点”。
【精校】2013年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学理
2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学理一、填空题(本大题共有14题，满分56分)1.(4分)计算：= .解析：==，答案：.2.(4分)设m∈R，m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= .解析：∵复数z=(m2+m-2)+(m-1)i为纯虚数，∴m2+m-2=0，m2-1≠0，解得m=-2，答案：-2.3.(4分)若=，x+y= .解析：∵=，∴x2+y2=-2xy，∴(x+y)2=0，∴x+y=0.答案：04.(4分)已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若3a2+2ab+3b2-3c2=0，则角C的大小是 .解析：∵3a2+2ab+3b2-3c2=0，∴，∴==.∴C=.答案：.5.(4分)设常数a∈R，若的二项展开式中x7项的系数为-10，则a= . 解析：的展开式的通项为T r+1=C5r x10-2r()r=C5r x10-3r a r，令10-3r=7得r=1，∴x7的系数是aC51，∵x7的系数是-10，∴aC51=-10，解得a=-2.答案：-2.6.(4分)方程+=3x-1的实数解为.解析：方程+=3x-1，即=3x-1，即 8+3x=3x-1( 3x+1-3)，化简可得 32x-2·3x-8=0，即(3x-4)(3x+2)=0.解得 3x=4，或 3x=-2(舍去)，∴x=log34，答案：log34.7.(4分)在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为 . 解析：由ρ=cosθ+1得，cosθ=ρ-1，代入ρcosθ=1得ρ(ρ-1)=1，解得ρ=或ρ=(舍)，所以曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为，答案：.8.(4分)盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 (结果用最简分数表示).解析：从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数为种.取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为种.则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为.所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是.答案：9.(4分)设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为 .解析：如图，设椭圆的标准方程为，由题意知，2a=4，a=2.∵∠CBA=，BC=，∴点C的坐标为C(-1，1)，因点C在椭圆上，∴，∴b2=，∴c2=a2-b2=4-=，c=，则Γ的两个焦点之间的距离为.答案：.10.(4分)设非零常数d是等差数列x1，x2，…，x19的公差，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，…，x19，则方差Dξ=.解析：由题意可得Eξ===x1+9d.∴x n-Eξ=x1+(n-1)d-(x1+9d)=(n-10)d，∴Dξ=+…+(-d)2+0+d2+(2d)2+…+(9d)2]===30d2.答案：30d2.11.(4分)若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin(x+y)= .解析：∵cosxcosy+sinxsiny=，∴cos(x-y)=.∵sin2x+sin2y=，∴2sin(x+y)cos(x-y)=，∴，∴sin(x+y)=. 答案：.12.(4分)设a为实常数，y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)=9x++7.若f(x)≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为 .解析：因为y=f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x=0时，f(x)=0；当x＞0时，则-x＜0，所以f(-x)=-9x-+7，因为y=f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)=9x+-7；因为f(x)≥a+1对一切x≥0成立，所以当x=0时，0≥a+1成立，所以a≤-1；当x＞0时，9x+-7≥a+1成立，只需要9x+-7的最小值≥a+1，因为9x+-7≥2=6|a|-7，所以6|a|-7≥a+1，解得，所以.答案：.13.(4分) 在xOy平面上，将两个半圆弧(x-1)2+y2=1(x≥1)和(x-3)2+y2=1(x≥3)，两条直线y=1和y=-1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω.过(0，y)(|y|≤1)作Ω的水平截面，所得截面积为4π+8π.试利用祖恒原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为.解析：因为几何体为Ω的水平截面的截面积为4+8π，该截面的截面积由两部分组成，一部分为定值8π，看作是截一个底面积为8π，高为2的长方体得到的，对于4，看作是把一个半径为1，高为2π的圆柱平放得到的，如图所示，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖恒原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π·12·2π+2·8π=2π2+16π.答案：2π2+16π.14.(4分)对区间I上有定义的函数g(x)，记g(I)={y|y=g(x)，x∈I}.已知定义域为[0，3]的函数y=f(x)有反函数y=f-1(x)，且f-1([0，1))=[1，2)，f-1((2，4])=[0，1).若方程f(x)-x=0有解x0，则x0= .解析：因为g(I)={y|y=g(x)，x∈I}，f-1([0，1))=[1，2)，f-1(2，4])=[0，1)，所以对于函数f(x)，当x∈[0，1)时，f(x)∈(2，4]，所以方程f(x)-x=0即f(x)=x无解；当x∈[1，2)时，f(x)∈[0，1)，所以方程f(x)-x=0即f(x)=x无解；所以当x∈[0，2)时方程f(x)-x=0即f(x)=x无解，又因为方程f(x)-x=0有解x0，且定义域为[0，3]，故当x∈[2，3]时，f(x)的取值应属于集合(-∞，0)∪[1，2]∪(4，+∞)，故若f(x0)=x0，只有x0=2，答案：2.二、选择题(本大题共有4题，满分20分)15.(5分)设常数a∈R，集合A={x|(x-1)(x-a)≥0}，B={x|x≥a-1}，若A∪B=R，则a 的取值范围为( )A. (-∞，2)B. (-∞，2]C. (2，+∞)D. [2，+∞)解析：当a＞1时，A=(-∞，1]∪[a，+∞)，B=[a-1，+∞)，若A∪B=R，则a-1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=(-∞，a]∪[1，+∞)，B=[a-1，+∞)，若A∪B=R，则a-1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是(-∞，2].答案：B.16.(5分)钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件解析：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.所以“好货” “不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，答案：B17.(5分)在数列(a n)中，a n=2n-1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i·a j+a i+a j(i=1，2，…，7；j=1，2，…，12)，则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )A. 18B. 28C. 48D. 63解析：该矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i·a j+a i+a j=(2i-1)(2j-1)+2i-1+2j-1=2i+j-1(i=1，2，…，7；j=1，2，…，12)，当且仅当：i+j=m+n时，a ij=a mn(i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12)，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，其和为2，3，…，19，共18个不同数值.答案：A.18.(5分)在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、.若m、M分别为(++)·(++)的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则m、M满足( )A. m=0，M＞0B. m＜0，M＞0C. m＜0，M=0D. m＜0，M＜0解析：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，∴利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，∵m、M分别为(++)·(++)的最小值、最大值，∴m＜0，M＜0答案：D.三、解答题(本大题共有5题，满分74分)19.(12分) 如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1.证明直线BC′平行于平面D′AC，并求直线BC′到平面D′AC的距离.解析：建立空间直角坐标系，求出平面D′AC的一个法向量为=(2，1，-2)，再根据=-0，可得⊥，可得直线BC′平行于平面D′AC.求出点B到平面D′AC的距离d=的值，即为直线BC′到平面D′AC的距离.答案：以D′A′所在的直线为x轴，以D′C′所在的直线为y轴，以D′D所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系.则由题意可得，点A(1，0，1 )、B(1，2，1)、C(0，2，1)、C′(0，2，0)、D′(0，0，0).设平面D′AC的一个法向量为=(u，v，w)，则由⊥，⊥，可得，.∵=(1，0，1)，=(0，2，1)，∴，解得.