双曲线的简单几何性质教学设计
双曲线的简单几何性质(优秀教案)
1 / 7 教案
普通高中课程标准选修2-1
2.3.2双曲线的简单几何性质（第一课时）
教材的地位与作用
本节内容是在学习了曲线与方程、椭圆及其标准方程和简单几何性质、双曲线及其标准方程的基础上，进一步通过双曲线的标准方程推导研究双曲线的几何性质。
（可以类比椭圆的几何性质得到双曲线的几何性质。
）通过本节课的学习，使学生深刻理解双曲线的几何性质，体验数学中的类比、联想、数形结合、转化等思想方法。
二、教案目标
（一）知识与技能
1、了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率。
2、理解双曲线的渐近线。
（二）过程与方法
通过联想椭圆几何性质的推导方法，用类比方法以双曲线标准方程为工具推导双曲线的几何性质，从而培养学生的观察能力、联想类比能力。
（三）情感态度与价值观
让学生充分体验探索、发现数学知识的过程，深刻认识“数”与“形”的关系，培养学生勇于攀登科学高峰的精神。
三、教案重点难点
双曲线的渐近线既是重点也是难点。
四、教案过程
(一)课题引入
1、前面我们学习了椭圆及其标准方程，并由标准方程推导出椭圆的几何性质，椭圆的
几何性质有哪些？（教师用课件引导学生复习椭圆的几何性质，双曲线及其标准方程。
）今天我们以标准方程为工具，研究双曲线的几何性质。
【板书】：双曲线)0,0(122
22b a b y a x 的性质
2、双曲线有哪些性质呢？（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线。
）
3、双曲线的这些性质具体是什么？如何推导？请同学们对比椭圆的几何性质的推导方法，推导出双曲线的几何性质。
（讨论）。
教学设计3：2.3.2 双曲线的简单几何性质
(三)渐近线双曲线的范围在以直线by xa=和by xa=-为边界的平面区域内，那么从x,y的变化趋势看，双曲线22221x ya b-=与直线by xa=±具有怎样的关系呢？根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线by xa=的关系。
双曲线在第一象限的部分可写成：当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线．(四)离心率由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．这时，指出：焦点在y 轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变． （五）例题讲解例1求双曲线22143x y -=的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程，并画出双曲线的草图。
分析：由双曲线的标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用双曲线的实轴长、虚轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y 轴上的渐近线是ay x b=±． 例2 已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
例3求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．分析：已知双曲线的渐近线求双曲线的标准方程：方法一按焦点位置分别设方程求解；方法二可直接设所求的双曲线的方程为()22,0169x y m m R m -=∈≠ 例4.如图，设(),M x y 与定点()5,0F 的距离和它到直线l ：165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹方程． 分析：若设点(),M x y ，则()225MF x y =-+，到直线l ：165x =的距离165d x =-，则容易得点M 的轨迹方程．例5.双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到1m）．练习反馈1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程．(1)16x2－9y2=144；(2)16x2－9y2=－144．限时训练2．求双曲线的标准方程：(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；(2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；曲线的方程．点到两准线及右焦点的距离．课堂小结作业布置提高。
教学设计2：3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质
21yb的哪些代数特性获得的？椭圆的顶点、长轴、短轴、中心是如何定义的？类比椭圆几何性质的研究，从双曲线方程21yb，你可以独立发现哪些几何性质？有没有双曲线所特有的性质？问题1如何研究双曲线的几何性质？师生活动：类比椭圆几何性质的研究方法，对双曲线21,(0,0)ya bb的角度分析）类比椭圆的范围、对称性、顶点的研究，通过方程2221x yb研究双曲线的范21yb，可以直观发现双曲线上的（，纵坐标的范围是y R．“数”的角度：根据方程22221x y ab ①， 得到222211x y a b，∴x ≤－a ，或x ≥a ；y R ．由（x ，y ）的范围，可以发现双曲线不是封闭的曲线．双曲线位于直线x a 及其左侧，以及直线x a 及其右侧的区域，并且两支都向外无限延伸． （2）对称性“形”的角度：双曲线既关于坐标轴对称，又关于原点对称．“数”的角度：用−x 代x ，−y 代y ，−x ，−y 分别代x ，y ，方程的形式不变，所以双曲线关于坐标轴、原点对称．双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. （3）顶点“形”的角度：从图形直观上可以发现双曲线与x 轴有两个交点A 1（－a ，0）和A 2（a ，0），与y 轴没有公共点．这与椭圆不同. “数”的角度：令y =0，得到x =a 或x =−a ，所以A 1（－a ，0）和A 2（a ，0）， 令x =0,y 2=−b 2,没有实数解。
追问2：能否类比椭圆把B 1（0，－b ），B 2（0，b ）两点画在y 轴上？线段B 1B 2有何几何意义？师生活动：引导学生画图，学习线段B 1B 2称为双曲线的虚轴，△22A OB 是直角三角形，且2OA a ，22A B c ，2OB b ，线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a ，a 叫做双曲线的实半轴长；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b ，b 叫做双曲线的虚半轴长.并且在紧接着的渐近线的研究中就要用到它．追问3：在双曲线29x －24y ＝1位于第一象限的曲线上画一点M ，测量点M 的横坐标x M 以及它到直线3x －2y＝1的距离d ，向右拖动点M ，观察x M 与d 的大小关系，你发现了什么？ 师生活动：通过GGB 软件作图，在向右拖动点M 时，点M 的横坐标M x 越来越大，d 越来越小，但是d 始终不等于0.经过两点A 1，A 2作y 轴的平行线x ＝±3，经过两点B 1，B 2作x 轴的平行线y ＝±2，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线的方程是032xy ．可以发现，双曲线22194x y 的两支向外延伸时，与两条直线032x y 逐渐接近，但永远不相交．一般地，双曲线22221x y ab （0a ,0b ）的两支向外延伸时，与两条直线0x ya b逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交。
教学设计1：2.3.2 双曲线的简单几何性质
2．3.2双曲线的简单几何性质◆知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题．◆过程与方法目标让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．◆情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．◆教学过程一.复习引入双曲线的定义及标准方程二.思考分析问题1：双曲线的对称轴和对称中心各是什么？提示：坐标轴、坐标原点问题2：在双曲线中，有两条线与双曲线无限靠近，但不能相交，这条直线叫做什么？提示：双曲线的渐近线．问题3：过双曲线的某个焦点平行于渐近线的直线与双曲线有几个交点？提示：只有一个交点．三.抽象概括1．双曲线的几何性质F(－c,0)，F(c,0)F(0，－c)，F(0，c)实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率为e ＝ 2.1．双曲线的焦点和顶点在同一条对称轴上．2．利用双曲线的渐近线可以较为精确地画出双曲线，渐近线是直线x ＝±a ，y ＝±b (或x ＝±b ，y ＝±a )围成的矩形的对角线，它决定了双曲线的形状．3．为了便于记忆，根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程时，可以把双曲线标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中等号右边的“1”改成“0”，然后分解因式即可得到渐近线的方程x a ±yb ＝0. 四.例题分析及练习[例1] 求双曲线nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．[思路点拨] 化为标准形式→求a ，b ，c →得双曲线的几何性质 [精解详析] 把方程nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)化为标准方程x 2m －y 2n＝1(m >0，n >0)， 由此可知，半实轴长a ＝m ，半虚轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ， 焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)，离心率e ＝ca ＝m ＋n m ＝1＋nm， 顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)，渐近线的方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn m x .[感悟体会] 已知双曲线的方程求其几何性质时，若方程不是标准形式的先化成标准方程．弄清方程中的a ，b 对应的值，再利用c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质． 训练题组11．(2011·安徽高考)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．42解析：双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，2a ＝4.答案：C2．已知双曲线C 的焦点、顶点恰好分别是椭圆x 225＋y 216＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为( ) A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：由已知得，双曲线焦点在x 轴上，且c ＝5，a ＝3， ∴双曲线方程为x 29－y 216＝1.