第四章 导热问题的数值解

若 ∆x = ∆y −4ti ,j + ti −1,j + ti +1,j + ti ,j −1 + ti ,j +1 = 0
4-1离散化方法中的常用术语
• 离散化（Discretization)——把求解的区域划分称 若干互不重叠的子区域； • 节点(Nodes)——用来表示子区域状态的特征点， 如果节点处于区域的边界则成为边界节点，否则 成为内部节点； • 网格（Grids)——节点间按照一定的规则分割所形 成的几何图形； • 控制容积（微元体）——包围一个节点的子区域
(k ) i
+ Fo ( t
(k ) i −1
+t
(k ) i +1
)
边界节点
∆U = ∆Φ L + ∆Φ R
∆Φ L ⇒
i −1
∆U
i
⇐ ∆Φ R = − h(ti( k ) − t∞ )
x
边界节点的离散化方程（显式）
k) ti( k ) − ti(− ti( k +1) − ti( k ) ∆x (k ) 1 = −λ + h t − t ( ρc ∞ i ) ∆τ 2 ∆x
内部节点的离散化方程（显式）
t −t t −t ∆x = −λ ρc +λ ∆x ∆x λ∆τ ( k +1) (k ) (k ) (k ) (k ) ti = ti + t + ti +1 − 2ti ) 2 ( i −1 ρ c ( ∆x ) t
( k +1) i
−t ∆τ
(k ) i
(k ) i
(k ) i −1
(k ) i +1
(k ) i

t t
( k +1) i ( k +1) i
2a∆τ ( k ) a∆τ ( k ) ( k ) = 1 − t + t + ti +1 ) 2 i 2 ( i −1 ( ∆x ) ( ∆x ) = (1 − 2 Fo ) t
ti ,j − ti −1,j −λ∆y + h ∆y(t ∞ − ti ,j ) ∆x ∆x ti ,j − ti ,j −1 ∆x ti ,j +1 − ti ,j −λ + λ 2 ∆y 2 ∆y 若 ∆x = ∆y 2h ∆x − 4 + λ
若 ∆x = ∆y −4ti ,j + ti −1,j + ti +1,j + ti ,j −1 + ti ,j +1 = 0
边界节点的代数方程
稳态无内热源条件下
∆Φ L + ∆Φ R + ∆Φ B + ∆Φ T = 0 ∆Φ T
i − 1, j + 1
⇓
i, j + 1
∆Φ L ⇒
i − 1, j i − 1, j − 1
=
( n +1) t3 = ,2 ( n +1) 2,3
t
=
( n +1) t3 = ,3
1 (n ) (t3,2 4 1 (n ) (t4,2 4 1 (n ) (t3,3 4 1 (n ) (t4,3 4
(n ) (n ) (n ) t t ) + t1 + + ,2 2,3 2, 1 n + 1) (n ) (n ) t t ) + t( + + 2,2 3,3 3, 1
ti( k +1)
(k ) (k ) 2h∆τ t − t 2 ∆ λ τ (k ) (k ) i i −1 = ti − + ( t − t ∞ i ) ρ c∆x ∆x ρ c∆x
(
)
迭代步骤
• 给定各节点初始温度； • 代入迭代公式，计算各点新的温度； • 判断两次得到的温度是否非常接近，如 偏差小于预定值，停止计算输出结果； • 将得到的节点温度作为初值再代入迭代 公式中计算。 • 说明： 计算中总会用到新的值，这种迭 代方法成为G-S方法。
计算例题
迭代公式
t
( n +1) 2,2
−1
t1 a11 a12 t2 a21 a22 = M M M t a n n 1 an 2
b1 b2 M b n
迭代解法的原理
内部节点 −4ti ,j + ti −1,j + ti +1,j + ti ,j −1 + ti ,j +1 = 0 ti ,j 1 = (ti −1,j + ti +1,j + ti ,j −1 + ti ,j +1 ) 4
