【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中化学 专题2 有机物的结构与分类综合检测 苏教版选修5
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.2.1 综合法与分析法课后知能检测 新人教B版选修2-2
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2.1 综合法与分析法课后知能检测 新人教B 版选修2-2一、选择题1．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”，其过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证法【解析】 结合分析法及综合法的定义可知B 正确． 【答案】 B2．(2013·台州高二检测)设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B.a 2＋b 22<ab <1C ．ab <a 2＋b 22<1 D ．ab <1<a 2＋b 22【解析】 ∵a ＋b ＝2且a ≠b ，∴ab <(a ＋b2)2＝1，a 2＋b 22>(a ＋b2)2＝1.∴a 2＋b 22>1>ab ，故选D.【答案】 D3．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P 、Q 的大小关系是( ) A ．P ＞Q B ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定【解析】 欲比较P ，Q ，只需比较P 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a 与Q 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12， 只需比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12，显然前者小．【答案】 C4．设甲：函数f (x )＝|x 2＋mx ＋n |有四个单调区间，乙：函数g (x )＝lg(x 2＋mx ＋n )的值域为R ，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．以上均不对【解析】 对甲，要使f (x )＝|x 2＋mx ＋n |有四个单调区间，只需要Δ＝m 2－4n >0即可；对乙，要使g (x )＝lg(x 2＋mx ＋n )的值域为R ，只需要u ＝x 2＋mx ＋n 的值域包含区间(0，＋∞)，只需要Δ＝m 2－4n ≥0，∴甲是乙的充分不必要条件．【答案】 A5．(2013·黄冈高二检测)下列不等式不成立的是( ) A ．a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca B.a ＋b >a ＋b (a >0，b >0) C.a －a －1<a －2－a －3(a ≥3) D.2＋10>2 6【解析】 对A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；对B ，∵(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ，∴a ＋b >a ＋b ；对C ，要证a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)成立，只需证明a ＋a －3<a －2＋a －1，两边平方得2a －3＋2a a －3 <2a －3＋2 a －2 a －1 ，即a a －3 < a －2 a －1 ，两边平方得a 2－3a <a 2－3a ＋2，即0<2. 因为0<2显然成立，所以原不等式成立； 对于D ，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)<0， ∴2＋10<26，故D 错误． 【答案】 D 二、填空题6．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则log2xy＝________. 【解析】 由条件知lg xy ＝lg(x －2y )2， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，即(x y)2－5x y ＋4＝0，∴x y ＝4或x y ＝1，又x ＞2y ，故x y＝4.∴log2xy＝log 24＝4. 【答案】 47．已知a ，b 是不相等的正数，x ＝a ＋b2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是________．【解析】 x 2－y 2＝a ＋b ＋2ab2－(a ＋b )＝2ab －a －b 2＝－ a －b 22≤0，∴x 2≤y 2.∵a ，b 是不相等的正数，∴x >0，y >0，x ≠y ，∴x 2<y 2即x <y . 【答案】 x <y8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，f (x )＝2x －1x ＋1，a n ＝log 2f n ＋1f n ，则S 2 011＝________.【解析】 a n ＝log 2f n ＋1f n＝log 2f (n ＋1)－log 2f (n )，∴S 2 011＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 011＝[log 2f (2)－log 2f (1)]＋[log 2f (3)－log 2f (2)]＋[log 2f (4)－log 2f (3)]＋…＋[log 2f (2 012)－log 2f (2 011)]＝log 2f (2 012)－log 2f (1)＝log 24 024－12 012＋1－log 22－11＋1＝log 21 341671＋1.【答案】 log 21 341671＋1三、解答题9．(2013·东城高二检测)用分析法证明：若a >0，则a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.【证明】 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.∵a >0，∴两边均大于零， 因此只需证(a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a＋2)2，只需证a 2＋1a2＋4＋4a 2＋1a 2≥a 2＋1a2＋4＋22(a ＋1a)，只需证a 2＋1a 2≥22(a ＋1a)，只需证a 2＋1a 2≥12(a 2＋1a 2＋2)，即证a 2＋1a2≥2，它显然成立，∴原不等式成立．10．(2013·武汉高二检测)(1)求证：a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )． (2)已知a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.【证明】 (1)∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋3≥23a ，b 2＋3≥23b ，将此三式相加得2(a 2＋b 2＋3) ≥2ab ＋23a ＋23b ， ∴a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )．(2)∵a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴(1a －1)(1b －1)(1c－1)＝a ＋b ＋c －a a ·a ＋b ＋c －b b ·a ＋b ＋c －cc ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8. 故(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.11．(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ；(2)设1＜a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .【证明】 (1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)．由于x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b＝x，log b c＝y，由对数的换底公式得log c a＝1xy ，log b a＝1x，log c b＝1y，log a c＝xy.于是，所要证明的不等式即为x＋y＋1xy ≤1x＋1y＋xy.又由于1＜a≤b≤c，所以x＝log a b≥1，y＝log b c≥1.故由(1)知所要证明的不等式成立.。
高中化学 专题2 有机物的结构与分类专题归纳提升 苏教
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中化学专题2 有机物的结构与分类专题归纳提升苏教版选修5有机物的结构与分类有机化合物的结构有机物中碳原子的成键特点碳原子价键总数为4易形成单键、双键、叁键、碳链、碳环同分异构体位置异构碳链异构顺反异构对映异构类别异构有机物结构的表示方法结构简式结构式键线式有机化合物的分类和命名有机化合物的分类按碳的骨架分类：链状化合物、环状化合物、杂环化合物按官能团分类：烷烃、烯烃、炔烃、芳香烃、卤代烃、醇、醚、酚、醛、酮、羧酸、酯有机化合物的命名习惯命名法系统命名法选母体写名称编号位原子全部写出；已知结构简式确定同分异构体数目，则可用箭头或用阿拉伯数字表示，而不必将其结构式一一写出，这样可以节约很多时间。
要判断两种结构简式是否互为同分异构体，首先要看分子式是否相等，然后看结构是否不同。
1．等效氢法：烃的一取代物数目的确定，实质上是看处于不同位置的氢原子数目。
可用“等效氢法”判断。
判断“等效氢”的三条原则是：(1)同一碳原子上的氢原子是等效的，如甲烷中的4个氢原子等同；(2)同一碳原子上所连的甲基是等效的，如新戊烷中的4个甲基上的12个氢原子等同；(3)处于对称位置上的氢原子是等效的，如乙烷中的6个氢原子等同，2,2,3,3四甲基丁烷上的18个氢原子等同，苯环上的6个氢原子等同。
在确定同分异构体之前，要先找出对称面，判断等效氢，从而确定同分异构体的数目。
2．定一移二法：对于二元取代物的同分异构体的判断，可固定一个取代基位置，再移动另一取代基位置以确定同分异构体数目。
3．要记住已掌握的常见具体物质的异构体数(1)凡只含一种氢原子的分子一卤代物只有一种；甲烷、乙烷、新戊烷(看作CH4的四甲基取代物)，2,2,3,3四甲基丁烷(看作乙烷的六甲基取代物)，苯、环己烷、C2H2、C2H4等分子的一卤代物只有一种。
(2)丁烷、丁炔、丙基、丙醇有2种。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.2 极坐标系课后知能检测 新人教A版选修4-4