∴渐近线方程为x 29－y 216＝0，即x 3±y4＝0.答案：A[例2] 求适合下列条件的双曲线标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共的渐近线，且过点M (2，－2)． [思路点拨]分析双曲线的几何性质→求a ，b ，c →确定讨论焦点位置→求双曲线的标准方程[精解详析] (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)法一：当焦点在x 轴上时，b a ＝32且a ＝3，∴b ＝92.∴所求的方程为x 29－4y 281＝1.当焦点在y 轴上时，a b ＝32且a ＝3，∴b ＝2.∴所求的方程为y 29－x 24＝1.法二：设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)．当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94；当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1. ∴所求的方程为x 29－4y 281＝1和y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入得k ＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.[感悟体会] 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论．为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．若已知双曲线的渐近线方程y ＝±ba x ，还可以将方程设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，可避免讨论焦点的位置．训练题组23．若双曲线的一个焦点为(0，－13)，且离心率为135，则其标准方程为( )A.x 252－y 2122＝1B.y 2122－x 252＝1C.x 2122－y 252＝1D.y 252－x 2122＝1 解析：依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13.又c a ＝135，所以a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 252－x 2122＝1. 答案：D4．与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，离心率之和为145的双曲线标准方程为________．解析：椭圆的焦点是(0,4)，(0，－4)，∴c ＝4，e ＝45，∴双曲线的离心率等于145－45＝2，∴4a ＝2，∴a ＝2.∴b 2＝42－22＝12.∴双曲线的标准方程为y 24－x 212＝1. 答案：y 24－x 212＝1.[例3] 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦．如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率． [思路点拨]设F 1c ，0，将焦点F 1的横坐标代入方程→求出P 的纵坐标及|PF 1|→由∠PF 2Q ＝90°建立a ，b ，c 的关系→求出离心率[精解详析] 设F 1(c,0)，由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 2|＝22c . 由双曲线的定义得22c －2c ＝2a .∴e ＝c a ＝222－2＝1＋ 2.所以所求双曲线的离心率为1＋ 2.[感悟体会] (1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca；二是依据条件建立参数a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba后利用e ＝1＋b 2a2求离心率． (2)求离心率的范围一般是根据条件建立a ，b ，c 的不等式，通过解不等式得c a 或ba 的范围，再求得离心率的范围． 训练题组35．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )A. 3B. 2C.52D.22解析：由题意可知，此双曲线为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则a ＝b ，c ＝ a 2＋b 2＝2a ，于是e ＝ca ＝ 2.答案：B6．设a >1，则双曲线x 2a2－y 2a ＋12＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2)B ．(2， 5)C ．(2,5)D ．(2, 5) 解析：e 2＝a 2＋a ＋12a 2＝1a 2＋2a ＋2＝(1a＋1)2＋1， ∵a >1，∴0<1a <1,1<1a ＋1<2，∴2<e 2<5.又e >1，∴2<e < 5.答案：B7．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m的值为________．解析：由题意得m ＞0，∴a ＝m ，b ＝m 2＋4，c ＝m 2＋m ＋4， 由e ＝ca ＝5得m 2＋m ＋4m ＝5，解得m ＝2.答案：2五.课堂小结与归纳1．已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由方程确定焦点所在的坐标轴，找准a 和b ，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．2．如果已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．3．双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b a2(a >0，b >0)．六.当堂训练1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 解析：由题意e ＝ca ＝2，∴c ＝2a .又c ＝4，∴a ＝2.∴b 2＝42－22＝12.∴双曲线方程是x 24－y 212＝1.答案：A2．(2011·湖南高考)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：∵x 2a 2－y 29＝1(a >0)，∴双曲线的渐近线方程为x 2a 2－y 29＝0，即3x ±ay ＝0.又双曲线的渐近线方程为3x ±2y ＝0，∴a ＝2. 答案：C3．若双曲线x 29－y 2m ＝1的渐近线的方程为y ＝±53x ，则双曲线焦点F 到渐近线的距离为( )A. 5B.14 C ．2 D ．25解析：∵a ＝3，b ＝m ，∴m 3＝53，∴m ＝5，∴c ＝ a 2＋b 2＝14，∴一个焦点的坐标为(14，0)，到渐近线的距离d ＝|5×14－3×0|5＋9＝ 5.答案：A4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正△MF 1F 2.若双曲线恰好平分该三角形的另两边，则双曲线的离心率为( ) A ．1＋ 3 B ．4＋2 3 C ．23－2 D ．23＋2解析：如图，设N 为MF 2的中点，N 在双曲线上，∴|NF 1|－|NF 2|＝2a .又|F 1N |＝3c ，|NF 2|＝c ，∴3c －c ＝2a ，∴e ＝c a ＝23－1＝3＋1.答案：A5．(2011·辽宁高考)已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析：根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a 2－9b 2＝1.考虑到焦距为4，可得到一个关于c 的等式，2c ＝4，即c ＝2.再加上a 2＋b 2＝c 2，可以解出a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以离心率e ＝2. 答案：26．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________．解析：设椭圆C 1的方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝26，e ＝c 1a 1＝513，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，c 1＝5.∴焦距为2c 1＝10.又∵8<10，∴曲线C 2是双曲线．设其方程为 x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)，则a 2＝4，c 2＝5，∴b 22＝52－42＝32， ∴曲线C 2的方程为x 242－y 232＝1.答案：x 216－y 29＝17．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求此双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求证：1F M ·2FM ＝0. 解：(1)∵离心率e ＝ca ＝2，∴a ＝b .设双曲线方程为x 2－y 2＝n (n ≠0)，∵(4，－10)在双曲线上，∴n ＝42－(－10)2＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)∵M (3，m )在双曲线上，故m 2＝3.又F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1·kMF 2＝m 3＋23·m 3－23＝－m 23＝－1.∴1F M ·2F M ＝0. 8．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线离心率e 的取值范围．解：设直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a >1，得点(1,0)到直线l 的距离d 1＝ba －1a 2＋b 2，点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝ba ＋1a 2＋b 2.∴s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2abc . 由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2.∵e ＝ca ，∴5e 2－1≥2e 2，∴25(e 2－1)≥4e 4，即4e 4－25e 2＋25≤0，∴54≤e 2≤5(e >1)．∴52≤e ≤5，即e 的取值范围为[52，5]．。
高中数学 2-1 2.3.2双曲线的简单几何性质 教案
1。
1.1 命题（一)教学目标1。
知识与技能：(1）通过对双曲线图形的研究，让学生熟悉双曲线的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）以及离心率的大小对双曲线形状的影响，进一步加强数形结合的思想。
