高中数学 第一章 集合 1_1 集合的含义及其表示 1_1_1 集合的含义与表示课堂导学案 苏教版必修11
高中数学必修1-第一章-集合与函数概念-知识点
第一章集合与函数概念一：集合的含义与表示1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。
2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。
（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。
（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合3、集合的表示：{…}（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
a、列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}b、描述法：①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。
{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。
4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合5、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+整数集 Z有理数集 Q实数集 R6、集合间的基本关系（1）.“包含”关系（1）—子集定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的A⊆（或B⊇Ａ）子集。
记作：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分；注意：B（2）A与B是同一集合。
⊆/B或B⊇/A反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A（2）.“包含”关系（2）—真子集A⊆，但存在元素x∈B且x￠A，则集合A是集合B的真子集如果集合B如果A⊆B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)读作A真含与B（3）．“相等”关系：A=B “元素相同则两集合相等”如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B（4）. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
高一数学必修一之集合
高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示一、集合与元素的概念1．集合：（1）概念：一般地，某些确定的对象集在一起就成为一个集合，简称集；通常用大写字母A、B、C...表示。
其中的对象可以是一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人等等万事万物，每一组的对象或某些指定的对象集在一起就成为一个集合。
（2）集合的两个特性：整体性和确定性在指定一个集合时，必须有明确的标准，这就构成了集合的确定性；所有符合标准的元素的全体构成集合的整体性。
[例题] 下列各项中，不可以组成集合的是（ C ）A．所有的正数 B．等于2的数 C．接近于0的数 D．不等于0的偶数2．元素：（1）概念：集合中的每一个对象叫做集合中的一个元素，通常用小写字母a，b，c...表示。
对于尚未确定的集合而言，元素具有任意性。
（2）元素的三个特性（属性）对于一个给定的集合它的元素具有三个特性：确定性、互异性和无序性：①元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于（∈）或不属于（∉）。
②元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。
③元素的无序性: 集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合（排名不分先后）。
至此，我们也就可以把集合定义为：由一些确定的、互异的对象构成的一个全体就叫集合（简称集）[例题] 若集合M ＝ {a,b,c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（ D ）A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．等腰三角形二、集合的分类（一）按集合中元素的多少来分：①有限集——元素个数是有限个（其中包括空集、单元素集）②无限集——元素个数是无限个③空集——不含有任何元素(即元素个数为0属于有限集)：空集记作∅或{ }注意{∅}表示含有空集的单元素集合，并非空集，空集为集合中的元素。
（二）按元素的属性来分：①数集——元素全部由数组成；②点集——元素全部由点组成，如角平分线；③解集——由方程或方程组、不等式或不等式组的解构成的集合；（其中一部分属于数集如自变量或应变量的值，一部分属于点集或序数对）。
人教版高中数学必修一第一章知识点