令v=1，可得 u=2，w=-2，可得=(2，1，-2).由于=(-1，0，-1)，∴=-0，故有⊥.再由BC′不在平面D′AC内，可得直线BC′平行于平面D′AC.由于=(1，0，0)，可得点B到平面D′AC的距离d===，故直线BC′到平面D′AC的距离为.20.(14分)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是100(5x+1-)元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.解析：(1)求出生产该产品2小时获得的利润，建立不等式，即可求x的取值范围；(2)确定生产900千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润.答案：(1)生产该产品2小时获得的利润为100(5x+1-)×2=200(5x+1-)，根据题意，200(5x+1-)≥3000，即5x2-14x-3≥0，∴x≥3或x≤-，∵1≤x≤10，∴3≤x≤10；(2)设利润为 y元，则生产900千克该产品获得的利润为y=100(5x+1-)×=90000()=9×104[+]∵1≤x≤10，∴x=6时，取得最大利润为=457500元故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元.点评：本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值，确定函数的模型是关21.(14分)已知函数f(x)=2sin(ωx)，其中常数ω＞0(1)若y=f(x)在[-，]上单调递增，求ω的取值范围；(2)令ω=2，将函数y=f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R，且a＜b)满足：y=g(x)在[a，b]上至少含有30个零点.在所有满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值.解析：(1)已知函数y=f(x)在上单调递增，且ω＞0，利用正弦函数的单调性可得，且，解出即可；(2)利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到g(x)=2.令g(x)=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离.若b-a最小，则a和b 都是零点，此时在区间[a，mπ+a](m∈N*)恰有2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间(14π+a，b]至少有一个零点，即可得到a，b满足的条件.进一步即可得出b-a的最小值.答案：(1)∵函数y=f(x)在上单调递增，且ω＞0，∴，且，解得.(2)f(x)=2sin2x，∴把y=f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到，∴函数y=g(x)=，令g(x)=0，得，或x=(k∈Z).∴相邻两个零点之间的距离为或.若b-a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a](m∈N*)分别恰有3，5，…，2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间(14π+a，b]至少有一个零点，∴.另一方面，在区间恰有30个零点，因此b-a的最小值为.22.(16分)如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1-C2型点”(1)在正确证明C1的左焦点是“C1-C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程(不要求验证)；(2)设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1-C2型点”；(3)求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1-C2型点”解析：(1)由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为()，当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1-C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与(0，1)连线的斜率；(2)由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；(3)由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=-x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当|k|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾.从而证明了结论.答案：(1)C1的左焦点为()，写出的直线方程可以是以下形式：或，其中.(2)因为直线y=kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得.若原点是“C1-C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点.考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx(|k|＞1).显然直线x=0与C1无公共点. 如果直线为y=kx(|k|＞1)，则由方程组，得，矛盾.所以直线y=kx(|k|＞1)与C1也无公共点.因此原点不是“C1-C2型点”.(3)记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，故可设l：y=kx+b.若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=-x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=-kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1.因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，得(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0.因为|k|＞1，所以1-2k2≠0，因此△=(4kb)2-4(1-2k2)(-2b2-2)=8(b2+1-2k2)≥0，即b2≥2k2-1.因为圆O的圆心(0，0)到直线l的距离，所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾.因此，圆内的点不是“C1-C2型点”.23.(18分)给定常数c＞0，定义函数f(x)=2|x+c+4|-|x+c|.数列a1，a2，a3，…满足a n+1=f(a n)，n∈N*.(1)若a1=-c-2，求a2及a3；(2)求证：对任意n∈N*，a n+1-a n≥c；(3)是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由.解析：(1)对于分别取n=1，2，a n+1=f(a n)，n∈N*.去掉绝对值符合即可得出；(2)由已知可得f(x)=，分三种情况讨论即可证明；(3)由(2)及c＞0，得a n+1≥a n，即{a n}为无穷递增数列.分以下三种情况讨论：当a1＜-c-4时，当-c-4≤a1＜-c时，当a1≥-c时.即可得出a1的取值范围.答案：(1)a2=f(a1)=f(-c-2)=2|-c-2+c+4|-|-c-2+c|=4-2=2，a3=f(a2)=f(2)=2|2+c+4|-|2+c|=2(6+c)-(c+2)=10+c.(2)由已知可得f(x)=当a n≥-c时，a n+1-a n=c+8＞c；当-c-4≤a n＜-c时，a n+1-a n=2a n+3c+8≥2(-c-4)+3c+8=c；当a n＜-c-4时，a n+1-a n=-2a n-c-8＞-2(-c-4)-c-8=c.∴对任意n∈N*，a n+1-a n≥c；(3)假设存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列.由(2)及c＞0，得a n+1≥a n，即{a n}为无穷递增数列.又{a n}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a n≥-c，从而a n+1=f(a n)=a n+c+8，由于{a n}为等差数列，因此公差d=c+8.①当a1＜-c-4时，则a2=f(a1)=-a1-c-8，又a2=a1+d=a1+c+8，故-a1-c-8=a1+c+8，即a1=-c-8，从而a2=0，当n≥2时，由于{a n}为递增数列，故a n≥a2=0＞-c，∴a n+1=f(a n)=a n+c+8，而a2=a1+c+8，故当a1=-c-8时，{a n}为无穷等差数列，符合要求；②若-c-4≤a1＜-c，则a2=f(a1)=3a1+3c+8，又a2=a1+d=a1+c+8，∴3a1+3c+8=a1+c+8，得a1=-c，应舍去；③若a1≥-c，则由a n≥a1得到a n+1=f(a n)=a n+c+8，从而{a n}为无穷等差数列，符合要求. 综上可知：a1的取值范围为{-c-8}∪[-c，+∞).考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
2013年普通高等学校招生全国统一考试上海卷理数