(2)熟练掌握双曲线的几何性质,会用双曲线的几何性质解决相应的问题.（3）理解等轴双曲线的特点与性质2.过程与方法：通过讲解双曲线的相关性质,理解并会用双曲线的相关性质解决问题.3。
情感、态度与价值观：（1）学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；(2）培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
(二）教学重点与难点重点：双曲线的几何性质,数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质难点:数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质（三)教学过程活动一:创设情景、引入课题 （5分钟）问题1:前面两节课，说一说所学习过的内容？1、 双曲线的定义?2、两种不同双曲线方程的对比？问题2：类比椭圆几何性质,观察双曲线22221x y a b-=（a 〉0,>b 〉0）的形状,你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？双曲线上哪些点比较特殊？ 点题:今天我们学习“双曲线的简单几何性质” 活动二：师生交流、进入新知,(20分钟) 1、双曲线的简单几何性质 ①范围：x a ≤-，或x a ≥;y R ∈由双曲线的标准方程得，222210y x b a=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；②对称性:关于以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：实顶点：为1(,0)A a -，2(,0)A a ;实轴为｜21A A |=2a ；实半轴长为a虚顶点为1(0,)B b -，2(0,)B b ；虚轴为|21B B ｜=2b ；虚半轴长为b圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；④渐近线：直线b y x a =±叫做双曲线22221x y a b-=的渐近线；直线a y x b =±叫做双曲线22221y x a b-=的渐近线；问题3：双曲线的范围在以直线b y x a=和b y x a=-为边界的平面区域内，那么从x ，y 的变化趋势看，双曲线22221x y a b-=与直线b y x a=±具有怎样的关系呢？⑤离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比ac e =叫做双曲线的离心率(1e >）．问题4:当a b =时,双曲线方程有什么变化？渐近线？离心率？2、等轴双曲线：当a b =时，双曲线为22221x y a a-=叫等轴双曲线，渐近线为y x =±，离心率e =问题5：书本P58页思考? 例3： 求双曲线22916144yx -=的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．分析:由双曲线的方程化为标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y 轴上的渐近线是a y x b=±．练习：书本P61页练习1扩展:求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．解法剖析:双曲线221169x y -=的渐近线方程为34y x =±．①焦点在x 轴上时，设所求的双曲线为22221169x y k k-=,∵()23,3A -点在双曲线上，∴214k=-，无解;②焦点在y 轴上时，设所求的双曲线为22221169x y k k-+=,∵()23,3A -点在双曲线上，∴214k =,因此，所求双曲线的标准方程为221944y x -=，离心率53e =．这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上,可直接设所求的双曲线的方程为()22,0169x y m m R m -=∈≠． 练习：书本P61页练习3活动三：合作学习、探究新知（18分钟）例4：双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1)，它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ,高为55m ．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到1m ）．解法剖析:建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，算出,,a b c 的值;此题应注意两点:①注意建立直角坐标系的两个原则;②关于,,a b c 的近似值，原则上在没有注意精确度时,看题中其他量给定的有效数字来决定．引申：如图所示，在P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路PA 或PB 送到呈矩形的足球场ABCD 中去铺垫,已知150AP m =,100BP m =,60BC m =，60APB ∠=．能否在足球场上画一条“等距离"线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由．解题剖析：设M 为“等距离”线上任意一点,则PA AM PB BM+=+，即50BM AM AP BP -=-=（定值)，∴“等距离”线是以A 、B 为焦点的双曲线的左支上的一部分，容易“等距离”线方程为()2213525,0606253750x y x y -=-≤≤-≤≤．理由略． 练习：书本P61页练习2例5：如图，设(),M x y 与定点()5,0F 的距离和它到直线l ：165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹方程．分析：若设点(),M x y ，则()225MFx y =-+，到直线l :165x =的距离 165d x =-，则容易得点M 的轨迹方程．解:设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P={M|||54MF d =｝,即22(5)51645x y x -+=-221169x y -=化简得所以，点M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线例6:如图，过双曲线22136x y -=的右焦点2F ,倾斜角为030的直线交双曲线于A 、B 两点，求||AB 。
双曲线的简单几何性质教学设计
双曲线的简单几何性质教学设计本教学设计旨在向学生介绍双曲线的简单几何性质，帮助他们理解双曲线的形状及其应用。
教学设计分为三个部分：引入教学、知识讲解及应用实践。
引入教学：
1. 导入：以一个真实生活的例子开始引入，比如一辆汽车以恒定速度在一条高速公路上行驶时，汽车与高速公路之间的距离是如何变化的。
2. 提问：通过向学生提问，引导他们思考距离的变化是否会随着时间变化而改变，进一步引出双曲线的概念。
知识讲解：
1. 定义：简要介绍双曲线的定义，即平面上距离差的绝对值为常数的点的集合。
2. 性质讲解：
a. 双曲线的对称性：双曲线关于两条虚轴对称。
b. 双曲线的渐近线：解释双曲线具有两条渐近线的特点，并引导学生思考渐近线与双曲线的关系。
c. 双曲线的焦点与准线：定义焦点和准线，并说明双曲线焦点到准线的距离是常数。
d. 双曲线的离心率：详细解释双曲线的离心率概念，并介绍离心率与双曲线形状之间的关系。
应用实践：
1. 练习题：给学生提供一些双曲线的练习题，让他们运用所学知识解答。
例如，给定一个双曲线方程，要求学生画出该双曲线及其渐近线，并计算其焦点、离心率等。
2. 实际应用：引导学生思考双曲线在实际生活中的应用，如双曲线在天体力学、射影几何等领域的应用，并鼓励学生自行寻找双曲线的实际应用案例。
通过以上教学设计，学生可以对双曲线的简单几何性质有一个基本的了解。
教师可以通过观察学生在引入教学及应用实践环节的表现来评估学生对双曲线的理解程度。
此外，教师还可以鼓励学生之间的合作与讨论，以促进他们对双曲线概念的深入理解。
【教案】3.2.2双曲线的简单几何性质 教学设计-高中数学人教版(2019)选择性必修一
3.2.2双曲线的简单几何性质一、内容和内容解析 1.内容双曲线的简单几何性质. 2.内容解析本节课要学的内容是双曲线的一些基本性质，其核心内容是双曲线的离心率及渐近线，理解它关键是先让学生理解直观的图形，从中抽象出双曲线的性质.学生已经学过双曲线概念和标准方程，本节课的内容双曲线的简单几何性质就是在其基础上的发展.由于它还与椭圆、抛物线等圆锥曲线有密切的联系，并有参照对比的作用，所以是双曲线的核心内容.结合以上分析，确定本节课的教学重点：双曲线的简单几何性质，解决重点的关键是引导学生动手、动脑，从图形的直观得到双曲线性质的准确刻画.二、目标和目标解析 1.目标（1）了解双曲线的简单几何性质；（2）会用双曲线的几何性质解决相应的问题； （3）培养学生的类比的数学思想和逻辑思维能力； （4）培养学生的方法归纳能力和应用意识. 2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）双曲线的范围及概念，对称性，离心率，渐近线表示.（2）能够根据双曲线中c b a ..三条线段之间的关系能求出双曲线的标准方程及离心率. 三、教学问题诊断分析在本节双曲线性质的教学中，学生可能遇到的问题是双曲线的一些基本概念会与椭圆的概念产生混淆，产生这一问题的原因是学生对各种曲线的概念把握不清.要解决这一问题，就要类比着椭圆的概念及性质学习，其中关键是借助图形直观类比.本节课的教学难点是渐近线的发现和离心率. 四、教学过程设计 （一）创设情境，提出问题问题1：前面已经学习了双曲线的概念与双曲线的标准方程，按照解析几何研究几何图形的内在逻辑，接下去我们应该研究什么？问题2：类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 我们应该明确，要研究双曲线的几何性质，然后，在观察双曲线图形的基础上，明确应该研究双曲线的范围、对称性、顶点等.研究的基本思路与方法是先“行”后“数”,即在观察图形形状与特征的基础上先提出猜想,再通过双曲线的标准方程进行计算和推理.设计意图：让学生在明确的研究问题、研究方法的指引下学习与探究，提高思维的主动性、深刻性，避免思维的被动性和盲目性．（二）各个击破，解决问题 1.范围问题3：观察平面直角坐标系中的双曲线，它有怎样的范围？你能利用它的方程给出证明吗？ 类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线，我们发现双曲线上点的横坐标的范围是a x -≤，或a x ≥，纵坐标的范围是R y ∈.明确曲线的范围即方程中两个变量y x ,的取值范围，然后在观察、猜想的基础上通过方程给出证明. 设计意图：明确研究曲线范围实质上是研究什么，以及怎么样通过方程研究. 2. 对称性问题4：观察双曲线的形状，它有怎样的对称性？在平面直角坐标系中，要证明一个图形关于坐标轴或原点对称，就是要证明什么？你能利用双曲线的方程证明它的对称性吗？类比研究椭圆的对称性的方法，在标准方程中，把x 换成x -，或把y 换成y -，或把x ，y 同时换成x -，y -时，方程都不变，所以图形关于y 轴、x 轴和原点都是对称的. 这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心.设计意图：明确曲线的对称性的实质，以及怎么样通过方程判断曲线是否关于坐标轴或原点对称. 3. 