ti +1, j − ti , j ∂t ≈ ∂x i , j ∆x ti , j +1 − ti , j ∂t ≈ ∂x i , j ∆y ∂t ∂τ
(m) +1) (m) t i(,m t − j i, j
同理，温度对时间的导数为 ≈
i, j
∆τ
≈
i, j
∆τ
微元体能量守恒的近似表达
ti ,j − ti −1,j , ∆Φ R = λ∆y ∆Φ L = −λ∆y ∆x ti ,j − ti ,j −1 , ∆ΦT = λ∆x ∆Φ B = −λ∆x ∆y ti ,j − ti −1,j ti +1,j − ti ,j −λ∆y + λ∆y ∆x ∆x ti ,j − ti ,j −1 ti ,j +1 − ti ,j −λ∆x + λ∆x ∆ y ∆y ti +1,j − ti ,j ∆x ti ,j +1 − ti ,j ∆y = 0
节点的代数方程的建立
稳态无内热源条件下
∆Φ L + ∆Φ R + ∆Φ B + ∆Φ T = 0 ∆Φ T
i − 1, j + 1
⇓i, j + 1
i, j
i + 1, j + 1
∆Φ L ⇒
i − 1, j
⇐ ∆Φ R
i + 1, j
i − 1, j − 1
⇑ ∆Φ B
i, j − 1
i + 1, j + 1
网格、节点、控制容积示意图
内部节点 边界节点
i − 1, j + 1 i, j + 1 i + 1, j + 1 i − 1, j i, j i + 1, j
控制容积
i − 1, j − 1 i, j − 1 i + 1, j − 1
4.2 二维稳态导热问题的计算
• • • • • • • • • 本课程采用基于控制容积能量守恒的有限差分法 首先将求解区域离散化，确定节点和网格 围绕节点划分控制容积 建立控制容积的能量守恒方程 用傅里叶定律表示导入控制容积的热流量 用差商近似表示导数 形成关于节点温度的离散化代数方程 建立每个待求温度的离散化代数方程，形成代数方程组 求解代数方程组，获得离散节点上的温度分布
t
( k + 1) i ,j
( k + 1) ti ,j
1 (k ) (k ) (k ) (k ) = ti −1,j + ti + t + t i ,j −1 i ,j + 1 + 1,j 4 2h ∆x (k ) (k ) (k ) 2ti −1,j + ti ,j −1 + ti ,j +1 + t∞ λ = 2h ∆x 4 + λ
直接解法
a11 a12 a21 a22 M M a n 1 an 2 b1 L a1n t1 L a2n t2 b2 = O M M M t b L ann n n L a1n L a2 n O M L ann
= 0
2h ∆x t∞ = 0 ti ,j + 2ti −1,j + ti ,j −1 + ti ,j +1 + λ
代数方程组的求解方法
直接解法 • 高斯消元法 • 主元消去法 迭代解法 • 高斯(guass)—赛德尔(Seidel)迭代法 • 雅可比（Jacobi)迭代法
边界节点 2h ∆x 2h ∆x − 4 + t∞ = 0 ti ,j + 2ti −1,j + ti ,j −1 + ti ,j +1 + λ λ 2h ∆x 2ti −1,j + ti ,j −1 + ti ,j +1 + t∞ λ ti ,j = 2h ∆x 4 + λ
迭代公式
∂t ∆Φ L = qL ∆y = −λ ∆y ∂x L
i + 1, j + 1
∆Φ T
i − 1, j + 1
⇓i, j + 1
i, j
∆Φ L ⇒
i − 1, j
⇐ ∆Φ R
∂t ∆Φ R = qR ∆y = λ ∆y ∂x R ∂ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ∆Φ B = qB ∆y = −λ ∆x ∂y B ∂t ∆ΦT = qT ∆y = λ ∆x ∂y T
+t
(n ) 1,3
+t
(n ) 2,4