2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习教学案第七章不等式7.1不等关系与不等式

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高三数学一轮复习精品教案1：7.1 不等关系与不等式教学设计

7.1 不等关系与不等式考纲传真1.了解现实世界和日常生活中的不等关系．2．了解不等式(组)的实际背景.1．实数的大小顺序与运算性质的关系a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a ＜b ⇔a －b ＜0． 2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ；(双向性) (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；(单向性) (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；(双向性) a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(单向性) (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ； a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(单向性) (5)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)；(单向性) (6)开方法则：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)；(单向性) (7)倒数性质：设ab ＞0，则a ＜b ⇔1a ＞1b.(双向性)1．(人教A 版教材习题改编)对于实数a ，b ，c ，“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』 a ＞6D /⇒ac 2＞bc 2，如c ＝0时，ac 2＝bc 2，但ac 2＞bc 2⇒a ＞b ， ∴“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的必要不充分条件．『答案』 B2．在城区限速40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，写成不等式就是( )A ．v ＜40 km/hB ．v ＞40 km/hC ．v ≠40 km/hD ．v ≤40 km/h 『答案』 D3．(2013·合肥质检)已知a ，b 为非零实数，且a ＞b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a 4＞b 4 B.1a ＜1bC ．|a |＞|b |D ．2a ＞2b『解析』当a ＝1，b ＝－2时，A 、B 、C 均不正确，由y ＝2x 的单调性知，D 正确．『答案』 D4．(2012·湖南高考)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③ 『解析』 ∵a >b >1，∴1a <1b .又c <0，∴c a >cb，故①正确．当c ＜0时，y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，又a >b >1，∴a c b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1.∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确．『答案』 D 5.12－1与3＋1的大小关系为________．『解析』 12－1－(3＋1)＝(2＋1)－(3＋1)＝2－3＜0，∴12－1＜3＋1. 『答案』12－1＜3＋1利用不等式(组)表示不等关系用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1k (k ∈N *)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，请从这个实例中提炼出一个不等式组．『思路点拨』由题意，找出题目中相应的不等式关系，特别是“一个铁钉受击3次后全部进入木板”，然后用不等式(组)将它们表示出来．『尝试解答』依题意得，第二次钉子没有全部进入木板；第三次全部进入木板，∴⎩⎨⎧47＋47k＜1，47＋47k ＋47k 2≥1，(k ∈N *)．,1．本题常见的错误：(1)没能准确理解“一个铁钉受击3次后全部进入木板”的含义，导致遗漏不等式47＋47k＜1；(2)忽视变量k ∈N *.2．求解此类问题一定要准确将题目中文字语言转化为数学符号语言(如不等式等)，特别是注意“不超过”、“至少”、“低于”表示的不等关系，同时还应考虑变量的实际意义．某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车．根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．『解』设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆，则x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧40x ＋90y ≤1 000，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *.不等式性质的应用(2013·包头模拟)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋bc＜0；(3)a －c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立的命题为________．『思路点拨』利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假．『尝试解答』 ∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，则ad ＜bc ，(1)错误．由a ＞0＞b ＞－a ，知a ＞－b ＞0，又－c ＞－d ＞0，因此a ·(－c )＞(－b )·(－d )，即ac ＋bd ＜0， ∴a d ＋b c ＝ac ＋bd cd ＜0，故(2)正确．显然a －c ＞b －d ，∴(3)正确． ∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，∴(4)正确．『答案』 (2)(3)(4),1．解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生有”自造性质导致推理判定失误． 2．对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等式性质包括 “单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据，因为解不等式要求的是同解变形．(2012·浙江高考)设a >0，b >0，( )A ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a >bB ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a <bC ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a >bD ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a <b 『解析』当0＜a ≤b 时，显然2a ≤2b ，2a ≤2b ＜3b ，∴2a ＋2a ＜2b ＋3b ，即2a ＋2a ≠2b ＋3b .∴它的逆否命题“若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a ＞b ”成立，因此A 正确．『答案』 A比较大小(1)已知m ∈R ，a ＞b ＞1，f (x )＝m 2xx －1，试比较f (a )与f (b )的大小；(2)比较a a b b 与a b b a (a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1)的大小．『思路点拨』 (1)计算出f (a )与f (b )，用作差法或综合法比较大小；(2)幂式比较大小，用作商法比较大小．『尝试解答』 (1)法一 ∵f (a )＝m 2a a －1，f (b )＝m 2bb －1，∴f (a )－f (b )＝m 2a a －1－m 2b b －1＝m 2(a a －1－bb －1)＝m 2·a （b －1）－b （a －1）（a －1）（b －1）＝m 2·b －a（a －1）（b －1），当m ＝0时，f (a )＝f (b )；当m ≠0时，m 2＞0，又a ＞b ＞1，∴f (a )＜f (b )，即f (a )≤f (b )．法二 ∵f (x )＝m 2x x －1＝m 2(1＋1x －1)，∴f (a )＝m 2(1＋1a －1)，f (b )＝m 2(1＋1b －1)，由于a ＞b ＞1，∴a －1＞b －1＞0，∴1＋1a －1＜1＋1b －1，当m ＝0时，m 2(1＋1a －1)＝m 2(1＋1b －1)，即f (a )＝f (b )；当m ≠0时，m 2(1＋1a －1)＜m 2(1＋1b －1)，即f (a )＜f (b )，∴f (a )≤f (b )．(2)根据同底数幂的运算法则，采用作商法，a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝(ab )a －b ，当a ＞b ＞0时，a b ＞1，a －b ＞0，则(a b )a －b ＞1，∴a a b b ＞a b b a ，当b ＞a ＞0时，0＜a b ＜1，a －b ＜0，则(a b)a －b ＞1，∴a a b b ＞a b b a ，当a ＝b ＞0时，(a b )a －b ＝1，∴a a b b ＝a b b a ，综上知a a b b ≥a b b a (当且仅当a ＝b 时取等号)．,1．第(1)中，若注意到m 2≥0，亦可构造函数φ(x )＝xx －1(x ＞1)，判断出φ(x )是减函数，f (a )≤f (b )．2．(1)“作差比较法”的过程可分为四步：①作差；②变形；③判断差的符号；④作出结论．其中关键一步是变形，手段可以有通分、因式分解、配方等．(2)“作商比较法”的依据是“ab ＞1，b ＞0⇒a ＞b ”，在数式结构含有幂或根式时，常采用比商法．若a ＞b ＞0，试比较a a ＋b b 与a b ＋b a 的大小．『解』 (a a ＋b b )－(a b ＋b a )＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )，∵a ＋b ＞0，(a －b )2＞0，∴(a a ＋b b )－(a b ＋b a )＞0，∴a a ＋b b ＞a b ＋b a .两点注意1.运用不等式性质，一定弄清性质成立的条件，切忌弱化或强化性质成立的条件． 2．求代数式的范围，应利用待定系数法或数形结合建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，避免扩大变量范围．两种方法作差比较法与作商比较法是判定两个数或式大小的两种基本方法，其中变形是关键．两条性质1.倒数性质，若ab ＞0，则a ＞b ⇔1a ＜1b.2．真分数的性质，若m ＞0，a ＞b ＞0，则b a ＜b ＋ma ＋m.从近两年的高考试题来看，不等关系、不等式的性质及应用是高考的热点，题型既有选择题，也有填空题，难度为中低档，客观题突出对不等式性质及应用的考查，主观题与其他知识交汇，考查不等式的性质及综合分析问题、解决问题的能力．在涉及求范围问题时，应特别注意不等式性质的应用，防止出错．易错辨析之十忽视不等式的隐含条件致误(2012·陕西高考改编)设函数f (x )＝x n ＋bx ＋c (n ∈N *，b ，c ∈R )． (1)设n ≥2，b ＝1，c ＝－1，证明f (x )在区间(12，1)内存在唯一零点；(2)设n 为偶数，|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，求b ＋3c 的最大值和最小值．『错解』 (1)当b ＝1，c ＝－1，n ≥2时，f (x )＝x n ＋x －1，f (12)f (1)＝(12n －12)×1＜0，∴f (x )在区间(12，1)内有零点，又当x ∈(12，1)时，f ′(x )＝n ·x n －1＋1＞0，∴f (x )在(12，1)上是单调递增的，∴f (x )在(12，1)内存在唯一零点．(2)∵n 为偶数，且|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －c ≤2，－2≤b ＋c ≤0.因此－1≤b ≤1，且－2≤c ≤0.∴－7≤b ＋3c ≤1，故b ＋3c 的最大值为1，最小值为－7.错因分析：(1)忽视字母b 、c 相互制约的条件，片面将b ，c 分割开来导致字母范围发生变化．(2)多次运用同向不等式相加这一性质，不是等价变形，扩大变量的取值范围，致使最值求解错误．防范措施：(1)利用待定系数法先建立待求整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得待求整体的范围．(2)运用线性规划，根据t ＝b ＋3c 的几何意义，数形结合求t 的最值．『正解』 (1)同上述解法．(2)法一由n 为偶数，且|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤f （－1）≤1，－1≤f （1）≤1.即⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －c ≤2，－2≤b ＋c ≤0.作上述不等式组表示的可行域，如图所示．令t ＝b ＋3c ，则c ＝t 3－b3.平移b ＋3c ＝0，知直线过原点O 时截距最大，过点A 时截距最小，∴t ＝b ＋3c 的最大值为0＋3×0＝0；最小值为0＋3×(－2)＝－6.法二由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝1－b ＋c ，f （1）＝1＋b ＋c ，解得b ＝f （1）－f （－1）2，c ＝f （1）＋f （－1）－22，∴b ＋3c ＝2f (1)＋f (－1)－3.又∵－1≤f (－1)≤1，－1≤f (1)≤1，∴－6≤b ＋3c ≤0. 当b ＝0，c ＝－2时，b ＋3c ＝－6；当b ＝c ＝0时，b ＋3c ＝0， ∴b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0.1．(2013·青岛质检)设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』当0＜x ＜π2时，0＜sin x ＜1，∴x sin x ＜1⇒x sin 2x ＜sin x ＜1.如果x sin 2x ＜1⇒x sin x ＜1sin x ，因为1sin x ＞1，则不能保证x sin x ＜1，因此“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的必要不充分条件．『答案』 B2．(2013·西城模拟)已知a >b >0，给出下列四个不等式： ①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b . 其中一定成立的不等式为( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④『解析』对于①可直接利用不等式的性质求解，也可作差，即a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )>0，知①正确；对于②由条件知a >b >b －1，结合指数函数f (x )＝2x 的单调性知2a >2b －1，②正确．也可作商，即2a 2b －1＝2a －b ＋1. ∵a >b >0，∴a －b >0，∴a －b ＋1>0，∴2a－b ＋1>1，故2a >2b －1；对于③，∵a >b >0，∴a －b >0，a －b >0，原不等式⇔a －b >a －2ab ＋b ⇔b －ab <0⇔b (b －a )<0，显然成立，故③正确；对于④，a 3＋b 3－2a 2b ＝(a 3－a 2b )＋(b 3－a 2b )＝a 2(a －b )－b (a －b )(a ＋b )＝(a －b )(a 2－ab －b 2)＝(a －b )『(a －b 2)2－54b 2』由于(a －b 2)2－54b 2符号不定，故④不一定成立．。

2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第7章学案32

第7章不等式、推理与证明学案32 不等关系及一元二次不等式导学目标：1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。

3。

会解一元二次不等式并能应用一元二次不等式解决某些实际问题．自主梳理1．一元二次不等式的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是____的不等式叫做一元二次不等式．2．二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a〉0）的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a〉0）的根有两相异实根x1,2＝错误!（x1〈x2）有两相等实根x1＝x2＝________没有实根一元二次不等式ax2＋bx＋c>0a〉0(－∞，x1）∪（x2，＋∞）(－∞，－错误!)∪（－错误!，＋∞) a〈0（x1，x2）的解集自我检测1．(2010·广州一模)已知p：关于x的不等式x2＋2ax－a>0的解集是R，q：－1〈a<0，则p是q成立的________条件．2．设函数f(x）＝错误!则不等式f(x)〉f（1)的解集是________．3．（2011·上海改编）若a,b∈R，且ab〉0，则下列不等式中，恒成立的是________．(填序号)①a2＋b2>2ab；②a＋b≥2错误!;③错误!＋错误!〉错误!；④错误!＋错误!≥2.4．已知f（x）＝ax2－x－c>0的解集为（－3，2)，则a＝________，c＝________。

5．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4〈0恒成立，则m的取值范围为________________．探究点一一元二次不等式的解法例1解下列不等式：（1）－x2＋2x－错误!〉0；(2)9x2－6x＋1≥0。

变式迁移1 解下列不等式：(1）2x2＋4x＋3〈0；（2)－3x2－2x＋8≤0；(3）8x－1≥16x2.探究点二含参数的一元二次不等式的解法例2已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a〈0.变式迁移2 解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1〈0.探究点三一元二次不等式恒成立问题例3已知f（x)＝x2－2ax＋2 (a∈R),当x∈［－1，＋∞)时,f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．变式迁移3 (1)关于x的不等式错误!〈2对任意实数x恒成立,求实数m的取值范围．(2)若不等式x2＋px>4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围．转化与化归思想与三个“二次”的关系例(14分)已知不等式ax2＋bx＋c〉0的解集为(α,β），且0<α<β，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．【答题模板】解由已知不等式的解集为（α，β）可得a<0，∵α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根,∴由根与系数的关系可得错误![4分]∵a<0，∴由②得c〈0,［6分]则cx2＋bx＋a<0可化为x2＋错误!x＋错误!>0.［8分］①÷②，得错误!＝错误!＝－错误!<0，由②得错误!＝错误!＝错误!·错误!〉0,∴错误!、错误!为方程x2＋错误!x＋错误!＝0的两根．［12分］∵0〈α〈β，∴不等式cx2＋bx＋a<0的解集为{x｜x<错误!或x> 1α}．［14分］【突破思维障碍】由ax2＋bx＋c>0的解集是一个开区间，结合不等式对应的函数图象知a<0，要求cx2＋bx＋a<0的解集首先需要判断二次项系数c 的正负,由方程根与系数关系知错误!＝α·β>0,因a<0，∴c<0，从而知道cx2＋bx＋a〈0的解集是x大于大根及小于小根对应的两个集合．要想求出解集,需用已知量α，β代替参数c、b、a，需对不等式cx2＋bx＋a〈0两边同除c或a,用α、β代替后，就不难找到要求不等式对应方程的两根，从而求出不等式的解集．本题较好地体现了三个“二次”之间的相互转化．1．三个“二次"的关系：二次函数是主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零和不为零的两种情况，一般讨论二次函数常将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式来研究，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又常与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决．一元二次不等式解集的端点值就是相应的一元二次方程的根，也是相应的二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即二次函数的零点．2．解含参数的一元二次不等式的步骤：解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进行：1°二次项若含有参数应讨论参数是等于0、小于0、还是大于0。

一轮复习教案：第7章第1讲不等关系与不等式

3≤2x＋y≤9
(3)若变量 x，y 满足约束条件
，则 z＝x＋2y 的最小值为________．
6≤x－y≤9
[解析] (1)∵ab>0，bc－ad>0，
∴c－d＝bc－ad>0，∴①正确； a b ab
∵ab>0，又c－d>0，即bc－ad>0，
ab
ab
∴bc－ad>0，∴②正确；
∵bc－ad>0，又c－d>0，即bc－ad>0，
ab
ab
∴ab>0，∴③正确．故选 D.
(2)∵M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1，a2∈(0,1)，∴M－N>0，即 M>N，选 B.
(3)令 z＝x＋2y＝λ(2x＋y)＋μ(x－y)＝(2λ＋μ)x＋(λ－μ)y，
2λ＋μ＝1
λ＝1
∴
，∴
，∴z＝(2x＋y)－(x－y)，
大．
[正解] 解法一：设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n 为待定系数)，则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋
b)，
即 4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
m＋n＝4，
m＝3，
于是得
解得
n－m＝－2，
n＝1，
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
2．若 a>b>0，c<d<0，则一定有( )
A.a>b cd
C.a>b dc
B.a－d>0，

2014届高考数学(苏教版)一轮复习教学案第7章不等式7.4基本不等式及其应用

7.4 基本不等式及其应用考纲要求1．掌握基本不等式ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)．2．能用基本不等式证明简单不等式．3．能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题(解同一问题时限用一次)． 4．提高提出问题、分析和解决实际问题的能力．1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：__________.(2)等号成立的条件：当且仅当__________时取等号． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥________(a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab≥____(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22____a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为__________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：____________________________.4．利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当______时，x ＋y 有最____值是________．(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当______时，xy 有最____值是__________．(简记：和定积最大)1．若b ＜a ＜0，则下列不等式中正确的有__________．(填序号) ①1a ＞1b ②|a |＞|b | ③b a ＋ab＞2 ④a ＋b ＞ab 2．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为__________．3．(2012江苏盐城四星学校期中)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为__________．4．设a ＞0，b ＞0,4a ＋b ＝ab ，则在以(a ，b )为圆心，a ＋b 为半径的圆中，面积最小的圆的标准方程是__________．5．若a ＞b ＞1，P ＝lg a ·lg b ， Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则P ，Q 与R 大小关系为__________．运用基本不等式解题要注意哪些方面？提示：1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式a ＋b ≥2ab ，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系．2．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b ＞0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．一、利用基本不等式证明不等式【例1】已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 方法提炼利用基本不等式证明不等式，应先观察题目的条件是否满足基本不等式的使用条件，若不满足，可通过添项、拆项、配系数、“1”的代换等方法，使其满足条件，再结合不等式的基本性质，达到证明的目的．请做针对训练1二、利用基本不等式求最值【例2】 (1)(2012江苏无锡五校联考)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为__________；(2)(2012江苏南京十二中期中考试)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为__________．方法提炼利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等．“一正”就是各项必须为正数．“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值．“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．请做针对训练2三、利用基本不等式解答实际应用题【例3】 (2012江苏南京、盐城三模)在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为v (米/单位时间)，单位时间内用氧量为c v 2(c 为正常数)；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为v2(米/单位时间)，单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y .(1)将y 表示为v 的函数；(2)设0＜v ≤5，试确定下潜速度v ，使总的用氧量最少．方法提炼(1)应用基本不等式解决实际问题的步骤是：①仔细阅读题目，理解透彻题意；②设出自变量，写出函数解析式；③应用基本不等式求出函数最值；④还原实际问题，作出解答．(2)当应用基本不等式，求出使等号成立的条件不在实际问题的取值范围内时，就不能用基本不等式，可考虑用函数的单调性来解决．请做针对训练3从近三年高考试题来看，利用基本不等式求函数的最值、证明不等式、解决实际问题是高考的热点，难度以中低档题为主，考查学生的代数变形、化简能力；同时注重考查学生的逻辑推理能力及等价转化、分类讨论等思想方法．1．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .2．(1)(2013江苏南京三校联考)已知x ＞1，则f (x )＝x 2－x ＋1x －1的最小值为__________．(2)(2012浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是__________． 3．(2012江苏扬州高三第一学期期末考试)某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建宿舍的费用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p (万元)和宿舍与工厂的距离x (km)的关系式为p ＝k3x ＋5(0≤x ≤8)，若距离为1 km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元．设f (x )为建造宿舍与修路费用之和．(1)求f (x )的表达式；(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f (x )最小，并求最小值．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)a ≥0，b ≥0 (2)a ＝b 2．(1)2ab (2)2 (4)≤ 3.a ＋b 2ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4．(1)x ＝y 小 2p (2)x ＝y 大 p 24基础自测1．③ 解析：∵b ＜a ＜0，∴1a ＜1b ＜0,0＜|a |＜|b |，a ＋b ＜0＜ab ，b a ＋a b ＞2b a ×ab＝2，故应填③.2．50 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，则x 2＋y 2＝100.于是S ＝xy ≤x 2＋y 22＝50，当且仅当x ＝y ＝52时等号成立．3.15 解析：y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )， ∵0＜x ＜25，∴0＜5x ＜2,2－5x ＞0.∴5x (2－5x )≤⎝⎛⎭⎫5x ＋2－5x 22＝1.∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y 的最大值是15.4．(x －3)2＋(y －6)2＝81解析：∵4b ＋1a＝1，∴(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫4b ＋1a ＝5＋4a b ＋b a≥5＋24＝9. 当且仅当b ＝2a 时，等号成立．即b ＝6，a ＝3，∴圆的标准方程为(x －3)2＋(y －6)2＝81.5．R ＞Q ＞P 解析：因为a ＞b ＞1，所以Q ＝12(lg a ＋lg b )＞lg a ·lg b ＝P ，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＞lg ab ＝12(lg a ＋lg b )＝Q .所以R ＞Q ＞P .考点探究突破【例1】证明：(方法一)∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋ba.同理，1＋1b ＝2＋ab .∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，当且仅当b a ＝ab，即a ＝b 时取“＝”．∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．(方法二)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab，∵a 、b 为正数，a ＋b ＝1，∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”．于是1ab ≥4，2ab ≥8，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”．∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥1＋8＝9，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．【例2】 (1)3＋22 (2)1解析：(1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2xy ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2x y ，即x ＝1－22，y ＝－1＋2时，取“＝”．(2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x ≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取“＝”．【例3】解：(1)潜入水底用时30v ，用氧量为30v ×c v 2＝30c v ；水底作业时用氧量为5×0.4＝2；返回水面用时60v ，用氧量为60v ×0.2＝12v .所以y ＝30c v ＋2＋12v (v ＞0)．(2)y ＝30c v ＋2＋12v ≥2＋230c v ×12v ＝2＋1210c .当且仅当30c v ＝12v ，即v ＝25c时取等号．当25c ≤5，即c ≥2125时，v ＝25c时，y 的最小值2＋1210c .当25c ＞5，即c ＜2125时，y ′＝30c －12v 2＝30c v 2－12v 2＜0，因此函数y ＝30c v ＋2＋12v 在(0,5]上为减函数，所以当v ＝5时，y 的最小值为150c ＋225.综上，当c ≥2125时，下潜速度为25c 时，用氧量最小为2＋1210c ；当0＜c ＜2125时，下潜速度为5时，用氧量最小为150c ＋225.演练巩固提升针对训练1．证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴bc a ＋ca b ≥2bc a ·ca b＝2c ；bc a ＋ab c ≥2bc a ·abc ＝2b ； ca b ＋ab c≥2ca b ·abc＝2a . 以上三式相加得：2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，当且仅当a ＝b ＝c 时，取“＝”．即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c . 2．(1)3 (2)5 解析：(1)∵x ＞1，∴f (x )＝x ＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时取“＝”．(2)本题考查利用基本不等式求最值，考查学生观察、变形判断的能力．由x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＝5xy 得15y ＋35x＝1，则3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫15y ＋35x ＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y 5x ＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x即x ＝1，y ＝12时，取“＝”．3．解：(1)根据题意得100＝k3×1＋5，所以k ＝800.故f (x )＝8003x ＋5＋5＋6x,0≤x ≤8.(2)因为f (x )＝8003x ＋5＋2(3x ＋5)－5≥80－5，当且仅当8003x ＋5＝2(3x ＋5)即x ＝5时，取“＝”，此时f (x )的最小值是75.所以宿舍应建在离厂5 k m 处，可使总费用f (x )最小，最小为75万元．。