2013年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题 1．计算：20lim______313n n n →∞+=+【解答】根据极限运算法则，201lim3133n n n →∞+=+．2．设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m =【解答】2220210m m m m ⎧+-=⇒=-⎨-≠⎩． 3．若2211x xx y y y=--，则______x y +=【解答】2220x y xy x y +=-⇒+=．4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示） 【解答】2222222323303a ab b c c a b ab ++-=⇒=++，故11cos ,arccos 33C C π=-=-． 5．设常数a R ∈，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则______a =【解答】2515()(),2(5)71r r r r aT C x r r r x-+=--=⇒=，故15102C a a =-⇒=-． 6．方程1313313x x-+=-的实数解为________ 【解答】原方程整理后变为233238034log 4x x x x -⋅-=⇒=⇒=．7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________【解答】联立方程组得(1)1ρρρ-=⇒=，又0ρ≥． 8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为252913118C C -=．9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，BC =Γ的两个焦点之间的距离为________【解答】不妨设椭圆Γ的标准方程为22214x y b +=，于是可算得(1,1)C ，得24,23b c ==． 10．设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x ，则方差_______D ξ=【解答】10E x ξ=，22221019)30||D d ξ=++++++=．11．若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()________x y += 【解答】1cos()2x y -=，2sin 2sin 22sin()cos()3x y x y x y +=+-=，故2sin()3x y +=．12．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________【解答】(0)0f =，故011a a ≥+⇒≤-；当0x >时，2()971a f x x a x=+-≥+即6||8a a ≥+，又1a ≤-，故87a ≤-． 13．在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为48π+，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________【解答】根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为221228216πππππ⋅⋅+⋅=+．14．对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y fx -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =【解答】根据反函数定义，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈；[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，而()y f x =的定义域为[0,3]，故当[2,3]x ∈时，()f x 的取值应在集合(,0)[1,2](4,)-∞⋃⋃+∞，故若00()f x x =，只有02x =．二、选择题15．设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（ ）(A) (,2)-∞(B) (,2]-∞(C) (2,)+∞(D) [2,)+∞【解答】集合A 讨论后利用数轴可知，111a a ≥⎧⎨-≤⎩或11a a a≤⎧⎨-≤⎩，解答选项为B ．16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 【解答】根据等价命题，便宜⇒没好货，等价于，好货⇒不便宜，故选B ．17．在数列{}n a 中，21n n a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,12i j ==）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）(A)18(B)28(C)48(D)63【解答】,21i ji j i j i j a a a a a +=⋅++=-，而2,3,,19i j +=，故不同数值个数为18个，选A ．18．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d .若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（ ）.(A) 0,0m M =>(B) 0,0m M <>(C) 0,0m M <=(D) 0,0m M <<【解答】作图知，只有0AF DE AB DC ⋅=⋅>，其余均有0i r a d ⋅≤，故选D ． 三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.C 11A【解答】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体，故1111//,AB C D AB C D =，故ABC 1D 1为平行四边形，故11//BC AD ，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC 1平行于平面DA 1C ；直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯= 而1AD C ∆中，11AC D C AD ===，故132AD C S ∆=所以，13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23．20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【解答】(1)根据题意，33200(51)30005140x x x x+-≥⇒--≥ 又110x ≤≤，可解得310x ≤≤ (2)设利润为y 元，则4290031161100(51)910[3()]612y x x x x =⋅+-=⨯--+ 故6x =时，max 457500y =元．21．（6分+8分）已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>； （1）若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，求ω的取值范围；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值． 【解答】(1)因为0ω>，根据题意有34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩(2) ()2sin(2)f x x =，()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++ 1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈，即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π，故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=．22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”； (3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”．【解答】：（1）C 1的左焦点为(F ，过F 的直线x =C 1交于(，与C 2交于(1))±+，故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”，且直线可以为x =； （2）直线y kx =与C 2有交点，则(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩，若方程组有解，则必须||1k >； 直线y kx =与C 2有交点，则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩，若方程组有解，则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2型点”。
2013—2014学年第二学期上海市高三年级八校联合调研考试数学(理科)试卷
2013—2014学年第二学期上海市高三年级八校联合调研考试数学（理科）试卷一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 在复平面上，复数()232i -对应的点到原点的距离为 ．2. 已知函数()x x x f ωω44cos sin -=()0>ω的最小正周期是π，则=ω ．3. 向量在向量方向上的投影为 ．4. 已知正数,a b 满足2a b +=，则行列式111111ab++的最小值为 ．5. 阅读右边的程序框图，如果输出的函数值y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡141,内，则输入的实数x 的取值范围是 ．6. 设αβ、是一元二次方程022=+-m x x 的两个虚根.若||4αβ=，则实数=m ．7. 集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=011x x x A ，{}a b x x B <-=．若“a ＝1”是“A B φ≠ ”的充分条件， 则实数b 的取值范围是 ．8. 已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为(0,1)A -，其右焦点到直线0x y -+=的距离为3，则椭圆的方程为 ．9. 在△ABC 中，A B C 、、所对边分别为a 、b 、c ．若tan 210tan A cB b++＝，则A = ． 10. 已知数列{}n a 的首项12a =，其前n 项和为n S ．若121n n S S +=+，则n a = ． 11. 某地球仪上北纬30︒纬线长度为12πcm ，该地球仪的表面上北纬30︒东经30︒对应点A 与北纬30︒东经90︒对应点B 之间的球面距离为 cm （精确到0.01）．12. 已知直线()2+=x k y 与抛物线x y C 8:2=相交于A 、B 两点，F 为抛物线C 的焦点．若||2||FA FB =，则实数=k ．13. 将()22x x af x =-的图像向右平移2个单位后得曲线1C ，将函数()y g x =的图像向下平移2个单位后得曲线2C ，1C 与2C 关于x 轴对称．若()()()f x F x g x a =+的最小值为m 且2m >a 的取值范围为 ．14. 已知“,,,,,a b c d e f ”为“1,2,3,4,5,6”的一个全排列．设x 是实数，若“()()0x a x b --<”可推出“()()0x c x d --<或()()0x e x f --<”，则满足条件的排列“,,,,,a b c d e f ”共有__________个．二． 