人教版数学三角函数课件
高中数学人教版必修课件：任意角的三角函数
2019年高中数学人教版必修4课件：1. 2.1任 意角的 三角函 数(共20 张PPT)
例2 已知角α的终边经过点P0(-3,-4),求角α的正弦、 余弦和正切值
解法一: OP0 32 42 5
设角α的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点P、
P0作x轴的垂线MP、M0P0,则
M 0 P 0 4 ,M P y ,O M 0 3 ,O M x
cos OM x ,
M
α
OP r
Ox
tan MP y
OM x
它们都是以角为自变量，以比值为函数
值函数
注：任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P 在
角的终边上的位置无关.
利用单位圆定义任意角的三角函数
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于
点P(x,y) (1) y叫做α的正弦,记作sinα,
第一课时
肥城一中高一数学组
复习回顾
在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
P c
a
Ob M
a
sin c
b
cos c
a
tan b
它们都是以锐角为自变量，以比值为函 数值函数
定义推广：
已知任意角α终边上任意一点P(x,y),就可以
求出角α的三角函数值.
sin MP y ,
OP r
r x2 y2
P(x,y) y
2019年高中数学人教版必修4课件：1. 2.1任 意角的 三角函 数(共20 张PPT)
例4 确定下列三角函数值的符号,然后用计算器
验证: 1cos250;
2sin4;
3tan672 ; 4tan3.
解:(1)因为250°是第___三象限角,所以cos250° 0<
人教A版高中数学必修第一册 第5章 三角函数 课件(1)(共38张PPT)
图象图正象弦特曲征线、余弦曲线、正切曲线
三角函数
三角函数的图象与性质
周 奇期 偶性 性 性质
单调性
最大、最小值
A，ω，φ对函数图象的影响
函数y＝Asinωx＋φ的图象 图象画法五 变点 换法 法
三角函数模型的简单应用
专题训练
专题一 正弦函数与余弦函数的对称性问题 正弦函数 y＝sinx，余弦函数 y＝cosx，在教材中已研究了 它们的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．除了上述有 关内容之外，近年来有关正弦函数、余弦函数等对称性问题在 高考中有所出现，有必要对其作进一步的探讨．
第五章
人教2019A版必修 第一册
三角函数
小结与复习
知识框图
三 角 函 数
பைடு நூலகம்
公式一～四：α＋2kπk∈Z，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值， 前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号
三角函数的诱导公式
公式五、六：π2±α的正余弦函数值，分别等于α的余弦正弦函数值， 前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号
解得ab＝ ＝－ －41， .
∴a、b 的取值分别是 4、－3 或－4、－1.
[点拨] 本题是先由定义域确定正弦函数 y＝sin(2x＋6π)的 值域，但对整个函数的最值的取得与 a 有关系，故对 a 进行分 类讨论．
设 a≥0，若 y＝cos2x－asinx＋b 的最大值为 0，最 小值为－4，试求 a、b 的值．
[分析] 通过换元化为一元二次函数最值问题求解．
[解析] 原函数变形为 y＝－(sinx＋a2)2＋1＋b＋a42. 当 0≤a≤2 时，－a2∈[－1,0]， ∴ymax＝1＋b＋a42＝0.① ymin＝－(1＋a2)2＋1＋b＋a42＝－4② 由以上两式①②，得 a＝2，b＝－2，舍 a＝－6(与 0≤a≤2 矛盾)．
三角函数认识ppt课件
辅助角公式
总结词
用于将三角函数式化为单一三角函数的形式。
详细描述
辅助角公式是三角函数中常用的化简工具，它可以将复杂的三角函数式化为单一三角函数的形式，便于计算和理 解。具体公式如下：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
三角函数认识ppt课件
目录
• 三角函数的定义 • 三角函数的图像与性质 • 三角函数的应用 • 三角函数的变换公式 • 三角函数的特殊值
01
三角函数的定义
角度与弧度的关系
角度制
以度（°）为单位，规定一周为 360度，每度分为60分，每分为 60秒。
弧度制
以弧度（rad）为单位，规定圆的 周长为2π弧度。角度与弧度的转 换公式为：1° = π/180 rad。
三角函数的基本恒等式
正弦、余弦、正切之间的基本恒等式。
利用这些恒等式，可以方便地进行三角函数的转换和化简，对于解决三角函数问 题非常有用。
THANK YOU
积的和差公式
总结词
用于计算两个角的三角函数值的乘积之和或之差。
详细描述
