复旦考研数学白皮书电子版
考研资料评价
政治：1、任汝芬（1—4）任一不是必要的，任一和红宝书买其中一本就可以了任二或陈先奎2000或高教1600应该任选一本（不要买多了，一本书做精了）任三和任四不应该少，很经典2、肖秀荣的最后几套卷子，可能时间不够用，但是最起码应该做选择题，大题看一下。
3、海天的28题。
我的大题基本上就是靠这本书了，红色的，不是很厚，背起来没那么大压力。
4、陈先奎2000题有说这个好的，我也买了，不过没做多少，太厚了，我觉得一般般，不是太好，不适合做。
5、徐之明的《最后二十天突破》，我买了，没有看，不过有同学背过，评价很高，有不少压中的题。
但是徐之明其他书给我的印象很差，不怎么样，尤其是梯度训练。
徐之明的讲义很好，适合打基础，而且把知识点梳理的不错，徐之明的博客上可以免费下到的。
6、领航的政治资料很好，基础阶段很适合，吃透了可以打的很牢固。
张俊芳、隋原、徐之明等。
英语：1.、新东方红宝书单词很不错的一本书，天天背，一直到考研前的一天。
还有MP3听力。
2、张剑的黄皮书真题解析五星级的推荐书，太经典了，畅销很多年。
我仔细看了两遍，受益很多。
3、星火的巅峰阅读100篇(王轶群) 炒的很火的一本书，我彻彻底底的做了，感觉不怎么样，和做真题的感觉差远了，不怎么样。
4、张剑的新编考研英语阅读理解150篇，五星级的推荐书，我在十月份开始彻彻底底的做了基础篇。
这本书解析的非常好，应该做。
5、新东方的李玉枝编的长难句分析没有这本书，英语复习不完整，我周围的同学基本上都有这本书，可惜大家到后来都不再看了，我一直坚持看到十二月底，不过也没看完。
学了不少从句，翻译从此不是那么可怕了，顺便的又学了不少单词。
6、新东方的考研英语词组必备金莉编的可以和长难句称兄道弟，不过这本书不怎么适合我这样的低水平英语复习者，英语拔高必备。
买了，背了不到一个月就收藏了，考上了再背，7、考研英语最后预测五套题曾鸣张剑编最后十几天我就是靠这个熬过英语的，很不错。
复变函数复习大纲001及真题for 复旦大学版
复旦大学的版本复变函数复习提纲(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：两个复数不能比较大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下： 当0,x > arg arctan yz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z xx y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±由别人整理的2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()11221111212122222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复旦考研辅导班;复旦物理学系考研资料汇集大全
复旦考研辅导班;复旦物理学系考研资料汇集大全复旦考研辅导班----复旦物理学系考研参考书
物理电子学
《量子力学》苏汝铿复旦大学出版社光电测试技术
浦昭邦机械工业出版社
《量子力学导论》曾谨言北京大学出版社《自动控制原理》上册吴麒主编清华大学出版社
等离子体物理
《量子力学》苏汝铿复旦大学出版社光电测试技术
浦昭邦机械工业出版社
《量子力学导论》曾谨言北京大学出版社《自动控制原理》上册吴麒主编清华大学出版社
光电系统与控制技术
《量子力学》苏汝铿复旦大学出版社光电测试技术
浦昭邦机械工业出版社
《量子力学导论》曾谨言北京大学出版社《自动控制原理》上册吴麒主编清华大学出版社
复旦考研辅导班----复旦物理学系考研真题
1.已知两块半导体电子浓度之比为e，第一块的费米能级在导带下3kt，问第二块的费米能级位置和两块的空穴浓度之比
2.求锗中电子的平均自由时间和自由程
3.光生载流子稳定注入情况下的载流子的浓度表达式。
考研数学公式手册随身看(打印版)
(1) lim( f ( x) ± g ( x)) = A ± B ； 极限的四 则运算 (2) lim f ( x) g ( x) = A B ；
(3) lim f ( x) A = ( B ≠ 0) g ( x) B
(2) (最值定理)设函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上连续,则在 [ a, b] 上
α ( x) = c (c ≠ 0), 则α ( x)与β （x) 是同阶无穷小， β ( x)
α ( x) (4)若 lim = 1, 则α ( x)与β （x)是等价的无穷小， β ( x) 记为α(x) β(x) (5)若 lim α ( x) = c (c ≠ 0), k > 0, 则α ( x)是β （x)的k阶无穷小 β k ( x)
1 (夹逼定理）设在x0的邻域内，恒有ϕ （x) ≤ f ( x) ≤ φ ( x),
且 lim ϕ ( x) = lim φ ( x ) = A, 则 lim f ( x) = A
x → x0 x → x0 x → x0
= ∞, 则α ( x)是比β （x)低阶的无穷小，
2 单调有界定理：单调有界的数列必有极限 3 两个重要极限：
研
社
1 幂函数: y = x µ ( µ ∈ R ) ;
基本初等 2 指数函数 y = a x ( a > 0 且 a ≠ 1 ); 函数的性 3 对数函数: y = log a x ( a > 0 且 a ≠ 1 ); 质及其图 形， 初等函 4 三角函数:如 y = sin x, y = cos x, y = tan x 等; 数， 函数关 5 反三角函数:如 系的建立： y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x 等. 初等函数： 由常数 C 和基本初等函数经过有限次四则运算与有限此复合 步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，称为初等函 数. 1 lim f ( x) = A ⇔ f − ( x0 ) = f + ( x0 ) = A 数 列 极 限 x→x 与函数极 2 lim f ( x) = A ⇔ f ( x0 ) = A + a( x), 其中 lim a( x ) = 0 限 的 定 义 x→x x→x 及其性质， 3(保号定理) 函数的左 f ( x ) = A, 又A > 0(或A < 0), 则∃一个δ > 0 , 极 限 与 右 设 xlim →x 极限
复旦高数b上知识点总结
复旦高数b上知识点总结篇一：年考研数学复习全书基础篇数学单科复习计划考研数学分后数学一、数学二、数学三三种。
其中:数学一就是对数学建议较低的理工类的；数学二就是对于数学建议必须高一些的农、林、地、矿、油等等专业的；数学三就是针对经济等方向的．试卷满分为分，考试时间为分钟.试卷题型结构单选题 8小题，每题4分，共32分填空题 6小题，每题4分后，共24分后解答题(包括证明题) 9小题，共94分，其中5个10分，4个11分。
试题内容其中数一和数三考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计，其中高等教学56%，线性代数 22%，概率论与数理统计 22%。
但数学三属于经济类，总体比数一要简单一些，还有空间解析几何、曲线积分、曲面积分等不作要求。
数学二考高数和线性代数，不考概率与数理统计。
其中高等教学 78%，线性代数 22%。
所推荐教材：1 、《高等数学》（上下册）第五版或第六版，同济大学应用数学系，高等教育出版社。
2 、《线性代数》第四版，同济大学应用领域数学系，高等教育出版社3 、《概率论与数理统计》第三版，浙江大学盛骤等，高等教育出版社数学总分分后，所以在考研中起至同意促进作用。
考研数学复习计划1、起步阶段（至年11月）了解数学考研内容、考试形式和试卷结构，对自我进行评测并对测评结果认真分析，找出弱点与不足，制定科学合理的个性化学习计划，准备资料进入复习状态。
2、基础阶段（.12~年6月）学习目标：全面整理考研数学的知识点，掌握基本概念、定理、公式并能进行基本应用，经典教材基础知识掌握熟练，课后习题能够独立解决，基础试题测试正确率达到90%以上。
自学形式：出席基础班视频教学自学和教师辅导解惑结合。
其中视频教学80课时，解惑辅导及科学知识补足约80课时。
学习时间：从年12月~6月，约6~7个月时间，每天3~4小时。
基础较差或要考高分（分以上）的学员时间最好提前开始复习。
自学方法：根据去年考研数学大纲建议融合教材对应章节系统备考，踢不好基础，特别就是对大纲中建议的基本概念、基本理论、基本方法必须系统认知和掌控，顺利完成数学考研集训的基础准备工作。
高等数学上复旦大学出版习题1答案.pdf
x1
=
sin
x2
,即 A 中不同的元素
x1,
x2
有相同的
像,∴f 不是单射.