选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．15. 函数()()21212-<+=x x x f 的反函数是 （ ）(A) 3)y x =≤<． (B) 3)y x =>．(C) 3)y x =≤<． (D)3)y x =>．16. 直线l 的法向量是(),n a b = . 若0ab <，则直线l 的倾斜角为 ( )(A)arctan b a ⎛⎫-⎪⎝⎭ (B)arctan a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭(C)arctan a b π+ (D)arctan b a π+ 17. 已知A 、B 、C 是单位圆上三个互不相同的点.若||||AB AC =，则AB AC 的最小值是（ ）(A)0． （B ）14-． （C ）12-． （D ）34-．18. 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，则对正整数m ，下列四个结论中：（1）232,,m m m m m S S S S S --成等差数列，也可能成等比数列； （2）232,,m m m m m S S S S S --成等差数列，但不可能成等比数列； （3）23,,m m m S S S 可能成等比数列，但不可能成等差数列； （4）23,,m m m S S S 不可能成等比数列，也不可能成等差数列；正确的是 （ ）(A)（1）（3）. （B ）（1）（4）. （C ）（2）（3）. （D ）（2）（4）.三． 解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19. （本题满分12分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）在直三棱柱111ABC -A B C 中,90 ABC =∠︒ ,11,2AB =BC =BB =，求： （1）异面直线11B C 与1AC 所成角的大小； （2）直线11B C 到平面BC A 1的距离．20. (本题满分14分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分)已知()()x b xx f 24lg2++=，其中b 是常数．（1）若()x f y =是奇函数，求b 的值；（2）求证：()x f y =的图像上不存在两点A 、B ，使得直线AB 平行于x 轴．21. （本题满分14分；第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ）如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设α=∠11H AA ．（1）试用α表示11H AA ∆的面积；（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时α的大小．22. （本题满分16分；第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+．（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：2AB OM = ．23. （本题满分18分；第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，112a b ==，222a b b ==+，n S 是{}n b 前n 项和． （1）若lim 3n n S b →∞=-，求实数b 的值；（2）是否存在正整数b ，使得数列{}n b 的所有项都在数列{}n a 中？若存在，求出所有的b ，若不存在，说明理由；（3）是否存在正实数b ，使得数列{}n b 中至少有三项在数列{}n a 中，但{}n b 中的项不都在数列{}n a 中？若存在，求出一个可能的b 的值，若不存在，请说明理由．2013—2014学年第二学期上海市高三年级八校联合调研考试数学（理科）参考答案一、 填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格二． 选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．三． 解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19.（本题满分12分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）在直三棱柱111ABC -A B C 中,90 ABC =∠︒ ,11,2AB =BC =BB =，求：（1）异面直线11B C 与1AC 所成角的大小； （2）直线11B C 到平面BC A 1的距离．解：（1）因为11//B C BC ，所以1ACB ∠（或其补角）是异面直线11B C 与1AC 所成角. ………………1分因为BC ^AB ,BC ^BB 1,所以BC ⊥平面1ABB ，所以1BC A B ⊥. ………………3分在1Rt A BC 中,11tan A BACB BC∠==所以1ACB ∠=………………5分所以异面直线11B C 与1AC 所成角的大小为 ………………6分 （2）因为11B C //平面1A BC所以11B C 到平面1A BC 的距离等于1B 到平面1A BC 的距离 ………………8分 设1B 到平面1A BC 的距离为d ，因为111B A BC A BB C V V --=，所以11111133A BC B BC S d S A B ∆∆⨯=⨯ ………………10分可得5d =………………11分直线11B C 与平面1A BC ………………12分 20.(本题满分14分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分)函数()()x b xx f 24lg2++=，其中b 是常数且R b ∈．（1）若函数()x f y =是奇函数，求b 的值；（2）求证：函数()x f y =的图像上不存在两点A 、B ，使得直线AB 平行于x 轴． 解：（1）解法一：设()y f x =定义域为D ,则：因为()x f y =是奇函数，所以对任意x D ∈，有()()0f x f x +-=，…………3分 得1b =. …………5分此时，())lgf x x =，D R =，为奇函数。
上海市八校区重点(新八校)2013届高三上学期联考数学试题
2012年-2013年上海市八校区重点（新八校）数学卷（满分150分，考试时间120分钟）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．已知集合A = { –1 , 3 , 2m – 1 }，集合B = { 3 , m 2 }，若B A A =，则实数m =____．2．复数1iz i=+对应复平面上的点Z 在第 象限． 3．已知313425757x ⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则x 的値为 ．4．以点()3,0±为焦点，且渐近线为y =的双曲线标准方程是 ． 5．已知321()nx x+的展开式中，所有二项式系数的和为32，其展开式中的常数项为 （用数字答）．6．已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A若1222=+B F A F ，则AB = ．7．函数cos cos 2()sin sin 2x x f x xx ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小正周期是 ．8．已知函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，若函数(1)y f x =-的图象经过点(31)，，则1(1)f-的值是 ． 9．右图给出的是计算201614121++++ 的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是 ．10．已知定义在R 上的函数()f x 对于任意的R x ∈，都有(2)()f x f x +=-成立，设()n a f n =，则数列{}n a 中值不同的项最多有 项．11．上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的概率是 ． 12．如右图，底面直径为20的圆柱被与底面成 60则此椭圆的焦距为 ． 13．观察以下等式：（第9题）211=，22343++=，2345675++++=，……，将上述等式推广到一般情形：对n N *∈，有等式： ． 14．在实数R 中定义一种运算“*”，具有下列性质：⑴对任意a b b a R b a *=*∈,, ⑵对任意a a R a =*∈0, ⑶对任意()()()(),,,2a b c R a b c c ab a c b c c ∈**=*+*+*- 则函数()2xf x x =*x R ∈的单调递减区间是 ． 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。
2013年上海市高考数学试卷(理科)-含答案详解
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 设常数a ∈R ，集合A ={x|(x −1)( x − a)≥0}，B ={x| x ≥ a −1}.若A ∪B =R ，则a 的取值范围为( )A. (−∞,2)B. (−∞,2]C. (2,+∞)D.E. 2，+∞)2. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( ) A. 充分条件 B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件3. 在数列{a n }中，a n =2 n −1.若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素c ij =a i · a j + a i + a j (i =1，2，…，7；j =1，2，…，12)，则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )A. 18B. 28C. 48D. 634. 在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记为A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1、a 2、a 3、a 4、a 5；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为d 1、d 2、d 3、……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………d 4、d 5.