2015年浙江省金华市东阳市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)

2015年浙江省金华市东阳市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共8小题，共40.0分)1.已知集合A={x|y=ln（1-2x）}，B={x|x2≤x}，则∁A∪B（A∩B）=（）A.（-∞，0）B.（-，1]C.（-∞，0）∪[，1]D.（-，0]【答案】C【解析】解：∵集合A={x|y=ln（1-2x）}，∴A={x|1-2x＞0}={x|x＜}，∵B={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，∴A∪B={x|x≤1}，A∩B={x|0≤x＜}，∴∁A∪B（A∩B）=（-∞，0）∪[，1]，故选：C．分别求出关于集合A、B中的x的范围，从而求出A∪B，A∩B，进而求出∁A∪B（A∩B）．本题考查了集合的交、并、补集的运算，是一道基础题．2.设a，b∈R，则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】解：若a=1，b=-2，满足a＞b，但|a|＞|b|不成立，若a=-2，b=1，满足|a|＞|b|，但a＞b不成立，即“a＞b”是“|a|＞|b|”的既不充分也不必要条件，故选：D．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．3.函数y=（2x-1）e x的图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：令y=（2x-1）e x=0，解得x=，函数有唯一的零点，故排除C，D，当x→-∞时，e x→0，所以y→0，故排除B，故选：A．先通过函数的零点排除C，D，再根据x的变化趋势和y的关系排除B，问题得以解决．本小题主要考查函数的性质对函数图象的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图象等问题．4.已知a，b是空间中两不同直线，α，β是空间中两不同平面，下列命题中正确的是（）A.若直线a∥b，b⊂α，则a∥αB.若平面α⊥β，a⊥α，则a∥βC.若平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥bD.若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β【答案】D【解析】解：若直线a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A不对；若平面α⊥β，a⊥α，则a∥β或a⊂β，故B不对；若平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b或a、b是异面直线，故C不对；根据垂直于同一条直线的两个平面平行，可得D正确，故选：D．由条件利用直线和平面平行的判定定理、性质定理，直线和平面垂直的判定定理、性质定理，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查直线和平面的位置关系，直线和平面平行的判定定理、性质定理的应用，直线和平面垂直的判定定理、性质定理的应用，属于基础题．5.若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移φ的单位，所得图象是函数y=sin（2x+-2φ），图象关于y轴对称，可得-2φ=kπ+，即φ=-，当k=-1时，φ的最小正值是．故选：C．利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．6.定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=-x2+2x，则函数F（x）=f（x）-x零点个数为（）A.4B.3C.1D.0【答案】B【解析】解：∵在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=-x2+2x，∴当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-[-（-x）2+2（-x）]=x2+2x，∴f（x）=，，＜，g（x）=x，根据图形可判断：f（x）=，，＜，与g（x）=x，有3个交点，即可得出函数F（x）=f（x）-x零点个数为3，故选：B．利用奇偶性求解f（x）解析式构造f（x）=，，＜，g（x）=x，画出图象，利用交点个数即可判断F（x）零点个数．本题考查了复杂函数的零点的判断问题，构函数转化为交点的问题求解，数形结合的思想的运用，关键是画出图象．7.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1•a n=2n（n∈N*），则S2015=（）A.22015-1B.21009-3C.3×21007-3D.21008-3【答案】B【解析】解：∵a1=1，a n+1•a n=2n，∴a2=2，∴当n≥2时，a n•a n-1=2n-1，∴==2，∴数列{a n}中奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S2015=+=21009-3，故选：B．由已知得数列{a n}的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列，偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出前2015项的和．本题考查数列的前2015项的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，解题的关键是推导出数列{a n}的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列，偶数项是首项为2，公比为2的等比数列．8.已知向量，满足：，，，则在上的投影长度的取值范围是（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】解：设向量，的夹角为θ∵||=13，||=1∴===≤12∴≥5∴=≥∴∵在上的投影||cosθ=cosθ，故选D由=≤12可求的范围，进而可求的范围，然后由在上的投影||cosθ可求本题主要考查了向量的数量积的性质及投影的定义的简单应用，解题的关键是弄清楚基本概念．