第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集.（8）交集、并集、补集【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A∈且}x B∈（1）A A A=（2）A∅=∅（3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=（2）A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集U A{|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅2()UA A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0)ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a>>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O 一元二次方程20(0)ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=（其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0)ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．yxo〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减） （4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()ug x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a 、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。
高一数学必修1第一章课件：1.1.1集合的含义与表示 课件(36张)
(2)列举法和描述法
列举法
描述法
把集合的元一素一列举
用集合所含元素的
_____________出来，并用
共同特征
概念
_______________表示集合的
花括号“{ }”括起来表示集
方法
合的方法
一般
形式 {a1，a2，a3，…，an}
{x∈I|p(x)}
1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)你班所有的姓氏能组成集合．( √ ) (2)高一·二班“数学成绩好的同学”能组成集合．( × ) (3)一个集合中可以找到两个相同的元素．( × ) (4)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示的是同一集合．(√ )
2．元素与集合的关系
关系
语言描述
记法
读法
属于 a是集合A中的元素 a∈A a属于集合A
不属于 a不是集合A中的元素 a∉A a不属于集合A
3.常用的数集及其记法
常用的 自然数 数集 集 记法 N
正整数集 N*或N＋
有理数
整数集
实数集
集
Z
QR
4.集合的表示法 (1)自然语言法 用文字叙述的形式描述集合的方法．使用此方法要注意叙述 清楚，如由所有正方形构成的集合，就是自然语言表示的， 不能叙述成“正方形”．
4．当{a，0，－1}＝{4，b，0}时，a＝___4_____，b＝ __－__1____．
集合的概念 判断下列各组对象能否组成一个集合： (1)新华中学高一年级全体学生； (2)我国的大河流； (3)不大于 3 的所有自然数；
(4)平面直角坐标系中，和原点距离等于 1 的点．
(链接教材P3思考) [解] (1)能，(1)中的对象是确定的；(2)不能，“大”无明确标 准；(3)能，不大于 3 的所有自然数有 0、1、2、3，其对象是 确定的；(4)能，在平面直角坐标系中任给一点，可明确地判 断是不是“和原点的距离等于 1”，故能组成一个集合．
高中数学人教A版必修1课件：1、1、1集合的含义与表示
2.集合表示方法的恰当选择。
3
自主学习：
根据自学提纲（知识点），自学P2~3页。 1、元素、集合的概念？ 2、集合中元素的三大特征？ 3、集合与元素间的关系，符号表示？ 4、一些常用的数集及其记法？
4
学生展示：
1、集合、元素的概念 元素 ——我们把研究的对象统称为元素；
平面内两直线的 位置关系有几种？
交集的性质：
A
A B
B
1.A∩A= A ; 2.A∩∅=∅∩A= ∅ ; 3. A∩B ⊆ A，A∩B ⊆B; 4. 如果A⊆B，则A∩B= A反之，
如果 A∩B=A，则 A⊆B .
P11 练习1~3
4.A={(x，y)｜4x+y=6}， B={(x，y)｜3x+2y=7}，求A∩B。
即 A∪B= {x | x∈A，或x∈B}
AB
A
A
BB
例4 设A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求A∪B. 提示：利用韦恩图
A
46
58 37
B
解: A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8} ={3,4,5,6,7,8}
例5 设集合A={x｜-1<x<2},集合B={x|1<x<3}，
思考2：集合{1，2}与集合{（1，2）}相同吗？
集合{y | y x2, x R} 与集合 {y x2} 相同吗？ 思考3: 集合{(x, y) | y x2, x R} 的几何意义如何？
y y x2
x o
课堂小结
1．元素与集合的概念：一般地，我们把研究对象统称为 元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）; 2．集合元素的三大特征：确定性、互异性、无序性； 3．元素与集合之间的关系：属于(∈)或 不属于(∉) ； 4．数集及有关符号：N、N﹡、N₊、Ｚ、Ｑ、Ｒ； 5. 集合的分类：有限集、无限集、空集； 6. 集合的表示方法：列举法、描述法、 Venn图。
高中数学 初升高课程衔接 第一章 集合 1.1 集合的含义
1.1集合的含义及其表示课标知识与能力目标1．理解集合的含义，熟悉常用数集及其表示法．2．了解属于关系和集合相等的意义，了解有限集、无限集、空集的意义．3．掌握集合的两种常用的表示方法：列举法、描述法和图示法，并能正确地表示一些简单的集合．知识点1集合的含义1.元素与集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．2．元素与集合的符号表示：通常用大写拉丁字母来表示集合，例如集合A、集合B等；通常用小写拉丁字母表示集合的元素，例如元素a，b等.3集合中元素的三个特性(1)确定性．集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必具其一．这是判断一组对象是否形成集合的标准．例如：比5大的整数可以构成一个集合，6就是该集合的元素，而3就不是该集合的元素，非常明确，不存在模棱两可的元素．(2)互异性．给定集合中的元素是互不相同的．例如集合{1,1,2}，这种表示是错误的，应写成{1,2}，(3)无序性．集合与其中元素的排列顺序无关．例如集合{1,2,3}，{3,2,1}，{3,1,2}都是同一集合．4．元素与集合的关系(1)属于(符号：∈)，a是集合A中的元素．记作a∈A，读作“a属于A”．(2)不属于(符号：∉或∈)，a不是集合A中的元素，记作a∉A或a∈A.读作“a不属于A”．数集有限集：含有有限个元素的集合称为有限集．无限集：含有无限个元素的集合称为无限集．空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅ .（易错点）典型例题考点1集合的识别例1下列研究的对象能否构成集合（1）世界上最高的山峰（2）高一数学课本中的难题（3）中国国旗的颜色（4）充分小的负数的全体（5）book中的字母（6）立方等于本身的实数（7）不等式2x-8<13的正整数解例2 下列各组对象：①接近于0的数；②比较小的正整数；③平面坐标系内所有到点O的距离等于1的点；④正三角形的全体；⑤2的近似值．其中能构成集合的个数是__________．例3 下列各组中的对象能构成集合的是__________．①2010年广州亚运会的火炬手；②较为聪明的同学；③无理数中不大于4的数；④数学中特别难的问题；⑤直角坐标系中第一象限的点．考点2 元素与集合的关系例1 用∈或∉填空1_______N -3_________N 0__________N0_______N* π________R 227_______Q cos300_______Z例2 下列关系中错误的是__________．①_x0001_ 0∈N *；②－32∈Q；③πQ ；④0N ；⑤3∈R；⑥－3∈Z；⑦0∈Z；⑧0．9∈R．例3 集合A 中的元素由A 的关系？ （1）0 （2（3例4 设A 是实数集合，满足若a∈A，则11－a ∈A，且1A ．(1)若2∈A，则A 中至少含有哪些元素？(2)A 能否为单元素集合？若能，请求出来；若不能，请说明理由． (3)若a∈A，则1－1a 是A 中的元素吗？说明理由．考点3 集合元素的性质例1 集合M中的元素为1，x，x2-x，求x的范围？例2 三个元素的集合1，a，ba，也可表示为0，a2，a+b，求a2005+ b2006的值．知识点2 集合的表示方法1．列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{ }”内．用这种方法表示集合，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关． 规律方法：应用列举法应注意的问题：(1)用列举法表示集合，要注意是数集还是点集；(2)列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．因此，判定集合是有限集还是无限集，选择适当的表示方法是关键．2．描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式． 规律方法：使用描述法时，应注意六点： (1)写清楚集合中的代表元素； (2)说明该集合中元素的性质； (3)不能出现未被说明的字母；(4)多层描述时，应当准确使用“且”“或”； (5)所有描述的内容都要写在花括号内； (6)用于描述的语句力求简明、确切．3.图示法（Venn 图）：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合。
高一必修一1.1.1集合的含义与表示
注意
（1）大括号不能缺失. （2）有些集合元素个数较多，元素又呈 现出一定的规律，在不至于发生误解的情 况下，亦可如下表示：从1到100的所有整 数组成的集合：{1，2，3，…，100} 自然数集N：{1，2，3，4，…,n,…} （3）区分a与{a}：{a}表示一个集合，该 集合只有一个元素.a表示这个集合的一个 元素.
两种描方法： （1）文字描述法——用文字把元素所具有 的属性描述出来，如﹛自然数﹜． （2）符号描述法——用符号把元素所具有的属 性描述出来，即 {x| P （ x ） } 或 {x∈A| P （ x ） } 等． 含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合．
例7：使用描述法表示下列集合：
（1) 不等式2x-1>3的解集；
有限集与无限集 1、 有限集：含有有限个元素的集合． 2、 无限集：含有无限个元素的集合． 3、 空集：不含任何元素的集合，记作Φ． 如： {x R | x
2
+1 = 0}.