若m 、M 份别为(a i + a j + a k )·( d r + d s + d t )的最小值、最大值，其中{i ，j ，k}{1,2,3,4,5}，{r ，s ，t}{1,2,3,4,5}，则m 、M 满足( )A. m =0，M >0B. m <0，M >0C. m <0，M =0D. m <0，M <0第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共14小题，共57.0分）5. 计算：=______．6. 设m ∈R ，m 2+m −2+( m 2−1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m = ． 7. 若=，则x + y =______．8. 已知△ ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.若3 a 2+2 ab +3 b 2−3c 2=0，则角C 的大小是______(结果用反三角函数值表示)．9. 设常数a ∈R.若的二项展开式中x 7项的系数为−10，则a =______．10. 方程=3 x −1的实数解为______．11. 在极坐标系中，曲线ρ=cos θ+1与ρcos θ=1的公共点到极点的距离为______．12. 盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 (结果用最简分数表示)．13. 设AB 是椭圆Γ的长轴，在C 在Γ上，且∠ CBA =.若AB =4，BC =，则Γ的两个焦点之间的距离为______．14. 设非零常数d 是等差数列x 1，x 2，…，x 19的公差，随机变量ξ等可能地取值x 1，x 2，…，x 19，则方程Dξ=______．15. 若cos x cos y +sin x sin y =，sin2 x +sin2 y =，则sin (x +y)=______．16. 设a 为实常数，y = f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f(x)=9 x ++7.若f(x)≥ a +1对一切x ≥0成立，则a 的取值范围为______．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………17. 在xOy 平面上，将两个半圆弧(x −1)2+ y 2=1(x ≥1)和(x −3)2+ y 2=1(x ≥3)、两条直线y =1和y =−1围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω.过(0,y)(| y|≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为+8π.试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为______．18. 对区间I 上有定义的函数g(x)，记g(I)={y| y = g(x)，x ∈ I}.已知定义域为[0,3]的函数y = f(x)有反函数y = f −1(x)，且f −1( [0,1) )=[1，2)，f −1( (2,4] )=[0，1).若方程f(x)− x =0有解x 0，则x 0=______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分。
2013届高三八校联考数学(理)答案
江西省2013届八校联考数学试卷（理科）参 考 答 案一，选择题（每小题5分，共50分）二，填空题（每小题5分，共25分）11．60° 12．332- 13.900 14.1128三、选做题（考生只能从中选做一题，两题都做的，只记前一题的分，本小题5分） 15.（1）13t -≤≤ （2）31a a =<或四，解答题（本大题共6小题，共75分。
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（1）())1f x a a =⋅+-r rQ(sin ,2cos )(sin ,0)1x x x x ωωωω=⋅+-112cos 2222x x ωω=⋅-- 1sin(2)62x πω=-- ………………………………… 5分222T ππω==Q 2ω∴= ………………………………… 6分（2）ABC ∆Q 在中，22221cos 222a cb ac ac x ac ac +--=≥=…………………8分 03x π∴<≤74666x πππ<-≤- ………………………………… 9分 1()sin(4)62f x x k π∴=--=有两个不同的实数解时k 的取值范围是：1(1,)2-。
………………………………… 12分17. （1）由+n+1n -3S -2n-4=0(n N )S ∈得n n-1-3S -2n+2-4=0(n 2)S ≥…………… 2分两式相减得11320,13(1)(2)n n n n a a a a n ++--=+=+≥可得， …………… 4分 又由已知214a =，所以2113(1)a a +=+，即{1}n a +是一个首项为5，公比3q =的等比数列，所以1*531()n n a n N -=⨯-∈ …………… 6分（1）因为/111()2n n n f x a a x na x --=+++L ，所以/111201230(1)2(531)2(531)(531)(1)5[323333]2n n n n n n n f a a na n n n n ------=+++=⨯-+⨯-++⨯-+=+⨯+⨯++⨯-L L L ……………8分令1230323333n n n S n ---=+⨯+⨯++⨯L 则1213323333n n n S n --=+⨯+⨯++⨯L所以，作差得13324n n S +-=--所以1/5315(6)(1)42n n n f +⨯-+=-即15315(6)42n n n n b +⨯-+=-…………… 而215315(1)(7)42n n n n b ++⨯-++=-所以，作差得11537022n n n b b n +⨯-=--> 所以{}n b 是单调递增数列。
2013届上海市初三数学调研卷(理科班联考)
上海市2013届初三教学质量调研考试数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1、本试卷含三个大题，共25题；2、答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸，本试卷上答题一律无效；3、除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题:(本大题共6题，每题4分，满分24分)【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列计算正确的是 （A ）()632a a=； （B ）422a a a =+；（C ）()()a a a 623=⋅；（D ）33=-a a . 2. 下列四种标志中，既不是轴对称图形又不是中心对称图形的为（A ） （B ） （C ） （D ） 3. 已知点P 关于x 轴的对称点1P 的坐标是()2,3，那么点P 关于原点的对称点2P 的坐标是 （A ）()3,2--； （B ）()2,3-； （C ）()2,3--； （D ）()2,3-. 4. 已知一组数据：2、1、x 、7、3、5、3、2的众数是2，则这组数据的中位数是（A ）2； （B ）2.5； （C ）3； （D ）5.5. 设()1,2y A -、()2,1y B 、()3,2y C 是抛物线()a x y ++-=21上的三点，则1y 、2y 、3y 的大小关系为（A ）231y y y >>； （B ）213y y y >>； （C ）123y y y >>； （D ）321y y y >>. 6. 在如图1的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A 、B 是 方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出 格点C 使ABC ∆的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C 的个数是 （A ）6； （B ）5； （C ）4； （D ）3.二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 方程xx 211=-的解是 ▲ ． 8. 分解因式：=-a a 3▲ ．中国移动 中国联通 中国网通 中国电信图1AB9. 不等式组10241x x x +>⎧⎨+≥-⎩的解集为 ▲ ．10. 函数xx y 112+-=的定义域是 ▲ ． 11. 在英语句子“Wish you success!”（祝你成功！）中任选一个字母，这个字母为“s ”的概率为 ▲ ． 12. 一个射箭运动员连续射靶5次，所得环数分别是：8、6、10、7、9，则这个运动员所得环数的13. 图2为2012年伦敦奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为 ▲ 度 （不取近似值）． 14. 已知点G 是ABC ∆的重心，如果a AB =，b AC =，那么向量=BG ▲ （结果用a 和b 表示）. 15. “数学王子”高斯从小就善于观察和思考.在他读小学时候就能在课堂上快速的计算出 50501009998321=++++++ ，今天我们可以将高斯的做法归纳如下： 令 1009998321++++++= S ① 1239899100++++++= S ②①＋②：有()10010012⨯+=S ，解得：5050=S请类比以上做法，回答下列问题：若n 为正整数，()16812753=+++++n ，则=n ▲ . 16. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图3）．图4由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD 、正方形EFDH 、正方形MNKT 的面积分别为1S 、2S 、3S ，若1232013S S S ++=，则2S 的值是 ▲ ．17. 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()3,0，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且2AC =．设cot BOC m ∠=，则m 的取值范围是 ▲ .18. 如图5，矩形OABC 的两条边在坐标轴上，1=OA ，2=OC ，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为35，则第n 次()1>n 平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标 之差的绝对值为 ▲ . 