二、填空题(本大题共7小题，共36.0分)9.若经过点P（-3，0）的直线l与圆M：x2+y2+4x-2y+3=0相切，则圆M的圆心坐标是______ ；半径为______ ；切线在y轴上的截距是______ ．【答案】（-2，1）；；-3【解析】解：圆的标准方程为（x+2）2+（y-1）2=2，则圆心坐标为（-2，1），半径R=，设切线斜率为k，过P的切线方程为y=k（x+3），即kx-y+3k=0，则圆心到直线的距离d===，平方得k2+2k+1=（k+1）2=0，解得k=-1，此时切线方程为y=-x-3，即在y轴上的截距为-3，故答案为：，；；根据圆的标准方程即可求出圆心坐标和半径，根据直线相切即可求出切线方程．本题主要考查圆的标准方程的应用以及直线和圆相切的位置关系的应用，比较基础．10.设函数f（x）=f（f（4））= ______ ；若f（a）=-1，则a= ______ ．＜，则【答案】5；1或【解析】f（4）=-2×42+1=-31．解：函数f（x）=＜，则f（f（4））=f（-31）=log2（1+31）=5．当a≥1时，f（a）=-1，可得-2a2+1=-1，解得a=1；当a＜1时，f（a）=-1，可得log2（1-a）=-1，解得a=；故答案为：5；1或．直接利用分段函数，由里及外求解函数值，通过方程求出方程的根即可．本题考查函数的值的求法，方程的根的求解，分段函数的应用，考查计算能力．11.某空间几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则其体积是______ cm3，其侧视图的面积是______ cm2．【答案】4；【解析】解：∵根据三视图得出：该几何体是三棱锥，AB=2，BC=3，DB=5，CD=4，AB⊥面BCD，BC⊥CD，∴其体积：S△CBD×AB==4，△BCD边BD的高为==侧视图的面积：×2=故答案为；4，判断得出该几何体是三棱锥，求解其体积：S△CBD×AB，△BCD边BD的高为，再利用直角三角形求解面积即可．本题考查了三棱锥的三视图的运用，仔细阅读数据判断恢复直观图，关键是利用好仔细平面的位置关系求解，属于中档题．12.设实数x，y满足，则动点P（x，y）所形成区域的面积为______ ，z=x2+y2的取值范围是______ ．【答案】1；[1，5]【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，△ABC为平面区域的面积，∴S△ABC=×2×1=1，而z=x2+y2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，由图象得：A或B到原点的距离最大，C到原点的距离最小，∴d最大值=5，d最小值=1，故答案为：1，[1，5]．先画出满足条件的平面区域，求出A，B，C的坐标，从而求出三角形的面积，再根据z=x2+y2的几何意义，求出其范围即可．本题考察了简单的线性规划问题，考察z=x2+y2的几何意义，本题是一道中档题．13.点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上一点，F是右焦点，且△OPF是∠POF=120°的等腰三角形（O为坐标原点），则双曲线的离心率是______ ．【答案】+1【解析】解：由题意可得P在双曲线的左支上，可设P在第二象限，且|OP|=|OF|=c，即有P（-ccos60°，csin60°），即为（-c，c），代入双曲线方程，可得-=1，即为-=1，由e=，可得e2-=1，化简可得e4-8e2+4=0，解得e2=4±2，由e＞1，可得e=+1．故答案为：+1．由题意可得P在双曲线的左支上，可设P在第二象限，且|OP|=|OF|=c，即有P（-ccos60°，csin60°），代入双曲线方程，由离心率公式，解方程即可得到结论．本题考查双曲线的方程和性质，主要方程的运用和离心率的求法，正确判断P的位置和求出P的坐标是解题的关键．14.函数f（x）=sin2x+的最大值是______ ．【答案】【解析】解：f（x）=sin2x+=sin2x+=sin2x+=2sinxcosx+cosx-sinx．令t=cosx-sinx，则t∈[，]，∴t2=1-2sinxcosx，2sinxcosx=1-t2．原函数化为y=-t2+t+1，t∈[，]，对称轴方程为t=，∴当t=时函数有最大值为．故答案为：．利用两角和的余弦展开，令t=cosx-sinx换元，转化为二次函数求最值解答．本题考查了两角和与差的余弦函数，考查了利用换元法求三角函数的最值，考查了二次函数最值的求法，是中档题．15.已知x＞0，y＞0，2x+y=1，若4x2+y2+-m＜0恒成立，则m的取值范围是______ ．【答案】＞【解析】解：4x2+y2+-m＜0恒成立，即m＞4x2+y2+恒成立，∵x＞0，y＞0，2x+y=1，∴1≥2，∴0＜≤∵4x2+y2+=（2x+y）2-4xy+=1-4xy+=-4（-）2+，∴4x2+y2+的最大值为，∴＞．故答案为：＞．4x2+y2+-m＜0恒成立，即m＞4x2+y2+恒成立，求出4x2+y2+的最大值，即可求得m的取值范围．本题考查不等式恒成立问题，考察基本不等式的运用，正确转化是关键．三、解答题(本大题共5小题，共74.0分)16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2A=1-3cos A．（1）求角A；（2）若2sin C=3sin B，△ABC的面积，求a．【答案】解：（1）∵cos2A=1-3cos A．∴2cos2A-1=1-3cos A，整理可得：2cos2A+3cos A-2=0，∴解得：cos A=-2（舍去）或，∵0＜A＜π，∴A=．（6分）（2）∵=bcsin A=bc×，可解得：bc=24①∵2sin C=3sin B，由正弦定理可得：2c=3b②，∴由①②联立可解得：b=4，c=6，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccos A=36+16-24=28．∴可解得：（14分）【解析】（1）由二倍角的余弦公式化简已知整理可得：2cos2A+3cos A-2=0，从而解得cos A=-2（舍去）或，结合A的范围即可得解．