4. 3 公式法(一)
八年级数学北师大版初二下册--第四单元 4.3《公式法--第三课时：分组分解法及分解因式的方法》课件
知1－讲
例2 分解因式：－x2－2xy＋1－y2.
导引：按分组分解法，第一、二、四项提出负号后符 合完全平方式，再与“1”又组成平方差公式.
ìïïíïïî
4x－4 y＝96， x2－y2＝960，
但直接解方程组很烦琐，可利用平方差公式分解
因式：x2－y2＝(x＋y)(x－y)，再利用整体思想求
出x＋y的值，从而转化为二元一次方程组求解．
知2－讲
解：设大正方形的边长为x cm，小正方形的边长为y cm，
由题意得
ìïïíïïî
4x－4 y＝96，① x 2－y2＝960，②
知1－练
3 将多项式a2－9b2＋2a－6b分解因式为( D ) A．(a＋2)(3b＋2)(a－3b) B．(a－9b)(a＋9b) C．(a－9b)(a＋9b＋2) D．(a－3b)(a＋3b＋2)
知1－练
4 分解因式x2－2xy＋y2＋x－y的结果是( A ) A．(x－y)(x－y＋1) B．(x－y)(x－y－1) C．(x＋y)(x－y＋1) D．(x＋y)(x－y－1)
知1－练
5 分解因式： (1) ac＋ad＋bc＋bd＝__(_a_＋__b_)_(c_＋__d_)__； (2) x2－xy＋xz－yz＝___(_x_－__y_)(_x_＋__z_)_．
6 分解因式： a2－4ab＋4b2－1＝_(_a_－__2_b_＋__1_)_(a_－__2_b_－___1_) ．
2.分解技巧：分组分解是因式分解的一种复杂的方法， 让我们来须有预见性. 能预见到下一步能继续分解. 而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特 点，恰当的分组是分组分解法的关键 .
一元二次方程的解法 公式法
一元二次方程的解法公式法一元二次方程，这可是初中数学里的一个“大明星”！咱们今天就来好好聊聊它的解法——公式法。
在学习公式法之前，咱们先得搞清楚啥是一元二次方程。
比如说，像$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$）这样的式子，就是一元二次方程。
这里面$a$、$b$、$c$可都是有讲究的，$a$叫二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。
那公式法到底是啥呢？其实就是依靠一个超级厉害的公式来求解一元二次方程的根。
这个公式就是$x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
我记得我之前教过的一个学生，叫小李。
这孩子一开始听到这个公式就头疼，觉得太复杂了，根本记不住。
我就跟他说：“小李啊，你别把它想得那么可怕。
你就把它当成一个能帮你找到宝藏的密码。
”然后我带着他一步一步地推导这个公式，让他明白这个公式是怎么来的。
推导过程其实也不难。
我们先把一元二次方程$ax^2 + bx + c =0$（$a≠0$）移项，变成$ax^2 + bx = -c$，然后两边同时除以$a$，得到$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$。
接下来就是配方啦，在等式两边加上$\left(\frac{b}{2a}\right)^2$，左边就变成了$\left(x +\frac{b}{2a}\right)^2$，右边就是$\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$。
最后开方，就得到了咱们的求解公式$x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
小李跟着我一步一步推导完之后，恍然大悟，说：“老师，原来这个公式是这么来的啊，感觉也没那么难了！”有了这个公式，咱们就可以求解各种各样的一元二次方程啦。
比如说，方程$x^2 + 2x - 3 = 0$，这里$a = 1$，$b = 2$，$c = -3$，代入公式，$x = \frac{-2 ± \sqrt{2^2 - 4×1×(-3)}}{2×1}$，算一算，就能得到$x_1 =1$，$x_2 = -3$。
一元二次方程的解法(公式法3种题型)(解析版)
一元二次方程的解法（公式法3种题型）1.了解求根公式的推导过程.（难点）2.掌握用公式法解一元二次方程.(重点）3.理解并会用判别式求一元二次方程的根.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况一、公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b acx a a −+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac −≥时，22404b aca−≥利用开平方法，得：x += 即：x = ②当240b ac −<时，22404b ac a −< 这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b acx a a−+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．二、求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac −≥时，有两个实数根：1x =2x =这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式． 三、用公式法解一元二次方程一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）； ②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac −的值（或代数式）；④若240b ac −≥，则把a 、b 、c 及24b ac −的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac −<，则方程无解．四、 根的判别式1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac −叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆−．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠， 当2=40b ac ∆−>时，方程有两个不相等的实数根； 当2=40b ac ∆−=时，方程有两个相等的实数根；当2=40b ac ∆−<时，方程没有实数根．五、根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题．题型1根的判别式例1.选择：（1） 下列关于x 的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（ ）（A ）012=+x（B ）0122=++x x （C ）0322=++x x（D ）0322=−+x x（2） 不解方程，判别方程25750x x −+=的根的情况是（）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根（3）方程2510x x −−=的根的情况是()（A ）有两个相等实根 （B ）有两个不等实根 （C ）没有实根（D ）无法确定（4） 一元二次方程2310x x +−=的根的情况为（）（A ）有两个不相等的实数根 （B ）有两个相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根【答案】（1）D ；（2）D ；（3）B ；（4）A ．【答案】【答案】【解析】（1）A ：1a =，0b =，1c =，2440b ac ∆=−=−<，方程无实根；B ：1a =，2b =，1c =，240b ac ∆=−=，方程有两个相等实根； C ：1a =，2b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实根；D ：1a =，2b =，3c =−，24160b ac ∆=−=>，方程有两不等实根实根，故选D ；（2）5a =，7b =−，5c =，24510b ac ∆=−=−<，方程无实根，故选D ； （3）1a =，5b =−，1c =−，24290b ac ∆=−=>，方程有两不等实根，故选B ； （4）1a =，3b =，1c =−，24130b ac ∆=−=>，方程有两个相等实根，故选A ．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根． 例2.不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）24530x x −−=； （2）22430x x ++=；（3）223x +=；（4）22340x x +−=．【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根； （4）方程有两不等实根．【答案】【答案】【解析】（1）4a =，5b =−，3c =−，24730b ac ∆=−=>，方程有两不等实根；2a =，4b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实数根；2a =，b =−3c =，240b ac ∆=−=，方程有两相等实根；（4）2a =，3b =，4c =−，24410b ac ∆=−=>，方程有两不等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根．题型2用公式法解一元二次方程例3．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）用公式法解方程：22720x x −+=．【答案】12x x ==【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解．【详解】解：22720x x −+=，∴2,7,2a b c ==−=，244942233b ac ∆=−=−⨯⨯=，∴x ==，解得：12x x ==．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 例4．用公式法解下列方程：（1）2320x x +−=；（2）25610x x −++=．【答案】（1）12x x ==；（2）12x x =．【解析】（1）132a b c ===−，，1742=−ac b ，则2173±−=x ，∴12x x ==；（2）561a b c =−==，，，则5642=−ac b ，则101426−±−=x ，∴123355x x −==，．