综上所述, f 为满射,但不是单射.
(3)∵∀x1, x2 ∈ A , 且 x1 ≠ x2 ,有 ex1 ≠ ex2 ,即 A 中不同的元素有不同的像,∴f 是单射.
又∵ 0 ∈ B,∀x ∈ A, ex ≠ 0 ,即 B 中的元素 0 没有原像,∴f 不是满射.
2. 设 X = {1, 2,3, 4,5, 6}, A = {1, 2,3}, B = {2, 4, 6},C = {1,3,5} ,求 A∪ B ∪ C, A ∩ B ∩C , CXA，CXA∪CXB,
CXA∩CXB.
解: A∪ B ∪ C = {1, 2,3}∪{2, 4, 6}∪{1,3,5} = X
⎨ ⎩
x
≠
0
所以函数的定义域是 (−∞, 0) ∪ (0, 4].
(2)要使函数有意义,必须
所以函数的定义域是[-3,0) ∪(0,1) . (3)要使函数有意义,必须
⎧ x+3≥0
⎧x ≥ −3
⎪⎨lg(1− x) ≠ 0
即
⎪ ⎨
x
≠
0
⎪⎩ 1− x > 0
⎪⎩ x < 1
x2 −1≠ 0 即 x ≠ ±1
(2)不正确. 例如: A={1,2},B={1},C={1,3}有 A∩B=A∩C={1},但 B≠C.
4. 判定下列映射哪些是满射,哪些是单射,哪些是一一映射?
(1) A=(-∞,+∞),B=(-∞,+∞), f : x ∈ A |→ y = x3 ∈ B ;
(2) A=(-∞,+∞),B=[-1,1], f : x ∈ A |→ y = sin x ∈ B ;
数学分析复旦大学第四版答案实数基本定理
数学分析复旦大学第四版答案实数基本定理【篇一：数学分析(4)复习提纲(全部版)】>第一部分实数理论1实数的完备性公理一、实数的定义在集合r内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称r为实数域或实数空间。
（1）域公理：（2）全序公理：则或a中有最大元而a中无最小元，或a中无最大元而a中有最小元。
评注域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式（比如确界原理），它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受，故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。
二、实数的连续性（完备性）公理实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使用起来方便程度不同，这些公理是本章学习的重点。
主要有如下几个公理：确界原理：单调有界定理：区间套定理：有限覆盖定理：（heine-borel）聚点定理：(weierstrass)致密性定理：(bolzano-weierstrass)柯西收敛准则：(cauchy)习题1证明dedekind分割原理与确界原理的等价性。
习题2用区间套定理证明有限覆盖定理。
习题3用有限覆盖定理证明聚点定理。
评注以上定理哪些能够推广到欧氏空间r？如何叙述？n2闭区间上连续函数的性质有界性定理：上册p168；下册p102,th16.8；下册p312,th23.4最值定理：上册p169；下册下册p102,th16.8介值定理与零点存在定理：上册p169；下册p103,th16.10一致连续性定理（cantor定理）：上册p171；下册p103,th16.9；下册p312,th23.7 习题4用有限覆盖定理证明有界性定理习题5用致密性定理证明一致连续性定理3数列的上(下)极限三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）n定义评注确界定义易于理解；聚点定义易于计算；n定义易于理论证明习题6用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性。
复旦大学数学学院高等代数历届期中考试大题精选之三（18级--20级）
复旦⼤学数学学院⾼等代数历届期中考试⼤题精选之三（18级--20级）本⽂收集了复旦⼤学数学学院 18 级到 20 级⾼等代数期中考试的精选⼤题, 其中⼀部分⼤题由习题课⽼师或任课⽼师⾃编⽽来, ⼀部分⼤题从兄弟院校的⾼等代数教材或学习指导书中的习题或考研试题改编⽽来, 也有⼀部分⼤题已经融⼊到复旦⼤学⾼等代数学习指导书 (第三版) 中了. 由于篇幅所限, 这⾥我们不公布这些精选⼤题的解答, 但会根据情况附加⼀些注解, 以供读者参考.本科 18 级⾼代 I 期中考试⼆、(12分) 计算下列 n 阶⾏列式的值:|A |=1−a n 1b n11−a 1b 11−a n 1b n21−a 1b 2⋯1−a n 1b nn1−a 1b n1−a n 2b n11−a 2b 11−a n 2b n21−a 2b 2⋯1−a n 2b nn1−a 2b n⋮⋮⋮1−a n n b n11−a n b 11−a n n b n21−a n b 2⋯1−a n n b nn1−a n b n.五、(12分) 设函数 f (x )=m∑i =−k a ix i , 其中 k ,m 都是正整数. 设 n 阶⾮异阵 A 的每⾏元素之和都等于 c , 证明: f (A )=m∑i =−k a iA i 的每⾏元素之和都等于 f (c ).六、(10分) 设多项式 f (x )=a 0+a 1x +⋯+a n −1x n −1, ωk =cos 2k πn +i sin 2k πn (0≤k ≤n −1) 为全体 n 次单位根, 循环矩阵A =a 0a 1⋯a n −2a n −1a n −1a 0⋯a n −3a n −2⋮⋮⋮⋮a 2a 3⋯a 0a 1a 1a 2⋯a n −1a 0.证明: 恰有 n −r (A ) 个 n 次单位根是 f (x ) 的根 (不计重根数).七、(10分) 设 A ,B 为 n (n ≥3) 阶⽅阵, 满⾜ AB =0. 证明: |AB ∗+BA ∗|=0.注 第⼆⼤题⽤ Vander Monde ⾏列式. 第五⼤题是⽩⽪书例 2.22 的推⼴. 第六⼤题参考博⽂《》. 第七⼤题转化成矩阵秩的问题, 并⽤秩的不等式进⾏证明.本科 18 级⾼代 II 期中考试四、(10分) 设 n 阶⽅阵 A 的所有元素都是整数, p ,q 是互素的整数且 q >1, 证明: 线性⽅程组 Ax =pq x 只有零解.五、(10分) 设 A 1,⋯,A n 为两两乘法可交换的 2019 阶实⽅阵, f (x 1,⋯,x n ) 是 n 元实系数多项式. 令 B =f (A 1,⋯,A n ), 证明: 存在 B 的某个特征值 λ0, 使得⽅程 f (x 1,⋯,x n )−λ0=0 有⼀组实数解.六、(10分) 设 A 为 n 阶复⽅阵, 证明: A 不可对⾓化当且仅当存在⼀元多项式 f (x ), 使得 f (A ) ⾮零, I n +f (A ) 可逆, 并且 (I n +f (A ))−1 与 I n −f (A )相似.七、(10分) 设 A 是 n 阶复⽅阵, 证明: 存在复数 c 1,⋯,c n −1, 使得A −c 1e A −c 2e 2A −⋯−c n −1e (n −1)A是可对⾓化矩阵.||()注 第四⼤题是⽩⽪书例 6.4 的推⼴. 第五⼤题需要⽤到如下结论"两个乘法可交换的奇数阶实矩阵必有公共的实特征向量", 其证明可参考教学论⽂ 12 的例 3. 第六⼤题利⽤ Jordan-Chevalley 分解定理来做. 第七⼤题利⽤ Jordan 标准型的应⽤或 Jordan-Chevalley 分解定理来做.本科 19 级⾼代 I 期中考试五、(10分) 设 n 阶⾮零复⽅阵 A 满⾜ A ∗=¯A ′, 求证: A 是⾮异阵.六、(10分) 设 A 为数域 K 上的 n 阶幂零阵, B 为 n 阶⽅阵, 满⾜ AB =BA 且 r (AB )=r (B ). 求证: B =0.七、(10分) 设 A 为 m 阶实反对称阵, C 为 n 阶实反对称阵, B 为 m ×n 阶实矩阵. 证明: A +I m 和 C −I n −B ′(A +I m )−1B 都是⾮异阵.注 第五⼤题是⽩⽪书例 2.21 的复版本. 第六⼤题利⽤⽩⽪书的例 3.75 来证明. 