高三数学一轮复习资料第七编不等式 7.1 不等关系与不等式(教案)理

高三数学（理）一轮复习教案第七编不等式总第31期§7.1不等关系与不等式基础自测1.已知-1＜a ＜0,那么-a,-a 3,a 2的大小关系是 .答案 -a ＞a 2＞-a 32.若m ＜0,n ＞0且m+n ＜0，则-n ，-m ，m ，n 的大小关系是 . 答案 m ＜-n ＜n ＜-m3.已知a ＜0,-1＜b ＜0,那么a,ab,ab 2的大小关系是 .答案 ab ＞ab 2＞a4.设a=2-5,b=5-2,c=5-25,则a,b,c 的大小关系为 . 答案 a ＜b ＜c5.设甲：m 、n 满足⎩⎨⎧<<<+<,30,42mn n m 乙：m 、n 满足⎩⎨⎧<<<<,32,10n m 那么甲是乙的条件.答案必要不充分例题精讲例1 （1）设x ＜y ＜0,试比较(x 2+y 2)(x-y)与(x 2-y 2)(x+y)的大小；（2）已知a,b,c ∈{正实数}，且a 2+b 2=c 2,当n ∈N ,n ＞2时比较c n 与a n +b n的大小.解（1）方法一（x 2+y 2）(x-y)-(x 2-y 2)(x+y) =(x-y)［x 2+y 2-(x+y)2］=-2xy(x-y),∵x ＜y ＜0,∴xy ＞0,x-y ＜0,∴-2xy(x-y)＞0,∴(x 2+y 2)(x-y)＞(x 2-y 2)(x+y).方法二 ∵x ＜y ＜0,∴x-y ＜0,x 2＞y 2,x+y ＜0.∴(x 2+y 2)(x-y)＜0,(x 2-y 2)(x+y)＜0, ∴0＜))(())((2222y x y x y x y x +--+=xyy x y x 22222+++＜1,∴(x 2+y 2)(x-y)＞(x 2-y 2)(x+y).(2)∵a,b,c ∈{正实数}，∴a n,b n,c n＞0,而nn n c b a +=n c a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+nc b ⎪⎭⎫ ⎝⎛.∵a 2+b 2=c 2,则2⎪⎭⎫ ⎝⎛c a +2⎪⎭⎫⎝⎛c b =1, ∴0＜c a ＜1,0＜c b ＜1.∵n ∈N ,n ＞2,∴n c a ⎪⎭⎫ ⎝⎛＜2⎪⎭⎫ ⎝⎛c a ,n c b ⎪⎭⎫ ⎝⎛＜2⎪⎭⎫⎝⎛c b ,∴nn n c b a +=n c a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+nc b ⎪⎭⎫⎝⎛＜222c b a +=1,∴a n +b n ＜c n . 例2 已知a 、b 、c 是任意的实数，且a ＞b,则下列不等式恒成立的是 . ①(a+c)4＞(b+c)4②ac 2＞bc 2③lg|b+c|＜lg|a+c| ④(a+c)31＞(b+c) 31 答案 ④例3、已知-1＜a+b ＜3且2＜a-b ＜4,求2a+3b 的取值范围.解设2a+3b=m(a+b)+n(a-b),∴⎩⎨⎧=-=+32n m n m ,∴m=25,n=-21.∴2a+3b=25(a+b)-21(a-b).∵-1＜a+b ＜3,2＜a-b ＜4,∴-25＜25(a+b)＜215,-2＜-21(a-b)＜-1, ∴-29＜25(a+b)- 21(a-b)＜213,即-29＜2a+3b ＜213巩固练习1.（1）比较x 6+1与x 4+x 2的大小，其中x ∈R ; (2)设a ∈R ,且a ≠0,试比较a 与a1的大小. 解（1）（x 6+1）-（x 4+x 2）=x 6-x 4-x 2+1=x 4(x 2-1)-(x 2-1) =(x 2-1)(x 4-1)=(x 2-1)(x 2-1)(x 2+1)=(x 2-1)2(x 2+1).当x=±1时，x 6+1=x 4+x 2;当x ≠±1时，x 6+1＞x 4+x 2.（2）a-a 1=aa 12-=a a a )1)(1(+-当-1＜a ＜0或a ＞1时,a ＞a 1；当a ＜-1或0＜a ＜1时,a ＜a 1；当a=±1时,a=a1. 2.适当增加不等式条件使下列命题成立：(1)若a ＞b,则ac ≤bc; (2)若ac 2＞bc 2,则a 2＞b 2; (3)若a ＞b,则lg(a+1)＞lg(b+1); (4)若a ＞b,c ＞d,则d a ＞cb; (5)若a ＞b,则a 1＜b1. 解（1）原命题改为：若a ＞b 且c ≤0，则ac ≤bc,即增加条件“c ≤0”.(2)由ac 2＞bc 2可得a ＞b,但只有b ≥0时，才有a 2＞b 2,即增加条件“b ≥0”. (3)由a ＞b 可得a+1＞b+1,但作为真数，应有b+1＞0,故应加条件“b ＞-1”. （4）d a ＞cb成立的条件有多种，如a ＞b ＞0,c ＞d ＞0,因此可增加条件“b ＞0,d ＞0”.还可增加条件为“a ＜0,c ＞0,d ＜0”. (5)a 1＜b1成立的条件是a ＞b,ab ＞0或a ＜0,b ＞0,故增加条件为“ab ＞0”. 3.设f(x)=ax 2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.解方法一设f(-2)=mf(-1)+nf(1) (m,n 为待定系数),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,于是得⎩⎨⎧-=-=+24m n n m ,解得⎩⎨⎧==13n m ,∴f(-2)=3f(-1)+f(1).又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.方法二由⎩⎨⎧+=-=-b a f b a f )1()1(,得[][]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=)1()1(21)1()1(21f f b f f a ,∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.方法三由⎩⎨⎧≤+≤≤-≤4221b a b a 确定的平面区域如图.当f(-2)=4a-2b 过点A ⎪⎭⎫⎝⎛2123,时,取得最小值4×23-2×21=5,当f(-2)=4a-2b 过点B(3,1)时,取得最大值4×3-2×1=10, ∴5≤f(-2)≤10.回顾总结知识方法思想课后作业一、填空题1.已知a,b,c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列不等式中恒成立的是（填序号）.①a b ＞a c ②c a b -＞0 ③c b 2＞ca 2 ④ac c a -＜0 答案 ①②④2.（2009·姜堰中学高三第四次综合练习）已知存在实数a 满足ab 2＞a ＞ab,则实数b 的取值范围为 . 答案（-∞，-1）3.(2009·苏、锡、常、镇三检)已知三个不等式：ab ＞0，bc-ad ＞0,a c -bd＞0(其中a,b,c,d 均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题, 可组成的正确命题的个数为个. 答案 34.已知函数f(x)=log 2(x+1),设a ＞b ＞c ＞0,则a a f )(,b b f )(,cc f )(的大小关系为 . 答案a a f )(＜b b f )(＜cc f )( 5.若x ＞y ＞1,且0＜a ＜1,则①a x＜a y;②log a x ＞log a y;③x -a＞y -a;④log x a ＜log y a.其中不成立的有个. 答案 3 6.已知a+b ＞0，则2b a +2a b 与a 1+b1的大小关系是 . 答案2ba +2ab ≥a 1+b17.给出下列四个命题： ①若a ＞b ＞0,则a 1＞b 1;②若a ＞b ＞0,则a-a 1＞b-b1; ③若a ＞b ＞0,则b a b a 22++＞b a ;④设a,b 是互不相等的正数，则|a-b|+ba -1≥2. 其中正确命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上）答案 ②8.比较a a b b 与a b b a（a,b 为不相等的正数）的大小 .解 a b ba ba b a =a a-b b b-a=ba b a -⎪⎭⎫⎝⎛,当a ＞b ＞0时，b a ＞1,a-b ＞0,∴ba b a -⎪⎭⎫⎝⎛＞1；当0＜a ＜b 时，b a ＜1,a-b ＜0,∴ba b a -⎪⎭⎫⎝⎛＞1.综上所述，总有a a b b＞a b b a.二、解答题9.已知奇函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调递减函数,α ,β,γ∈R 且α+β＞0, β+γ＞0,γ+α＞0.试说明f(α)+f(β)+f(γ)的值与0的关系.解由α+β＞0,得α＞-β.∵f(x)在R 上是单调减函数,∴f(α)＜f(-β).又∵f(x)为奇函数,∴f(α)＜-f(β),∴f(α)+f(β)＜0,同理f(β)+f(γ)＜0,f(γ)+f(α)＜0,∴f(α)+f(β)+f(γ)＜0. 10.某个电脑用户计划使用不超过1 000元的资金购买单价分别为80元、90元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买4盒，写出满足上述所有不等关系的不等式.解设买软件x 片、磁盘y 盒,则x 、y 满足关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈≥≥≤+y x x x y x 4300019080. 11.已知a ＞0,a 2-2ab+c 2=0,bc ＞a 2.试比较a,b,c 的大小.解 ∵bc ＞a 2＞0,∴b,c 同号.又a 2+c 2＞0,a ＞0,∴b=ac a 222+＞0,∴c ＞0,由(a-c)2=2ab-2ac=2a(b-c)≥0,∴b-c ≥0.当b-c ＞0,即b ＞c 时,由⎪⎭⎪⎬⎫>+=2222a bc a c a b 得a c a 222+·c ＞a 2(a-c)(2a 2+ac+c 2)＜0.∵a ＞0,b ＞0,c ＞0,∴2a 2+ac+c 2＞0,∴a-c ＜0,即a ＜c,则a ＜c ＜b ；当b-c=0,即b=c 时,∵bc ＞a 2,∴b 2＞a 2,即b ≠a.又∵a 2-2ab+c 2=(a-b)2=0⇒a=b 与a ≠b 矛盾,∴b-c ≠0.综上可知:a ＜c ＜b.N + N +12.甲、乙两人同去一家粮店买了两次粮食，两次粮食的价格不同，两人的购买方式也不同，其中,甲每次买1000kg,乙每次买1000元，（1）求两人购粮的均价分别是多少？（2）谁的购粮方式更合算？解：（1）设两次购粮价格分别是m 元/kg,n 元/kg,且m ≠n,则甲购粮的均价为a=2200010001000nm n m +=+元/kg;乙购粮均价为b=n m mn nm +=+22000元/kg(2)a-b=)(2)(222n m n m n m mn n m +-=+-+,∵m ≠n ∴a ＞b,说明甲的购粮单价比乙的购粮单价高，因此乙的购粮方式更合算。

