43多项式方法求特征值问题.doc
多项式特征值问题的数值方法
求解大型复杂结构特征值问题的Lanczos分布式并行算法研究IV图表清单图 1.1自由度弹簧-质点系统 (3)图 3.1单质量弹簧系统 (22)图 3.2 n自由度阻尼的弹簧-质点系统 (25)图 3.3 GJD和QJD方法的残差范数随迭代次数增加的变化 (26)图 3.4 GJD和QJD方法的残差范数随迭代次数增加的变化 (27)表 2.1 Case 1的结果和比较12表 2.2 Case 2的结果和比较 (12)表 2.3 Case 3的结果和比较 (13)表 2.4 Case 4的结果和比较 (14)表 3.1 CPUtime比较 (26)表 3.2 CPUtime比较 (28)表 3.3特征值比较 (28)承诺书本人声明所呈交的硕士学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得南京航空航天大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。
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（保密的学位论文在解密后适用本承诺书）作者签名：日 期：南京航空航天大学硕士学位论文1第一章 绪论1.1多项式特征值问题的来源我们考虑m 次的矩阵多项式（或λ-矩阵）110(,),m m m m P A A A A λλλ−−=+++L （1.1） 其中,0:n nk A k m ×∈=£。
多项式特征值问题（PEP ）是要找到一个特征值λ和相应的非零特征向量x 满足(,)0.P A x λ=m=1的情况对应于广义特征值问题（GEP ）A xB xλ=并且如果0A I =，我们得到标准特征值问题（SEP ）.A x x λ= （1.2）另一个重要的情况是当m=2时，这时就是二次特征值问题（QEP ）[1]。
特征多项式的计算公式
特征多项式的计算公式
设n阶方阵A=(a_ij)，则A的特征多项式为f(λ)=|λ I - A|，其中λ为特征值，I为n 阶单位矩阵。
1. 二阶方阵的特征多项式计算示例。
- 设二阶方阵A=(ab cd)。
- 首先写出λ I - A，其中I=(10 01)，则λ I - A=(λ - a-b -cλ - d)。
- 然后计算其行列式f(λ)=|λ I - A| = (λ - a)(λ - d)-(-b)( - c)=λ^2-(a + d)λ+(ad - bc)。
2. 三阶方阵的特征多项式计算示例。
- 设三阶方阵A = (a_11a_12a_13 a_21a_22a_23 a_31a_32a_33)。
- 计算λ I - A=(λ - a_11-a_12-a_13 -a_21λ - a_22-a_23 -a_31-a_32λ - a_33)。
- 其特征多项式f(λ)=|λ I - A|，按三阶行列式展开法则计算：
- f(λ)=λ^3-(a_11+a_22+a_33)λ^2+(a_11a_22+a_11a_33+a_22a_33-a_12a_21-a_13a_31-a_23a_32)λ-| A|。
在高中数学人教版教材中，特征多项式相关内容可能在选修部分有所涉及，主要是为了引入矩阵的特征值和特征向量等概念做铺垫。
掌握特征多项式的计算是理解矩阵特征相关知识的基础。
§4 特征值、特征向量与特征多项式.
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辽东学院教案纸
课程：高等代数
A
x1
x2
=0
x1
x2
(0 I n
A)
x1
x2
0
0
．
(2)
xn 0
因为 ，所以齐次线性方程组(2)有非零解．因此系数行列式
4.1 定义与求法
设 V 是数域 F 上的向量空间，∈EndV．
定义 1 设0∈F，若存在 V 中一个非零向量，使得
( ) 0 ，
(1)
则称0 是的一个特征值，是的属于特征值0 的一个特征向量．
显然，若是的属于特征值0 的一个特征向量，则对于k∈F，
都有
(k) k () k0 0 (k) ． 因此，任一非零向量 k(k≠0)都是属于0 的特征向量．
一个特征值，则0 是 A 的特征多项式 f A() 的根，即 f A(0 ) =0． 假设线性变换在 V 的另一个基下的矩阵是 B，则容易证明 A 与
B 有相同的特征多项式．也就是说，相似矩阵有相同的特征多项式．事 实上，设存在可逆矩阵 T，使 B T 1AT ，则
I n B T 1I nT T 1 AT T 1(I n A)T ． 所以由行列式的乘法定理有
( a11)( a22 )( ann )
(5)
里．这个行列式的展开式的其余的项至多含有 n 2 个主对角线上的
元素．因此，f A() 是乘积(5)与一个至多是的 n 2 次多项式的和．因 此， f A() 中次数大于 n 2 的项只出现在乘积(5)里．所以
求解特征多项式
求解特征多项式
特征多项式是一个重要的数学概念，在线性代数和微积分等学科中都
有广泛的应用。
求解特征多项式的方法有很多种，其中最常用的是基
于矩阵的线性代数方法。
本文将介绍特征多项式的概念、性质及其求
解方法。
一、特征多项式的定义
特征多项式是一个关于矩阵特征值的多项式。
假设A是一个n阶方阵，其特征多项式为：
f(λ) = det(A - λI)
其中，I是n阶单位矩阵，λ是一个未知数，det代表行列式的意思。
二、特征多项式的性质
1. 特征多项式的次数为n，其系数为实数或复数。
2. 特征多项式的根是矩阵的特征值，即A的任意一个特征值都满足
f(λ)=0。
3. 特征多项式的系数可以用A的矩阵元素表示，即f(λ)=λ^n -
a1λ^(n-1)+a2λ^(n-2)-...+(-1)^n an。
三、特征多项式的求解方法
1. 利用定义式直接展开det(A - λI)，将它化为多项式的形式，然后求解方程f(λ) = 0，即可得到所有的特征值λ1,λ2,...,λn。
2. 高斯-约旦消元法。
对于一个n阶矩阵A，其特征多项式可以通过对矩阵A - λI的行列式化简后得到。
具体来说，可以先将A-λI进行高斯-约旦消元化为上三角矩阵，然后根据行列式的性质求得特征多项式。