第七⼤题的第 1 ⼩问是⽩⽪书的例 3.78 (利⽤线性⽅程组的求解理论), 第 2 ⼩问可通过降阶公式 (构造⼀个⼤矩阵) 转化为第 1 ⼩问.本科 19 级⾼代 II 期中考试四、(14分) 设 n (n >2) 阶复⽅阵 A 的秩等于 2, 试求 A 的 Jordan 标准型.五、(10分) 设 n 阶⽅阵 A 的所有元素都是整数, 其中阶数 n 为偶数, 并且对任意的 1≤r ≤n , A 的所有 r 主⼦式之和都是奇数. 证明: 不存在整数 k , 使得线性⽅程组 Ax =kx 有⾮零解.六、(10分) 设 A =(a ij ) 是 n 阶实⽅阵, 若对任意的 1≤i ≤n , 都有 |a ii |>∑j ≠i |aij |, 则称 A 是严格对⾓占优阵. 设 A ,B 均为主对⾓元都⼤于零的n 阶严格对⾓占优阵, 且满⾜ A 2(A +B )=(A +B )B 2, 证明: A =B .七、(10分) 设 a ,b 都是实数, 其中 b ≠0, 证明: 对任意的正整数 m , 存在 4 阶实⽅阵 A , 使得A m =a b 20−b a 2000a b 0−ba.注 第四⼤题先将 A 的 Jordan 标准型 J 写出, 通过计算 J 的秩可得到 5 个分类结果. 第五⼤题利⽤⽩⽪书的例 6.15, 再由反证法即得结论. 第六⼤题先利⽤⼽⽒圆盘定理得到 A ,B 特征值的实部都⼤于零, 再利⽤两次⽩⽪书的例 6.63 即得结论. 第七⼤题利⽤⼴义 Jordan 块 (⽩⽪书第366 页第 2 ⾏和第 3 ⾏的矩阵) 作为测试矩阵进⾏讨论.本科 20 级⾼代 I 期中考试四、记数域 K 上所有 n 阶⽅阵全体构成的线性空间为 M n (K). 对 A ∈M n (K), 考虑 C (A )={B ∈M n (K)∣AB =BA }.(1) 若 n =3, A =01000111, 求 C (A ) 的⼀组基.(2) 若 n =2, 试确定 dim C (A ) 的所有可能值.五、设 n 阶复⽅阵 A 不可逆, 证明: ⾄多只有两个复数 λ, 使得 λI n +A ∗ 不可逆.六、设 A ,B 为 n 阶⽅阵, 证明: |r (AB )−r (BA )|≤n2.七、设 A ,B 为 n 阶实⽅阵, 其中 A 是主对⾓元全⼤于零的上三⾓阵, 并且满⾜ AB +BA ′=2AA ′. 证明:(1) B 必为对称阵;(2) A 为对⾓阵当且仅当 B 2=AA ′;(3) |B |>0.本科 20 级⾼代 II 期中考试四、设 n 阶⽅阵 A 的极⼩多项式为 λ3−λ2, 试求 A 可能的互不相似的 Jordan 标准型的总个数.五、设 V 为线性空间, φ1,⋯,φk 是 V 上的线性变换, 满⾜: φ2i =φi (1≤i ≤k ), φi φj =0(1≤i ≠j ≤k ), 证明:()()V =k⨁i =1Im φi ⨁k⋂j =1Ker φj .六、设 n 阶复矩阵 A 的全体特征值都是属于开区间 (−1,1) 的实数, 证明: 矩阵⽅程 sin X =A 必有解.七、设 A ,B 为 n (n ≥2) 阶⽅阵, 满⾜: r (A )=n −1, AB =BA =0. 证明: A +B 为⾮异阵的充要条件是 A 的特征值 0 的代数重数等于 1 且 B 的秩等于 1.()Processing math: 100%。
数学分析 复旦第三版 第二章
lim
an an a lim = = n→∞ . n →∞ b b lim bn n
n →∞
在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则． 例： 例： 求 lim
am n m + am −1n m −1 + " + a1n + a0 ，其中 m ≤ k , am ≠ 0, bk ≠ 0 . n →∞ b n k + b n k −1 + " + b n + b k k −1 1 0
2-1
个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零. 本节我们用“ ε − N ”语言描述越来越接近 于零这一现象，并分析该现象背后蕴含的数学本质. 一 数列极限的定义 数列就是以正整数集为定义域的实函数 f (n) = an ，可写为： a1 , a2 , a3 ," ，简记为 {an } ．上 述例子就是一个特殊的数列，每天截后剩余部分长度为（单位尺）
1 1 1 1 ⎧1⎫ ， 2 ， 3 ，……， n ，……，或简记作数列： ⎨ n ⎬ 2 2 2 2 ⎩2 ⎭
⎧1⎫ 分析：1°、 ⎨ n ⎬ 随 n 增大而减小，且无限接近于常数 0； ⎩2 ⎭
2°数轴上描点，将其形象表示：
-1 0
1 22
1 2
1
χ
将其一般化，即引出“数列极限”概念 一般地说，对于数列 {an } ，若当 n 无限增大时， an 能无限地接近某一个常数 a ，则称此 数列为收敛数列，常数 a 称为它的极限．若数列 {an } 没有极限，则称 {an } 不收敛，或称 {an } 为 发散数列．
(−1) n +1 = 0. n →∞ n3
n
例：
复旦高数第8章习题附答案
习题8-11. 判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界： (1) {(,)|0}x y x ≠； (2)22{(,)| 14}x y x y ≤<+； (3)2{(,)|}x y y x <；(4)2222{(,)|(1)1}{(,)|(1)1}x y x y x y x y ≤≤ -+++.解：(1)开集、无界集，聚点集：R 2，边界：{(x ,y )|x =0}. (2)既非开集又非闭集，有界集,聚点集：{(x ,y )|1≤x 2+y 2≤4}，边界：{(x ,y )|x 2+y 2=1}∪{(x ,y )| x 2+y 2=4}. (3)开集、区域、无界集， 聚点集：{(x ,y )|y ≤x 2}， 边界：{(x ,y )| y =x 2}.(4)闭集、有界集，聚点集即是其本身， 边界：{(x ,y )|(x -1)2+y 2=1}∪{(x ,y )|(x +1)2+y 2=1}. 2.已知22tan(,)f x y x y xy xy＝＋－，试求(,)f tx ty . 解：222(,)()()tan(,).tx f tx ty tx ty tx ty t f x y ty=+-⋅= 3.已知(,,)w u v f u v w u w ＋＝＋，试求(,,)f x y x y xy +-. 解：f (x +y , x -y , xy ) =(x +y )xy +(xy )x +y +x -y =(x +y )xy +(xy )2x . 4.求下列各函数的定义域： (1)2ln(21)z y x ＝－＋；(2)z =；(3)z =(4) u =；(5) z=； (6) ln()z y x =-(7)u =.解：2(1){(,)|210}.D x y y x =-+>(2){(,)|0,0}.D x y x y x y =+>->22222(3){(,)|40,10,0}.D x y x y x y x y =-≥-->+≠(4){(,,)|0,0,0}.D x y z x y z =>>>2(5){(,)|0,0,}.D x y x y x y =≥≥≥ 22(6){(,)|0,0,1}.D x y y x x x y =->≥+< 22222(7){(,,)|0,0}.D x y z x y x y z =+≠+-≥习题8-21.求下列各极限：(1)1y x y →→ (2)222()2211lim(1)x y x y x y +→∞→++；(3)00x y →→；(4)x y →→(5)00sin lim x y xy x →→； (6)22222201cos()lim()e xy x y x y x y +→→-++.解：(1)原式0ln 2.=(2)原式=+∞. (3)原式=01.4x y →→=-(4)原式=002.x y →→=(5)原式=00sin lim100.x y xyy xy →→⋅=⨯=(6)原式=22222222222()00001()2lim lim 0.()e 2ex y x y x x y y x y x y x y ++→→→→++==+ 2.判断下列函数在原点(0,0)O 处是否连续：(1)33222222sin(),00,0x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩；(2)33333333sin(),00,0x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩；(3) 222222222,0()0,0x y x y z x y x y x y ⎧+≠⎪=+-⎨⎪+=⎩.解：(1)由于3333333322223333sin()sin()sin()0()x y x y x y x y y x x y x y x y x y ++++≤=≤+⋅++++又00lim()0x y y x →→+=，且3333000sin()sin lim lim 1x u y x y ux y u →→→+==+, 故0lim 0(0,0)x y z z →→==.故函数在O (0,0)处连续. (2)000sin lim lim1(0,0)0x u y uz z u→→→==≠=故O (0,0)是z 的间断点.(3)若P (x ,y ) 沿直线y =x 趋于(0，0)点，则2222000lim lim 10x x y x x x z x x →→=→⋅==⋅+, 若点P (x ,y ) 沿直线y =-x 趋于(0，0)点，则22222220000()lim lim lim 0()44x x x y x x x x z x x x x →→→=-→-===⋅-++ 故00lim x y z →→不存在.故函数z 在O (0，0)处不连续.3.指出下列函数在何处间断:(1)233(,)x y x f y y x -=+；(2)222,2()y f xy xy x +-=；(3)22 (,)ln(1)f x y x y =--.解：(1)因为当y =-x 时，函数无定义，所以函数在直线y =-x 上的所有点处间断，而在其余点处均连续.(2)因为当y 2=2x 时，函数无定义，所以函数在抛物线y 2=2x 上的所有点处间断.而在其余各点处均连续.(3)因为当x 2+y 2=1时，函数无定义，所以函数在圆周x 2+y 2=1上所有点处间断.而在其余各点处均连续.习题8-31.求下列函数的偏导数:(1)22xz x y y=+；(2)22u v s uv+=；(3)z x = (4)ln tanx z y=； (5)(1)y z xy =+； (6)xy u z =； (7)arctan()z u x y =-(8)y z x u x y z =++.解：(1)223122,.z z x xy x x y y y∂∂=+=-∂∂ (2)u v s v u =+ 2211,.s v s u u v u v v u∂∂=-=-+∂∂(3)2222212ln(),2z x x x x y x x y ∂==++∂+222.z xy x y y x y ∂==∂+ (4)21122sec csc ,tan z x x x x y y y yy∂=⋅⋅=∂222122sec ()csc .tan z x x x x x y y y y yy∂=⋅⋅-=-∂ (5)两边取对数得ln ln(1)z y xy =+故[]221(1)(1)(1).ln(1)1y yy x z y xy xy y xy y xy x xy-∂'=+⋅=+⋅=++∂+ []ln(1)(1)(1)ln(1)1ln(1)(1).1y y y y x z xy y xy xy y xy xy y xy xy xy xy ∂⎡⎤'++=+⋅=++⎢⎥+∂⎣⎦⎡⎤++=+⎢⎥+⎣⎦(6)1ln ln xy xy xy u u uz z y z z x xy z x y z-∂∂∂=⋅⋅=⋅⋅=⋅∂∂∂ (7)11221()().1[()]1()z z z zu z x y z x y x x y x y --∂-=⋅-=∂+-+- 112222()(1)().1[()]1()()ln()()ln().1[()]1()z z z z zzz zu z x y z x y y x y x y u x y x y x y x y z x y x y --∂-⋅--==-∂+-+-∂----==∂+-+-(8)2.已知22x y u x y=+，求证:3u u x yu x y ∂∂+=∂∂. 证明： 222223222()2()()u xy x y x y x y xy x x y x y ∂+-+==∂++. 由对称性知 22322()u x y yx y x y ∂+=∂+. 于是 2223()3()u u x y x y x y u x y x y ∂∂++==∂∂+.3.设11ex y z ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，求证:222z z x y z x y∂∂+=∂∂. 证明： 11112211e e x y x y z x xx ⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∂⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦, 由z 关于x ,y 的对称性得1121ex y z y y⎛⎫+- ⎪⎝⎭∂=∂ 故 11111122222211e e 2e 2.x y x y x y z z x y x y z x y x y⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∂+⋅=⋅+⋅==∂∂ 4.设(,)(1)f y y x x -+＝(,1)x f x .解：1(,)1(x f x y y y =+- 则(,1)101x f x =+=.5.求曲线224x y z x y y ⎧+=⎪+⎨⎪=⎩在点(2,4,5)处的切线与正向x 轴所成的倾角.解：(2,4,5)1,1,2z z x x x ∂∂==∂∂ 设切线与正向x 轴的倾角为α, 则tan α=1. 故α=π4. 6.求下列函数的二阶偏导数: (1)4422-4z x y x y =+； (2)arc tan y z x=； (3)x z y =；(4)2e xyz +=.解：(1)2322224812816z z z x xy x y xy x x x y∂∂∂=-=-=-∂∂∂∂ ，，由x ,y 的对称性知22222128.16.z z y x xy y y x∂∂=-=-∂∂∂ (2)222211zy y xx y x y x ∂⎛⎫=⋅=-- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 2222222222222222222222222222222222222222()022,()()11,12,()()2,()()2.()()z x y y x xyx x y x y z x y x x y y x z xyy x y z x y y y y x x y x y x y z x y x x y x y x x y x y ∂+⋅-⋅=-=∂++∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∂=-∂+∂+-⋅-=-=∂∂++∂+-⋅-=-=∂∂++ (3)222ln ,ln ,xx z z y y y y x x∂∂==∂∂21222112111,(1),1ln (1ln ),ln (1ln ).x x x x x x x x z z xy x x y y y z y xy y y x y x y y zy x y y y x y y x-------∂∂==-∂∂∂=⋅+=+∂∂∂=+⋅⋅=+∂∂ (4)22e 2,e ,x y x y z zx x y++∂∂=⋅=∂∂ 222222222e 22e 22e (21),e ,2e ,2e .x y x y x yx y x y x y z x x x xz z z x x y x y y x++++++∂=⋅⋅+⋅=+∂∂∂∂===∂∂∂∂∂习题8-41.求下列函数的全微分: (1)22e xy z +=；(2)z =；(3)z u xy =；(4)yzu x =.