最新人教版初中九年级上册数学难点探究专题：相似三角形中的动点及探究型问题
九年级相似三角形知识点总结
九年级相似三角形知识点总结相似三角形作为九年级数学中的重要内容，涉及到比例、角度、边长等概念。
在本文中，我们将对九年级相似三角形的相关知识点进行总结。
以下是该知识点的详细内容：一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同形状但大小可能不同的三角形。
在两个相似三角形中，对应角度相等，对应边长成比例。
1. 对应角相等性质：若两个三角形的内角分别对应相等，那么这两个三角形是相似的。
2. 对应边成比例性质：若两个三角形的三条边之间成比例，那么这两个三角形是相似的。
3. 相似三角形的比例关系：设两个相似三角形A和B，它们的对应边长分别为a、b和c、d。
则有以下比例关系成立：a/b = c/d = k （k为比例系数）二、相似三角形的判定方法判定两个三角形是否相似，常用以下方法：1. AA相似判定法：若两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形一定相似。
2. AAA相似判定法：若两个三角形的三个角分别对应相等，那么这两个三角形一定相似。
3. SSS相似判定法：若两个三角形的三边分别成比例，那么这两个三角形一定相似。
三、相似三角形的性质应用相似三角形的性质在解决实际问题中有广泛的应用。
以下是相似三角形的性质在实际问题中的应用：1. 测量不可达长度：在实际测量中，有时由于某些原因，无法直接测量出几何图形中的某些边长。
利用相似三角形的比例关系，可以间接计算出这些不可达长度。
2. 高度与距离计算：利用相似三角形的性质，可以求解建筑物高度、山上塔楼高度等实际问题中需要计算的高度和距离。
3. 相似三角形的构造：利用相似三角形的特点，可以进行各种构造问题的求解，如分割线段、求解垂足等问题。
四、相似三角形与比例运算相似三角形的性质与比例运算密切相关。
以下是相似三角形与比例运算的相关内容：1. 比例关系的运用：相似三角形的性质中涉及到边长的比例关系，通过运用比例关系，可以计算出未知边长的具体值。
2. 比例运算的应用：在解决相似三角形实际问题中，我们可以借助比例运算的方法，确定未知量的数值。
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解相似三角形基本知识放缩与相似图形的放大或缩小称为图形的放缩运动。
当两个图形形状相同时，我们称它们为相似图形，或者简称相似性。
需要注意的是，相似图形强调形状相同，与它们的位置、颜色、大小等因素无关。
相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的。
当两个图形形状和大小都相同时，这时是相似图形的一种特例——全等形。
相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
需要注意的是，当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度比值为1.比例线段有关概念及性质比例线段的概念比指同一单位下两条线段的长度比较，若两线段的长度分别为m和n，则它们的比为a:b=m:n（或bn）。
比的前项为a，后项为b。
比例指两个比相等的式子，如比例线段的性质对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即比例线段的基本性质是两外项的积等于两内项积，即acbd=adbc。
比例线段还有反比性质、更比性质、合比性质等。
其中，反比性质指如果注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项、后项之间发生同样的和差变化比例仍成立。
例如：$\frac{b-ad-c}{ac}=\frac{bd}{a-b+c-d}=\frac{a+bc+d}{ac}$。
5.等比性质：若$\frac{a+c+e+\cdots+m}{a\cdot c\cdote\cdots m}=\frac{b+d+f+\cdots+n}{b\cdot d\cdot f\cdots n}$，其中$b+d+f+\cdots+n\neq 0$，则$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\cdots=\frac{m}{n}$。
注意：(1)此性质的证明运用了“设$k$法”，这种方法是比例计算和变形中一种常用方法。
相似三角形动点问题
相似三角形中的动点问题（1）例1：如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动,动点Q从点C出发以1cm/s的速度向点A移动,如果点P、Q同时出发,要使△CPQ与△CBA相似,所需的时间是多少秒？练习1：在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=20cm, BC=15cm,现有动点P从点A出发,沿AC向点C方向运动，动点Q 从点C出发,沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s,点Q的速度是2cm/s，它们同时出发,当有一点到达所在线段的端点时,就停止运动,设运动时间为t.求:(1)当t=3s时，P,Q两点之间的距离是多少？(2)若△CPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式.(3)当t为多少时,以点C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似？练习2：课后作业：（选做题）如图,已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形,动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发,分别沿AB 、BC 匀速运动,其中点P 运动的速度是1cm/s,点Q 运动的速度是2cm/s.当点Q 到达点C 时,P 、Q 两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题:(1)当t=2时，判断△BPQ 的形状,并说明理由; (2)设△BPQ 的面积S(cm2),求S 与t 之间的函数关系式; (3)作QR ∥BA 交AC 于点R, 连接PR,当t 为何值时,△APR ∽△PRQ.1、2、相似三角形中的动点问题（2）例2：如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3, DC=5, AB=42,∠B=45°,动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动,设运动时间为t秒.(1)求BC的长;(2)当MN∥AB时, 求t的值;(3)试探究:t为何值时,△MNC为等腰三角形.练习：课后作业：1、平面直角坐标系中,已知点A(0，6)、点B(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动,同时Q点从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动,设点P、Q移动的时间为t秒;(1)求直线AB的解析式;(2)当t为何值时, 以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOC相似？(3)当t=2秒时,四边形OPQB的面积是多少个平方单位.（选做题）（3）在AB上是否存在点M,使得△EFM为等腰直角三角形？若存在，请求出EF的长；若不存在，请简要说明理由.2、。