顶点问题5：观察双曲线，你觉得有哪些比较特殊的点？你能通过方程给出证明吗？何为特殊的点，即双曲线与坐标轴的交点.在问题解决后，给出双曲线的顶点、实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长等概念.在标准方程12222=-by a x 中，令0=y 得a x ±=；令0=x ，则y 无解.这说明双曲线有两个顶点，)0,(),0,(21a A a A -.如图，对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-by a x 的实轴，其长度为a2.尽管此双曲线与y轴无公共点，但y轴上的两个特殊的点),(),,0(21b B b B -.我们称线段21B B 为双曲线的虚轴，其长度为b 2.设计意图：明确曲线顶点的含义以及通过方程研究曲线顶点的思路与方法.4. 渐近线问题6：利用信息技术画出双曲线14922=-y x 和两条直线023=±y x .在双曲线的右支上取一点M ,测量点M 的横坐标M x 以及它到直线023=-yx 的距离d .沿曲线向右上方拖动点M ，观察M x 与d 的大小关系，你发现了什么？归纳总结：双曲线上的点在远离原点时无限接近这条直线但永远不能到达这条直线．（几何画板演示引导学生发现渐近线，明确渐近线与双曲线的关系）结论：①直线0=±b y a x 叫做双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线.②画双曲线时，我们可以先画矩形框，然后画出双曲线的渐近线，最后再画双曲线． ③b a =时，双曲线为等轴双曲线.设计意图：通过具体事例让学生结合几何画板来主动发现，更直接、更容易接受，再结合讲授法“说明双曲线上的点越来越接近于直线x aby =”，采用两种方法：一是定量描述，直接计算双曲线上的点到直线的距离，体会这个距离无限接近于0；二是通过电脑演示，直观反映“渐近”的特征．5. 离心率与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比ac，叫做双曲线的离心率。
双曲线的简单几何性质教学设计(同课异构公开课)
双曲线的几何性质 教学设计一、教学目标 授课：1、理解双曲线的几何性质（顶点坐标、实、虚轴长，渐近线方程和离心率）。
2﹑能够根据双曲线的几何性质得出相应的双曲线方程。
3、学会画图，探究与双曲线有关的范围(最值)问题过程与方法培养学生的观察能力，想象能力，数形结合和研究问题能力，以及类比的学习方法。
二、教学重点、难点教学重点：双曲线的几何性质（离心率和渐近线等）教学难点：数形结合，动手画图与双曲线有关的范围(最值)问题三、教学准备学生熟练掌握椭圆的定义﹑标准方程及几何性质，了解双曲线的定义﹑标准方程，认识椭圆和双曲线的内在联系，并掌握几何画板的一般操作步骤。
教师制作PPT 课件和易于学生发现和掌握规律的几何画板实验平台。
四、教学过程4．1 复习回顾，引入课题复习1、双曲线的定义及标准方程122PF PF a -=，22221x y a b -=或22221y x a b-= 4．2 活动探究，认识性质1、范围、对称性、顶点、离心率的探究结合椭圆的性质，让学生类比得出双曲线的相关性质，并结合方程加以验证并说出与椭圆的不同。
从而对双曲线的几何性质有一整体认识。
4、给出等轴双曲线的定义并让学生求出实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程。
4．3 应用举例，加深理解（1）例、求双曲线22143xy -=的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程。
通过此例，使学生巩固双曲线的几何性质。
（2）考点聚焦，重点讲授双曲线的离心率、渐近线以及与双曲线有关的范围(最值)问题进行理解、探究与突破。
【例1】(2021 年全国甲卷) 已知 12,F F 是双曲线C 的两个焦点, P 为 C 上一点, 且 12160,F PF PF ︒∠==23PF , 则C 的离心率为（ ）.A.B. C. D. 规律方法：【例2】. (一题多解)焦点为（6,0），且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ ） A ．1241222=-y x B ．1241222=-x y C ．1122422=-x y D ．1122422=-y x规律方法：【例3】已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点,P 是C 左支上一点, A ，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为____________. 规律方法：4．4 归纳总结，认识升华在学生总结的基础上，再总结归纳，将学生画图的能力，和研究问题能力，以及类比的学习方法进行巩固与加深。
双曲线的简单几何性质精品教案
2.2.2 双曲线的简单几何性质学习目标 1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a ，b ，c ，e 间的关系.4.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.知识点一 双曲线的简单几何性质思考 类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的哪些几何性质？答案 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线.x ≥a 或x ≤－a y ≥a 或y ≤－a 知识点二 双曲线的离心率思考1 如何求双曲线的渐近线方程？答案 将方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右边的“1”换成“0”，如图，即由x 2a 2－y 2b 2＝0得x a ±yb ＝0，作直线x a ±y b ＝0，在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的各支向外延伸时，与两直线无限接近，把这两条直线叫做双曲线的渐近线.思考2 椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？答案 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的各支向外延伸无限接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于b a 的值，设e ＝c a ，则ba ＝c 2－a 2a＝e 2－1. 当e 的值逐渐增大时，ba的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大.双曲线的半焦距c 与实半轴长a 的比值e 叫做双曲线的离心率，其取值范围是(1，＋∞).e 越大，双曲线的张口越大. 知识点三 双曲线的相关概念(1)双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.(2)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x .类型一 双曲线的简单几何性质例1 求与椭圆x 2144＋y 2169＝1有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程.解 椭圆x 2144＋y 2169＝1的焦点是(0，－5)，(0,5)，焦点在y 轴上，于是可设双曲线的方程是y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0).又双曲线过点(0,2)，所以c ＝5，a ＝2， 所以b 2＝c 2－a 2＝25－4＝21. 所以双曲线的标准方程为y 24－x 221＝1.所以双曲线的实轴长为4，焦距为10，离心率e ＝c a ＝52，渐近线方程是y ＝±22121x .反思与感悟 根据双曲线方程研究其性质的基本思路(1)将双曲线的方程转化为标准方程.(2)确定双曲线的焦点位置，弄清方程中的a ，b 所对应的值，再利用c 2＝a 2＋b 2得到c 的值. (3)根据确定的a ，b ，c 的值求双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、离心率及渐近线方程等.跟踪训练1 求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.解 把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程y 242－x 232＝1.由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3；c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)； 离心率e ＝c a ＝54；渐近线方程为y ＝±43x .类型二 由双曲线的几何性质求标准方程例2 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程： (1)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝103； (2)过点P (2，－1)，渐近线方程是y ＝±3x . 解 (1)e 2＝109，得c 2a 2＝109，设a 2＝9k (k >0)，则c 2＝10k ，b 2＝c 2－a 2＝k .于是，设所求双曲线方程为x 29k －y 2k ＝1①或y 29k －x 2k ＝1.②把(3,92)代入①，得k ＝－161，与k >0矛盾，无解； 把(3,92)代入②，得k ＝9， 故所求双曲线方程为y 281－x 29＝1.(2)由渐近线方程3x ±y ＝0，可设所求双曲线方程为x 219－y 2＝λ(λ≠0)，(*)将点P (2，－1)代入(*)，得λ＝35， ∴所求双曲线方程为x 2359－y 235＝1.反思与感悟 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1 (mn >0)，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，还可以将方程设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，避免讨论焦点的位置.跟踪训练2 已知圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆C ：x 250＋y 225＝1有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程. 解 椭圆C ：x 250＋y 225＝1的两焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，故双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则G 的渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，且a 2＋b 2＝25.∵圆M 的圆心为(0,5)，半径为r ＝3. ∴|5a |a 2＋b 2＝3⇒a ＝3，b ＝4. ∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.