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式x =的运用．例5.用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+−=．【答案】（1）12x x ==；（2）12x x ==【解析】（1）1,66,9=−==c b a ，则18042=−ac b ，则185666±=x ，∴原方程的解为：12x x ==；22,34,2−===c b a ，则6442=−ac b ，则22834±−=x ，∴原方程的解为：12x x ==【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．题型3根的判别式的应用例6．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）关于x 的一元二次方程()21360x k x k +++−=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根不小于7，求k 的取值范围． 【答案】(1)见解析． (2)5k ≤−．【分析】（1）计算根的判别式的值，利用配方法得到()25k ∆=−，根据非负数的性质得到0∆≥，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用求根公式得到13x =−，22kx =−．根据题意得到27k −≥，即可求得k 的取值范围．【详解】（1）解：()()21436k k ∆=+−−2211224k k k =++−+ 21025k k =−+()250k =−≥，∴方程总有实数根； （2）解：∵()250k ∆=−≥，∴()()152k k x −+±−=，解方程得：13x =−，22kx =−，由于方程有一个根不小于7， ∴27k −≥， 解得：5k ≤−．【点睛】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．例7．（2023·江苏苏州·统考一模）已知关于x 的一元二次方程22210x mx m −+−=． (1)若该方程有一个根是2x =，求m 的值；(2)求证：无论m 取什么值，该方程总有两个实数根． 【答案】(1)32m =(2)证明见解析【分析】（1）直接把2x =代入到原方程中得到关于m 的方程，解方程即可得到答案； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程22210x mx m −+−=的一个根为2x =，∴224210m m −+−=，∴32m =；（2）证明：由题意得，()()()222242421484410b ac m m m m m ∆=−=−−−=−+=−≥，∴无论m 取什么值，该方程总有两个实数根．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根；一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．例8．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）关于x 的一元二次方程()23220x k x k −+++=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于2，求k 的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)1k <【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证；（2）根据公式法求得方程的解，得出122,1==+x x k ，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）证明：关于x 的一元二次方程()23220x k x k −+++=，∴1,(3),22a b k c k ==−+=+ ∵[]224(3)41(22)−=−+−⨯⨯+b ac k k221k k =−+2(1)0k =−≥，∴此方程总有两个实数根； （2）∵()23220x k x k −+++=∵2(1)k ∆=−∴3(1)2+±−==k k x解得:122,1==+x x k ，∵方程有一个根小于2， ∴12k +<， 解得1k <．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．一、单选题1．（2023·江苏徐州·统考一模）关于一元二次方程2430x x ++=根的情况，下列说法中正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定【答案】A【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．【详解】解：2430x x ++=其中1a =，4b =，3c =，∴2Δ441340=−⨯⨯=>，∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 2．（2023·江苏徐州·校考一模）关于x 的一元二次方程240x x k −+=有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k −+=有实数根，∴()2440k ∆=−−≥，∴4k ≤，∴四个选项中只有A 选项符合题意， 故选A ．【点睛】本题主要考查次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．3．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程240x x k −−=没有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．5− B ．4− C ．3− D ．2【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k −−=无实数根，∴()2440k ∆=−+<，∴4k <−，∴四个选项中，只有A 选项符合题意， 故A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．4．（2023春·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程220x x k −+=没有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．1−【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程220x x k −+=没有实数根，∴()2240k ∆=−−<，∴1k >，∴四个选项中，只有选项A 符合题意， 故选A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．5．（2023秋·江苏·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程2440x x k −−+=没有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．0k > B ．4k > C ．0k < D ．4k <【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2440x x k −−+=没有实数根，∴()2416440b ac k ∆=−=−−<，解得：0k <故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根． 二、填空题6．（2023·江苏常州·校考一模）若关于x 的一元二次方程()22210k x x −−−=有实数根，则实数k 的取值范围是______． 【答案】1k ≥且2k ≠【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的性质计算，即可得到答案．【详解】∵关于x 的一元二次方程()22210k x x −−−=有实数根， ∴()()()22024210k k −≠⎧⎪⎨−−−⨯−≥⎪⎩ ∴21k k ≠⎧⎨≥⎩，即1k ≥且2k ≠． 故答案为：1k ≥且2k ≠．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和跟的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和判别式的性质，从而完成求解．7．（2023·江苏常州·统考一模）若关于x 的方程20x x m −+=（m 为常数）有两个相等的实数根，则m =______．【答案】14【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出△0=，求出m 的值即可．【详解】解：关于x 的方程20(x x m m −+=为常数）有两个相等的实数根，∴△2(1)40m =−−=，解得14m =．故答案为：14．【点睛】本题考查的是根的判别式，孰知当△0=时，一元二次方程2(0)y ax bx c a =++≠有两个相等的实数根是解答此题的关键．8．（2023·江苏盐城·校考二模）已知关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，则a 的值为________．【答案】5a =−【分析】将1x =代入方程240x ax ++=，解方程即可得到a 的值．【详解】∵关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，∴将1x =代入方程240x ax ++=，得140a ++=，解得：5a =−， 故答案为：5−【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是使得方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．9．（2023·江苏宿迁·模拟预测）关于x 的方程()21210m x x −−+=有实数根，则m 的取值范围是______． 【答案】2m ≤/2m ≥【分析】分当10m −=时，当10m −≠，即1m ≠时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当10m −=时，即1m =时，原方程即为210x −+=，解得12x =，符合题意；当10m −≠，即1m ≠时，∵关于x 的方程()21210m x x −−+= ∴()()22410m ∆=−−−≥，解得2m ≤且1m ≠； 综上所述，2m ≤， 故答案为：2m ≤．