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19.（本题满分10分）图2图5图3AB CDEF GH MNK T 图4阅读理解符号dc b a 称为二阶行列式，规定它的运算法则为a b ad bc c d=-.例如：2101252434253=-=⨯-⨯=.根据阅读化简下面的二阶行列式11112aa a--.20.（本题满分10分）已知1x 、2x 是一元二次方程031222=-+-m x x 的两个实数根，且1x 、2x 满足 不等式()022121>++⋅x x x x ，求实数m 的取值范围．21.（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）如图6，在ABC ∆中，AB AC =，AE 是角平分线，BM 平分ABC ∠交AE 于点M ，经过 B 、M 两点的O 交BC 于点G ，交AB 于点F ，FB 恰为O 的直径． （1）求证：AE 与O 相切； （2）当4BC =，1cos 3C =时，求O 的半径．22.（本题满分10分）如图7、图8，是一款家用的垃圾桶，踏板AB （与地面平行）可绕定点P （固定在垃圾桶底部的 某一位置）上下转动（转动过程中始终保持P A AP '=，P B BP '=）．通过向下踩踏点A 到A '（与地面 接触点）使点B 上升到点B '，与此同时传动杆BH 运动到H B ''的位置，点H 绕固定点D 旋转（DH 为B 图6旋转半径）至点H '，从而使桶盖打开一个张角H HD '∠．如图9，桶盖打开后，传动杆B H ''所在的直线分别与水平直线AB 、DH 垂直，垂足为点M 、C ， 设M B C H '='．测得cm AP 6=，cm PB 12=，cm H D 8='．要使桶盖张开的角度H HD '∠不小于︒60， 那么踏板AB 离地面的高度至少等于多少cm ？（结果保留两位有效数字，参考数据：41.12≈，73.13≈）23.（本题满分12分，第（1）小题满分2分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分6分）我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数23y x =的图象向左平移2个单位，再向下平移 4个单位，所得图象的函数表达式是()2324y x =+-．类比二次函数的图象的平移．．．．．．．．．．．．，我们对反比例函数的图象作类似的变换： （1）将1y x=的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ▲ ，再向上平移1个单位， A P B DH H ′ B ′ A ′M C 图9 A P B D H H ′ B ′ A ′ 图8 图7所得图象的函数表达式为 ▲ ； （2）函数1x y x +=的图象可由1y x =的图象向 ▲ 平移 ▲ 个单位得到；12x y x -=-的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？ （3）一般地，函数x by x a+=+（0ab ≠，且a b ≠）的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的 变换得到？24.（本题满分12分，每小题满分各4分）如图10，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，90BAC AGF ∠=∠=︒，它们的斜边长为2，若ABC ∆固定不动，AFG ∆绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合）． （1）设BE y =，CD x =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数定义域；（2）如图11，当BE CD =时，请你求出线段BD 、CE 、DE 的长，并通过计算验证222BD CE DE +=；（3）在旋转过程中，请你探究：（2）中的等量关系222BD CE DE +=是否始终成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．25.（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分6分）如图12，已知直线252+=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线b ax ax y ++=42经过 A 、C 两点，且与x 轴交于另一点B ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点Q 在抛物线上，且AQC ∆与BQC ∆面积相等，求点Q 的坐标；（3）如图13，P 为AOC ∆外接圆上ACO 的中点，直线PC 交x 轴于点D ，ACO EDF ∠=∠，当EDF ∠绕点D 旋转时，DE 交AC 于点M ，DF 交y 轴负半轴于点N ．请你探究：CM CN 的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．上海市 2013届初三教学质量调研考试数学试卷答案要点与评分标准说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分； 2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半；5．评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．一、选择题:(本大题共6题，每题4分，满分24分) 1.A ； 2.D ； 3. D ； 4. B ； 5.D ； 6.B图13图12xyOBCA1. 解析：（A ）()632a a =；正确； （B ）2222a a a =+；错误；（C ）()()2623a a a =⋅；错误； （D ）a a a 23=-；错误；故选A ． 2. 解析：（A ）是中心对称图像；（B ）即是轴对称图像、又是中心对称图形； （C ）是中心对称图像；（D ）既不是轴对称图像、也不是中心对称图像； 故选D ．3. 解析：∵点P 关于x 轴的对称点1P 的坐标是()2,3，∴点P 的坐标是()2,3-；∴点P 关于原点的对称点2P 的坐标是()2,3-.故选D ．4. 解析：数据2、1、x 、7、3、5、3、2的众数是2，说明2出现的次数最多，x 是未知数时2，3 均出现两次，∴2x =．这组数据从小到大排列：1、2、2、2、3、3、5、7，处于中间位置的数是2和3，因而中位数是：()232 2.5+÷=．故选B ．5. 解析：∵抛物线()a x y ++-=21的对称轴是1-=x ； ∴点A 关于对称轴的点A '是),0(1y ；那么点A '、B 、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边y 随x 的增大而减小，于是321y y y >>．故选D ．6. 解析：如图，首先分别在AB 的两侧找到一个使其面积是2再分别过这两点作AB 的平行线，则平行线与网格的所有交点都是满足条件的C 点，显然满足条件的C 点有5个．故选B ．二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 2=x ； 8. ()()11-+a a a ； 9. 11≤<-x ； 10. 1<x 且0≠x ； 11.72； 12. 2； 13.7900； 14. 3231-； 15. 12；16. 671； 17. 05m <≤； 18. ()1514+n n 或()156+n n ； 7. 解析：xx 211=-两边同时乘以()1-x x 得：()12-=x x ，解得2=x ． 故答案为2=x ． 8. 解析：()()()11123-+=-=-a a a a a a a ． 故答案为()()11-+a a a ．9. 解析：由01>+x 解得1->x ；142-≥+x x 解得1≤x ， 则不等式组的解集为11≤<-x ． 故答案为11≤<-x ．C10. 解析：⎪⎩⎪⎨⎧≠≠-≥-00101x x x ，解得1<x 且0≠x ． 故答案为1<x 且0≠x ．11. 解析：在英语句子“Wish you success!”中共14个字母，其中有字母“s ”4个；∴所求概率72144==． 故答案为72． 12. 解析：由题意知：平均数85971068=++++=x ； 方差()()()()()[]2898781086885122222=-+-+-+-+-=S ；∴标准差是方差的算数平方根2． 故答案为2．13. 解析：正七边形的每一个外角度数为：︒⎪⎭⎫ ⎝⎛=÷︒73607360，则内角度数是：︒⎪⎭⎫⎝⎛=︒⎪⎭⎫ ⎝⎛-︒79007360180．故答案为7900． 14. 解析：设BD 是ABC ∆的中线；∵b AC =，∴b AD 21=；∵a AB =，∴a b AB AD BD -=-=21；∵点G 是ABC ∆的重心，∴3231213232-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅==．故答案为3231-． 15. 解析：设()16812753=+++++=n S ①， 则()16835712=+++++= n S ②； ①+②得，()16823122⨯=++=n n S ；整理得：016822=-+n n ，解得14,1221-==n n （舍去）．故答案为12． 16. 解析：设AE a =，BE b =，八个三角形全等，则()21S a b =+，∵EF =222S a b =+；∵MN b a =-，∴()23S b a =-；∵1232013S S S ++=，∴()()22222013a b a b b a ++++-=；即()2232013a b+=，∴22220136713Sa b =+==．故答案为671． 17. 解析：当OC 与半径为2的A 相切时，BOC ∠最小；此时易证BOC OAC ∠=∠，在Rt ACO ∆中，3OA =，2AC =，则OC ==∴cot cot 5BOC OAC ∠=∠=； 随着C 的移动，BOC ∠可以越来越大，则cot BOC ∠的值越来越小，无限接近于0；∴0cot BOC <∠≤0m <≤． 18. 解析：设反比例函数解析式为xky =，按题意本题分两种情况讨论： （I ）若反比例函数与BC ，AB 平移后的对应边相交，与AB 平移后的对应边相交的交点的坐标为72,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，则752k=，解得514=k ，反比例函数解析式为x y 514=； 则第n 次()1>n 平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的 绝对值为()()15141514514+=+-n n n n ； （II ）若反比例函数与OC ，AB 平移后的对应边相交，则325k k -=，解得56=k ，反比例函数解析式为xy 56=； 则第n 次()1>n 平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为()()15615656+=+-n n n n ．