做一做
集合 {(x, y) | y = x +1} 与集合
2
{y | y = x +1}是同一集合吗？
答：不是.集合 {(x, y) | y = x2 +1} 2 是点集，集合{y | y = x +1} = {y | y 1} 是数集．
1.地球上的七大洲这一集合可以表示成什么呢？ 2. 12的所有约数可以表示成什么呢？ 3.方程x－1=0的解的集合可以表示成什么呢？
1.地球上的七大洲可表示为{亚洲，非 洲，南极洲，北美洲，南美洲，欧 洲，大洋洲}． 2.12的所有约数可表示为{1，2，3， 4，6，12}. 3.方程x-1=0的解集可以表示为{1}.
（2）设不超过30的非负偶数为x,且满足
高中数学必修一知识点整理
高中数学必修一知识点整理高中数学必修1知识点总结第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示集合是由一些确定、互异、无序的元素组成。
常用的数集有自然数集N、正整数集N*或N+、整数集Z、有理数集Q、实数集R。
集合的表示法有自然语言法、列举法、描述法和图示法。
集合可以分为有限集、无限集和空集。
1.1.2 集合间的基本关系集合间有子集、真子集和集合相等的关系。
子集表示A 中的任一元素都属于B，真子集表示A是B的子集且B中至少有一个元素不属于A，集合相等表示A和B互为子集。
1.1.3 集合的基本运算集合的基本运算有交集、并集和补集。
交集表示同时属于A和B的元素组成的集合，并集表示属于A或B的元素组成的集合，补集表示不属于A的元素组成的集合。
补充：含绝对值的不等式的解法是将其化为|x|a的形式进行求解。
含有ax+b的绝对值不等式可以化为|ax+b|c的形式进行求解。
注意：文章中没有明显的格式错误和有问题的段落，因此不需要删除和改写。
一元二次不等式的解法：一元二次不等式的判别式为 $\Delta = b^2-4ac$，根据判别式的大小关系可以得到不等式的解集。
对于二次函数 $y=ax^2+bx+c(a>0)$，它的图象是一个开口朝上的抛物线。
对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a>0)$，它的根可以通过公式 $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ 求得，其中$\Delta=b^2-4ac$，当 $\Delta>0$ 时，方程有两个不相等的实根；当 $\Delta=0$ 时，方程有两个相等的实根；当$\Delta<0$ 时，方程没有实根。
对于一元二次不等式 $ax^2+bx+c>0(a>0)$，它的解集为$\{x|xx_2\}$，其中 $x_1$ 和 $x_2$ 分别是方程$ax^2+bx+c=0$ 的两个实根，且 $x_10)$ 时，它的解集为$\{x|x_10)$ 时，它的解集为 $\{x|x\neq-\frac{b}{2a}\}$。
第一章_集合
第一章 集合与函数概念1.1集合 1.1.1 集合的含义及其表示． 教学目的：（1）初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；（2）初步了解“属于”关系的意义；（3）初步了解有限集、无限集、空集的意义；教学重点：集合的含义与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。
教学过程：一、问题引入：我家有爸爸、妈妈和我； 我来泉州市第九中学； 五中高一（1）班； 我国的直辖市。
分析、归纳上述各个实例的共同特征，归纳出集合的含义。
二、建构数学：属于1．集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set ）。
集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A 、集合B ……集合中的每一个对象称为该集合的元素（element ）,简称元。
集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。
如a 、b 、c 、p 、q ……指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。
（1）我国的直辖市； （2）五中高一（1）班全体学生；（3）较大的数 （4）young 中的字母； （5）大于100的数； （6）小于0的正数。
2．关于集合的元素的特征（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。
3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示； （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉A （“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写）4．有限集、无限集和空集的概念：5．常用数集的记法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {},3,2,1*=N（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,{}整数与分数=Q（5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0 （2）非负整数集内排除0的集记作N *或N +。
人教版数学必修一 第一章 1.1.1 集合的含义与表示
问题
