一线三等角中点相似模型证明

一线三等角中点相似模型证明

在初中数学学习中，一线三等角中点相似模型是一个重要的知识点。它不仅是数学学科中的基础概念，也是日常生活中的实用知识型模型。

一线三等角中点相似模型包含了三个关键要素，即一线、三等角和中

点相似。其中，一线指在一个三角形中连接两个角的线段，三等角指

三角形中三个角的度数相等，中点相似则是指两个图形中对应线段的

长度相等。

理解这个模型需要我们首先了解一些基础概念。在三角形中，连接一

个角的两边的线段称为这个角的平分线，平分线的中点称为这个角的

顶点角平分线中点。而三角形中线则是一条连接两个角的中点的线段。在一个三角形中，三个顶点连成一条线段即为三角形的一条边。

有了这些基础概念之后，我们可以开始理解一线三等角中点相似模型

的证明过程。在证明这个模型时，我们需要使用到的基本公式是：在

一个三角形中，连接一个角的两边的长度的比等于另外一个角的两边

的长度的比，那么这个角的平分线上任意一点到两边的距离之比等于

这两边的长度之比。

首先，证明一线三等角中点相似模型的前提是三角形ABC和DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。我们需要构造中线DG与CB、EH与AC的交点K，LK为EF的平行线，并证明LK=AB/BG=AC/CH。

我们先考虑LK=AB/BG的证明。因为LK∥EF，我们可以通过小学奥数中的对应角相等的定理，得出∠LBL～∠ABC，∠LKF～∠ACB。由于LK是EF的平行线，所以LK=EF×BL/AC=AB/BG，得证。

接下来，我们需要证明LK=AC/CH。由于AC是三角形ABC的中线，所以AC=2CH。而LK=EF×BL/AC，因为∠LBL～∠ABC，所以

BL=AC/AB。代入LK中得LK=EF/AB×AC/CH=AC/CH，得证。

综上可知，LK=AB/BG=AC/CH，所以三角形ABC与DEF是相似的。由于ABC与DEF相似，因此它们的相应线段比例相等。因为CB与EF平行且有相同比例，在DG与EH交于K的情况下，由于ABC与DEF相似，所以三角形ABE与CDG也相似。因此，AB/CD=BE/DG，而BE=BG。又因为AC是三角形ABC的中线，DG是三角形DEF的中线，所以AC=2DG。代入AB/CD=BE/DG中得到

AB/BG=CD/DG=2CA/DG。即在三角形ABC和DEF中，一线三等角中点相似模型成立，证毕。

总之，一线三等角中点相似模型证明过程依照基础概念和公式推导，考虑到图形间的相似性以及平行线理论，需要使用一定的数学知识点和算式。在数学学习中，我们需要加强对基础概念的理解，掌握一定的几何知识和推理能力，才能更好地理解和应用这些模型。