故答案为()1514+n n 或()156+n n ． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. 解：原式=()11112-⨯--⨯a a a ……………………………………………………（5分） ()()aa a a --+-=111121+=++=a a a ．……………………………………………………………（5分）20. 解：()()0424312422≥-=-⨯⨯--=∆m m ，解得61≥m ；…………………（3分）∵231,12121mx x x x -=⋅=+；…………………………………………………（2分）∴()022*******>+-=++⋅m x x x x ，解得35<m ；………………………（3分）∴m 的取值范围是3561<≤m .…………………………………………………（2分）21. 解：（1）证明：连结OM ，则OM OB =；（1分）∴12∠=∠；∵BM 平分ABC ∠，∴13∠=∠；∴2∠∴OM ∥BC ；…………………（1分）∴AMO AEB ∠=∠；在ABC ∆中，AB AC =，AE ∴AE BC ⊥；∴90AEB ∠=︒，∴90AMO ∠=︒； ∴OM AE ⊥；…………………（1分）∴AE 与O 相切；……………（1分）（2）在ABC ∆中，AB AC =，AE 是角平分线，B∴12BE BC =， ABC C ∠=∠；∵4BC =，1cos 3C =，∴2BE =，1cos 3ABC ∠=； 在ABE ∆中，90AEB ∆=︒，6cos BEAB ABC==∠；………………………（2分）设O 的半径为r ，则6AO r =-；∵OM ∥BC ，∴AOM ∆∽ABE ∆；………………………………………（1分） ∴OM AO BE AB =，626r r -=，…………………………………………………（2分） 解得：32r =； …………………………………………………………………（1分）∴O 的半径为23．22. 解：如图，过点A '作AB N A ⊥'垂足为N 点；……………………………………（1分） 在CD H Rt '∆中，若H HD '∠不小于︒60，则2360sin =︒≥''D H C H ；即3423='≥'D H C H ；………（3分） ∴34≥'='C H M B ；………………………（1分） ∵NP A Rt '∆∽MP B Rt '∆；∴ PB PA MB N A ''=''；………………………………（2分） ∴cm P B M B P A N A 5.33212346≈=⨯≥''⋅'='；……………………………（2分） ∴踏板AB 离地面的高度至少等于3.5cm ．……………………………………（1分）【注：结果写成3.46cm 扣1分】 23. 解：（1）11y x =-；1xy x =-；……………………………………………………（2分） （2）上；1；………………………………………………………………………（2分）12111222x x y x x x --+===+---，它的图象可由反比例函数1y x =的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到；…………………………………（2分） （3）当0ab ≠，且a b ≠时，1x b x a b a b ay x a x a x a+++--===++++；………（2分） （I ）当0a >时，x b y x a +=+的图象可由反比例函数b a y x -=的图象先向左平移a 个单位，再向上平移1个单位得到；…………………………………………（2分） （II ）当0a <时，x b y x a +=+的图象可由反比例函数b ay x-=的图象先向右平移a -个单位，再向上平移1个单位得到；………………………………………（2分）24. 解：（1）∵45BAE BAD ∠=∠+︒，45CDA BAD ∠=∠+︒； ∴BAE CDA ∠=∠；A PBDHH ′ B ′A ′MCN又∵45B C ∠=∠=︒；∴ABE ∆∽DCA ∆；……………………………………………………………（1分） ∴BE BACA CD=； 由已知CA BA ==x =；………………………………………（1分） ∴y 与x 之间的函数关系式为2y x=，函数定义域为12x<<；……（1分+1分） （2）由已知BE CD =，得y x =代入2y x=，解得x y ==；…………（1分）∵2BC BD DE EC =++=，即()()2y ED DE x DE y x DE DE-++-=+-==；∴2DE =，()22212DE ==-1分）∴()2222BD CE -===(22226BD CE ===-，2212BD CE +=-；………………………………………………………（1分）∴222BD CE DE +=；…………………………………………………………（1分） （3）222BD CE DE +=成立；证明：如图，将ACE ∆绕点A 顺时针旋转90︒至ABH ∆的位置，则CE HB =，AE AH =，45ABH C ∠=∠=︒，旋转角90EAH ∠=︒；……………（1分） 连接HD ，在EAD ∆和HAD ∆中，∵AE AH =，45HAD EAH FAG ∠=∠-∠=︒=∴EAD ∆≌HAD ∆；…………………（1分）∴DH DE =；又90HBD ABH ABD ∠=∠+∠=︒；∴222BD HB DH +=；………………（1分）∴222BD CE DE +=始终成立．……（1分）25. 解：（1）由直线AC 的解析式可得：()0,5-A ，()2,0C 代入抛物线的解析式中可得：252002a a b b -+=⎧⎨=⎩，解得⎪⎩⎨=-=25b a ；………（2分）故抛物线的解析式为：258522+--=x x y ；………………………………（1分）（2）易知()0,1B ，按题意本题分两种情况讨论：（I ）当Q 在直线AC 上方的抛物线上时，ACQ ∆和BCQ ∆同底，若它们的面积相等，则A 、B 到直线CQ 的距离相等，即CQ ∥AB ；由于抛物线的对称轴为2-=x ，故()2,4-Q ；………………………………（2分）（II ）当Q 在直线AC 下方的抛物线上时，设直线CQ 交x 轴于点L ， 则ACQ ∆的面积为：Q C y y AL -⋅21，BCQ ∆的面积为：Q C y y BL -⋅21； 若两个三角形的面积相等，则有BL AL =，即()0,2-L ； 易知直线CL 的解析式为：2+=x y ，联立抛物线的解析式得：2282552y x x y x ⎧=--+⎪⎨⎪=+⎩，解得⎩⎨⎧==20y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=29213y x ； 故⎪⎭⎫⎝⎛--29,213Q ；………………………………………………………………（3分） 综上所述，存在两个符合条件的点：()2,4-Q 或⎪⎭⎫⎝⎛--29,213Q ； （3）如图，设AOC ∆的外接圆圆心为S ，连接SP ，作PDE NDR ∠=∠，交y 轴于点R ， 则ACO MDN PDR ∠=∠=∠；…………………………………（1分）由于P 是ACO 的中点，由垂径定理知SP 平行于y 轴，得：CDR ACO PSC ∠=∠=∠，RCD SPC ∠=∠；则SCP ∆∽DCR ∆；…………………………………………………………（2分） ∴DCR ∆也是等腰三角形，即DR CD =； ∴OR OC =；∵DRC PCS ∠=∠；∴DRN DCM ∠=∠；又∵NDR CDM ∠=∠，DR CD =；∴DCM ∆≌DRN ∆；……………（2分）得RN CM =；故24CN CM CR OC -===；…（1分）∴CM CN -的值不变，恒为4．【注：直接写出结论4CN CM -=给1分】。
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上海市八校2013届高三联合调研考试数学（理）试题一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．若z C ∈，且1)3(=+i z ，则z =________________。
2．函数y =的定义域为 。
3．已知(1)22xf x +=-，那么1(2)f -的值是 。
4．方程23cos cos sin cos 3=xxx x ,()4,3∈x 实数解x 为 。
5．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d = 。
6．{}n a 是无穷数列，已知n a 是二项式(12)(*)nx n N +∈的展开式各项系数的和，记12111n nP a a a =+++ ，则lim n n P →∞=____________。
7．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，∙的最大值为 。
8．双曲线过)3,3(,且渐近线夹角为60，则双曲线的标准方程为 。
9．△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知 60=∠B ，不等式2680x x -+->的解集为{|}x a x c <<，则b =______。
10．从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数中任意抽取三个数,其中仅有两个数是连续整数的概率是 。
11．如图为一几何体的的展开图，其中ABCD 是边长为6的正方形，SD=PD ＝6，CR=SC ，AQ=AP ，点S,D,A,Q 及P,D,C,R 共线，沿图中虚线将它们折叠，使P ，Q ，R ，S 四点重合，则需要________个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体。
12．)(x f 为R 上的偶函数，)(x g 为R 上的奇函数且过()3,1-，)1()(-=x f x g ，则=+)2013()2012(f f 。
13．曲线C 是平面内与两个定点F 1（-1，0）和F 2（1，0）的距离的积等于常数)1(2>a a 的点的轨迹.给出下列三个结论：① 曲线C 过坐标原点； ② 曲线C 关于坐标原点对称； ③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积大于221a 。
其中，所有正确结论的序号是 。
14．设等差数列{}n a 满足：公差*d N ∈，*n a N ∈，且{}n a 中任意两项之和也是该数列中的一项. 若513a =，则d 的所有可能取值之和为 。
二. 选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分。
