43多项式方法求特征值问题
多项式特征值问题的数值方法
求解大型复杂结构特征值问题的Lanczos分布式并行算法研究IV图表清单图 1.1自由度弹簧-质点系统 (3)图 3.1单质量弹簧系统 (22)图 3.2 n自由度阻尼的弹簧-质点系统 (25)图 3.3 GJD和QJD方法的残差范数随迭代次数增加的变化 (26)图 3.4 GJD和QJD方法的残差范数随迭代次数增加的变化 (27)表 2.1 Case 1的结果和比较12表 2.2 Case 2的结果和比较 (12)表 2.3 Case 3的结果和比较 (13)表 2.4 Case 4的结果和比较 (14)表 3.1 CPUtime比较 (26)表 3.2 CPUtime比较 (28)表 3.3特征值比较 (28)承诺书本人声明所呈交的硕士学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得南京航空航天大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。
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（保密的学位论文在解密后适用本承诺书）作者签名：日 期：南京航空航天大学硕士学位论文1第一章 绪论1.1多项式特征值问题的来源我们考虑m 次的矩阵多项式（或λ-矩阵）110(,),m m m m P A A A A λλλ−−=+++L （1.1） 其中,0:n nk A k m ×∈=£。
多项式特征值问题（PEP ）是要找到一个特征值λ和相应的非零特征向量x 满足(,)0.P A x λ=m=1的情况对应于广义特征值问题（GEP ）A xB xλ=并且如果0A I =，我们得到标准特征值问题（SEP ）.A x x λ= （1.2）另一个重要的情况是当m=2时，这时就是二次特征值问题（QEP ）[1]。
特征多项式的计算公式
特征多项式的计算公式
设n阶方阵A=(a_ij)，则A的特征多项式为f(λ)=|λ I - A|，其中λ为特征值，I为n 阶单位矩阵。
1. 二阶方阵的特征多项式计算示例。
- 设二阶方阵A=(ab cd)。
- 首先写出λ I - A，其中I=(10 01)，则λ I - A=(λ - a-b -cλ - d)。
- 然后计算其行列式f(λ)=|λ I - A| = (λ - a)(λ - d)-(-b)( - c)=λ^2-(a + d)λ+(ad - bc)。
2. 三阶方阵的特征多项式计算示例。
- 设三阶方阵A = (a_11a_12a_13 a_21a_22a_23 a_31a_32a_33)。
- 计算λ I - A=(λ - a_11-a_12-a_13 -a_21λ - a_22-a_23 -a_31-a_32λ - a_33)。
- 其特征多项式f(λ)=|λ I - A|，按三阶行列式展开法则计算：
- f(λ)=λ^3-(a_11+a_22+a_33)λ^2+(a_11a_22+a_11a_33+a_22a_33-a_12a_21-a_13a_31-a_23a_32)λ-| A|。
在高中数学人教版教材中，特征多项式相关内容可能在选修部分有所涉及，主要是为了引入矩阵的特征值和特征向量等概念做铺垫。
掌握特征多项式的计算是理解矩阵特征相关知识的基础。
矩阵的特征值问题求解
矩阵特征值问题求解矩阵在数学和工程领域有着广泛的应用，而研究矩阵的特征值是其中一个重要的问题。
矩阵的特征值对于矩阵的性质和行为具有重要的影响，因此求解矩阵的特征值是一项非常重要的任务。
什么是特征值和特征向量在矩阵理论中，矩阵A的特征值（eigenvalue）是一个数λ，满足方程$A\\mathbf{v} = \\lambda\\mathbf{v}$的向量$\\mathbf{v}$存在且不为零。
其中，$\\mathbf{v}$被称为对应于特征值$\\lambda$的特征向量（eigenvector）。
特征值和特征向量的求解是矩阵理论和线性代数中的重要问题之一。
特征值问题的求解方法1. 特征值分解我们可以通过特征值分解的方法求解矩阵的特征值。
给定一个方阵A，我们可以将其表示为$A=Q\\Lambda Q^{-1}$的形式，其中Q是由A的特征向量所组成的矩阵，Λ是由A的特征值所组成的对角矩阵。
2. 特征多项式特征值问题的另一种求解方法是通过矩阵的特征多项式。
特征多项式是关于矩阵A的一个多项式，它的根就是矩阵A的特征值。
通过求解特征多项式的根，我们可以得到矩阵的特征值。
3. 幂法幂法是一种常用的求解特征值问题的迭代方法。
通过不断的迭代计算$A\\mathbf{v}^{(k)}$，其中$\\mathbf{v}^{(k)}$是第k次迭代得到的特征向量，我们可以逐渐逼近矩阵的特征值和特征向量。
应用和意义矩阵的特征值问题求解在计算机图形学、信号处理、物理学等领域都有着重要的应用和意义。
通过求解矩阵的特征值，我们可以分析矩阵的性质、系统的稳定性以及模式识别等问题，为我们深入理解和应用矩阵提供了重要的工具和方法。
综上所述，矩阵的特征值问题求解是一个具有重要意义和广泛应用的问题，通过不同的方法和技术，我们可以有效地求解矩阵的特征值和特征向量，为我们更好地理解和利用矩阵提供了重要的支持。
求解特征值的方法技巧
求解特征值的方法技巧求解特征值是线性代数中的一个重要问题，它在物理、工程、计算机科学等领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将讨论求解特征值的方法和技巧。
特征值的定义是在线性代数中非常基础的概念。
对于一个n×n的矩阵A，如果存在一个非零向量v使得Av=λv，其中λ是一个标量（实数或复数），则λ称为矩阵A的特征值，v称为对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量之间具有一一对应的关系。
1. 特征多项式法：特征多项式法是求解特征值的一种常用方法。
对于一个n×n的矩阵A，其特征多项式定义为：p(λ) = |A-λI| = det(A-λI)其中，I是n×n单位矩阵，det表示行列式。
特征多项式的根就是矩阵A的特征值。
通过计算特征多项式的根，我们可以求解矩阵A的所有特征值。
2. 幂法：幂法是求解矩阵特征值中的最大特征值的一种有效方法。
它的基本思想是通过反复迭代使一个向量v不断与矩阵A相乘，直到收敛到矩阵A的最大特征值对应的特征向量。
具体步骤如下：1) 选择一个任意非零向量v0；2) 计算v1 = Av0；3) 对v1进行归一化处理，得到v1' = v1 / ||v1||；4) 重复步骤2和3，直到v收敛到A的最大特征值对应的特征向量。
3. 反幂法：反幂法是求解特征值中的最小特征值的一种方法。
它与幂法的思想相似，只是在每一次迭代中，需要对向量进行归一化处理。
具体步骤如下：1) 选择一个任意非零向量v0；2) 计算v1 = (A-1)v0；3) 对v1进行归一化处理，得到v1' = v1 / ||v1||；4) 重复步骤2和3，直到v收敛到A的最小特征值对应的特征向量。
4. QR算法：QR算法是一种迭代算法，用于计算矩阵的所有特征值。
它的基本思想是通过反复进行QR分解将矩阵A转化为上三角矩阵，使得其特征值可以从对角线上读出。
具体步骤如下：1) 将矩阵A进行QR分解，得到A=QR，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵；2) 将上一步得到的R矩阵再进行QR分解，得到新的矩阵A1=Q1R1；3) 重复步骤2，直到A收敛到上三角矩阵。
求矩阵特征值的方法
求矩阵特征值的方法矩阵特征值是矩阵理论中的一个重要概念，它在许多领域中都有着广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
求矩阵特征值的方法有多种，下面将介绍其中的三种常用方法。
一、特征多项式法特征多项式法是求矩阵特征值的一种常用方法。
它的基本思想是将矩阵A与一个未知数λ相乘，得到一个新的矩阵B=A-λI，其中I为单位矩阵。
然后求解矩阵B的行列式，得到一个关于λ的多项式，称为特征多项式。
矩阵A的特征值就是使特征多项式等于零的λ值。
具体步骤如下：1. 构造矩阵B=A-λI。
2. 求解矩阵B的行列式det(B)。
3. 解特征多项式det(B)=0，得到矩阵A的特征值λ。
二、幂法幂法是求矩阵特征值的一种迭代方法。
它的基本思想是从一个任意的非零向量开始，不断地将其乘以矩阵A，直到向量的方向趋于特征向量的方向，同时向量的模长趋于特征值的绝对值。
具体步骤如下：1. 选择一个任意的非零向量x0。
2. 迭代计算xn+1=Axn/||Axn||，其中||Axn||为Axn的模长。
3. 当xn+1与xn的差值小于某个预设的精度时，停止迭代，此时xn 的模长即为矩阵A的最大特征值，xn/||xn||即为对应的特征向量。
三、QR分解法QR分解法是求矩阵特征值的一种数值方法。
它的基本思想是将矩阵A 分解为QR，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。