类型三 直线与双曲线的位置关系例3 已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4. (1)若直线与双曲线没有公共点，求k 的取值范围； (2)若直线与双曲线只有一个公共点，求k 的取值范围.解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝4，得(1－k 2)x 2＋2kx －5＝0.①(1)直线与双曲线没有公共点，则①式方程无解.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋20(1－k 2)＜0，解得k ＞52或k ＜－52， 则k 的取值范围为k ＞52或k ＜－52. (2)直线与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解. 当1－k 2＝0，即k ＝±1时，①式方程只有一解； 当1－k 2≠0时，应满足Δ＝4k 2＋20(1－k 2)＝0， 解得k ＝±52，故k 的值为±1或±52.反思与感悟 (1)直线与双曲线的公共点就是以直线的方程与双曲线的方程联立所构成方程组的解为坐标的点，因此对直线与双曲线的位置关系的讨论，常常转化为对由它们的方程构成的方程组解的情况的讨论.(2)直线与椭圆的位置关系是由它们交点的个数决定的，而直线与双曲线的位置关系不能由其交点的个数决定.(3)弦长公式：直线y ＝kx ＋b 与双曲线相交所得的弦长与椭圆的相同：d ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|. 跟踪训练3 经过点M (2,2)作直线l 交双曲线x 2－y 24＝1于A ，B 两点，且M 为AB 中点.(1)求直线l 的方程； (2)求线段AB 的长.解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21－y 214＝1①，x 22－y224＝1②，①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)4＝0.又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4＝k . ∴直线l 的方程为y －2＝4(x －2)， 即4x －y －6＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －6＝0，x 2－y 24＝1，得3x 2－12x ＋10＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝103.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝21023.1.双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 答案 C解析 双曲线的标准方程为x 24－y 28＝1，故实轴长为4.2.设双曲线x 2a ＋y 29＝1的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A.－4B.－3C.2D.1 答案 A解析 ∵方程表示双曲线，∴a <0，标准方程为y 29－x 2－a ＝1，∴渐近线方程为y ＝±3－ax ， ∴3－a ＝32，解得a ＝－4. 3.已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a ＞0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )A.3414B.324C.32D.43答案 C解析 由题意知a 2＋5＝9, 解得a ＝2，e ＝c a ＝32.4.等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则其标准方程为( ) A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1 C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1 答案 D解析 ∵等轴双曲线的焦点为(－6,0)，∴c ＝6， ∴2a 2＝36，a 2＝18.∴双曲线的标准方程为x 218－y 218＝1.5.若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是____________.答案 (±7，0)解析 由渐近线方程为y ＝±m 2x ＝±32x ， 得m ＝3，c ＝7，且焦点在x 轴上.6.设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________________. 答案 y ＝±22x解析 由条件知2b ＝2,2c ＝23， ∴b ＝1，c ＝3，a 2＝c 2－b 2＝2，∴双曲线方程为x 22－y 2＝1，因此其渐近线方程为y ＝±22x .1.渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程.反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程.2.准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口.对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.3.直线与双曲线的位置关系，可以通过由直线方程与双曲线方程得到的方程来判断，首先看二次项系数是否为零，如果不为零，再利用Δ来判断直线与双曲线的关系.4.弦长问题可以利用弦长公式，中点弦问题可使用点差法.一、选择题1.过双曲线x 2―y 2＝4的右焦点且平行于虚轴的弦长是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D解析 设弦与双曲线交点为A ，B (A 点在B 点上方)，由AB ⊥x 轴且过右焦点，可得A ，B 两点横坐标为22，代入双曲线方程得A (22，2)，B (22，－2)，故|AB |＝4. 2.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A.y ＝±14xB.y ＝±13xC.y ＝±12xD.y ＝±x答案 C解析 因为e ＝c a ＝52，所以c 2a 2＝54，又因为c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋b 2a 2＝54，得b 2a 2＝14，所以渐近线方程为y ＝±12x .3.若直线x ＝a 与双曲线x 24－y 2＝1有两个交点，则a 的值可以是( )A.4B.2C.1D.－2 答案 A解析 ∵双曲线x 24－y 2＝1中，x ≥2或x ≤－2，∴若x ＝a 与双曲线有两个交点，则a >2或a <－2，故只有A 选项符合题意.4.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线，交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( ) A. 6 B. 3 C. 2 D.33答案 B解析 如图，在Rt △MF 1F 2中，∠MF 1F 2＝30°. 又|F 1F 2|＝2c ， ∴|MF 1|＝2c cos 30°＝433c ， |MF 2|＝2c ·tan 30°＝233c . ∴2a ＝|MF 1|－|MF 2|＝233c .∴e ＝ca＝ 3. 5.如图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作倾斜角为30°的直线l ，l 与双曲线的右支交于点P ，若线段PF 1的中点M 落在y 轴上，则双曲线的渐近线方程为( )A.y ＝±xB.y ＝±3xC.y ＝±2xD.y ＝±2x答案 C解析 设F 1(－c,0)，M (0，y 0)，因为M 为PF 1中点，且PF 1倾斜角为30°，则P ⎝⎛⎭⎫c ，233c ，将其代入双曲线方程得c 2a 2－43c 2b2＝1，又有c 2＝a 2＋b 2，整理得3⎝⎛⎭⎫b a 4－4⎝⎛⎭⎫b a 2－4＝0，解得⎝⎛⎭⎫b a 2＝2或⎝⎛⎭⎫b a 2＝－23(舍去). 故所求渐近线方程为y ＝±2x .6.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 答案 A解析 令y ＝0，可得x ＝－5，即焦点坐标为(－5,0)， ∴c ＝5，∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，∴ba ＝2， ∵c 2＝a 2＋b 2， ∴a 2＝5，b 2＝20，∴双曲线的方程为x 25－y 220＝1.二、填空题7.已知双曲线C ：x 24－y 2m ＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m 的取值范围是____________. 答案 (4，＋∞)解析 ∵等轴双曲线的离心率为2，且双曲线C 的开口比等轴双曲线更开阔， ∴双曲线C ：x 24－y 2m ＝1的离心率e >2，即4＋m 4>2.∴m >4.8.双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是____________.答案 (－12,0)解析 双曲线方程可变为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k 2，又∵e ∈(1,2)，则1<4－k2<2，解得－12<k <0. 9.过点(0,1)作直线l 与双曲线4x 2―ay 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝π2(O 为坐标原点)，则a 的取值范围是______________. 答案 0<a ≤3解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，4x 2－ay 2＝1，得：(4－ak 2)x 2－2akx －a －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－2ak )2＋4(a ＋1)(4－ak 2)＞0， ①x 1x 2＝－a －14－ak 2，y 1y 2＝4－k 24－ak 2，由∠POQ ＝π2，得OP ⊥OQ ⇒x 1x 2＋y 1y 2＝0，则－a －14－ak 2＋4－k 24－ak 2＝0，② 由①②得0<a ≤3. 三、解答题10.根据下列条件，求双曲线的标准方程.(1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .解 (1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，所以双曲线方程为x 29－y 216＝14，即4x 29－y 24＝1.(2)设渐近线方程为y ＝±32x 的双曲线方程为x 24－y 29＝λ. 当λ＞0时，2a ＝24λ＝6⇒λ＝94.当λ＜0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的标准方程为x 29－y 2814＝1或y 29－x 24＝111.已知双曲线x 2－y 22＝1，过P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？若能，求出l 的方程；若不能，请说明理由. 