积的和差公式也是三角函数中常用的公式之一，它可以计算两个角的三角函数值 的乘积之和或之差。具体公式如下：sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny，cos(xy)=cosxcosy+sinxsiny，tan(x-y)=(tanx-tany)/(1+tanxtany)。
详细描述
和差角公式是三角函数中非常重要的公式之一，它可以将两个角的三角函数值 相加或相减，得到新的三角函数值。具体公式如下： sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
人教版数学第一章《同角三角函数基本关系》上课(共23张PPT)教育课件
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
尘
口
罗
不
■
电
什
么
很
头
试
常
任意角三角函数的定义课件(共29张PPT)
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
所以当α不变时，这三个比值 x , y , y ，不论点P在α的
rrx
终边上的位置如何，它们都是定值，只依赖于α的大小，
数学
基础模块（上册）
第五章 三角函数
5.2.1任意角三角函数的定义
人民教育出版社
第五章 三角函数 5.2.1 任意角三角函数的定义
学习目标
知识目标 能力目标
理解锐角三角函数、任意角的三角函数（余弦函数、正弦函数、正切函数） 的概念.理解单位圆、三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）的概念
学生运用分组探讨、合作学习，掌握正弦、余弦与正切在各象限的符号特征， 明确利用三角函数线求解角的正弦、余弦和正切值的方法，提高学生的数学 运算能力
2
2
2
巩固练习，提升素养 在在活初初动中中3，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
例3 求 5 正弦、余弦和正切值.
6
解 如图5-11所示，在的终边上取点P，使OP=2．作
，
cos x 2 2 13 ，
r 13 13
tan
y x
3 2
.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
例 2 求下列各角的正弦、余弦和正切值. （1）0；（2）π；（3） 3 .
人教版数学《任意角的三角函数》教学(共24张PPT)教育课件
M
P α的终边
y
T
α
x
O A(1,0)
归纳 总结
1. 内容总结： ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一. ④三角函数线.
2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题.
3 .体现的数学思想： 数形结合的思想.
作业
P20 A组1、2、3（1、2、3） P21 9（１、３）
y
（3） 叫做
x
的正切，记作tan，即 tan y (x 0)
x
y
注意：正弦，余弦，正切都
Px, y﹒
O
A1,0 x
是以角为自变量，以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数，我们将他们称为三角函数.
思考3 根据三角函数的定义，确定它们的 定义域（弧度制）？
y
Px, y﹒
O
三角函数
sin
学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。 理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
5.2.1 三角函数的概念-(新教材人教版必修第一册)(36张PPT)
第二 阶段
课堂探究评价
关键能力 素养提升
类型一：利用三角函数的定义求三角函数值
典例示范
【例 1】 已知角 θ 的终边上一点 P(x,3)(x≠0)，且 cos θ＝ 1100x， 求 sin θ，tan θ.
解：由题意知 r＝|OP|＝ x2＋9，由三角函数定义得 cos θ＝xr＝
x x2＋9.
cos cos
xx＋ttaann
xx＝－2；
当
x
是第三象限角时，cos
x＝－cos
x，tan
x＝tan
x，∴y＝ccooss
x
x
＋ttaann xx＝0；
当
x
是第四象限角时，cos
x＝cos
x，tan
x＝－tan
x，∴y＝ccooss
x
x
＋ttaann xx＝0. 故所求函数的值域为{－2,0,2}．
类型三：诱导公式一的应用
典例示范
【例 5】计算下列各式的值： (1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)·sin 750°； (2)sin－116π＋cos152π·tan 4π.
解 ： (1) 原 式 ＝ sin( － 4×360°＋ 45°)cos(3×360°＋ 30°) ＋ cos( －
(1)sin 3，cos 4，tan 5；
(2)sin(cos θ)(θ 为第二象限角)． 解：(1)∵π2<3<π<4<32π<5<2π， ∴3,4,5 分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. (2)∵θ 是第二象限角， ∴－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0.