如果用A表示高一（ ）班学生组成的集合， 表示高 如果用 表示高一（3）班学生组成的集合，a表示高 表示高一 一（3）班的一位同学，b表示高一（4）班的一位同 ）班的一位同学， 表示高一（ ） 表示高一 那么a、 与集合 分别有什么关系？ 与集合A分别有什么关系 学,那么 、b与集合 分别有什么关系？由此看出元 那么 素与集合之间有什么关系？ 素与集合之间有什么关系？
4. 若-3 ∈ {a-3, 2a+1, a2+1},求实数 的值. 求实数a的值 求实数 的值
回顾交流
今天我们学习了哪些内容？ 今天我们学习了哪些内容？
集合的含义 集合元素的性质：确定性，互异性，无序性 元素与集合的关系： ， 常用数集及其表示 集合的表示法：列举法、描述法
第12页 页 习题1.1 A组 第1、2、3、4题 习题 组 、 、 、 题
2．选择题 ． ⑴ 以下说法正确的( C )
(A) “实数集”可记为{R}或{实数集}或{所有实数} (B) {a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合 (C) “我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组 成一个集合,因为其元素不确定
0, a, a 2 3a + 2 }中的元素， ⑵ 已知2是集合M={ 则实数 a 为( c )
判断0与N,N*,Z的关系? 课堂练习P5 第1题 解析:判断一个元素是否在某个集合中 关键在于 解析 判断一个元素是否在某个集合中,关键在于 判断一个元素是否在某个集合中 弄清这个集合由哪些元素组成的. 弄清这个集合由哪些元素组成的
集合的表示方法 如何表示“地球上的四大洋”组成的集合? 问题 (1) 如何表示“地球上的四大洋”组成的集合 (2) 如何表示“方程 如何表示“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根”组成的集 的所有实数根” 的所有实数根 合? ｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝ ｛1,-2｝ 太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝ ｝ 把集合中的元素一一列举出来,并用花括号 并用花括号｛ 把集合中的元素一一列举出来 并用花括号｛｝括起来表示 注意：元素与元素之间用逗号隔开） （注意：元素与元素之间用逗号隔开） 叫做列举法 集合的方法叫做列举法. 集合的方法叫做列举法 用列举法表示下列集合： 例1 用列举法表示下列集合： 一个集合中的元素 (1)小于 的所有自然数组成的集合； 小于10的所有自然数组成的集合 小于 的所有自然数组成的集合； 的书写一般不考虑 2 (2)方程 x = x 的所有实数根组成的集合； 顺 序 ( 集 合 中 元 素 的所有实数根组成的集合； 方程 的无序性). 的无序性 (3)由1~20以内的所有素数组成的集合 以内的所有素数组成的集合. 由 以内的所有素数组成的集合 解：(1)A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}. ， ， ， ， ， ， ， ， ， (2)B={0，1}. ， (3)C={2，3，5，7，11，13，17，19}. ， ， ， ， ， ， ， 1.确定性 确定性 2.互异性 互异性 3.无序性 无序性
人教B版高中数学必修一第一章1.1.1集合的概念之集合的含义及表示
课堂小结
1．集合的定义; 2．集合中元素的性质：确定性， 互异性，无序性； 3．数集及有关符号； 4. 集合的表示方法；
A．1 B．2 C．3 D．4
例4、已知集合 A={x ax2+4x+4=0,x∈R,a∈R}
只有一个元素，求a的值和这个元 素．．
课堂练习
1.若M={1，3}，则下列表示方法
正确的是（C ）
A． 3M B．1 M
C． 1 M D． 1 M且 3 M
2．用符号表示下列集合，并写 出其元素：
(1) 12的质因数集合A；
1.1.1集合的含义与表示
视察下列对象:
（1） 2，4，6，8，10，12； （2）我校的篮球队员； （3）满足x－3＞2 的实数； （4）我国古代四大发明； （5）抛物线y=x2上的点．
1. 定 义： 2. 集合的表示法：
3．集合中元素的性质：
（1）确定性：集合中的元素必须 是确定的．
如果a是集合A的元素，就说a
（1）列举法：
－ 例1．写出集合的元素，并用符号 表示下列集合： ①方程x2 _ 9=0的解的集合； ②大于0且小于10的奇数的集合；
③不等式x－3＞2的解集； ④抛物线y=x2上的点集； ⑤方程x2+x +1=0的解集合. （2例3。若方程x2－5x+6=0和方程x2－ x－2=0的解为元素的集合为M,则M 中元素的个数为（ C ）
属于集合A，记作a ∈ A；
如果a不是集合A的元素，就 说a不属于集合A，记作a A．
(2)互异性：集合中的元素必须 是互不相同的．
(3)无序性：集合中的元素是无 先后顺序的． 集合中的任何两个 元素都可以交换位置．
高中数学第一章集合与函数概念1.1.1集合的含义与表示
知识探究
1.集合的概念 (1)一般地,我们把 研究对象 统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合. (2)集合与元素的表示 通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合. 通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示集合中的元素. 2.集合中元素的特性
简称
非负整正数整集数(或集自然数集) .