3. 特征多项式的求解方法还包括拉普拉斯展开法、Cayley-Hamilton 定理等。
综上所述，特征多项式作为矩阵的重要性质，在数学研究和实际应用中都有广泛的应用。
根据实际问题的不同，可以采用不同的方法求解特征多项式，进而得到矩阵的特征值和特征向量。
特征向量和特征值问题的数学分析方法
特征向量和特征值问题的数学分析方法在数学领域中，特征向量和特征值是矩阵论中非常重要的概念。
它们在线性代数、数值计算和物理学等学科中都有广泛的应用。
本文将重点介绍特征向量和特征值问题的数学分析方法，帮助读者深入理解这一概念并掌握解决相关问题的技巧。
一、特征向量和特征值的定义在矩阵论中，给定一个n阶方阵A，如果存在非零向量x使得Ax = λx成立，其中λ是一个常数，则称向量x为矩阵A的特征向量，常数λ为对应的特征值。
特征向量表示了在矩阵作用下方向不变的向量，特征值则表示了此方向上的伸缩比例。
特征向量和特征值往往以矩阵的形式表示，特征向量矩阵X（包含了每一个特征向量）和特征值矩阵Λ（对角线元素为特征值，其余元素为零）满足AX = XΛ的关系。
由此可见，特征向量是通过矩阵A左乘特征向量矩阵获得的。
二、求解特征向量和特征值的方法1. 特征多项式法通过求解特征多项式可以得到矩阵的特征值。
特征多项式由方阵A 减去λI得到，其中I为单位矩阵。
求解特征多项式的根，即可得到特征值λ。
2. 特征向量分解法对于已知的特征值，我们可以通过代入方程Ax = λx来求解特征向量。
由于特征向量是在一系列相似矩阵中共享的，因此可以通过类似对角化的过程获取一组特征向量。
3. 幂法幂法是一种数值迭代的方法，用于求解最大的特征值和相应的特征向量。
它的基本思想是通过不断迭代一个向量，使其趋近于矩阵A的特征向量。
幂法迭代过程中，向量的模长不断增大，最终收敛到最大特征值所对应的特征向量。
4. QR方法QR方法是一种求解特征值和特征向量的迭代算法。
该方法通过将矩阵A分解成QR的形式，并迭代QR的乘积，得到逼近矩阵的特征值和特征向量。
QR方法相对于幂法更加稳定和快速，是较常用的数值方法之一。
三、特征向量和特征值问题的应用特征向量和特征值在许多学科中都有广泛应用。
在线性代数中，它们用于矩阵相似和矩阵的对角化。
在数值计算中，特征向量和特征值问题与矩阵的谱半径和谱条件数相关联，对于解决线性方程组和最优化问题具有重要意义。
特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量的求解方法
特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量的求解方法特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，广泛应用于许多领域，如物理学、工程学和计算机科学等。
在本文中，我们将探讨特征值和特征向量的定义、求解方法及其在实际问题中的应用。
一、特征值与特征向量的定义特征值是一个矩阵所具有的与矩阵的线性变换性质有关的一个数值，特征向量是对应于特征值的非零向量。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x和一个数λ，使得满足Ax=λx，那么λ就是矩阵A的一个特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。
二、求解特征值与特征向量的方法有几种方法可以求解特征值和特征向量，其中比较常用的是特征多项式法和迭代法。
1. 特征多项式法特征多项式法是通过求解特征方程的根来得到特征值。
对于一个n阶矩阵A，其特征多项式定义为det(A-λI)=0，其中I是n阶单位矩阵，det表示行列式运算。
将特征多项式置为零，可以得到n个特征值λ1，λ2，...，λn。
将每个特征值代入原矩阵A-λI，解线性方程组(A-λI)x=0，就可以得到对应的特征向量。
2. 迭代法迭代法是通过不断迭代矩阵的特征向量逼近实际的特征向量。
常用的迭代方法包括幂法、反幂法和Rayleigh商迭代法。
幂法是通过不断迭代向量Ax的归一化来逼近特征向量，其基本原理是向量Ax趋近于特征向量。
反幂法是幂法的反向操作，通过求解(A-λI)y=x逼近特征向量y。
Rayleigh商迭代法是通过求解Rayleigh商的最大值来逼近特征向量，其中Rayleigh商定义为R(x)=x^T Ax/(x^T x)，迭代公式为x(k+1)=(A-λ(k)I)^(-1)x(k)，其中λ(k)为Rayleigh商的最大值。
三、特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在实际问题中有广泛的应用。
其中，特征值可以用于判断矩阵是否可逆，当且仅当矩阵的所有特征值均不为零时，矩阵可逆。
特征向量可用于描述矩阵的稳定性和振动状态，如在结构工程中可以通过求解特征值和特征向量来分析物体的固有频率和振动模态。
求矩阵特征值的方法
求矩阵特征值的方法矩阵特征值是矩阵理论中的一个重要概念，它在许多领域中都有着广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
求矩阵特征值的方法有多种，下面将介绍其中的三种常用方法。
一、特征多项式法特征多项式法是求矩阵特征值的一种常用方法。
它的基本思想是将矩阵A与一个未知数λ相乘，得到一个新的矩阵B=A-λI，其中I为单位矩阵。
然后求解矩阵B的行列式，得到一个关于λ的多项式，称为特征多项式。
矩阵A的特征值就是使特征多项式等于零的λ值。
具体步骤如下：1. 构造矩阵B=A-λI。
2. 求解矩阵B的行列式det(B)。
3. 解特征多项式det(B)=0，得到矩阵A的特征值λ。
二、幂法幂法是求矩阵特征值的一种迭代方法。
它的基本思想是从一个任意的非零向量开始，不断地将其乘以矩阵A，直到向量的方向趋于特征向量的方向，同时向量的模长趋于特征值的绝对值。
具体步骤如下：1. 选择一个任意的非零向量x0。
2. 迭代计算xn+1=Axn/||Axn||，其中||Axn||为Axn的模长。