5.2.1三角函数的概念教学课件(人教版)
例4 确定下列三角函数的符号, 然后用计算工具验证：
(1) cos 250;
(2)
sin
4
;
(3) tan(672);
(4) tan 3
(1)因为250第三象限角, 所以cos 250 0;
(2) 因为
4
是第四象限角,
所以
sin
4
0;
(3)因为tan(672) tan(48 2 360) tan 48,
(2) cos 9 cos( 2 ) cos 2 ;
4
4
42
(3)
tan
11
4
tan
6
2
tan
6
3. 3
解题方法（利用诱导公式一进行化简求值的步骤）
(1)定形：将已知的任意角写成 2kπ＋α 的形式，其中 α∈[0，2π)， k∈Z.
(2)转化：根据诱导公式，转化为求角 α 的某个三角函数值． (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．
x
x
唯一确定的. 所以, y tan( x 0)也是以角为自变量, 以单位圆上点
x 的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数, 称为正切函数.
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 （trigonometic function），通常将它们记为：
正弦函数 余弦函数
正切函数
y sin x, x R;
5
5
4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°. (2)cos253π＋tan－154π. [解] (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0. (2)cos253π＋tan－154π ＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4 ＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32.
人教版高中数学必修一《三角函数教学课件》
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
忽视对参数的分类讨论致误
典例 角α的终边过点P(-3a,4a),a≠0,则cos α=
.
错解因为 x=-3a,y=4a,所以 r= (-3)2 + (4)2 =5a,于是 cos
4x-3y=0(x≤0)上,不妨令 x=-3,则 y=-4,∴r=5,∴cos α==-5,sin
4
3
4
1
α= =-5,则 cos α-sin α=-5 + 5 = 5.
1
答案:5
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
2
延伸探究 已知角 α 的终边上有一点 P(- 3,m),且 sin α= 4 m,求
的取值范围是(
)
A.(-2,3]
B.(-2,3)
C.[-2,3)
D.[-2,3]
解析:由cos α≤0,sin α>0可知,角α的终边在第二象限或y轴的正半
轴上,所以有 3-9 ≤ 0, 解得-2<a≤3.
+ 2 > 0,
答案:A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
诱导公式一的应用
例3求下列各式的值:
思维辨析
随堂演练
变式训练1(1)已知α=2,则点P(sin α,tan α)所在的象限是(
)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
D.第四象限
π
解析:因为α=2∈ 2 ,π ,即α在第二象限,所以sin α>0,tan α<0,则
点P(sin α,tan α)在第四象限.
答案:D
(2)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a
人教版高中数学必修1《三角函数的概念》PPT课件
• [方法技巧]
• 有关三角函数值符号问题的解题策略
• (1)已知角α的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两 个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的 公共部分即角α的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情 况．
• (2)对于多个三角函数值符号的判断问题，要进行分类讨 论．
()
• A．第一象限 二象限
B．第
• C．第三象限
D．第四象限
• (2)判断下列各式的符号：
• ①sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°；
• ②tan 191°－cos 191°；
• ③sin 2cos 3tan 4.
• [解析] (1)由点P(sin θ，sin θcos θ)位于第二象限，
则 sin θ＋tan θ＝3 1100＋30；
当 θ 为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3，
则 sin θ＋tan θ＝3
10－30 10 .
(2)直线 3x＋y＝0，即 y＝－ 3x 经过第二、四象限． 在第二象限取直线上的点(－1， 3)， 则 r＝ －12＋ 32＝2， 所以 sin α＝ 23，cos α＝－12，tan α＝－ 3； 在第四象限取直线上的点(1，－ 3)， 则 r＝ 12＋－ 32＝2， 所以 sin α＝－ 23，cos α＝12，tan α＝－ 3.
• 可得sin θ＜0，sin θcos θ＞0，可得sin θ＜0，cos θ＜0，
• 所以角θ所在的象限是第三象限．
答案：C (2)①∵2 020°＝1 800°＋220°＝5×360°＋220°， 2 021°＝5×360°＋221°，2 022°＝5×360°＋222°， ∴它们都是第三象限角，∴sin 2 020°<0，cos 2 021°<0，tan 2 022°>0， ∴sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°>0. ②∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0. ③∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<32π， ∴2 是第二象限角，3 是第二象限角，4 是第三象限角， ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，∴sin 2cos 3tan 4<0.