然后对R进行迭代，得到一个对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
具体步骤如下：1. 对矩阵A进行QR分解，得到A=QR。
2. 对R进行迭代，得到一个对角矩阵D，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
以上三种方法都有其优缺点，具体选择哪种方法取决于实际应用场景和计算需求。
在实际应用中，还可以结合多种方法进行求解，以提高计算精度和效率。
特征值问题与特征多项式
特征值问题与特征多项式当我们研究一个线性映射时，特征值问题和特征多项式是非常重要的概念。
特征值问题指的是寻找一个线性映射的特征向量和对应的特征值，而特征多项式则是通过特征向量和特征值来描述线性映射的性质和行为。
在线性代数中，一个n维向量空间V上的线性变换T称为一个线性映射。
给定V的一个非零向量x，如果存在一个标量λ使得T(x) = λx，则称x为T的一个特征向量，而λ为对应的特征值。
注意到，特征向量可以为零向量，但特征值一般不为零。
寻找特征向量和特征值的过程，可以转化为求解一个关于λ的方程。
假设A是T对应的线性映射的矩阵表示，则特征向量x满足Ax = λx。
我们可以将方程重写为(A-λI)x = 0，其中I是单位矩阵。
显然，方程有解当且仅当(A-λI)的行列式为零。
这样，我们就得到了一个关于λ的多项式，称为特征多项式。
特征多项式的求解可以采用多种方法，其中一种常用的方法是展开(A-λI)的行列式。
由于(A-λI)是一个n维矩阵，它的行列式是一个n次多项式。
我们可以通过求解特征多项式的所有根来得到特征值。
一旦得到特征值，我们可以根据特征值求解特征向量，从而完整地描述线性映射的性质。
特征值问题和特征多项式在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，特征值问题可以用来描述量子力学中的粒子态。
在工程学中，特征值问题可以用来解决结构分析和振动问题。
在计算机科学中，特征值问题可以用来解决图像处理和数据压缩问题。
特征值问题与特征多项式的研究不仅有理论上的意义，还有着实际的应用。
通过求解特征值和特征向量，我们可以了解线性映射的本质和特性。
同时，特征值问题也为我们提供了一种有效的方法来求解线性系统，并应用到各个领域中。
总之，特征值问题和特征多项式是线性代数中的重要概念。
它们不仅有着深入的理论基础，还有着广泛的应用价值。
通过对特征值问题和特征多项式的研究，我们可以深入了解线性映射的本质和行为，从而应用到实际问题中。
一种构造多项式求解特征值问题的方法
一种构造多项式求解特征值问题的方法李宏;陈志宝【摘要】提出了一种利用线性方程组的解构造多项式,通过求解该多项式的根从而获得矩阵部分特征值的方法,并给出了这一方法的计算过程,该方法易于编程实现,数值算例表明,对于求解低阶或者高阶低秩矩阵的特征值是一种非常有效和准确的方法.【期刊名称】《湖南师范大学自然科学学报》【年(卷),期】2010(033)003【总页数】3页(P13-15)【关键词】特征值问题;线性方程组;LU分解;多项式求根【作者】李宏;陈志宝【作者单位】华南理工大学数学系,中国,广州,510640;华南理工大学数学系,中国,广州,510640【正文语种】中文【中图分类】O241.6矩阵的特征值问题,无论在理论上还是在工程计算中,都是一个十分重要的问题.到目前为止人们已经对它进行了深入的讨论,得到了许多卓有成效的算法, 常用的主要有两类, 一类是正交相似变换的方法称为变换法如经典的Jacobi方法、QR方法[1-3]等,变换法是用来计算矩阵全部特征值的方法,它的理论依据是将A的特征值问题转化为容易求解的矩阵B的特征值问题,而转化过程是采用正交相似变换, QR方法是目前计算中小型矩阵全部特征值问题的最有效的方法之一，具有收敛快，算法稳定等特点,matlab中自带求特征值的指令就是依据这一原理编制而成；另一类是求解大型矩阵特征值问题的子空间迭代法[4-5]、对称矩阵的Lanczos方法[6]等.这两种方法是用来计算矩阵若干个端部特征值的方法，文[6]指出块Chebyshev-Lanczos方法是目前求解大型稀疏对称矩阵部分极端特征值的最有效方法.受Krylov子空间方法[6-7]思想的启发，本文介绍一种利用线性方程组的解构造多项式,通过求解该多项式的根从而获得矩阵全部或部分特征值并且利用该多项式做除法求得对应特征值的特征向量的方法.1 相关定理及结果由高等代数知识，容易得到如下两个结果.定理A 设A∈Rn×n,r0∈Rn×1,若能找到一个次数最小的m次非零多项式fm(x),使得fm(A)r0=0,则fm(x)=0的每个根一定都是矩阵A的特征值.定理B 设A∈Rn×n且其秩为m, r0为A的列向量,则存在非零m次多项式fm(x),使得fm(A)r0=0.注记：A的特征向量的一种新求法：设fm(x)=amxm+…+a1x+a0为满足定理A条件的m次多项式，λi为fm(x)的根, 用x-λi对fm(x)做带余除法得到fm(x)=(x-λi)fi(x)+r(x),则有余数r(x)为因fm(A)r0=(A-λiI)fi(A)r0=0(I为单位矩阵)，故fi(A)r0即为A的对应特征值λi的特征向量,由fi(x)的表达式，不难得到2 算法定理A表明：假如能够找到次数最小的非零多项式fm(x),使得fm(A)r0=0,那么矩阵A的全部或部分特征值可以通过求解fm(x)的根获得.定理B表明:这样的非零多项式总是存在的,且其次数不超过A的秩.于是得到了下述求解矩阵特征值和特征向量的算法.算法步骤:(1) 取A的某一列向量r0,计算Ar0,…,Anr0,形成矩阵K=(r0,Ar0,…,Anr0).(2) 对矩阵K做LU分解.(3) 若记U的秩为m,则求解线性方程组U(1:m,1:m)x=U(1:m,m+1).(4) 得到多项式fm(z)的系数(见下面的注明),用代数的方法求该多项式的根作为A 的特征值.(5) 用注记中的方法求对应特征值的特征向量.注上述算法中,U(1:m,1:m)表示U的前m行m列组成的矩阵，U(1:m,m+1)表示U的第m+1列中的前m个元素组成的列向量.若记步骤3中线性方程组的解为x=(a0,a1,…,am-1)T,则fm(x)=a0+a1x+…+am-1xm-1-xm.计算量分析：用上述方法计算A的特征值需要计算Ar0,…,Anr0,这需要n次矩阵与向量的乘积运算(相当于求A2的计算量),然后求解一个齐次线性方程组的计算量,最后是代数的方法求多项式的根的计算量.特征向量的计算量从注记中可以看出其几乎依赖于Ar0,…,Anr0的计算和fm(x)的根求解,并不需要大量额外计算量.3 数值算例算例1 利用上述算法计算下述A的特征值和特征向量:取r0=A(:,1)=(1/2,1,-1,3/2,-3/2)T,算得U的秩是5，解得x=(-139.84,183.81,-63.75,-7.5,7.5)T,从而fm(x)=-139.84+183.81x-63.75x2-7.5x3+7.5x4-xm,fm(x)的5个根为λ1=-3.211 3,λ2=1.700 7,λ3=2.285 9,λ4=3.039 6,λ5=3.685 2.用x-λ1对多项式fm(x)做除法得到f1(x)=-x4+10.711 3x3-41.897 9x2+70.798 7x-43.546 7,则对应λ1的特征向量f1(A)r0=K(1∶5,1∶5)(-43.546 7,70.798 9,-41.897 9,10.711 3,-1.000)T=(0.555 7,-0.463 9,0.387 7,-0.401 2,0.405 9)T (已单位化处理,下同),同理解得f2(A)r0=(0.679 3,0.686 4,-0.200 2,-0.138 3,-0.090 9)T,f3(A)r0=(-0.222 6,0.434 4,0.858 6,-0.101 5,-0.119 2)T,f4(A)r0=(0.331 1,-0.057 7,0.240 9,0.899 7,0.140 0)T,f5(A)r0=(-0.265 8,0.348 7,-0.120 1,0.013 8,0.890 6)T.这与表1 matlab自带求特征值和特征向量指令得到的结果一样.表1 matlab指令求得的特征值和特征向量特征值相应的特征向量λ1=-3.2113T1=(-0.555 7,0.463 9,-0.387 7,0.401 2,-0.405 9)Tλ2=1.700 7T2=(0.679 3,0.686 4,-0.200 2,-0.138 3,-0.090 9)Tλ3=2.285 9T3=(0.222 6,-0.434 4,-0.858 6,0.101 5,0.119 2)Tλ4=3.039 6T4=(-0.331 1,0.057 7,-0.240 9,-0.899 7,-0.140 0)Tλ5=3.685 2T5=(-0.265 8,0.348 7,-0.120 1,0.013 8,0.890 6)T算例2 考虑100阶魔方阵A=magic(100),求A的特征值.