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．10．（2023·江苏·模拟预测）请填写一个常数，使得一元二次方程25x x −+____________0=没有实数根．【答案】7（答案不唯一）【分析】设这个常数为a ，根据根的判别式求出a 的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设这个常数为a ，∴方程250x x a −+=没有实数根，∴()2540a ∆=−−<，∴254a >，∴7a =满足题意，故答案为：7（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．11．（2023秋·江苏无锡·九年级校联考期末）请填写一个常数，使得关于x 的方程24x x −+________=0有两个不相等的实数根． 【答案】1（答案不唯一）【分析】根据方程的系数结合根的判别式2=40b ac ∆−>，即可得出关于c 的不等式，求解即可得出答案．【详解】解：1a =，4b =−，设常数为c ，()22=44410b ac c ∆−=−−⨯⨯>4c ∴<故答案为：1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当0∆>时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 三、解答题12．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末）求证：关于x 的方程2()0()x m n x mn m n +++=≠有两个不相等的实数根． 【答案】见解析【分析】根据224()41b ac m n mn ∆=−=+−⨯⨯，再判断出的符号，即可得出结论． 【详解】解∶2222()412()m n mn m n mn m n ∆=+−⨯⨯=+−=−，m n ≠()2m n ∴−>∴方程有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式2Δ4b ac =−：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=，方程有两个相等的实数根；当Δ0<，方程没有实数根． 13．（2023·江苏盐城·校考一模）已知关于x 的一元二次方程210x ax a −+−=． (1)求证：方程总有两个实数根；(2)若该方程有一实数根大于4，求a 的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)5a >【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）利用因式分解法解方程求出方程两个根为1211x x a ==−，，再根据该方程有一实数根大于4进行求解即可．【详解】（1）解：∵知关于x 的一元二次方程为210x ax a −+−=，∴()()()222414420a a a a a ∆=−−−=−+=−≥，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵210x ax a −+−=，∴()()110x x a −+−=，∴10x −=或10x a +−=， 解得1211x x a ==−，，∵该方程有一实数根大于4， ∴14a −>， ∴5a >．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，灵活运用所学知识是解题的关键． 14．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）关于x 的一元二次方程2(23)10mx m x m ++++=有两个不等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取最小整数时，求x 的值． 【答案】(1)98m >−且0m ≠(2)10x =，21x =【分析】（1）由0∆>得到关于m 的不等式，解之得到m 的范围，根据一元二次方程的定义求得答案； （2）由（1）知1m =−，还原方程，利用因式分解法求解可得．【详解】（1）解：由题意得：2(23)4(1)0m m m +−+>， 解得：98m >−且0m ≠；（2）由（1）知，m 最小整数为1−，此时方程为：20x x −+=，解得：10x =，21x =．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．【答案】(1)28n m =−(2)见解析【分析】（1）根据根的判别式符号进行求解；（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】（1）由题意得：()242n m ∆=−⋅−28n m ∆=+方程有两个相等的实数根， 0∴∆=280n m ∴+= 28n m ∴=−（2）当2n m =−()228m m ∆=−+2Δ44m m =++()224420m m m ++=+≥∴方程始终有两个实数根【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的判别式．一、单选题1．（2023春·江苏南京·九年级南京市竹山中学校考阶段练习）一元二次方程2440x x +−=的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定【答案】B【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：由题意得，()24414320∆=−⨯⨯−=>，∴原方程有两个不相等的实数根， 故选B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．2．（2022秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程250x ax −−=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．可能有实数根，也可能没有 C ．有两个相等的实数根 D ．没有实数根【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程为250x ax −−=，∴()()22451200a a ∆=−−⨯−⨯=+>，∴关于x 的一元二次方程250x ax −−=有两个不相等的实数根，故答案为：A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．3．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）若关于x 的一元二次方程22(1)0x x k +−−=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．0k > B ．0k ≥ C ．0k < D ．0k ≤【答案】B【分析】根据一元二次方程有实数根，可知240b ac −≥，求出解即可．【详解】∵一元二次方程22(1)0x x k +−−=有实数根，∴240b ac −≥，即224[(1)]0k −−−≥， 解得0k ≥． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握24b ac −与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的关系是解题的关键．即当240b ac −＞时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；当240b ac −=时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根；当240b ac −＜时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．5．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2210kx x −−=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( ) A ．1k >−B ．1k <C ．1k >−且0k ≠D ．1k <且0k ≠【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的判别式得出不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2210kx x −−=有两个不相等的实数根，∴0k ≠且0∆>，即2(2)4(1)0k −−⨯⨯−>， 解得1k >−且0k ≠． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根． 二、填空题5．（2023春·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）请填写一个常数，使得关于x 的方程22+−x x __________0=有两个相等的实数根． 【答案】1【分析】设这个常数为a ，利用一元二次方程根的判别式得出a 的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个常数为a ， ∵要使原方程有两个相等的实数根， ∴()2=240a ∆−−=，∴1a =，∴满足题意的常数可以为1， 故答案为：1．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．6．（2023春·江苏泰州·九年级靖江市靖城中学校考阶段练习）方程220x x m −+=没有实数根，则m 的取值范围是______． 【答案】1m >/1m <【分析】根据一元二次方程无实数根得到Δ0<，代入即可得出答案．【详解】方程220x x m −+=没有实数根，4410m ∴∆=−⨯⨯<， 1m ∴>，故答案为：1m >．【点睛】本题考查一元二次方程有无实数根，熟记判别式24b ac ∆=−是解题的关键．三、解答题7．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程210x ax a ++−=． (1)若该方程的一个根为2−，求a 的值及该方程的另一根； (2)求证：无论a 取何实数，该方程都有实数根． 