人教版数学必修4第一章1.2.1任意角的三角函数课件(共21张PPT)
设角 的终边与单位圆交于 P(x, y) ，
分别过点 P、P0 作 x轴的垂线 MP、M 0 P0 M 0 M
M0P0 4
OM x
O
x
OM0 3
MP y
OMP∽ OM0P0
Px, y P03,4
于是，sin yy|M| P M 0P 04;
1 OP O0P 5
co sxxO M O0M 3; 1 OP O 0P5
2
2cos 9 cos( 2 ) cos 2
4
4
42
3tan( 11 )
tan(
2 )
tan
3
6
6
63
归纳总结
1. 内容总结： （1）任意角三角函数的概念以及它推广的定义。 练习:确定下列三角函数值的符号：
思考5:在弧度制中，这三个三角函数的 结论:终边相同的角的同一三角函数的值相等. 例4:求下列三角函数值： 点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。 函数的符号规律。 上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数, 函数的符号规律。 练习:确定下列三角函数值的符号： 那么① 叫做 的正弦，即 那么① 叫做 的正弦，即 ② 叫做 的余弦，即
ta nx yc sio ns3 4
定义推广：
设角是一个任意角，P(x, y) 是终边上的
任意一点，点 P与原点的距离r x2 y2 0
那么① y 叫做的正弦，即 sin y
r
② x 叫做
的余弦，即 cos rx
r
r
y
③
叫做 的正弦，即 tan y x 0
x
x
任意角 的三角函数值仅与 有关，而
y
5.2三角函数的概念PPT课件(人教版)
跟踪训练 2 作出－58π的正弦线、余弦线和正切线．
解析：如图：sin－58π＝MP， cos－58π＝OM， tan－58π＝AT. 作单位圆、作角、画出三角函数线．
题型三 三角函数在各象限的符号[经典例题]
例 3 若 sin αtan α<0，且ctaons αα<0，则角 α 是( ) A.第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
方法归纳 判断三角函数值正负的两个步骤 （1）定象限：确定角 α 所在的象限． （2）定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二 正弦，三正切，四余弦”来判断． 注意：若 sin α>0，则 α 的终边不一定落在第一象限或第二象限 内，有可能终边落在 y 轴的非负半轴上．
跟踪训练 3 判断下列各式的符号： （1）sin 145°cos(－210°)； （2）sin 3·cos 4·tan 5.
所以 sin α＝－ 23，cos α＝12，tan α＝－ 3.
答案：
（1）－1123
5 13
－152
（2）见解析
状元随笔 （1）若已知角 α 终边上一点 P(x，y)(x≠0)不是单
位圆上的点，则先求 r＝ x2＋y2(r 表示点 P 到原点的距离)，sinα＝ yr ，cosα＝xr ，tanα＝yx.
【解析】 在直线坐标系中，
作∠AOB＝53π(如图)．
易知∠AOB
的终边与单位圆的交点坐标为12，－
3
2
.
所以 sin53π＝－ 23，
cos53π＝12，
tan53π＝－ 3.
1．在直角坐标系中作角． 2．画出单位圆求交点． 3．利用三角函数的定义求值．
教材反思
已知 α 终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法 （1）用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、 余弦函数的定义求出相应三角函数值． （2）在 α 的终边上任选一点 P(x，y)，P 到原点的距离为 r(r>0)．则 sin α＝yr，cos α＝xr. 已知 α 的终边求 α 的三角函数值时， 用这几个公式更方便． （3）当角 α 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问 题的实际情况对参数进行分类讨论．
数学人教A版必修第一册5.2.1三角函数的概念课件
(3) y 叫做的正切,记作 y tan(x 0);
x
x
注 : 当x 0,即 k (k Z )时, y tan无意义.
2
x
正弦函数 : y sin x , x R x为角的弧度
三角函数 余弦函数 : y cos x , x R y为角的三角函数值
正切函数 :
y
tan
x
,
x
2
k
(2)
cos2
1 2 sin2
的值是
___
.
分子为1
(3)5cos2 3sin2 的值是 ____ . 暗含：分母为1
1 sin2 cos2
(4)sin cos的值是 ____ . 暗含：分母为1
原式
sin cos sin2 cos2
tan tan2 1
2 5
[变式]已知 sin 2 cos 2,则sin cos的值为 ____ . sin cos
(其中k Z )
公式一（角度制）
sin( k 360) sin cos( k 360) cos tan( k 360) tan
(其中k Z )
巩固：公式一的运用（求值）
[例5]求下列三角函数值 :
(1) cos 9 ; (2) tan 3 (3)sin ( 11 ) (4) tan(1050)
新知：同角三角函数的基本关系
sin2 cos2 1 cos2 1 sin2 (1 sin )(1 sin )
tan sin cos
(sin cos )2 1 2sin cos sin4 cos4 sin2 cos2
求5cos 4 tan的值.