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.2 极坐标系课后知能检测 新人教A 版选修4-4(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列各点中与(2，π6)不表示极坐标系中同一个点的是( )A ．(2，－116π)B ．(2，136π)C ．(2，116π)D ．(2，－236π)【解析】 与极坐标(2，π6)相同的点可以表示为(2，π6＋2k π)(k ∈Z )，只有(2，116π)不适合．【答案】 C2．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( ) A ．(π，0) B ．(π，2π) C ．(－π，0)D ．(－2π，0)【解析】 x ＝πcos(－2π)＝π，y ＝πsin(－2π)＝0， 所以点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为(π，0)． 【答案】 A3．在极坐标系中，已知A (2，π6)、B (6，－π6)，则OA 、OB 的夹角为( )A.π6 B ．0 C.π3D.5π6【解析】 如图所示，夹角为π3.【答案】 C4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是( )A ．(2，－π3)B ．(2，4π3)C ．(1，－π3)D ．(2，－4π3)【解析】 极径ρ＝12＋ －3 2＝2，极角θ满足tan θ＝－31＝－3，∵点(1，－3)在第四象限，所以θ＝－π3.【答案】 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．平面直角坐标系中，若点P (3，7π2)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13y 后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于________．【解析】 ∵点P (3，7π2)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13y 后的点为Q (6，7π6)，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于6|sin 7π6|＝3.【答案】 36．极坐标系中，点A 的极坐标是(3，π6)，则(1)点A 关于极轴的对称点的极坐标是________； (2)点A 关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是________．(本题中规定ρ>0，θ∈[0,2π))【解析】 点A (3，π6)关于极轴的对称点的极坐标为(3，11π6)；点A 关于极点的对称点的极坐标为(3，7π6)；点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标为(3，5π6)．【答案】 (1)(3，11π6) (2)(3，7π6) (3)(3，5π6)三、解答题(每小题10分，共30分)7．已知点P 的直角坐标按伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2xy ′＝3y变换为点P ′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ<2π时，求点P 的极坐标．【解】 设点P 的直角坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧6＝2x ，－3＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－3，∴点P 的直角坐标为(3，－3)，ρ＝32＋ －3 2＝23，tan θ＝－33，∵0≤θ<2π，点P 在第四象限， ∴θ＝11π6，∴点P 的极坐标为(23，11π6)．8．(1)已知点的极坐标分别为A (3，－π4)，B (2，2π3)，C (32，π)，D (－4，π2)，求它们的直角坐标．(2)已知点的直角坐标分别为A (3，3)，B (0，－53)，C (－2，－23)，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．【解】 (1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得A (322，－322)，B (－1，3)，C (－32，0)，D (0，－4) (2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x 得A (23，π6)，B (53，3π2)，C (4，4π3)．9．在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A (2，π3)，B (2，π)，C (2，5π3)． (1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．【解】 (1)如图所示，由A (2，π3)，B (2，π)，C (2，5π3)得|OA |＝|OB |＝|OC |＝2，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3.∴△AOB ≌△BOC ≌△AOC ， ∴AB ＝BC ＝CA ， 故△ABC 为等边三角形． (2)由上述可知，AC ＝2OA sin π3＝2×2×32＝2 3. ∴S △ABC ＝34×(23)2＝33(面积单位)．教师备选10．某大学校园的部分平面示意图如图：用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB |＝|BC |，|OC |＝600 m ．建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π且极点为(0,0))．【解】 以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系，由|OC |＝600 m ，∠AOC ＝π6，∠OAC ＝π2，得|AC |＝300 m ，|OA |＝300 3 m ，又|AB |＝|BC |，所以|AB |＝150 m.同理，得|OE |＝2|OG |＝300 2 m ，所以各点的极坐标分别为O (0,0)，A (3003，0)，C (600，π6)，D (300，π2)，E (3002，3π4)，F(300，π)，G(1502，34π)．。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学2.2.1直接证明课后知能检测苏教版选修2-2
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2.1 直接证明课后知能检测苏教版选修2-2一、填空题1．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x求导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－ln x＞0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数”应用了________的证明方法．【答案】综合法2．欲证2－3＜6－7成立，只需证①(2－3)2＜(6－7)2；②(2－6)2＜(3－7)2；③(2＋7)2＜(3＋6)2；④(2－3－6)2＜(－7)2.则正确的序号是________．【解析】“2－3＜6－7”⇔“2＋7＜3＋6”且2＋7＞0，3＋6＞0，故只需证(2＋7)2＜(3＋6)2.【答案】③3．已知α，β为实数，给出下列三个论断：①αβ＞0；②|α＋β|＞5；③|α|＞22，|β|＞22，以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是________．【解析】由①αβ＞0知α，β同号，∴由③知|α|＋|β|＝|α＋β|＞42＞5.【答案】①③⇒②图2－2－24．如图2－2－2，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．【解析】只要使BD⊥平面AA1C1C即可．【答案】 ABCD 为正方形(ABCD 为菱形或AC⊥BD 等)5．已知a ，b 是不相等的正数，x ＝a ＋b2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是x________y.【解析】 要比较x ，y 的大小．∵x＞0，y ＞0，只需比较x 2，y 2的大小，即a ＋b ＋2ab 2与a ＋b 的大小． ∵a ，b 为不相等的正数，∴2ab ＜a ＋b. ∴a ＋b ＋2ab 2＜a ＋b ， 则x 2＜y 2.∴x ＜y.【答案】 ＜6．已知x ＞0，y ＞0，且x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________． 【解析】 ∵1＝x 3＋y 4≥2xy 12＝ xy 3. ∴xy ≤3，当且仅当x ＝32，y ＝2时等号成立． 【答案】 37．已知f(x)＝a （2x ＋1）－22x ＋1是奇函数，那么实数a 的值等于________． 【解析】 法一 函数的定义域为R ，函数为奇函数，当x ＝0时f(0)＝0，即2a －22＝0. ∴a ＝1.法二 由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)恒成立．即a （2－x ＋1）－22－x ＋1＝－a （2x ＋1）－22x ＋1， 即a （1＋2x ）－21＋x 2x ＋1＝－a （2x ＋1）－22x ＋1恒成立． 即2a ＋a·2x ＋1＝2x ＋1＋2，∴a ＝1. 【答案】 1 8．已知△ABC 的两顶点A 、B 是双曲线x 29－y 216＝1的左右两个焦点，顶点C 在双曲线的右支上，则sin C sin A －sin B＝________． 【解析】 ∵A、B 是双曲线x 29－y 216＝1的左右两个焦点，C 在双曲线的右支上， ∴|AB|＝29＋16＝10，|CA|－|CB|＝6，由正弦定理，得sin C sin A －sin B ＝|AB||BC|－|AC|＝－53. 【答案】 －53二、解答题 9．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，且2cos 2B －8cos B ＋5＝0，求证：△ABC 为正三角形．【证明】 ∵2cos 2B －8cos B ＋5＝0，∴4cos 2B －8cos B ＋3＝0，∴cos B ＝12或cos B ＝32(舍去)，∴B ＝60°.∵a ，b ，c 等差，∴2b ＝a ＋c ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－（a ＋c 2）22ac ＝12，∴a ＝c.又∵B＝60°，∴△ABC 为正三角形．10．已知a ＞0，1b －1a ＞1，求证：1＋a ＞11－b .【证明】 由1b －1a ＞1，及a ＞0知b ＞0.要证明1＋a ＞11－b ， 只需证明1＋a ·1－b ＞1，即证1＋a －b －ab ＞1，只要证明a －b ＞ab ，即证a －b ab ＞1，也就是1b －1a ＞1， ∵1b －1a ＞1成立(已知)，故原不等式1＋a ＞11－b 成立．图2－2－311．如图2－2－3所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC ＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)证明：PD⊥平面ABE.【证明】(1)在四棱锥P—ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC.所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PD在底面ABCD内的射影是AD，∵AB⊥AD，∴AB⊥PD，又∵AB∩AE＝A，故PD⊥平面ABE.。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.2.1 第1课时 综合法和分析法教案 新人教A版选修1-2
2．2.1 综合法和分析法第1课时综合法及其应用(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能结合学过的数学实，了解直接证明的基本方法：综合法．了解综合法的思维过程、特点．2．过程与方法会用综合法证明数学问题，培养学生的分析问题、解决问题的能力，提高学生思维能力．3．情感、态度与价值观通过学生参与，激发学生学习数学的兴趣，端正学生严谨治学的态度，提高其思维论证能力．●重点难点重点：掌握综合法的思维过程、特点及其解题步骤，会用综合法证明数学问题．难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，应用综合法证明较复杂的数学问题．综合法是从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后得出所要证明问题．所以分析解读已知条件、挖掘隐含条件是解决问题的关键因素，在教学过程中指导学生正确审题，合理应用已知条件可达到事半功倍的效果．(教师用书独具)●教学建议建议本节课采取探究式教学方法，教师主要作用在“引导”“点拨”，让学生自主思考综合法的证明特点，总结解题步骤，对于不同类型的问题如何思考、如何推理，教师应给出必要的指导．另外应注意引导学生学会分析和利用已知条件，阐明如何挖掘题目的隐含条件，如何联想与所证问题有关的定理、公理、公式等．证明过程中要注意每一步证明的充分性，注重由因导果推理方式的思路引领．在解答每一个例证前，最好先引导学生分析出思维路线图．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生认识直接证明的方法之一——综合法． 让学生自主完成填一填，使学生进一步了解综合法的证明格式、步骤、作用等． 引导学生分析例题1的已知条件，师生共同探究证明思路，学生自主完成证明过程，教师指导完善．完成变式训练． 学生分组探究例题2解法，总结用综合法证明立体几何问题的规律方法．完成互动探究．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正． 归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法． 学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导． 让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法，老师组织解法展示．引导学生总结解题规律．【问题导思】阅读下列证明过程，回答问题．已知实数x，y满足x＋y＝1，求证：2x＋2y≥2 2.证明：因为x＋y＝1，所以2x＋2y≥22x·2y＝22x＋y＝22，故2x ＋2y≥22成立． 1．本题的条件和结论是什么？【提示】 条件：x ＋y ＝1，结论2x＋2y≥2 2. 2．本题的证明顺序是什么？【提示】 从已知条件利用基本不等式到待证结论． 1．综合法的定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．2．综合法的框图表示P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q(P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论)已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：a ＋b≥4.【思路探究】 解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法，即可得出结论．【自主解答】 法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab ＞0(当且仅当a ＝b 时，取等号)． 又0＜ab ≤12，0＜ab ≤14，∴1ab ≥4，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4.法二 ∵a ，b 是正数， ∴a ＋b ≥2ab ＞0， 1a ＋1b≥21ab＞0(当且仅当a ＝b 时，上两式取等号)．∴(a ＋b )(1a ＋1b)≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4.法三 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b＝1＋b a ＋ab ＋1≥2＋2b a ·ab＝4(当且仅当a ＝b 时，取等号)．1．解答本题时，关键是灵活运用条件a ＋b ＝1. 2．综合法证题的一般步骤是：(1)分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件，组织过程．把题目的已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．(3)适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．(2013·新乡高二检测)已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －bb＋a ＋b －cc＞3. 【证明】 左边＝(b a ＋a b )＋(c b ＋b c )＋(a c ＋c a)－3， 因为a ，b ，c 为不全相等的正实数， 所以b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋c a≥2， 且上述三式的等号不能同时成立，所以(b a ＋a b )＋(c b ＋b c )＋(a c ＋c a)－3＞6－3＝3， 即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＞3.111111111A 1B 1，AB 的中点．图2－2－1求证：(1)C1M⊥平面AA1B1B.(2)A1B⊥AM.(3)平面AC1M∥平面B1NC.【思路探究】(1)由B1C1＝A1C1，M为A1B1的中点可知C1M⊥A1B1，再根据C1M⊥A1A即可得证．(2)要证A1B⊥AM，可转化为证明A1B⊥平面AC1M.(3)要证面面平行，应转化证明线面平行．【自主解答】(1)∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1＝A1C1，M是A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1.又∵C1M⊥A1A，A1A∩A1B1＝A1，A1A，A1B1⊂平面AA1B1B，∴C1M⊥平面AA1B1B.(2)∵A1B⊂平面AA1B1B，由(1)知C1M⊥平面AA1B1B，∴A1B⊥C1M.又A1B⊥AC1，AC1，C1M⊂平面AC1M，AC1∩C1M＝C1，∴A1B⊥平面AC1M.又∵AM⊂平面AC1M，∴A1B⊥AM.(3)在矩形AA1B1B中，易知AM∥B1N，AM⊄平面B1NC，B1N⊂平面B1NC，∴AM∥平面B1NC.又C1M∥CN，CN⊂平面B1NC，C1M⊄平面B1NC，∴C1M∥平面B1NC.又∵C1M∩AM＝M，C1M，AM⊂平面AC1M，∴平面AC1M∥平面B1NC.平行与垂直关系的转化：本例重点强调在证明空间线线垂直、线线平行、线面垂直、线面平行、面面平行或垂直问题时，要特别注意平行与垂直之间的相互转化，如：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ⊥c ⇒a ⊥c ，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ⊥α⇒a ⊥α，⎭⎪⎬⎪⎫α∥ββ⊥γ⇒α⊥γ等．其中线面平行和线面垂直一般起到关键作用，如本例(2)中通过证明A 1B ⊥平面AC 1M 来证明A 1B ⊥AM ；本例(3)中，通过证明AM ∥平面B 1NC ，C 1M ∥平面B 1NC ，来证明平面AC 1M ∥平面B 1NC .将本例条件“B 1C 1＝A 1C 1，AC 1⊥A 1B ，M ，N 分别是A 1B 1，AB 的中点”改为“AB ＝BB 1，AC 1⊥平面A 1BD ，D 为AC 的中点”，求证：(1)B 1C ∥平面A 1BD .(2)B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.【证明】 (1)如图，连接AB 1. 令AB 1∩A 1B ＝O ， 则O 为AB 1的中点． 连接OD ，∵D 为AC 的中点， ∴在△ACB 1中，有OD ∥B 1C . 又∵OD ⊂平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ，∴B 1C ∥平面A 1BD .(2)∵AB ＝B 1B ，三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴四边形ABB 1A 1为正方形． ∴A 1B ⊥AB 1，又∵AC 1⊥平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ， ∴AC 1⊥A 1B .又∵AC 1⊂平面AB 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1，AC 1∩AB 1＝A ，∴A 1B ⊥平面AB 1C 1. 又∵B 1C 1⊂平面AB 1C 1， ∴A 1B ⊥B 1C 1.又∵A 1A ⊥平面A 1B 1C 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1， ∴A 1A ⊥B 1C 1.又∵A 1A ⊂平面ABB 1A 1，A 1B ⊂平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B ＝A 1，∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.n n n n 且m ≠－3.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n ∈N *，n ≥2)，求证：{1b n}为等差数列．【思路探究】 通过变形利用等差、等比数列的定义证明即可，在证明过程中，恰当处理递推关系是本题证明的关键．【自主解答】 (1)由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3得 (3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3.两式相减得(3＋m )a n ＋1＝2ma n (m ≠－3)， ∴a n ＋1a n ＝2m m ＋3，且a 1＝1， ∴{a n }是等比数列． (2)b 1＝a 1＝1，q ＝f (m )＝2mm ＋3， ∴n ≥2，n ∈N *时，b n ＝32f (b n －1)＝32·2b n －1b n －1＋3⇒b n b n －1＋3b n ＝3b n －1⇒1b n －1b n －1＝13.∴数列{1b n }为首项为1，公差为13的等差数列．1．综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件． 2．综合法不但是数学证明中的重要方法之一，也是其他解答题步骤书写的重要方法，其特点是“执因索果”．综合法在数学证明中的应用非常广泛，用它不但可以证明不等式、立体几何、解析几何问题，也可以证明三角恒等式、数列问题、函数问题等等．设数列{a n }的每一项都不为0，证明：数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 【证明】 必要性： 设等差数列{a n }的公差为d . 若d ＝0，则所述等式显然成立； 若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d (a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1)＝1d [(1a 1－1a 2)＋(1a 2－1a 3)＋…＋(1a n －1a n ＋1)]＝1d (1a 1－1a n ＋1)＝1d ·a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1.充分性： 依题意有 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2.② ②－①得 1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－na 1a n ＋1， 两端同乘a 1a n ＋1a n ＋2得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2.③ 同理可得：a 1＝na n －(n －1)a n ＋1.④ ③－④得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n )，即2a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，所以数列{a n }为等差数列． 命题得证.综合法的简单应用(12分)在△ABC 中，三边a ，b ，c 成等比数列． 求证：a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .【思路点拨】 利用二倍角公式及余弦定理，将三角形角的问题转化为边的问题进行证明．【规范解答】 ∵左边＝a 1＋cos C 2＋c 1－cos A2＝12(a ＋c )＋12(a cos C ＋c cos A )4分 ＝12(a ＋c )＋12(a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc )8分 ＝12(a ＋c )＋12b ≥ac ＋b 2＝b ＋b 2＝32b ＝右边， ∴a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .12分通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，也可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则．1．综合法证题是从条件出发，由因导果，从已知看可知，逐步推出未知．2．综合法适用的范围：(1)定义明确的题型，如证明函数单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等．(2)已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型．1．设P ＝1log 211＋1log 311＋1log 411＋1log 511，则( )A ．0<P <1B ．1<P <2C ．2<P <3D ．3<P <4【解析】 P ＝log 112＋log 113＋log 114＋log 115 ＝log 11120,1＝log 1111<log 11120<log 11121＝2， 即1<P <2. 【答案】 B2．A 、B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 若A >B ，则a >b ，又a sin A ＝bsin B ，∴sin A >sin B ，若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ，∴A >B .【答案】 C3．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________． 【解析】 ∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a >c ， 又∵c b＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c >b ，∴a >c >b . 【答案】 a >c >b4．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝x ，x ∈R ，数列{a n }，{b n }满足条件：a 1＝1，a n ＝f (b n )＝g (b n ＋1)，n ∈N *.求证：数列{b n ＋1}为等比数列． 【证明】 由题意得2b n ＋1＝b n ＋1， ∴b n ＋1＋1＝2b n ＋2＝2(b n ＋1)， ∴b n ＋1＋1b n ＋1＝2， 又∵a 1＝2b 1＋1＝1， ∴b 1＝0，b 1＋1＝1≠0. 故数列{b n ＋1}是以1为首项，2为公比的等比数列.一、选择题1．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22 B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D ．a 2＋b 22<ab <1【解析】 ∵a ≠b ，∴a 2＋b 2>2ab ，即a 2＋b 22>ab ，可排除A 、D. 又a 2＋b 22＝a 2＋b 24＋a 2＋b 24>a 2＋b 24＋2ab 4＝a ＋b 24＝1.故B 正确． 【答案】 B2．l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3 C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面 D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面【解析】 在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A 错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B 正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C 错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D 错．【答案】 B3．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y2<y【解析】 ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y2<y ，故选D. 【答案】 D4．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )A ．bB ．－b C.1b D ．－1b【解析】 f (x )定义域为(－1,1)，f (－a )＝lg1＋a 1－a ＝lg(1－a 1＋a )－1＝－lg 1－a1＋a＝－f (a )＝－b . 【答案】 B5．已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于直线l 的直线( ) A ．只有一条，不在平面α内 B ．有无数条，不一定在平面α内 C ．只有一条，且在平面α内 D ．有无数条，一定在平面α内【解析】 由直线l 与点P 可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m ，因为l ∥α，所以l ∥m ，故过点P 且平行于直线l 的直线只有一条，且在平面α内．【答案】 C 二、填空题6.3－2________2－1.(填“＞”或“＜”) 【解析】 ∵13－2＝3＋23－2 3＋2 ＝3＋2， 12－1＝2＋1 2－1 2＋1＝2＋1，显然3＋2＞2＋1，∴3－2＜2－1. 【答案】 ＜ 7．已知sin x ＝55，x ∈(π2，3π2)，则tan(x －π4)＝________. 【解析】 ∵sin x ＝55，x ∈(π2，3π2)，∴cos x ＝－45， ∴tan x ＝－12，∴tan(x －π4)＝tan x －11＋tan x ＝－3.【答案】 －38．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是________．(用序号及“⇒”表示)【解析】 ∵αβ>0，|α|>22，|β|>2 2. ∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ>8＋8＋2×8＝32>25. ∴|α＋β|>5. 【答案】 ①③⇒② 三、解答题9．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．【证明】 由A 、B 、C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .① 因为A 、B 、C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π.② 由①②，得B ＝π3.③由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac .④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac . 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ， 即(a －c )2＝0，因此a ＝c ， 从而有A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．10．设a >0，f (x )＝e xa ＋ae x 在R 上满足f (x )＝f (－x )，(1)求a 的值；(2)证明f (x )在(0，＋∞)上是增函数．【解】 (1)依题意，对一切x ∈R 有f (x )＝f (－x )，即exa ＋a e x ＝1a ex ＋a e x， 所以(a －1a )(e x －1e x )＝0对一切x ∈R 成立．由此可得a －1a＝0，即a 2＝1.又因为a >0，所以a ＝1. (2)证明：设0<x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e x 2＋1e x 1－1e x 2＝(e x 2－e x 1)(1e x 1＋x 2－1)＝(e x 2－e x 1)·1－e x 1＋x 2e x 1＋x 2.由x 1>0，x 2>0，得x 1＋x 2>0， e x 2－e x 1>0,1－e x 1＋x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．11．如图2－2－2，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下底ABCD 是边长为2的正方形，上底A1B1C1D1是边长为1的正方形，侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.图2－2－2(1)求证：B1B∥平面D1AC；(2)求证：平面D1AC⊥平面B1BDD1.【证明】(1)设AC∩BD＝E，连接D1E，∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1.∴B1D1∥BE，∵B1D1＝BE＝2，∴四边形B1D1EB是平行四边形，所以B1B∥D1E.又因为B1B⊄平面D1AC，D1E⊂平面D1AC，所以B1B∥平面D1AC(2)侧棱DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DD1.∵下底ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线，∴AC⊥平面B1BDD1，∵AC⊂平面D1AC，∴平面D1AC⊥平面B1BDD1.(教师用书独具)图1是由菱形BCDE和△ABC组成的五边形，其中P为AB的中点，现沿BC将菱形BCDE 折起，使得AD＝AB，得到如图2所示的几何体．图1 图2证明：(1)AD∥平面PCE；(2)平面ABD⊥平面ACE.【思路探究】(1)由于P为AB的中点，故可考虑借助三角形的中位线定理证明；(2)要证平面ABD⊥平面ACE，可证明BD⊥平面ACE.【自主解答】(1)如图，设菱形BCDE的两条对角线交于点Q，连接AQ，PQ.在△ABD中，Q为BD的中点，P为AB的中点，则AD∥PQ.又∵PQ⊂平面PCE，AD⊄平面PCE，∴AD∥平面PCE.(2)∵四边形BCDE为菱形，∴BD⊥CE，且BQ＝DQ.又在△ABD中，AB＝AD，BQ＝DQ，∴AQ⊥BD.又AQ ∩CE ＝Q ， ∴BD ⊥平面ACE .又BD ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面ACE .要正确解答本题，关键是要明确折叠前后的图形之间的关系．设a 、b 、c ∈R ＋，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )． 【证明】 ∵a 2＋b 2≥2ab ，a 、b ∈R ＋， ∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2， ∴a 2＋b 2≥ a ＋b22，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )． 同理：b 2＋c 2≥22(b ＋c )， c 2＋a 2≥22(c ＋a )， ∴a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22(2a ＋2b ＋2c ) ＝2(a ＋b ＋c )．(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号) 故a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )．。
【课堂新坐标】(教师用书)20132014学年高中数学模块学习评价新人教a版选修22
模块学习评价(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·课标全国卷Ⅰ)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45C ．4D.45【解析】 ∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝42＋323－4i ＝＋25＝35＋45i ，∴z 的虚部为45.【答案】 D2．一物体的运动方程是s ＝3＋2t, 则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为( )A ．0.41B ．2C ．0.3D ．0.2 【解析】Δs Δt ＝3＋2×2.1－3－2×22.1－2＝0.20.1＝2. 【答案】 B3．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.94e 2B ．2e 2C ．e 2D.e 22【解析】 ∵f ′(x )＝e x，∴曲线在点(2，e 2)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝e 2，切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即e 2x －y －e 2＝0，切线与x 轴和y 轴的交点坐标分别为A (1,0)，B (0，－e 2)，则切线与坐标轴围成的△OAB 的面积为12×1×e 2＝e22.【答案】 D4．若复数z 满足3－3i ＝z (－23i)，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 z ＝3－3i －23i ＝3i ＋323＝12＋32i ，其对应点在第一象限．【答案】 A5．(2013·浙江高考)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，则该函数的图象是( )图1【解析】 从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x ＝0时最大，所以函数f (x )的图象的变化率也先增大后减小，在x ＝0时变化率最大．A 项，在x ＝0时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误．B 项正确．【答案】 B6．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A ．a ≤0 B ．a <1 C ．a <2D ．a ≤13【解析】 由题意可知f ′(x )＝3ax 2－1≤0在R 上恒成立，则a ≤0. 【答案】 A7.⎠⎛0π|cos x |d x 等于( )A ．－2B ．0C ．2D ．1【解析】 ∵|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，0≤x ≤π2，－cos x ，π2≤x ≤π，＝sin x ⎪⎪⎪⎪π2＋(－sin x )⎪⎪⎪⎪ππ2＝1＋1＝2. 【答案】 C8．(2013·宁波高二检测)函数y ＝ln x (x >0)的图象与直线y ＝12x ＋a 相切，则a 等于( )A ．ln 2－1B ．ln 2＋1C ．ln 2D ．2ln 2【解析】 因为函数y ＝ln x 的导数y ′＝1x ，又函数y ＝ln x (x >0)的图象与直线y ＝12x ＋a 相切，所以1x ＝12，即x ＝2，所以切点P (2，ln 2)，所以ln 2＝1＋a ，即a ＝ln 2－1.【答案】 A9．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且(x －1)f ′(x )>0，a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >a >cD ．c >b >a【解析】 因为(x －1)f ′(x )>0，所以当x >1，f ′(x )>0，即函数y ＝f (x )在(1，＋∞)上是增函数，又f (x )＝f (2－x )，所以a ＝f (0)＝f (2)，b ＝f (12)＝f (32)，所以c >a >b .【答案】 B10．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n ＝k 时成立推导n ＝k ＋1时成立时，f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1增加的项数是( )A ．1B ．2k＋1 C ．2k－1D ．2k【解析】 ∵f (k )＝1＋12＋13＋……＋12k －1，又f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1.从f (k )到f (k ＋1)是增加了(2k ＋1－1)－2k ＋1＝2k项．【答案】 D11．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S －ABC 的体积为V ，则R ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4【解析】 四面体中以内切球的球心为顶点，四面体的各个面为底面，可把四面体分割成四个高均为R 的三棱锥，从而有13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ＝V .即(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ＝3V .∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.【答案】 C12．(2013·辽宁高考)设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e28，则x >0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值【解析】 由题意知f ′(x )＝e xx3－2fx x＝e x －2x 2f xx3.令g (x )＝e x －2x 2f (x )，则g ′(x )＝e x－2x 2f ′(x )－4xf (x )＝e x－2(x 2f ′(x )＋2xf (x ))＝e x－2e xx＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x .由g ′(x )＝0得x ＝2，当x ＝2时，g (x )min ＝e 2－2×22×e 28＝0，即g (x )≥0，则当x >0时，f ′(x )＝g xx 3≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，既无极大值也无极小值．【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．(2013·西安高二检测)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．【解析】 第i 个等式左边为1到i ＋1的立方和，右边为1＋2＋3＋…＋(i ＋1)的平方，所以第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.【答案】 13＋23＋33＋43＋53＋63＝21214．(2013·江苏高考)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________．【解析】 z ＝(2－i)2＝3－4i ，所以|z |＝|3－4i|＝32＋－2＝5.【答案】 515．如果复数1，a ＋i,3＋a 2i (a ∈R )成等比数列，那么a 的值为________． 【解析】 由题意知，(a ＋i )2＝1×(3＋a 2i)，即a 2－1＋2a i ＝3＋a 2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝3，2a ＝a 2，解得a ＝2.【答案】 216．(2013·佛山高二检测)若曲线f (x )＝ax 2＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．【解析】 f ′(x )＝2ax ＋1x，∵f (x )存在垂直于y 轴的切线．∴f ′(x )＝0有解，即2ax ＋1x＝0有解，∴a ＝－12x 2，∴a ∈(－∞，0)【答案】 (－∞，0)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知复数z 满足：|z |＝1＋3i －z ，求＋2＋22z的值．【解】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，而|z |＝1＋3i －z ， 即a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0，则⎩⎨⎧a 2＋b 2＋a －1＝0，b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3，z ＝－4＋3i ，＋2＋22z＝－7＋－4＋＝24＋7i4－3i＝3＋4i. 18．(本小题满分12分)已知数列8·112·32，8·232·52，…，8·nn －2n ＋2，…，S n 为该数列的前n 项和，计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝8081.观察上述结果，推测出S n (n ∈N *)，并用数学归纳法加以证明． 【解】 推测S n ＝n ＋2－1n ＋2(n ∈N *)．用数学归纳法证明如下： (1)当n ＝1时，S 1＝＋2－1＋＝89，等式成立；(2)假设当n ＝k 时等式成立， 即S k ＝k ＋2－1k ＋2，那么当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋k ＋k ＋2k ＋2＝k ＋2－1k ＋2＋k ＋k ＋2k ＋2＝k ＋2－k ＋2＋k ＋k ＋k ＋＝2k ＋2k ＋2－k ＋2＋k ＋k ＋2k ＋2＝k ＋2k ＋2－k ＋2k ＋2k ＋2＝k ＋2－1k ＋2＝k ＋＋1]2－1k ＋＋1]2.也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)和(2)，可知对一切n ∈N *，等式均成立．19．(本小题满分12分)函数f (x )＝4x 3＋ax 2＋bx ＋5在(－∞，－1)和(32，＋∞)单调递增，在(－1，32)单调递减．(1)求函数的解析式；(2)求f (x )在[－1,2]上的最大值和最小值．【解】 (1)∵f ′(x )＝12x 2＋2ax ＋b ，且由题意可知 －1，32是f ′(x )＝0的两个实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋32＝－2a 12，－32＝b12.解得a ＝－3，b ＝－18， ∴f (x )＝4x 3－3x 2－18x ＋5.(2)由(1)得f ′(x )＝6(2x －3)(x ＋1)，当x ∈[32，2]时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈[－1，32]时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，又f (－1)＝16，f (32)＝－614，f (2)＝－11.故f (x )max ＝16，f (x )min ＝－614. 20．(本小题满分12分)(1)在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD2＝1AB2＋1AC 2.(2)在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．【解】 (1)如图所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ，∴1AD2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2， 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD ＝AB 2＋AC 2AB ·AC ＝1AB ＋1AC . ∴1AD2＝1AB2＋1AC 2.(2)猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC 猜想在四面体A －BCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂平面ACD ， ∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE＝1AB ＋1AF .易知在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF2＝1AC 2＋1AD 2， ∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2，故猜想正确．21．(本小题满分12分)(2013·南京高二检测)设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f ′(x )e －x，求函数g (x )的极值．【解】 (1)因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，故f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，由已知f ′(1)＝2a ， 因此3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.又令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，由已知f ′(2)＝－b ， 因此12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.因此f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又因为f ′(1)＝2×(－32)＝－3，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －(－52)＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0. (2)由(1)知g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x， 从而有g ′(x )＝(－3x 2＋9x )e －x.令g ′(x )＝0，得－3x 2＋9x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3.当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0，故g (x )在(－∞，0)上为减函数；当x ∈(0,3)时，g ′(x )>0，故g (x )在(0,3)上为增函数； 当x ∈(3，＋∞)时，g ′(x )<0，故g (x )在(3，＋∞)上为减函数．从而函数g (x )在x 1＝0处取得极小值g (0)＝－3，在x 2＝3处取得极大值g (3)＝15e －3. 22．(本小题满分12分)(2013·北京高考)已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围． 【解】 由f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝x (2＋cos x )．(1)因为曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，所以f ′(a )＝a (2＋cos a )＝0，b＝f(a)．解得a＝0，b＝f(0)＝1.(2)令f′(x)＝0，得x＝0.f(x)与f′(x)的变化情况如下：所以函数f(x f(0)＝1是f(x)的最小值．当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点；当b>1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1>4b－2b－1>b，f(0)＝1<b，所以存在x1∈(－2b,0)，x2∈(0,2b)，使得f(x1)＝f(x2)＝b.由于函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b>1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)．。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中化学-2.1.1-原子核外电子运动课后知能检测-苏教版选修3
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中化学 2.1.1 原子核外电子运动课后知能检测苏教版选修31．下列叙述中，不属于核外电子特点的是( )A．质量很小B．运动范围很小C．运动速率很快 D．有确定的运动轨道【解析】核外电子的质量很小，仅为质子质量的1/1836，在直径为10－10 m的空间内做高速运动，所以不能准确地测定电子在某一时刻所处的位置及运动速率，也不能描绘出它的运动轨道，即没有确定的运动轨道。
【答案】 D2．(2013·邯郸高二质检)下列电子层中，有f原子轨道的是( )A．K B．L C．M D．N【解析】电子层中的原子轨道个数等于该电子层的序数，要出现f原子轨道，电子层数最少为4层。
【答案】 D3．下列有关电子云和原子轨道的说法正确的是( )A．电子云图中，小点密集表示该处的电子多B．原子轨道表示原子核外电子运动的轨迹C．3p轨道和2p轨道都呈纺锤形，3p轨道比2p轨道数目多D．多电子原子中电子离核的平均距离4s＞3s＞2s【解析】不管2p或3p或任何其他电子层的p轨道，总是3个互相垂直的轨道，所以C 项错误；电子层序数大，则它的各种轨道伸展程度都变大，即电子运动离核平均距离就远，D项正确。
【答案】 D4．观察2pz轨道电子云示意图(如图所示)判断，下列说法中错误的是( )A．2pz轨道上的电子在空间出现的概率分布呈z轴对称B．点密集的地方表明电子出现的机会多C．电子先沿z轴正半轴运动，然后沿其负半轴运动D．2pz轨道的形状为两个椭圆面【解析】观察2pz轨道电子云示意图发现，处于2pz轨道上的电子在空间出现的概率分布相对于z轴对称，电子主要在xy平面的上、下方出现，A项正确。
电子云中的小点疏密程度代表电子出现的概率大小，所以点密集的地方表明电子出现的机会多，B正确。
在图中，电子出现的概率分布关于z轴对称，电子云并不是电子的真实运动轨迹，C错误。
2pz轨道电子云形状为两个椭圆球，而不是面，D错误。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中物理 3.2 原子模型的提出课后知能检测 沪科版选修3-5
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中物理 3.2 原子模型的提出课后知能检测沪科版选修3-51．在α粒子散射实验中，如图3－2－5所示曲线可能是α粒子径迹的是( )图3－2－5A．a B．bC．c D．d【解析】分析此题要从库仑力作用规律、力与运动关系综合考虑．由于α粒子与原子核带同种电荷，互相排斥，故B、D正确．【答案】BD2．卢瑟福原子核式结构理论的主要内容有( )A．原于的中心有个核，叫原子核B．原子的正电荷均匀分布在整个原子中C．原子的全部正电荷和几乎全部的质量都集中在原子核里D．带负电的电子在核外绕核旋转【解析】由α粒子散射实验可知，绝大多数α粒子穿过金箔后仍沿原来方向前进，少数α粒子发生了较大的偏转，有的α粒子偏转角超过90°，极少数甚至被反弹回来，说明这需要很强的相互作用力，除非原子核的大部分质量和全部正电荷都集中在一个很小的核上，否则大角度散射是不可能的．【答案】ACD3．下列对原子结构的认识中，正确的是( )A．原子中绝大部分是空的，原子核很小B．电子在核外运动，库仑力提供向心力C．原子的全部正电荷都集中在原子核里D．原子核的直径大约是10－10 m【解析】原子由位于原子中心带正电的原子核和核外带负电的电子构成的，电子在核外绕核高速旋转，库仑力提供向心力，由此可判定B、C选项正确；根据α粒子散射实验知原子核直径的数量级为10－15 m，而原子直径的数量级为10－10 m，故A正确，D错误．【答案】ABC4．在卢瑟福的α粒子散射实验中，有少数α粒子发生大角度偏转，其原因是( ) A．原子的正电荷和绝大部分质量集中在一个很小的核上B．正电荷在原子中是均匀分布的C．原子中存在着带负电的电子D．原子中的质量均匀分布在整个原子范围内【解析】原子的正电荷和绝大部分质量集中在一个很小的核上，才使在α粒子散射实验中，只有少数的α粒子离核很近，受到较大的库仑斥力，发生大角度的偏转，所以选项A 正确．【答案】 A5．实验测得α粒子与金197 79Au对心碰撞时所能达到的离金原子核的最小距离约为2×10－14 m，由此数据请你估算金原子核的密度．(结果取1位有效数字)【解析】根据卢瑟福的核式结构模型，题设数据可以认为是金原子核的半径r，则金原子核的体积为V＝43πr3，金的摩尔质量为M＝197×10－3kg·mol－1，阿伏伽德罗常数N A＝6.0×1023 mol－1，则密度ρ＝MV·N A＝197×10－343π－143×6.0×1023kg/m3≈1×1016 kg/m3.【答案】1×1016 kg/m36．(2011·珠海高二检测)如图3－2－6所示为卢瑟福和他的同事们做α粒子散射实验装置的示意图，荧光屏和显微镜一起分别放在图中A、B、C、D四个位置时，观察到的现象，下述说法中正确的是( )图3－2－6A．放在A位置时，相同时间内观察到屏上的闪光次数最多B．放在B位置时，相同时间内观察到屏上的闪光次数只比A位置稍少些C．放在C、D位置时，屏上观察不到闪光D．放在D位置时，屏上仍能观察一些闪光，但次数极少【解析】 在卢瑟福α粒子散射实验中，α粒子穿过金箔后，绝大多数α粒子仍沿原来的方向前进，故A 正确，少数α粒子发生较大偏转，极少数α粒子偏转角度超过90°，极个别α粒子被反射回来，故B 、C 错，D 对．【答案】 AD7．如图3－2－7所示，M 、N 为原子核外的两个等势面，已知U NM ＝100 V ．一个α粒子以2.5×105m/s 从等势面M 上的A 点运动到等势面N 上的B 点，求α粒子在B 点时速度的大小．(已知m α＝6.64×10－27kg)图3－2－7【解析】 α粒子在由A 到B 的过程中，满足动能定理 －2eU NM ＝12m αv 2－12m αv 20由此得v ＝v 20－4eU NMm α＝52－4×1.6×10－19×1006.64×10－27m/s ＝2.3×105m/s. 【答案】 2.3×105m/s8．(2011·泰州高二检测)在卢瑟福的α粒子散射实验中，某一α粒子经过某一原子核附近时的轨迹如图3－2－8所示．图中P 、Q 两点为轨迹上的点，虚线是过P 、Q 两点并与轨迹相切的直线．两虚线和轨迹将平面分成四个区域，不考虑其他原子核对α粒子的作用，那么关于该原子核的位置，下面说法正确的是( )图3－2－8A ．一定在①区域B ．可能在②区域C ．可能在③区域D ．一定在④区域【解析】 α粒子运动时，受到原子核排斥力的作用，而做曲线运动的轨迹一定是在合外力方向与速度方向之间，将各区域内任何一点分别与P、Q两点相连并延长，可发现②、③、④区域都不可能，一定在①区域．【答案】 A9．1911年前后，物理学家卢瑟福用α粒子轰击金箔，取得惊人的发现．试由此实验根据下列所给公式或数据与别人一起讨论探究出金原子核的大小．带电粒子在点电荷电场中的电势能的表达式为E p＝－k Qqr，k＝9.0×109N·m2/C2.金原子序数为79，α粒子质量Mα＝6.64×10－27kg，质子质量m p＝1.67×10－27kg，α粒子速度vα＝1.60×107m/s，电子电荷量e＝1.6×10－19 C.【解析】α粒子接近金原子核，克服库仑力做功，动能减少，电势能增加，当α粒子的动能完全转化为电势能时，离金原子核最近，距离为R，R可被认为是金原子核半径，则有1 2Mαv2α＝kQqαR，其中Q为金原子核的电荷量，则有R＝2kQqαMαv2α＝2×9.0×109－1926.64×10－2772m ≈4×10－14 m.【答案】金原子核的半径为4×10－14 m。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.2 综合法与分析法课后知能检测 新人教A版选修4-5
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2 综合法与分析法课后知能检测 新人教A 版选修4-5一、选择题1．若a 、b 、c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是( )A.1a ＜1b B ．a 2＞b 2C.a c 2＋1＞bc 2＋1 D ．a |c |＞b |c |【解析】 ∵a ＞b ，c 2＋1＞0，∴a c 2＋1＞bc 2＋1，故选C.【答案】 C2．设13＜(13)b ＜(13)a ＜1，则( )A ．a a ＜a b ＜b aB ．a a ＜b a ＜a bC ．a b ＜a a ＜b aD ．a b ＜b a ＜a a【解析】 ∵13＜(13)b ＜(13)a ＜1，∴0＜a ＜b ＜1，∴a aa b ＝a a －b ＞1，∴a b ＜a a，a ab ＝(a b )a ，∵0＜a b ＜1，a ＞0，∴(a b )a ＜1，∴a a ＜b a ，∴a b ＜a a ＜b a.故选C.【答案】 C3．(2013·三门峡模拟)已知条件p ：ab >0，q ：b a ＋a b ≥2，则p 与q 的关系是() A ．p 是q 的充分而不必要条件B ．p 是q 的必要而不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．以上答案都不对【解析】 当ab >0时，b a >0，a b >0，∴b a ＋a b ≥2 ba ·ab ＝2. 当b a ＋ab ≥2时，∴a 2＋b 2－2ab ab ≥0， a －b2ab ≥0，(a －b )2≥0，∴ab >0，综上ab >0是b a ＋ab ≥2的充要条件．【答案】 C4．已知a 、b 、c 为三角形的三边且S ＝a 2＋b 2＋c 2，P ＝ab ＋bc ＋ca ，则() A ．S ≥2P B ．P ＜S ＜2PC ．S ＞PD ．P ≤S ＜2P【解析】 ∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，即S ≥P .又三角形中|a －b |＜c ，∴a 2＋b 2－2ab ＜c 2，同理c 2＋b 2－2bc ＜a 2，a 2＋c 2－2ac ＜b 2，∴a 2＋b 2＋c 2＜2(ab ＋bc ＋ca )，即S ＜2P .故选D.【答案】 D二、填空题5．有以下四个不等式：①(x ＋1)(x ＋3)＞(x ＋2)2；②ab －b 2＜a 2；③1|a |＋1＞0；④a 2＋b 2≥2|ab |.其中恒成立的为________(写出序号即可)．【解析】 对于①，x 2＋4x ＋3＞x 2＋4x ＋4,3＞4不成立；对于②，当a ＝b ＝0时， 0＜0不成立，③④显然成立．【答案】 ③④6．已知a ＞0，b ＞0且a ＋b ＝1，则1a ＋1b ＋1ab 与8的大小关系是________．【解析】 ∵a ＞0，b ＞0且a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＋1ab ＝a ＋b ＋1ab ＝2ab ≥2a ＋b 2 2＝8.当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．【答案】 1a ＋1b ＋1ab ≥8三、解答题7．设a ＞0，b ＞0，c ＞0.证明：(1)1a ＋1b ≥4a ＋b ；(2)12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b .【证明】 (1)∵a ＞0，b ＞0，∴(a ＋b )(1a ＋1b ) ≥2ab ·21ab ＝4. ∴1a ＋1b ≥4a ＋b .(2)由(1)知1a ＋1b ≥4a ＋b . 同时，1b ＋1c ≥4b ＋c ，1c ＋1a ≥4c ＋a ，三式相加得： 2(1a ＋1b ＋1c )≥4b ＋c ＋4c ＋a ＋4a ＋b ，∴12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b .8．已知a ≥1，求证：a ＋1－a ＜a －a －1.【证明】 要证原不等式成立，只要证明a ＋1＋a －1＜2a .因为a ≥1，a ＋1＋a －1＞0,2a ＞0，所以只要证明2a ＋2a 2－1＜4a ， 即证 a 2－1＜a .所以只要证明a 2－1＜a 2，即证－1＜0即可．而－1＜0显然成立， 所以a ＋1－a ＜a －a －1.9．如果a ＞b ，ab ＝1，求证：a 2＋b 2≥22(a －b )，并指明何时取“＝”号．【证明】 因为a ＞b ，所以a －b ＞0，又ab ＝1， 所以a 2＋b 2a －b ＝a 2＋b 2－2ab ＋2ab a －b ＝ a －b 2＋2a －b＝(a －b )＋2a －b ≥2 a －b ·2a －b＝2 2. 即a 2＋b 2a －b≥22， 故a 2＋b 2≥22(a －b )．当且仅当a －b ＝2a －b ， ab ＝1，即a ＝6＋22，b ＝6－22或a ＝－6＋22，b ＝－6－22时取“＝”号．教师备选10．若不等式1a －b ＋1b －c ＋λc －a＞0在条件a ＞b ＞c 时恒成立，求实数λ的取值范围． 【解】 不等式可化为1a －b ＋1b －c ＞λa －c . ∵a ＞b ＞c .∴a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，∴λ＜a －c a －b ＋a －c b －c 恒成立． ∵a －c a －b ＋a －c b －c ＝ a －b ＋ b －c a －b ＋ a －b ＋ b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥2＋2＝4. ∴λ＜4.故实数λ的取值范围是(－∞，4)．。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学2.2.1条件概率课后知能检测新人教a版选修2-3
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2.1 条件概率课后知能检测 新人教A 版选修2-3一、选择题1．已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( ) A.56B.910C.215D.115【解析】 由P (B |A )＝P AB P A 得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝215. 【答案】 C 2．下列说法正确的是( )A ．P (B |A )＜P (AB )B ．P (B |A )＝P B P A 是可能的C ．0＜P (B |A )＜1D ．P (A |A )＝0【解析】 由条件概率公式P (B |A )＝P AB P A及0＜P (A )≤1知P (B |A )≥P (AB )，故A 选项错误；当事件A 包含事件B 时，有P (AB )＝P (B )，此时P (B |A )＝P B P A ，故B 选项正确，由于0≤P (B |A )≤1，P (A |A )＝1，故C ，D 选项错误．故选B.【答案】 B3．将三颗骰子各掷一次，记事件A 表示“三个点数都不相同”，事件B 表示“至少出现一个3点”，则概率P (A |B )等于( )A.91216 B.518 C.6091 D.12【解析】 事件B 发生的基本事件个数是n (B )＝6×6×6－5×5×5＝91，事件A ，B 同时发生的基本事件个数为n (AB )＝3×5×4＝60.∴P (A |B )＝n AB n B ＝6091. 【答案】 C4．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )A.35B.110C.59D.25【解析】 把问题看成用10个不同的球排前两位，第一次为新球的基本事件数为6×9＝54，两次均为新球的基本事件数为A 26＝30，所以在第一次摸到新球条件下，第二次也摸到新球的概率为3054＝59. 【答案】 C5．(2013·泰安高二检测)一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是( )A.14B.23C.12D.13 【解析】 一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．记事件A 为“其中一个是女孩”，事件B 为“另一个是女孩”，则A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB ＝{(女，女)}．于是可知P (A )＝34，P (AB )＝14.问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求P (B |A )，由条件概率公式，得P (B |A )＝1434＝13. 【答案】 D二、填空题6．设A ，B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为________． 【解析】 ∵P (AB )＝310，P (B |A )＝12，∴P (B |A )＝P AB P A. ∴P (A )＝35. 【答案】 357．(2012·泰州高二检测)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．【解析】 设“种子发芽”为事件A ，“种子成长为幼苗”为事件AB (发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为：P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9.根据条件概率公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.【答案】 0.728．从编号为1,2，……10的10个大小相同的球中任取4个，已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．【解析】 令事件A ＝{选出的4个球中含4号球}，B ＝{选出的4个球中最大号码为6}．依题意知n (A )＝C 39＝84，n (AB )＝C 24＝6，∴P (B |A )＝n AB n A ＝684＝114. 【答案】 114三、解答题9．(2013·广州高二检测)甲、乙两个袋子中，各放有大小、形状和个数相同的小球若干．每个袋子中标号为0的小球为1个，标号为1的2个，标号为2的n 个．从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是110. (1)求n 的值；(2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1的条件下，求另一个标号也是1的概率．【解】 (1)由题意得：C 2n C 2n ＋3＝n n －n ＋n ＋＝110，解得n ＝2. (2)记“其中一个标号是1”为事件A ，“另一个标号是1”为事件B ，所以P (B |A )＝n AB n A ＝C 22C 25－C 13＝17. 10．任意向x 轴上(0,1)这一区间内掷一个点，问：(1)该点落在区间(0，13)内的概率是多少？ (2)在(1)的条件下，求该点落在(15，1)内的概率． 【解】 由题意知，任意向(0,1)这一区间内掷一点，该点落在(0,1)内哪个位置是等可能的，令A ＝{x |0＜x ＜13}，由几何概率的计算公式可知 (1)P (A )＝131＝13. (2)令B ＝{x |15＜x ＜1}，则AB ＝{15＜x ＜13}，P (AB )＝13－151＝215. 故在A 的条件下B 发生的概率为P (B |A )＝P AB P A ＝21513＝25. 11．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意拨号，假设拨过的号码不再重复，试求：(1)不超过3次拨号就接通电话的概率；(2)如果他记得号码的最后一位是奇数，拨号不超过3次就接通电话的概率．【解】 设第i 次接通电话为事件A i (i ＝1,2,3)，则A ＝A 1∪(A 1A 2)∪(A 1 A 2A 3)表示不超过3次就接通电话．(1)因为事件A 1与事件A 1A 2，A 1 A 2A 3彼此互斥，所以P (A )＝110＋910×19＋910×89×18＝310. (2)用B 表示最后一位按奇数的事件，则P (A |B )＝P (A 1|B )＋P (A 1A 2|B )＋P (A 1 A 2A 3|B )＝15＋4×15×4＋4×3×15×4×3＝35.。
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专题2 有机物的结构与分类
(时间：60分钟分值：100分)
一、选择题(本题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意。
)
1．下列说法中，不正确的是( )
A．乙烯属于不饱和链烃，乙烷属于饱和链烃
B．乙烯分子中所有原子处于同一平面上，乙烷分子则为立体结构，所有原子不在同一平面上
C．甲烷分子的比例模型：
D．CH4与C4H10互为同系物
【解析】C项图示为甲烷的球棍模型。
【答案】 C
2．下列化学用语表达不正确的是( )
①图为丙烷的球棍模型
②丙烯的结构简式为CH3CHCH2
③某有机物的名称是2,3二甲基戊烷
A．①②B．②③
C．③④ D．②④
【解析】②不正确，丙烯的结构简式为CH3CH===CH2，④不正确，C8H6是一个分子式，不是一种具体物质。
【答案】 D
3．下列物质一定属于同系物的是( )
A．④和⑧ B．①②和③
C．⑦和⑧ D．④⑥和⑧
【解析】④和⑧属于烯烃同系物，⑤和⑦属于二烯烃同系物；①②和③都属于芳香烃，但它们并不符合同一通式，分子组成上不可能相差一个或若干个CH2原子团，故不可能为同系物；C3H6虽然与④和⑧符合同一通式，但结构不一定与④和⑧相似，因为C3H6还可能为环丙烷。
【答案】 A
4．(2013·中山高二质检)历史上最早应用的还原性染料是靛蓝，其结构简式如下图。
下列关于靛蓝的叙述中错误的是( )
A．靛蓝由碳、氢、氧、氮四种元素组成
B．它的分子式是C16H10N2O2
C．该物质属于烃
D．它是不饱和的有机物
【解析】由靛蓝的结构简式可知它由C、H、O、N四种元素组成，且C、H、O、N各原
子个数分别是16、10、2、2，故A、B正确；分子中有及，故其属于不饱和有机物，不属于烃，D正确，C错误。
【答案】 C
5．下列说法正确的是( )
A．有机物中都存在同分异构现象
B．只要含有的官能团种类相同就是同系物
C．14C和14Si是同位素
D．C2H5Cl没有同分异构体
【解析】很多结构简单的有机物无同分异构体，如CH4，A项错；同系物除了官能团种类相同外个数也要相差若干个CH2原子团，B项错；同位素必须是相同元素的不同原子，C 项错。
【答案】 D
6．科学家最近在－100 ℃的低温下合成了一种键线式为的烃X,1H核磁共振谱表明其分子中氢原子的化学环境只有一种。
根据分析，下列说法中不正确的是( ) A．X的分子式为C5H4
B．X中碳原子的化学环境有两种
C．1 mol X在一定条件下可与2 mol氢气发生反应
D．X不能使高锰酸钾酸性溶液褪色
【解析】由题目提供的键线式可知烃X中含有碳碳双键，故X可使酸性高锰酸钾溶液褪色。
【答案】 D
7．下列物质的命名错误的是( )
【答案】 C
A.它属于芳香烃
B.该有机物不含官能团
C.分子式为C14H8Cl5
D.1 mol该物质能与6 mol H2加成
【解析】A项，该有机物含氯原子不属于芳香烃；B项，该有机物所含的—Cl为官能团；C项，分子式为C15H9Cl5；D项，该有机物含两个苯环，可与6 mol H2加成。
【答案】 D
9.有一环状化合物C8H8，它不能使溴的CCl4溶液褪色；它的分子中碳环上的1个氢原子被氯取代后的有机生成物只有一种。
这种环状化合物可能是
【解析】不能使溴的CCl4溶液褪色，可排除A和D；B中碳环上的一氯取代物不止一种。
10. 2013·西安市高二质检 分子中碳与氢两元素的质量比为24∶5的烃的一氯代物共有
A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
【解析】碳、氢的物质的量之比为2∶5，即该烃为C4H10。
它有两种同分异构体：正丁烷和异丁烷。
两种物质含有不同环境的氯原子均有2种，故该烃的一氯代物共有4种。
【答案】 C
11.从理论上分析，碳原子数为10或小于10的烷烃分子中，其一卤代物不存在同分异构体的烷烃分子共有的种类是
A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
【解析】最简单的烷烃 甲烷 分子空间结构是正四面体，其一卤代物不存在同分异构体，也就是说甲烷分子中的四个氢原子在空间的位置完全等同。
按照氢原子在空间位置完全等同这一原则，有下列变换过程：
【答案】 C
12．主链含5个碳原子，有甲基、乙基2个支链的烷烃有( )
A．2种B．3种
C．4种D．5种
【解析】主链有5个碳原子，乙基只能连在中间的碳原子上，甲基有两种位次2、3，故有两种烷烃。
【答案】 A
二、非选择题(包括4个小题，共40分)
13．(10分)(2013·福州高二质检)在烷烃分子中的基团
，其数目分别用a、b、c、d表示，对烷烃(除CH4)中存在的关系作讨论：
(1)下列说法正确的是________。
A．a的数目与b的数目的大小无关
B．c增加1，a就会增加3
C．d增加1，a就会增加2
D．b增加1，a就会增加2
(2)四种基团之间的关系为：a＝________(用a、b、c、d表示)。
(3)若某烷烃分子中，b＝c＝d＝1，则满足此条件的该分子的结构可能有________种，写出其中一种并命名：结构简式为________，名称为________。
【解析】(1)根据四种碳原子相连的氢原子数目分别是3、2、1、0，所以n(H)＝3a＋
2b＋c。
根据C n H2n＋2可知n(H)＝2(a＋b＋c＋d)＋2。
联立可得a＝2＋c＋2d，所以A、C正确。
(2)a＝2＋c＋2d。
(3)分子中b＝c＝d＝1，则a＝5，则碳的骨架为
14．(10分)一名同学把4.48 L(已折算成标准状况下)某有机物蒸气在O2中充分燃烧，然后让产物依次通过装有无水CuSO4的干燥管、盛有浓硫酸的洗气瓶和盛有含0.8 mol Ca(OH)2的澄清石灰水的烧杯，如图所示：
实验结束后发现无水CuSO4变蓝，干燥管和洗气瓶共增重18 g，澄清石灰水变浑浊后又恰好变澄清。
请根据实验回答下列问题：
(1)O2要过量的原因是： _______________。
(2)若该有机物只含C、H两种元素，且不含任何官能团，但含苯环，则该有机物的分子式为________，它可能属于________(填序号)。
A．烷烃B．烯烃
C．芳香烃D．烃的衍生物
该物质可能的结构简式为：__________________________。
(写出二种)
(3)若该有机物分子中含有一个氧原子，写出可能的结构简式(写出三种)___________________________________________。
【答案】(1)把有机物蒸气完全带入反应装置；保证有机物完全燃烧；从反应装置中把H2O(g)和CO2完全赶出
15．(10分)完成下列各小题。
(2)写出下列各种有机物的结构简式：
①2,3二甲基4乙基己烷______________________________________；
②支链只有一个乙基且式量最小的烷烃__________________________；
③3甲基2戊烯的结构简式是__________________________________。
【解析】(1)①选取主链时应注意—C2H5的实际结构；②可用习惯命名法或系统命名法。
(2)②中要注意乙基至少应连在3号碳上。
【答案】(1)①2,6二甲基辛烷②间二甲苯或1,3二甲苯
(1)降冰片烯属于________。
a．环烃 b．不饱和烃
c．烷烃 d．芳香烃
(2)降冰片烯的分子式为__________________________________。
(3)降冰片烯不具有的性质________。
a．能溶于水b．能发生氧化反应
c．能发生加成反应d．常温、常压下为气体
(4)降冰片烯的一氯代物有________种。
(5)降冰片烯的二氯代物有________种。
【解析】(1)降冰片烯分子中含有碳碳双键，属于不饱和烃，降冰片烯也属于环烃，但不属于烷烃(饱和烃)，分子中不存在苯环，不属于芳香烃。
(2)根据碳、氢原子的成键规律和降冰片烯的结构简式可得其分子式为C7H10。
(3)降冰片烯属于烃类有机物，不溶于水，其碳原子数已经大于4，常温下不是气体，其分子中含有碳碳双键，能发生加成和氧化反应。
(4)此结构中的6与7,2与5,3与4对称。
一氯代物有4种。
(5)(4种) (5种) (3种)
(2种) 共14种。
【答案】 (1)ab (2)C 7H 10 (3)ad (4)4 (5)14。