【答案】(1)3a =，该方程的另一根为1− (2)证明见解析【分析】（1）先根据一元二次方程解的定义把2x =−代入到210x ax a ++−=中求出a 的值，再利用因式分解法解方程即可；（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程210x ax a ++−=的一个根为2−，∴4210a a −+−=， ∴3a =，∴原方程即为2320x x ++=，∴()()120x x ++=，解得=1x −或2x =−， ∴方程的另一个根为1−；（2）解：∵关于x 的一元二次方程为210x ax a ++−=，∴()()222414420a a a a a ∆=−−=−+=−≥，∴无论a 取何实数，该方程都有实数根．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解一元二次方程，一元二次方程判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．8．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2430mx x -+=有实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若m 为正整数，求出此时方程的根． 【答案】(1)43m ≤且0m ≠(2)11x =，23x =【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式0∆≥，可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围；（2）由（1）的结论，结合m 为正整数，可得出m 的值，再其代入原方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程2430mx x -+=有实数根，∴()20Δ4430m m ≠⎧⎪⎨=−−⨯⨯≥⎪⎩， 解得：43m ≤且0m ≠，∴m 的取值范围为43m ≤且0m ≠；（2）∵43m ≤且0m ≠，且m 为正整数， ∴1m =，∴原方程为2430x x −+=，即()()310x x −−=， 解得：11x =，23x =．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式0∆≥，找出关于m 的一元一次不等式组；（2）代入m 的值，求出方程的解．9．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）已知关于x 的方程()242440mx m x m +−+−=（m 为常数，且0m ≠）(1)求证：方程总有实数根； (2)若该方程有两个实数根；①不论m 取何实数，该方程总有一个不变的实数根为______； ②若m 为整数，且方程的两个实数根都是整数，求m 的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①2−；②1m =±或2m =±【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；（2）①利用公式法求出方程的两个实数根即可得到答案；②根据①所求两实数根，结合m 为整数，且方程的两个实数根都是整数进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得()()22=442444b ac m m m ∆−=−−−2216164161640m m m m =−+−+=>，∴方程总有实数根； （2）解：①∵关于x 的方程()242440mx m x m +−+−=有两个实数根，∴2422m x m −±==， ∴1224222242222m m m x x m m m −+−−−====−，，∴不论m 取何实数，该方程总有一个不变的实数根为2−， 故答案为：2−；②由①得，方程的两个实数根为12222mx x m −==−，，∵m 为整数，且方程的两个实数根都是整数， ∴2222m m m −=−为整数，∴1m =±或2m =±．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．10．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）已知关于x 的方程2(1)(3)20m x m x +−++=． (1)证明：不论m 为何值时，方程总有实数根； (2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【答案】(1)证明见解析(2)0m =【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m 的值．【详解】（1）（1）证明：①1m =−时，该方程为一元一次方程220x −+=，有实数根1x =；②1m ≠−时，该方程为一元二次方程，2(3)8(1)m m ∆=+−+221m m =−+2(1)m =−，不论m 为何值时，2(1)0m −…， ∴0∆…， ∴方程总有实数根；综上，不论m 为何值时，方程总有实数根．（2）解：解方程得，(3)(1)2(1)m m x m +±−=+， 11x =，221x m =+，方程有两个不相等的正整数根，m 为整数，0m ∴=．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：0∆>⇔方程有两个不相等的实数根；0∆=⇔方程有两个相等的实数根；0∆<⇔方程没有实数根是解题的关键．【答案】22212x x x −−或【分析】根据分式的混合运算法则化简后，再求出x 的值，代入求值即可．【详解】解：221222121x x x x x x x ⎛⎫÷ ⎪⎝⎭−−−−+++()()()()()22112221121x x x x x x x x x x x ⎡⎤=÷⎢⎥⎣⎦+−−−−++++()()()()21211112x x x x x x +=⨯++−−()2211x x x =−− 22221x x x =−−∵210x x −−=，∴21x x −=，∴原式()2221x x x −=−2211x =−⨯12x =−， 对于210x x −−=来说，1,1,1,a b c ==−=−∵()()22414115b ac −=−−⨯⨯−=，∴x =，∴12x x ==，∴当x =时，原式12x =−，当x =时，原式12x =−=．【点睛】此题考查了分式的化简求值，解一元二次方程等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）解下列方程：2231x x +=【答案】x x ==12，【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，然后用公式法求解即可；【详解】解：原方程可化为：22310x x +−=a b c ===−231 ， ，()b ac −=−⨯⨯−=>2243421170x ∴==x x ==12，【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的基本解法是解题的关键． 13．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）已知关于x 的方程220x mx m +−=−．(1)当该方程的一个根为1−时，求m 的值及该方程的另一根；(2)求证：不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【答案】(1)1=2m ，方程的另一根为32(2)见解析【分析】（1）把1x =−代入原方程求得m 的值，进一步求得方程的另一个根即可；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．【详解】（1）解：把1x =−代入方程 220x mx m +−=−得 120m m ++−=∴1=2m ，把1=2m 代入到原方程得 213022x x −−=∴1x =−或3=2x 故答案为：1=2m ，方程的另一根为32；（2）证明：∵方程220x mx m +−=−，∴根的判别式()()()224224m m m ∆=−−−=−+∵()220m −≥∴()2240m ∆=−+> ∴不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的性质，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=−：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当0∆=，方程有两个相等的实数根；当0∆<，方程没有实数根；熟练掌握一元二次方程根的判别式的性质是解本题的关键． 14．（2022秋·江苏常州·九年级校考阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程：(1)2820x x −−=（配方法）(2)2320x x ++=（公式法）【答案】(1)14x =+24x =−(2)11x =−，22x =−【分析】（1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后，再开方，即可得出结果；（2）利用公式法计算即可．【详解】（1）解：2820x x −−=移项，得：282x x −=，配方，得：2228424x x −+=+，即()2418x −=，由此可得：4x −=±14x =+24x =−（2）解：2320x x ++=1a =，3b =，2c =，224341210b ac ∆=−=−⨯⨯=>，方程有两个不等的实数根，3131212x −±−±===⨯，即11x =−，22x =−．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次．。
4-3 公式法课件2022-2023学年北师大版数学八年级下册
2
2
2
2
跟踪练习1
把下列各式因式分解.
1 2 2 − 2
解： 原式 =(ab)2-m2
=(ab+m)(ab-m)
(2)-16x2+81y2
原式 =81y2-16x2
=(9y)2-(4x)2
=(9y+4x)(9y-4x)
例题讲解
例2.把下列各式因式分解.
1 9 m n m n
2.会用平方差公式进行因式分解
3.使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再
考虑用平方差公式分解
教学重难点
1.重点：会用平方差公式进行因式分解
2.难点：发展学生的逆向思维，渗透数学的
“互逆”、换元整体的思想
学习目标
1.经历通过整式乘法公式的逆向变形得出公式
法因式分解的过程，发展逆向思维和推理能力.
2.会用平方差公式进行因式分解.