解 : 由sin2 cos2 1得 cos2 1 sin2 1 ( 3)2 16 .
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
高中数学课件三角函数ppt课件完整版目录•三角函数基本概念与性质•三角函数诱导公式与恒等式•三角函数的加减乘除运算•三角函数在解三角形中的应用•三角函数在数列和概率统计中的应用•总结回顾与拓展延伸PART01三角函数基本概念与性质三角函数的定义及性质三角函数的定义正弦、余弦、正切等函数在直角三角形中的定义及在各象限的性质。
特殊角的三角函数值0°、30°、45°、60°、90°等特殊角度下各三角函数的值。
诱导公式利用周期性、奇偶性等性质推导出的三角函数诱导公式。
正弦、余弦函数的图像及其特点，如振幅、周期、相位等。
三角函数图像周期性图像变换正弦、余弦函数的周期性及其性质，如最小正周期等。
通过平移、伸缩等变换得到其他三角函数的图像。
030201三角函数图像与周期性正弦、余弦函数的值域为[-1,1]，正切函数的值域为R 。
值域在各象限内，正弦、余弦函数的单调性及其变化规律。
单调性利用三角函数的性质求最值，如振幅、周期等参数对最值的影响。
最值问题三角函数值域和单调性PART02三角函数诱导公式与恒等式诱导公式及其应用诱导公式的基本形式01通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基本角度（如0°、30°、45°、60°、90°）的三角函数值。
诱导公式的推导02利用三角函数的周期性、对称性、奇偶性等性质，通过逻辑推理和数学归纳法等方法推导出诱导公式。
诱导公式的应用03在解三角函数的方程、求三角函数的值、证明三角恒等式等方面有广泛应用。
例如，利用诱导公式可以简化计算过程，提高解题效率。
恒等式及其证明方法恒等式的基本形式两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。
其中，代数法是通过代数运算和变换来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函数的性质和关系来证明恒等式。
5.2.1三角函数的概念课件(人教版)
0
1 2
2
3
2
2
0
0 cosα
1
3
2
1
2
2
2
1 0 1
tanα 0 3 1 3
3 不存在 0 不存在 0
设角α终边与单位圆相交于点P(x,y) ，则|OP|=r=1,则
sinα
y r
=y;
cosα
x r
x;
tanα
y (x x
0)
三角函数值在各个象限的符号
y
++
y
－+
y
－
+
y>0 y>0
x<0 x>0
x<0，y>0 x>0，y>0
x
－0 －
－0 +
x
x
+0 －
y<0 y<0
x<0 x>0
x<0，y<0 x>0，y<0
一全正，二正弦，三正切，四余弦
含义：第一象限各三角函数均为正，第二象限只有正弦为正，其余均为负； 第三象限只有正切为正，其余均为负，第四象限只有余弦为正，其余皆为负。
诱导公式一
【思考】如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？ 终边相同的角的同一三角函数值相等
第五章 三角函数
5.2.1 三角函数的概念
教学目标
新课程标准 1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
核心素养 数学建模
2.理解三角函数的概念．
数学抽象
3.熟练掌握三角函数值在各象限的符号．
直观想象
4．通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的 角的同一三角函数值相等．
5.2.1三角函数的概念课件(人教版)
用角的终边上的点刻画三角函数. 三角函数值的符号的应用.
重点
探究一 三角函数的概念
定义
设 是一个任意角， ∈R，它的終边OP与单位圆交于点P（x，y）.
（1）把点P的纵坐标y叫做 的正弦函数，记作 sin ，即y= sin ；
（2）把点P的横坐标x叫做 的余弦函数，记作 cos ，即x= cos ； （3）把点P的纵坐标与横坐标的比值 y 叫做 的正切，
的值为(
)
A. π
3
B. 2π
3
C. 5π
3
√D. 11π 6
由 sin 2π 0 ， cos 2π 0 知角
3
3
cos 2π
是第四象限角 (0, 2π) ，
3
3
所以 11π ，故选 D.