高三数学一轮复习精品教案3：7.1 不等关系与不等式教学设计

7.1 不等关系与不等式『考纲要求』结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用．『复习指导』不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，近几年高考中多以小题出现，题目难度不大，复习时，应抓好基本概念，少做偏难题．『基础梳理』1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b ＞0⇔ ；a －b ＝0⇔ ；a －b ＜0⇔ .另外，若b ＞0，则有a b ＞1⇔a ＞b ；a b ＝1⇔a ＝b ；a b＜1⇔a ＜b . 3．不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ；(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇔ ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n b n (n ∈N ，n ≥2)；(6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞n b (n ∈N ，n ≥2)．『助学微博』一个技巧作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方．一种方法待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围．两条常用性质(1)倒数性质：①a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b；②a ＜0＜b ⇒1a ＜1b； ③a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞b d； ④0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b ＜1x ＜1a. (2)若a ＞b ＞0，m ＞0，则①真分数的性质：b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m a －m(b －m ＞0)； ②假分数的性质：a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －m b －m(b －m ＞0)．『考向探究』考向一比较大小『例1』►已知a ，b ，c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小．『训练1』已知a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( )．A.a b＞1 B ．a 2＞b 2 C ．lg(a －b )＞0 D.⎝⎛⎭⎫12a ＜⎝⎛⎭⎫12b考向二不等式的性质『例2』►若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋b c＜0；(3)a －c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4『训练2』已知三个不等式：①ab ＞0；②bc ＞ad ；③c a ＞d b.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3考向三不等式性质的应用『例3』►已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围．『训练3』若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．考向四利用不等式的性质证明简单不等式『例4』►设a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0.『训练4』若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：e （a －c ）2＞e （b －d ）2.『专题突破』难点突破——数式大小比较问题数式大小的比较是高考中最常见的一种命题方式，涉及的知识点和问题求解的方法不仅局限于不等式知识，而且更多的关联到函数、数列、三角函数、向量、解析几何、导数等知识，内容丰富多彩．命题的方式主要是选择题、填空题，考查不等式性质、函数性质的应用．一、作差法『示例』►设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( )．A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2B ．a ＜ab ＜a ＋b 2＜b C ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2D.ab ＜a ＜a ＋b 2＜b二、作商法『示例』► 若0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1，则|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小关系是( )．A ．|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|B ．|log a (1－x )|＜|log a (1＋x )|C ．不确定，由a 的值决定D ．不确定，由x 的值决定三、中间量法『示例』► 若a ＝20.6，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则( )． A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a答案『基础梳理』1．＞、＜、≥、≤、≠ 2．a ＞b a ＝b a ＜b 3．(2)a ＞c (3)＞＞ (5)＞『例1』『审题视点』采用作差法比较，作差后构造完全平方式即可．解 ∵a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca )＝12『(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2』≥0，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .比较大小的方法常采用作差法与作商法，但题型为选择题时可以用特殊值法来比较大小．『训练1』『解析』令a ＝2，b ＝－1，则a ＞b ，a b ＝－2，故a b＞1不成立，排除A ；令a ＝1，b ＝－2，则a 2＝1，b 2＝4，故a 2＞b 2不成立，排除B ；当a －b 在区间(0,1)内时，lg(a －b )＜0，排除C ；f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上是减函数，∵a ＞b ，∴f (a )＜f (b )．『答案』D『例2』『审题视点』利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假．『解析』∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，∴(1)错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bd cd＜0，∴(2)正确． ∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，∴(3)正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，∴(4)正确，故选C.『答案』C在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．『训练2』『解析』命题1：若ab ＞0，c a ＞d b，则bc ＞ad ；命题2：若ab ＞0，bc ＞ad ，则c a ＞d b；命题3：若c a ＞d b，bc ＞ad ，则ab ＞0. 『答案』D『例3』『审题视点』可利用待定系数法寻找目标式f (－2)与已知式f (－1)，f (1)之间的关系，即用f (－1)，f (1)整体表示f (－2)，再利用不等式的性质求f (－2)的范围．解 f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b .f (－2)＝4a －2b .设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3. ∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)．∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10.由a ＜f (x ，y )＜b ，c ＜g (x ，y )＜d ，求F (x ，y )的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F (x ，y )的取值范围．『训练3』解设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. ∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，∴两式相加，得1≤α＋3β≤7.『例4』『审题视点』充分运用已知条件及不等式性质进行求证．证明 ∵a ＞b ＞c ，∴－c ＞－b .∴a－c＞a－b＞0，∴1a－b＞1a－c＞0.∴1a－b＋1c－a＞0.又b－c＞0，∴1b－c＞0.1a－b＋1b－c＋1c－a＞0.(1)运用不等式性质解决问题时，必须注意性质成立的条件．(2)同向不等式的可加性与可乘性可推广到两个以上的不等式．『训练4』求证：ea－c2＞eb－d2.证明∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.∴0＜1a－c2＜1b－d2.又∵e＜0，∴ea－c2＞eb－d2.。

高考数学一轮复习不等式7.1不等关系与不等式省公开课一等奖百校联赛赛课微课获奖PPT课件

;b.a<0<b⇒a⑥b
<
.
(2)分数性质
若a>b>0,m>0,则
a.真分数性质: b ⑦ 
a
am a
b.假分数性质: a >a m; a< a (mb-m>t;0);
am
第4页
方法技巧
方法 1 不等式性质应用问题常见类型及解题策略
1.与充要条件相结合问题.用不等式性质分别判断p⇒q,q⇒p是否正
=-log(1+x)(1-x)=log(1+x) 1 >log(1+x)(1+x)=1,
1 x
∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.
第13页
| lg a |
=- 1·lg(1-x2)>0,
| lg a |
∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.
第12页
解法二:作商法.
∵0<x<1,∴1<1+x<2,0<1-x<1,
1
1
=x
1 x
1>1x+2 x>1,
∴log(1+x)(1-x)<0,
∴
| |
lloogg=aa|((l11og(xx1+))x)||(1-x)|
m 3, n 1,
又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,即5≤f(-2)≤10.
解法二:由 12确aa定bb平2面4, 区域如图中阴影部分所表示:
第8页
当f(-2)=4a-2b过点A

新课标高考数学一轮复习第七章不等式7.1不等关系与不等式课件理

A．－2＜a－b＜0
B．－2＜a－b＜－1
C．－1＜a－b＜0
D．－1＜a－b＜1
解：－1＜a＜1，－1＜－b＜1⇒－2＜a－b ＜2.又 a＜b，则－2＜a－b＜0.故选 A.
第五页，共26页。
(2016·四川成都模拟)若 a＜b＜0，则下
列不等式中一定成立的是( A.1a＜1b
)
B.12a＜12b
第三页，共26页。
自查自纠
1．＞0 ＝0 ＜0
2 ． (1)b<a (2)a>c (3)>
ac<bc (5)a＋c>b＋d (7)ac>bd (10)an>bn(n∈N 且 n≥2)
n (11)
n a>
Hale Waihona Puke b(n∈N且n≥2)
(4)ac>bc
第四页，共26页。
(教材题改编)若－1＜a＜b＜1，则( )
解：a，b，c 是实数，若 a＞b＞c＞0，不等式 a＋b＞c 成立；a，b，c 是实数，若 a＞0＞b＞c，不等式 a＋b＞c 成立；a，b，c 是实数，若 0＞a＞b ＞c，a＋b＝c，不等式 a＋b＞c 不成立，一组整数 a，b，c 的值为负数，依次为－1，－2，－3. 故填－1，－2，－3.
第二十一页，共26页。
(2)(2016·云南模拟)若－1≤lgxy≤2，1≤lg(xy)≤4，则 lgxy2的取值范围是________．
解：由 1≤lg(xy)≤4，－1≤lgxy≤2，得 1≤lgx＋lgy≤4，－1≤lgx－lgy≤2，则 lgxy2＝2lgx－lgy＝12(lgx＋lgy)＋32(lgx－lgy)，所以－1≤lgxy2≤5.故填[－1，5]．