解：(1)∵2222e 2,e 2x y x y z zx y x y++∂∂=⋅=⋅∂∂ ∴222222d 2e d 2e d 2e (d d )x y x y x y z x x y y x x y y +++=+=+(2)∵22223/21()z xy y x y x x y ∂⎛⎫-=⋅=- ⎪+∂+⎝⎭2223/2()z x yx y ∂==∂+ ∴ 223/2d (d d ).()x z y x x y x y =--+ (3)∵11,ln z z z y y z u uy x x x zy x y--∂∂==⋅⋅∂∂2ln ln y z ux x y y z∂=⋅⋅⋅∂ ∴211d d ln d ln ln d .z z zy y z y z u y x x x x zy y x x y y z --=+⋅+⋅⋅⋅(4)∵1yz u y x x z-∂=∂1ln yz u x x y z ∂=⋅⋅∂ ln y z u y x x z z 2∂⎛⎫=⋅⋅- ⎪∂⎝⎭∴121d d ln d ln d .y y yz z z y y u x x x x y x x z z z z -⎛⎫=+⋅⋅+⋅⋅- ⎪⎝⎭2.求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分： (1)222,2,1,Δ0.2,Δ0.1z x xy y x y x y =-+==-==-； (2)11Δ0.15Δ0.e 1,xy x y x y z =====，，，.解：(1)22()()()2()9.688 1.68z x x x x y y y y z ∆=+∆-+∆+∆++∆-=-=d (2)(4) 1.6z x y x x y y =-∆+-+∆=(2)()()0.265e e e(e 1)0.30e.x x y y xy z +∆+∆∆=-=-=d e e e ()0.25e xy xy xy z y x x y y x x y =∆+∆=∆+∆=3.利用全微分代替全增量，近似计算：(1)32(1.02)(0.97)⋅；(3) 1.05 (1.97).解：(1)设f (x ,y )=x 3·y 2，则223(,)3,(,)2,x y f x y x y f x y x y ==故d f (x ,y )=3x 2y 2d x +2x 3y d y =xy (3xy d x +2x 2d y ) 取x =1,y =1,d x =0.02,d y =-0.03，则(1.02)3·(0.97)2=f (1.02,0.97)≈f (1,1)+d f (1,1)d 0.02d 0.03x y ==-=13×12+1×1[3×1×1×0.02+2×12×(-0.03)]=1.(2)设f (x ,y ,则(,)(,)x y f x y f x y ===故d (,)d d )f x y x x y y =+取4,3,d 0.05,d 0.07x y x y ====-,则d 0.05d 0.07(4.05,2.93)(4,3)d (4,3)0.053(0.07)]15(0.01)54.998x y f f f ==-=≈+=⨯+⨯-=+⨯-=(3)设f (x ,y )=x y ,则d f (x ,y )=yx y -1d x +x y ln x d y ， 取x =2,y =1,d x =-0.03,d y =0.05,则1.05d 0.03d 0.05(1.97)(1.97,1.05)(2,1)d (2,1)20.0393 2.0393.x y f f f =-==≈+=+=4.矩形一边长10a =cm ，另一边长24b =cm ，当a 边增加4mm ，而b 边缩小1mm 时，求对角线长的变化.解：设矩形对角线长为l ，则d d ).l l x x y y ==+当x =10,y =24,d x =0.4,d y =-0.1时，d 0.4240.1)0.062l =⨯-⨯=(cm)故矩形的对角线长约增加0.062cm.5. 当圆锥体形变时，它的底半径R 由30cm 增到30.1cm ，高h 由60cm 减到59.5cm ，试求体积变化的近似值.6. 用水泥做一个长方形无盖水池，其外形长5m ，宽4m ，深3m ，侧面和底均厚20cm ，求所需水泥的精确值和近似值.习题8-51.求下列复合函数的偏导数或全导数:(1)22cos sin z x y xy x u v y u v =-==，，，求,z zu v∂∂∂∂；(2)arc ,,tan z x y xu v u v y==+=-，求,z z u v∂∂∂∂； (3)3ln(e e ),x y u y x +==，求d d u x； (4)222,e cos ,e sin ,e t t t u x y z x t y t z =++===，求d d u t. 解：（1）222(2)cos (2)sin 3sin cos (cos sin )z z x z yxy y v x xy v u x u y u u v v v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-∂∂∂∂∂=-223333(2)sin (2)cos 2sin cos (sin cos )(sin cos ).z z x z yxy y u v x xy u v v x v y v u v v v v u v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=--⋅+-⋅∂∂∂∂∂=-+++ (2)222222211111x z z x z y y x v y u x u y uyx y u v x x y y ∂∂∂∂∂--⎛⎫-=⋅+⋅=⋅+⋅== ⎪∂∂∂∂∂++⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2222222111(1)11.x z z x z y y v x v y vyx x y y y x ux y u v-∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==++ (3)33222d d d 11e 3e e 3e e e 3.d d d e e e e e e e ex y x x x y x y x y x yx x u u x u y x x x x x x y x ∂∂++=⋅+⋅=⋅+⋅⋅==∂∂++++ (4)d d d d d d d d u u x u y u z t x t y t z t∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂ 22(e cos e sin )2(e sin e cos )2e 4e t t t t t t x t t y t t z =-+++⋅=.2.设f 具有一阶连续偏导数，试求下列函数的一阶偏导数: (1)()22e ,xy u f x y =－；(2),x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(3)(,,)z f x xy xyz =. 解：(1)12122e 2e .xy xy uf x f y xf y f x∂''''=⋅+⋅⋅=+∂ 1212(2)e 2e .xy xy uf y f x yf x f y∂''''=⋅-+⋅⋅=-+∂ (2)1111u f f x y y∂''=⋅=∂121222222211..x u x f f f f y y z y z u y y f f z z z ∂⎛⎫''''-=⋅+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫''=⋅=-- ⎪∂⎝⎭(3)1231231,uf f y f yz f yf yzf x∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂ 12323330,.uf f x f xz xf xzf yuf xy xyf z∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂∂''=⋅=∂3.设(),z xy xF u yxu ==＋，()F u 为可导函数，证明: z z xy z xy x y∂∂+=+∂∂. 