由于rank(A)=3,根据定理B,只需要形成K=(r0,Ar0,A2r0,A3r0)，求得fm(x)=-4.166 7×1014+8.332 5×108x+5.000 5×105x2-x3，fm(x)的3个根为λ1=50 005.000 0,λ2=-28 866.070 0,λ3=28 866.070 0,这与matlab指令求得的3个特征根λ1=0.500 050 000×105,λ2=-0.288 660700×105,λ3=0.288 660 700×105也一样.通过上面两个算例，验证了作者提出的利用线性方程组的解构造多项式从而求解矩阵特征值的方法的有效性和准确性,此方法对于低阶或者高阶低秩矩阵无疑是适用的，它运算量少并且易于编程实现.致谢:作者对审稿人的建议和评论表示衷心感谢.参考文献：[1] 曹志浩. 数值线性代数[M].上海：复旦大学出版社, 1996.[2] GOLUB G H， VAN LOAN G F. 矩阵计算[M].袁亚湘，译.北京：科学出版社, 2001.[3] WILKINSON J H. The algebraic eigenvalue problem[M]. Oxford：Oxford University Press, 1965.[4] 用Chebyshev多项式加速的子空间迭代法[J].南京航空航天大学学报，2002，4(2)：197-199.[5] 曲庆国. 对求解大型稀疏特征值问题的子空间迭代法的研究[D].南京：南京航空航天大学理学院，2005.[6] 戴华. 求解大规模矩阵问题的Krylov子空间方法[J].南京航空航天大学学报，2001，4(2)：139-145.[7] SIMONCINI V, SZYLD D B. Recent computational developments in Krylov subspace methods for linear systems[J]. Numerical Linear Algebra with Applications, 2007, 14：1-59.。
构造多项式求解矩阵特征值问题的方法
构造多项式求解矩阵特征值问题的方法李宏;雷秀仁;陈志宝【摘要】Two methods to construct a polynomial are first introduced, and then the roots of the polynomial are calculated in order to obtain some of the eigenvalues. These two methods are compared by numerical experiments which show that the methods are effective and accurate to solve the eigenvalues of smaller matrix.%提出了2种构造多项武,通过求该多项式的根,获得矩阵部分特征值的方法,数值算例比较了这2种方法,表明了这2种方法对于求解较小规模矩阵特征值的有效性和准确性.【期刊名称】《华南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(000)002【总页数】3页(P43-45)【关键词】特征值问题;最小多项武;残差多项式;QR分解;多项式求根【作者】李宏;雷秀仁;陈志宝【作者单位】华南理工大学数学系,广东广州,510640;华南理工大学数学系,广东广州,510640;华南理工大学数学系,广东广州,510640【正文语种】中文【中图分类】O241.6矩阵的特征值问题无论在理论上还是在工程计算中都非常重要.前人进行了深入的讨论,得到了许多卓有成效的算法,除了经典的Jacobi方法、QR方法[1-2]外,还有近几十年来发展起来的子空间迭代法、Krylov方法[3-5]等等,在本质上属于变换法或迭代法.本文则利用线性方程组的解构造向量r0的最小多项式,通过求解该多项式的根从而获得矩阵的部分特征值的方法,另外,当矩阵满秩时,利用GMRES算法中的残差多项式可以得到向量r0的最小多项式的一个非常好的近似,数值算例表明了这2种方法对于求解较小规模矩阵特征值是非常有效和准确的方法.1.1 通过求解线性方程组构造多项式为求得向量r0的最小多项式，文献[1]给出了一种方法，称为Krylov方法，具体地说是找到最小的正整数m，满足r0,Ar0,…,Amr0线性相关，然后求解[r0,Ar0,…,Amr0](x0,x1,…,xm-1,1)T=0,最后得到r0的最小多项式当矩阵A的阶数较大时，向量组r0,Ar0,…,Amr0的线性相关性开始变得模糊，并且Krylov矩阵[r0,Ar0,…,Anr0]不可避免的变得病态，即不容易确定r0的最小多项式次数和精确求解线性方程组(1)，因此我们试图归一化Krylov矩阵的列，以期降低其病态程度，然后对其做QR分解，以R的秩作为r0的最小多项式的次数并求解最后得到r0的最小多项式说明：上述做法中将R的秩作为r0的最小多项式的次数是正确的，因为求最小的正整数m，满足r0,Ar0,…,Amr0线性相关等价于求Krylov阵[r0,Ar0,…,Anr0]的秩，而[r0,Ar0,…,Anr0]的秩与的秩理论上相同.注记：A的特征向量的一种求法:记i为多项式f(z)的根,用z-i对f(z)做带余除法(显然这里余数为0)得到fi(z)=f(z)/(z-i),记fi(z)=bm-1×zm-1+bm-2zm-2+…+b0,则fi(A)r0=(r0,Ar0,…,Am-1r0)(b0,b1,…,bm-1)T,显然 fi(A)r0即为A的对应特征值i的特征向量.1.2 直接利用GMRES残差多项式定理1 设An×n为满秩矩阵，则对于任意向量r0n×1，存在一组系数a1,…,am使得证明由向量的线性相关性可知,存在最小的正整数m(m≤n),满足r0,Ar0,…,Amr0线性相关,从而存在一组非零系数a0,a1,…,am,使得(a0+a1A+…+amAm)r0=0.若a0非零，则结论显然成立;若a0为零，则r0的极小多项式变为a1x+…+amxm,显然该多项式有零根,即A有零特征值,这与条件A为满秩矛盾，故结论成立.回顾解线性方程组的GMRES方法,其主要思想是找一向量zmKm(A,r0)=(r0,Ar0,…,Am-1r0)，使其为下述问题的解而zm可写成故上述问题的等价说法就是找zm=gm-1(A)r0使其极小化其中Pm(x)=1-xgm-1(x),Pm(x)称为残差多项式[4].显然,结合定理1和的极小性，我们可以直接利用Pm(x)作为r0的最小多项式.注意到GMRES中的Arnoldi迭代q1,q2,…,qm是Km(A,r0)的一组标准正交基，记Qm=[q1,q2,…,qm],则有Qm=Km(A,r0)Cm,其中Cmm×m,若记ck为Cm的第k列，Ck为Cm的k阶主子式，hk=(h1,k h2,k … hk,k)T,则ck的前k个元素(其余元素为0)可以由下式迭代得到[6]:.设式(5)的解为zm=Qmym(ym为的解),从而zm=Qmym=Km(A,r0)Cmym,若记Cmym=(a0,…,am-1)T,则由gm-1(x)和Pm(x)的表达式,有Pm(x)=1-a0x-a1x2-…-am-1xm.利用1.1节的方法可以得到下述求解矩阵特征值和特征向量的算法1.算法1(1)给定r0,计算,,…,,形成矩阵(2)对矩阵K做QR分解.(3)若记R的秩为m,则求解线性方程组R(1∶m,1∶m)x=-R(1∶m,m+1).(4)得到多项式f(z)的系数,用代数的方法求该多项式的根作为A的特征值.(5)用注记求对应特征值的特征向量.注明:上述算法中,R(1∶m,1∶m)表示R的前m行m列组成的矩阵,R(1∶m,m+1)表示R的第m+1列中的前m个元素组成的列向量,若步骤3中解得x=(x0,x1,…,xm-1)T.则zm-1+zm.利用1.2节的GMRES残差多项式，可以得到下述算法2.算法2(1)给定正整数m,向量r0和指定精度ε,β=,q1=r0/β，c11=1.(2)迭代，对k=1,2,…,m,计算iii)hk+1,k=2,iv)qk+1=rk/hk+1,k,v) 按照式(9)计算Cm的第k列.(3)求解问题计算zm=Qmym.(4)检验残差,若2<ε(2=2),则计算Cmym=(a0,a1,…,am-1)T,转步5,否则求解失败.(5)形成多项式求该多项式的根.考察20阶的对称矩阵分别用Krylov方法[1]、算法1和算法2求A的特征值,其结果如表1所示.表1中Matlab指令求得的是精确特征值，从表中看出，Krylov方法只能求得18个特征值且与精确特征值存在较大误差，算法1是在Krylov方法的基础上改进而来，能够求出A的所有特征值且与精确特征值之间误差明显减小,算法2是利用GMRES方法中的残差多项式作为向量r0的最小多项式，通过求解残差多项式的根作为矩阵的特征值，用该方法求得的特征值与精确特征值之间的差别很小，较前2种方法更为精确.