平方差公式
公式法
完全平方公式
问题引入
模块一
1.计算下列各式
观察这些式子，等式两边
分别有什么共同特征？
9x 2 y 2
9m2 4n2
2
2
a
b
a
b
=
a
b
两数或式的和与差的乘积
结果都是二项式，其中每一项都
是某数或式的平方，且两项符号
相反（一正一负）
模块二
例题讲解
例1.把下列各式因式分解.
1 2
2 9a b
4
1 25 16x
2
解：1 25 16x =52 - (4x)2 =(5 + 4x) (5 - 4x)
八下4.3公式法(1)
学习目标 问题引入 例题讲解 巩固训练 课堂小结
例1.把下列各式因式分解.
1 25 16x2
解： 52 4x2
5 4x5 4x
29a2 1 b2
4
3a
2
1 2
b
2
3a
1 2
b
3a
1 2
b
例题讲解
25 16x2 52 4x2 5 4x5 4x a2 b2 a ba b
问题引入
对下列各式进行因式分解
x2 25 __ _x__5___x__5____________; 9x2 y2 __3_x__y___3_x___y_________; 9m2 4n2 _3_m___2_n__3_m___2_n_______.
问题引入
平方差公式： aa2 bb2=aabb=a2bb 2
变式练习
变式练习2.把下列各式因式分解.
13ax2 3ay4
解：
2 16x4 81y4
注意事项
使用平方差公式因式分解时要注意：
02
例题讲解
例3
解：由题意得，剩余部分的面积为：
a2 4b2
a2 2b2
a 3.6,b 0.8, 代入得 原式=10.4cm2
a 2ba 2b 答：剩余部分的面积是10.4cm2.
使用公式分解因式 去括号整理
4m 2n2m 4n
42mnm2n
分解彻底
例题讲解
例2.把下列各式因式分解.
22x3 8x
2xx2 4
2xx 2x 2
当多项式的各项含 有公因式时，先提 出公因式
变式练习
变式练习2.把下列各式因式分解.
13ax2 3ay4
解：
3 用公式法求解一元二次方程 第1课时 用公式法求解一元二次方程 公开课获奖课件
5．(8 分)用公式法解方程 x2＋2x－15＝0.
一次函数 y＝kx＋b 的大致图象可能是( B )
12．如果关于 x 的一元二次方程 kx2－ 2k＋1x＋1＝0 有两个不相等的实数根，那么 k
的取值范围是( D )
A．k＜21 B．k＜21且 k≠0 C．－12≤k＜12 D．－12≤k＜12且 k≠0
C 13．已知关于 x 的方程 kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是( )
解：将 x＝1 代入方程 x2＋ax＋a－2＝0 中，得 1＋a＋a－2＝0，解得 a＝12，∴原方 程为 x2＋12x－32＝0，即 2x2＋x－3＝0，解得另一根为 x＝－23 (2)求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝a2－4a＋8＝(a－2)2＋4>0，∴不论 a 取何实数，该 方程都有两个不相等的实数根
_根__的__判___别__式__，通常用希腊字母“__Δ____”来表示．
1．(3 分)用公式法解方程 2x2－3＝5x 时，a，b，c 的值分别是( C )
A．2，5，3
B．2，5，－3
C．2，－5，－3 D．2，－3，5
2．(3 分)用公式法解方程 3x2＋4＝12x，下列代入公式正确的是( D )
15．定义：如果一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足 a＋b ＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知 x2＋mx＋n＝ 0 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则 mn＝__－__2____．
4、3、公式法(一)
（ 3）. (x2 y 2 )2 - 4x2 y 2 （ 4）. 3ax4 - 3ay4 2 2 解：（ 1）. (m - a) - (n b) [(m a) (n b)][(m - a) (n b)] (m - a n b)(m - a n - b) （ 2）. 49(a b) 2 16(a b) 2 [7(a b)] 2 - [4(a b)] 2 [7(a b) 4(a b)][7(a - b) - 4(a b)] (7a 7b 4a 4b)(7a - 7b - 4a - 4b) (3a 3b)(3a - 11b) 3(a b)(3a - 11b) 2 2 2 2 2 （ 3）. (x y ) - 4x y (x 2 y 2 2xy)(x 2 y 2 - 2xy) 2 2 (x y) (x y) 4 4 （ 4）. 3ax - 3ay 3a(x 4 y 4 ) 3a(x 2 y 2 )(x 2 - y 2 ) 2 2 3a(x y )(x y)(x - y)
⑤
2 (6x)2 9(2y)
1 2 D. 4m - n 9
2
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3.计算：852 152 的结果是（ D ） A. 70 B. 700 C. 4900 D. 7000 4.分解因式 x 2 4y2 的结果是（ B ）
A. (x 4y)(x- 4y) B. (x 2y)(x- 2y) C. (x - 4y)2 D. (x - 2y)2
a b (a b)(a b)
2 2
（１）公式左边： （是一个将要被分解因式的多项式）
★被分解的项式含有两项，且这两项异号， 并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。
§2-3 公式法1 一元二次方程的解法
解：这里 a=1, b= -7, c= -18.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
7 121 7 11 x , 21 2
即：x1=9, x2= -2.
动脑筋
b b2 4αc x 2α
例 2 解方程：
x 3 2 3x
2
解：化简为一般式：x2
2. 用公式法解下列方程. 参考答案:
1). 2x2-4x－1＝0； 2). 5+2＝3x2 ； 3). (x-2)(3x-5) =1;
下课了!
结束寄语
•
•
配方法和公式法是解一元二次 方程重要方法,要作为一种基本 技能来掌握. 一元二次方程也是刻画现实世 界的有效数学模型.
回顾与复习 2
配方法
用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
4 4
参考答案： 1.x1 2; x2 4. 2.x1 2 6; x2 2 6.
我最棒
,会用公式法解应用题!
一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三角 形的三边长. 解 : 设这三个连续偶数中间的一个为x, 根据题意得
x 2 x 2 x 2 .
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0,
∴原方程没有实数根.