解 设l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21－y 212＝1，x 22－y222＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，即(x 1＋x 2)－y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝0， 又直线过P (1,1)且为线段AB 中点，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，所以k AB ＝2，所以l 方程为y ＝2x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，2x 2－y 2＝2，消去y ，得2x 2－4x ＋3＝0， 因为Δ＝16－4×2×3＜0，故直线l 与双曲线没有交点，即直线l 不存在.12.已知直线l ：x ＋y ＝1与双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0). (1)若a ＝12，求l 与C 相交所得的弦长. (2)若l 与C 有两个不同的交点，求双曲线C 的离心率e 的取值范围.解 (1)当a ＝12时，双曲线C 的方程为4x 2－y 2＝1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4x 2－y 2＝1，消去y ，得3x 2＋2x －2＝0. 设两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－23，x 1x 2＝－23， 于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋(x 1－x 2)2 ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×289＝2143. (2)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)＞0，解得0<a <2且a ≠1. 又双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， 所以e >62且e ≠2， 即离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞). 13.若原点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，求OP →·FP →的取值范围.解 由双曲线方程x 2a 2－y 2＝1(a >0)知b ＝1， 又F (－2,0)，∴c ＝2.∴a 2＋1＝c 2＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1. 设双曲线右支上点P (x ，y )，且x ≥ 3. OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋2，y )＝x 2＋2x ＋y 2＝43x 2＋2x －1＝43⎝⎛⎭⎫x ＋342－74. ∵x ≥3，∴当x ＝3时，上式有最小值3＋2 3. 故OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞).。
高中数学《双曲线的简单几何性质》教学设计2套附反思
2.3.2双曲线的简单几何性质教学目标1．了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。
2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。
教学重点、难点重点：双曲线的几何性质及初步运用。
难点：双曲线的渐近线。
一.自学导引双曲线的简单几何性质注：实轴和虚轴等长的双曲线叫做_________.其离心率_________,渐近线方程_______________典例分析【例1】求双曲线16x 2-9y 2=-144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标、渐近线方程.双曲线5y 2-4x 2=20的实轴长为________,虚轴长为________,渐近线方程为________, 离心率为________.【例2】 求一条渐近线方程是3x +4y=0,一个焦点是(4,0)的双曲线标准方程,并求双曲线的离心率.学习札记与双曲线16922y x =1有共同的渐近线,并且经过点(-3,32)的双曲线方程为___________.【例3】过双曲线22136x y -=的右焦点2F ，倾斜角为30的直线交双曲线于A,B 两点，求AB针对训练双曲线22194x y -=与直线1y kx =-只有一个公共点，求k 的值随堂训练1.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为( )A.14422=-y x B.14422=-x y C.18422=-x yD.14822=-y x 2.双曲线与椭圆1641622=+y x 有相同的焦点,它的一条渐近线为y=-x ,则双曲线方程为…( )塘沽滨海中学高二数学备课组 主备人：李志芳 审核A.x 2-y 2=96B.y 2-x 2=160C.x 2-y 2=80D.y 2-x 2=243.实轴长为54且过点A (2,-5)的双曲线的标准方程是( )A.1162022=-y x B.1162022=-x y 1 C.1201622=-y x D.1201622=-x y 4.双曲线的离心率为2,则双曲线的两条渐近线的夹角是( )5.已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=,则双曲线的离心率为( ) A.45 B.35或67 C.45或35 D.56或45 6.中心在坐标原点,离心率为35的圆锥曲线的焦点在y 轴上,则它的渐近线方程为( )A.x y 45±=B.x y 54±=C.x y 34±=D.x y 43±=7.双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为（ ）A.32636338.过双曲线116922=-y x 的右焦点作一条渐近线的平行线,它与此双曲线交于一点P ,求P 与双曲线的两个顶点A 、A ′所构成的三角形的面积.2.3.2双曲线的简单几何性质(第一课时)教学设计一、教学目标：（1）运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质；（2）掌握双曲线标准方程中c b a ,,的几何意义，理解双曲线的渐近线 的概念；（3）能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。
2.3.2 双曲线的简单几何性质教学设计
第二章第2.3.2 节双曲线的简单几何性质（4课时）主备教师:陈本川一、内容及其解析本节课要学的内容是双曲线的一些基本性质，其核心内容是双曲线的离心率及渐近线，理解它关键是先让学生理解直观的图形，从中抽象出双曲线的性质。
学生已经学过双曲线概念和标准形式，本节课的内容双曲线的基本性质就是在其基础上的发展。
由于它还与椭圆、抛物线等圆锥曲线有密切的联系，并有参照对比的作用。
是双曲线的核心内容。
教学重点是双曲线的性质及范围，解决重点的关键是引导学生动手、动脑，从图形的直观得到双曲线性质的准确刻画。
二、目标及其解析1、目标定位（1）了解双曲线的基本性质（2）能够根据双曲线的标准方程及性质进行简单的运算。
2、目标解析（1）是指：双曲线的中变量的范围，顶点，对称性，离心率，渐近线等等。
（2）是指：能够根据双曲线中ca..之间的关系能求出双曲线的标准方程及离心b率。
三、问题诊断分析在本节双曲线性质的教学中，学生可能遇到的问题是双曲线的一些基本概念会与椭圆的概念产生混淆，产生这一问题的原因是学生对各种曲线的概念把握不清。
要解决这一问题，就要类比着椭圆的概念及性质学习，其中关键是借助图形直观类比。
四、教学支持条件分析在本节课双曲线的性质教学中，准备使用多媒体辅助教学。
因为使用多媒体辅助教学有利于学生对双曲线性质从直观到具体的把握。
五、教学设计过程复习：问题1：椭圆的概念？椭圆的性质有哪几条？问题一：双曲线性质有哪些？设计意图：掌握双曲线的几何性质师生活动：问题1你能从图中看出它的范围吗？问题2它具有怎样的对称性？问题3双曲线上哪些点比较特殊？中心： 顶点：实轴： 虚轴：渐近线：思考：对于不同的双曲线，我们发现，双曲线开口大小不一样，那么用什么量可以刻画双曲线开口大小呢？问题4：你能根据例1概况、归纳、推导出双曲线的第二定义？引申（双曲线的第二定义）：若点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它到定直线l ：例1、 求双曲线22916144y x -=的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. （设计意图：双曲线几何性质的应用） 解：把方程22916144y x -=化为标准方程221169y x -=.沧源民族中学 高二年级 数学 教学设计 2013.2.9由此可知，半实轴长4a =，半虚轴长3b =. 225c a =+= 所以，焦点坐标是(0,5)± 离心率54c e a ==，渐近线方程是043y x ±= 变式训练：如果双曲线2216436x y -=上一点P 到双曲线右准线的距离d 等于8，求点P 到右焦点F 的距离|PF|。
2.3.2双曲线的简单几何性质教学设计(优秀教案)
双曲线的简单几何性质教案一、学习目标知识目标: 了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。
能力目标: 通过观察、类比、转化、概括等探究，提高学生运用方程研究双曲线的性质的能力. 情感目标: 使学生在合作探究活动中体验成功, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系.二、学习重点、难点1. 教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质；2. 教学难点：双曲线的渐近线.三、学习过程：（一）复习式导入：在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。
那么，你认为应该研究双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的哪些性质呢？范围、对称性、顶点、离心率等.这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质 （二）新课：我们先来研究一下焦点坐标在x 轴上的双曲线的简单几何性质。
1双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的简单几何性质（1）范围从图形看，x 的取值范围是什么？ 师生： 从标准方程能否得出这个结论呢？ y 的范围呢？R y ∈（2）对称性从图形看，双曲线关于什么对称性？ 生：关于x 轴、y 轴和原点都是对称的那么，类比椭圆几何性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？提示：用y -代替原方程中的y ，若方程不变，则该曲线……关于x 轴对称。
同理，若用x -代替原方程中的x ，若方程不变，则该曲线关于y 轴对称。
若用y x --,分别代替原方程中的y x ,，若方程不变，则该曲线关于原点对称。