3. 当xn+1与xn的差值小于某个预设的精度时，停止迭代，此时xn 的模长即为矩阵A的最大特征值，xn/||xn||即为对应的特征向量。
三、QR分解法QR分解法是求矩阵特征值的一种数值方法。
它的基本思想是将矩阵A 分解为QR，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。
然后对R进行迭代，得到一个对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
具体步骤如下：1. 对矩阵A进行QR分解，得到A=QR。
2. 对R进行迭代，得到一个对角矩阵D，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
以上三种方法都有其优缺点，具体选择哪种方法取决于实际应用场景和计算需求。
在实际应用中，还可以结合多种方法进行求解，以提高计算精度和效率。
特征值问题的计算方法
Gi ( A) = { z ∈ C : z − aii ≤ ∑ aij }; i = 1,L , n
j≠i
则 λ ( A) ⊂ G1 ( A) ∪ G2 ( A) ∪ L ∪ Gn ( A)
（ 分解定理） Th8.1.4 谱分解定理）/*Spectral Decomposition*/ n× n n× n 对称矩阵 则存在正交 矩阵， 正交矩阵 设 A ∈ R 为对称矩阵，则存在正交矩阵Q ∈ R T 使得 Q AQ = Λ = diag ( λ1 ,L , λn ) 个特征值。 其中 λ1 ,L , λn 是 A 的n个特征值。 个特征值 定理） （极大极小定理 Th8.1.5 极大极小定理） 对称矩阵 矩阵， 设 A ∈ R n× n 为对称矩阵，且 A的特征值为 λ1 ≥ λ2 ≥ L ≥ λn
∀u0 , u0
∞
=1
设
yk = Auk −1 µk = yk ∞ yk uk =
For k=1,2,3,…
uk 和 µk均收敛，由算法知 收敛， 算法知 Auk −1 = µk uk
lim Auk −1 = lim µk lim uk
k →∞ k →∞ k →∞
Ax = λ1 x
uk
∞
µk → λ1
其中J (λi ) = diag( J1 (λi ), ,L , J k (λi )) ∈ C ni ×ni ;1 ≤ i ≤ r i
λi J j ( λi ) =
1
λi
且除了 J j (λi ) 的排列 O 次序外 J 唯一的 次序外， 是唯一的。 O 1 λi J 称作 A 的Jordan标准型 标准型
n× n
是可对角化的 存在如下分解： 是可对角化的，即 A 存在如下分解： 对角化
特征值问题与特征多项式
特征值问题与特征多项式当我们研究一个线性映射时，特征值问题和特征多项式是非常重要的概念。
特征值问题指的是寻找一个线性映射的特征向量和对应的特征值，而特征多项式则是通过特征向量和特征值来描述线性映射的性质和行为。
在线性代数中，一个n维向量空间V上的线性变换T称为一个线性映射。
给定V的一个非零向量x，如果存在一个标量λ使得T(x) = λx，则称x为T的一个特征向量，而λ为对应的特征值。
注意到，特征向量可以为零向量，但特征值一般不为零。
寻找特征向量和特征值的过程，可以转化为求解一个关于λ的方程。
假设A是T对应的线性映射的矩阵表示，则特征向量x满足Ax = λx。
我们可以将方程重写为(A-λI)x = 0，其中I是单位矩阵。
显然，方程有解当且仅当(A-λI)的行列式为零。
这样，我们就得到了一个关于λ的多项式，称为特征多项式。
特征多项式的求解可以采用多种方法，其中一种常用的方法是展开(A-λI)的行列式。
由于(A-λI)是一个n维矩阵，它的行列式是一个n次多项式。
我们可以通过求解特征多项式的所有根来得到特征值。
一旦得到特征值，我们可以根据特征值求解特征向量，从而完整地描述线性映射的性质。
特征值问题和特征多项式在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，特征值问题可以用来描述量子力学中的粒子态。
在工程学中，特征值问题可以用来解决结构分析和振动问题。
在计算机科学中，特征值问题可以用来解决图像处理和数据压缩问题。
特征值问题与特征多项式的研究不仅有理论上的意义，还有着实际的应用。
通过求解特征值和特征向量，我们可以了解线性映射的本质和特性。
同时，特征值问题也为我们提供了一种有效的方法来求解线性系统，并应用到各个领域中。
总之，特征值问题和特征多项式是线性代数中的重要概念。
它们不仅有着深入的理论基础，还有着广泛的应用价值。
通过对特征值问题和特征多项式的研究，我们可以深入了解线性映射的本质和行为，从而应用到实际问题中。
特征值与多项式
设A为n阶方阵,若存在数λ和非零的 n维列向量x,使得 Ax=λx (1) 则称数λ为矩阵 A的特征值,称 x为矩阵A对应于特征值λ的
特征向量.
设x是对应于特征值λ的特征向量,由于 A(kx)=k(Ax)=k(λx)= λ(kx) k≠0 , 所以,kx也是A的对应于特征值λ的特征向量.这说明特征向量不 是被特征值唯一决定的.但是,特征值是被特征向量唯一决定的. 因此一个特征向量只属于一个特征值.
(2) 1 2
(注 : trA称为矩阵A的迹)
证 (1)由于1 , 2 , , n为A的特征值, 故 | I A | ( 1 )( 2 ) ( n ) = n (1 2 令 0, 得 | A | () 12
n
n ) n1
(1)n 12
n
n ,即 | A | 12
n
(2) 由于 a11 a12 a21 a22 | I A |
an1 an 2
a1n a2 n
Байду номын сангаас ann
的行列式的展开中, 注对角线的乘积 ( a11 )( a22 ) ( ann ) 是其中的一项,再由行列式的定义可知:展开式中的其余项至多 包含n-2个主对角线上的元素,因此|I-A|中含 n与 n 1的项只能 在主对角线元素乘积项中出现,故有
得基础解系
p2 (1, 4, 0)T ,p3 (1, 0, 4)T
所以k2 p2 k3 p3 (k2 , k3不全为零)是对应于
2 3 2的全部特征向量.