（2）由=bcsin A=bc×，可解得：bc=24①，由2sin C=3sin B及正弦定理可得：2c=3b②，由①②联立可解得b，c，由余弦定理即可解得a的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．17.已知数列{a n}和{b n}满足a1a2…a n=，若{a n}为等比数列，且a1=1，b2=b1+2．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）设c n=-（n∈N*），求数列{c n}的前n项和S n．【答案】解：（I）∵a1a2…a n=，令n=1，可得a1=，即1=，∴b1-1=0，解得b1=1，∴b2=b1+2=3．由=2，∴a2=2．∴=2，∵{a n}为等比数列，∴．∵a1a2…a n=，∴=1×2×22×…×2n-1=21+2+…+（n-1）=，∴=．（II）c n=-==．∴数列{c n}的前n项和S n=-2=-2=-．【解析】（I）由a1a2…a n=，令n=1，可得a1=，解得b1=1，b2=b1+2=3．由=2，可得a2=2．利用等比数列的通项公式可得：．由a1a2…a n=，可得=1×2×22×…×2n-1，即可得出b n．（II）c n==．利用等比数列的前n项和公式、“裂项求和”即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”、指数的运算性质、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，若AB=2PC=，D是PC的中点（1）证明：AB⊥PC；（2）求AD与平面ABC所成角的正弦值．【答案】证明：（1）取AB中点E，∵△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形∴CE⊥AB，PE⊥AB，∵CE∩PE=E，∴∵PC⊂平面PEC∴AB⊥PC解：（2）∵，∴角形PEC为正三角形，过P作PO⊥CE，则PO⊥平面ABC，过D作DH平行PO，则DH⊥平面ABC，连AH，则∠DAH为所求角，，，∠．【解析】（1）利用直线平面的垂直来证明得出AB⊥平面PEC，再利用转为直线直线的垂直证明．（2）作出AD与平面ABC所成角的角，转化为三角形求解即可．本题考查了直线平面的垂直问题，空间平面的转化思想，分析问题的能力，属于中档题，但是难度不大．19.已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线2x-y+2=0交抛物线C于A、B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q．（1）若直线AB过焦点F，求|AF|•|BF|的值；（2）是否存在实数p，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）直线2x-y+2=0交抛物线C于A、B两点，x=0，可得y=2，所以F（0，2），p=4，抛物线x2=8y与直线y=2x+2联立方程组得：x2-16x-16=0，A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=16，x1x2=-16，|AF||BF|=（y1+2）（y2+2）=（2x1+4）（2x2+4）=80；（7分）（2）假设存在，抛物线x2=2py与直线y=2x+2联立方程组得：x2-4px-4p=0，A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=4p，x1x2=-4p．P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q，可得Q（2p，2p）．得：（x1-2p）（x2-2p）+（y1-2p）（y2-2p）=0，（x1-2p）（x2-2p）+（2x1+2-2p）（x2+2-2p）=0，代入得4p2+3p-1=0，或舍（15分）【解析】（1）抛物线的焦点坐标F（0，2），求出抛物线方程，与直线方程联立，A（x1，y1），B（x2，y2）利用韦达定理求解|AF|•|BF|的值．（2）通过抛物线x2=2py与直线y=2x+2联立方程组，A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及向量的数量积，化简求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．20.已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c∈R）．（1）若f（1）=0，且f（x）在x=-1时有最小值-4，求f（x）的表达式；（2）若a=1，且不等式f（c）-f（b）≤t（c2-b2）对任意满足条件4c≥b2+4的实数b，c恒成立，求常数t取值范围．【答案】解：（1）依题意，f（1）=0，a+b+c=0，f（x）在x=-1时有最小值-4，设f（x）=a（x+1）2-4，f（1）=4a-4=0，得a=1，所以f（x）的表达式是f（x）=x2+2x-3．（5分）（2）若a=1，则f（x）=x2+bx+c，f（c）-f（b）=（c+2b）（c-b），（c+2b）（c-b）≤t （c2-b2）对任意满足条件4c≥b2+4的实数b，c恒成立，当c=b=2时，显然成立，t∈R；当c=-b=2时，显然成立，t∈R；当b≠±2时，＞，所以，即，对任意满足条件4c≥b2+4的实数b，c恒成立，由于＞，当b≤0（且b≠-2）时，只需t≥1；当b＞0（且b≠2）时，，从而（当且仅当b=c=2时取等号，等号不成立），此时＞．所以，常数t的取值范围是，∞．（14分）【解析】（1）化简函数的解析式，利用f（1）=0，且f（x）在x=-1时有最小值-4，求出a、b、c即可得到函数的解析式．（2）若a=1，f（x）=x2+bx+c，利用f（c）-f（b）=（c+2b）（c-b），（c+2b）（c-b）≤t（c2-b2）对任意满足条件4c≥b2+4的实数b，c恒成立，通过当c=b=2时，当c=-b=2时，当b≠±2时，当b≤0，当b＞0（且b≠2）时，求解常数t的取值范围是，∞本题考查函数与方程的应用，函数恒成立，二次函数的简单性质的应用，考查分类讨论以及计算能力．。