6
练一练
3. sin1 cos 2 tan 4 的符号为( )
第 五 章 三角函数
5.2.1 三角函数的概念
学习目标
借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义， 会求具体弧度的三个三角函数值.
从三角函数的定义认识其定义域、函数值在各个象限的符号.
根据定义理解公式一， 初步解决与三角函数值有关的一些简单问题.
准备好了吗？一起去探索吧！
三角函数的定义. 三角函数值在各个象限内的符号，公式一.
定义域
R R
tan a
∣
2
k
,k
Z
探究三 各象限角的三角函数值的符号
各个象限角的三角函数值的符号
例题
求证：角 为第三象限角的充要条件是 sin 0,(1) tan 0.(2) .
先证充分性，即如果（1）（2）式都成立，那么 为第三象限角. 因为（1）式 sin 0 成立，所以 角的终边可能位于第三或第四象限，
5.2.1三角函数的概念课件(人教版)
13
5
13
5
12
则sinα= ，cosα= ，tanα= ．
六、归纳小结提高认识
1.知识：三角函数的定义及其定义域.
2.数学思想方法：数形结合思想；类比法.
七、布置作业 检测目标
课本179-180页练习1、2、3、4题.
谢
谢！
作x轴的垂线PM,P0M0,垂足分别为M,M0,则
|P0M0|=|y0|,|PM|=|y|,|OM0|=|x0|,|OM|=|x|,△OMP∽△OM0P0.
因为y0与y同号，所以y0= .即sinα= .
同理可得cosα= , tanα= .
于是
0 0
1
=
,即|y0|= .
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位
圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，
我们将它们统称为三角函数
2.三角函数的定义域：
三角函数
定义域
sin α
R
cos α
R
tan α
| ≠ ＋， ∈
2
四、举例应用掌握定义
5
例1.求 的正弦、余弦和正切值.
3
5
解：在直角坐标系中，作∠AOB= ，易知∠AOB的终边与单
在锐角的终边上任取一点P(a, b),
设 OP r a 2 b2 0
P(a
, b)
y
P ( a, b)
MP b
sin
OP r
OM a
cos
OP
r
tan
人教版数学三角函数课件
(2)1353CB A(1)34CB A 1锐角三角函数（1） ——正弦正弦函数概念：规定：在Rt △BC 中，∠C=90，∠A 的对边记作a ，∠B 的对边记作b ，∠C 的对边记作c ．在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记作sinA ，即sinA= =ac． sinA ＝A a A c ∠=∠的对边的斜边 例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=；当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ． 例1 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA 和sinB 的值．五、课堂小结：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A•的对边与斜边的比都是 ．在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A•的 ，•记作斜边c对边abC BAB 锐角三角函数（2） ——余弦、正切把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=A ∠的邻边斜边=ac；把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA=A A ∠∠的对边的邻边=ab．•现在我们要问：∠A 的邻边与斜边的比呢？ ∠A 的对边与邻边的比呢？ 为什么？一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：Rt △ABC 与Rt △A`B`C`，∠C=∠C` =90o ，∠B=∠B`=α， 那么与有什么关系？类似于正弦的情况，如图在Rt △BC 中，∠C=90°，当锐角A 的大小确定时，∠A 的邻边与斜边的比、∠A 的对边与邻边的比也分别是确定的．我们 例如，当∠A=30°时，我们有cosA=cos30°=；当∠A=45°时，我们有tanA=tan45°= ． 锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数．对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是A 的函数．同样地，cosA ，tanA 也是A 的函数．例2：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=•6，sinA=35，求cosA 、tanB 的值．在Rt△BC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA= =ac．sinA＝A aA c∠=∠的对边的斜边把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作，即把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作，即第三课时课题：第28章锐角三角函数28．1锐角三角函数（3）——特殊角三角函数值【学习目标】⑴:能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。
5.2.1三角函数的概念课件(人教版)(1)
(3)已知sin
3
α= ,cos
5
×
4
α=- ,则角α是第二象限角.
5
×
)
√
)
)
(
(4)已知α是第四象限角,设sin α·cos α=m,则m的符号不确定.
(
×
)
知识梳理
知识点三
公式一
相等
终边相同的角的同一三角函数的值
sinsin(α+k·2π)=
2
2
B.
(
2
2
B
)
C.
3
2
[解析] (1)sin 405°=sin(360°+45°)=sin 45°=
D.2
.故选B.