整数集 有理数集
实数集
记法 N
.
N*或N+ QZ
R. .
【拓展延伸】 集合语言的转换与应用 集合语言的不同形态各有自己的特点,符号语言比较简洁、严谨,可大大缩短 语言表达的“长度”,有利于推理、运算;图形语言易引起清晰的视觉形象, 它能直观地表达概念、定理的本质以及相互间的关系,在抽象的数学思维面 前起着具体化和帮助理解的作用;文字语言比较自然、生动,它能将问题所研 究的对象的含义更加明白地叙述出来.集合语言与其他语言的关系如图所示.
自我检测
1.(集合元素的确定性)下列各项中,不可以组成集合的是( C ) (A)所有的正数 (B)等于2的数 (C)接近于0的数 (D)不等于0的偶数
2.(元素与集合的关系)设集合M={(1,2)},则下列关系式成立的是(
(A)1∈M
(B)2∈M
(C)(1,2)∈M
(D)(2,1)∈M
C)
3.(集合元素的互异性)若一个集合中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长, 则此三角形一定不是( D ) (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰三角形
【必修一】高中数学必备知识点：1.集合的含义与表示
【必修一】高中数学必备知识点：1.集合的含义与表示第一章集合与函数概念1.1.1集合的含义与表示一、集合的含义我们先看一些实例：①1~20以内的所有质数（素数）；有限集②到直线 l 的距离等于定长 d 的所有的点；③全体自然数；无限集④方程 x2+3x+2=0 的所有实数根；⑤某中学2019年9月入学的所有高一新生.分别归纳概括出它们具有什么共同特征?一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.通常用大写的拉丁字母 A，B，C，…表示集合，小写的拉丁字母 a，b，c ，…表示集合中的元素.注意：几种特殊的数集问题：如何理解“把一些元素组成的总体叫做集合”，这些集合里的元素必须具备什么特性？二、集合中元素的特性先思考以下两个问题：① 高一级身高较高的同学，能否构成集合? 否② 高一级身高160cm以上的同学，能否构成集合? 能③ 2, 4, 2 这三个数能否组成一个集合？否1.确定性：集合中的元素必须是确定的。
即确定了一个集合，任何一个元素是不是这个集合的元素也就确定了。
(具有某种属性)如：高一级身高160cm以上的同学组成的集合.2.互异性：集合中的元素是互异的。
即集合元素是没有重复现象的。
(互不相同)如：2, 4, 2 这三个数不能组成一个集合，但2,4可组成集合.3.无序性：集合中的元素是不讲顺序的。
即元素完全相同的两个集合，不论元素顺序如何，都表示同一个集合。
(不考虑顺序)如：集合A：大西洋，太平洋，印度洋组成的集合集合B：印度洋，大西洋，太平洋组成的集合集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等.三、元素与集合的关系高一级所有的同学组成的集合记为A， a是高一(7)班的同学，b是高二(7)班的同学，那么a与A，b与A之间各自有什么关系？四、集合的表示(1)自然语言表示法1~20以内的质数组成的集合(2)列举法例如，地球上四大洋组成的集合：{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}例1、用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程 x2=x 的所有实数根组成的集合；(3)由1~20以内既能被2整除，又能被3整除的所有自然数组成的集合.解:(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，则A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}(2)设方程 x2=x 的所有实数根组成的集合为B，则B={0,1}(3)设所求集合为C，则C={6,12,18}集合的分类：有限集，无限集：你能用列举法表示不等式 x －7< 3 的解集吗？无限集(3).描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。
高中数学必修一第一章集合知识点总结
高中数学必修一第一章集合一、集合的概念1、集合的含义：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。
注意：在集合中，通常用小写字母表示点（元素），用大写字母表示点（元素）的集合，而在几何中，通常用大写字母表示点（元素），用小写字母表示点的集合，应注意区别。