15．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“32S S >”的 （ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件 16．右图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个17．若点)1,(b a M 和)1,(c b N 都在直线l ：1=+y x 上，则点)1,(ac P ，),1(b cQ 和l 的关系是 （A ）P 和Q 都在l 上 （B ）P 和Q 都不在l 上（C ）P 在l 上，Q 不在l 上 （D ）P 不在l 上，Q 在l 上18．受全球金融危机和国家应对金融危机政策的影响，某公司2012年一年内每天的利润()Q t (万元)与时间t (天)的关系如图所示，已知该公司2012年的每天平均利润为35万元，令()C t (万元)表示时间段[0,]t 内该公司的平均利润，用图像描述()C t 与t 之间的函数关系中较准确的是( )三. 解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤。
19.（本题满分12分；第（1）小题6分，第（2）小题6分） 如图，已知点P 在圆柱1O O 的底面圆O 上，AB 为圆O 的直径，2OA =，120AOP ∠=︒，三棱锥1A APB -的体积为338。
（1）求圆柱1O O 的表面积；（2）求异面直线1A B 与OP 所成角的大小。
（结果用反三角函数值表示）20．(本题满分14分；第(1)小题8分，第(2)小题6分)如图,有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD ，在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角PAQ ∠始终为45(其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上)，设,tan PAB t θθ∠==，探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S (平方百米)。
(1) 将S 表示成t 的函数； (2) 求S 的最大值。
21. (本题满分14分；第(1)小题6分，第(2)小题8分)已知椭圆C 以()()122,0,2,0F F -为焦点且经过点53(,)22P -，1A 1AQ CDP（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 过点P ，且直线l 的一个方向向量为()3,3m = 。
一组直线122,,,,,n n l l l l （*n N ∈）都与直线l 平行且与椭圆C 均有交点，他们到直线l 的距离依次为,2,,,,2(0)d d nd nd d > ，直线n l 恰好过椭圆C 的中心，试用n 表示d 的关系式，并求出直线()1,2,,2i l i n = 的方程。
（用n 、i 表示）22.（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）已知下表为函数d cx ax x f ++=3)(部分自变量取值及其对应函数值,为了便于研究,相关函数值取非整数值时,取值精确到0.01。
x -0.61 -0.59 -0.56 -0.35 0 0.26 0.42 1.57 3.27 y0.070.02-0.03-0.220.210.20-10.04-101.63根据表中数据,研究该函数的一些性质： （1） 判断)(x f 的奇偶性，并证明；（2） 判断)(x f 在[]6.0,55.0上是否存在零点，并说明理由； （3） 判断a 的符号，并证明)(x f 在(]35.0,-∞-是单调递减函数。
23．（本题满分18分；第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）对于数列123:,,(,1,2,3)i A a a a a i ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列A 变换成数列123:,,B b b b ，其中1||(1,2)i i i b a a i +=-=，且331||b a a =-。
这种“T 变换”记作()B T A =。
继续对数列B 进行“T 变换”，得到数列123:,,C c c c ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束。
（1）试问:2,6,4A 经过不断的“T 变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T 变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（2）设123:,,A a a a ，()B T A =。
若:,2,()B b a a b ≥，且B 的各项之和为2012。
求a ，b ； （3）在（2）的条件下，若数列B 再经过k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小，求k 的最小值，并说明理由。
参考答案一、填空题（本题满分56分，本大题共有14题，每题4分） 1、i --3； 2、(]0,1； 3、3 ； 4、67π； 5、2； 6、12 ； 7、1；8、124822=-x y ； 9、 10、157； 11、24； 12、-3； 13、②； 14、364；二. 选择题（本题满分20分，本大题共有4题，每题5分）15、C ； 16、C ； 17、A ； 18、D ；三. 解答题：（本题满分74分）19.（本小题满分12分；第（1）小题6分，第（2）小题6分） （1）由题意在AOP ∆中，02,120OA OP AOP ==∠=，所以AP = 1分 在BOP ∆中，02,60OB OP BOP ==∠=，所以2BP = ………………………… 2分1113A APB APB V S AA -∆=⋅ 33823221311=⋅⋅⋅⋅=AA解得14AA =, …………………………………………………………………………… 4分πππ24422222=⋅⋅+⋅=表S .………………………………………………………… 6分（2）取1AA 中点Q ，连接OQ ，PQ ，则1//OQ A B ，得POQ ∠或它的补角为异面直线1A B 与OP 所成的角. ………………………… 8分又AP =2AQ AO ==，得OQ =4PQ =，由余弦定理得222cos 24PO OQ PQ POQ PO OQ +-∠==-⋅，…………………………… 10分得异面直线1A B 与OP 所成的角为arc cos4. ……………………………………… 12分 20．(本题满分14分；第(1)小题8分，第(2)小题6分)(1) 10,≤≤=t t BP ,……………………………………………………………………… 2分θ-=∠045DAQ ,ttDQ +-=-=11)45tan(0θ …………………………………… 4分)121(212112121-1S -S -ADQABP ABCD +++-=+-⋅-==∆∆t t tt t S S 正方形[]1,0∈t …………………………… 8分[]时取等号。
当且仅当12221,0),121(212)2(-=-≤∈+++-=t t t t S ……………………………………………… 12分 探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 最大值为22-(平方百米) …… 14分 21. (本题满分14分；第(1)小题6分，第(2)小题8分)（1）10102221=⇒=+=a PF PF a ,………………………………………… 2分又6,22=∴=b c ，…………………………………………………………… 4分161022=+∴y x C 的方程：椭圆……………………………………………… 6分(2)04323325=+-⇒-=+y x y x l 的方程为：直线 ……………………… 7分 直线l l n //且过椭圆C 的中心,∴直线n l 的方程为:0=-y x 由题意知:直线n l 到l 的距离为nd ,即:nd nd 2224=⇒= ()*,22N n nd ∈=∴……………………………………………………………… 8分 设直线)2,,2,1(n i l i =的方程为:0=+-i c y x ,……………………………… 9分直线)2,,2,1(n i l i =与椭圆1610:22=+y x C 有交点, 消去y ,得030510822=-++i i c x c x ,0)305(3210022≥--=∆i i c c44≤≤-⇒i c ……………………………………………………………………… 11分由题意知: 直线)2,,2,1(n i l i =到l 的距离为id .即:id c id c c i ii 242424-=⇒=-=-).1(42224nii n c i -=⨯-=∴………………………………………………… 13分 所以直线)2,,2,1(n i l i =的方程为:0)1(4=-+-ni y x …………………… 14分22.（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）（1）0,0)0(=∴=d f ,cx ax x f +=∴3)( , ………………………………… 2分)()(x f x f -=-∴,)(x f ∴为奇函数；…………………………………………… 4分 （2） 由已知可得：0)59.0()59.0(<--=f f ， 0)56.0()56.0(>--=f f ，)(x f ∴在[]59.0,56.0上存在零点； …………………………………………… 8分)(x f ∴在[]6.0,55.0上存在零点； …………………………………………… 10分 （3） )(x f 在[]6.0,55.0上存在零点m ,cx ax x f +=3)(是奇函数，)(x f ∴在[]55.0,6.0--上存在零点m -， ))(()(m x m x ax x f +-=∴0)57.1)(57.1(57.1)57.1(<+-⋅⋅=m m a f ，而057.1,057.1>+>-m m 0<∴a ………………………………………………………………………… 12分 (其他解法相应给分) )()(2acx ax x f +=在[]6.0,55.0上存在零点 []3025.0,36.0,6.055.0--∈∴≤-≤∴aca c ……………………………… 14分 设35.021-≤<x x))(()()(2221211212acx x x x x x a x f x f +++-=- 1225.0,1225.0,1225.0212122>>≥x x x x ；036.03675.0212122>->+++∴acx x x x 又0<a0)()(12<-∴x f x f)(x f ∴在(]35.0,-∞-是单调递减函数。