但是,算法1和算法2虽然能够用来计算矩阵部分特征值，但受到较为严格的限制，对于算法1，正如文献[1]提到的，只有当特征值的分布满足某种条件时才可能应用到较大规模的矩阵中，否则，当矩阵的阶较高时，计算得到的特征值舍入误差的影响而与实际特征值相差很大，对于算法2，矩阵必须为满秩且受舍入误差的影响，步骤2的迭代次数不能过大，即m不能取太大，否则步骤4的残差检验将难以满足，这些因素直接制约了矩阵的阶数不能太大，除非能够找到一个很好的初始向量r0使得步骤2的迭代次数较少且残差检验也能够满足.Key words： eigenvalue problem; minimal polynomial; residual polynomial; QR decomposition; polynomial roots【相关文献】[1] WILKINSON J H.The algebraic eigenvalue problem[M].Oxford：Oxford University Press,1965:365-381.[2] 曹志浩.数值线性代数[M].上海：复旦大学出版社，1996：175-215.[3] 曲庆国.对求解大型稀疏特征值问题的子空间迭代法的研究[D].南京：南京航空航天大学，2005.[4] SIMONCINI V,SZYLD D B.Recent computational developments in Krylov subspace methods for linear systems[J].Numerical Linear Algebra with Applications,2007,14：1-59.[5] 戴华.求解大规模矩阵问题的Krylov子空间方法[J].南京航空航天大学学报，2001，33(2)：139-145.DAI Hua.Krylov subspace methods for solving large scale matrix problems[J].Journal of Nanjing University of Aeronautics & Astronautic,2001，33(2)：139-145.[6] 全忠，向淑晃.基于GMRES的多项式预处理广义极小残差法[J].计算数学,2006，28(4):365-376.QUAN Zhong,XIANG Shuhuang.A GMRES based polynomial preconditioningalgorithm[J].Mathematica Numerica Sinica,2006，28(4):365-376.。
多项式特征值的迭代解法
多项式特征值的迭代解法
多项式特征值的迭代解法是一种通过迭代计算逼近多项式的特征值的方法。
该方法的基本思想是先猜测一个特征值的近似值，然后通过迭代计算逐渐逼近真实的特征值。
具体的迭代算法如下：
1. 随机选择一个初始特征值的近似值x0。
2. 对于每一次迭代k，计算下一个近似值xk+1 = f(xk)，其中f(x)是多项式的特征方程。
可以使用多项式的特征方程展开为多项式后，对xk进行代入计算得到xk+1。
3. 如果xk+1与xk之间的差值小于一定的阈值，那么停止迭代，xk+1即为多项式的特征值的近似值；否则，返回第2步。
需要注意的是，迭代解法并不能保证得到多项式的所有特征值，只能得到其中的一个或几个。
此外，迭代解法的收敛性和速度也取决于初始特征值的选择和多项式的特征方程的性质。
迭代解法的优点是简单易实现，适用于一些特殊的多项式特征值计算问题。
但对于一般的多项式特征值计算问题，其他的方法如QR 算法、幂迭代法等可能更为有效。
求特征值的化简技巧
求特征值的化简技巧
求特征值的化简技巧：第一步：计算的特征多项式。
第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值。
第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组。
扩展资料：
特征值是线性代数中的一个重要概念，在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。
如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：
Aν=λBν。
其中A和B为矩阵。
其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程（A-λB）ν=0，得到det（A-λB）=0（其中det即行列式）构成形如A-λB 的矩阵的集合。
当B为非可逆矩阵（无法进行逆变换）时，广义特征值问题应该以其原始表述来求解。
如果A和B是实对称矩阵，则特征值为实数。
这在上面的第二种等价关系式表述中并不明显，因为A矩阵未必是对称的。
第8章 特征值问题的计算方法
设 uk 和 k均收敛，由算法知 Auk1 k uk
lim
k
Auk 1
lim
k
k
lim
k
uk
Ax 1x k 1
uk 1
幂法可以计算矩阵的模最大 的特征值和对应的特征向量
例1：利用幂法求下列矩阵A 的模 2 1 0
最大的特征值及相应的特征向量. A 1 3 1
u0 1x1 2 x2 n xn;i C
n
n
Aku0
j Ak x j
j
k j
x
j
j
n 2
j
(
j 1
)k )x j )
Ak u0
1k
(1x1
n j2
j
(
j 1
)k
)
x
j
)
1x1(k
)
说明：当k充分大时, 1的一个近似特征向量为
uk
Ak u0
1k
特征向量可以相差一个倍数
因为向量 uk
Ak u0
1k
中含有未知量 1，实际不能计算
但我们关心的仅是 uk 的方向，故作如下处理：
令 uk
Ak u0
k
Ak u0
其中 k为 Ak u0 的模最大分量
1k (1x1
3 4.92
u3 y3 3 (0.3659 0.8537 1)T
Step4 y4 Au3 (1.5854 3.9268
4.8537)T
4 4.8537 u4 y4 4 (0.3266 0.8090 1)T
特征值的求法
特征值的求法
特征值是线性代数中的一个重要概念，主要用于描述矩阵的某些重要性质。
对于方阵，特征值可以通过求解特征多项式得到。
以下是特征值的基本求法：
1.写出矩阵A的特征多项式f(λ)。
对于n阶矩阵A，其特征多项式为f(λ)=|λE-A|，其中E是n阶单位矩阵。
2.求解特征多项式f(λ)=0的根，这些根就是矩阵A的特征值。
这个方程的解可能是一个或多个实数，也可能是复数。
3.对于每个解出的特征值λ，求解齐次线性方程组(λE-A)x=0的非零解x，这个解x就是对应于特征值λ的特征向量。
以上步骤是求解特征值和特征向量的基本方法。
需要注意的是，对于具体的矩阵，可能需要根据其特点选择合适的求解方法，例如对于大型稀疏矩阵，可能需要使用迭代法等数值方法求解特征值和特征向量。
此外，对于一些特殊的矩阵，如对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵等，其特征值和特征向量具有一些特殊的性质，可以利用这些性质简化求解过程。
以上信息仅供参考，如需更多信息，建议查阅线性代数相关书籍或咨询专业教师。
第5章__特征值问题计算方法
第五章 特征值问题计算方法设n n A R ⨯∈或n nA C⨯∈。
特征值问题是求C λ∈及非零向量nx C ∈，使得Ax x λ=A 的特征多项式()det()P I A λλ=-。
当5n ≥，λ不能用解析来表示。
因此数值方法为迭代法。
§1 幂法与反幂法 （I ） 方法设n n A R ⨯∈，有n 个线性无关的特征向量（即A 可以对角化）。
设A 的特征值1,,n λλ，相应的特征向量为12,,n x x x 。
并设12n λλλ>≥≥1λ称为A 的主特征值。
幂法是用来求主特征值和相应特征向量的方法。
基本思想 是任取非零向量(0)v，由矩阵A 构造迭代格式()(1)1,2,k k v Av k -==得 {}()k v(1)(0)A AV = (2)(1)2(0)v Av A v ==()(1)(0)k k k v Av A v -=== 由假定，A 有n 个线性无关的特征向量12,,n x x x 。
于是(0)(0)1,nn i i i vR vx α=∈=∑设 10α≠。
(1)(0)11n ni i i i i i i vAvAx x ααλ=====∑∑同理有()(1)1,1,2,nk k k i i i i vAvx k αλ-====∑对于这个迭代格式分情况讨论 1．主特征值为单根，即123n λλλλ>≥≥≥此时()21112211kkk k n n n v x x x λλλαααλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦同理：11(1)121112211k k k k n n n vx x x λλλαααλλ++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为1(2,3,,)i i n λλ>=1lim 0,2,3,,ki k i n λλ→∞⎛⎫⇒== ⎪⎝⎭()111k kv x αλ⇒≈ （k 充分大！！）这说明，()111k k vx αλ=为特征值1λ所对应的特征向量的近似向量。
§4 特征值、特征向量与特征多项式.