2014届高考数学一轮复习第七章不等式7.4基本不等式及其应用教学案理新人教A版

7.4 基本不等式及其应用考纲要求1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：__________.(2)等号成立的条件：当且仅当__________时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的__________，ab 称为正数a ，b 的__________．2．利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积x y 是定值P ，那么当且仅当__________时，x ＋y 有__________是__________(简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值S ，那么当且仅当__________时，xy 有__________值是__________(简记：和定积最大)．3．几个常用的不等式(1)a 2＋b 2__________2ab (a ，b ∈R )．(2)ab __________⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22__________a 2＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b(a ，b ＞0)． (5)b a ＋a b≥2(a ，b 同号且不为0)．1．若x ＋2y ＝4，则2x＋4y的最小值是( )． A ．4 B ．8 C ．2 2 D ．4 22．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x ＞－1)的图象最低点的坐标是( )．A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(1,1)D ．(0,2)3．设x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( )． A ．40 B ．10 C ．4 D ．24．当x ＞2时，不等式x ＋1x －2≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，2]B ．(－∞，4]C ．[0，＋∞) D．[2,4]5．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁1 m 2的造价分别为120元和80元，那么水池表面积的最低造价为__________元．一、利用基本不等式证明不等式【例1】设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b2＋ab ≥2 2.方法提炼利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，综合法是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．请做演练巩固提升5二、利用基本不等式求最值【例2－1】(2012浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )． A ．245 B ．285C ．5D ．6【例2－2】(1)设0＜x ＜2，求函数y ＝x －2x 的最大值； (2)求4a －2＋a 的取值范围；(3)已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，求3x ＋4y的最小值．方法提炼1．在应用基本不等式求最值时，要把握三个方面，即“一正——各项都是正数；二定——和或积为定值；三相等——等号能取得”，这三个方面缺一不可．2．对于求分式型的函数最值题，常采用拆项使分式的分子为常数，有些分式函数可以拆项分成一个整式和一个分式(该分式的分子为常数)的形式，这种方法叫分离常数法．3．为了创造条件使用基本不等式，就需要对式子进行恒等变形，运用基本不等式求最值的焦点在于凑配“和”与“积”，并且在凑配过程中就应考虑到等号成立的条件，另外，可利用二次函数的配方法求最值．请做演练巩固提升3,4三、基本不等式的实际应用【例3－1】某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)【例3－2】要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使整个矩形广告面积最小．方法提炼基本不等式实际应用题的特点：(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．请做演练巩固提升2忽视题目的隐含条件致误【典例】在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．分析：由已知条件可知两交点必关于原点对称，从而设出交点代入两点间距离公式，整理后应用均值不等式求解即可．解析：由题意可知f (x )＝2x的图象关于原点对称，而与过原点的直线相交，则两交点必关于原点对称，故可设两交点分别为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，2x 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－2x ，由两点间距离公式可得|PQ |＝x ＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2x 2＝x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2≥4，等号当且仅当x 2＝2，即x ＝±2时取得．答案：4 答题指导：1．在解答本题时主要有两点误区：(1)对于题目自身的含义理解不透，无法掌握交点关系，造成不会解．(2)有些同学设出直线方程与f (x )＝2x联立得出两交点关系，再应用两点间距离公式求解，出现运算繁琐情况，导致错解．2．解决此类问题时还有以下几点在备考时要注意： (1)理解函数的图象、性质，明确其表达的含义；(2)熟记要掌握的公式，如本例中的两点间距离公式； (3)思考要周密，运算要准确、快速．另外，由于此类题目往往以小题形式出现，因而能用简便方法的尽量使用简便方法．1．设M 是△ABC 内一点，且S △ABC 的面积为1，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积，若f (M )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值是( )． A ．8 B ．9 C ．16 D ．182．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )．A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件3．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线m x ＋ny＋1＝0上(其中m ，n ＞0)，则1m ＋2n的最小值等于( )．A ．16B ．12C ．9D ．84．已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(y －1,1)，x ，y ∈R ＋，若a ∥b ，则t ＝x ＋1x ＋y ＋1y的最小值是( )．A ．4B ．5C ．6D ．81 3(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ac.5．已知a，b，c都是实数，求证：a2＋b2＋c2≥参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)a ＞0，b ＞0 (2)a ＝b (3)算术平均数几何平均数 2．(1)x ＝y 最小值 2P (2)x ＝y 最大S 243．(1)≥ (2)≤ (3)≤ 基础自测1．B 解析：∵2x ＋4y ≥2·2x ·22y ＝2·2x ＋2y ＝2·24＝8，当且仅当2x ＝22y ，即x ＝2y ＝2时取等号，∴2x ＋4y的最小值为8.2．D 解析：y ＝(x ＋1)2＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1≥2.当且仅当x ＝0时等号成立．3．D 解析：∵x ＋4y ＝40，且x ＞0，y ＞0，∴x ＋4y ≥2·x ·4y ＝4·xy .(当且仅当x ＝4y 时取“＝”) ∴4xy ≤40.∴xy ≤100.∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2. ∴lg x ＋lg y 的最大值为2.4．B 解析：∵x ＋1x －2≥a 恒成立，∴a 必须小于或等于x ＋1x －2的最小值．∵x ＞2，∴x －2＞0.∴x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4，当且仅当x ＝3时取最小值4. 故选择B.5．1 760 解析：设水池底面的长度、宽度分别为a m ，b m ，则ab ＝4，令水池表面的总造价为y ，则y ＝ab ×120＋2(2a ＋2b )×80＝480＋320(a ＋b )≥480＋320×2ab ＝480＋320×4＝1 760，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”．考点探究突破【例1】证明：由于a ，b 均为正实数，所以1a 2＋1b 2≥21a 2·1b 2＝2ab. 当且仅当1a 2＝1b2，即a ＝b 时等号成立．又因为2ab ＋ab ≥22ab·ab ＝2 2.当且仅当2ab＝ab 时等号成立．所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab＋ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝1b2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号．【例2－1】 C 解析：∵x ＋3y ＝5xy ， ∴15y ＋35x＝1. ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y 5x＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立．【例2－2】解：(1)∵0＜x ＜2， ∴2－x ＞0.∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值是 2. (2)显然a ≠2，当a ＞2时，a －2＞0，∴4a －2＋a ＝4a －2＋(a －2)＋2 ≥24a －2·(a －2)＋2＝6，当且仅当4a －2＝a －2，即a ＝4时取等号；当a ＜2时，a －2＜0，∴4a －2＋a ＝4a －2＋(a －2)＋2 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤42－a ＋(2－a )＋2 ≤－242－a ·(2－a )＋2＝－2，当且仅当42－a＝2－a ，即a ＝0时取等号，∴4a －2＋a 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)． (3)∵x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1， ∴3x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4y (x ＋y ) ＝7＋3y x ＋4xy≥7＋23y x ·4x y＝7＋43，当且仅当3y x ＝4xy，即2x ＝3y 时等号成立，∴3x ＋4y的最小值为7＋4 3.【例3－1】解：设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x＝10 800x.∴每平方米的平均综合费用y ＝560＋48x ＋10 800x＝560＋48⎝⎛⎭⎪⎫x ＋225x (x ≥10)，当x ＋225x取最小时，y 有最小值．∵x ＞0，∴x ＋225x≥2x ·225x＝30，当且仅当x ＝225x，即x ＝15时，上式等号成立．∴当x ＝15时，y 有最小值2 000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．【例3－2】解：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝20 000，∴b ＝20 000a.广告的高为a ＋20，宽为3b ＋30(其中a ＞0，b ＞0)，广告的面积S ＝(a ＋20)(3b ＋30) ＝30(a ＋2b )＋60 600＝30⎝⎛⎭⎪⎫a ＋40 000a＋60 600 ≥30×2a ×40 000a＋60 600＝12 000＋60 600＝72 600，当且仅当a ＝40 000a，即a ＝200时，取等号，此时b ＝100.故当广告的高为220 cm ，宽为330 cm 时，可使整个矩形广告的面积最小．演练巩固提升 1．D2．B 解析：由题意得平均每件产品生产准备费用为800x元，仓储费用为x 8元，从而费用和为800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20.当800x ＝x8，即x ＝80时等号成立． 3．D 解析：函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过定点A (－2，－1)， ∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1. ∴1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (2m ＋n )＝2＋2＋n m ＋4m n ≥4＋2n m ·4mn ＝8，当n m ＝4m n，即n 2＝4m 2，即n ＝2m ，即n ＝12，m ＝14时，1m ＋2n取得最小值8.4．B 解析：由a ∥b ，得x ＋y ＝1，t ＝t (x ＋y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1y (x ＋y )＝1＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ≥3＋2y x ·x y ＝5，当x ＝y ＝12时，t 取得最小值5.5．证明：∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ， a 2＋c 2≥2ac ，∴2a 2＋2b 2＋2c 2≥2ab ＋2bc ＋2ac ，∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2，即a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2.由a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ≥3ab ＋3bc ＋3ac ，∴(a ＋b ＋c )2≥3(ab ＋bc ＋ac )． ∴13(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ac . 综上所述，a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ac ，命题得证．。

【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习第七章不等式7.2均值不等式及其应用教学案新人教B版

7.2 均值不等式及其应用考纲要求1．了解均值不等式的证明过程．2．会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题．1．均值不等式ab ≤a ＋b2(1)均值不等式成立的条件：__________.(2)等号成立的条件：当且仅当__________时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的__________，ab 称为正数a ，b 的__________．2．利用均值不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值P ，那么当且仅当__________时，x ＋y 有__________是__________(简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值S ，那么当且仅当__________时，xy 有__________值是__________(简记：和定积最大)．3．几个常用的不等式(1)a 2＋b 2__________2ab (a ，b ∈R )．(2)ab __________⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22__________a 2＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b(a ，b ＞0)．(5)b a ＋a b≥2(a ，b 同号且不为0)．1．若x ＋2y ＝4，则2x＋4y的最小值是( )．A ．4B ．8C ．2 2D ．4 22．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x ＞－1)的图象最低点的坐标是( )．A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(1,1)D ．(0,2) 3．设x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( )． A ．40 B ．10 C ．4 D ．24．当x ＞2时，不等式x ＋1x －2≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，2]B ．(－∞，4]C ．[0，＋∞)D ．[2,4]5．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁1 m 2的造价分别为120元和80元，那么水池表面积的最低造价为__________元．一、利用均值不等式证明不等式【例1】设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b2＋ab ≥2 2.方法提炼利用均值不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，综合法是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．请做演练巩固提升5二、利用均值不等式求最值【例2－1】 (2012浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )．A.245B.285C ．5D ．6 【例2－2】(1)设0＜x ＜2，求函数y ＝x 4－2x 的最大值；(2)求4a －2＋a 的取值范围；(3)已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，求3x ＋4y的最小值．方法提炼1．在应用均值不等式求最值时，要把握三个方面，即“一正——各项都是正数；二定——和或积为定值；三相等——等号能取得”，这三个方面缺一不可．2．对于求分式型的函数最值题，常采用拆项使分式的分子为常数，有些分式函数可以拆项分成一个整式和一个分式(该分式的分子为常数)的形式，这种方法叫分离常数法．3．为了创造条件使用均值不等式，就需要对式子进行恒等变形，运用均值不等式求最值的焦点在于凑配“和”与“积”，并且在凑配过程中就应考虑到等号成立的条件，另外，可利用二次函数的配方法求最值．请做演练巩固提升3,4三、均值不等式的实际应用【例3－1】某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)【例3－2】要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使整个矩形广告面积最小．方法提炼均值不等式实际应用题的特点：(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用均值不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用均值不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．请做演练巩固提升2忽视题目的隐含条件致误【典例】在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．分析：由已知条件可知两交点必关于原点对称，从而设出交点代入两点间距离公式，整理后应用均值不等式求解即可．解析：由题意可知f (x )＝2x的图象关于原点对称，而与过原点的直线相交，则两交点必关于原点对称，故可设两交点分别为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，2x 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－2x ，由两点间距离公式可得|PQ |＝x ＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2x 2＝2x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2≥4，等号当且仅当x 2＝2，即x ＝±2时取得．答案：4 答题指导：1．在解答本题时主要有两点误区：(1)对于题目自身的含义理解不透，无法掌握交点关系，造成不会解．(2)有些同学设出直线方程与f (x )＝2x联立得出两交点关系，再应用两点间距离公式求解，出现运算繁琐情况，导致错解．2．解决此类问题时还有以下几点在备考时要注意： (1)理解函数的图象、性质，明确其表达的含义； (2)熟记要掌握的公式，如本例中的两点间距离公式； (3)思考要周密，运算要准确、快速．另外，由于此类题目往往以小题形式出现，因而能用简便方法的尽量使用简便方法．1．设M 是△ABC 内一点，且S △ABC 的面积为1，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积，若f (M )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值是( )． A ．8 B ．9 C ．16 D ．182．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )．A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件3．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上(其中m ，n ＞0)，则1m ＋2n的最小值等于( )．A ．16B ．12C ．9D ．84．已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(y －1,1)，x ，y ∈R ＋，若a ∥b ，则t ＝x ＋1x ＋y ＋1y的最小值是( )．A ．4B ．5C ．6D ．85．已知a ，b ，c 都是实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ac .参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)a ＞0，b ＞0 (2)a ＝b (3)算术平均值几何平均值2．(1)x ＝y 最小值 2P (2)x ＝y 最大S 243．(1)≥ (2)≤ (3)≤ 基础自测1．B 解析：∵2x ＋4y ≥2·2x ·22y ＝2·2x ＋2y ＝2·24＝8，当且仅当2x ＝22y ，即x ＝2y ＝2时取等号，∴2x ＋4y的最小值为8.2．D 解析：y ＝(x ＋1)2＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1≥2.当且仅当x ＝0时等号成立．3．D 解析：∵x ＋4y ＝40，且x ＞0，y ＞0，∴x ＋4y ≥2·x ·4y ＝4·xy .(当且仅当x ＝4y 时取“＝”) ∴4xy ≤40. ∴xy ≤100.∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2. ∴lg x ＋lg y 的最大值为2.4．B 解析：∵x ＋1x －2≥a 恒成立，∴a 必须小于或等于x ＋1x －2的最小值．∵x ＞2，∴x －2＞0.∴x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4，当且仅当x ＝3时取最小值4. 故选择B.5．1 760 解析：设水池底面的长度、宽度分别为a m ，b m ，则ab ＝4，令水池表面的总造价为y ，则y ＝ab ×120＋2(2a ＋2b )×80＝480＋320(a ＋b )≥480＋320×2ab ＝480＋320×4＝1 760，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”．考点探究突破【例1】证明：由于a ，b 均为正实数，所以1a 2＋1b 2≥21a 2·1b 2＝2ab. 当且仅当1a 2＝1b2，即a ＝b 时等号成立．又因为2ab ＋ab ≥22ab·ab ＝2 2.当且仅当2ab＝ab 时等号成立．所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab＋ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号．【例2－1】C 解析：∵x ＋3y ＝5xy ， ∴15y ＋35x＝1. ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y 5x＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立．【例2－2】解：(1)∵0＜x ＜2， ∴2－x ＞0.∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值是 2. (2)显然a ≠2，当a ＞2时，a －2＞0，∴4a －2＋a ＝4a －2＋(a －2)＋2 ≥24a －2·(a －2)＋2＝6，当且仅当4a －2＝a －2，即a ＝4时取等号；当a ＜2时，a －2＜0，∴4a －2＋a ＝4a －2＋(a －2)＋2 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤42－a ＋(2－a )＋2 ≤－242－a ·(2－a )＋2＝－2，当且仅当42－a＝2－a ，即a ＝0时取等号，∴4a －2＋a 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)． (3)∵x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1， ∴3x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4y (x ＋y ) ＝7＋3y x ＋4xy≥7＋23y x ·4x y＝7＋43，当且仅当3y x ＝4xy，即2x ＝3y 时等号成立，∴3x ＋4y的最小值为7＋4 3.【例3－1】解：设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x ＝10 800x.∴每平方米的平均综合费用y ＝560＋48x ＋10 800x＝560＋48⎝⎛⎭⎪⎫x ＋225x (x ≥10)，当x ＋225x取最小时，y 有最小值．∵x ＞0，∴x ＋225x≥2x ·225x＝30，当且仅当x ＝225x，即x ＝15时，上式等号成立．∴当x ＝15时，y 有最小值2 000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．【例3－2】解：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝20 000，∴b ＝20 000a.广告的高为a ＋20，宽为3b ＋30(其中a ＞0，b ＞0)，广告的面积S ＝(a ＋20)(3b ＋30) ＝30(a ＋2b )＋60 600＝30⎝⎛⎭⎪⎫a ＋40 000a＋60 600 ≥30×2a ×40 000a＋60 600＝12 000＋60 600＝72 600，当且仅当a ＝40 000a，即a ＝200时，取等号，此时b ＝100.故当广告的高为220 cm ，宽为330 cm 时，可使整个矩形广告的面积最小．演练巩固提升1．D2．B 解析：由题意得平均每件产品生产准备费用为800x元，仓储费用为x 8元，从而费用和为800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20.当800x ＝x8，即x ＝80时等号成立． 3．D 解析：函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过定点A (－2，－1)， ∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1. ∴1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (2m ＋n )＝2＋2＋n m＋4mn≥4＋2n m ·4mn＝8，当n m＝4m n，即n 2＝4m 2，即n ＝2m ，即n ＝12，m ＝14时，1m ＋2n取得最小值8.4．B 解析：由a ∥b ，得x ＋y ＝1，t ＝t (x ＋y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1y (x ＋y )＝1＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ≥3＋2y x ·xy＝5，当x ＝y ＝12时，t 取得最小值5.5．证明：∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ， a 2＋c 2≥2ac ，∴2a 2＋2b 2＋2c 2≥2ab ＋2bc ＋2ac ，∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2，即a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2.由a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ≥3ab ＋3bc ＋3ac ，∴(a ＋b ＋c )2≥3(ab ＋bc ＋ac )． ∴13(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ac . 综上所述，a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ac ，命题得证．。