2、空集的含义：不含任何元素的集合叫做空集，记为Ø。
3、集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。
（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，这叫集合元素的确定性。
（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素，这叫集合元素的互异性。
集合中的元素互不相同。
例如：集合A={1，a}，则a不能等于1。
（3）集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样，这叫集合元素的无序性。
例{0，1，2}有其它{0，2，1}、{1，0，2}、{1，2，0}、{2，0，1}、{2，1，0}等共六种表示方法。
4、元素与集合之间只能用“∈”或“∉”符号连接。
5、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合。
（2）无限集：含有无限个元素的集合。
（3）空集：不含任何元素的集合。
6、常见的特殊集合：；（1）非负整数集（即自然数集）N（包括零）；（2）正整数集N*或N+（3）整数集Z（包括负整数、零和正整数）；（4）实数集R（包括所有有理数和无理数）；（5）有理数集Q（包括整数集Z和分数集→正负有限小数或无限循环小数）；（6）复数集C，虚数可以指不实的数字或并非表明具体数量的数字。
在数学中，虚数就是形如a+b*i 的数，其中a，b是任意实数，且b≠0，i²=-1。
二、集合的表示方式1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，然后用一个花括号全部括上。
1_1集合的含义与表示教案
1.1.1集合的含义及其表示一、知识与技能(1)理解集合的含义，掌握元素与集合的属于关系。
(2)理解常用数集及其专用记号。
(3)理解集合元中元素的确定性、互异性、无序性。
(4)观察集合的几组实例，并能举出一些集合的例子。
(5)通过实例，体会元素与集合的“属于”关系，准确的理解集合。
三、情感态度与价值观在学生使用集合语言的过程中，增强学生理解事物的水平，初步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度。
四、重点集合的概念，元素与集合的关系。
难点集合概念的理解五、教学过程：（一）导入新课1、问：我们初中学习都有哪些数集啊？生：有自然数集，有理数集等(老师讲解一下圆的概念，让同学温故知新产生兴趣)(二) 教学过程1、问：同学们对于课本上的8个例子，你们能发现出他们有什么共同特点吗？通过教材的例子等，给出集合概念的描绘性说明：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。
（质数：也称素数，指除１和自身外不能被其他自然数整除的数）只要是构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合是相等的。
2、问：结合教材“思考”，通过举例观察例题（1）里面我们列举出的1~20的素数，这些元素之间有什么关系呢？（引导学生明确集合元素的性质—确定性、互异性、无序性）3、阐述元素与集合的关系。
“属于”记为“∈”；“不属于”记为“∉”。
一般地，元素用小写字母表示；集合用大写字母．4、常用数集及其记法记法：①全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；所有正整数组成的集使称为正整数集，记作或N*或N+；②全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；③全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；④全体实数组成的集合称为实数集，记作R。
5、问：你能用列举法表例如1中的集合吗？思考一以下举法的特点，完成习题1.1A组第3 题。
师和学生一起讨论例2，教师讲解引导，让同学们探讨第4页的“思考”。
讨论理应如何根据问题选择适当的集合表示法。
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1.1.1 集合的含义与表示
课堂导学
三点剖析
一、集合元素的特性
【例1】 给出下列表述:①某校高一(1)班个子比较高的男生全体;②由1、2、2、4的全体
构成一个集合;③方程x 2+3x+2=0的实数根;④全国著名的旅游风景区;⑤联合国常任理事国.