B 有相同的特征多项式．也就是说，相似矩阵有相同的特征多项式．事 实上，设存在可逆矩阵 T，使 B T 1AT ，则
I n B T 1I nT T 1 AT T 1(I n A)T ． 所以由行列式的乘法定理有
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辽东学院教案纸
课程：高等代数
A
x1
x2
=0
x1
x2
，
xn xn
即
(0 I n
A)
x1
x2
0
0
．
(2)
xn 0
因为 ，所以齐次线性方程组(2)有非零解．因此系数行列式
0 0
2x2 2x3 0
的非零解，即(0，k，k)，k∈C，k≠0． 矩阵 A 的属于特征值 5 的特征向量是齐次线性方程组
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课程：高等代数
2x2
0x1 2x3
0 0
2x2 2x3 0
的非零解，即(k，l，－l)，其中 k，l∈C，且不全为零．
B() n1B0 n2 B1 Bn1 ．
其中 B0，B1，，Bn1 ∈Mn(F)．
再设 f () n a1n1 an1 an ，则
f ()In n In a1n1In an In ．
(6)
于是
B()(I n A) (n1B0 n2 B1 Bn1 )(I n A)
矩阵的特征值求解技巧
矩阵的特征值求解技巧矩阵的特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，对于解决矩阵的性质和应用问题有着重要的作用。
特征值求解是矩阵特征值问题的核心内容，本文将介绍特征值求解的技巧和方法。
一、特征值和特征向量的定义首先，我们需要理解特征值和特征向量的概念。
给定一个n阶矩阵A，如果存在数λ和非零向量X使得AX=λX，则称λ为矩阵A的一个特征值，X称为对应于特征值λ的特征向量。
二、特征值的求解1. 利用特征多项式对于n阶矩阵A，我们可以定义其特征多项式p(λ)=|A-λI|，其中I是n阶单位矩阵。
求解特征多项式的根即为矩阵的特征值。
2. 利用特征值的性质特征值的性质有助于我们求解特征值。
下面列举一些常见的性质：- 特征值与矩阵的行列式相等。
即det(A-λI)=0。
- 矩阵的特征值个数等于其矩阵的阶数。
- 如果矩阵A是n阶矩阵，那么矩阵A的特征值之和等于A的主对角线元素之和。
- 特征值互不相等，特征向量也互不相等。
即不同特征值对应的特征向量是线性无关的。
3. 利用特殊矩阵的性质对于特殊的矩阵，我们可以利用其性质来求解特征值。
例如，对于对称矩阵，其特征值一定是实数；对于三角矩阵，其特征值等于主对角线元素。
三、特征向量的求解特征向量的求解是在已知特征值的情况下进行的。
对于给定的特征值λ，我们可以利用矩阵特征方程(A-λI)X=0，利用高斯消元法或其他行列运算方法求解出特征向量。
四、实际问题中的应用特征值和特征向量在实际问题中有着广泛的应用，如：- 在物理学中，特征值和特征向量可以用来描述量子力学中的量子态和量子力学运算符的本征态和本征值。
- 在工程中，特征值和特征向量可以用来描述系统的振动模态和固有频率。
- 在数据分析中，特征值和特征向量可以用来进行降维处理和特征选取。
总结：特征值和特征向量是矩阵的重要性质，通过求解特征值和特征向量，我们可以了解矩阵的本质、性质和应用。
特征值的求解可以利用特征多项式、特征值的性质和特殊矩阵的性质等方法，特征向量的求解可以通过矩阵特征方程进行求解。
第四章-矩阵的特征值与特征向量问题讲解
Ax 2 x
1 2 x 0,
则x 0, 与定义矛盾.
12
注记
4. 若λ是矩阵A的r重特征值，对应λ有s个线性 无关的特征向量，则1≤s≤r； 若A为实对称矩阵，则对应特征值λ 恰有r 个线性无 关的特征向量。
5. 实对称矩阵的特征值是实数，属于不同特 征值的特征向量正交。
13
注记
6. 设 n阶方阵 A aij 的特征值为1, 2 ,, n ,记：
定义：设A是n阶方阵, 是一复数，如果方程 Ax x
存在非零解向量,则称 为方阵A的特征值, 相应的非零解向量x 称为与特征值 对应的特征向量, 此特征值与特征向量x称为一特征对, P（A ）＝det(I A)称为矩阵A的特征多项式。
4
注记
1. 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而 言的. 2. n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组
0.2 0.3 0.1 4
G1 = {z：|z – 1| 0.6}；G2 = {z：|z – 3| 0.8}； G3 = {z：|z + 1| 1.8}；G4 = {z：|z + 4| 0.6}。
G4
G1
G2
G3
注：定理推断A的n个特征值全落在n个盖氏圆
上，但未说明每个圆盘内都有一个特征值。
20
对应的特征值1，2，…，n，满足
|1| > |2| … |n|
(4.1.1)
26
1.基本思想
因为{v1，v2，…，vn}为Cn的一组基，故：
任给x(0) 0，
n
x (0) aivi
所以有:
i 1
n
n
Ak x(0) Ak ( aivi ) ai Akvi
43多项式方法求特征值问题
4．3多项式方法求特征值问题4.3.1 F-L 方法求多项式系数我们知道，求n 阶方阵A 的特征值就是求代数方程0||)(=-=I A λλϕ （4.3.1） 的根。
)(λϕ称为A 的特征多项式。
上式展开为n n n n p p p ++++=--.....)(2211λλλλϕ （4.3.2） 其中n p p p ,...,21为多项式)(λϕ的系数。
从理论上讲，求A 的特征值可分为两步：第一步 直接展开行列式|I A λ-|求出多项式)(λϕ；第二步 求代数方程0)(=x ϕ的根，即特征值。
对于低阶矩阵，这种方法是可行的。
但对于高阶矩阵，计算量则很大，这种方法是不适用的。
这里我们介绍用F-L （Faddeev-Leverrier ）方法求特征方程（4.3.2）中多项式)(λϕ的系数。
由于代数方程求根问题在第2章中已经介绍，所以本节中解决特征值问题的关键是确定矩阵A 的特征多项式)(λϕ，所以称这种方法为多项式方法求特征值问题。
记矩阵A=n n ij a ⨯)(的对角线元素之和为nn a a a trA +++=...2211 （4.3.3）利用递归的概念定义以下n 个矩阵:),....,2,1(n k B k =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=-==----),(................),(...............),(),(,11112231121I p B A B I p B A B I p B A B I p B A B A B n n n k k k n n k k trB n p trB k p trB p trB p trB p 113121332211===== （4.3.4）可以证明,(4.3.4)式中,,...,2,1,n k p k =即是所求A 的特征多项式)(λϕ的各系数。
用（4.3.4）式求矩阵的特征多项式系数的方法称为F-L 方法。
相应特征方程为：0).....()1(2211=-------n n n n n p p p λλλ （4.3.5） 而且可证矩阵A 的逆矩阵可表示为)(1111I p B p A n n n ----=(4.3.6)例1 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=324202423A的特征值与1-A .解 用F-L 方法求得 831800080008)(152111242824211)(63242024233322322112111==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-===⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-===⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==trB p I p B A B trB p I p B A B trB p A B所以A 的特征方程为0)8156()1(233=----λλλ 此方程的根,即特征值为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-=-=-==-214121418741214121)(11,1,82231321I p B p A λλλ 从例1中的计算结果可知.33I p B =Faddeev 曾经证明: 对n 阶矩阵A,按(4.3.4)式计算出的n B 总有I p B n n = (4.3.7)4.3.2 特征向量求法当矩阵A 的特征向量确定以后,将这些特征值逐个代入齐次线性程组(I A λ-)x=0中,由于系数矩阵I A λ-的秩小于矩阵I A λ-的阶数n,因此虽然有n 个方程n 个未知数,但实际上是解有n 个未知数的相互独立的r 个方程(r<n). 当矩阵A 的所有特征值互不相同时,这样的问题中要解的齐次方程组中有n-1个独立方程,其中含有n 个特征向量分量,因此特征向量分量中至少有一个需要任意假设其值,才能求出其他特征分量.在计算机中解这样的齐次线性程组,可用高斯-若当消去法,以便把一组n 个方程简化为等价的一组n-1个方程的方程组.然而,用高斯-若当消去法简化一个齐次线性程组时,方程之间不都是独立的,在消去过程中系数为零的情况较多.必需交换方程中未知数的次序,以避免主元素位置上为零的情况.因此,为了提高精度和避免零元素的可能性,我们总是用主元素措施把绝对值最大的系数放于主元素位置.例如,假设矩阵A 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=142235224A 其特征方程为λλλ------142235224=0 展开后为 0)5)(2)(1(=---λλλ 故特征值分别为5,2,1321===λλλ下面求特征向量，将1λ代入方程组0)(=-x I A λ中，得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=-+004202250223321321321x x x x x x x x x （4.3.8）以-5为主元素,交换上式第一与第二个方程得⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+=++-004202230225321321321x x x x x x x x x (4.3.9)用高斯-若当消去法消去-5所在列中的1x ,并把主元素所在行调到最后,得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=-+=-+0525205451600545160321321321x x x x x x x x x (4.3.10)再以16/5为主元素,消去它所在列中的2x ,并把主元素所在的行调到最后,得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=-+=++041002100000321321321x x x x x x x x x (4.3.11)这就是用高斯若当消去法实现把一组三个方程简化为等价的一组两个独立方程的情形.因为这个等价的方程组包含两个独立的方程,而有三个未知数，所以只要假定其中一个值,则其它两个值就可以通过两个独立方程解出.比如,令13-=x ,则得到矩阵A 的对应于11=λ的一个特征向量为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---14121 对另外两个特征值的对应特征向量求法与上述对11=λ的推导过程相同.