2
3
2
变式训练
2π
1.利用定义求 的正弦、余弦和正切值.
3
2π
解:(1)如图所示,设 角的终边与单位圆的交点为P,过点P作PB⊥x轴交x轴于点B.
3
π
3
1
在Rt△OPB中,|OP|=1,∠POB= ,则|PB|= ,|OB|= ,∴P
2
2 4
π
6
+tan −4π +
π
4
cos 4π +
π
3
=sin
π
cos
3
目标检测
1.若角α的终边在直线y=2x上,求sin α,cos α,tan α的值.
解:(2)设O为坐标原点.分两种情况讨论:①当角α的终边在第一象限时,在角α的终
边上取一点P(1,2),
则由|OP|= 12 + 22 = 5,得sin α=
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---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------人教版数学三角函数课件(2)1353CBA(1)34CBA1 锐角三角函数（1）正弦正弦函数概念：规定：在Rt△BC 中， C=90， A 的对边记作 a， B 的对边记作 b，C 的对边记作 c．在Rt△BC 中， C=90 ，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记作 sinA，即 sinA= =ac． sinA ＝AaAc的对边的斜边例如，当A=30 时，我们有sinA=sin30 = ；当A=45 时，我们有 sinA=sin45 = ．例 1 如图，在Rt△ABC 中， C=90 ，求 sinA 和sinB 的值．五、课堂小结：在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何， A 的对边与斜边的比都是．在Rt△ABC 中， C=90 ，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的，记作斜边c对边abCBA6CBA锐角三角函数（2）余弦、正切把A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记作 cosA，即cosA=A的邻边斜边=ac；把A 的对边与邻边的比叫做A 的正切，记作 tanA，即 tanA=AA的对边的邻边=ab．现在我们要问： A 的邻边与斜边的比呢？ A 的对边与邻边的比呢？为什么？一般地，当A 取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：1/ 7R t△ABC 与Rt△A`B`C`， C=C` =90o， B=B`=，那么与有什么关系？类似于正弦的情况，如图在Rt△BC 中，C=90 ，当锐角 A 的大小确定时， A 的邻边与斜边的比、 A 的对边与邻边的比也分别是确定的．我们例如，当A=30 时，我们有cosA=cos30 = ；当A=45 时，我们有 tanA=tan45 = ．锐角 A 的正弦、余弦、正切都叫做 A 的锐角三角函数．对于锐角 A 的每一个确定的值， sinA 有唯一确定的值与它对应，所以 sinA 是 A 的函数．同样地， cosA， tanA 也是 A 的函数．例 2：如图，在Rt△ABC 中， C=90 ， BC= 6， sinA=35，求 cosA、tanB 的值．在Rt△BC 中， C=90 ，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的正弦，记作 sinA，即 sinA= =ac． sinA＝AaAc的对边的斜边把A 的邻边与斜边的比叫做 A 的余弦，记作，即把 A 的对边与邻边的比叫做 A 的正切，记作，即第三课时课题：第 28 章锐角三角函数 28． 1 锐角三角函数（3）特殊角三角函数值【学习目标】⑴: 能推导并熟记 30 、 45 、 60 角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。
⑵: 能熟练计算含有 30 、 45 、 60 角的三角函数的运算式【学习重点】熟记 30 、 45 、 60 角的三角函数值，能熟练计算含有 30 、 45 、 60 角的三角函数的运算式【学习难点】 30 、---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------45 、 60 角的三角函数值的推导过程归纳结果 30 45 60 siaAcosA tanA 例 3：求下列各式的值．（1）cos260+sin260．（2）cos45sin45-tan45 ．例 4：（1）如图（1），在Rt△ABC 中， C=90， AB=6， BC=3，求A 的度数．（2）如图（2），已知圆锥的高 AO 等于圆锥的底面半径 OB 的3倍，求 a．要牢记下表：30 45 60 siaA cosA tanA 第四课时课题：第 28 章锐角三角函数（1） sin30 cos45 +cos60 ; （2） 2sin60 -2cos30 sin45 （3）2cos602sin302; （4）sin45cos3032cos60-sin60（1-sin30 ）．（5） tan45 sin60 -4sin30 cos45 + 6tan30 （6）sin45tan30tan60+cos45 cos30 28． 2 解直角三角形（1）【学习目标】⑴: 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形⑵: 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．⑶: 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．【学习重点】直角三角形的解法．