图论习题

《图论及其应用》习题课教材

目录

第一章图的基本概念

1.1 图和简单图

1.2 子图与图的运算

1.3 路与图的连通性

1.4 最短路及其算法

1.5 图的代数表示及其特征

1.6 极图

1.7 交图与团图

习题1

第二章树

2.1 树的概念与性质

2.2 树的中心与形心

2.3 生成树

2.4 最小生成树

习题2

第三章图的连通度

3.1 割边、割点和块

3.2 连通度

3.3 应用

3.4 图的宽距离和宽直径

习题3

第四章欧拉图与哈密尔顿图

4.1 欧拉图

4.2 高效率计算机鼓轮的设计

4.3 中国邮路问题

4.4 哈密尔顿图

4.5 度极大非哈密尔顿图

4.6 旅行售货员问题

4.7 超哈密尔顿图

4.8 E图和H图的联系

4.9 无限图中的欧拉,哈密尔顿问题

习题4

第五章匹配与因子分解

5.1 匹配

5.2 偶图的匹配与覆盖

5.3 Tutte定理与完美匹配

5.4 因子分解

5.5 最优匹配与匈牙利算法

5.6 匹配在矩阵理论中的应用

习题5

第六章平面图

6.1 平面图

6.2 一些特殊平面图及平面图的对偶图

6.3 平面图的判定及涉及平面性的不变量

6.4 平面性算法

习题6

第七章图的着色

7.1 图的边着色

7.2 顶点着色

7.3 与色数有关的几类图

7.4 完美图

7.5 着色的计数，色多项式习题2

7.6 List着色

7.7 全着色

7.8 着色的应用

习题7

第八章Ramsey定理

8.1 独立集和覆盖

8.2 Ramsey定理

8.3 广义Ramsey数

8.4 应用

习题8

习题 1

1. 证明在n阶连通图中

（1）至少有n-1条边。

（2）如果边数大于n-1，则至少有一条闭通道。

（3）如恰有n-1条边，则至少有一个奇度点。

证明(1) 若对∀v∈V(G),有d(v)≥2,则：2m=∑d(v)≥2n ⇒ m≥n>n-1,矛盾！

若G中有1度顶点，对顶点数n作数学归纳。

当n=2时，G显然至少有一条边，结论成立。

设当n=k时，结论成立，

当n=k+1时，设d(v)=1，则G-v是k阶连通图，因此至少有k-1条边，所以G 至少有k条边。

(2) 考虑v1→v2→⋯→v n的途径，若该途径是一条路，则长为n-1,但图G的边数大于n-1,因此存在v i,v j,使得v i adgv j,这样，v i→v i+1→⋯→v j并上v i v j构成一条闭通道；若该途径是一条非路，易知，图G有闭通道。

(3) 若不然，对∀v∈V(G),有d(v)≥2,则：2m=∑d(v)≥2n ⇒ m≥n>n-1,与已知矛盾！

2.设G是n阶完全图，试问

（1）有多少条闭通道？

（2）包含G中某边e的闭通道有多少？

（3）任意两点间有多少条路？

答(1) (n-2)! (2) (n-1)!/2 (3) 1+(n-2)+(n-2)(n-3)+(n-2)(n-3)(n-4)+…+(n-2)…1.

3.证明图1-27中的两图不同构：

图1-27

证明 容易观察出两图中的点与边的邻接关系各不相同，因此，两图不同构。 4. 证明图1-28中的两图是同构的

证明 将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图

作映射f : f(v i )→u i (1≤ i ≤ 10)

容易证明，对∀v i v j ∈E((a)),有f(v i v j )=u i u j ∈E((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 ) 由图的同构定义知，图1-27的两个图是同构的。

5. 证明：四个顶点的非同构简单图有11个。

证明

由于四个顶点的简单图至多6条边，因此上表已经穷举了所有情形，由上表知：四个顶点的非同构简单图有11个。

图1-28 (a)

v 2 v 3 u 4

u (b)

6. 设G 是具有m 条边的n 阶简单图。证明：m =⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛2n 当且仅当G 是完全图。 证明 必要性 若G 为非完全图，则∃ v ∈V(G),有d(v)< n-1 ⇒ ∑ d(v) < n(n-1) ⇒ 2m

⇒ m < n(n-1)/2=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛2n , 与已知矛盾！

充分性 若G 为完全图，则 2m=∑ d(v) =n(n-1) ⇒ m= ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛2n 。

7. 证明：（1）m (K l ,n ) = ln ，

（2）若G 是具有m 条边的n 阶简单偶图，则m ≤ ⎥⎦

⎥

⎢⎣⎢42n 。

证明 (1) K l,n 的总度数为2ln ,所以，m (K l ,n ) = ln 。

(2) 设G 的两个顶点子集所含顶点数分别为n 1与n 2,G 的边数为m,可建立如下的二 次规划：

m=n 1n 2 s.t n 1+n 2=n

n 1≥1, n 2≥ 1

当n 为偶数时，n 1=n 2=n/2时，m 取最大值：m=n 2/4

当n 为奇数时，取n 1=(n+1)/2, n 2=(n-1)/2时，m 取最大值：m=(n 2-1)/4

所以，m ≤ ⎥⎦

⎥

⎢⎣⎢42n 。

8. 设△和δ是简单图G 的最大度和最小度，则δ≤2m / n ≤△。

证明

∆

≤≤∴≥∆⇒∆==≤

⇒≥=∑∑∈∈n m n m n v d m n m n v d m V

v V

v 22)(22)(2δδδ

9. 证明：若k 正则偶图具有二分类V = V 1∪V 2，则 | V 1| = |V 2|。

证明 由于G 为k 正则偶图，所以，k | V 1 | =m = k | V 2 | ⇒ ∣V 1∣= ∣V 2 ∣。

10. 证明：由两人或更多个人组成的人群中，总有两人在该人群中恰好有相同的朋友数。