计算机中实现求解这样的齐次线性方程组的消去步骤是,用第3章讨论过的高斯-若当消去法的公式,方程组(4.3.9)的系数矩阵经过第一次消去后的矩阵B 为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=52545452516516B (4.3.12)以矩阵为方程组(4.3.10)的系数矩阵,其中省略了有0和1元素的第一列.在进行第二次消元之前,要应用完全主元素措施对前两行进行最大主元素选择,然后再进行必要的行或列交换.每完成一次消元过程,总省略只有0和1元素的第一列,并且计算机仅寻找矩阵的前n-k 行中的最大主元素,其中k 是消元过程应用的次数.对(4.3.12)式再进行一次消元过程,则得到列矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=412101B (4.3.13) 此矩阵是对应于方程组(4.3.11)的系数矩阵,不过省略了含0和1元素的前两列.一般来说,最后矩阵列的数目等于矩阵I A λ-的阶数和秩的差值.由于方程组(4.3.8)有三个未知数,两个独立方程,所以计算机必须任意给定一个未知数的值,以便可以从其他两个独立方程中解出另外两个未知数.为方便，在计算机决定特征向量时,要恰当地设定任意选取的未知数的值.例如,令13-=x ,由方程组(4.3.11)知道,其他两个分量的值正好能从含3x 的非零系数项得出.为此,从计算机所存储的最终矩阵中,令1B 最上面的0元素为-1,并把它顺次调到最下面第三行的位置上,就得到所求的特征向量T)1,41,21(---. 在工程问题中,从特征方程所求出的特征值,少数情形也有相同的.一般地,当一个特征方程有k 重根λ时,矩阵I A λ-的秩可能比其阶数少1,或2,或3,…,或k,当然对应于λ的线性无关的特征向量的个数也就是1,或2,或3,…,或k,下面通过一个特征值对应两个线性无关特征向量的例子进一步说明计算机求特征向量的方法.设矩阵A 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=324202423A 其特征方程为032422423=---λλλ展开后得 0)8()1(2=-+λλ 所以特征值为8,1321=-==λλλ为了决定1-=λ的特征向量,将1-=λ代入方程组(I A λ-)x=0,得0424212424321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x (4.3.14)应用一次高斯-若当消去法,得01002/100100321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x (4.3.15)写成矩阵形式,(4.3.15)式的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1002/100B (4.3.16) 因为方程组(4.3.15)的系数矩阵的秩为1,它比矩阵阶数少2,因此对应于1-=λ有两个线性无关的特征向量,必须给两个未知数任意规定值,才能确定这两个线性无关的特征向量,由（4.3.15）式可看出,一般总是选择0,132=-=x x 求一个特征向量;选择1,032-==x x 求另一个特征向量;这样有两个线性无关的特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012/1, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101计算机中求两个线性无关的特征向量的办法是,在(4.3.16)式的B 中,把第一列中第一个0元素用-1代替,第二列中第二个0元素也用-1代替,然后把第一、第二行顺次调到最下面一行的位置上，第三行自然就成了第一行，如此调换后矩阵的第一列和第二列就是所求的两个线性无关的特征向量。
矩阵的特征值与特征向量的求法
摘要：首先给出了求解矩阵特征值和特征向量的另外两种求法,然后运用特征值的性质讨论了矩阵合同、相似的充要条件,以及逆矩阵的求解等相关问题.关键词：矩阵的特征多项式,特征值,特征向量,对角矩阵,逆矩阵Abstract：Firstly，it is given matrix eigenvalues and eigenvectors of two other methods, then with the properties of eigenvalue the contract of matrix discussed,we deeply discuss the sufficient and necessary conditions for the similar matrix contract, and the inverse matrix of the related problem solving.Keywords:matrix characteristic polynomial, eigenvalue, eigenvector, diagonal matrices, inverse matrix淮阴师范学院毕业论文(设计)目录1 前言 (4)2 矩阵的特征值和特征向量的求法 (4)2.1 矩阵的初等变换法 (4)2.2 矩阵的行列互逆变换法 (6)3 矩阵特征值的一些性质及应用 (7)3.1 矩阵之间的关系 (7)3.1.1 矩阵的相似 (7)3.1.2 矩阵的合同 (7)3.2 逆矩阵的求解 (8)3.3 矩阵相似于对角矩阵的充要条件 (8)3.4 矩阵的求解 (9)3.5 矩阵特征值的简单应用 (10)结论 (11)参考文献 (12)致谢 (13)030 1 前言矩阵特征值是高等代数研究的中心问题之一,也是硕士研究生招生考试的热点.而且在自然科学（如物理学、控制论、弹性力学、图论等）和工程应用（如结构设计、振动系统、矩阵对策）的研究中也同样离不开矩阵特征值问题,因而对其研究具有重要的理论和应用价值.2 特征值和特征向量的求解方法求n 阶矩阵A 的特征根和特征向量,传统方法是先求出矩阵A 的特征多项式()A E f -=λλ的全部特征根,然后对每个特征根 ()n i i ,,2,1 =λ求解齐次线性方程组()0=-X A E i λ的一个基础解系,即为A 的属于特征根i λ的线性无关的特征向量.现再此基础上另外介绍两种求矩阵特征值和特征向量的方法.2.1 矩阵的初等变换法这种方法在求解矩阵特征向量的同时就得到属于特征根的特征向量.定理[]11设齐次线性方程组0m n A X ⨯=的系数矩阵A 的秩数n r <,000rE PAQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭的非奇异矩阵n n Q ⨯ 的后n r - 列便构成线性方程组的一个基础解系.在运用传统方法求解矩阵A 的特征值时,我们求()A E f -=λλ的全部特征根时是通过将矩阵()A E -λ经过一系列的初等变换化成三角矩阵，这里我们可以受此启发,将它变换成下三角矩阵()λG .由定理1知,当矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-E A E λ经过一系列的初等列变换变换成()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλQ G 时,求 ()0=λG 得的i λ就是矩阵A 的特征值,然后将i λ代入()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλQ G ,()i G λ中的0列所对应的列就是所对应i λ的特征向量()i Q λ.例1 已知矩阵211031213A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,求矩阵A 的特征值和特征向量.淮阴师范学院毕业论文(设计)05解2221120103102121324310010001001000101100110022112254433454100001010010211112E A E λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------=→ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎛⎫ ⎪---- ⎪ ⎪-+-----+→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭()()21001203468001011113.G Q λλλλλλλλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪---+→ ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭由()()2240λλ--=知A 的特征根122λλ==,43=λ.当122λλ==时,()()1010021202001011111G Q -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎛⎫--=⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭,特征向量1111ξ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭. 当34λ=时,()()10012041004001011111G Q -⎛⎫⎪ ⎪⎪⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭,特征向量3111ξ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.0 2.2 矩阵的行列互逆变换法定理[]22 对于任意的矩阵A ,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛E A 都能经过一系列的行列互逆变换变成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛P J T .其中()()(){}()()()r i P P P P P J J J J Ti i i i r r k k k ik r ,,2,1,,,,,,,,,,,,21212121 ====βββλλλ.因为若尔当矩阵是下三角形矩阵,在一个若尔当形矩阵中,主对角线上的元素正是特征多项式的全部根（重根按重数计算）.因此在求解矩阵A 的特征值时我们又可以通过将矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛E A 进行行列互逆变换,从而得到A 特征值i λ,以及它对应的特征向量ik i i βξ=.例2 求矩阵211031213A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值与特征向量.解.111110111400021002211121102111400021002111010011400121002101010001400131111100010001312130112333223211213312122121⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-r c r r c c r r c c r r cc E A淮阴师范学院毕业论文(设计)07所以特征值4,2321===λλλ,对应特征值43=λ的特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1113ξ,对应的特征值221==λλ的特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111ξ.3 矩阵特征值的一些性质及应用3.1 矩阵之间的关系 3.1.1 矩阵的相似性质1 如果存在n 阶可逆矩阵X ,使得n 阶矩阵A 和B 满足AX X B 1-=,即矩阵A与矩阵B 相似,i λ为矩阵A 的特征值,i ξ为i λ所对应的特征向量,则i λ也为矩阵B 的特征值,且B 对应于i λ的特征向量为i X ξ1-.注 反之不成立,即矩阵有相同特征值的矩阵不一定相似.性质2 矩阵A 与B 都是n 阶矩阵,乘积矩阵BA 与AB 不一定相似,但却有相同的特征值.证明 若0是AB 的特征值,则0,0≠⋅=ξξξAB 故AB 不可逆,于是A 与B 中至少有一个不可逆,从而BA 不可逆,故有非零向量ξ使0=ξBA ,即0是BA 的特征值. 设()0≠λλ是AB 的特征值,即存在()0≠ξξ使得λξξ=AB .令ξηB =,则0≠==λξξηAB A ,因此0≠η于是ληξλλξξη==⋅==B B BAB BA ,即η是属于BA 的特征向量,λ是BA 的特征值,同理可证BA 的任何特征值也是AB 的特征值.例如矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A 和矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1201B ,BA 与AB 不相似却有相同的特征值1=λ. 例3 设n 阶矩阵B A ,,则矩阵A BA +与A AB +,B BA +与B AB +分别都有相同的特征值.证明 由于()()E B A A AB A E B A BA +=++=+,,由性质2知B AB A BA ++,有相同的特征值,同理B AB B BA ++,也有相同的特征值.得证.3.1.2 矩阵的合同性质3 n 阶对称矩阵A 与B 合同,即存在n 阶可逆矩阵C ,使得AC C B T =,其充要条0件是A 与B 的正负惯性指数相同,即正特征值,零特征值和负特征值的个数分别相等.这样我们在判断矩阵是否合同的时候又多了一种途径.例4 判断矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111111111111A 与矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000000000000004B 是否合同. 解 因为矩阵A 是实对称矩阵,可以求得()()34det λλλ--=-E A ,即A 的特征值为0321===λλλ,44=λ,矩阵B 的特征值为41=λ,0432===λλλ,由性质知矩阵A 和矩阵B 合同.3.2 逆矩阵的求解性质[]34对于n 阶矩阵A ,由哈密顿―凯莱定理可以知道()0=A f ,即00111=++++--E a A a A a A a n n n n .所以()E Ea A a a A n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-⋅-1101,从而()E a A a a An n 11011++-=-- . 故已知可逆矩阵的特征多项式或全部特征值,那么很容易找到1-A .例5 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101001321b b b A ,的特征多项式是()()31-=λλf ,求1-A . 解 因为()()1331233++-=-=λλλλλf ,所以E A A A 3321+-=-, 即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=-10100130003000333303300312201200132311321331211b b b b b b b b b b b b b A . 由本例可见,任何一个可逆矩阵A 的逆矩阵必是A 的一个多项式,这样又多了一种求逆矩阵的方法.3.3 矩阵相似于对角矩阵的充要条件性质[]35 n 阶矩阵A 相似于对角矩阵的充要条件是每一个特征值0λ在A E -λ中的重数等于A 的属于0λ的线性无关的特征向量的个数. 由此可见例1和例2中的矩阵不能相似于对角矩阵.淮阴师范学院毕业论文(设计)09例6 矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000100100λλλA 能否与对角矩阵相似?为什么? 解 不能.因为0λ是()030=-=-λλλA E 的三重根,且秩()2=-A E λ,于是A 的属于0λ的线性无关向量的个数为123=-,由性质8知,A 不能相似于对角矩阵.3.4矩阵的求解我们知道如果设1λ和2λ是2阶实对称矩阵A 的两个不同的特征值,1ξ和2ξ是对应于它们的特征向量,则1ξ和2ξ正交.且设()n i i ,,2,1 =λ是n 阶实对称矩阵A 的互不相同的特征值,()n i i ,,2,1 =ξ是对应于特征值的特征向量,则()n i i ,,2,1 =ξ两两正交.这样,如果对于n 阶实对称矩阵A ,我们知道它的全部特征值,又知道其中一个特征值所对应的特征向量,我们就可以根据这个应用,不仅可以求出这个矩阵其他特征值所对应的特征向量,也能求解出矩阵A .例7 设3阶对称矩阵A 的特征多项式是()()215+-λλ,且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111ξ是对应于5=λ的特征向量,求矩阵A .解 由上面的性质我们知道1-=λ对应的特征向量和1ξ正交,因此设1-=λ所对应的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ,对应于1-=λ的两个线性无关的向量可取0321=++x x x 的基础解系,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1012ξ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0113ξ,将正交向量组321,,ξξξ单位化得到正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0213121031212131Q ,正交矩阵Q 满足⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=Λ=100010005AQ Q T ,0所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ=456546663TQ Q A .补充:同时还能求出kA () ,2,1=k 的值,()T k T T T kT k Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q A Λ=ΛΛ⨯Λ=Λ= )(.3.5 矩阵特征值的简单应用性质[]46 n 阶实对称矩阵的特征值都是实数.性质[]57 n 阶矩阵A 与其转置矩阵TA 有相同的特征值.性质8 已知n 阶矩阵A 的特征值为n λλλ,,,21 ，则n A λλλ 21⋅=. 例8 设n 阶矩阵A 有n 个特征值n ,,2,1 ,且矩阵B 与A 相似,求B E +的值. 解 因为A 的特征值为n ,,2,1 ,矩阵B 与A 相似. 所以B 的特征值也为n ,,2,1 ,令()1+=λλf ,则()B f 的n 个特征值为()()()1,,32,21+===n n f f f , 因为!21n n A =⋅⋅⋅= ,所以()()()()!121+=⋅⋅⋅=+n n f f f B E .淮阴师范学院毕业论文(设计)011总结矩阵是线性代数中的一个重要部分，特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分。
特征多项式相等特征值相等证明
特征多项式相等特征值相等证明1. 特征值和特征向量的背景知识特征值和特征向量是矩阵论中的重要概念。
对于一个n阶矩阵A，如果存在数λ和非零向量X，使得AX=λX成立，则称λ是A的特征值，X是对应于特征值λ的特征向量。
2. 特征多项式的定义对于n阶矩阵A，其特征多项式定义为p(λ)=|A-λI|，其中I是n阶单位矩阵，|A-λI|表示A的特征多项式的行列式形式。
特征多项式的根即为矩阵A的特征值。
3. 特征多项式相等特征值相等的证明矩阵A,B的特征多项式相等，意味着两者的特征值相同。
下面进行证明。
步骤一：给定矩阵A,B的特征多项式相等，即pA(λ)=pB(λ)。
证明：根据特征多项式的定义，pA(λ)=|A-λI|，pB(λ)=|B-λI|。
根据特征多项式相等的条件，可得到|A-λI|=|B-λI|。
步骤二：证明A,B的特征值相等。
证明：由于pA(λ)=|A-λI|，pB(λ)=|B-λI|，根据步骤一可得|A-λI|=|B-λI|，即A-λI与B-λI的行列式相等。
由线性代数知识可知，行列式相等意味着两个矩阵的特征值相等。
步骤三：得出结论由步骤二可知，A,B的特征值相等。
特征多项式相等，特征值也相等成立。
4. 结论通过以上证明过程，我们可以得出结论：如果两个矩阵的特征多项式相等，那么它们的特征值也相等。
这一结论在矩阵分析和线性代数领域具有重要意义，为进一步研究矩阵的特征值和特征向量提供了重要的理论基础。
5. 总结本文通过介绍特征值和特征向量的定义，特征多项式的概念，以及特征多项式相等特征值相等的证明过程，阐述了矩阵论中的重要定理。
特征多项式相等可以推断出特征值相等，这一结论为矩阵分析理论和实际应用提供了重要的指导意义。
希望本文的介绍对读者有所帮助，引发更多关于特征值和特征向量的深入思考。
特征值和特征向量在矩阵论中起着至关重要的作用，它们不仅是理论研究的重要基础，也是在实际问题中求解矩阵特征问题的重要工具。
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4．3多项式方法求特征值问题4.3.1 F-L 方法求多项式系数我们知道，求n 阶方阵A 的特征值就是求代数方程0||)(=-=I A λλϕ （4.3.1）的根。
)(λϕ称为A 的特征多项式。
上式展开为n n n n p p p ++++=--.....)(2211λλλλϕ （4.3.2） 其中n p p p ,...,21为多项式)(λϕ的系数。
从理论上讲，求A 的特征值可分为两步：第一步 直接展开行列式|I A λ-|求出多项式)(λϕ；第二步 求代数方程0)(=x ϕ的根，即特征值。
对于低阶矩阵，这种方法是可行的。
但对于高阶矩阵，计算量则很大，这种方法是不适用的。
这里我们介绍用F-L （Faddeev-Leverrier ）方法求特征方程（4.3.2）中多项式)(λϕ的系数。
由于代数方程求根问题在第2章中已经介绍，所以本节中解决特征值问题的关键是确定矩阵A 的特征多项式)(λϕ，所以称这种方法为多项式方法求特征值问题。
记矩阵A=n n ij a ⨯)(的对角线元素之和为nn a a a trA +++=...2211 （4.3.3）利用递归的概念定义以下n 个矩阵:),....,2,1(n k B k =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=-==----),(................),(...............),(),(,11112231121I p B A B I p B A B I p B A B I p B A B A B n n n k k k n n k k trB n p trB k p trB p trB p trB p 113121332211===== （4.3.4）可以证明,(4.3.4)式中,,...,2,1,n k p k =即是所求A 的特征多项式)(λϕ的各系数。
用（4.3.4）式求矩阵的特征多项式系数的方法称为F-L 方法。
相应特征方程为：0).....()1(2211=-------n n n n n p p p λλλ （4.3.5） 而且可证矩阵A 的逆矩阵可表示为)(1111I p B p A n n n ----=(4.3.6)例1 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=324202423A的特征值与1-A .解 用F-L 方法求得 831800080008)(152111242824211)(63242024233322322112111==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-===⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-===⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==trB p I p B A B trB p I p B A B trB p A B 所以A 的特征方程为0)8156()1(233=----λλλ 此方程的根,即特征值为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-=-=-==-214121418741214121)(11,1,82231321I p B p A λλλ 从例1中的计算结果可知.33I p B =Faddeev 曾经证明: 对n 阶矩阵A,按(4.3.4)式计算出的n B 总有I p B n n = (4.3.7)4.3.2 特征向量求法当矩阵A 的特征向量确定以后,将这些特征值逐个代入齐次线性程组(I A λ-)x=0中,由于系数矩阵I A λ-的秩小于矩阵I A λ-的阶数n,因此虽然有n 个方程n 个未知数,但实际上是解有n 个未知数的相互独立的r 个方程(r<n). 当矩阵A 的所有特征值互不相同时,这样的问题中要解的齐次方程组中有n-1个独立方程,其中含有n 个特征向量分量,因此特征向量分量中至少有一个需要任意假设其值,才能求出其他特征分量.在计算机中解这样的齐次线性程组,可用高斯-若当消去法,以便把一组n 个方程简化为等价的一组n-1个方程的方程组.然而,用高斯-若当消去法简化一个齐次线性程组时,方程之间不都是独立的,在消去过程中系数为零的情况较多.必需交换方程中未知数的次序,以避免主元素位置上为零的情况.因此,为了提高精度和避免零元素的可能性,我们总是用主元素措施把绝对值最大的系数放于主元素位置.例如,假设矩阵A 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=142235224A 其特征方程为λλλ------142235224=0 展开后为 0)5)(2)(1(=---λλλ 故特征值分别为5,2,1321===λλλ下面求特征向量，将1λ代入方程组0)(=-x I A λ中，得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=-+004202250223321321321x x x x x x x x x （4.3.8）以-5为主元素,交换上式第一与第二个方程得⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+=++-004202230225321321321x x x x x x x x x (4.3.9)用高斯-若当消去法消去-5所在列中的1x ,并把主元素所在行调到最后,得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=-+=-+0525205451600545160321321321x x x x x x x x x (4.3.10)再以16/5为主元素,消去它所在列中的2x ,并把主元素所在的行调到最后,得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=-+=++041002100000321321321x x x x x x x x x (4.3.11)这就是用高斯若当消去法实现把一组三个方程简化为等价的一组两个独立方程的情形.因为这个等价的方程组包含两个独立的方程,而有三个未知数，所以只要假定其中一个值,则其它两个值就可以通过两个独立方程解出.比如,令13-=x ,则得到矩阵A 的对应于11=λ的一个特征向量为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---14121 对另外两个特征值的对应特征向量求法与上述对11=λ的推导过程相同.计算机中实现求解这样的齐次线性方程组的消去步骤是,用第3章讨论过的高斯-若当消去法的公式,方程组(4.3.9)的系数矩阵经过第一次消去后的矩阵B 为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=52545452516516B (4.3.12)以矩阵为方程组(4.3.10)的系数矩阵,其中省略了有0和1元素的第一列.在进行第二次消元之前,要应用完全主元素措施对前两行进行最大主元素选择,然后再进行必要的行或列交换.每完成一次消元过程,总省略只有0和1元素的第一列,并且计算机仅寻找矩阵的前n-k 行中的最大主元素,其中k 是消元过程应用的次数.对(4.3.12)式再进行一次消元过程,则得到列矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=412101B (4.3.13) 此矩阵是对应于方程组(4.3.11)的系数矩阵,不过省略了含0和1元素的前两列.一般来说,最后矩阵列的数目等于矩阵I A λ-的阶数和秩的差值.由于方程组(4.3.8)有三个未知数,两个独立方程,所以计算机必须任意给定一个未知数的值,以便可以从其他两个独立方程中解出另外两个未知数.为方便，在计算机决定特征向量时,要恰当地设定任意选取的未知数的值.例如,令13-=x ,由方程组(4.3.11)知道,其他两个分量的值正好能从含3x 的非零系数项得出.为此,从计算机所存储的最终矩阵中,令1B 最上面的0元素为-1,并把它顺次调到最下面第三行的位置上,就得到所求的特征向量T)1,41,21(---. 在工程问题中,从特征方程所求出的特征值,少数情形也有相同的.一般地,当一个特征方程有k 重根λ时,矩阵I A λ-的秩可能比其阶数少1,或2,或3,…,或k,当然对应于λ的线性无关的特征向量的个数也就是1,或2,或3,…,或k,下面通过一个特征值对应两个线性无关特征向量的例子进一步说明计算机求特征向量的方法.设矩阵A 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=324202423A 其特征方程为032422423=---λλλ展开后得 0)8()1(2=-+λλ 所以特征值为8,1321=-==λλλ为了决定1-=λ的特征向量,将1-=λ代入方程组(I A λ-)x=0,得0424212424321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x (4.3.14)应用一次高斯-若当消去法,得01002/100100321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x (4.3.15)写成矩阵形式,(4.3.15)式的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1002/100B (4.3.16) 因为方程组(4.3.15)的系数矩阵的秩为1,它比矩阵阶数少2,因此对应于1-=λ有两个线性无关的特征向量,必须给两个未知数任意规定值,才能确定这两个线性无关的特征向量,由（4.3.15）式可看出,一般总是选择0,132=-=x x 求一个特征向量;选择1,032-==x x 求另一个特征向量;这样有两个线性无关的特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012/1, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101计算机中求两个线性无关的特征向量的办法是,在(4.3.16)式的B 中,把第一列中第一个0元素用-1代替,第二列中第二个0元素也用-1代替,然后把第一、第二行顺次调到最下面一行的位置上，第三行自然就成了第一行，如此调换后矩阵的第一列和第二列就是所求的两个线性无关的特征向量。
对应于1-=λ的全部特征向量为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101012/121k k其中1k 与2k 是任意常数，且不同时为零。
为了说明列交换的必要性，避免主元素为零，再举一个例子，设矩阵A 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=1004411282A 其特征方程为0)1()2(=--λλλ 特征值为1,0,2321===λλλ对应于2=λ的特征向量可由解下列方程组而求得01004211284321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----x x x (4.3.17)用一次高斯-若当消去法，得0321100100321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-x x x (4.3.18)若不进行列交换，则下一个消元过程只能在第一行的第二个元素与第二行的第二个元素中找最大主元素，而它们都是零，我们不得不对(4.3.17)式进行列交换，即交换未知数之间的次序，之后再进行消去过程.对(4.3.17)式进行列交换，即把绝对值最大系数放在主元素位置，显然是第一列与第三列的交换，交换后成为00011244812123=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----x x x (4.3.19)其中未知数列矩阵中1x 与3x 也进行了交换，这样才能保证(4.3.17)式与(4.3.19)式等价，对(4.3.19)式进行一次高斯-若当消去法，得03/13/213/13/203/13/20123=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--x x x (4.3.20)再进行一次消去过程，得02/110001000123=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x (4.3.21)在计算机中计算，剩下一个最终的列矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2/100B (4.3.22) 将(4.3.22)式中的列矩阵B 中第一个0元素用-1代替，并随即调到最下面一行，便得到 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-12/10 （4.3.23）这就是对应于方程组(4.3.19)的解，在计算机程序中应把原来进行列交换的列号次序记住，重新把(4.3.23)式中各分量排列一下，即交换第一行和第三行的元素，就得到对应于2=λ的特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-02/11 对应于的全部的特征向量为k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-02/11 其中k 为不等于零的任意常数.。