(完整word版)九年级数学相似三角形知识点及习题
相似三角形要点一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）： b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
二、有关知识点：1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SASSSS AAS （ASA ） HL 相似三角形的判定 两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8.相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ X ”型。
相似三角形动点问题题型
x A O Q P B y动点问题 题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点 1、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。
然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。
图（3）ABC OEF AB CO D图（1）ABOE FC 图（2） 2、如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60º．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论xy M CD P QOAB 3、如图，已知抛物线(1)233(0)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。
史上最全!!!!相似三角形难题精选
相似三角形难题精选模块一：相似三角形中的动点问题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C 沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A 点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB 以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s 的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q 同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。
初三数学相似三角形的动点问题
初三数学---相似三角形的动点问题模型：图務中，如果存在一个或者两个动点，求两个动点与某一个定点所构成的三角邢与原三角形相似 如图：RtAABC 中，AB=8, AO10*点卩以每秒1个单位由A 点向B 点够动，点Q 以每秒2个单位由匚点向A 点移动，当其中一点到达时，两个运动的点同时停止运动，问：如杲设运动吋间为匚当t 为 多少时’ AAPQ 与△ABC 相似？分祈：(1)动点：在本筷型中，卩、Q 为两个动点，线段AP 、BP. CQ. AQ 长随时莊找生改变.但是， AP 段代表P 点移动的距离，可以用 ________________ 来表示，那么BP 线段可以用 ____ 来表示一同理,CQ 线段代表Q 点移动的距离，可以用 ______ 表示，AQ 则囲 _______ 養示.(2)相似：两种情况：①△APQ S AABC;②厶APQ S AACB证明：〒先 AP 二 __ , BP= ___________ , CQ=_______, AQ= __________①当△APQ S AABC 时②当△APQ CO AACB 时AP _ <)AE - <AP L?AC _：t ( \ t _ f ? a~ r \d'lQ _ ( 3:X =.-.t =当亡=或上=时’ AAPQ 与△ABC 相似.总结：在劫点型间題中，我们要注意两项：1，把国形中所有变化的議段的长度全部用字母表示出来; 2. 在求证三角瑙相似时，要记住有两种情况！例1在RtAABC中，ZC=90D , AO20cm. BC=15cm.现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点（：出发’沿线段OJ也向点B方向运动.如果点卩的速度是4切/秒「点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点吋，就停止运动.设运动的时间为t秒，（1）用含t的代数式表示RtACPQ的血积Sj <2）当说秋时*人Q两点之间的距离是务少？（3）当t为多少秒时，以点C.Q为顶点的三箱形与比相似?例2如图*在矩形ABCD中，AB-12CJT, BC-ficm，点卩沿妞边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动：点◎沿DA边从点D开始问点A以lcm/s的速度’如果化Q同时出发，用t （s）袤示移动的时虬共屮0<t<6（那么：（1）当t为何值时，△QA卩是等腰直角三角形？住）求四边形QAPC的谄枳，提出一牛与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A. P为顶点的三角形与△ABC相似？A P U例3如圈所示，在A ABC BA=BC=20cm J AC=30cm,点卩从A 点出发，沿着屈以每秒4伽的速度向11 点运动；同时点Q 从匚点出发，沿CA 以每秋3cm 的速度向A 点运动’设运动时间为x, ｛门当x 为何值时,能，请说明理由.例巾如图，在平面直角坐标系内，己知点A (0,6X 点H (8+0),动点卩从点A 幵始在线段AO 上以每秒I 个单位长度的速度向点0移动*同时动点Q 从点R 开始在线段BA 上以每秒2个单位抵度的速度向点A 移动’设点巴Q 移动的时间为t 秒.(D 求直线AB K 解析式；(2)当t 为何值时+ MPQ 与MOR 相伽课堂练习PQ//BC?