以上能构成集合的是( )
A.①③
B.②③⑤
C.③④⑤
D.③⑤ 思路分析：依据集合的定义,应从集合中元素的确定性和互异性两个方面逐一分析.
解：①“个子比较高的男生”无明确的标准,不满足集合元素的确定性,故不能构成集合.类似地,④也不能构成集合.②中有相同的对象2,不满足集合元素的互异性,故不能构成集合.③和⑤都能满足集合中元素的确定性和互异性,故都能构成集合.
答案:D
温馨提示
判断某些对象的全体能否组成集合,主要是看它是否同时满足集合中元素的特性:确定性和互异性.
二、元素与集合之间的关系
【例2】 已知A={x|x 是大于1且小于10的合数}，则下列数字属于集合A 的是________. ①3 ②5 ③4 ④6
思路分析：先确定出集合A 中的具体元素，然后对照给出的数填空.
解析：∵4、6、9、8都是大于1且小于10的合数，
∴是③④.
答案：③④
温馨提示
要判断一个元素是否属于这个集合，关键看此元素是否满足集合中元素所满足的条件.
三、集合相等的应用
【例3】 已知M={2,a,b},N={2a,2,b 2},且M=N,求a 与b 的值.
思路分析：由M=N 可知,两个集合中的元素应该完全相同,应从元素相等入手分析.a 可能等
于2a,也可能等于b 2,分两种情况.
解:根据集合相等的定义有⎩⎨⎧==2,2b b a a 或⎩⎨⎧==.
2,2a b b a 解方程组可得⎩⎨⎧==0,0b a 或⎩⎨⎧==1,0b a 或a=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==.21,41b a .
再根据集合中元素的互异性,得⎩⎨⎧==1,0b a
或a=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==.21,41b a .
温馨提示
解答本题容易出现思维的片面性,只想到M=N,从而可得a 与b 的三组解,而忽略了集合中的元素所满足的互异性.
各个击破
类题演练 1
考查下列每组对象能否构成一个集合:①美丽的小鸟;②3、x 、x 2三个实数;③不超过20的非
负数.
解析：①“美丽的小鸟”无明确标准,即元素不具备确定性,因此①不能构成集合.②虽然三
个实数已被指定,但3、x 、x 2之间有可能相等,因而不一定满足元素的互异性.③能构成集合.
变式提升 1
若3、a 、a 3能构成一个集合，你认为a 应怎样取值？
解析：要构成集合应满足a≠3，a 3≠3，a 3≠a.
因此a ≠3,a ≠33,a ≠0,a ≠1,a ≠-1时，能构成一个集合.
类题演练 2
已知A={x|x≥5}，a=27,则（ ）
A.a∈A
B.a ∉A
C.{a}∈A
D.以上都不对 解析：∵27>5,
∴a∈A.
答案：A
变式提升 2
已知A={x|1<x≤5,x∈Z}，a∈A，写出你认为a 的可能的值.
解析：解决元素与集合之间关系问题，一定要认清集合中元素所满足的条件.由a ∈A,得1＜a ≤5,于是a 的值为2、3、4、5.
类题演练 3
设集合A={1，a,b},B={a,a 2,ab}，且A=B ，求实数a,b.
解析：由元素的互异性知，a ≠1,b ≠1,a ≠0，
又由A=B ，得⎩⎨⎧==,,12b ab a 或⎩⎨⎧==.
1,2ab b a
解得a=-1,b=0.
变式提升 3
已知三元素集合A={x,xy,x-y},B={0,|x|,y}，且A=B ，求x 与y 的值.
解析：由元素的互异性知，x ≠0,y ≠0，
∴xy ≠0.
又由A=B 知0∈A ，
从而x-y=0,x=y,
此时，A={x,x 2,0},
B={0,|x|,x}，
∴x2=|x|，
则x=0（舍去），x=1（舍去），x=-1.
经验证：x=-1,y=-1适合题意.。