由例题知道,矩阵A的特征值之和1 2 3 3, 而矩 A的特征值之积12 3 4, 而矩阵A的行列式 | A | 4,当
多项式特征值的迭代解法
多项式特征值的迭代解法
多项式特征值的迭代解法是一种通过迭代计算逼近多项式的特征值的方法。
该方法的基本思想是先猜测一个特征值的近似值，然后通过迭代计算逐渐逼近真实的特征值。
具体的迭代算法如下：
1. 随机选择一个初始特征值的近似值x0。
2. 对于每一次迭代k，计算下一个近似值xk+1 = f(xk)，其中f(x)是多项式的特征方程。
可以使用多项式的特征方程展开为多项式后，对xk进行代入计算得到xk+1。
3. 如果xk+1与xk之间的差值小于一定的阈值，那么停止迭代，xk+1即为多项式的特征值的近似值；否则，返回第2步。
需要注意的是，迭代解法并不能保证得到多项式的所有特征值，只能得到其中的一个或几个。
此外，迭代解法的收敛性和速度也取决于初始特征值的选择和多项式的特征方程的性质。
迭代解法的优点是简单易实现，适用于一些特殊的多项式特征值计算问题。
但对于一般的多项式特征值计算问题，其他的方法如QR 算法、幂迭代法等可能更为有效。
特征值的求法
特征值的求法
特征值是线性代数中的一个重要概念，主要用于描述矩阵的某些重要性质。
对于方阵，特征值可以通过求解特征多项式得到。
以下是特征值的基本求法：
1.写出矩阵A的特征多项式f(λ)。
对于n阶矩阵A，其特征多项式为f(λ)=|λE-A|，其中E是n阶单位矩阵。
2.求解特征多项式f(λ)=0的根，这些根就是矩阵A的特征值。
这个方程的解可能是一个或多个实数，也可能是复数。
3.对于每个解出的特征值λ，求解齐次线性方程组(λE-A)x=0的非零解x，这个解x就是对应于特征值λ的特征向量。
以上步骤是求解特征值和特征向量的基本方法。
需要注意的是，对于具体的矩阵，可能需要根据其特点选择合适的求解方法，例如对于大型稀疏矩阵，可能需要使用迭代法等数值方法求解特征值和特征向量。
此外，对于一些特殊的矩阵，如对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵等，其特征值和特征向量具有一些特殊的性质，可以利用这些性质简化求解过程。
以上信息仅供参考，如需更多信息，建议查阅线性代数相关书籍或咨询专业教师。
求特征值的计算技巧
求特征值的计算技巧
特征值的计算可以通过多种方法进行，这里介绍两种常用的方法：特征多项式法和幂法。
特征多项式法是求解特征值的一种常用方法。
对于一个n×n的矩阵A，其特征多项式定义为p(λ) = A-λI = det(A-λI)，其中，I是n×n单位矩阵，det表示行列式。
特征多项式的根就是矩阵A的特征值。
通过计算特征多项式的根，我们可以求解矩阵A的所有特征值。
幂法是求解矩阵特征值中的最大特征值的一种有效方法。
它的基本思路是通过迭代来逼近最大特征值和对应的特征向量。
具体步骤如下：
1. 选取初始向量v0，通常选取单位向量或随机向量。
2. 计算迭代向量v1 = Av0。
3. 归一化迭代向量v1 = v1 / v1，其中v1表示v1的范数。
4. 计算最大特征值和对应的特征向量。
5. 重复步骤2-4，直到满足收敛条件或达到预设的迭代次数。
在应用幂法时，需要注意以下几点：
1. 初始向量的选取对收敛速度和精度都有影响，应该根据矩阵A的特点选择合适的初始向量。
2. 在迭代过程中，需要保持迭代向量的正交性，避免出现迭代向量之间的相互干扰。
3. 幂法只能求解矩阵特征值中的最大特征值和对应的特征向量，对于其他特征值和特征向量需要采用其他方法进行求解。
4. 在求解过程中，可能会出现数值不稳定或溢出等问题，需要进行适当的数值稳定和误差控制。
除了上述两种方法外，还可以使用其他方法如QR算法、Jacobi方法等来计算矩阵的特征值。
不同方法各有优缺点，需要根据具体情况选择合适的方法进行计算。
特征向量和特征值的求法
特征向量和特征值的求法在线性代数中，特征向量和特征值是非常重要的概念。
它们在矩阵的分析和应用中有着广泛的应用。
本文将介绍特征向量和特征值的定义、求法以及它们的应用。
特征向量和特征值的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k为一个常数，那么x就是A的一个特征向量，k就是A的对应的特征值。
特征向量和特征值是成对出现的，一个特征向量对应一个特征值。
特征向量和特征值的求法求解特征向量和特征值的方法有很多种，下面介绍两种常用的方法。
方法一：特征多项式法对于一个n阶方阵A，其特征多项式为f(λ)=|A-λI|，其中I为n阶单位矩阵。
求解特征值就是求解f(λ)=0的根。
求解特征向量就是将特征值代入(A-λI)x=0中，解出x。
方法二：幂法幂法是一种迭代方法，用于求解矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
具体步骤如下：1. 任意选择一个非零向量x0作为初始向量。
2. 迭代计算xk+1=Axk/||Axk||，其中||Axk||为Axk的模长。
3. 当xk+1与xk的差距小于某个阈值时，停止迭代。
此时xk+1就是A的最大特征值对应的特征向量。
特征向量和特征值的应用特征向量和特征值在矩阵的分析和应用中有着广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用。
1. 矩阵的对角化对于一个n阶方阵A，如果存在n个线性无关的特征向量，那么A 可以对角化，即存在一个对角矩阵D和一个可逆矩阵P，使得A=PDP^-1。
对角化后的矩阵D的对角线上的元素就是A的特征值。
2. 矩阵的相似性如果存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP^-1，那么A和B是相似的。
相似的矩阵具有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量。
3. 矩阵的谱半径矩阵的谱半径是指矩阵的所有特征值的模长的最大值。
谱半径在控制论、信号处理等领域有着广泛的应用。
总结本文介绍了特征向量和特征值的定义、求法以及应用。
特征向量和特征值在矩阵的分析和应用中有着广泛的应用，掌握它们的求法和应用可以帮助我们更好地理解和应用线性代数的知识。
特征值求解方法
特征值求解方法嘿，咱今儿就来唠唠特征值求解方法这档子事儿！咱先说说这特征值是啥玩意儿啊。
就好比一个人有自己独特的性格特点，矩阵也有它的特征值呀！这特征值可重要啦，能帮我们更好地理解矩阵的一些本质属性呢。
那咋求解特征值呢？有个常见的方法叫行列式法。
就好像我们要找到宝藏，得先知道宝藏图怎么看一样。
我们通过计算一个特定的行列式，就能找到特征值啦。
你想想，这是不是挺神奇的？就那么一个式子算一算，特征值就冒出来啦！还有一种方法呢，叫特征多项式法。