的值* (3) AAPQ 能否与ACQB 相似？若能，求出2的长；若不<3)当t 为何值时’ 24MPQ 的血积为g 个平方单位?*砒Q1*如图*直角梯形ABCD中，AD/7BC. AB丄BC,若AD=2, BC=3, AB^7,动点P在AB上，则使△PAD与△PBC相似的PA的值？(求出所有可能的情形)2.如图’在长方形ABCD中，AB-2T BC=4, Q是DC边的中点，P为一动点，若点P从B点出发：以1个单位/秒的速度沿着BC方向运动.设从点B出发运动了1秒，(1)写出AAQP的面积y关于x的函数关系式.并求出自变量從的取值范围.(2)问当x取何值时，AAQP是等腰三角形？3,如图，AABC中，ZC=90° , AC=3cm, BC=4cm,动点P从点B岀发以2cm/s的速度向点C移动，动点Q 从C出发以1cm/s的速度向点A移动，如果动点P、Q同时出发，耍使ACPQ与ACBA相似「所需要的时间是多少秒？P4. i □图，正方形ABCD 的边长为4, E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 点作PF 丄AE 丁 F. 1 ）求证：A PFA^A ABE ：<2)当点P 在射线AD 上运动时，设PA=x,是否存在实数也使以P 、F 、E 为顶点的三角形也与A ABE相似？若存在，请求出x 的值：若不存在，说明理由*5. 如图，已^flAABC 是边长是6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中，点P 运动的速度是Icm/s,点Q 送动的速度是2cm/s.当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点 都停止运动，设运动时间为t, (I)当"2时，判断ZXBPQ 的形状，并说明理由；(2)设ABPQ 的面积为 S,求S 与I 的函数关系式：(3)作QR//BA 交AC 于点R,连接PR*当t 为何值时，AAPR^APRQ?BRC。
相似三角形的动点问题题型(整理)
相似三角形的动点问题题型(整理) 相似三角形的动点问题一、动点型例1、已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形。
当点M在点B左侧时，可以得出结论：EN与MF相等且点F不在直线NE上。
当点M在BC上时，该结论仍然成立，可以利用图2证明。
若点M在点C右侧时，画出相应的图形，可以直接得出结论，不必证明或说明理由。
例2、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm。
点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动。
点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G时，三个点随之停止移动。
设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）。
1）当t=1秒时，S的值为多少？2）S与t之间的函数解析式为S=2t^2+4t，自变量t的取值范围为0<t<2.3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似。
理由是BC与FG平行，因此△BEF与△FCG相似，当EF=FG 时，两个三角形相似，即t=1秒。
二、迁移应用1、已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s）。
1）当t＝2时，可以判断△BPQ为等腰三角形，因为BP=2PQ，且∠BPQ=120°。
2）设△BPQ的面积为S（cm2），则S=6t/(5+t)，其中0<t<2.3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t=2时，可以得出△APR∽△PRQ，因为∠RAP=∠QRP且∠APR=∠RPQ。
2、在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5)。
(word完整版)相似三角形动点问题题型
动点问题 题型方法归纳动态几何特点—---问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置.） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨. 一、三角形边上动点1、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点,动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度,点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ,求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．提示:第（2)问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；图（3）B图（1）B图（2）2、如图,AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60º． （1）求⊙O 的直径;(2）若D 是AB 延长线上一点,连结CD,当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形． 注意：第（3）问按直角位置分类讨论OM AD∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；t s．问当t （2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为()为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形?等腰梯形？，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位（3)若OC OB的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s，连接PQ,当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．Array注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ面积最大时，四边形BCPQ的面积最小。
九年级数学上册《相似三角形的性质及其应用》教案、教学设计
6.课后布置综合性、实践性作业，让学生将所学知识应用于实际情境，提高学生的几何建模和解决问题的能力。
-例如，让学生设计一幅利用相似三角形原理的图案，或解决生活中的实际问题。