我最棒
,用公式法解下列方程
公式法解关于x的一元二次方程
公式法解关于x的一元二次方程好嘞，以下是为您生成的关于“公式法解关于 x 的一元二次方程”的文章：一元二次方程，这玩意儿可是咱中学数学里的一个“大主角”！要说解一元二次方程，公式法那可是个厉害的“武器”。
咱先来说说啥是一元二次方程。
就比如 2x² + 3x - 5 = 0 这样的式子，其中最高次项是2 次，而且只有一个未知数x ，这就是一元二次方程。
那公式法是咋回事呢？其实啊，公式法就是依靠一个神奇的公式来求解 x 的值。
这个公式就是：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / （2a）。
这里面的 a、b、c 分别是方程 ax² + bx + c = 0 中的系数。
记得我当年上学的时候，有一次数学考试，就考到了用公式法解一元二次方程。
其中有一道题是 3x² - 5x + 2 = 0 。
我心里一乐，这不是正好可以用公式法嘛！我赶紧先找出 a = 3 ，b = -5 ，c = 2 ，然后代入公式里。
先算 b² - 4ac ，也就是（-5）² - 4×3×2 = 25 - 24 = 1 。
然后再把数字往公式里一套，算出 x = [5 ± 1] / 6 ，最后得出 x₁ = 1 ，x₂ = 2/3 。
那次考试因为这道题，让我的分数提高了不少呢！咱们再来说说用公式法解题的步骤。
第一步，得先把方程化成一般形式 ax² + bx + c = 0 。
这一步可不能马虎，系数一定要找对喽。
第二步，计算 b² - 4ac 的值，看看它是大于 0 、等于 0 还是小于 0 。
这可关系到方程根的情况。
如果大于 0 ，方程就有两个不同的实数根；等于0 ，就有两个相同的实数根；小于 0 呢，就没有实数根，只有两个共轭的复数根。
第三步，把 a 、b 、c 的值代入公式，算出 x 的值。
咱再举个例子，比如说 x² - 4x + 4 = 0 。
一元二次方程的解法：公式法
2a
（2）当 b2 4ac 时，方程无实数解
例 2 解方程：4x2 4x 10 1 8x
解：化为一般式： 4x2 +12x 9 0
a 4,b 12,c 9
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 4ac 122 4 49 0
x 12 0 3
3. 公式法
偃师市大口镇中学 张延峰
温故知新
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
化1:化为一般式，并将二次项系数化为1； 移项：把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方 ;开方:左边降次,右边开平方; 求解:解两个一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
用配方法解一般形式的一元二次方程
24
2
3 x1 x2 2
例 3 解方程： x 21 3x 6
解：去括号，化为一般式：
3x2 7x 8 0
a 3,b -7,c 8
b2 4ac （ 7）2 4 3 8 49 96 - 47 0
方程没有实数解。
随堂 练习 用公式法解下列方程：
（1） x2 4x 2
（2）5x2 4x 12 0
（3） 16x2 8x 3
课后小结
同学们，这节课你们都有哪些收获呢？
课后作业
1.课本第30页练习 2.课本第36页习题第二题的3、4
、5、6小题
再
见！
用公式法解方程：
例 1 解方程： 2x2 +x 6 0
例 2 解方程：4x2 4x 10 1 8x
例 3 解方程： x 21 3x 6
例 1 解方程： 2x2 +x 6 0
2023因式分解教案_3
2023因式分解教案2023因式分解教案篇1教学目标:1.知识与技能:掌握运用提公因式法、公式法分解因式,培养学生应用因式分解解决问题的能力.2.过程与方法:经历探索因式分解方法的过程,培养学生研讨问题的方法,通过猜测、推理、验证、归纳等步骤,得出因式分解的方法.3.情感态度与价值观:通过因式分解的学习,使学生体会数学美,体会成功的自信和团结合作精神,并体会整体数学思想和转化的数学思想.教学重、难点:用提公因式法和公式法分解因式.教具准备:多媒体课件(小黑板)教学方法:活动探究法教学过程:引入:在整式的变形中,有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式,这种变形就是因式分解.什么叫因式分解?知识详解知识点1 因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.例如:(2)因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验.怎样把一个多项式分解因式?知识点2 提公因式法多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如:x2-x=x(x-1),8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1).探究交流下列变形是否是因式分解?为什么?(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x); (2)x2-2x+3=(x-1)2+2;(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1); (4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.典例剖析师生互动例1 用提公因式法将下列各式因式分解.(1) -x3z+x4y; (2) 3x(a-b)+2y(b-a);分析:(1)题直接提取公因式分解即可,(2)题首先要适当的变形, 再把b-a化成-(a-b),然后再提取公因式.小结运用提公因式法分解因式时,要注意下列问题:(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并,而且每个括号内不能再分解.(2)如果出现像(2)小题需统一时,首先统一,尽可能使统一的个数少。
导学第四章3公式法
15. （1）已知x=-5，y=- ，求x2·x2n·（yn）2（n为 正整数）的值； （2）观察下列各式：32-12=8×1，52-32=8×2，7252=8×3，…，探索以上式子的规律，试写出第n个等 式，并运用所学的数学知识说明你所写式子的正确性.
13. 已知x2+y2-4x+6y+13=0，求x2-6xy+9y2的值.
解：∵x2+y2-4x+6y+13 =（x-2）2+（y+3）2 =0，
∴x-2=0，y+3=0，即x=2，y=-3. 则x2-6xy+9y2
=（x-3y）2 =112 =121.
能力提升
14. 248-1可以被60和70之间某两个数整除，求这两 个数.
（3）y4-8y2+16 =（y2-4）2 =（y+2）2（y-2）2.
3. 已知x-y=1，xy=3，求x3y-2x2y2+xy3的值.
解：x3y-2x2y2+xy3 =xy（x2-2xy+y2） =xy（x-y）2. 当x-y=1，xy=3时， 原式=3×12=3.
课后作业
夯实基础 新知 综合运用提公因式法和公式法因式分解
=（x-y）（a2-9）
= （x-y）（a+3）（a-3）.
【例3】已知x+y=4，xy=2，求2x3y+4x2y2+2xy3的 值.
营销电费抄核收例题计算(初稿).