这就好像是给矩阵做了一个特殊的“画像”，通过这个“画像”就能找到它的特征值。
是不是挺有意思的？比如说，给你一个矩阵，你就得像个侦探一样，去寻找它的特征值线索。
这过程可不简单哦，但一旦你找到了，那种成就感，哇，别提多棒啦！你看啊，数学世界里的这些方法，就像是我们生活中的各种技巧。
我们要学会运用它们，才能更好地解决问题呀。
就好像你要学会骑自行车，得先掌握平衡和踩踏的技巧一样。
求解特征值也是这样，需要我们耐心去钻研，去实践。
也许一开始会觉得有点难，但是别怕呀，多试试，多练练，总会找到感觉的。
咱再打个比方，求解特征值就像是爬山，一开始可能觉得累，觉得难爬，但只要你坚持往上爬，一步一步地，总能爬到山顶，看到美丽的风景呀！而且哦，掌握了这些求解方法，你会发现数学的世界更加奇妙啦！就像打开了一扇通往新世界的大门，里面有好多好多有趣的东西等你去探索呢。
所以呀，别小瞧了这特征值求解方法，它可是数学领域里的一把钥匙呢，能帮我们打开好多知识的宝库哦！大家可得好好学，好好用呀！别等要用的时候才发现自己还没掌握好呢！你说是不是这个理儿？。
43多项式方法求特征值问题
4．3多项式方法求特征值问题4.3.1 F-L 方法求多项式系数我们知道，求n 阶方阵A 的特征值就是求代数方程0||)(=-=I A λλϕ （4.3.1） 的根。
)(λϕ称为A 的特征多项式。
上式展开为n n n n p p p ++++=--.....)(2211λλλλϕ （4.3.2） 其中n p p p ,...,21为多项式)(λϕ的系数。
从理论上讲，求A 的特征值可分为两步：第一步 直接展开行列式|I A λ-|求出多项式)(λϕ；第二步 求代数方程0)(=x ϕ的根，即特征值。
对于低阶矩阵，这种方法是可行的。
但对于高阶矩阵，计算量则很大，这种方法是不适用的。
这里我们介绍用F-L （Faddeev-Leverrier ）方法求特征方程（4.3.2）中多项式)(λϕ的系数。
由于代数方程求根问题在第2章中已经介绍，所以本节中解决特征值问题的关键是确定矩阵A 的特征多项式)(λϕ，所以称这种方法为多项式方法求特征值问题。
记矩阵A=n n ij a ⨯)(的对角线元素之和为nn a a a trA +++=...2211 （4.3.3）利用递归的概念定义以下n 个矩阵:),....,2,1(n k B k =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=-==----),(................),(...............),(),(,11112231121I p B A B I p B A B I p B A B I p B A B A B n n n k k k n n k k trB n p trB k p trB p trB p trB p 113121332211===== （4.3.4）可以证明,(4.3.4)式中,,...,2,1,n k p k =即是所求A 的特征多项式)(λϕ的各系数。
用（4.3.4）式求矩阵的特征多项式系数的方法称为F-L 方法。
相应特征方程为：0).....()1(2211=-------n n n n n p p p λλλ （4.3.5） 而且可证矩阵A 的逆矩阵可表示为)(1111I p B p A n n n ----=(4.3.6)例1 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=324202423A的特征值与1-A .解 用F-L 方法求得 831800080008)(152111242824211)(63242024233322322112111==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-===⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-===⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==trB p I p B A B trB p I p B A B trB p A B所以A 的特征方程为0)8156()1(233=----λλλ 此方程的根,即特征值为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-=-=-==-214121418741214121)(11,1,82231321I p B p A λλλ 从例1中的计算结果可知.33I p B =Faddeev 曾经证明: 对n 阶矩阵A,按(4.3.4)式计算出的n B 总有I p B n n = (4.3.7)4.3.2 特征向量求法当矩阵A 的特征向量确定以后,将这些特征值逐个代入齐次线性程组(I A λ-)x=0中,由于系数矩阵I A λ-的秩小于矩阵I A λ-的阶数n,因此虽然有n 个方程n 个未知数,但实际上是解有n 个未知数的相互独立的r 个方程(r<n). 当矩阵A 的所有特征值互不相同时,这样的问题中要解的齐次方程组中有n-1个独立方程,其中含有n 个特征向量分量,因此特征向量分量中至少有一个需要任意假设其值,才能求出其他特征分量.在计算机中解这样的齐次线性程组,可用高斯-若当消去法,以便把一组n 个方程简化为等价的一组n-1个方程的方程组.然而,用高斯-若当消去法简化一个齐次线性程组时,方程之间不都是独立的,在消去过程中系数为零的情况较多.必需交换方程中未知数的次序,以避免主元素位置上为零的情况.因此,为了提高精度和避免零元素的可能性,我们总是用主元素措施把绝对值最大的系数放于主元素位置.例如,假设矩阵A 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=142235224A 其特征方程为λλλ------142235224=0 展开后为 0)5)(2)(1(=---λλλ 故特征值分别为5,2,1321===λλλ下面求特征向量，将1λ代入方程组0)(=-x I A λ中，得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=-+004202250223321321321x x x x x x x x x （4.3.8）以-5为主元素,交换上式第一与第二个方程得⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+=++-004202230225321321321x x x x x x x x x (4.3.9)用高斯-若当消去法消去-5所在列中的1x ,并把主元素所在行调到最后,得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=-+=-+0525205451600545160321321321x x x x x x x x x (4.3.10)再以16/5为主元素,消去它所在列中的2x ,并把主元素所在的行调到最后,得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=-+=++041002100000321321321x x x x x x x x x (4.3.11)这就是用高斯若当消去法实现把一组三个方程简化为等价的一组两个独立方程的情形.