7.开展课后辅导和个性化教学，关注学生的个体差异，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
（2）学生通过观察、分析，总结相似三角形的性质，如对应角相等、对应边成比例等。
（3）教师引导学生运用相似三角形的性质解决实际问题，如求线段长度、角度大小等。
（4）教师讲解相似三角形判定方法，如AA、SAS、SSS等，并结合实例进行分析。
（三）学生小组讨论
1.教学内容：相似三角形性质的应用问题。
2.教学活动设计：
-对于学习困难的学生，教师可以提供针对性的辅导，帮助他们克服难点，提高学习效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：通过展示实际生活中含有相似三角形元素的图片，如建筑物的立面图、艺术作品等，引发学生对相似三角形的关注。
教师引导学生观察这些图片，并提出问题：“这些图片中有什么共同特征？它们在几何学中有什么特别之处？”
（1）学生分享本节课的收获，教师点评并补充。
（2）教师强调相似三角形在实际生活中的重要性，激发学生学习兴趣。
（3）教师布置课后作业，巩固所学知识。
（4）教师鼓励学生继续探索相似三角形的相关知识，为后续学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固学生对相似三角形性质的理解和应用，以及培养学生的几何思维和问题解决能力，特布置以下作业：
（二）教学难点
1.相似三角形性质的推导和应用，尤其是相似三角形面积比等于相似比的平方这一结论的理解。
专题12 难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略(原卷版)
专题12难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 (1)【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 (2)【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 (4)【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 (5)【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】 (7)【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】 (9)【典型例题】【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】【变式训练】1．（2023秋·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在钝角A出发运动到点B停止，动点E运动的速度为2cm/s．如果两点同时运动，那么当以点2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，米/秒的速度同时开始运动，其中点直移动到点A为止．经过多长时间后，3．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点0），动点P从点A开始在线段段BA上以每秒2个单位长度的速度向点(1)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？(2)当t为何值时，△APQ的面积为24 5【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】【变式训练】2．（2023春·江苏无锡·八年级宜兴市实验中学校考阶段练习）如图，在矩形连接BD，点M，N分别是边BC，终落在BD上，当PBM为直角三角形时，线段3．（2023·江苏盐城·校考一模）如图，在动点，过点E作DE⊥为等腰三角形时，当BCF4．（2023·山东济宁·统考一模）如图，在矩形点P是直线BC上的一个动点．若【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】【变式训练】1．（2023·江苏苏州AE翻折得AFE△连接PF，则PQ2．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，矩形△M，连接EM、BM，将BEM为．3．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在正方形，上的动点，且BEG是AB CD为．4．（2023·江苏南通·统考三模）点C 的坐标为()0,3上一点，且3AQ PQ =【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】例题：（2023春·河南安阳·九年级统考期末）如图，正方形ABCD 一边AB 在直线l 上，P 是直线l 上点A 左侧的一点，24AB PA ==，E 为边AD 上一动点，过点P ，E 的直线与正方形ABCD 的边交于点F ，连接BE BF ，，若设DE x =，BEF △的面积为S ，则能反映S 与x 之间函数关系的图象是（）A ．B ．．．2023·山西运城·统考二模）如图中，36B ∠=︒，动点P 速运动至点C 停止．点P 的运动速度为，设点P 的运动时间为t （函数图像如图2所示．当AP 时，BP 的长为（）A ．252+B ．425-C ．4+2．（2023·河南焦作·统考二模）如图，在Rt ABC △中，过点P 作直线l AB ⊥，交折线ACB 于点Q ．设AP x =A ．．．．2023·安徽合肥·校联考二模）如图，在正方形ABCD 中，1AB =，动点P 从A 点出发沿和BC 上匀速移动，连接DP 交BC 或BC 的延长线于Q ，记点移动的距离为x ，的函数图像大致是（）A ．B ．C ．D ．4．（2023·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线l 是线段AB 的中垂线，l 与AB 相交于点C ，D 是位于直线AB 下方的l 上的一动点（点D 不与点C 重合），连接AD BD ，，过点A 作AE BD ∥，过点B 作BE AE ⊥于点E ，若6AB =，设AD x =，AE y =，则y 关于x 的函数关系用图像可以大致表示为（）．A ．B ．C ．D ．【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】例题：（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，点B 的坐标为()12,8，现有两动点P ，Q ，点P 以每秒3个单位的速度从点O 出发向终点A 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从点A 出发向终点B 运动，连接PC ，PQ ，CQ ．