电费抄核收电费包括：结算电量+电价结算电量=抄见电量+变损+线损+退补电量电价：用户都可按单一制、两部制分类。
电量计算1、结算电量分解：抄见电量计算、定比定量计算、主分表扣减计算、变损电量计算、线损电量计算、结算电量计算2、有功表、无功表：抄见电量=(本次示数-上次示数)*综合倍率综合倍率=PT变比*CT变比*电能表自身倍率需量表：抄见最大需量=本次示数*综合倍率（最大需量仅与本次抄见有关，与上次无关）3、四种方式抄见电量计算正常接线：抄见电量=（本次示数－上次示数）×综合倍率电能表翻转：抄见电量=（本次示数＋10表位数－上次示数）×综合倍率倒转：抄见电量=（上次示数－本次示数）×综合倍率倒转且翻转：抄见电量=（上次示数＋10表位数－本次示数）×综合倍率例1：某中学采用公用变供电，安装低压电能表一块，互感器倍率为300/5，本月底抄码为00188，上月底抄码为99880，问该客户本月用电量为多少？解：综合倍率：300/5=60+-⨯=抄见电量：(0018810000099880)6018480例2：某315KV A工业客户采用10kV高压供电，高压侧计量，已知客户电流互感器为25/5,该客户3月份抄见有功表码为2600，无功表码为1900，4月份抄见有功表码为2900，无功表码为2100，试求该客户4月份的电量为多少？⨯=解：综合倍率：25/510000/100500-⨯=抄见电量：有功电量=(29002600)500150000-⨯=无功电量=(21001900)500100000例3：某315KV A工业客户采用10kV高压供电，高压侧计量，已知客户电流互感器为25/5,该客户3月份抄见有功总表码为2600，其中峰段表码750，谷段表码830，平段表码1020，无功表码为1900；4月份抄见有功表码为2900，其中峰段表码860，谷段表码920，平段表码1125，无功表码为2100，试求该客户4月份的电费的各段电量为多少？⨯=解：综合倍率：25/510000/100500-⨯=抄见电量：总有功电量=(29002600)500150000-⨯=峰：(860750)50055000-⨯=谷：(920830)50045000--=（平包底）平：150000550004500050000-⨯=总无功电量=(21001900)5001000004、什么情况下用定比定量法计算电量？1）不好分线，不具备装表条件；2）用的比较少。
一元二次方程与二次函数知识点总结归纳
（3）公式法
、
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
；
2.一元二次方程有四个特点：
(1)含有一个未知数；
(2)且未知数次数最高次数是2；
(3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0）
一元二次方程 的求根公式：
（4）因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
根的判别式：一元二次方程 中， 叫做一元二次方程 的根的判别式，通常用“ ”来表示，即
如果方程 的两个实数根是 ，那么 ， 。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.
2.二次函数 的性质
（1）抛物线 的顶点是坐标原点，对称轴是 轴.
（2）函数 的图像与 的符号关系.
|
①当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；
②当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 .
一元二次方程的基本概念与常见求解方法
一元二次方程的基本概念与常见求解方法知识点睛一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，最高次数的项系数不为 0 的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式2(0)0ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1）要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．一元二次方程最高次数的项系数不为0．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式2(0)0ax bx c a ++=≠． 要特别注意对于关于 x 的方程2(0)0ax bx c a ++=≠．当0a ≠时，方程是一元二次方程；当00a b =≠且时，方程是一元一次方程． （3）关于x 的一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠的项与各项的系数．ax 2 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适用于解形如 (ax +b )2 = ()00a c ≠， 的一元二次方程． （2）配方法：解形如2 )00(ax bx c a ++=≠的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：① 二次项系数化为1．② 常数项右移．③ 配方 (两边同时加上一次项系数一半的平方)．④ 化成 (x +m )2 = n 的形式．⑤ 若0n ≥，直接开平方得出方程的解。
（3）公式法：设一元二次方程为2 )00(ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：2124b ac x x ∆=-，， 是方程的两根，则：1. ∆ > 0 ⇔ 方程 2)00(ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根 x = 2. ∆ = 0 ⇔ 方程 2 )00(ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根 122b x x a==-； 3. ∆ < 0 ⇔ 方程2 )00(ax bx c a ++=≠ 没有实数根．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：① 把方程化为一般形式．② 确定 a 、b 、c 的值．③ 计算24b ac -的值．④ 若 240b ac -≥，则代入公式求方程的根．⑤ 若240b ac -<，则方程无实数根．（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．因式分解法的一般步骤：① 将方程化为一元二次方程的一般形式；② 把方程的左边分解为两个一次因式的积；③ 令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④ 解出这两个一元一次方程得到原方程的解． 一元二次方程解法的灵活运用直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如 ax 2 = b 或 (x +a )2 = b (0)b ≥ 或 (ax +b )2 =(cx +d )2 的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（2）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx +c = 0(a 、b 、c 为常数，0a ≠) 转化为它的简单形式 Ax 2 = B ，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．（3）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算 24b ac -的值．（4）因式分解法：适用于右边为 0(或可化为 0)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．【例 1】（1） 若 x 2a +b -3x a-b +1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，求 a 、b 的值．（2） 若 n (n ≠0) 是关于 x 的方程 x 2 +mx +2n = 0 的根，则 m +n 的值为 ( )A. 1B. 2C. -1D. -2（3） 已知 43x =，则2421x x x ++的值是 .（4） 当 111552n n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，(.n x = （ n 为自然数）【例 2】（1） 用直接开平方法解方程：2269(5) 2x x x -+=-． （2） 用配方法解方程：22310x x ++=．（3） 用分解因式法解方程：2()2136x x -=-． （4） 用公式法解方程：161432)2(2x x x x ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭例 3】（1） 解关于 x 的方程： 21 213()()0m x m x m -+-+-=． （2） 解关于 x 的方程22656223200x xy y x y --++-=． 【例 4】（1）如果方程 22()2020x px q x qx p p q -+=-+=≠和 有公共根，则该公共根为 ．（2）若方程2222100ax ax x ax a +-=--=和有公共根，求a 的值例 5】（1） 解方程：22132(10)|2|x x ---+=．