证明:2()()()()z y y y xF u F u F u y F u x x x ∂⎛⎫''=+⋅+=+-- ⎪∂⎝⎭1()().z x xF u x F u y x∂''=+⋅=+∂ 故[]()()()()()()().z z F u y xy x y x F u F u y x y x xF u xy yF u xy yF u xy xF u xy z xy '∂∂⎡⎤'+=+++-⎢⎥∂∂⎣⎦''=+-++=++=+4.设22()y z f x y =-，其中()f u 为可导函数，验证211z z zx x y y y ∂∂+=∂∂. 证明：∵2222z yf x xyf x f f ''∂⋅=-=-∂, 222(2)2z f y f y f y f y f f ''∂-⋅⋅-+==∂, ∴22222112211z z yf f y f y zx x y y f yf yf f y y''∂∂++=-+==⋅=∂∂⋅ 5.22()z f x y =＋，其中f 具有二阶导数，求22222,,z z zx y x y ∂∂∂∂∂∂∂.解：2,2,z zxf yf x y∂∂''==∂∂222222224,224,zf x xf f x f xzxf y xyf x y∂''''''=+⋅=+∂∂''''=⋅=∂∂ 由对称性知，22224.zf y f y∂'''=+∂6.设f 是具有连续二阶偏导函数，求下列函数的二阶偏导数： (1),y z f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(2)22(,)z f xy x y =；(3)(sin ,cos ,e )x y z f x y +=.解：(1)1212111,z f f f f x y y∂''''=⋅+⋅=+∂ 2212211121112222221222122222222222222222223211121,1111,,2z f f f f f f f y x y y y yx x z x f f f f f f y y y x y y y y yx z x f f y y y z x x f f y y y ∂⎛⎫''''''''''''''+⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''--+=⋅-+⋅=-- ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫''-==- ⎪∂⎝⎭∂''=-∂22222342.x x x f f y yy ⎛⎫''''-⋅=+ ⎪⎝⎭,(2)22121222,zf y f xy y f xyf x∂''''=⋅+⋅=+∂ ()()22222211122122432221112222222244,z y yf xy f y f xy f y f xy x yf y f xy f x y f ∂'''''''''=++⋅+⋅⋅+⋅∂'''''''=+++()()()()222212111221223322121122122212122222121112212212222222225,22,22222zyf y xf xy f xy f x f xy f x x yyf xf xy f x yf x y f zf xy f x xyf x f yz xf xy x f xy f x f xy f x yxf ∂''''''''''=+++⋅+⋅⋅+⋅∂∂''''''''=++++∂''''=⋅+⋅=+∂∂'''''''''=++⋅+⋅⋅+⋅∂'=223411122244.x y f x yf x f ''''''+++(3)1313cos e cos e ,x y x y zf x f xf f x++∂''''=⋅+⋅=+∂()()1321113313322()311113332312133233sin cos e e cos e cos e e sin cos 2e cos e ,cos e e (sin )e (sin )x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y z xf x f f x f f x f x f xf xf xf f z x f f y f f y f x y++++++++++∂''''''''''=-+++⋅+⋅+⋅∂''''''''=-+++∂'⎡⎤''''''=++⋅⋅-+⋅⋅-+⎣⎦∂∂2()3121332332323223222233233e e cos sin e cos e sin e ,(sin )e sin e ,cos sin e e (sin )e (sin )e x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y f x yf xf yf f zf y f yf f yz yf y f f y f f y f y+++++++++++⎡⎤''⋅⎣⎦'''''''''=-+-+∂''''=-+=-+∂∂''⎡⎤⎡''''''''=--++-+⋅-+⋅⎣⎦∂22()32222333e cos sin 2e sin e .x y x y x y f yf yf yf f +++⎤⎣⎦''''''''=-+-+习题8-61.求下列隐函数的导数或偏导数： (1)2sin 0e x y xy -+=，求d d y x ；(2)arct n l a yx，求d d y x ；(3)02x y z ++-，求,z z x y ∂∂∂∂； (4)33-3z xyz a =，求22,z z x y∂∂∂∂解：(1)[解法1] 用隐函数求导公式，设F (x ,y )=sin y +e x -xy 2,则 2e ,c o s 2,x x y F y F y xy =-=-故 22d e e d cos 2cos 2x xx y F y y y x F y xy y xy--=-=-=--. [解法2] 方程两边对x 求导，得()2cos e 02x y y y x yy '⋅+-='+⋅故 2e .c o s 2xy y y x y-'=-(2)设()221(,)ln arctanln arctan ,2y y F x y x y x x==-+ ∵222222121,21x xx y y F x yx y x y x +⎛⎫=-⋅=- ⎪++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭222221211,21y yy x F x yx x yy x -=-⋅=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴d .d x y F y x y x F x y+=-=- (3)方程两边求全微分，得d 2d d 0,x y z ++=,z x y =+则d d d ,z y zz x y yx y=故z z x y ∂∂==∂∂ (4)设33(,,)3F x y z z xyz a =--,23,3,33,x y z F yz F xz F z xy =-=-=-则223,33x z F z yz yzx F z xy z xy∂-=-=-=∂-- 223,33y z F z xz xzy F z xy z xy∂-=-=-=∂-- ()()()()22222222322232222()z z z x xxz z xy xz y z y z xy y y z xy xzxzz x x xz z xy z xyx yzz xy xy z zxy ∂∂⎛⎫--- ⎪∂∂∂∂⎛⎫⎝⎭== ⎪-∂∂⎝⎭-⎛⎫⋅--- ⎪--⎝⎭==--2.设(,,)0F x y z =可以确定函数(,),(,),(,)x x y z y x z z z x y ===，证明：1x y zy z x∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂. 证明：∵,,,y x z x y zF F F x y zy F z F x F ∂∂∂=-=-=-∂∂∂∴1.y zx yz x F F F x y z F F F y z x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫---⋅⋅=⋅⋅=- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭3.设11,0F y z xy ⎛⎫++= ⎪⎝⎭确定了函数(,)z z x y =，其中F 可微，求,z zx y ∂∂∂∂.解：12122110x F F F F x x ⎛⎫'''=⋅+⋅=--⎪⎝⎭122122121222122221222011111z y x z y zF F F F F F F y F F F z x x F F x F F F F F y F z y y F F y F '''=⋅+⋅=⎛⎫''-=⋅+⋅ ⎪⎝⎭'-'∂=-=-=∂''''-''-∂=-=-=∂''4.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：(1)22222,2320.z x y x y z ⎧=+⎨++=⎩求d d ,d d y zx x ； (2)10xu yv yu xv +=⎧⎨-=⎩求,,,u v u vx x y y∂∂∂∂∂∂∂∂；(3)2(,),(,)u f ux v y v g u x v y =+⎧⎨=-⎩其中,f g 是连续偏导函数，求,u vx x ∂∂∂∂； (4) e sin e cos u ux u v y u v ⎧=+⎨=-⎩求,,,u v u vx x y y ∂∂∂∂∂∂∂∂. 解：(1)原方程组变为222222320y z x y z x⎧-=-⎪⎨+=-⎪⎩ 方程两边对x 求导，得d d 22d d d d 23d d y zy x x xy z y z x xx ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ 当 2162023y J yz y y z-==+≠21d 16(61),3d 622(31)22d 12.2d 6231x y xz x x z x z x J yz y y z y x z xy x y x x J yz y z ----+===--++-===-++(2)设(,,,)1,(,,,),F x y u v xu yv G x y u v yu xv =+-=-,,,,,,,,x y u v x y u v F u F v F x F y G v G u G y G x =====-===-22u v u v F F x yJ x y G G y x===---故 22xvx v F F u yG G v x uux yv x J J x y--∂-+=-=-=∂+ 222222,,.uxu x yvy v uyu y F F xuG G y v vvx uy x J J x y F F vyG G u x u vx uy y J J x y F F x vG G y u v xu vy y J J x y -∂--=-=-=∂+-∂--=-=-=∂+∂-=-=-=∂+ (3)设(,,,)(,),F u v x y f ux v y u =+-2(,,,)(,),G u v x y g u x v y v =-- 则 121221121(1)(21),21uv uvF F xf f J xf yvg f gG G g vyg ''-''''===---''- 故 12121221122121(21),(1)(21)xvx v uf f F F G G g yvg uf yvg f g ux JJ xf yvg f g ''''''''-----∂=-=-=∂''''---111111112211(1).(1)(21)uxu x xf uf F F G G g g g xf uf vx JJ xf yvg f g ''-'''''-+-∂=-=-=∂''''---(4)(,),(,)u u x y v v x y ==是已知函数的反函数，方程组两边对x 求导，得1e sin cos ,0e cos (sin ),u u u u v v u v x x xu u v v u v x x x ∂∂∂⎧=++⎪⎪∂∂∂⎨∂∂∂⎪=---⎪∂∂∂⎩整理得 (e s i n )c o s 1,(e c o s )s i n 0,u u u vv u v xx u v v uv x x∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪-+=⎪∂∂⎩解得s i n e (s i n c o s )1uu vx v v ∂=∂-+ cos e [e (sin cos )1]uuv v x u v v ∂-=∂-+ 方程组两边对y 求导得0e sin cos 1e cos sin u u u u v v u v y y y u u v v u v y y y ∂∂∂⎧=++⎪∂∂∂⎪⎨∂∂∂⎪=-+⎪∂∂∂⎩整理得 (e s i n )c o s 0(e c o s )s i n 1u u u vv u v y yu v v uv y y∂∂⎧++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪-+=⎪∂∂⎩解得 c o s s i n ,.e (sin cos )[e (sin cos )1]uu uu v v v e y v v y u v v ∂-∂+==∂-∂-+ 5.设e cos ,e sin ,u u x v y v z uv ===，试求.,z zx y∂∂∂∂ 解：由方程组e cos e sin uux vy v⎧=⎪⎨=⎪⎩ 可确定反函数(,),(,)u u x y v v x y ==，方程组两边对x 求导，得1e cos e sin 0e sin e cos uu u u u v v v x xu v v vx x ∂∂⎧=-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=+⎪∂∂⎩解得 c o s s i n ,e e u u u v v v x x ∂∂==-∂∂ 所以 c o s s i n e uz u v v vu vv u x x x ∂∂∂-=+=∂∂∂方程组两边对y 求导，得0e cos e sin 1e sin e cos uu u u u v v v y y u v v v y y ∂∂⎧=-⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=+⎪∂∂⎩解得s i n c o s ,e e u u u v v v x y ∂∂==∂∂ 所以s i n c o s e uz u v v v u vv u y y y ∂∂∂+=+=∂∂∂.习题8-71.求函数322(,)51054f x y x x xy y x y =--+++-在点()2,1-处的泰勒公式. 解：(2,1)2f -=231010,(2,1)325,(2,1)1610,(2,1)21,6,2,x x y y xx xx xy xxx yy f x x y f f x y f f x f f f f =--+-==-++-==--==-==故223223(,)(2,1)(2)(2,1)(1)(2,1)1(2)(2,1)2(2)(1)(2,1)(1)(2,1)2!1(2)(2,1)3!23(2)(1)(2)(2)(1)(1)(2)x y xx xy yy xxx f x y f x f y f x f x y f y f x f x y x x y y x =-+--++-⎡⎤+--+-+-++-⎣⎦+⎡⎤--⎣⎦=+-+++---++++-2.将函数(,)x f x y y =在点()1,1处展到泰勒公式的二次项. 解：(1,1)1,f =(1,1)(1,1)1(1,1)(1,1)ln 0,1,x x x yf y y f xy-====2(1,1)(1,1)1(1,1)(1,1)2(1,1)(1,1)2(ln )0,1ln 1,(1)0,(,)1(1)(1)(1)0().xxx x x xy x yyx f y y xy y y f y f xy x f x y y y x y ρ--==⎛⎫+⋅== ⎪⎝⎭=-===+-+--+3.求函数x y z e +=在点()1,1-处展到泰勒公式。