设运动时间为t 秒()0t >．(1)点P 的坐标为______，点Q 的坐标为______（用含t 的代数式表示）；(2)请判断四边形APCQ 的面积是否会随时间t 的变化而变化，并说明理由；(3)若A ，P ，Q 为顶点的三角形与OCP △相似时，请求出t 的值．【变式训练】(1)BM =________；BN =__________．(2)若BMN 与ABC 相似，求t 的值；(3)连接AN CM ，，如图2，若AN CM ⊥BC=，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右（2）如图2，四边形ABCD是矩形，2AB=，4CG CE=，连接DG，BE．判断线段DG与BE，有怎样的数量关系和位置关系，侧作矩形CEFG，且:1:2并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点E是从点A运动D点，则点G的运动路径长度为______；+的最小值为______．（4）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG BE【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】【变式训练】【基础巩固】（1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论；（2）A 、B 、C 、是同一直线l 上从左到右顺次的点，点P 是直线外一动点，【尝试应用】①若2AB =，1BC =，延长AB 至D ，使CD BC =【拓展提高】②拓展：若AB m =，BC n =，()m n ≠，P 点在长为___________（用含m 、n 的式子表示）．。
相似三角形难题集锦(含答案)
一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC 中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。
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难点探究专题：相似三角形中的动点及探究型问题 ◆类型一 相似中的动点问题
1．如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 边上的动点，N 在CD 上，且CN ＝14
CD ，若AB ＝1，设BM ＝x ，当x ＝ 时，以A 、B 、M 为顶点的三角形和以N 、C 、M 为顶点的三角形相似．
第1题图
2．如图，已知矩形ABCD 的边长AB ＝3cm ，BC ＝6cm.某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向A 点匀速运动．若以A 、M 、N 为顶点的三角形与△ACD 相似，则运动的时间t 为
s.
第2题图
3．如图，在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，直线l 经过C ，且l ∥AB ，P 为l 上一个动点，若△ABC 与△P AC 相似，则PC ＝ .
4．如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB ＝6cm ，CD ＝4cm ，BD ＝14cm ，点P 在直线BD 上，由B 点向D 点移动．
(1)当P 点移动到离B 点多远时，△ABP ∽△PDC?
(2)当P 点移动到离B 点多远时，∠APC ＝90°？
【方法10.2】
◆类型二 相似中的探究型问题
5．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 在边AB 上，线段DC 绕点D 逆时针旋转，端点C
恰巧落在边AC 上的点E 处．如果AD DB ＝m ，AE EC
＝n .那么m 与n 满足的关系式是：m ＝ (用含n 的代数式表示m )．
6．(盐城中考)设△ABC 的面积为1，如图①，将边BC 、AC 分别2等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 1；如图②，将边BC 、AC 分别3等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 2…依此类推，则S n 可表示为 (用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．
7．(淄博中考)如图，在△ABC 中，点P 是BC 边上任意一点(点P 与点B ，C 不重合)，平行四边形AFPE 的顶点F ，E 分别在AB ，AC 上．已知BC ＝2，S △ABC ＝1.设BP ＝x ，平行四边形AFPE 的面积为y .
(1)求y 与x 的函数关系式；
(2)上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x 取何值时，y 有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由．
难点探究专题：相似三角形中的动点及探究型问题 1.12或45 2.2.4或1.5 3.6.4或10 4．解：(1)由AB ＝6cm ，CD ＝4cm ，BD ＝14cm ，设BP ＝x cm ，则PD ＝(14－x )cm.若
△ABP ∽△PDC ，∴AB PD ＝BP DC ，即614－x ＝x 4
，变形得14x －x 2＝24，即x 2－14x ＋24＝0，解得x 1＝2，x 2＝12，∴BP ＝2cm 或12cm 时，△ABP ∽△PDC ；
(2)若∠APC ＝90°，则∠APB ＋∠CPD ＝90°.又∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴∠A ＋∠APB ＝90°，∴∠A ＝∠CPD ，∴△ABP ∽△PDC ，由(1)得此时BP ＝2cm 或12cm ，则当BP ＝2cm 或12cm 时，∠APC ＝90°.
5．2n ＋1 6.12n ＋1
7．解：(1)∵四边形AFPE 是平行四边形，∴PF ∥CA ，∴△BFP ∽△BAC ，∴S △BFP S △BAC ＝⎝⎛⎭
⎫x 22
.∵S △ABC ＝1，∴S △BFP ＝x 24，同理：S △PEC ＝⎝⎛⎭⎫2－x 22，∴y ＝1－x 24－
4－4x ＋x 24，∴y ＝－x 22＋x ； (2)上述函数有最大值，最大值为12.理由如下：∵y ＝－x 22＋x ＝－12(x －1)2＋12，－12
＜0，∴y 有最大值，∴当x ＝1时，y 有最大值，最大值为12
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后序
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