所以，双曲线是关于x 轴、y 轴和原点都是对称的。
x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。
（3）顶点椭圆的顶点有几个？（4个）它是如何定义的？（椭圆与对称轴的交点）类比椭圆顶点的定义，我们把双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。
由图形可以看到，双曲a x a x -≤≥或012222≥-=ax b y 2222,1a x ax≥≥∴即ax a x -≤≥∴或线22221(0,0)x y a b a b-=>>的顶点有几个？顶点坐标是？(,0)a ± 虽然对比椭圆，双曲线只有两个顶点，但我们仍然把(0,)b ±标在图形上。
双曲线的简单几何性质 精品教案
双曲线的简单几何性质【教学目标】1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质。
2．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念。
3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题。
4．通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高，“应用数学”的意识等到进一步锻炼的培养。
【教学重难点】教学重点：双曲线的渐近线、离心率。
教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系。
【课时安排】1课时【教学过程】一、复习引入1．范围、对称性由标准方程2222 1 x y a b-=，从横的方向来看，直线x=-a ，x=a 之间没有图像，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线，双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。
2．顶点顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为2a ，a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长3．渐近线过双曲线2222 1 x y a b -=的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形。
矩形的两条对角线所在直线方程是 b y x a =±（0 x y a b±=），这两条直线就是双曲线的渐近线。
4．等轴双曲线等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e等轴双曲线可以设为：22(0) x y λλ-=≠，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上。
5．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为 b y x a =±(0) kbx k ka=±>，那么此双曲线方程就一定是：22221(0) ()()x y k ka kb -=±>或写成2222 x y a b λ-= 6．双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线。
2022年《双曲线的简单几何性质》参考优秀教案1
例题研究运用性质
例1、求双曲线的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近方程。
例2、求符合以下条件的双曲线的标准方程:
(1)顶点在轴上，两顶点间的距离是8，
(2)焦点在轴上，焦距是16，
通过由方程求性质和性质求方程的例习题，来反应学生对双曲线性质的掌握程度和简单应用的能力。
双曲线的实轴：，长为,半实轴长
双曲线的虚轴:，长为，半虚轴长
提问：与椭圆比拟，为什么不叫双曲线的顶点？椭圆的短轴与虚轴有什么不同？
4、渐近线：
提问〔1〕反比例函数与正切函数的
?几何画板?验证
〔2〕渐近线方程如何求解？利用特征三角形；换“1〞为“0〞
〔2〕椭圆的离心率刻画了椭圆图形的什么几何特性，双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特性？〔适当点拨学生发现，的联系〕
?几何画板?演示
请总结两种标准方程的双曲线的几何性质，并填表
图形
标准方程
范围
对称性
顶点
渐近线
离心率
请比拟双曲线与椭圆的几何性质的异同
问题〔4〕揭示了渐近线对画双曲线草图的重要作用。
引导学生发现离心率对双曲线“张口〞大小的影响，通过多媒体进一步增强学生的这种认识。
教学目标
知识与技能目标
理解双曲线的几何性质并会简单应用。
过程与方法目标
进一步理解坐标法和数形结合的思想。
情感态度与价值观目标
培养学生科学的思维方法和思维习惯。
教学重点难点
教学重点
双曲线的简单几何性质。
教学难点
双曲线的渐近线。
二、教法学法
教法
采用问题式教学，通过问题引导学生类比探究、交流归纳、总结提升，并充分利用多媒体辅助教学。
《双曲线的简单几何性质》教学设计
《双曲线的简单几何性质》教学设计【教材分析】1.教材中的地位及作用本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。
它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。
2.教学目标的确定及依据平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。
教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。
根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。
（1）知识目标：①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质；②掌握双曲线标准方程中c b a ,,的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念及证明；③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。
（2）能力目标：①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法；②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的理解。
（3）数学核心素养目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变化的观点分析理解事物。
3.重点、难点的确定及依据对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。
因此，在教学过程中我利用一首情歌《悲伤的双曲线》引入今天的课题，这样一来渐近线的出现学生也易接受。
因此结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的重点。
4.教学方法这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论。
高中数学_双曲线的简单几何性质教学设计学情分析教材分析课后反思
2.1.5 双曲线的简单几何性质一、教学目标：1.知识与技能(1)给定双曲线方程，能正确写出有关几何元素，包括顶点、焦点、实轴虚轴长、离心率、渐近线方程等，认识相关元素的内在联系.(2)给定相关几何元素，正确得出相应的双曲线方程.(3)理解离心率、渐近线对双曲线张口大小的影响，能正确说出其中的规律.2.过程与方法(1)在经历一个较完整的数学问题探求过程中，提高学生的观察猜想和验证能力.(2)在椭圆与双曲线性质的类比过程中，提高学生的归纳能力.(3)在几何性质探求过程中，培养学生曲线方程思想和意识.3.情感、态度与价值观培养学生主动探求知识、合作交流的意识，改变学习方式，改善数学学习信念.二、教学重点.难点重点：双曲线的几何性质及初步运用。
难点：双曲线的渐近线，离心率的讲解。
三、教学方法本节课主要通过数形结合，类比椭圆的几何性质，运用现代化教学手段，通过观察、分析、归纳出双曲线的几何性质，在教学过程中可采取设疑提问，重点讲解，归纳总结，引导学生积极思考，鼓励学生合作交流。
四、教学过程新课引入1,欣赏歌曲《悲伤的双曲线》，并赏析歌词体会双曲线为何会悲伤？如果我是双曲线你就是那渐近线如果我是反比例函数你就是那坐标轴虽然我们有缘能够生在同一个平面然而我们又无缘慢慢长路无交点为何看不见等式成立要条件 难到正如书上说的 无限接近不能达到 为何看不见 明月也有阴晴圆缺 此事古难全 但愿千里共婵娟2.创设情境，引入课题 （1）问题情景师问1：首先请同学们回忆一下我们是从哪些方面研究椭圆的？ 学生答：首先研究了椭圆的标准方程，接着研究了椭圆的几何性质.师问2：很好，那么类似地双曲线是否也具有一些几何性质呢？（引出本节课的内容） 注：本节课主要是由椭圆的几何性质通过类比联想，归纳出类似于椭圆几何性质的双曲线的几何性质，故进行下面的复习回顾. 1.范围以12222=-b y a x 为例，只有当|x |≥a 时，y 才有实数值，而在－a<x <a 之间没有图象，当|x |无限增大时，|y |也无限增大，因此曲线是无限伸展的，也就是说，双曲线12222=-b y a x (a>0,b>0)在不等式组,0,0x a bx ay bx ay ≥⎧⎪->⎨⎪+>⎩或,0,0x a bx ay bx ay ≤-⎧⎪-<⎨⎪+<⎩所表示的区域内.双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线，而椭圆则是封闭曲线. 2.对称性分别用（x ,－y ）、（－x ,y ）及（－x ,－y ）代替方程中的（x ,y ），方程都不改变，说明双曲线关于x 轴、y 轴、原点对称，对称中心是原点，因此双曲线有两条对称轴，一个对称中心. 3.顶点与实虚轴双曲线只有两个顶点.12222=-by a x 的顶点是（a,0）,(－a,0)；当x =0时，y 2=－b 2无实数解，即与y 轴无交点.实轴长为2a ，虚轴长为2b.在这里，要注意实轴是焦点所在的轴，实轴长不一定大于虚轴长. 4.渐近线（1）双曲线的渐近线是画双曲线草图时所必须的，渐近线是x =±a,y =±b 围成矩形的对角线，它决定了双曲线的形状.（2）理解“渐近”两字的含义，当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的，也可以这样理解：当双曲线上的动点M 沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点M 到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于0.（3）焦点在x 轴上的双曲线12222=-by a x 的渐近线方程是y =±x a b ;焦点在y 轴上的双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程是y =±x a b ,或由02222=-bx a y （将1换成0）得到.（4）根据双曲线的标准方程求出它的渐近线方程的方法，最简单且实用的方法是：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程. 5.离心率e =ac,e >1,它决定双曲线的开口大小，e 越大，开口越大. （1）离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.∵ab =222aa c -=12-e ,∴e 越大，k =a b 越大.∴双曲线开口越大. （2）等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e =2. (3)求离心率是考查重点，常有以下方法 ①求a 、c 再求e =ac；②建立关于a 、c 的齐次方程；③寻找a 和e 的关系，再求e . 典型例题：例1：求双曲线22143x y -=的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程． 例2：求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．例3：求与双曲线221169x y -=共渐近线,且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．例4： 已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