复旦考研数分第二、三章知识要点
Bolzano Weierstrass 定理 Cauchy 收敛原理（实数系完备性定理）
（1）确界存在定理：非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。 注：①最大数与最小数：设 S 是一个数集，如果 S ，使得 x S ，有 x ， 则称 是数集 S 的最大数，记为 max S ；如果 S ，使得 x S ，有
当 0 x x0 ， 有 推论： ①若 lim f ( x ) A 0 ， 则存在 0 ，
x x0
f ( x)
A 。 2
②若 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B ， 且存在 r 0 ， 使得当 0 x x0 r 时，
2.数列极限的性质：
（1） （唯一性）收敛数列的极限必唯一。 （2） （有界性）收敛数列必有界。 （3） （保序性）设数列 xn , yn 均收敛，若 lim xn a,lim yn b ，且 a b ，则存
n n
在正整数 N ，当 n N 时，成立 xn yn 。 推论：若 lim yn b 0 ，则存在正整数 N ，当 n N 时， yn
第二章 数列极限
1.数列极限的定义（ -N 语言） ：
设 xn 是一给定数列， a 是一个实常数。如果对于任意给定的 0 ，可以找到正整数
N ，使得当 n N 时，成立 xn a ，则称数列 xn 收敛于 a ，记为 lim xn a 。
n
注： （1）如果不存在实数 a ，使 xn 收敛于 a ，则称数列 xn 发散。 （2）在收敛的数列中，我们称极限为 0 的数列为无穷小量。
（1） （唯一性）设 A 与 B 都是函数 f ( x) 在点 x0 的极限，则 A B 。 （2） （局部保序性）若 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B ，且 A B ，则存在 0 ，当
考研高等数学全面复习资料(电子版)
高等数学考研复习资料，最全篇，适合于一遍，二遍复习研究细节，祝你考研数学春风得意马，突破130分大关！目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a∉A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
考研数学公式手册随身看(打印版)
(1) lim sin x = 1
极限存在
x→0 x
1
(2) lim(1+ x) x = e x→0
的两个准
则：单调有
界准则和 夹逼准则，
重要公式：
lim
x→∞
a0 xn b0 xm
+ a1xn−1 + b1xm−1
+L +L
+ +
an−1 x bm−1 x
+ +
an bm
=
0ab,00n,
n <
=m m
性：闭区间
上 连 续 函 (2) (最值定理)设函数 f ( x) 在 [a,b] 上连续,则在 [a,b] 上
数的性质
f ( x) 至少取得最大值与最小值各一次,即 ∃ξ ,η 使得:
2
3
f (ξ ) = max{ f ( x)}, ξ ∈[a,b] ； a ≤ x≤b
f (η ) = min { f ( x)}, η ∈[a,b] . a ≤ x≤b
数，函数关 5 反三角函数:如 系的建立： y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x 等.
初等函数：由常数 C 和基本初等函数经过有限次四则运算与有限此复合 步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，称为初等函
数.
数列极限
1 lim x→ x0
f (x) =
A⇔
1 幂函数: y = xµ (µ ∈ R) ;
基本初等 2 指数函数 y = ax ( a > 0 且 a ≠ 1 ); 函数的性 质及其图 3 对数函数: y = loga x ( a > 0 且 a ≠ 1 ); 形，初等函 4 三角函数:如 y = sin x, y = cos x, y = tan x 等;
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复旦考研数学白皮书电子版
于复旦大学大一数学系学生而言，高等代数无疑是最重要的课程之一，然而起初面对这门课程，相信大多数同学会感到困难和无所下手，此时教材和学习指导书便是最重要和最可靠的“助手”，也是每位同学应该学会利用的。
高等代数学习方法指导(第三版)(下称白皮书)是由复旦大学姚慕生老师和谢启鸿老师编著的数院本科生高等代数学习宝典，对高等代数的学习有着极大的帮助，接下来我就谈谈个人对白皮书的感受以及其对我高代学习的影响。
整本白皮书共计535页，在旧版的基础上增加了大量的例题，对每个知识点都有着深刻的剖析，内容全面而丰富且有阶梯性，因此不论对基础好坏的同学都易于接受。
在每章开头都会有本章基础知识点的总结，方便同学们回顾和记忆；在每章结尾处也会有一些基本训练题帮助同学们巩固和加强，打好基础。
我在阅读白皮书的过程中，印象最深刻的有如下七点：
1.对各类知识点的总结和整理：例如p338页对于矩阵的Jordan 标准型的求法的总结；p392页对正定阵判定准则的总结；p116页对于矩阵的秩和行(列)向量的极大无关组的求法等等；
2.大量的一题多解：除了在现有知识的基础下提供的多种解法(例如p339例7.28等)，还会在学习了新的知识点和方法后对前面的题目提供新的解法(例如p158页例
3.71的证法3；p486页例8.25的证法2、例9.27的证法2等)，这有助于我们从不同角度看问题，更深刻地理解题目，尤其在用新的视角重新审视以前的题目时。
3.许多竞赛题、考研题：白皮书中整理了大学生数学竞赛的真题并穿插在各个章节中，此外，书中还涵盖了谢启鸿老师教学论文的成果和前两年的每周一题，这对于学有余力的同学而言是学习高代的宝贵财富。
4.几何和代数的转化：记得谢启鸿老师在第一节高代课上就讲过学好高代最有效的方法是：深入理解几何意义、熟练掌握代数方法，而白皮书很好的体现了这一点，书中包含了大量对同一道题目或知识点代数和几何的不同解法或解析(例如p429页Gram-Schmidt正交化方法)。
5.一些十分有用的技巧的介绍：例如在证明一个矩阵问题时，如果条件和结论在相抵、相似或合同关系下保持不变，那么可以将其中一个或几个矩阵化成相抵、相似或合同标准型来考虑问题，这一技巧在做题过程中十分常见也非常有用，在几次高代期末考试中都体现了很大的用处，具体的例子可以参照白皮书（例如p336页例7.25；p462页例9.64等）。
6.丰富的专题介绍：在原有知识点的基础上，白皮书上加入了许多专题内容的介绍，每个专题内都会有重要的结论和大量例题，帮助同学们灵活运用、开阔视野（例如9.2.7同时合同对角化；9.2.11
实正规矩阵的正交相似标准型与同时标准化）。
7.自然的提出问题和引导解答：（例如p341页提出的问题：已知A的Jordan标准型，如何确定A^m的Jordan标准型？P490页提出的问题：复正规矩阵何时可以同时酉对角化？实正规矩阵何时可以
同时正交标准化？等等）这些问题的提出和解答很好地引导了同学们的思考，也会对一些想法感到很自然，学会自己探究问题。
我也有参考过北京大学和科大的高代（线代）指导书，相比之下，我认为复旦的白皮书更精炼全面和新颖，由浅入深，在巩固基础的前提下训练和提高学生做难题的水平，适合各个层次的学生参考。
白皮书中的很多例题和技巧都是其他参考书中见不到的。
今年北大的高代期末考试中的每一题也基本都可在白皮书中找到相应的“原型”，由此可见白皮书的强大之处：不论你在哪所大学，哪个年级，白皮书都会让你在高代学习过程中受益匪浅。
当然，在阅读白皮书的过程中切忌不思考而直接抄答案，而是应该在一定时间的努力下并未能做出的情况下再去参考答案，这样的学习才是有意义的，也才会取得进步。
或许很多同学一开始会认为白皮书偏难，很多题目无从下手，这就需要个人花费时间去钻研和熟悉，我相信只要真心想学好高代并且愿意为之付出努力的，在这本白皮书的帮助下，一定可以大大提高思维能力并且喜欢上高等代数这门课程的。
最后祝大家都能在白皮书的陪伴下将高代越学越好！。