因为这个等价的方程组包含两个独立的方程,而有三个未知数，所以只要假定其中一个值,则其它两个值就可以通过两个独立方程解出.比如,令13-=x ,则得到矩阵A 的对应于11=λ的一个特征向量为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---14121 对另外两个特征值的对应特征向量求法与上述对11=λ的推导过程相同.计算机中实现求解这样的齐次线性方程组的消去步骤是,用第3章讨论过的高斯-若当消去法的公式,方程组(4.3.9)的系数矩阵经过第一次消去后的矩阵B 为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=52545452516516B (4.3.12)以矩阵为方程组(4.3.10)的系数矩阵,其中省略了有0和1元素的第一列.在进行第二次消元之前,要应用完全主元素措施对前两行进行最大主元素选择,然后再进行必要的行或列交换.每完成一次消元过程,总省略只有0和1元素的第一列,并且计算机仅寻找矩阵的前n-k 行中的最大主元素,其中k 是消元过程应用的次数.对(4.3.12)式再进行一次消元过程,则得到列矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=412101B (4.3.13) 此矩阵是对应于方程组(4.3.11)的系数矩阵,不过省略了含0和1元素的前两列.一般来说,最后矩阵列的数目等于矩阵I A λ-的阶数和秩的差值.由于方程组(4.3.8)有三个未知数,两个独立方程,所以计算机必须任意给定一个未知数的值,以便可以从其他两个独立方程中解出另外两个未知数.为方便，在计算机决定特征向量时,要恰当地设定任意选取的未知数的值.例如,令13-=x ,由方程组(4.3.11)知道,其他两个分量的值正好能从含3x 的非零系数项得出.为此,从计算机所存储的最终矩阵中,令1B 最上面的0元素为-1,并把它顺次调到最下面第三行的位置上,就得到所求的特征向量T)1,41,21(---. 在工程问题中,从特征方程所求出的特征值,少数情形也有相同的.一般地,当一个特征方程有k 重根λ时,矩阵I A λ-的秩可能比其阶数少1,或2,或3,…,或k,当然对应于λ的线性无关的特征向量的个数也就是1,或2,或3,…,或k,下面通过一个特征值对应两个线性无关特征向量的例子进一步说明计算机求特征向量的方法.设矩阵A 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=324202423A 其特征方程为032422423=---λλλ展开后得 0)8()1(2=-+λλ 所以特征值为8,1321=-==λλλ为了决定1-=λ的特征向量,将1-=λ代入方程组(I A λ-)x=0,得0424212424321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x (4.3.14)应用一次高斯-若当消去法,得01002/100100321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x (4.3.15)写成矩阵形式,(4.3.15)式的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1002/100B (4.3.16) 因为方程组(4.3.15)的系数矩阵的秩为1,它比矩阵阶数少2,因此对应于1-=λ有两个线性无关的特征向量,必须给两个未知数任意规定值,才能确定这两个线性无关的特征向量,由（4.3.15）式可看出,一般总是选择0,132=-=x x 求一个特征向量;选择1,032-==x x 求另一个特征向量;这样有两个线性无关的特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012/1, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101计算机中求两个线性无关的特征向量的办法是,在(4.3.16)式的B 中,把第一列中第一个0元素用-1代替,第二列中第二个0元素也用-1代替,然后把第一、第二行顺次调到最下面一行的位置上，第三行自然就成了第一行，如此调换后矩阵的第一列和第二列就是所求的两个线性无关的特征向量。
求矩阵的特征值和特征向量例题
求矩阵的特征值和特征向量例题一、背景特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们是描述矩阵特性的两个重要参数，在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。
本例题将介绍如何求矩阵的特征值和特征向量，并通过例题加深对相关概念和方法的理解。
二、方法求矩阵的特征值和特征向量的方法主要有两种：特征多项式法和特征向量法。
1.特征多项式法：通过求解矩阵的行列式，得到其特征多项式，进而求得特征值，再通过解特征方程得到特征向量。
这种方法适用于求解特征值不重合且特征向量个数等于矩阵阶数的情况。
2.特征向量法：通过求解矩阵与向量间的关系，得到特征向量。
这种方法适用于求解任意矩阵的特征值和特征向量。
三、例题解析【例1】已知矩阵A=1-120求它的特征值和特征向量。
解法1：特征多项式为f(λ)=|-λ-A|=0，即：(-λ-1)(λ²+3λ+2)=0解得：λ1=1，λ2=-2由于λ2=-2是重根，只需解方程|A-2E|=0得一个特征向量。
得：(-2-ξ)ξ²-4ξ+1=0，解得：ξ=1或ξ=0.5当ξ=0.5时，λ=λ¹=1时，A-2E的行列式为0，所以舍去。
所以特征值为λ¹=1，λ₂=-2，对应的特征向量为(1,-1,0)T和(0,2,1)T。
解法2：设Aξ=λξ，代入数据得：(-1,-ξ)×(ξ²-3ξ-2)=0，解得：ξ=1或ξ=-2当ξ=-2时，λ¹=1时，A-2E的行列式为0，所以舍去。
所以特征值为λ₁=1，λ₂=-2，对应的特征向量为(ξ₁,-ξ₁,0)T和(0,ξ₂,ξ₂)T。
【例2】设三阶矩阵A=3-45-6-389求它的特征值及对应的特征向量。
根据矩阵的特征多项式F(x)=|3xI-A|=0，得到6x³+5x²-5x+7=0.分解因式得：x²(x+1)(x-7)=0.解得x₁=-1,x₂=x₃=7.分别代入F(x)=0中可得矩阵A的三个特征值为λ₁=-1,λ₂=7,λ₃=7.当λ₁=-1时，对应的一个基础解系为(4,-6,5)T；当λ₂=7时，因为矩阵的阶数大于零且特征值所对角线上的元素不可能全为零(它还有第二个特征值λ₃≠0),因此至少有两个相同的非零特征向量可以分别求出对应于λ₁=-1和λ₂=7的线性无关的特征向量,记这两个向量分别为α₁和α₂,令(Aα₁-α₂,α₂)=5≠0,(Aα₃-α₃,α₃)=3≠0,即可求出这两个非零特征向量的分量分别为(-9/7,-8/7,5),(-9/4,-3,6)于是A的属于不同特征值的特征向量互相线性无关,因此就得到了三个线性无关的特征向量:α₁=(4,-6,5)T,α₂=(-9/7,-8/7,5)T,α₃=(-9/4,-3,6)T.四、总结求矩阵的特征值和特征向量的方法有多种，需要根据具体情况选择合适的方法。
矩阵的特征多项式与特征值
矩阵的特征多项式与特征值矩阵是线性代数中一种重要的数学工具，它在各个领域都有广泛的应用。
在矩阵理论中，矩阵的特征多项式与特征值是两个重要的概念，它们之间有着密切的联系。
一、特征多项式在讨论矩阵的特征多项式之前，首先要了解什么是特征向量。
对于一个n阶矩阵A，若存在一个非零向量X使得AX=kX，其中k为常数，那么X就是A的一个特征向量，k就是该特征向量所对应的特征值。
特征向量反映了矩阵A的某种变化规律，而特征值则表示了这种变化的幅度大小。
根据特征向量的定义，我们可以得到特征方程AX=kX，将特征方程改写为(λI-A)X=0，其中I是单位矩阵，λ是一个特征值。
进一步推导可得到特征多项式的定义：特征多项式是一个关于λ的多项式，它是由矩阵A的特征值所确定的，记作|λI-A|。
特征多项式可以表示为P(λ)=|λI-A|=λ^n+c_1λ^(n-1)+...+c_(n-1)λ+c_n，其中c_1，c_2，...，c_n为常数。
特征多项式的次数为n，与矩阵A的阶数相同。
二、特征值与特征多项式的关系特征值与特征多项式之间存在着紧密的联系。
我们通过特征多项式可以求解矩阵A的特征值，而矩阵A的特征值则是特征多项式的根。
设λ是特征多项式P(λ)=|λI-A|的一个根，即P(λ)=0，则有(λI-A)X=0，其中X为非零向量。
这意味着(λI-A)是一个奇异矩阵，即它的行列式为0，因此得到|λI-A|=0。
所以特征值λ是特征多项式P(λ)=|λI-A|的一个根。
特征值与特征多项式之间的关系在实际问题中起到了重要的作用。
通过求解特征多项式，我们可以得到矩阵A的全部特征值，进而进一步分析矩阵A的性质和特点。
三、应用举例矩阵的特征多项式与特征值在多个领域都有广泛的应用，下面以线性代数和物理学领域为例进行说明。
1. 线性代数中的应用特征多项式和特征值是线性代数中一个重要的概念。
在解线性方程组、矩阵相似问题以及求矩阵的幂等等问题时，特征多项式和特征值的计算都是十分有用的工具。
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4．3 多项式方法求特征值问题4.3.1 F-L 方法求多项式系数我们知道，求 n 阶方阵 A 的特征值就是求代数方程( ) | A I | 0（ 4.3.1）的根。
( )称为 A 的特征多项式。
上式展开为( )np 1n 1p2 n2 .....p n（ 4.3.2）其中 p 1, p 2 ,...p n 为多项式 ( )的系数。
从理论上讲，求 A 的特征值可分为两步：第一步 直接展开行列式 |AI|求出多项式( ) ；第二步 求代数方程 (x) 0的根，即特征值。
对于低阶矩阵， 这种方法是可行的。
但对于高阶矩阵，计算量则很大，这种方法是不适用的。
这里我们介绍用 F-L （ Faddeev-Leverrier ）方法求特征方程（4.3.2）中多项式 () 的 系数。
由于代数方程求根问题在第 2 章中已经介绍， 所以本节中解决特征值问题的关键是确 定矩阵 A 的特征多项式()，所以称这种方法为多项式方法求特征值问题。
记矩阵 A=(a ij)n n的对角线元素之和为trAa11a22... a nn（4.3.3 ）利用递归的概念定义以下n 个矩阵 B k ( k 1,2,...., n) :p 1 trB 1B 1A,p 21B 2A(B 1p 1I ),trB22p 31trB 3B 3A(B 2 p 2 I ),3...............p k1trB k B k A(B kp k 1 I ),k1................p n1B nA(B n 1p n 1 I ),trB nn（ 4.3.4）可以证明 ,(4.3.4)式中p k, k 1,2,..., n,即是所求 A 的特征多项式( )的各系数。
用（ 4.3.4）式求矩阵的特征多项式系数的方法称为 F-L 方法。
相应特征方程为：( 1)n (np 1n 1p 2n 2..... p n ) 0（ 4.3.5）A 的逆矩阵可表示为而且可证矩阵 A 11( B n 1p n 1I )p n(4.3.6)例1 求矩阵3 2 4A2 0 24 2 3的特征值与 A 1 .解 用 F-L 方法求得3 24 B 1A2 0 24 2 3p 1trB 1 611 2 4 B 2A( B 1 p 1 I )2 8 242 11p 21trB 21528 0 0 B 3A( B 2 p 2 I )0 8 00 08p 31trB 38所以 A 的特征方程为3( 1)3(36215 8) 0此方程的根 ,即特征值为18,2 1,311 1 12 4 2 A 11 ( B2 p 2 I )1 7 1p 34 8 4 1 1 1242从例 1 中的计算结果可知 B 3p 3I .Faddeev 曾经证明 : 对 n 阶矩阵 A, 按 (4.3.4)式计算出的Bn 总有B np n I(4.3.7)4.3.2 特征向量求法当矩阵 A 的特征向量确定以后 ,将这些特征值逐个代入齐次线性程组(AI)x=0 中,由于系数矩阵 AI 的秩小于矩阵 A I 的阶数 n,因此虽然有 n 个方程 n 个未知数 ,但实际上是解有 n 个未知数的相互独立的 r 个方程 (r<n). 当矩阵 A 的所有特征值互不相同时 ,这样的问题中要解的齐次方程组中有n-1 个独立方程 ,其中含有 n 个特征向量分量 ,因此特征向量分 量中至少有一个需要任意假设其值 ,才能求出其他特征分量 . 在计算机中解这样的齐次线性程组,可用高斯 -若当消去法 ,以便把一组 n 个方程简化为 等价的一组 n-1 个方程的方程组 .