辽宁省丹东五校协作体2015届高三期末考试数学文科试题 Word版含答案

2014——2015学年度上学期丹东五校协作体高三期末考试数学试题（文科）时间：120分钟 分值：150分 命题、校对：宽甸一中高三数学组 一、选择题：（每小题5分，共60分）1.已知全集{}=01,2,3,4,5,6U ，，集合{}=0,1,2,3A ，{}=3,4,5B ，则(∁U A )=B.A {}3 .B {}4,5 .C {}4,56， .D {}0,1,2 （ ） 2.若1:1,:1p x q x><，则p 是q 的 （ ） .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件3.已知3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α= （ ）.A 43 .B 34 .C 34- .D 34±4.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是 （ ） .A 3 .B 4 .C 5 .D 65.某几何体三视图如下，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体体积为（ ）.Aπ .B .Cπ .Dπ（第4题图） （第5题图）6.设等比数列{}n a 各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++= ( ).A 12 .B 10 .C 8 .D 32log 5+7.设函数()11sin 222f x x x πθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且其图像关于y轴对称，主视图左视图俯视图则函数()y f x =的一个单调递减区间是 （ ）.A 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ .B ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ .C ,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ .D 3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭8. 平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r a <的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 （ ）.a rA a- .2a r B a - 2.2a r C a - .2a rD a+ 9. 若曲线212y x e=与曲线ln y a x =在它们的公共点(),P s t 处具有公共切线，则实数a = （ ）.A 2- .B 12.C 1 .D 210. 抛物线22y px =与双曲线22221x y a b-=有相同焦点F ，点A 是两曲线交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为 （ ）.A.B .C 1+ .D 111.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，若()12f ->-，()1732a f a+-=-，则实数a 的取值范围为 （ ） .A 3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭ .B ()2,1- .C 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ .D ()3,1,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭12. 已知四面体P ABC -中, 4=PA ，72=AC ，32==BC PB ,PA ⊥平面PBC,则四面体P ABC -的内切球半径与外接球半径的比（ ）.A .B .C .D 二、填空题：（每小题5分，共20分）13. 已知复数z =z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=___________. 14.已知(,)M x y 为由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩，所确定的平面区域上的动点，若点)A，则z OM OA =⋅的最大值为___________.15.在平行四边形ABCD 中，已知2AB =，1AD =，60BAD ∠=，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=___________.16.在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 1sin sin b Ca c A B=-++，且5,5b CA CB =⋅=-，则ABC △的面积是___________.三、解答题：（共6小题，共70分）17. （12分）已知数列{}n a 满足0n a ≠,113a =，()1122,n n n n a a a a n n N *---=⋅≥∈.（1）求证：1n a ⎛⎫⎪⎝⎭是等差数列；（2）设1n n n b a a +=⋅，{}n b 的前n 项和为n S ，求证：16n S <. 18. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知11AB BB C C ⊥侧面，1AB BC ==，12BB =，13BCC π∠=.(1)求证：1C B ABC ⊥平面； (2)求点1B 到平面11ACC A 的距离.19.（本小题满分12分）某校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表：（1）判断是否有99.5％的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？ （2）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率． 临界值参考:（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）20.(本小题满分12分）已知函数()()12ln 2(0)f x a x ax a x=-++≤. （1）当0a =时，求()f x 的极值； （2）当0a <时，讨论()f x 的单调性； （3）若对任意的()[]123,2,,1,3,a x x ∈--∈恒有()()()12ln 32ln 3m a f x f x +->-成立，求实数m 的取值范围.21.(本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点()1,1A -关于原点O对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设直线AP 和BP 分别与直线3x =交于点,M N ，问：是否存在点P 使得PAB △与PMN △的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，ABC △内接于圆O ，AD 平分BAC ∠交圆O 于点D ，过点B 作圆O 的切线交直线AD 于点E . （1）求证：EBD CBD ∠=∠； （2）求证：AB BE AE DC ⋅=⋅.23．（本小题满分10分）选修4—4已知曲线1C 的参数方程是2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2sin ρθ=. (1)写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；(2)已知点1M 、2M 的极坐标分别为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭和()2,0，直线12M M 与曲线2C 相交于,P Q 两点，射线OP 与曲线1C 相交于点A ，射线OQ 与曲线1C 相交于点B ，求2211OAOB+的值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()f x x a =-. （1）当2a =时，解不等式()41f x x ≥--； （2）若()1f x ≤的解集为[]0,2，()110,02a m n m n+=>>， 求证：24m n +≥.2014——2015学年度上学期丹东五校协作体高三期末考试数学试题（文科）参考答案及评分标准一、 选择题：1.B2.A3.B4.B5.D6.B7.C8.A9.C 10.D 11.D 12.A 二、 填空题：13. 