高考数学一轮复习第7章不等式1第1讲不等关系与不等式教案理

第1讲不等关系与不等式会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加了解基本不等式的证明过程.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b ．2．不等式的基本性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ，a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n＞b n(n∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a ＞b ＞0⇒na ＞nb (n ∈N ，n ≥2)．3．不等式的一些常用性质(1)有关倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b.②a <0b >0，0<c <d ⇒a c >b d. ④0<a <x b >0，m >0，则 ①b a b －ma －m(b －m >0)． ②a b >a ＋mb ＋m ；a b <a －mb －m(b －m >0)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则a >b .( )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( ) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( ) (5)同向不等式具有可加性和可乘性．( )(6)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√(教材习题改编)设A ＝(x －3)2，B ＝(x －2)(x －4)，则A 与B 的大小关系为( )A ．A ≥B B ．A ＞BC ．A ≤BD ．A ＜B解析：选B.A －B ＝(x 2－6x ＋9)－(x 2－6x ＋8)＝1＞0，所以A ＞B .故选B.已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >0，ab >0.又当ab >0时，a 与b 同号，由a ＋b >0知a >0，且b >0.12－1________3＋1(填“>”或“<”)．解析：12－1＝2＋1<3＋1. 答案：<下列不等式中恒成立的是__________．①m －3＞m －5；②5－m ＞3－m ；③5m ＞3m ；④5＋m ＞5－m . 解析：m －3－m ＋5＝2＞0，故①恒成立； 5－m －3＋m ＝2＞0，故②恒成立；5m －3m ＝2m ，无法判断其符号，故③不恒成立； 5＋m －5＋m ＝2m ，无法判断其符号，故④不恒成立．答案：①②比较两个数(式)的大小[典例引领](1)已知a >b >0，m >0，则( ) A.b a ＝b ＋ma ＋mB.b a >b ＋ma ＋m C.b a b >0，m >0. 所以b －a <0，a ＋m >0，所以m （b －a ）a （a ＋m ）<0.即b a －b ＋m a ＋m <0.所以b a b >0，m >0. 所以a －b >0，m (a －b )>0. (1)当a >m 时，a (a －m )>0，所以m （a －b ）a （a －m ）>0，即b a －b －ma －m >0，故b a >b －ma －m. (2)当a <m 时，a (a －m )<0. 所以m （a －b ）a （a －m ）<0，即b a －b －m a －m <0，故b a n B ．m <n C ．m ≥nD ．m ≤n解析：选B.m －n ＝x 2＋5x ＋6－(2x 2＋5x ＋9) ＝－x 2－3<0，所以m <n .故选B.2．比较a 2b ＋b 2a与a ＋b (a >0，b >0)两个代数式的大小．解：因为a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab＝a 2（a －b ）＋b 2（b －a ）ab ＝（a －b ）（a 2－b 2）ab＝（a －b ）2（a ＋b ）ab.又因为a >0，b >0，所以（a －b ）2（a ＋b ）ab≥0，故a 2b ＋b 2a≥a ＋b .不等式的性质及应用(高频考点)不等式的性质是高考的常考内容，题型多为选择题，难度为中档题．高考对不等式性质的考查主要有以下两个命题角度： (1)应用性质判断命题真假； (2)应用性质求代数式的范围．[典例引领]角度一应用性质判断命题真假(1)(特值法)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件(2)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋b c＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d －c )中成立的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 (1)当b <0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |；当b ＝0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |；当b >0时，由a >b 有|a |>|b |，所以a >b ⇔a |a |>b |b |. 综上可知a >b ⇔a |a |>b |b |，故选C. (2)因为a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，所以ad ＜0，bc ＞0，所以ad ＜bc ，故①错误．因为0＞b ＞－a ，所以a ＞－b ＞0，因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，所以a (－c )＞(－b )(－d )，所以ac ＋bd ＜0，所以a d ＋b c ＝ac ＋bdcd＜0，故②正确．因为c ＜d ，所以－c ＞－d ，因为a ＞b ，所以a ＋(－c )＞b ＋(－d )，即a －c ＞b －d ，故③正确．因为a ＞b ，d －c ＞0，所以a (d －c )＞b (d －c )，故④正确，故选C. 【答案】 (1)C (2)C角度二应用性质求代数式的范围(整体思想)已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2，3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．【解】因为f (x )过原点，所以设f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b ，f （1）＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f （－1）＋f （1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）]，所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又⎩⎪⎨⎪⎧1≤f （－1）≤2，3≤f （1）≤4，所以6≤3f (－1)＋f (1)≤10，即f (－2)的取值范围是[6，10]．(1)判断不等式命题真假的方法①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或用特值法．常用的推理判断需要利用不等式性质．②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假． (2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．[通关练习]1．(2018·河南百校联盟模拟)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2≥0”是“a ≥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.当(a －b )a 2≥0时，由a 2≥0得a －b ≥0，即a ≥b ，反之也成立，故“(a －b )a 2≥0”是“a ≥b ”的充要条件．2．若－1<a ＋b <3，2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为________．解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12. 又因为－52<52(a ＋b )<152，－2<－12(a －b )<－1，所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132.即－92<2a ＋3b <132.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132真假分数的性质(1)真分数的分子与分母都加上同一个正数，分数的值变大． (2)假分数的分子与分母都加上同一个正数，分数的值变小．判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定限制条件的选择题，用特殊值验证的方法更简单．易错防范(1)在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c ；(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．1．已知a >b ，则下列结论正确的是( ) A ．a 2>b 2B ．ac 2>bc 2C.a >bD ．a －1>b －2解析：选D.因为a >b 时，a 与b 的符号不确定，所以A 、C 不正确；当c ＝0时，B 不正确；对于D ，a >b ⇒a －1>b －1，又b －1>b －2，所以a －1>b －2正确． 2．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2|a ＋b |解析：选D.由题可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误．选D.3．若x 2＋y 2≤2(x ＋y －1)，则x ，y 满足的条件是( ) A ．x 、y ∈R B ．x ≥1且y ≥1 C ．x ≤1且y ≤1D ．x ＝1且y ＝1解析：选D.因为x 2＋y 2－2(x ＋y －1) ＝x 2－2x ＋1＋y 2－2y ＋1 ＝(x －1)2＋(y －1)2≥0，当且仅当x ＝1且y ＝1时，取等号，即x 2＋y 2≥2(x ＋y －1)．又因为x 2＋y 2≤2(x ＋y －1)，所以x 2＋y 2＝2(x ＋y －1)．所以x ＝1且y ＝1，故选D.4．(2018·湖北黄冈检测)已知x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，下列不等式中成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：选C.因为x >y >z ，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0，由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z 得xy >xz .故选C. 5．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2>bc 2，则a >b ； ②若a >b ，c >d ，则a ＋c >b ＋d ； ③若a >b ，c >d ，则ac >bd ； ④若a >b ，则1a >1b.其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B.由ac 2>bc 2知c ≠0，c 2>0，所以a >b ，故①正确；由不等式的同向可加性易知②正确；对于③，当a ＝－1，b ＝－4，c ＝－2，d ＝－3时，ac <bd ，故③不正确；对于④，若a ＝2，b ＝1，满足a >b ，但12>11不成立，故④不正确．6．(2018·扬州模拟)若a 1<a 2，b 10，即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1. 答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 17．已知a ，b ∈R ，则a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是________．解析：若ab ＜0，由a ＜b 两边同除以ab 得，1b ＞1a，即1a ＜1b ；若ab ＞0，则1a ＞1b.所以a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是a ＜0＜b .答案：a ＜0＜b8．若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围是________．解析：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β) ＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. 因为－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤7. 所以α＋3β的取值范围为[1，7]．答案：[1，7]9．设实数a ，b ，c 满足 ①b ＋c ＝6－4a ＋3a 2， ②c －b ＝4－4a ＋a 2.试确立a ，b ，c 的大小关系．解：因为c －b ＝(a －2)2≥0，所以c ≥b ，又2b ＝2＋2a 2，所以b ＝1＋a 2，所以b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，所以b >a ，从而c ≥b >a .10．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e （a －c ）>e（b －d ）.证明：因为c <d <0，所以－c >－d >0. 又因为a >b >0，所以a －c >b －d >0. 所以0<1（a －c ）2<1（b －d ）2.又因为e <0，所以e （a －c ）2>e（b －d ）2.1．已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则( ) A. 1x －1y＞0B ．sin x －sin y ＞0C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＜0 D ．ln x ＋ln y ＞0解析：选C.法一：(通性通法)因为x ＞y ＞0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y ＝1－2＝－1＜0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2＝－1＜0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y ＝12，则ln x ＋ln y ＝ln(xy )＝ln 1＝0，排除D.故选C.法二：(光速解法)因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上单调递减，且x ＞y ＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＜0，故选C.2．(2017·高考山东卷)若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b 2aD ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b 2a 解析：选B.根据题意，令a ＝2，b ＝12进行验证，易知a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 252＞1，因此a ＋1b ＞log 2(a ＋b )＞b 2a . 3．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c 且满足b ＋c ≤3a ，则c a的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0，2)C ．(1，3)D ．(0，3) 解析：选B.由已知及三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a c ，a ＋c >b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1c a，1＋c a >b a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋c a≤3，－1<c a －b a <1，两式相加得，0<2×c a <4，所以c a 的取值范围为(0，2)，故选B.4．(2018·安徽合肥模拟)已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，若c a ＋b <a b ＋c b ＋c >c ＋a .由a ＋b >b ＋c 可得a >c ；由b ＋c >c ＋a 可得b >a ，于是有c <a <b .故选A.5．某公司组织员工去某地参观学习需包车前往，甲车队：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队：“团体票可按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据去的人数选择收费优惠的车队．解：设该公司员工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，选择甲车队需花y 1元，选择乙车队需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx . 所以y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．6．已知12<a <60，15<b <36，求a －b ，a b的取值范围．解：因为15<b <36，所以－36<－b <－15.又12<a <60，所以12－36<a －b <60－15，所以－24<a －b <45，即a －b 的取值范围是(－24，45)．因为136<1b <115，所以1236<a b <6015，所以13<a b <4，即a b 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

2014届高考数学一轮复习第七章不等式7.1不等关系与不等式教学案理新人教A版

第七章不等式 7.1 不等关系与不等式考纲要求1．了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2．掌握不等式的性质，会用不等式的性质进行不等式的运算、证明和比较数或式的大小．1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a －b ＞0⇔________；a －b ＝0⇔________；a －b ＜0⇔________. 23(1)倒数性质①a ＞b ，ab ＞0⇒1a __________1b；②a ＜0＜b ⇒1a __________1b；③a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c __________b d；④0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b __________1x __________1a.(2)有关分数的性质假设a ＞b ＞0，m ＞0，那么①真分数的性质：b a __________b ＋m a ＋m ，b a __________b －ma －m (b －m ＞0)．②假分数的性质：a b __________a ＋m b ＋m ，a b __________a －mb －m(b －m ＞0)．4．(1)假设a ＞0，那么|x |＜a ⇔__________. (2)假设a ＞0，那么|x |＞a ⇔__________.1．假设a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，那么以下不等式成立的是( )． A ．1a ＜1bB ．a 2＞b 2C ．a c 2＋1＞b c 2＋1D ．a |c |＞b |c |2．下面的推理过程⎭⎪⎬⎪⎫a >b ⇒ac >bc c >d ⇒bc >bd ⇒ac ＞bd ⇒a d ＞bc ，其中错误之处的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．33．设a ＞0，b ＞0，假设lg a 和lg b 的等差中项是0，那么1a ＋1b的最小值是( )．A ．1B ．2C ．4D ．2 24．假设x ＞y ，a ＞b ，那么在①a －x ＞b －y ；②a ＋x ＞b ＋y ；③ax ＞by ；④x －b ＞y －a ；⑤a y ＞b x这五个式子中，恒成立的不等式的序号是__________．一、用不等式(组)表示不等关系[例1]某蔬菜收购点租用车辆，将100 t 新鲜辣椒运往某市销售，可租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆，假设每辆大卡车载重8 t ，运费960元，每辆农用车载重2.5 t ，运费360元，总运费不超过13 000元，据此安排两种车型，应满足哪些不等关系，请列出来．方法提炼体积、面积、长度、重量、时间等均为非负实数．请做演练巩固提升4二、比较实数(或代数式)的大小[例2－1]在等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，试比较S 3a 3与S 5a 5的大小． [例2－2]a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：ea －c ＞eb －d.方法提炼比较大小的方法 1．作差法其一般步骤是：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方和式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．2．作商法其一般步骤是：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论． 3．特例法假设是选择题还可以用特殊值法比较大小，假设是解答题，也可以用特殊值法探路．4．注意：a ＞b ⇔1a ＜1b和a ＞b ⇔a n ＞b n(n ∈N ，且n ＞1)成立的条件．请做演练巩固提升2,5错用不等式性质求范围致误[典例]设f (x )＝ax 2＋bx ，假设1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，那么f (－2)的取值范围是________．错解：由⎩⎪⎨⎪⎧1≤f－1≤2，2≤f 1≤4，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2， ①2≤a ＋b ≤4. ②①＋②得32≤a ≤3，②－①得12≤b ≤1.由此得4≤f (－2)＝4a －2b ≤11. ∴f (－2)的取值范围是[4,11]．正解：法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m 、n 为待定系数)，那么4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10. 即5≤f (－2)≤10.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧f－1＝a －b ，f 1＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f －1＋f 1]，b ＝12[f1－f －1].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10. 答案：[5,10]答题指导：利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，要特别注意．错因在于运用同向不等式相加这一性质时，不是等价变形，导致f (－2)的取值范围扩大．另外，此题也可用线性规划求解，题中a 、b 不是相互独立的，而是相互制约的，故不可分割开来．先建立待求范围的整体与范围的整体的等量关系，最后通过“一次性〞不等式关系的运算求得待求整体的范围是避免错误的一条途径．1．假设a ，b 为实数，那么“0＜ab ＜1〞是“b ＜1a〞的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．比较大小：a a b b __________a b b a(a ＞0，b ＞0且a ≠b )．3．12＜a ＜60,15＜b ＜36，那么a －b ，a b的取值范围分别是__________，__________. 4．一个三边分别为15,19,23个单位长度的三角形，假设把它的三边分别缩短x 个单位长度且构成钝角三角形，试用不等式写出x 满足的不等关系__________．5．a 、b 、c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小．参考答案基础梳理自测知识梳理1．a＞b a＝b a＜b2．b＜a a＞c a＋c＞b＋d ac＞bc ac＜bc a＋c＞b＋d ac＞bd＞0 a n＞b n n a＞nb3．(1)①＜②＜③＞④＜＜(2)①＜＞②＞＜4．(1)－a＜x＜a(2)x＜－a或x＞a基础自测1．C 解析：解法一：(特殊值法)令a＝1，b＝－2，c＝0，代入A，B，C，D中，可知A，B，D均错．应选C. 解法二：(直接法)∵a＞b，c2＋1＞0，∴ac2＋1＞bc2＋1.应选C.2．D 解析：①a＞b ac＞bc，②c＞d bc＞bd，③ac＞bdad＞bc. 3．B 解析：lg a＋lg b＝lg ab＝0，ab＝1，1a＋1b≥21ab＝2.当且仅当a＝b时“＝〞成立．4．②④解析：假设x＞y，a＞b，那么－x＜－y，∴a－y＞b－x.假设x＞y，a＞b，那么－b＞－a，∴x－b＞y－a，假设x＞y，a＞b，那么推不出ax＞by.假设x＞y，a＞b，推不出ay＞bx.综上，①③⑤错误，②④正确．考点探究突破[例1] 解：设租用大卡车x辆，农用车y辆，那么⎩⎪⎨⎪⎧8x＋2.5y≥100，24x＋9y≤325，0≤x≤10，0≤y≤20，x，y∈N.[例2－1] 解：当q＝1时，S3a3＝3，S5a5＝5，所以S3a3＜S5a5.当q＞0且q≠1时，S3a3－S5a5＝a1(1－q3)a1q2(1－q)－a1(1－q5)a1q4(1－q)＝q2(1－q3)－(1－q5)q4(1－q)＝－q－1q4＜0，所以有S3a3＜S5a5.综上可知S 3a 3＜S 5a 5.[例2－2] 证明：∵c ＜d ＜0， ∴－c ＞－d ＞0.∵a ＞b ＞0，∴a －c ＞b －d ＞0.∴1a －c ＜1b －d . 又∵e ＜0，∴ea －c ＞eb －d.演练巩固提升1．D 解析：∵0＜ab ＜1，∴a ，b 同号．当a ，b 同正时，由0＜ab ＜1易得b ＜1a ；当a ，b 同负时，由0＜ab ＜1易得b ＞1a. 因此0＜ab ＜1b ＜1a ；反过来，由b ＜1a得，b －1a＜0，即ab －1a ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ab <1或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，ab >1.因此b ＜1a0＜ab ＜1.综上知“0＜ab ＜1〞是“b ＜1a〞的既不充分也不必要条件．2．＞解析：根据同底数幂的运算法那么，采用作商法．a ab b a b b a ＝a a －b b b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b，当a ＞b ＞0时，即ab＞1，a －b ＞0，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ＞1，于是a a b b ＞a b b a；当b ＞a ＞0时，0＜ab＜1，a －b ＜0，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ＞1，于是a a b b ＞a b b a.综上，a a b b ＞a b b a.3．(－24,45) ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4 解析：欲求a －b 的取值范围，应先求－b 的取值范围；欲求a b 的取值范围，应先求1b的取值范围．∵15＜b ＜36，∴－36＜－b ＜－15. 又12＜a ＜60，∴12－36＜a －b ＜60－15. ∴－24＜a －b ＜45. 又136＜1b ＜115，∴1236＜a b ＜6015.∴13＜ab＜4. 4．⎩⎪⎨⎪⎧15－x >0，15－x ＋19－x >23－x ，(23－x )2>(15－x )2＋(19－x )25．解：方法一：(作差法) ∵a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca ) ＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 方法二：(函数法)记t ＝a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca ) ＝a 2－(b ＋c )a ＋b 2＋c 2－bc ，∵Δ＝(b ＋c )2－4(b 2＋c 2－bc )＝－3b 2－3c 2＋6bc ＝－3(b －c )2≤0， ∴t ≥0对a ∈R 恒成立，即a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .。