然而 ,用高斯 -若当消去法简化一个齐次线性程组时 ,方程之间不都是独立的 ,在消去过程中系数为零的情况较多 .必需交换方程中未知数的次序,以避免 主元素位置上为零的情况 .因此 ,为了提高精度和避免零元素的可能性 ,我们总是用主元素措 施把绝对值最大的系数放于主元素位置 .例如 ,假设矩阵 A 为4 2 2 A5 3 2 2 41其特征方程为42 2 53 2241=0展开后为(1)(2)(5)0 故特征值分别为11, 22,35下面求特征向量，将1 代入方程组( AI )x 0 中，得3x 12 x 2 2x 35x 1 2x 22x 32x 1 4x 2 0x 3（4.3.8 ）以-5 为主元素 ,交换上式第一与第二个方程得5x 1 2x 2 2x 3 0 3x 1 2 x 2 2x 32x 1 4x 2 0x 3(4.3.9)用高斯 -若当消去法消去 -5 所在列中的x1,并把主元素所在行调到最后,得0x 116x 2 4x 3 05 50x 116x 24 x 3 055x 12x 2 2x 3 05 5(4.3.10)再以 16/5 为主元素 ,消去它所在列中的x 2,并把主元素所在的行调到最后,得0x 1 0x 2 0 x 30 x 1 0x 21 x 320x 1 x 21x 34(4.3.11)这就是用高斯若当消去法实现把一组三个方程简化为等价的一组两个独立方程的情形这个等价的方程组包含两个独立的方程 ,而有三个未知数，所以只要假定其中一个值 两个值就可以通过两个独立方程解出 .比如 ,令x 31,则得到矩阵 A 的对应于 1特征向量为.因为 ,则其它1的一个1 2 1 4 1对另外两个特征值的对应特征向量求法与上述对11的推导过程相同.计算机中实现求解这样的齐次线性方程组的消去步骤是,用第 3 章讨论过的高斯 -若当消去法的公式 ,方程组 (4.3.9)的系数矩阵经过第一次消去后的矩阵 B 为16 45 516 4B552 25 5 (4.3.12)以矩阵为方程组 (4.3.10) 的系数矩阵 ,其中省略了有0 和 1 元素的第一列 .在进行第二次消元之前,要应用完全主元素措施对前两行进行最大主元素选择,然后再进行必要的行或列交换 .每完成一次消元过程 ,总省略只有 0 和 1 元素的第一列 ,并且计算机仅寻找矩阵的前 n-k 行中的最大主元素 ,其中 k 是消元过程应用的次数.对 (4.3.12)式再进行一次消元过程 ,则得到列矩阵B1 1214 (4.3.13)此矩阵是对应于方程组(4.3.11)的系数矩阵 ,不过省略了含 0 和 1 元素的前两列 .一般来说 ,最后矩阵列的数目等于矩阵 A I 的阶数和秩的差值.由于方程组 (4.3.8) 有三个未知数 ,两个独立方程 ,所以计算机必须任意给定一个未知数的值,以便可以从其他两个独立方程中解出另外两个未知数.为方便，在计算机决定特征向量时 ,要恰当地设定任意选取的未知数的值.例如 ,令x31, 由方程组 (4.3.11)知道 ,其他两个分量的值正好能从含x3的非零系数项得出.为此 ,从计算机所存储的最终矩阵中,令B1 最上面的 0( 1 ,1, 1)T元素为 -1,并把它顺次调到最下面第三行的位置上,就得到所求的特征向量 2 4 .在工程问题中 ,从特征方程所求出的特征值,少数情形也有相同的 .一般地 ,当一个特征方程有 k 重根时 ,矩阵A I 的秩可能比其阶数少1,或 2,或 3, ,或 k,当然对应于的线性无关的特征向量的个数也就是1,或 2,或 3, ,或 k,下面通过一个特征值对应两个线性无关特征向量的例子进一步说明计算机求特征向量的方法.设矩阵A为3 2 4A 2 0 24 2 3其特征方程为3 24 22 0423展开后得(1)2( 8)0 所以特征值为121,38为了决定1的特征向量 ,将1 代入方程组 ( AI )x=0, 得4 2 4 x 12 1 2 x 2 042 4 x 3(4.3.14)应用一次高斯 -若当消去法 ,得0 0 0 x 1 00 x 21 1 /2 1 x 3(4.3.15)写成矩阵形式 ,(4.3.15) 式的系数矩阵为0 0 B1/2 1(4.3.16)1有两个线性无 因为方程组 (4.3.15)的系数矩阵的秩为 1,它比矩阵阶数少 2,因此对应于关的特征向量 ,必须给两个未知数任意规定值 ,才能确定这两个线性无关的特征向量 , 由（ 4.3.15）式可看出 ,一般总是选择 x 21, x 3 0求一个特征向量;选择x 20, x31 求另一个特征向量 ;这样有两个线性无关的特征向量1/ 2 1 10 01,,在 (4.3.16) 式的 B 中 ,把第一列中第一个 0计算机中求两个线性无关的特征向量的办法是 元素用 -1 代替 ,第二列中第二个 0 元素也用 -1 代替 ,然后把第一、 第二行顺次调到最下面一行 的位置上， 第三行自然就成了第一行， 如此调换后矩阵的第一列和第二列就是所求的两个线性无关的特征向量。
对应于1 的全部特征向量为1/ 2 1 k 11 k2 01其中k1 与k2 是任意常数，且不同时为零。
为了说明列交换的必要性，避免主元素为零，再举一个例子，设矩阵A 为2 8 12A1 4 4 01其特征方程为( 2) ( 1) 0特征值为1 2,2 0,3 1对应于 2 的特征向量可由解下列方程组而求得4 8 12 x11 2 4 x2 00 0 1 x3(4.3.17)用一次高斯 -若当消去法，得0 0 1 x10 0 1 x2 01 2 3 x3(4.3.18)若不进行列交换，则下一个消元过程只能在第一行的第二个元素与第二行的第二个元素中找最大主元素，而它们都是零，我们不得不对 (4.3.17) 式进行列交换，即交换未知数之间的次序，之后再进行消去过程 .对 (4.3.17)式进行列交换，即把绝对值最大系数放在主元素位置，显然是第一列与第三列的交换，交换后成为1284x3421x20100x1其中未知数列矩阵中x1 与x3 也进行了交换，这样才能保证(4.3.19) 式进行一次高斯 -若当消去法，得0 2 / 3 1/ 3 x30 2 / 3 1 / 3 x2 01 2 / 3 1 / 3 x1再进行一次消去过程，得(4.3.19)(4.3.17) 式与 (4.3.19) 式等价，对(4.3.20)0 0 0 x31 0 0 x2 00 1 1/ 2 x1(4.3.21)在计算机中计算，剩下一个最终的列矩阵B 01/ 2(4.3.22)将(4.3.22) 式中的列矩阵 B 中第一个0 元素用 -1 代替，并随即调到最下面一行，便得到1/ 21（ 4.3.23）这就是对应于方程组(4.3.19)的解，在计算机程序中应把原来进行列交换的列号次序记住，重新把 (4.3.23)式中各分量排列一下，即交换第一行和第三行的元素，就得到对应于 2 的特征向量11/ 2对应于的全部的特征向量为11/ 2k其中 k 为不等于零的任意常数.。