14 14. 4 15. 32-16.三、 解答题： 17.证明：（1）112n n n n a a a a ---=⋅()2n ≥∴1112n n a a --=()2n ≥ ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，2为公差的等差数列. ………………6分（2）由（1）知：()131221nn n a =+-⋅=+ 121n a n ∴=+ …………8分 11(2n 1)(2n 3)n n n b a a +∴=⋅=++11646n S n ∴=-+ 16n S ∴< ……………12分18. 解：（1）因为侧面AB ⊥11BB C C ,1BC ⊂侧面11BB C C ，故1AB BC ⊥, ………………2分在1BCC △中, 1111,2,3BC CC BB BCC π===∠=由余弦定理得：2222211112cos 12212cos33BC BC CC BC CC BCC π=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以1BC 故22211BC BC CC +=,所以1BC BC ⊥, ………………4分 而1,BCAB B BC ABC =∴⊥平面 ………………6分（2）点1B 转化为点B ，1C ABC V -=………………8分1ACC S ∆=………………10分 又111C ABC B ACC V V --=所以点1B 到平面11ACC A ………………12分 19. 解：（Ⅰ）由公式2255(2020105)11.9787.87930252530K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关． …………………6分 （Ⅱ）设所抽样本中有m 个男生，则643020m m ==，得人，所以样本中有4个男生，2个女生，分别记作123412,,,,,.B B B B G G 从中任选2人的基本事件有1213(,)(,)B B B B 、、 1411122324212234(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)B B B G B G B B B B B G B G B B 、、、、、、、、 3132414212(,)(,)(,)(,)(,)B G B G B G B G G G 、、、、，共15个，其中恰有1名男生和1名女生的事件有111221(,)(,)(,)B G B G B G 、、、223132(,)(,)(,)B G B G B G 、、、41(,)B G 、 42(,)B G ，共8个，所以恰有1名男生和1名女生的概率为815P =． ………12分20. 解：（1）当0a =时，()()22121212ln ,(0).x f x x f x x x x x x -'=+=-=>由()2210x f x x -'=>,解得12x >. ∴()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数. ∴()f x 的极小值为122ln 22f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，无极大值. ………………… 3分 （2）()()()()2222221121212(0)ax a x ax x a f x a x x x x x+--+--'=-+==>. ①当20a -<<时，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数；②当2a =-时，()f x 在()0,+∞上是减函数； ③当2a <-时，()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭和10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数.…7分（3）当32a -<<-时，由（2）可知()f x 在[]1,3上是减函数， ∴()()()()()1221342ln 33f x f x f f a a -≤-=-+-. 由()()()12ln 32ln 3m a f x f x +->-对任意的()[]123,2,,1,3a x x ∈--∈恒成立， ∴()()()12maxln 32ln 3m a f x f x +->-即()()2ln 32ln 342ln 33m a a a +->-+-对任意32a -<<-恒成立， 即243m a<-+对任意32a -<<-恒成立， 由于当32a -<<-时，132384339a -<-+<-，∴133m ≤-. …………… 12分21.解：（1）点P 的轨迹方程为()2211443x y x +=≠± ………………5分（2）设点P 的坐标为()00,x y ，点,M N 的坐标分别为()()3,,3,y M N y ，则直线AP 的方程为()001111y y x x --=++， 直线BP 的方程为()001111y y x x ++=--. 令3x =，得0000004323,y 11M N y x y x y x x +--+==+-， 于是PMN △的面积()()200002031y 321PMNM N x y x S y x x +-=--=-△， ………………8分 直线AB 的方程为0x y +=，AB =，点P 到直线AB的距离d于是PAB △的面积PAB S △0012AB d x y =⋅=+， ……………10分 当PAB S △PMN S =△时，得()2000002031x y x x y x +-+=-，又000x y +≠，所以()220031x x -=-，解得053x =， 因为220034x y +=，所以0y =， 故存在点P 使得PAB △与PMN △的面积相等，此时点P的坐标为5,3⎛ ⎝ ……………12分 22. （1）∵BE 为圆O 的切线∠EBD =∠BAD ………………2分 又∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD =∠CAD ∴∠EBD =∠CAD ………………4分 又∵∠CBD =∠CAD ∴∠EBD =∠CBD ………………5分 （2）在△EBD 和△EAB 中，∠E =∠E ，∠EBD =∠EAB∴△EBD ∽△EAB ………………∴BE BD AE AB= ∴AB •BE =AE •BD ………………又∵AD 平分∠BAC ∴BD =DC 故AB •BE =AE •DC ………………10分23.解：（1）曲线1C 的普通方程为2214x y +=，化成极坐标方程为2222cos sin 14ρθρθ+= ………3分曲线2C 的直角坐标方程为()2211x y +-= ……………5分 （2）在直角坐标系下，()10,1M ，()22,0M ，线段PQ 是圆()2211x y +-=的一条直径∴90POQ ∠= 由OP OQ ⊥ 得OA OB ⊥,A B 是椭圆2214x y +=上的两点，在极坐标下，设()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+⎪⎝⎭分别代入222211cos sin 14ρθρθ+=中，有222211cos sin 14ρθρθ+=和222222cos 2sin 142πρθπρθ⎛⎫+⎪⎛⎫⎝⎭++= ⎪⎝⎭22211cos sin ,4θθρ∴=+ 22221sin cos 4θθρ=+ 则22121154ρρ+=即221154OA OB+=. ……………10分 24. 解：（1）当a=2时，不等式为214x x -+-≥，不等式的解集为17,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭； ……………5分 （2）()1f x ≤即1x a -≤，解得11a x a -≤≤+，而()1f x ≤解集是[]0,2，∴1012a a -=⎧⎨+=⎩，解得a=1,所以()1110,02m n m n +=>>所以112(2)42m n m n m n ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭. ……………10分。