福建省师大附中2019届高三上学期期中考试数学(理)试卷(含答案)-精品
福建师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学(文)试卷 Word版含解析
2019届福建师范大学附属中学 高三上学期期中考试数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．设集合 则 = A ． B ． C ． D ． 2．命题“ ， ”的否定是A ． ，B ． ，C ． ，D ． ， 3．已知 是虚数单位，复数在复平面上所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．已知双曲线的离心率为 ,则双曲线的渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．5．已知函数，为 图象的对称轴，将 图象向左平移个单位长度后得到 的图象，则 的解析式为A ．B ．C ．D ．6．已知抛物线 的焦点为 ，准线 与 轴的交点为 ，抛物线上一点 ，若 ，则 的面积为A ．B ．C ．D ．7．函数的部分图象大致为 A ．B ．C ．D ．8．直线 与圆 相交于 、 两点.若 ，则 的取值范围是A ．B ．C ．D ．9．某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的表面积为A ．B ．C ．D ．10．若四边形 是边长为2的菱形， ， 分别为 的中点，则A ．B ．C ．D ．11．在 中， ， ，点 在边 上，且，则A ．B ．C ．D ．此卷只装订不密封级 姓名 准考证号 考场号 座位号12．已知椭圆的左右焦点分别为 、 ，过点 的直线与椭圆交于 两点，若 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知直线1:260l ax y ++=和直线()22:110l x a y a +-+-=垂直，则实数a 的值为__________．14．已知向量 ， ，若 ，则向量 与向量 的夹角为_____． 15．设函数，则函数 的零点个数是_______. 16．半径为4的球的球面上有四点A ,B ,C ,D ，已知 为等边三角形且其面积为 锥 体积的最大值为_____________________．三、解答题17．已知等差数列 的公差 为1，且 ， ， 成等比数列. （1）求数列 的通项公式；（2）设数列 ，求数列 的前 项和 . 18．已知函数.（1）求函数 的最大值；（2）已知 的面积为 ，且角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若， ，求 的值.19．已知数列 的前 项和 满足.（1）求 的通项公式； （2）求数列的前项和为 .20．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程是ρ= cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程是（t 为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线L 的普通方程；（2）设点P （m ，0），若直线L 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m 的值．21 2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点， O 为坐标原点，若 求证：点(),m k 在定圆上.22．函数. (I)求 的单调区间；(II)若 ，求证：.2019届福建师范大学附属中学高三上学期期中考试数学（文）试题数学答案参考答案1．C【解析】试题分析：，，则（，），选C.【考点】本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算【名师点睛】本题主要考查集合的并集运算，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与函数的值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.2．C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，考点：全称命题与特称命题3．A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数,可得复平面上对应的点的坐标，从而可得结果.【详解】，对应点坐标为，在第一象限,故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4．C【解析】【分析】由可得，利用双曲线的离心率求出，从而可得的值，然后求解双曲线的渐近线方程.【详解】由双曲线可得，离心率为，则，所以双曲线的渐近线方程为，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的方程、双曲线的离心率以及双曲线的渐近线方程，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.5．B【解析】【分析】由为图象的对称轴，可得,从而求得的值，再利函数的图象变换规律，以及诱导公式，可得出结论.【详解】根据函数为图象的对称轴，可得,故，函数，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，故选B.【点睛】本题主要考查正弦函数图象的对称性，函数的图象变换规律，以及诱导公式，属于基础题. 由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.6．A【解析】分析：由抛物线的定义，求得点的坐标，进而求解三角形的面积．详解：由抛物线的方程，可得，准线方程为，设，则，即，不妨设在第一象限，则，所以，故选A．点睛：本题主要考查了抛物线的定义及性质的应用，其中熟记抛物线的定义和性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．7．A【解析】分析：分析函数的奇偶性，以及是函数值的符号，利用排除法即可得到答案.详解：由题意，函数满足，所以函数为奇函数，图象关于轴对称，排除；又由当时，函数，排除，故选A.8．B【解析】【分析】由，结合圆的半径，由勾股定理可得圆心到直线的距离,利用点到直线距离公式，列不等式可得结果.【详解】若，则圆心到直线的距离,即，解得，故选B.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.9．D【解析】【分析】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，由此能求出该几何体的表面积.【详解】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，如图，该几何体的表面积：，故选D.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10．A【解析】【分析】运用向量的加减运算和平面数量积公式以及运算，主要是向量的平方即为模的平方，结合菱形的性质，化简即可得到所求值.【详解】四边形是边长为2的菱形，，可得，则，故选A.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积公式，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．11．C【解析】【分析】由，可得,进而中，由正弦定理建立方程即可解得的值.【详解】，，,所以，，可得，中，由正弦定理可得，中，正弦定理可得，，解得，故选C.【点睛】本题主要考查直角三角形的性质以及正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.12．D【解析】试题分析：设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，得出，，再由椭圆的定义，得到的周长为，列出的关系式，即可求解离心率.13【解析】∵12l l⊥，∴()121a a⨯=-⨯-，故答案为：14．【解析】【分析】由，利用数量积为零可求得，从而得，求得，利用，从而可得结果.【详解】，则，，即，解得，，则，则，又，故答案为.【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.15．2【解析】分析：首先根据题意，将函数的零点个数问题转化为方程解的个数，最后转化为函数的图像和直线交点的个数问题来解决，这样比较直观，容易理解.详解：在同一个坐标系中画出函数的图像和直线，而函数的零点个数即为函数的图像和直线的交点的个数，从图中发现，一共有两个交点，所以其零点个数为2.点睛：该题考查的是函数的零点个数问题，解决该题的方法是将函数的零点个数问题转化为函数图像交点的个数问题来解决，从而将问题简单化，并且比较直观，学生容易理解.16．【解析】分析：求出△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．详解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：O′C=，OO′=）=，则三棱锥D﹣ABC高的最大值为6，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：=故答案为：．点睛：（1）本题主要考查球的内接多面体和体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力. (2)本题求体积的最大值，实际上是求高的最大值，所以求高是关键.17．（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）由题成等比数列则（，将代入求出，即可得到数列的通项公式；试题解析：（2）由（Ⅰ）. 利用分组求和法可求数列的前项和..（1）在等差数列中，因为成等比数列，所以，即（，解得. 因为所以所以数列的通项公式.（2）由（1）知,所以.=18．(1);(2).【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，可得函数的最大值为；（2）由题意，化简得，从而得，由，，求得、的值，根据余弦定理得.【详解】（1），∴函数的最大值为.（2）由题意，化简得.∵，∴，∴，∴.由得，又，∴，或，.在中，根据余弦定理得.∴.【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.19．（Ⅰ）=；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用数列前项和与的关系解答；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，利用裂项求和法求得数列的前项和．试题解析：（Ⅰ）当时,;当时,，故的通项公式为=（Ⅱ）由（Ⅰ）知从而数列的前项和为-考点：1、数列前项和与的关系；2、裂项求和法．【方法点睛】在等差（比）数列中由各项满足的条件求通项公式时，一般将已知条件转化为基本量，用和表示，通过解方程组得到基本量的值，从而确定通项公式．解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：（1）转化的思想，即将一般数列设法转化为等差（比）数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成；（2）不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和．20．(1),；(2)或或【解析】试题分析：（1）在极坐标方程是的两边分别乘以，再根据极坐标与直角坐标的互化公式及即可得到曲线的直角坐标方程，消去直线的参数方程中的参数得到直线的在普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，由直线参数方程中参数的几何意义构造的方程.试题解析：（1）曲线的极坐标方程是，化为，可得直角坐标方程：．直线的参数方程是（为参数），消去参数可得．（2）把（为参数）代入方程：化为：，由，解得，∴．∵，∴，解得．又满足．∴实数．考点：圆的极坐标方程及直线参数方程的意义.21．（1）椭圆C 的标准方程为（2）证明见解析【解析】试题分析：（1221b b==，2a=⇒椭圆C为（2）⇒()222418440k x kmx m+++-=⇒2241m k<+①，且12x x+⇒()22121212y y k x x km x x m=+++，又⇒()221212124445k x x km x x m x x+++=⇒()()22451k m---()22228410k m m k++=⇒⇒点(),m k 在定圆.试题解析：（1）设焦距为2c ，由已知22b=，∴1b=，2a=，∴椭圆C 的标准方程为（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立得()222418440k x kmx m +++-=，依题意， ()()()2228441440km k m ∆=-+->，化简得2241m k <+，①()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，即121245y y x x =， ∴()221212124445k x x km x x m x x +++=，即()()()2222224518410k m k m m k ---++=，化简得（没有求k 范围不扣分）【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、斜率公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型. 2）⇒ ()222418440k x kmx m +++-= ⇒ 2241m k <+①，再利用韦达定理转化得()22228410k m m k ++= ，由①②得⇒点(),m k 在定圆22． 1 a≤0时， 的单调递减区间是 ， ； 时， 的单调递减区间是 ，， 的单调递增区间是， ．(2) 证明见解析. 【解析】试题分析：（1）求出导数，根据对 的分类讨论，找到导数正负区间，即可求出；（2）求出函数的最小值，转化为证 ≥ ，构造，求其最小值，即可解决问题.试题解析：（Ⅰ）．当a ≤0时， ，则 在 ， 上单调递减；当 时，由 解得，由 解得．即 在 ，上单调递减； 在， 上单调递增；综上，a ≤0时， 的单调递减区间是 ， ； 时， 的单调递减区间是 ，，的单调递增区间是， ．(Ⅱ) 由（Ⅰ）知 在 ，上单调递减； 在， 上单调递增，则．要证 ≥，即证≥，即 +≥0， 即证 ≥．构造函数，则，由 解得 ，由 解得 ， 即 在 ， 上单调递减； 在 ， 上单调递增； ∴， 即≥0成立．从而 ≥成立．点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.。
福建省师大附中2019届高三上学期期中考试数学(理)试卷(有答案)(精选)
福建师大附中2018-2019学年第一学期高三期中考试卷数学 (理科)本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合 A ＝{|2－3＋2≥0}，B ={|2＜4}，则 A ∪B ＝ ( **** ) A. R B. ∅C. {|≤1}D. {|＞2}2.若复数22i1ia ++(a ∈R )是纯虚数,则复数i a 22+在复平面内对应的点在( **** ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知命题p ：“0a ∀>，都有1ae ≥成立”，则命题p ⌝为（**** ） A ．0a ∃≤，有1ae <成立 B ．0a ∃≤，有1ae ≥成立C ．0a ∃>，有1ae ≥成立 D ．0a ∃>，有1ae <成立4．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2) …(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝”变到“n ＝＋1”时，左边应增乘的因式是(**** ) A ．2＋1 B ．2(2＋1) C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋15. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（****） A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏6. 设()250.2log 4,log 3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（**** ） A ．a b c >> B ．b c a >> C.a c b >> D ．b a c >>7.记不等式组220,1,2x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩解集为D ,若,则实数a 的最小值是( **** )A ．0B ．1C ．2D ．4 8.如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，0120BAD ∠=，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE 的最小值为（**** ）A ．2116B ．32C ．2516D ．39.已知函数121)(--=x e x f x （其中e 为自然对数的底数），则)(x f y =的大致图象大致为( **** )A.B.C. D10.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（**** ）11.已知函数()sin (0),f x x x =->ωωω若方程()1f x =-在(0,)π上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（ **** ）A. 137(,]62 B. 725(,]26 C. 2511(,]62 D. 1137(,]2612.已知关于x 的方程222log (||2)5xxe e a x a -+-++=有唯一实数解，则实数a 的值为（****）A ．1-B ．1C ．1-或3D ．1或3-第Ⅱ卷 共90分二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.13.已知向量a ，b 的夹角为60︒，2a =，1b =，则2a b +=__****__.14．已知x y 、满足约束条件11,22x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为__****__. 15．甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭（*,5n n ∈≤≤N 1）五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是_***__.16．在数列{}n a 中，若存在一个确定的正整数T ，对任意*n N ∈满足n T n a a +=，则称{}n a 是周期数列，T 叫做它的周期.已知数列{}n x 满足121,(1)x x a a ==≥，21n n n x x x ++=-，若数列{}n x 的周期为3，则{}n x 的前100项的和为 **** . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 如图，在ABC ∆中, 3B π=,2BC =,点D 在边AB 上, AD DC =, DE AC ⊥,E 为垂足.(Ⅰ)若BCD ∆,求CD 的长;EDCB A(Ⅱ)若DE =求A ∠的大小.18.(本小题满分12分）已知数列{}n a 的前和为n S ，若0n a >，1n a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若3nn n a b =，求数列{}n b 的前项和n T ． 19.（本小题满分12分）在直角坐标系中，曲线,曲线为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线与曲线分别交于点（异于原点），当时，求的取值范围.20.（本小题满分12分）已知函数()1f x a x x a =-+- （0a > ）. （Ⅰ）当2a =时，解不等式()4f x ≤； （Ⅱ）若()1f x ≥，求a 的取值范围．21. （本小题满分12分）函数()()sincos3cos 022xxf x x ωωωω=⋅+>，在一个周期内的图象如图所示, A 为图象的最高点, B 、C 为图象与轴的交点,且ABC ∆为正三角形. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()f x 的图象上每个点的横坐标缩小为原的4π倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位得到函数()g x ，若设()g x 图象在y 轴右侧第一个最高点为P ，试问()g x 图象上是否存在点()()(),2Q g θθπθπ<<，使得OP OQ ⊥，若存在请求出满足条件的点Q 的个数，若不存在，说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()()()2e x f x x ax =--． （Ⅰ）当0a >时，讨论()f x 的极值情况； （Ⅱ）若()[]1()0e x f x a --+≥，求的值．EDCA福建师大附中2018-2019学年第一学期高三期中考试卷解答数学 (理科)一、选择题：ABDBB ;DCADB,BA二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.13. 14． 7 15．7816．67三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） (Ⅰ)由已知得1sin 2BCD S BC BD B ∆==， 又2BC =，sin B =23BD = (3)分 在BCD ∆中，由余弦定理得CD===所以CD 的长为CD = ……………6分 (Ⅱ)因为sin DE CD AD A ===……………8分 在BCD∆中，由正弦定理得sin sin BC CDBDC B=∠，又2BDC A ∠=∠, ……………10分得2sin 2A =，……………11分 解得c o s A =,所以4A π=即为所求. ……………12分 18.(本小题满分12分） 解（Ⅰ）21n a S =， 24(1)n n S a ∴=+．………………………………1分当1n =时，2114(1)S a =+，得11a =．………………………………2分 当2n ≥时，2114(1)n n S a --=+，22114()(1)(1)n n n n S S a a --∴-=+-+，………………………………3分 2211422n n n n n a a a a a --∴=+--，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，0,n a > 12n n a a -∴-=．………………………………4分数列{}n a 是等差数列，且首项为11a =，公差为2，………………………………5分 12(1)21n a n n ∴=+-=-．………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1(21)3n n b n =-⋅， 231111135(21)3333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，——①………………………………7分2311111113(23)(21)33333n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，——②………………………………8分 ①–②得2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋅⋅⋅+--⋅………………………………9分2111111332(21)13313n n n ++-=+⨯--⋅-，………………………………10分化简得113n nn T +=-．…………………12分 19.（本小题满分12分） 解：(1)因为，所以曲线的普通方程为：，由，得曲线的极坐标方程，对于曲线,,则曲线的极坐标方程为(2)由(1)得,，因为，则20.（本小题满分12分）解：（1）f ()＝2|－1|＋|－2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4，x ＜1，x ，1≤x ≤2，3x －4，x ＞2． 所以，f ()在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增，又f (0)＝f ( 8 3)＝4，故f ()≤4的解集为{|0≤≤ 83}. ....................................6分（2）①若a ＞1，f ()＝(a －1)|－1|＋|－1|＋|－a|≥a －1，当且仅当＝1时，取等号，故只需a －1≥1，得a ≥2. .................................7分②若a ＝1，f ()＝2|－1|，f (1)＝0＜1，不合题意. ...................…9分 ③若0＜a ＜1，f ()＝a|－1|＋a|－a|＋(1－a)|－a|≥a(1－a)，当且仅当＝a 时，取等号，故只需a(1－a)≥1，这与0＜a ＜1矛盾. .............11分 综上所述， a 的取值范围是[2，＋∞). …...................12分21. （本小题满分12分） 由已知得()cos3cos 3cos 223xxf x x x x x ωωπωωωω⎛⎫=⋅+=+=+ ⎪⎝⎭………2分 ∵A 为图象的最高点，∴A 的纵坐标为又∵ABC ∆为正三角形，所以4BC =…………3分 ∴42T =可得8T =, 即28πω= 得4πω=…………4分, ∴()sin()43f x x ππ=+…………5分,（Ⅱ）由题意可得()g x x =,2P π⎛ ⎝…………7分法一：作出如右下图象，由图象可知满足条件的点Q 是存在的，而且有两个………8分 注：以上方法虽然能够得到答案，但其理由可信度不高，故无法给满分.法二：由OP OQ ⊥得0OP OQ =，即02πθθ+=，即()24sin 2πθθπθπ=-<<，由此作出函数()2y x x πππ=<<及()24sin 2y x x ππ=-<<图象，由图象可知满足条件的Q 点有两个.………10分(注：数形结合是我们解题中常用的方法，但就其严密性而言，仍有欠缺和不足.)法三：由OP OQ ⊥得0OP OQ =，即02πθθ+=，即()24s i n 02πθθπθπ+=<<，问题转化为研讨函数()()24sin 2h x x x x πππ=+<<零点个数。
福建师大附中2019年高三重点试卷数学理
福建师大附中2019年高三重点试卷数学理数学试题〔理科〕本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题),第二卷第21题为选考题，其他题为必考题、本试卷共6页、总分值150分，考试时间120分钟、 本卷须知1、答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上、2、考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框〕内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效、3、选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清晰、4、做选考题时、考生按照题目要求作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑、5、保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：样本数据x 1,x 2,…,x n 的标准差])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-=其中x 为样本平均数; 柱体体积公式 Sh V =其中S 为底面面积,h 为高 锥体体积公式：ShV 31=其中S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式24R S π= ，334R V π=其中R 为球的半径第I 卷〔选择题 共50分〕【一】选择题：本大题有10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的、 1、假设复数12i 1iz +=+，那么z 在复平面上对应的点在〔 〕 A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限2、}01|{},0|{=-==-=ax x N a x x M ,假设N N M =⋂，那么实数a 的值为〔 〕 A.1 B.－1 C.1或－1 D.0或1或－13.如图是某一几何体的三视图，那么那个几何体的体积为〔 〕 A 、8 Ｂ、 12 C 、16 D 、244、如右图所示的程序框图，假设输出的S 是30，那么①能够为 ( ) A 、?2≤n B 、?4≤n C 、?3≤n D 、?5≤n5、如下图，点P 是函数)sin(2ϕω+=x y )0,(>∈ωR x 的图象的最高点，M ，N 是该图象与x 轴的交点，假设0=⋅， 那么ω的值为( ) A. 8πB. 4πC. 4D. 8〔〕A 、假设m ∥n ，m ⊥α，那么n ⊥αＢ、假设m ⊥α，m ⊥β，那么α∥β C 、假设m ∥α，n =βα ，那么m ∥n D 、假设m ⊥α，m ∥n ，β⊂n ，那么α⊥β 7.关于数列}{n a ，41=a ，)(1n n a f a =+ 2,1=n ，那么2012a 等于〔〕A 、8、以下四个判断：①“2m =-”是直线(2)10m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-= 相互垂直的必要不充分条件； ②函数()sin sin()3f x x x π=-，x R ∈，那么()f x 是最小正周期为π的函数；③2nx x 1⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的各项系数和为32，那么展开式中x 的系数为20；④不等式：121⋅≥2111⋅，⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅31131≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅412121，⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅5131141≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅61412131，…，由此猜测第n 个不等式为++++51311(11n …)121-+n ≥+++614121(1n …)21n+. 其中正确的个数有：〔〕 A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 9、双曲线)0,1(12222>>=-b a b y a x 的焦距为2c ，离心率为e ，假设点〔-1，0〕与 点〔1，0〕到直线1=-b ya x的距离之和为S ，且S c 54≥，那么离心率e 的取值范围是〔〕 A.]7,2[ B.]5,25[ C.]7,25[ D.]5,2[10、设函数()()xf x F x e=是定义在R 上的函数，其中()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <关于x R ∈恒成立，那么〔〕22012.(2)(0),(2012)(0)A f e f f e f >>22012.(2)(0),(2012)(0)B f e f f e f >< 22012.(2)(0),(2012)(0)C f e f f e f <<22012.(2)(0),(2012)(0)D f e f f e f <>第二卷〔非选择题共100分〕【二】填空题：本大题有5小题，每题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11、函数2log ,0()91,0xx x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，那么()31((1))log 2f f f +的值是。
福建省师大附中2019届高三上学期期中考试物理试题
福建省师大附中2019届高三上学期期中考试试题时间：90分钟满分：100分试卷说明：（1）本卷共四大题，17小题，所有的题目都解答在答卷上，考试结束后，只交答卷。
（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。
第Ⅰ卷（选择题，共48分）一、选择题：共12小题，每小题4分，共48分。
其中1-8题，每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求；9-12题，每小题给出的四个选项中有多个选项符合题目要求。
选对得4分，选不全的得2分，选错或不答的得0分。
1．甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度υ-时间t图像分别如图中甲、乙两条曲线所示．已知两车在t2时刻并排行驶，下列说法正确的是A．两车在t1时刻也并排行驶B．t1时刻甲车在后，乙车在前C．甲车的加速度大小先增大后减小D．乙车的位移大小先减小后增大2．滑雪运动深受人民群众喜爱．某滑雪运动员（可视为质点）由坡道进入竖直面内的圆弧形滑道AB，从滑道的A点滑行到最低点B的过程中，由于摩擦力的存在，运动员的速率不变，则运动员沿AB下滑过程中，下列说法正确的是A．所受合外力始终为零B．所受摩擦力大小不变C．合外力做功一定不为零D．机械能一定减少3．在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以3υ和υ的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上.甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的A．3倍B．4倍C．6倍D．9倍4．如图所示，质量为60kg的某运动员在做俯卧撑运动，运动过程中可将她的身体视为一根直棒，已知重心在C点，其垂线与脚、两手连线中点间的距离oa、ob分别为0.9m和0.6m，若她在1min内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.4m，则克服重力做功为A．4320J B．144JC．720J D．7200J5．如图所示，一只猫在桌边猛地将桌布从鱼缸下拉出，鱼缸最终没有滑出桌面．若鱼缸和桌布、桌布和桌面之间的动摩擦因数均相等，则在上述过程中A．若猫减小拉力，鱼缸不会滑出桌面B．鱼缸在桌布上的滑动时间和在桌面上的相等C．若猫增大拉力，鱼缸受到的加速度将增大D．桌布对鱼缸摩擦力的方向向左6．2018年2月，我国500 m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T=5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10-11 N·m2 / kg2．以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为A．5×109kg/m3B．5×1012kg/m3C．5×1015kg/m3D．5×1018kg/m37．如图所示，三个小球A、B、C的质量均为m，A与B、C间通过铰链用轻杆连接，杆长为L，B、C置于水平地面上，用一轻质弹簧连接，弹簧处于原长．现A由静止释放下降到最低点，两轻杆间夹角α由60º变为120°，A、B、C在同一竖直平面内运动，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g．则此下降过程中A．A的动能达到最大前，B受到地面的支持力大于32mgB．A的动能最大时，B受到地面的支持力等于mg C．弹簧的弹性势能最大时，A的加速度方向竖直向下D．弹簧的弹性势能最大值为213-=PmE mgL8．如图所示，某生产厂家为了测定该厂所生产的玩具车的性能，将两个完全相同的玩具车A、B并排放在两平行且水平的轨道上，分别通过挂钩连接另一个与玩具车等质量的货车（无牵引力），假设车受到的阻力与质量成正比，控制两车以相同的速度υ0做匀速直线运动。
福建省师范大学附属中学高三数学上学期期中试卷文(含解析)(最新整理)
12019届福建师范大学附属中学高三上学期期中考试数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．设集合则=A ．B ．C ．D ．2．命题“，”的否定是A ．，B ．，C ．, D ．，3．已知是虚数单位，复数在复平面上所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为A ．B ．C ．D ．只装订不密封准考证号 考场号 座位号5．已知函数,为图象的对称轴，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，则的解析式为A ．B ．C ．D ．6．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，抛物线上一点，若，则的面积为A ．B ．C ．D ．7．函数的部分图象大致为A ．B ．C ．D ．8．直线与圆相交于、两点。
若，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．9．某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等,则该几何体的表面积为A ．B ．C ．D ．210．若四边形是边长为2的菱形，,分别为的中点，则A ．B ．C ．D ．11．在中，,，点在边上，且，则A ．B ．C ．D ．12．已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形,则椭圆的离心率为A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知直线1:260l ax y++=和直线()22:110l x a y a+-+-=垂直，则实数a的值为__________．14．已知向量，，若,则向量与向量的夹角为_____．15．设函数，则函数的零点个数是_______.16．半径为4的球的球面上有四点A，B，C，D，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为_____________________．三、解答题17．已知等差数列的公差为1，且成等比数列.3（1）求数列的通项公式；(2)设数列,求数列的前项和。
2019届福建省高三上学期期中理科数学试卷【含答案及解析】(3)
2019届福建省高三上学期期中理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设全集，则（）A 、 _________B 、 ________C 、 ________D 、2. 在复平面内，复数，则其共轭复数对应的点位于（）A、第一象限_________B、第二象限_________ C 、第三象限________ D、第四象限3. 下列说法错误的是（）A、命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B、是的充分不必要条件C、若p且q为假命题，则p、q均为假命题D、命题p：“ ，使得” ，则均有4. 已知数列为等比数列，且，则的值为（）A 、B 、 _________ C、 ________ D 、5. 如果在地平面同一直线上，，从两地测得点的仰角分别为和，则点离地面的高等于（）A、 ___________ B 、 _________ C 、 ________ D 、6. 已知函数，且，则（）A 、 _________B 、 _________C 、 _________D 、7. 函数的部分图像如图所示，若，则等于（）A 、 ________B 、 ________C 、 ________D 、8. 变量满足约束条件，若的最大值为2 ，则实数等于（）A 、—2______________B 、—1___________C 、 1______________D 、 29. 已知记，则的大小关系是（）A 、 ________B 、 ________C 、 ________ D、10. 函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于（）A、3______________________________ B 、 6______________ C 、 4______________ D 、 211. 设函数在R上存在导数，有，在上，若，则实数的取值范围为（）A 、 ___________B 、 ________C 、D 、12. 若数列满足：存在正整数T，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为T ．已知数列满足，则下列结论错误的是（）A、若，则可以取3个不同的数；B、若，则数列是周期为3的数列；C、存在，且，数列是周期数列；D、对任意且，存在，使得是周期为的数列．二、填空题13. 已知，且，则________________________ ．14. 曲线与直线所围成的封闭图形的面积为．15. 平面上四点满足，则面积的最大值为．16. 已知曲线在点处的切线的斜率为，直线交轴、轴分别于点，且，给出以下结论：① ；② 当时，的最小值为；③当时，；④当时，记数列的前项和为，则．其中正确的结论有（写出所有正确结论的序号）．三、解答题17. 设函数（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若的解集为，求证：18. 已知向量，函数，且当时，的最小值为2（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求方程在区间上所有根之和．19. 在如图所示的几何体中，△ABC为正三角形， AE和CD都垂直于平面ABC ，且AE=AB=2 ， CD=1 ， F为BE的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ABE;（Ⅱ）求直线BD和平面ACDE所成角的余弦值．20. 已知各项不为零的数列的前项和为，且满足，数列满足，数列的前项和（Ⅰ）求（Ⅱ）若，不等式恒成立，求使关于的不等式有解的充要条件．21. 如图，已知椭圆的中心在原点，其一个焦点与抛物线的焦点相同，又椭圆上有一点，直线平行于且与椭圆交于两点，连（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当与轴所构成的三角形是以轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线在轴上截距的取值范围．22. 已知函数，其中为自然对数的底数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，若函数存在两个相距大于2的极值点，求实数的取值范围；（Ⅲ）若函数与函数的图象关于轴对称，且函数在单调递减，在单调递增，试证明：．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
福建省福州市师范大学附中2019-2020学年高三上学期期中数学(理)试卷及解析
福建省福州市师范大学附中2019-2020学年高三上学期期中数学（理）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1.已知集合}110A x x =-≤<，集合{}lg 1B x x =≤，则A B =（ ）A.{}110x x -≤< B.{}110x x -≤≤ C.{}010x x << D.{}010x x <≤2.已知a=21.2，b =(12)−0.2，c =2log 52，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）．A. c <a <bB. c <b <aC. b <a <cD. b <c <a3.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31．5尺，前九个节气日影长之和为85．5尺，则芒种日影长为（ ） A. 1．5尺B. 2．5尺C. 3．5尺D. 4．5尺4.设{}n a 是首项为正数的等比数列,公比为,q 则“0q <”是“对任意的正整数212,n n n a a -+< 0”的A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件5.若1sin 42a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 22a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A. 34-B. 23-C. 12-D. 13-6.己知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是（）A.1()sin 1x x e f x x e -=⋅+B.1()sin 1xx e f x x e -=⋅+C.1()cos 1x x e f x x e -=⋅+D.1()cos 1xxe f x x e -=⋅+7.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，BC AC =根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）A.14-B. 38+-C. 14-D. 48+-8.若x ，y 满足约束条件220330240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，目标函数z ax y =+仅在点（2，0）处取得最小值，则实数a 的取值范围是 （） A. 1(2,)2-B. 1100,32（-，）（）C. 1(0,)2D. 11(,)32-9.已知平面向量,PA PB 满足11,2PA PB PA PB ==⋅=-，若1BC =，则AC 的最大值为（ ）11-11 10.已知函数()231cos(0,R)22xf x x x ωωω=+->∈.若函数 ()f x 在区间(),2ππ内没有零点 ， 则ω的取值范围是（ ）A. 50,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B. ][55110,,12612⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭ C. 50,6⎛⎤⎥⎝⎦D. ][55110,,12612⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦11.设函数()2e +xf x ax =(a R ∈)有且仅有两个极值点12x x ，(12x x <)，则实数a 的取值范围是( )A.e e,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.e ,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C.()e,-+∞D.e e,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）12.边界在直线,x e y x ==及曲线1y x=上的封闭的图形的面积为_______ 13.16/17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即b a N = ⇔ log a b N =. 现在已知23a =， 34b =，则ab =__________.14.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD=80，∠ADB =135°，∠BDC =∠DCA =15°，∠ACB =120°，则A ，B 两点的距离为___．15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S （*n N ∈），且满足212n n S S n n ++=+，若对*1,n n n N a a +∀∈<恒成立，则首项1a 的取值范围是__________．三、解答题（题型注释）16.已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足a c -=，sin B C =.（1）求cos A 的值；（2）求πsin 26A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值。
福建师大附中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2 (含答案解析)
福建师大附中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2≤1}，B ={x|x ≤0}，则A ∪B =( )A. (−∞,1]B. [1,+∞)C. [−1,0]D. [0,1]2. 复数(1+i)i 的虚部为( )A. 1B. −1C. iD. −i3. 已知命题p ：∀x <2，x 3−8<0，那么￢p 是( )A. ∀x ≤2，x 3−8>0B. ∃x ≥2，x 3−8≥0C. ∀x >2，x 3−8>0D. ∃x <2，x 3−8≥04. 用数学归纳法证明12+32+52+⋯+(2n −1)2=13n(4n 2−1)过程中，由n =k 递推到n =k +1时，不等式左边增加的项为( )A. (2k)2B. (2k +3)2C. (2k +2)2D. (2k +1)25. 古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增.共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？( )A. 2B. 3C. 4D. 56. 三个数a =0.67，b =70.6，c =log 0.76的大小关系为( )A. b <c <aB. b <a <cC. c <a <bD. c <b <a7. 己知实数x ，y 满足不等式组{x −y +2≥02x +y −3≤00≤y ≤a，若z =x −2y 的最小值为−3，则a 的值为( )A. 1B. 32C. 2D. 73 8. 平行四边形ABCD 中AB =2,AD =1,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，点M 在边CD 上，则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( )A. √2−1B. √3−1C. 2D. 09. 函数f(x)=e x−1x 的大致图象为( )A. B.C. D.10.函数f(x)=(x−1)lnx2的图象大致为()A. B.C. D.11.已知函数f(x)=√3sin(ωx−π6)−32(ω>0)在(0,π2)上有且只有3个零点，则实数ω的最大值为()A. 5B. 163C. 173D. 612.已知关于x的方程x2+2alog2(x2+2)+a2−3=0有唯一解，则符合条件的实数a值是()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则a⃗⋅b⃗ =_______．14.设x，y满足约束条件{2x−y+2≥08x−y−4≤0x≥0,y≥0，若目标函数z=abx+y(a>0,b>0)的最大值为8，则a+b的最小值为________15.现有五张相同的卡片，卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中卡片上的数字推测谁手中卡片上的数字更大．甲看了看自己手中卡片上的数字，想了想说：我不知道谁手中卡片上的数字更大；乙听了甲的判断后，看了看自己手中卡片上的数字，思索了一下说：我也不知道谁手中卡片上的数字更大．如果甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中卡片上的数字是________．16.若函数f(x)=ax+bcx+d (c≠0)，其图象的对称中心为(−dc,ac)，现已知f(x)=2−2x2x−1，数列{a n}的通项公式为a n=f(n2020)(n∈N+)，则此数列前2020项的和为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图、在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB=1，AC=√7，ΔABC的面积为SΔABC=√32，DC=4√75．(1)求BC的长．(2)求∠ACD的大小．18.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=5，a5=5.数列{b n}满足b1=−2，且b n+1−b na n=3n+1．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{b n}的通项公式．19. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：{x =3+3cosφy =3sinφ(φ为参数，φ∈[0,2π))，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出曲线C 的普通方程；(2)若点B 是射线l ：θ=α(ρ≥0,α∈[0,π))与曲线C 的公共点，当|OB|=3√3时，求α的值及点B 的直角坐标．20. 已知函数f(x)=|2x −1|+|2x +a|，g(x)=x +3．(Ⅰ)当a =−2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(Ⅱ)当x ∈(12,1)时，f(x)≤g(x)成立，求a 的取值范围．(ω>0)的最小正周期是π．21.已知函数f(x)=√3sinωxcosωx−cos2ωx+12(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)将函数f(x)的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移π个单位，得3函数g(x)的图象．若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a+c=4，且当x=B时，g(x)取得最大值，求△ABC周长的取值范围．lnx．(1)若a>0，求函数f(x)的极值点；22.已知函数f(x)=x|x+a|−12(2)若f(x)>0，求a取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．解不等式化简集合A，根据并集的定义写出A∪B．解：集合A={x|x2≤1}={x|−1≤x≤1}，B={x|x≤0}，则A∪B={x|x≤1}=(−∞,1]．故选A．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵(1+i)i=−1+i，∴复数(1+i)i的虚部为1．故选：A．3.答案：D解析：本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，比较基础．根据全称命题的否定是特称命，即可得到结论．解：因为p：∀x<2，x3−8<0，所以¬p是∃x<2，x3−8≥0．故选D．4.答案：D解析：本题主要考查数学归纳法，属于基础题．分别写出n=k与n=k+1时左边的项，再比较即可．解：当n=k时，左边为12+32+52+⋅⋅⋅+(2k−1)2，当n=k+1时，左边为12+32+52+⋅⋅⋅+(2k−1)2+(2k+1)2，多了一项(2k+1)2．故选D．5.答案：B解析：本题考查了等比数列的定义求和公式，考查了推理能力与计算能力，设尖头a1盏灯，每层灯数由上到下形成等比数列{a n}，公比q=2.利用求和公式即可得出．解：设尖头a1盏灯，每层灯数由上到下形成等比数列{a n}，公比q=2．∴a1(27−1)2−1=381，解得a1=3．故选B．6.答案：C解析：解：∵0<a=0.67<1，b=70.6>1，c=log0.76<0，∴c<a<b，故选：C．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.答案：A解析：解：实数x，y满足不等式组{x−y+2≥02x+y−3≤00≤y≤a的可行域如图，当直线z=x−2y过点A(a−2,a)时，z取得最小值，即a−2−2a=−3可得a=1．故选：A ．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值列出方程，求解即可．本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．8.答案：C解析：本题考查平面向量的数量积及坐标运算．属中档题．建立平面直角坐标系将几何问题代数化是解题的关键．解：如图，以点D 为原点，DC 所在的直线为x 轴，过点D 作垂直于DC 的直线为y 轴建立平面直角坐标系，由AB =2，AD =1，AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠DAB =−1， 得∠DAB =120°，则易得A (12,√32)，B (52,√32)， 设M(a,0)(0≤a ≤2)，则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12−a,√32)⋅(52−a,√32) a 2−3a +2=(a −32)2−14，易得当a =0时，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值2，故选C ．。
福建省师大附中高三数学上学期期中试题文
福建师大附中2018-2019学年高三上学期期中考试卷高三文科数学则PFK 的面积为(*** )一、选择题(每小题 求) 5分，共60分; 在给出的 A,B,C,D 四个选项中，只有 1.设集合 Ay y x2 ,x R ,BX X 2 1 0 ,则 AI B(*** ) A . 1,1B. 0,1C. 1,D .0,2.命题“x(0, ),In X 0 X 01 ”的否定是( *** )A. X 。
(0,),In X 0X 0 1B.X 0(0, ),In x ° C. x (0,),Inx x 1D.x (0,),Inx(满分：150分，时间：120分钟)说明：试卷分第I 卷和第n 卷，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答卷。
第I 卷共60分i 是虚数单位，复数 3.已知 项符合题目要旦在复平面上所对应的点位于( 2+i 9X 。
1A •第一象限•第二象限 C •第三象限 D •第四象限4.已知双曲线x 22y_ b 2的离心率为2,则双曲线的渐近线方程为(*** )A . y —x B35.已知函数f(x) sin 丄X2n n2，x 亍为f(x)图象的对称轴，将f(x)图象向左平移?个单位长度后得到g(x)的图象，贝y g(x)的解析式为(*** )A. g(x)1 COS — X 2“、 1B.g(x) cos XC. g(x)1 2n sin x2 3D.g(x).1 sin x 26.已知抛物线y 24x 的焦点为F ,准线I 与x 轴的交点为K ,抛物线上一点P ，若 PFA. 4B. 5C. 8D. 107.函数f (x)= 一1)COs嵌的部分图象大致为(*** ) |x|则该几何体的表面积为（***）A.8B. 24C24 (2.5 1) D. 24 ( 5 1)A, B 两点，若 FJB 是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（*** ）A BC D8.直线y 2 2kx 1 与圆 x 2y 14相交于P 、Q 两点.若PQ2 2，则k 的取值范围是（*** )A.3,0B .1,1C.4坐逅D .3 ' 339.某几何体的三视图如图所示,图中正方形的边长为 2,四条用虚线表示的线段长度均相等, 2^/7“sin BAD，则 CD(*** )7A.仝B.C 23D. 4"4 33 312.已知椭圆 2x ~~2aF 1,F 2，过F 2的直线与椭圆交于BAD 60 , E,F 分别为BC,CD 的中点，则urnr uuu AE EF (*** )A.12B1C• 211. 在ABC 中，BAC 90o , BC3 3 D222AC 2-、3 ,点D 在边BC 上，且正视图 侧视图俯观10.若四边形ABCD 是边长为2的菱形, b 0）的左、右焦点分別为1第n卷共90分、填空题(每小题5分，共20分)(1)求函数f (x)的最大值;(2)已知ABC的面积为4.3，且角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f(A)b c 10 ,求a的值.19. (本小题满分12分)(I)求｛a n｝的通项公式;2 .3 C. .5 213.直线l1: ax 2y 6 0 与直线l2: x (a 1)y2a 1 0平行，则实数a的值为'k'k'k14.已知向量ar b2ra a，则向量a与向量b的夹角为***15.设函数f(x)x2 ,x 0,1贝U函数F(x) f (x) x的零点的个数是***-,x 0,x16. 设A, B,C, D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9 3，则三棱锥DABC体积的已知等差数列｛a n｝的公差d为1,且a1,a3,a4成等比数列(I)求数列｛a n｝的通项公式;(n)设数列b n 2an 5n,求数列｛b n｝的前n项和S n.18. (本小题满分12分)已知函数f (x) sin xcos(x —) -cos2x2已知数列｛a n｝的前n项和S n满足S n c 23nn ,n 2 2(n)求数列｛｝的前n项和为T n.a2n 1a2n 1120. (本小题满分10分)已知曲线C的极坐标方程是(i)求曲线C的直角坐标方程和直线I的普通方程;(n)设点P (m,0)，若直线I与曲线C交于A, B两点，且| PA | | PB | 1，求实数m的值.21.(本小题满分12分)2已知椭圆C:笃a2 3爲1(a b 0)的离心率为——，短轴长为2 .b 2(i)求椭圆C的标准方程;(n)设直线l5 :y kx m与椭圆C交于M,N两点，0为坐标原点，若k OM k o N二一，求4证：点(m,k)在定圆上.22.(本小题满分12 分)函数f X Inx ^ax22(i)求f x的单调区间;(n)若a0，求证:32a2cos ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线I的参数方程是■. 3t m2 ( t为参数) y 1t2福建师大附中2018-2019学年下学期期中考试卷高三文科数学参考答案一、 选择题：1~6 BCACBA 7~12 CBDACD 二、 填空题：13. -1 14. — 15. 216.18 34三、 解答题：17. 解析：（I ）在等差数列｛a .｝中，因为可色① 成等比数列，所以 a 32 aa 4，即 佝 2d ）2 a 12 3a 1d , 解得a 1d 4d 20.因为d 1 , 所以a 4,所以数列｛a n ｝的通项公式a n(n)由(I)知 a n所以b n 2an12分18. 解析：（I ）f （x ）的最大值为(n)由题意 f(A) 1sin(2A )-2 6 4f(x) sinx (子 cosx 3sin xcosx 2 1 .、 sin x) 2 n2x2' 2 丄cos 2x 丄(2 2 2cos xcos2x) 2•••函数4QA (0,),2A62A汽，A 孑& D P d (2 22 23 L 2(1 2n ) 1 2n(1 2L b n2n) (1 n) 2nn(n 1)n)1，化简得 sin(2A )-.2 6 2b 2,c 8 或 b 8,c 2.在VABC 中，根据余弦定理得2.2ab 2c 2bccosA 52.a 2帀.19.解析： （I ）当n 1时，印S 1 1 当n 2时，a nSnSn 12 n又a 11适合上式故数列 a n 的通项公式为a n =2-n.(n)由(I)知1 1 1 1 1 ----------- _( ------- )a 2n1a 2n1 (3 2n)(1 2n)2 2n3 2n 1仝t m 2 ，得 y 才1 由一bcsin A 24、、3 得 bc 16，又 b c 10,从而数列 1的前n 项和为a2n 1a2n 11r/ 1 1 11 , 1 1T n [( )+(- )+L +(,)2 -1 1 13 2n 3 2n 1 20.解析: (I)由2cos ，得：22 cos •••曲线C 的直角坐标方程为（x 1）2 y 21.1 2n,••• x 2 y 2 2x ,即(x 1)2 y 21 ,•直线 l 的普通方程为 x 3y0 ........ 5 分x (n)将 3t 2y 1tm代入（x 1)22y 1，得:1,x 3y 即 x 3y2— 2整理得：t .. 3(m 1)t m 2m 0,由0,即3(m 1)2 4(m2 2m) 0，解得：1 m 3.设t1, t2是上述方程的两实根，则t1 t2, 3(m 1), t1t2 m22m ,又直线I过点P(m,0)，由上式及t的几何意义得| PA| |PB| |址2丨|m22m| 1,解得：m 1 或m 1 2，都符合1 m 实数m的值为1或1 2或1 2. 10分21.解析：(I)设焦距为2c,由已知e C 3, 2b 2, a2b2c2.a 2x2b 1,a 2 ••椭圆C的标准方程为y21. ........................... 4分4(n )证明：设M (x「yj, N(X2,y2),kx m2得(4k2 1)x2 8kmxy 14(m2卫+4km (今竺)4m21 4k2 1即(4k2 5)(m2 1) 8k2m2 m2(4k21) 0,3，因此y联立x24m2 4依题2(8km)2 24(4k 1)(4m 4) 0 ,化简得m24k21,y』2右k oM4k2x1x28km 4m244k21m)(kx>m) k2x1x2 km(% x2) m2,x1x54，即4y°2 5x1X2,4km(% x2)••• (4k25) 4k24化简得m2k2 5，②…9分411 由①②得° m 222.解: 综上，a w 0时，f(x)的单调递减区间是 (0, ) ； a 0时, (0,1) , f (x)的单调递增区间是(丄，). a a 1 (n )由(I)知f(x)在(0 ,-)上单调递减; a(a) min (1) In12•••点(m, k)在定x 2 5 上.(没求k 的范围不扣分) 412分 f (x) 1 ax (a x 2 ax 2 (a 1)x 1 1) x (ax 1)(x D …1 分 x 当 a < 0 时，f (x) 0，则 f(x)在(0 , )上单调递减; 当a 0时，由f (x) 0解得x -，由f (x) 0解得0 a 即f (x)在(0，丄)上单调递减; a f (x)在(丄,)上单调递增; a f(x)的单调递减区间是 1 f(x)在(-,)上单调递增, a 则 f (x)min f (-) a In a1 2a 要证f (x) > 3 2a ，即证|na 1 2a 2a 1 即证In a + - a 1 构造函数 (a) ln a 1，则 a (a) (a) 0解得a 1,由 (a) 0解得0 a 1, (a)在(0 , 1)上单调递减; (a)在(1, )上单调递增;1In a 1> 0 成立. a 从而3f(x)‘ 2a成立.12分12。
精选福建师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学(文)试题(解析版)
福建师大附中2018-2019学年高三上学期期中考试卷高三文科数学一、选择题（每小题5分，共60分；在给出的A,B,C,D四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设集合则=A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，，则，选C.【考点】本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算【名师点睛】本题主要考查集合的并集运算，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与函数的值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.2.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，考点：全称命题与特称命题3.已知是虚数单位，复数在复平面上所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数,可得复平面上对应的点的坐标，从而可得结果.【详解】，对应点坐标为，在第一象限,故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4.已知双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可得，利用双曲线的离心率求出，从而可得的值，然后求解双曲线的渐近线方程.【详解】由双曲线可得，离心率为，则，所以双曲线的渐近线方程为，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的方程、双曲线的离心率以及双曲线的渐近线方程，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.5.已知函数，为图象的对称轴，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，则的解析式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由为图象的对称轴，可得,从而求得的值，再利函数的图象变换规律，以及诱导公式，可得出结论.【详解】根据函数为图象的对称轴，可得,故，函数，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，故选B.【点睛】本题主要考查正弦函数图象的对称性，函数的图象变换规律，以及诱导公式，属于基础题. 由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.6.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，抛物线上一点，若，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由抛物线的定义，求得点的坐标，进而求解三角形的面积．详解：由抛物线的方程，可得，准线方程为，设，则，即，不妨设在第一象限，则，所以，故选A．点睛：本题主要考查了抛物线的定义及性质的应用，其中熟记抛物线的定义和性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．7.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：分析函数的奇偶性，以及是函数值的符号，利用排除法即可得到答案.详解：由题意，函数满足，所以函数为奇函数，图象关于轴对称，排除；又由当时，函数，排除，故选A.8.直线与圆相交于、两点.若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，结合圆的半径，由勾股定理可得圆心到直线的距离,利用点到直线距离公式，列不等式可得结果.【详解】若，则圆心到直线的距离,即，解得，故选B.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.9.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，由此能求出该几何体的表面积.【详解】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，如图，该几何体的表面积：，故选D.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10.若四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】运用向量的加减运算和平面数量积公式以及运算，主要是向量的平方即为模的平方，结合菱形的性质，化简即可得到所求值.【详解】四边形是边长为2的菱形，，可得，则，故选A.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积公式，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．11.在中，，，点在边上，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可得,进而中，由正弦定理建立方程即可解得的值.【详解】，，,所以，，可得，中，由正弦定理可得，中，正弦定理可得，，解得，故选C.【点睛】本题主要考查直角三角形的性质以及正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.12.已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，得出，，再由椭圆的定义，得到的周长为，列出的关系式，即可求解离心率.二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知直线和直线垂直，则实数的值为__________．【答案】【解析】∵，∴，得．故答案为：.14.已知向量，，若，则向量与向量的夹角为_____．【答案】【解析】【分析】由，利用数量积为零可求得，从而得，求得，利用，从而可得结果.【详解】，则，，即，解得，，则，则，又，故答案为.【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.15.设函数，则函数的零点个数是_______.【答案】2【解析】分析：首先根据题意，将函数的零点个数问题转化为方程解的个数，最后转化为函数的图像和直线交点的个数问题来解决，这样比较直观，容易理解.详解：在同一个坐标系中画出函数的图像和直线，而函数的零点个数即为函数的图像和直线的交点的个数，从图中发现，一共有两个交点，所以其零点个数为2.点睛：该题考查的是函数的零点个数问题，解决该题的方法是将函数的零点个数问题转化为函数图像交点的个数问题来解决，从而将问题简单化，并且比较直观，学生容易理解.16.半径为4的球的球面上有四点A,B,C,D，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为_____________________．【答案】【解析】分析：求出△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．详解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：O′C=，OO′=，则三棱锥D﹣ABC高的最大值为6，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：故答案为：．点睛：（1）本题主要考查球的内接多面体和体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力. (2)本题求体积的最大值，实际上是求高的最大值，所以求高是关键.三、解答题（要求写出过程，共70分）17.已知等差数列的公差为1，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）由题成等比数列则，将代入求出，即可得到数列的通项公式；试题解析：（2）由（Ⅰ）. 利用分组求和法可求数列的前项和..（1）在等差数列中，因为成等比数列，所以，即，解得. 因为所以所以数列的通项公式.（2）由（1）知,所以.18.已知函数.（1）求函数的最大值；（2）已知的面积为，且角，，的对边分别为，，，若，，求的值.【答案】(1);(2).【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，可得函数的最大值为；（2）由题意，化简得，从而得，由，，求得的值，根据余弦定理得.【详解】（1），∴函数的最大值为.（2）由题意，化简得.∵，∴，∴，∴.由得，又，∴，或，.在中，根据余弦定理得.∴.【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 19.已知数列的前项和满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和为. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用数列前项和与的关系解答；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，利用裂项求和法求得数列的前项和．试题解析：（Ⅰ）当时,;当时,，（Ⅱ）由（Ⅰ）知从而数列考点：1、数列前项和与的关系；2、裂项求和法．【方法点睛】在等差（比）数列中由各项满足的条件求通项公式时，一般将已知条件转化为基本量，用和表示，通过解方程组得到基本量的值，从而确定通项公式．解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：（1）转化的思想，即将一般数列设法转化为等差（比）数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成；（2）不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和．20. 【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【答案】(1),；(2)或或【解析】试题分析：（1）在极坐标方程是的两边分别乘以，再根据极坐标与直角坐标的互化公式及即可得到曲线的直角坐标方程，消去直线的参数方程中的参数得到直线的在普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，由直线参数方程中参数的几何意义构造的方程.试题解析：（1）曲线的极坐标方程是，化为，可得直角坐标方程：．直线的参数方程是（为参数），消去参数可得．（2）把（为参数）代入方程：化为：，由，解得，∴．∵，∴，解得或．又满足．∴实数或．考点：圆的极坐标方程及直线参数方程的意义.21.已知椭圆的离心率为，短轴长为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求证：点在定圆上.【答案】（1）椭圆的标准方程为（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）由已知可得，，椭圆为；（2）由①，且，又② ，由①②得点在定圆上.试题解析：（1）设焦距为，由已知，，∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）设，联立得，依题意，，化简得，①，，若，则，即，∴，∴，即，化简得，②由①②得.∴点在定圆上.（没有求范围不扣分）【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、斜率公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型.第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为；（2）设而不求法求得①，再利用韦达定理转化得② ，由①②得点在定圆上.22.函数.(I)求的单调区间；(II)若，求证：.【答案】(1)a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(2) 证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出导数，根据对的分类讨论，找到导数正负区间，即可求出；（2）求出函数的最小值，转化为证≥，构造，求其最小值，即可解决问题.试题解析：（Ⅰ）．当a≤0时，，则在上单调递减；当时，由解得，由解得．即在上单调递减；在上单调递增；综上，a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(Ⅱ)由（Ⅰ）知在上单调递减；在上单调递增，则．要证≥，即证≥，即+≥0，即证≥．构造函数，则，由解得，由解得，即在上单调递减；在上单调递增；∴，即≥0成立．从而≥成立．点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.。
福建师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学(文)试题(精品解析)
福建师大附中2018-2019学年高三上学期期中考试卷高三文科数学一、选择题（每小题5分，共60分；在给出的A,B,C,D四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设集合则=A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，，则，选C.【考点】本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算【名师点睛】本题主要考查集合的并集运算，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与函数的值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.2.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，考点：全称命题与特称命题3.已知是虚数单位，复数在复平面上所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数,可得复平面上对应的点的坐标，从而可得结果.【详解】，对应点坐标为，在第一象限,故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4.已知双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可得，利用双曲线的离心率求出，从而可得的值，然后求解双曲线的渐近线方程.【详解】由双曲线可得，离心率为，则，所以双曲线的渐近线方程为，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的方程、双曲线的离心率以及双曲线的渐近线方程，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.5.已知函数，为图象的对称轴，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，则的解析式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由为图象的对称轴，可得,从而求得的值，再利函数的图象变换规律，以及诱导公式，可得出结论.【详解】根据函数为图象的对称轴，可得,故，函数，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，故选B.【点睛】本题主要考查正弦函数图象的对称性，函数的图象变换规律，以及诱导公式，属于基础题. 由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.6.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，抛物线上一点，若，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由抛物线的定义，求得点的坐标，进而求解三角形的面积．详解：由抛物线的方程，可得，准线方程为，设，则，即，不妨设在第一象限，则，所以，故选A．点睛：本题主要考查了抛物线的定义及性质的应用，其中熟记抛物线的定义和性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．7.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：分析函数的奇偶性，以及是函数值的符号，利用排除法即可得到答案.详解：由题意，函数满足，所以函数为奇函数，图象关于轴对称，排除；又由当时，函数，排除，故选A.8.直线与圆相交于、两点.若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，结合圆的半径，由勾股定理可得圆心到直线的距离,利用点到直线距离公式，列不等式可得结果.【详解】若，则圆心到直线的距离,即，解得，故选B.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.9.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，由此能求出该几何体的表面积.【详解】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，如图，该几何体的表面积：，故选D.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10.若四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】运用向量的加减运算和平面数量积公式以及运算，主要是向量的平方即为模的平方，结合菱形的性质，化简即可得到所求值.【详解】四边形是边长为2的菱形，，可得，则，故选A.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积公式，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．11.在中，，，点在边上，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可得,进而中，由正弦定理建立方程即可解得的值.【详解】，，,所以，，可得，中，由正弦定理可得，中，正弦定理可得，，解得，故选C.【点睛】本题主要考查直角三角形的性质以及正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.12.已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，得出，，再由椭圆的定义，得到的周长为，列出的关系式，即可求解离心率.二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知直线和直线垂直，则实数的值为__________．【答案】【解析】∵，∴，得．故答案为：.14.已知向量，，若，则向量与向量的夹角为_____．【答案】【解析】【分析】由，利用数量积为零可求得，从而得，求得，利用，从而可得结果.【详解】，则，，即，解得，，则，则，又，故答案为.【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.15.设函数，则函数的零点个数是_______.【答案】2【解析】分析：首先根据题意，将函数的零点个数问题转化为方程解的个数，最后转化为函数的图像和直线交点的个数问题来解决，这样比较直观，容易理解.详解：在同一个坐标系中画出函数的图像和直线，而函数的零点个数即为函数的图像和直线的交点的个数，从图中发现，一共有两个交点，所以其零点个数为2.点睛：该题考查的是函数的零点个数问题，解决该题的方法是将函数的零点个数问题转化为函数图像交点的个数问题来解决，从而将问题简单化，并且比较直观，学生容易理解.16.半径为4的球的球面上有四点A,B,C,D，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为_____________________．【答案】【解析】分析：求出△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．详解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：O′C=，OO′=，则三棱锥D﹣ABC高的最大值为6，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：故答案为：．点睛：（1）本题主要考查球的内接多面体和体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力. (2)本题求体积的最大值，实际上是求高的最大值，所以求高是关键.三、解答题（要求写出过程，共70分）17.已知等差数列的公差为1，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）由题成等比数列则，将代入求出，即可得到数列的通项公式；试题解析：（2）由（Ⅰ）. 利用分组求和法可求数列的前项和..（1）在等差数列中，因为成等比数列，所以，即，解得. 因为所以所以数列的通项公式.（2）由（1）知,所以.18.已知函数.（1）求函数的最大值；（2）已知的面积为，且角，，的对边分别为，，，若，，求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，可得函数的最大值为；（2）由题意，化简得，从而得，由，，求得的值，根据余弦定理得.【详解】（1），∴函数的最大值为.（2）由题意，化简得.∵，∴，∴，∴.由得，又，∴，或，.在中，根据余弦定理得.∴.【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.19.已知数列的前项和满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和为.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用数列前项和与的关系解答；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，利用裂项求和法求得数列的前项和．试题解析：（Ⅰ）当时,;当时,，（Ⅱ）由（Ⅰ）知从而数列考点：1、数列前项和与的关系；2、裂项求和法．【方法点睛】在等差（比）数列中由各项满足的条件求通项公式时，一般将已知条件转化为基本量，用和表示，通过解方程组得到基本量的值，从而确定通项公式．解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：（1）转化的思想，即将一般数列设法转化为等差（比）数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成；（2）不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和．20. 【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【答案】(1),；(2)或或【解析】试题分析：（1）在极坐标方程是的两边分别乘以，再根据极坐标与直角坐标的互化公式及即可得到曲线的直角坐标方程，消去直线的参数方程中的参数得到直线的在普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，由直线参数方程中参数的几何意义构造的方程.试题解析：（1）曲线的极坐标方程是，化为，可得直角坐标方程：．直线的参数方程是（为参数），消去参数可得．（2）把（为参数）代入方程：化为：，由，解得，∴．∵，∴，解得或．又满足．∴实数或．考点：圆的极坐标方程及直线参数方程的意义.21.已知椭圆的离心率为，短轴长为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求证：点在定圆上.【答案】（1）椭圆的标准方程为（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）由已知可得，，椭圆为；（2）由①，且，又② ，由①②得点在定圆上. 试题解析：（1）设焦距为，由已知，，∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）设，联立得，依题意，，化简得，①，，若，则，即，∴，∴，即，化简得，②由①②得.∴点在定圆上.（没有求范围不扣分）【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、斜率公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型.第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为；（2）设而不求法求得①，再利用韦达定理转化得② ，由①②得点在定圆上.22.函数.(I)求的单调区间；(II)若，求证：.【答案】(1)a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(2) 证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出导数，根据对的分类讨论，找到导数正负区间，即可求出；（2）求出函数的最小值，转化为证≥，构造，求其最小值，即可解决问题.试题解析：（Ⅰ）．当a≤0时，，则在上单调递减；当时，由解得，由解得．即在上单调递减；在上单调递增；综上，a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(Ⅱ)由（Ⅰ）知在上单调递减；在上单调递增，则．要证≥，即证≥，即+≥0，即证≥．构造函数，则， 由解得，由解得， 即在上单调递减；在上单调递增； ∴， 即≥0成立．从而≥成立．点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.。
福建师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学(文)试题(含精品解析)
福建师大附中2018-2019学年高三上学期期中考试卷高三文科数学一、选择题（每小题5分，共60分；在给出的A,B,C,D四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设集合则=A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，，则，选C.【考点】本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算【名师点睛】本题主要考查集合的并集运算，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与函数的值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.2.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，考点：全称命题与特称命题3.已知是虚数单位，复数在复平面上所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数,可得复平面上对应的点的坐标，从而可得结果.【详解】，对应点坐标为，在第一象限,故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4.已知双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可得，利用双曲线的离心率求出，从而可得的值，然后求解双曲线的渐近线方程.【详解】由双曲线可得，离心率为，则，所以双曲线的渐近线方程为，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的方程、双曲线的离心率以及双曲线的渐近线方程，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.5.已知函数，为图象的对称轴，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，则的解析式为（）A. B.C. D. 【答案】B【解析】【分析】由为图象的对称轴，可得,从而求得的值，再利函数的图象变换规律，以及诱导公式，可得出结论.【详解】根据函数为图象的对称轴，可得,故，函数，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，故选B.【点睛】本题主要考查正弦函数图象的对称性，函数的图象变换规律，以及诱导公式，属于基础题. 由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.6.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，抛物线上一点，若，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由抛物线的定义，求得点的坐标，进而求解三角形的面积．详解：由抛物线的方程，可得，准线方程为，设，则，即，不妨设在第一象限，则，所以，故选A．点睛：本题主要考查了抛物线的定义及性质的应用，其中熟记抛物线的定义和性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．7.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：分析函数的奇偶性，以及是函数值的符号，利用排除法即可得到答案.详解：由题意，函数满足，所以函数为奇函数，图象关于轴对称，排除；又由当时，函数，排除，故选A.8.直线与圆相交于、两点.若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，结合圆的半径，由勾股定理可得圆心到直线的距离,利用点到直线距离公式，列不等式可得结果.【详解】若，则圆心到直线的距离,即，解得，故选B.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.9.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，由此能求出该几何体的表面积.【详解】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，如图，该几何体的表面积：，故选D.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10.若四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】运用向量的加减运算和平面数量积公式以及运算，主要是向量的平方即为模的平方，结合菱形的性质，化简即可得到所求值.【详解】四边形是边长为2的菱形，，可得，则，故选A.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积公式，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．11.在中，，，点在边上，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可得,进而中，由正弦定理建立方程即可解得的值.【详解】，，,所以，，可得，中，由正弦定理可得，中，正弦定理可得，，解得，故选C.【点睛】本题主要考查直角三角形的性质以及正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.12.已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，得出，，再由椭圆的定义，得到的周长为，列出的关系式，即可求解离心率.二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知直线和直线垂直，则实数的值为__________．【答案】【解析】∵，∴，得．故答案为：.14.已知向量，，若，则向量与向量的夹角为_____．【答案】【解析】【分析】由，利用数量积为零可求得，从而得，求得，利用，从而可得结果.【详解】，则，，即，解得，，则，则，又，故答案为.【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.15.设函数，则函数的零点个数是_______.【答案】2【解析】分析：首先根据题意，将函数的零点个数问题转化为方程解的个数，最后转化为函数的图像和直线交点的个数问题来解决，这样比较直观，容易理解.详解：在同一个坐标系中画出函数的图像和直线，而函数的零点个数即为函数的图像和直线的交点的个数，从图中发现，一共有两个交点，所以其零点个数为2.点睛：该题考查的是函数的零点个数问题，解决该题的方法是将函数的零点个数问题转化为函数图像交点的个数问题来解决，从而将问题简单化，并且比较直观，学生容易理解.16.半径为4的球的球面上有四点A,B,C,D，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为_____________________．【答案】【解析】分析：求出△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．详解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：O′C=，OO′=，则三棱锥D﹣ABC高的最大值为6，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：故答案为：．点睛：（1）本题主要考查球的内接多面体和体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力. (2)本题求体积的最大值，实际上是求高的最大值，所以求高是关键.三、解答题（要求写出过程，共70分）17.已知等差数列的公差为1，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）由题成等比数列则，将代入求出，即可得到数列的通项公式；试题解析：（2）由（Ⅰ）. 利用分组求和法可求数列的前项和..（1）在等差数列中，因为成等比数列，所以，即，解得. 因为所以所以数列的通项公式.（2）由（1）知,所以.18.已知函数.（1）求函数的最大值；（2）已知的面积为，且角，，的对边分别为，，，若，，求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，可得函数的最大值为；（2）由题意，化简得，从而得，由，，求得的值，根据余弦定理得.【详解】（1），∴函数的最大值为.（2）由题意，化简得.∵，∴，∴，∴.由得，又，∴，或，.在中，根据余弦定理得.∴.【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.19.已知数列的前项和满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和为.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用数列前项和与的关系解答；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，利用裂项求和法求得数列的前项和．试题解析：（Ⅰ）当时,;当时,，（Ⅱ）由（Ⅰ）知从而数列考点：1、数列前项和与的关系；2、裂项求和法．【方法点睛】在等差（比）数列中由各项满足的条件求通项公式时，一般将已知条件转化为基本量，用和表示，通过解方程组得到基本量的值，从而确定通项公式．解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：（1）转化的思想，即将一般数列设法转化为等差（比）数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成；（2）不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和．20. 【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【答案】(1),；(2)或或【解析】试题分析：（1）在极坐标方程是的两边分别乘以，再根据极坐标与直角坐标的互化公式及即可得到曲线的直角坐标方程，消去直线的参数方程中的参数得到直线的在普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，由直线参数方程中参数的几何意义构造的方程.试题解析：（1）曲线的极坐标方程是，化为，可得直角坐标方程：．直线的参数方程是（为参数），消去参数可得．（2）把（为参数）代入方程：化为：，由，解得，∴．∵，∴，解得或．又满足．∴实数或．考点：圆的极坐标方程及直线参数方程的意义.21.已知椭圆的离心率为，短轴长为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求证：点在定圆上.【答案】（1）椭圆的标准方程为（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）由已知可得，，椭圆为；（2）由①，且，又②，由①②得点在定圆上.试题解析：（1）设焦距为，由已知，，∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）设，联立得，依题意，，化简得，①，，若，则，即，∴，∴，即，化简得，②由①②得.∴点在定圆上.（没有求范围不扣分）【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、斜率公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型.第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为；（2）设而不求法求得①，再利用韦达定理转化得②，由①②得点在定圆上.22.函数.(I)求的单调区间；(II)若，求证：.【答案】(1)a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(2) 证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出导数，根据对的分类讨论，找到导数正负区间，即可求出；（2）求出函数的最小值，转化为证≥，构造，求其最小值，即可解决问题.试题解析：（Ⅰ）．当a≤0时，，则在上单调递减；当时，由解得，由解得．即在上单调递减；在上单调递增；综上，a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(Ⅱ)由（Ⅰ）知在上单调递减；在上单调递增，则．要证≥，即证≥，即+≥0，即证≥．构造函数，则，由解得，由解得，即在上单调递减；在上单调递增；∴，即≥0成立．从而≥成立．点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.。
【高三数学试题精选】福建师大附中2019届高三数学上学期期中试卷(理科带答案)
在中，由余弦定理得
，
所以的长为……………6分
(Ⅱ)因为……………8分
在中，由正弦定理得，又,……………10分
得，……………11分解得,所以即为所求……………12分
18(本小题满分12分）
解（Ⅰ），．………………………………1分
当时，，得．………………………………2分
当且仅当x＝a时，取等号，故只需a(1－a)≥1，这与0＜a＜1矛盾11分
综上所述，a的取值范围是[2，＋∞)…12分
21（本小题满分12分）
由已知得………2分
∵为图象的最高点，∴的纵坐标为,又∵为正三角形，所以…………3分
∴可得,即得…………4分,
∴…………5分,
（Ⅱ）由题意可得,…………7分
法一作出如右下图象，由图象可知满足条的点是存在的，而且有两个………8分
又f(0)＝f( 8 3)＝4，故f(x)≤4的解集为{x|0≤x≤8 3} 6分
（2）
①若a＞1，f(x)＝(a－1)|x－1|＋|x－1|＋|x－a|≥a－1，
当且仅当x＝1时，取等号，故只需a－1≥1，得a≥2 7分
②若a＝1，f(x)＝2|x－1|，f(1)＝0＜1，不合题意…9分
③若0＜a＜1，f(x)＝a|x－1|＋a|x－a|＋(1－a)|x－a|≥a(1－a)，
化简得．…………………12分
19（本小题满分12分）
解(1)因为，所以曲线的普通方程为，由，得曲线的极坐标方程，
对于曲线, ,则曲线的极坐标方程为
(2)由(1)得,，
因为，则
20（本小题满分12分）
解（1）f(x)＝2|x－1|＋|x－2|＝－3x＋4，x＜1，x，1≤x≤2，3x－4，x＞2．
福建师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学(文)试卷及答案解析
绝密★启用前福建师范大学附属中学2018-2019学年高三上学期期中考试文科数学试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．设集合 则 = A ． B ． C ． D ． 2．命题“ ， ”的否定是A ． ，B ． ，C ． ，D ． ， 3．已知 是虚数单位，复数在复平面上所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．已知双曲线的离心率为 ,则双曲线的渐近线方程为A ．B ．C ．D ．5．已知函数，为 图象的对称轴，将 图象向左平移个单位长度后得到 的图象，则 的解析式为A ．B ．C ．D ．6．已知抛物线 的焦点为 ，准线 与 轴的交点为 ，抛物线上一点 ，若 ，则 的面积为A ．B ．C ．D ．7．函数的部分图象大致为 A ． B ．C ．D ．8．直线 与圆 相交于 、 两点.若 ，则 的取值范围是A ．B ．C ．D ．9．某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的表面积为A ．B ．C ．D ．10．若四边形 是边长为2的菱形， ， 分别为 的中点，则A ．B ．C ．D ．11．在 中， ， 在边 上，且，则A ．B ．C ．D ．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号。
福建省师大附中2019届高三上学期期中考试数学(文)试卷(含答案)-名校版
福建师大附中2018-2019学年高三上学期期中考试卷高三文科数学（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答卷。
第Ⅰ卷 共60分一、选择题（每小题5分，共60分；在给出的A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设集合{}{}22,,10,xA y y xB x x==∈=-<R 则A B =（***）A ．()1,1-B ．()0,1C ．()1,-+∞D ．()0,+∞2.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（***）A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-3.已知i 是虚数单位，复数95i2+i 在复平面上所对应的点位于（***） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4.已知双曲线2221y x b-=的离心率为2,则双曲线的渐近线方程为（***）A ．y x =B ．y =C ．y =D ．y = 5.已知函数1()sin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ϕπ2⎛⎫< ⎪⎝⎭ϕ，π3x =为()f x 图象的对称轴，将()f x 图象向左平移3π个单位长度后得到()g x 的图象，则()g x 的解析式为（***）A.1()cos2g x x =- B.1()cos 2g x x = C.12π()sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.1π()sin 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭6.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线l 与轴的交点为K ，抛物线上一点P ，若5PF =，则PFK ∆的面积为（***）A.4B.5C.8D.107.函数2(1)cos π()=||x xf x x -的部分图象大致为（***）A B C D8.直线1y kx =+与圆()()22214x y -+-=相交于P 、Q 两点.若PQ ≥k 的取值范围是（***）A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1-C. ⎡⎢⎣⎦D ．⎡⎣ 9.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的表面积为（***）A ．283π-B．24π-C ．241)π+D ．241)π+10.若四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ︒∠=，,E F 分别为,BC CD 的中点，则AE EF ⋅=（***）A．12- B ．12 C ．32- D．3211.在ABC ∆中，90BAC ∠=，2BC AC ==，点D 在边BC上，且sin BAD ∠=，则CD =（***）AB ．CD 12.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分別为12,FF ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（***）AB ．2-2 D第Ⅱ卷 共90分二、填空题（每小题5分，共20分）13. 直线1:260l ax y ++=与直线22:(1)10l x a y a +-+-=平行，则实数a 的值为*** ． 14.已知向量()1,3=-a ，()1,b t =，若()2-⊥a b a ，则向量a 与向量b 的夹角为*** ．15.设函数2,0,()1,0,x x f x x x⎧≤⎪=⎨->⎪⎩则函数()()F x f x x =+的零点的个数是*** ．16.设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为三棱锥D ABC -体积的最大值为*** ． 三、解答题（要求写出过程，共70分） 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差d 为1，且134,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列52n a n b n +=+，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．（本小题满分12分） 已知函数1()sin cos()cos 262f x x x x π=-+. （1）求函数()f x 的最大值；（2）已知ABC ∆的面积为,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1()2f A =，10b c +=，求a 的值.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2*3,22n n n S n N =-∈. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列21211{}n n a a -+的前n 项和为n T .20.（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 2=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty m t x 2123（t 为参数）.（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）设点P )0,(m ，若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，且1|=⋅PB PA |||，求实数m 的值. 21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点，O 为坐标原点，若5=4OM ON k k ⋅，求证：点(,)m k 在定圆上．22.（本小题满分12分） 函数()()()21ln 122f x x ax a x a =-++--∈R . （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若0a >，求证：()32f x a≥-.福建师大附中2018-2019学年下学期期中考试卷高三文科数学参考答案一、 选择题：1~6 BCACBA 7~12 CBDACD 二、 填空题： 13. -1 14. 4π15. 2 16. 三、 解答题：17.解析：（Ⅰ）在等差数列{}n a 中，因为134,,a a a 成等比数列，所以2314a a a =，即22111(2)3a d a a d +=+，解得2140a d d +=. 因为1d =， 所以14a =-，所以数列{}n a 的通项公式5n a n =-. ……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知5n a n =-,所以522n a n n b n n +=+=+.123231(2222)(123)2(12)(1)(1)221222n nn n n S b b b b n n n n n +=++++=+++++++++-++=+=+--………………12分 18. 解析：（Ⅰ）2211()sin (cos sin )cos 222111111cos cos 2cos 2)sin(2)2224264f x x x x x x x x x x x π=++-=+=++=++∴函数)(x f 的最大值为34. （Ⅱ）由题意111()sin(2)2642f A A π=++=，化简得1sin(2)62A π+=.(0,)A π∈，132(,)666A πππ∴+∈，5266A ππ∴+=，3A π∴=.由1sin 2bc A =16bc =，又10b c +=， 2,8b c ∴==或8,2b c ==.在ABC 中，根据余弦定理得2222cos 52a b c bc A =+-=.a ∴=19.解析：（Ⅰ）当1n =时,111a S ==;当2n ≥时,12n n n a S S n -=-=- 又11a =适合上式故数列{}n a 的通项公式为=2-.n a n （Ⅱ）由（Ⅰ）知212111111(),(32)(12)22321n n a a n n n n -+==-----从而数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111)+()++()]2-1113232112n nT n n n=---=---[(……………12分 20. 解析：（Ⅰ）由θρcos 2=，得：θρρcos 22=，∴x y x 222=+，即1)1(22=+-y x ， ∴曲线C 的直角坐标方程为1)1(22=+-y x . ……2分由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y m t x 2123，得m y x +=3，即03=--m y x ， ∴直线l 的普通方程为03=--m y x .……5分（Ⅱ）将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty m t x 2123代入1)1(22=+-y x ，得： 12112322=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+t m t ， 整理得：02)1(322=-+-+m m t m t ，由0>∆，即0)2(4)1(322>---m m m ，解得：31<<-m .设21,t t 是上述方程的两实根，则m m t t m t t 2),1(322121-=--=+， ……7分 又直线l 过点)0,(m P ，由上式及t 的几何意义得1|2|||||||221=-==⋅m m t t PB PA ，解得：1=m 或21±=m ，都符合31<<-m ，因此实数m的值为1或21+或21-. 10 分 21.解析：（Ⅰ）设焦距为c 2，由已知23==a c e ，22=b ，222c b a +=． 2,1==∴a b ，∴椭圆C 的标准方程为1422=+y x ．……………4分(Ⅱ)证明：设),(),,(2211y x N y x M ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y 得222(41)8440k x kmx m +++-=， 依题意，222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+->，化简得2241m k <+，①2121222844,4141km m x x x x k k -+==++，………………………6分 2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++， 若54OM ON k k ⋅=，则121254y y x x =，即121245y y x x =， ∴2212121244()45k x x km x x m x x +++=，∴222224(1)8(45)+4()404141m kmk km m k k ---⋅+=++， 即222222(45)(1)8(41)0k m k m m k ---++=， 化简得2254m k +=，② …9分由①②得226150,5204m k ≤<<≤．∴点(,)m k 在定圆2254x y +=上．（没求k 的范围不扣分）……12分22. 解：（Ⅰ）x x ax x x a ax a ax x x f )1)(1(1)1()1(1)(2+-=--+=-++-='…1分 ① 当a ≤0时，0)(<'x f ，则)(x f 在)0(∞+，上单调递减；…………………3分② 当0>a 时，由0)(>'x f 解得a x 1>，由0)(<'x f 解得ax 10<<． 即)(x f 在)10(a ，上单调递减；)(x f 在)1(∞+，a上单调递增； 综上，a ≤0时，)(x f 的单调递减区间是)0(∞+，；0>a 时，)(x f 的单调递减区间是)10(a ，，)(x f 的单调递增区间是)1(∞+，a． ………5分 (Ⅱ) 由（Ⅰ）知)(x f 在)10(a ，上单调递减；)(x f 在)1(∞+，a 上单调递增， 则121ln )1()(min --==a a a f x f ．………………………6分 要证)(x f ≥a 23-，即证121ln --aa ≥a 23-，即证a ln +11-a≥0．……8分 构造函数11ln )(-+=a a a μ，则22111)(aa a a a -=-='μ，由0)(>'a μ解得1>a ，由0)(<'a μ解得10<<a ，即)(a μ在)10(，上单调递减；)(a μ在)1(∞+，上单调递增； ∴ 01111ln )1()(min =-+==μμa ，即11ln -+a a ≥0成立．从而)(x f ≥a23-成立．…………12分欢迎访问“高中试卷网”——。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
福建师大附中2018-2019学年第一学期高三期中考试卷数学 (理科)本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.设集合 A ＝{x |x 2－3x ＋2≥0}，B ={x |2x ＜4}，则 A ∪B ＝ ( **** ) A. R B. ∅C. {x |x ≤1}D. {x |x ＞2}2.若复数22i1ia ++(a ∈R )是纯虚数,则复数i a 22+在复平面内对应的点在( **** ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知命题p ：“0a ∀>，都有1ae ≥成立”，则命题p ⌝为（**** ） A ．0a ∃≤，有1ae <成立 B ．0a ∃≤，有1ae ≥成立C ．0a ∃>，有1ae ≥成立 D ．0a ∃>，有1ae <成立4．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2) …(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是(**** ) A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋15. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（****） A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏6.设()250.2log 4,log 3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（**** ） A ．a b c >> B ．b c a >> C.a c b >> D ．b a c >>7.记不等式组220,1,2x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩解集为D ,若,则实数a 的最小值是( **** )A ．0B ．1C ．2D ．4 8.如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，0120BAD ∠=，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE 的最小值为（**** ）A ．2116B ．32C ．2516D ．39.已知函数121)(--=x e x f x（其中e 为自然对数的底数），则)(x f y =的大致图象大致为( **** )A.B.C.D10.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（**** ）11.已知函数()sin (0),f x x x =>ωωω若方程()1f x =-在(0,)π上有且只有 四个实数根，则实数ω的取值范围为（ **** ）A. 137(,]62 B. 725(,]26 C. 2511(,]62 D. 1137(,]2612.已知关于x 的方程222log (||2)5xxe ea x a -+-++=有唯一实数解，则实数a 的值为（****）A ．1-B ．1C ．1-或3D ．1或3-第Ⅱ卷 共90分二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.13.已知向量a ，b 的夹角为60︒，2a =，1b =，则2a b +=__****__.14．已知x y 、满足约束条件11,22x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为__****__. 15．甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭（*,5n n ∈≤≤N 1）五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是_***__. 16．在数列{}n a 中，若存在一个确定的正整数T ，对任意*n N ∈满足n T n a a +=，则称{}n a 是周期数列，T 叫做它的周期.已知数列{}n x 满足121,(1)x x a a ==≥，21n n n x x x ++=-，若数列{}n x 的周期为3，则{}n x 的前100项的和为 **** .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中, 3B π=,2BC =,点D 在边AB 上, AD DC =, DE AC ⊥,E 为垂足.(Ⅰ)若BCD ∆,求CD 的长;(Ⅱ)若DE =求A ∠的大小.18.(本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 和为n S ，若0n a >，1n a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若3nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19.（本小题满分12分）在直角坐标系中，曲线,曲线为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；EDCBA（Ⅱ）已知射线与曲线分别交于点（异于原点），当时，求的取值范围.20.（本小题满分12分）已知函数()1f x a x x a =-+- （0a > ）. （Ⅰ）当2a =时，解不等式()4f x ≤； （Ⅱ）若()1f x ≥，求a 的取值范围．21. （本小题满分12分）函数()()cos3cos 022xxf x x ωωωω=⋅+>，在一个周期内的图象如图所示, A 为图象的最高点, B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()f x 的图象上每个点的横坐标缩小为原来的4π倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位得到函数()g x ，若设()g x 图象在y 轴右侧第一个最高点为P ，试问()g x 图象上是否存在点()()(),2Q g θθπθπ<<，使得OP OQ ⊥，若存在请求出满足条件的点Q 的个数，若不存在，说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()()()2e x f x x ax =--． （Ⅰ）当0a >时，讨论()f x 的极值情况； （Ⅱ）若()[]1()0e x f x a --+≥，求a 的值．EDCA福建师大附中2018-2019学年第一学期高三期中考试卷解答数学 (理科)一、选择题：ABDBB ;DCADB,BA二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.13. , 14． 7 15．7816．67三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） (Ⅰ)由已知得13sin 2BCD S BC BD B ∆==， 又2BC =，sin B =23BD =……………3分 在BCD ∆中，由余弦定理得CD===所以CD 的长为CD = ……………6分 (Ⅱ)因为sin DE CD AD A ===……………8分 在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin BC CDBDC B=∠，又2BDC A ∠=∠, (10)分 得2sin 2A =11分 解得cos 2A =所以4A π=即为所求. ……………12分18.(本小题满分12分）解:（Ⅰ） 21n a S =， 24(1)n n S a ∴=+．………………………………1分 当1n =时，2114(1)S a =+，得11a =．………………………………2分 当2n ≥时，2114(1)n n S a --=+，22114()(1)(1)n n n n S S a a --∴-=+-+，………………………………3分 2211422n n n n n a a a a a --∴=+--，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+， 0,n a > 12n n a a -∴-=．………………………………4分∴数列{}n a 是等差数列，且首项为11a =，公差为2，………………………………5分12(1)21n a n n ∴=+-=-．………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1(21)3n nb n =-⋅， 231111135(21)3333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，——①………………………………7分2311111113(23)(21)33333n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，——②………………………………8分 ①–②得2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋅⋅⋅+--⋅………………………………9分2111111332(21)13313n n n ++-=+⨯--⋅-，………………………………10分化简得113n n n T +=-．…………………12分19.（本小题满分12分） 解：(1)因为，所以曲线的普通方程为：，由，得曲线的极坐标方程， 对于曲线,,则曲线的极坐标方程为(2)由(1)得,，因为，则20.（本小题满分12分）解：（1）f (x)＝2|x －1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4，x ＜1，x ，1≤x≤2，3x －4，x ＞2．所以，f (x)在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增， 又f (0)＝f ( 83)＝4，故f (x)≤4的解集为{x|0≤x≤ 83}. ....................................6分（2）①若a ＞1，f (x)＝(a －1)|x －1|＋|x －1|＋|x －a|≥a－1，当且仅当x ＝1时，取等号，故只需a －1≥1，得a≥2. .................................7分②若a ＝1，f (x)＝2|x －1|，f (1)＝0＜1，不合题意. ...................…9分 ③若0＜a ＜1，f (x)＝a|x －1|＋a|x －a|＋(1－a)|x －a|≥a(1－a)，当且仅当x ＝a 时，取等号，故只需a(1－a)≥1，这与0＜a ＜1矛盾. .............11分 综上所述， a 的取值范围是[2，＋∞). …...................12分21. （本小题满分12分）由已知得: ()cos 3cos 3cos 2223x x f x x x x x ωωπωωωω⎛⎫=⋅+=+=+ ⎪⎝⎭ (2)分∵A 为图象的最高点，∴A的纵坐标为又∵ABC ∆为正三角形，所以4BC = (3)分 ∴42T =可得8T =, 即28πω= 得4πω=…………4分,∴()sin()43f x x ππ=+…………5分,（Ⅱ）由题意可得()g x x =,2P π⎛ ⎝…………7分法一：作出如右下图象，由图象可知满足条件的点Q 是存在的，而且有两个………8分注：以上方法虽然能够得到答案，但其理由可信度不高，故无法给满分.法二：由OP OQ ⊥得0OP OQ =，即02πθθ+=，即()24sin 2πθθπθπ=-<<，由此作出函数()2y x x πππ=<<及()24sin 2y x x ππ=-<<图象，由图象可知满足条件的Q 点有两个.………10分(注：数形结合是我们解题中常用的方法，但就其严密性而言，仍有欠缺和不足.)法三：由OP OQ ⊥得0OP OQ =，即02πθθ+=，即()24sin 02πθθπθπ+=<<，问题转化为研讨函数()()24sin 2h x x x x πππ=+<<零点个数。