【学3/ 7习难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用【导学过程】一、自学提纲：1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形 ABC 中， C=90， a、 b、 c、 A、 B 这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系aabAbbaAcabAcbaA cot;tan;cos;sinbBaBcBc B cot;tan;cos;sin 如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边cottancossin (2)三边之间关系 (3)锐角之间关系A+B=90． a2 +b2 =c2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据．二、合作交流：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到 0. 1 m) (2)当梯子底端距离墙面 2.4 m 时，梯子与地面所成的角1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子， (如图).现有一个长 6m 的梯子，问: 等于多少(精确到例 1 在△ABC 中，C 为直角， A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，且 b= 2 ， a=6 ，解这个三角形．例 2 在Rt△ABC 中， B =35o， b=20，解这个三角形． 1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________ 其它所有元素的过程，即解直角三角---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------形． 2、在Rt△ABC 中， a=104.0， b=20.49，解这个三角形． 3、在△ABC 中， C 为直角， AC=6，4、Rt△ABC 中，若 sinA=4BAC的平分线 AD=4 3 ，解此直角三角形。
5， AB=10，那么 BC=_____， tanB=______． 5、在△ABC中， C=90 ， AC=6， BC=8，那么 sinA=________． 6、在△ABC中， C=90 ， sinA=35，则 cosA 的值是（） A．35 B．45 C．916.2525D 1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则 sin 的值是﹙﹚ 33 C．2．如图，在直角△ABC 中， C＝9035 B．3．在△ABC 中， C=90 ， BC=2，sinA=2 A．4 B．453 D．54 o，若 AB＝5， AC＝4，则 sinA＝（） 34 D．A．45 C．43 3，则边 AC 的长是( ) A．13 B． 3 C．43 D．5 4．如图，已知点 P 的坐标是（a， b），则 sin 等于（）A．ab B．ba C．2222.abDabab 1. 在中， C＝90，a，b， c 分别是A、B、 C 的对边，则有（）A．B ．C ．D ． 2. 在中， C＝90，如果 cos A=45 那么的值为（） A．35 B ．54 C ．34 D ．43 3、如图：P 是点的坐标为（3， 4），则 cos ＝_____________.1．已知：Rt△ABC 中， C=90 ， cosA=3的边 OA 上一点，且 P 5 ，AB=15，则 AC 的长是（）． A． 3 B． 65/ 7C．9 D．12 2．下列各式中不正确的是（）． A． sin C． sin35 =cos55 D． tan45sin45 3．计算 2sin30 -2cos60 +tan45 的结果是（）． 3 C．4．已知A 为锐角，且 cosA12 ，那么（） 260 +cos260 =1 B． sin30 +cos30 =1 A． 2 B．2 D． 1 A． 0A60 B． 60 A90 C． 0 A30 D． 30 A90 5．在△ABC 中， A、 B都是锐角，且 sinA=12 ， cosB=3 2 ，则△ABC 的形状是（）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 6．如图Rt△ABC 中， ACB=90 ， CDAB 于 D， BC=3， AC=4，设BCD=a，则 tana 的值为（）． C B A A．7．当锐角 a60 时，cosa 的值（）． A．小于134 B．43 C．35 D．45 2 B．大于12 C．大于3 2 D．大于 1 8．在△ABC 中，三边之比为 a：b：c=1：3：2，则 sinA+tanA 等于（）． A．32 313 331.3..6222BCD9．已知梯形 ABCD 中，腰 BC 长为 2，梯形对角线 BD 垂直平分AC，若梯形的高是CAB 等于（） A． 30 B． 60 C． 45 D．以上都不对 10． sin12 D．2+│ 2cosB-3 │ =0，则△ABC（）．A．是直角三角形B．是等边三角形 C．是含有 60 的任意三角形 D．是顶---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------角为钝角的等腰三角形三、填空题． 12．设、均为锐角，且sin -cos =0，则 + =_______． cos45sin301cos60tan452的值是_______． 14．已知，等腰△ABC 的腰长为 4 3 ，底为30 ，则底边上的高为______，周长为______． 5 2 ，则cosA=________． 3，则272 +sin218 的值是（）． A． 1 B． 0 C．3 2 11．若（ 3 tanA-3）13．15．在Rt△ABC 中， C=90 ，已知 tanB=7/ 7。