2014届高考数学(苏教版)一轮复习教学案第7章不等式7.1不等关系与不等式

第7章不等式 7.1 不等关系与不等式考纲要求了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a b a －b ＝0⇔a b a －b <0⇔a b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a b ab ＝1⇔a ba b<1⇔a b (a ∈R ，b ＞0)．2．不等式的性质：(1)等价性：a ＞b ⇔________.(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒__________.(3)两边加同一实数的不变性：a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ，由此可得a ＋b ＞c ⇒a ＞c －b .(4)如果a ＞b ，c ＞0，那么________；如果a ＞b ，c ＜0，那么________；如果a ＞b ，c ＝0，那么ac ＝bc .(5)同向相加性：如果a ＞b ，c ＞d ，那么__________． (6)如果a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，那么ac ______bd .(7)如果a ＞b ＞0，那么a n ________b n ，n ∈N ，n ≥2.(8)如果a ＞b ＞0，那么n a ________nb ，n ∈N ，n ≥2. 3．不等式的一些常用性质(1)a ＞b ，ab ＞0⇒1a ______1b .(2)a ＜0＜b ⇒1a ______1b.(3)a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ______bd.(4)0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b ______1x ______1a.1．设a ＜b ＜0，则下列不等式中不成立的是__________． ①1a ＞1b ②1a －b ＞1a③|a |＞－b ④－a ＞－b2．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是__________．3．给出下列条件：①1＜a ＜b ；②0＜a ＜b ＜1；③0＜a ＜1＜b .其中，能推出log b 1b＜log a 1b＜log a b 成立的条件的序号是__________(填所有可能的条件的序号)．4．(2012湖南高考改编)设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论：①c a ＞cb；②a c ＜b c ；③log b (a －c )＞log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是__________．5．已知b 克糖水中有a 克糖(b ＞a ＞0)，若再添加m 克糖(m ＞0)，则糖水变甜了，试根据这个事实，写出a ，b ，m 所满足的不等式为__________．学习不等式性质时要注意哪些方面？提示：(1)不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数a ，b 有a －b ＞0⇔a ＞b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b ＜0⇔a ＜b ，这是比较两数(式)大小的理论根据，也是学习不等式的基石．(2)一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意在解题中灵活、准确地加以应用．(3)不等式的传递性：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ，这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等号的方向，否则易产生这样的错误：为证明a ＞c ，选择中间量b ，在证出a ＞b ，c ＞b 后，就误认为能得到a ＞c .(4)同向不等式可相加，但不能相减，即由a ＞b ，c ＞d ，可以得出a ＋c ＞b ＋d ，但不能得出a －c ＞b －d .一、比较代数式的大小【例1】比较下列各组中两个代数式的大小： (1)3x 2－x ＋1与2x 2＋x －1；(2)当a ＞0，b ＞0且a ≠b 时，a a b b 与a b b a . 方法提炼 (1)作差比较适用范围：两个代数式的正负号不确定且为多项式形式．步骤：作差，变形(通常变成因式连乘积的形式或平方和的形式)，判断差的符号(正负号)，并确定两个代数式的大小关系．(2)作商比较适用范围：两个代数式的正负确定且均为幂的形式．步骤：作商，变形，判断商与1的大小关系，确定两个代数式的大小关系．请做针对训练2二、不等式的性质【例2】对于实数a ，b ，c ，判断下列命题的真假． (1)若a ＞b ，则ac ＞bc ； (2)若a ＞b ，则ac 2＞bc 2；(3)若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2；(4)若a ＜b ＜0，则1a ＞1b ；(5)若a ＜b ＜0，则b a ＞ab.方法提炼特殊值法是判断命题真假时常用到的一种方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试可以得到一些对命题的感性认识，若正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．请做针对训练1三、不等式性质的应用【例3】(1)已知12＜a ＜60,15＜b ＜36，求a －b ，ab的取值范围；(2)已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，求2a ＋3b 的取值范围．方法提炼此类问题出错的原因大多在于多次运用同向不等式相加这一性质，不能将a 与b 看成彼此独立的变量，实际上a 与b 是有内在联系的，否则会扩大各自的取值范围．所以在解题中使用不等式的性质时，要注意检查得出的是不是原问题的充要条件，以免产生错解．请做针对训练3四、不等式证明【例4】已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c ，求证：13＜a a －c ＜23.方法提炼(1)运用不等式性质解决问题时，必须注意性质成立的条件． (2)同向不等式的可加性与可乘性可推广到两个以上的不等式．请做针对训练4从近三年的高考试题来看，不等关系、不等式的性质及应用是高考的热点，一般不单独考查，常与其他知识(如三角函数中求角的范围等)考查，难度适中．客观题突出对不等式性质的灵活运用，与不等式有关的集合的运算，主观题重点考查绝对值不等式及不等式性质的应用．1．若a ，b 是任意实数，且a ＞b ，则下列结论正确的有__________．①a 2＞b 2 ②ba＜1 ③lg(a －b )＞0 ④⎝⎛⎭⎫12a ＜⎝⎛⎭⎫12b 2．已知a ，b ，c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小．3．已知1≤lg x y ≤2,2≤lg x 3y ≤3，求lg x 33y的取值范围．4．(2012江苏南京三中月考题)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：e (a －c )2＞e(b －d )2.参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)＞＝＜ (2)＞＝＜2．(1)b ＜a (2) a ＞c (4)ac ＞bc ac ＜bc (5)a ＋c ＞b ＋d (6)＞ (7)＞ (8)＞ 3．(1)＜ (2)＜ (3)＞ (4)＜＜基础自测1．② 解析：由题设得a ＜a －b ＜0，所以有1a －b ＜1a 成立，即1a －b ＞1a不成立． 2．c ≥b ＞a 解析：c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0， ∴c ≥b .已知两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2，∵1＋a 2－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34＞0， ∴1＋a 2＞a ，∴b ＝1＋a 2＞a ，∴c ≥b ＞a .3．② 解析：∵log b 1b ＝－1，若1＜a ＜b ，则1b ＜1a＜1＜b ，∴log a 1b ＜log a 1a＝－1，故条件①不可以；若0＜a ＜b ＜1，则b ＜1＜1b ＜1a，∴log a b ＞log a 1b ＞log a 1a ＝－1＝log b 1b，故条件②可以；若0＜a ＜1＜b ，则1b＜b ，∴log a 1b＞log a b ，故条件③不可以．4．①②③ 解析：①c a －c b ＝c (b －a )ab ，∵a ＞b ＞1，c ＜0，∴c (b －a )ab＞0.即c a －cb＞0.故①正确． ②考察函数y ＝x c (c ＜0)，可知为单调减函数．又∵a ＞b ＞1，∴a c ＜b c .故②正确．③∵a ＞b ＞1，c ＜0，∴log b (a －c )＞0，log a (b －c )＞0， ∴log b (a －c )log a (b －c )＝lg (a －c )lg a lg b lg (b －c ). ∵lg (a －c )lg (b －c )＞1，lg a lg b ＞1，∴lg (a －c )lg a lg b lg (b －c )＞1，故③正确． 5.a b ＜a ＋m b ＋m 解析：原来糖水的浓度为a b×100%，加入m 克糖后，现在糖水的浓度为a ＋mb ＋m×100%，现在的浓度一定大于原来的浓度．考点探究突破【例1】解：(1)∵3x 2－x ＋1－2x 2－x ＋1＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0， ∴3x 2－x ＋1＞2x 2＋x －1. (2)a a b b a b ba ＝a a －b b b －a ＝a a －b ⎝⎛⎭⎫1b a －b ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b . ∵当a ＞b ，即a －b ＞0，ab ＞1时，⎝⎛⎭⎫a b a －b ＞1， ∴a a b b ＞a b b a .当a ＜b ，即a －b ＜0，ab ＜1时，⎝⎛⎭⎫a b a －b ＞1， ∴a a b b ＞a b b a .∴当a ＞0，b ＞0且a ≠b 时，a a b b ＞a b b a . 【例2】解：(1)因未知c 的正负或是否为零，无法确定ac 与bc 的大小，所以是假命题． (2)因为c 2≥0，所以只有c ≠0时才正确． c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以是假命题．(3)因为a ＜b ，a ＜0⇒a 2＞ab ；a ＜b ，b ＜0⇒ab ＞b 2，所以a 2＞ab ＞b 2，命题是真命题．(4)由性质定理a ＜b ＜0⇒1a ＞1b ，命题是真命题．(5)例如－3＜－2＜0，23＜32，命题是假命题．【例3】解：(1)因为15＜b ＜36，所以－36＜－b ＜－15. 又12＜a ＜60，所以12－36＜a －b ＜60－15.所以－24＜a －b ＜45.又136＜1b ＜115，所以1236＜a b ＜6015，即13＜a b＜4.(2)设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b ) ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝52，y ＝－12.因为－52＜52(a ＋b )＜152，－2＜－12(a －b )＜－1，所以－92＜52(a ＋b )－12(a －b )＜132，即－92＜2a ＋3b ＜132.【例4】证明：因为a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，所以a ＞0，c ＜0.于是有⎩⎨⎧1>b a >c a，1＋b a ＋c a＝0.①②将②代入①，消去b a ，得c a ＜－1－c a ＜1，所以－2＜c a ＜－12，32＜1－c a ＜3，故13＜a a －c ＜23.演练巩固提升针对训练1．④ 解析：指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x在R 上是减函数， ∵a ＞b ， ∴⎝⎛⎭⎫12a ＜⎝⎛⎭⎫12b .2．解：∵a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca )＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .3．解：由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧1≤lg x －lg y ≤2，2≤3lg x －12lg y ≤3，令⎩⎪⎨⎪⎧a ＝lg x －lg y ，b ＝3lg x －12lg y ，解得⎩⎨⎧lg x ＝2b －a5，lg y ＝2b －6a5.因此可得lgx 33y＝3lg x －13lg y ＝3×2b －a 5－13×2b －6a 5＝1615b －a 5.又因为1≤a ≤2，2≤b ≤3，由此可得2615≤1615b －a5≤3.因此lg x33y的取值范围为⎣⎡⎦⎤2615，3.4．证明：∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0. 又∵a ＞b ＞0，∴a －c ＞b －d ＞0. ∴(a －c )2＞(b －d )2＞0.∴0＜1(a －c )2＜1(b －d )2. 又∵e ＜0，∴e (a －c )2＞e (b －d )2.。

2014高考数学(理)一轮复习总教案：7.1 不等式的性质

第七章不等式高考导航二元一次不等式组； (3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决. 4.基本不等式:⎩⎨⎧+2b a ≥ab（a ，b≥0)(1)了解基本不等式的证明过程；（2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。

法；2。

不等式的应用；3。

线性规划的应用. 进行考查.线性规划是数学应用的重要内容，高考中除考查线性规划问题的求解与应用外,也考查线性规划方法的迁移。

知识网络7。

1 不等式的性质典例精析题型一比较大小【例1】已知a＞0，a≠1，P＝loga（a3－a＋1)，Q＝loga(a2－a＋1)，试比较P与Q的大小。

【解析】因为a3－a＋1－（a2－a＋1）＝a2(a－1)，当a＞1时，a3－a＋1＞a2－a＋1，P＞Q；当0＜a＜1时，a3－a＋1＜a2－a＋1，P＞Q；综上所述，a＞0,a≠1时，P＞Q.【点拨】作差比较法是比较两个实数大小的重要方法之一,其解题步骤为:①作差；②变形；③判断符号；④得出结论.【变式训练1】已知m＝a＋错误!(a＞2），n＝x－2(x≥错误!)，则m，n 之间的大小关系为（）A.m＜nB.m＞nC.m≥n D。

m≤n【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递.m＝a＋错误!＝a－2＋错误!＋2≥2＋2＝4,而n＝x－2≤(错误!）－2＝4。

题型二确定取值范围【例2】已知－错误!≤α＜β≤错误!，求错误!,错误!的取值范围.【解析】因为－错误!≤α＜β≤错误!，所以－错误!≤错误!＜错误!,－错误!＜错误!≤错误!,两式相加得－π2＜错误!＜错误!。

又－错误!≤错误!＜错误!，所以－错误!≤错误!＜错误!，又因为α＜β，所以错误!＜0，所以－错误!≤错误!＜0，综上－π2＜错误!＜错误!，－错误!≤错误!＜0为所求范围。

【点拨】求含字母的数(式)的取值范围，一定要注意题设的条件，否则易出错，同时在变换过程中,要注意准确利用不等式的性质.【变式训练2】已知函数f （x ）＝ax2－c,且－4≤f （1）≤－1，－1≤f(2）≤5，求f （3）的取值范围.【解析】由已知－4≤f(1）＝a －c≤－1，－1≤f(2）＝4a －c≤5. 令f （3）＝9a －c ＝γ（a －c)＋μ(4a－c ）,所以⎩⎨⎧-=--=+1,94μγμγ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=38,35μγ 故f(3)＝－错误!(a －c)＋错误!(4a －c)∈[－1,20］. 题型三开放性问题【例3】已知三个不等式：①ab ＞0；② 错误!＞错误!；③bc ＞ad 。

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