（2） 解方程：221|4|x x +-=．练习2 高次方程和无理方程知识点睛1.特殊高次方程的解法:一般的高次方程没有统一的求解方法. 对于一些特殊的高次方程, 可通过降次, 转化为一元二次方程或一元一次方程求解，转化的方法有因式分解法（因式定理）、换元法、变换主元法等.2. 特殊分式方程的解法:求解分式方程总的原则是通过去分母或换元, 使其转化为整式方程, 然后再求解. 在这个过程中离不开分式的恒等变形, 如通分、约分及降低分子的次数等等, 这就有可能使方程产生增根（或遗根）.3. 特殊无理方程的解法:解无理方程的基本思路是把根式转化为有理方程求解. 转化过程中常用的方法有: 乘方、配方、因式分解、等价变换、换元、增元、对偶、利用比例性质等. 如果变形过程是非等价变形（如方程两边平方）, 可能产生增根, 因此应注意验根.精讲精练【例 6】（1） 解方程：43225122560x x x x --++=．（2）解关于 x 的方程 ()()322212 0x t x tx t t +--+-=．（3）解方程 321010x x ++++=【例 7】（1）解方程：(8x + 7)2 (4x + 3)(x + 1)= 29 ；（2）解方程： x x x x x x +-=------2221120102910451069． （3）解方程：222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+．【例 8】（1）解方程：()()222323322x x x x x =+-++--． （2）解方程：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭． （3）方程()()3232232?47615180x x x x x x x x -+---++-+=全部实根是 ．【例 9】（12=．（2）解方程 266 0x x --+=．【例 10】（1）已知 2x =，求．（2）无理方程 221518x x -=-的解是 。
一元二次方程四大解法
解一元二次方程有四种常见的方法，分别是：
1. 因式分解法：将一元二次方程进行因式分解，将方程化简为两个一次方程相乘的形式，然后解出方程的根。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，可以因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，然后解出x 的值为-2 和-3。
2. 完全平方法：将一元二次方程表示成完全平方的形式，然后解方程。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，可以写成(x + 3)^2 = 0，然后解出x 的值为-3。
3. 公式法：利用求根公式解一元二次方程。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c 是已知常数，而x 是未知数。
根据求根公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)，可以计算出方程的根。
需要注意的是，当判别式b^2 - 4ac 小于0 时，方程没有实数根。
4. 完全平方差法：将一元二次方程表示成两个平方数之差的形式，然后解方程。
例如，对于方程x^2 - 4x - 5 = 0，可以写成(x - 2)^2 - 9 = 0，然后解出x 的值为 2 ±3。
以上是解一元二次方程的四种常见方法。
根据具体的方程形式和求解需求，选择适合的方法进行求解。
希望以上信息对你有所帮助。
一元二次方程的解法三公式法,因式分解法—知识讲解提高-精品
一元二次方程的解法（三）一公式法，因式分解法一知识讲解（提高）【学习目标】1 .理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程;2 .正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3 .通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想.【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1. 一元二次方程的求根公式一元二次方程“工'+bx+c=0\ah 0I,当A=62-Aac 之0时， 2. 一元二次方程根的判别式•元二次方程根的判别式：心=V — .3. 用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程./+必:+c=0|卜=①的步骤:①把一元二次方程化为一般形式；②确定a 、b>c 的值（要注意符号）；③求出/一4姓的值;④若川-4公之0,则利用公式工=.土 .求出原方程的解;2a若川-4"<0,则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的 选用.（2） 一元二次方程o^+^+cuOmwO ）,用配方法将其变形为：（.+与2J-产2cl4a①当△=〃—4ac>0时，右端是正数.因此，方程有两个不相等的实根：x l2=—— --------------------------b± Jb 2 - 4ac x --------- - 2a①当A =b 2 -4ac > 0时， 原方程有两个不等的实数根内， -b± - 4ac②当A =b 2 -4ac = 0时，原方程有两个相等的实数根勺=与=- ③当A = b" — Aac <。
时， 原方程没有实数根.’2a②当A=〃一4QC=O时，右端是零.因此，方程有两个相等的实根：x I?=-A1122a③当△=〃—4ac<0时，右端是负数.因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤(1)将方程右边化为0：(2)将方程左边分解为两个一次式的积；(3)令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法(平方差公式、完全平方公式)，十字相乘法等.要点诠释：(1)能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0,另一边可以分解成两个一次因式的积；(2)用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0;(3)用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.解关于x的方程(〃2+九)工2+(4加一2九)戈+〃-5m=0.【答案与解析】(1)当m+n=0且m#0,n#0时，原方程可化为(4机+2机)x-m—57n=0.,:mWO,解得x=l.(2)当m+n#O时，•/a=m+n,b=4m-2n,c=n-5m./.b~-4ac=(4m-2/i)2- +n)(n-5m)=36m2>0,. 2n-4m±J36m22n-4帆土16m\••X=- 92(根+〃) 2。
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a2 和 b2 的符 号相反
(1)(m a)2 (n b)2
(2)49(a b)2 16(a b)2
(3)(x 2 y 2 ) 2 4 x 2 y 2
4、简便计算：
(4)3ax4 3ay4
(1)5652 4352
1 1 (2)( 65 ) 2 (34 ) 2 2 2
知识储备
1、将多项式 a2-b2 进行因式分解
说说 a -b 平方差公式)的特点
2
2(
探 究 发 现
(1)公式左边： (2) 公式右边 2、下列多项式能转化成（ ）２－（ ）２的形式吗？如果能，
请将其转化成（ ） －（ ） 的形式。
２ ２
(1) m2 －81
(4) a2x2 －25y 2 3、例题学习
天星乡中心学校八年级数学“335S”课堂模式导学案
班级 姓名 主备 朱丽清 执教 教导处审批
课 题 目 标
4. 3
公式法（一）
1、理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性。 2、会用平方差公式进行因式分解。 重点：让学生掌握运用平方差公式分解因式。 难点：将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式。
重难点 辅导材料
导学案（PPT） 与手段 教学环节 复 习 导 入 学习内容
填空： （1） （x+5） （x-5） = （2） （3x+y） （3x-y）= （3） （3m+2n） （3m–2n）= 它们的结果有什么共同特征？尝试将它们的结果分别 写成两个因式的乘积： X2-25= 9x2-25 = 9m2-4n2=
(2) 1 －16b2
(3) 4m2+9
(5) －x2 －25y2
1
(1)25 16x 2
4、分解因式
1 (2)9a 2 b 2 4
先确定 a 和 b
(1)
4 ( 2m n) 2 25
(2)9(m n) 2 (m n)2 (3)4x3 9 xy2
1、下列多项式可不可断正误
x2 y 2
x2 y 2
x 2 ( y ) 2
运 用 检 测
(1) x 2 y 2 ( x y)(x y);
(2) x 2 y 2 ( x y)(x y);
(3) x2 y 2 ( x y)( x y); (4) x 2 y 2 ( x y)(x y).
课堂反思 自我评价 预习作业 预习 4.3 公式法（2）
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