双曲线的简单几何性质优秀教案
2.3.2 双曲线的几何性质（第一课时教案)一、 教学目标1. 知识与技能（1）理解并掌握双曲线的简单几何性质；（2）利用双曲线的几何性质解决双曲线的问题。
2. 过程与方法（1）通过类比椭圆的几何性质，得到双曲线的几何性质；（2）通过例题和练习掌握根据条件求双曲线几何性质的相关问题。
3. 情感、态度与价值观（1）培养学生的知识类比的数学思想和逻辑思维能力；（2）培养学生的方法归纳能力和应用意识。
二、 教学重难点1、教学重点：双曲线的几何性质2、教学难点：应用双曲线的几何性质解决双曲线的相关问题三、 教学过程结合双曲线图像以及几何画板动画，学习双曲线的相关几何性质。
1. 取值范围(1) 焦点在x 轴上：x a ≥或x a ≤-，y R ∈(2) 焦点在y 轴上：y a ≥或y a ≤-，x R ∈2. 对称性——既是轴对称图形，又是中心对称图形3. 顶点——双曲线与坐标轴的交点，即12,A A （以图为例）(1) 实轴——线段12A A 。
122,A A a a =为半实轴长；(2) 虚轴——记12(0,),(0,)B b B b -，则线段12B B 为虚轴。
122,B B b b =为半虚轴长。
(3) 等轴双曲线——实轴与虚轴长度相等的双曲线。
一般可设为：22,(0)x y m m -=≠4. 离心率：c e a= (1) 范围：1e >；(2) 变化规律：e 越大，双曲线开口越大；e 越小，双曲线开口越小.5. 渐近线(1) 若22221(0,0)x y a b a b -=>>，则渐近线为：b y x a=±， (2) 若)0,0(12222>>=-b a b x a y ，则渐近线为：a y x b=±， (3) 一般求法：令双曲线方程等于0，即22220x y a b -=（或22220y x a b-=） (4) 渐近线相同的双曲线可设为：2222(0)x y a bλλ-=≠题型一：求双曲线的标准方程例 求满足下列条件的双曲线标准方程（1） 顶点在x 轴上，两定点间的距离为8，54e =； （2） 焦点在y 轴上，焦距为16，43e =； （3） 以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线； （4） 过点(3,1)A -的等轴双曲线.题型二：有关渐近线的计算例1 已知双曲线的渐近线方程为34y x =±，求双曲线的离心率为.例2 若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点为)，求双曲线的方程.例3 求与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(3,-的双曲线方程.作业：P61 A 组 《导报》第8课时。
2022年精品 《双曲线的简单几何性质》优秀教案3
双曲线的简单几何性质〔第2课时〕〔杨军君〕一、教学目标〔一〕学习目标1掌握双曲线的几何性质，能利用几何性质解决实际问题；2掌握直线与双曲线的位置关系的判断〔二〕学习重点1双曲线的几何性质；2双曲线各元素之间的相互依存关系〔三〕学习难点1双曲线的离心率、渐近线问题；2直线与双曲线位置关系二、教学设计〔一〕预习任务设计1预习任务〔1〕读一读：阅读教材第59页至第61页〔2〕想一想：直线与双曲线的问题关系有哪些？如何判定？〔3〕写一写：与共焦点的双曲线方程：与共渐近线的双曲线方程：2预习自测1下面说法正确的选项是〔〕A假设直线与双曲线交于一点，那么直线与双曲线相切B过点作直线与双曲线只有一个公共点，这样的直线可作2条C直线与双曲线有两个公共点D过双曲线外一点可以作双曲线的两条不同切线答案：C解析：【知识点】直线与双曲线的位置关系【解题过程】直线与双曲线交于一点，两者可能是相切，也可能是相交，故A错误；过且与渐近线平行的直线也与双曲线只有一个交点，故B错误；过原点不能作任何直线与双曲线相切，故D错误点拨：直线与双曲线问题需注意考虑特殊情况，比方与渐近线平行的直线等等〔二〕课堂设计1知识回忆复习双曲线的几何性质：〔1〕范围：由双曲线的标准方程得，，进一步得：，或这说明双曲线在不等式，或所表示的区域；〔2〕对称性：由以-代，以-代和-代，且以-代这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；〔3〕顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；〔4〕渐近线：直线叫做双曲线的渐近线；〔5〕离心率：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率〔e>1〕【设计意图】为准确地运用新知，作必要的铺垫2新知讲解探究一：方程与几何性质●活动①师生互动，深入理解问题1：椭圆的焦点是？问题2：双曲线的一条渐近线方程是，那么可设双曲线方程为？问题3：假设双曲线与有相同的焦点，它的一条渐近线方程是，那么双曲线的方程是？【设计意图】问题层层递进，让学生深入认识各元素之间的相互依存关系探究二：双曲线与直线例1 问题：〔1〕如果直线与双曲线没有公共点，求的取值范围；〔2〕如果直线与双曲线有两个公共点，求的取值范围；〔3〕如果直线与双曲线只有一个公共点，求的取值范围【知识点】直线与双曲线的位置关系【解题过程】由得①〔1〕直线与双曲线没有公共点，即方程①无实数解得：或〔2〕直线与双曲线有两个公共点，即方程①有两个不等的实数解得：，且〔3〕直线与双曲线只有一个公共点，即方程①只有一个实数解当时，即时，方程①只有一个实数解；当时，由得：的值为或【思路点拨】利用方程组的解的个数来讨论两曲线公共点的个数时，要注意到二次项系数为零的情况【答案】见解题过程【设计意图】由直线与双曲线的公共点问题展开探究直线与双曲线的位置关系类比于直线与椭圆的关系，直线和双曲线的公共点问题，可通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组实数解的个数来确定●活动②归纳总结，提炼结论直线与双曲线的位置关系：设直线：，椭圆C：，联立〔1〕当时：直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交，且有一个交点；〔2〕当时：假设，那么直线和双曲线有唯一公共点，直线和双曲线相切；假设，那么直线和双曲线有两个公共点，直线和双曲线相交；假设，那么，直线和双曲线没有公共点，直线和双曲线相离同类训练双曲线，直线，试讨论实数的取值范围〔1〕直线与双曲线有两个公共点〔2〕直线与双曲线有且只有一个公共点〔3〕直线与双曲线无公共点【知识点】直线与双曲线位置关系【解题过程】由消去，得①〔1〕当即时，直线与双曲线的渐近线平行方程①化为，只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个交点〔2〕当即时，①，即时，直线与双曲线有两个公共点②，即时，直线与双曲线只有一个公共点③，即时，直线与双曲线无公共点【思路点拨】直线与双曲线位置关系问题，通过方程联立消元，利用刻画未知量的取值范围【答案】见解题过程例2 过双曲线的右焦点倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点，求【知识点】直线与双曲线相交弦长【解题过程】由题意知直线AB：由消去，得法一：解得代入直线AB，得所以，法二：【思路点拨】直线与双曲线相交弦长公式：，其中为直线AB的斜率，【答案】同类训练是过点的两条互相垂直与双曲线各有两个交点的直线，求的斜率的取值范围【知识点】直线与双曲线相交【解题过程】依题意，直线的斜率存在，的方程：由得：假设，那么与与双曲线有两个交点矛盾，故〔1〕设的斜率为，同理可知：〔2〕又，故〔3〕由〔1〕〔2〕〔3〕得：【思路点拨】直线与双曲线位置关系问题，通过方程联立消元，利用刻画未知量的取值范围【答案】例3如图，设M,与定点F5,0的距离和它到直线：的距离的比是常数，求点M的轨迹方程【知识点】双曲线的定义【解题过程】假设设点M,，那么，到直线：的距离，由题意那么容易得M的轨迹方程引申：用?几何画板?探究点的轨迹：双曲线拓展：假设点M,与定点Fc,0的距离和它到定直线：的距离比是常数c>a>0，c,0是焦点，定直线：相应于F的准线；另一焦点，相应于的准线：【思路点拨】利用双曲线的几何关系解题【答案】【设计意图】给学生充分的感性材料，揭示结论的发现过程，通过学生发现假设干特例的共性，培养学生归纳、概括、提出数学问题的能力〔一般性探究〕同类训练为双曲线C：的左、右焦点，O为坐标原点，在双曲线的左支上，点在右准线上，且满足：，，求此双曲线的离心率【知识点】双曲线的几何性质【解题过程】为平行四边形，又〔λ＞0〕知在的角平分线上∴四边形为菱形，且边长为，∴由例3知：即又【思路点拨】利用双曲线的几何关系解题【答案】3 课堂总结知识梳理直线与双曲线的位置关系：设直线，椭圆，联立〔1〕当时：直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交，且有一个交点；〔2〕当时：假设，那么直线和双曲线有唯一公共点，直线和双曲线相切；假设，那么直线和双曲线有两个公共点，直线和双曲线相交；假设，那么，直线和双曲线没有公共点，直线和双曲线相离重难点归纳1直线与双曲线只有一个交点不要忘记直线与渐近线平行的那种情况2直线与曲线相交的弦长公式：，其中为直线AB的斜率，〔三〕课后作业根底型自主突破1过点的直线与双曲线只有一个公共点,那么直线共有〔〕条 B 2条 C 3条 D 4条【知识点】直线与双曲线的位置关系【解题过程】双曲线，为双曲线的右顶点，与双曲线相交于一点的直线有三条，一条为，另两条为过且平行于渐近线的直线【思路点拨】当直线与双曲线相切或直线平行于双曲线的渐近线时只有一个公共点【答案】C2设是三角形的一个内角，且，那么方程所表示的曲线为〔〕A焦点在轴上的椭圆B焦点在轴上的椭圆C焦点在轴上的双曲线D焦点在轴上的的双曲线【知识点】双曲线的方程【解题过程】由得：【思路点拨】利用双曲线的标准方程判断焦点的位置【答案】C＝＋2与双曲线2－2＝6的右支交于不同的两点，那么的取值范围是〔〕A－错误!，错误!B0，错误!C－错误!，0 D－错误!，－1【知识点】直线与双曲线的位置关系【解题过程】由错误!得1－22－4－10＝0由题意，得解得：－错误!0，1＋2>0，12>0，二次项系数≠0【答案】D≠0，那么a－＋b＝0和b2＋a2＝ab所表示的曲线只可能是下列图中的〔〕【知识点】直线与双曲线的位置关系【解题过程】方程可化为＝a＋b和错误!＋错误!＝，D中的两椭圆看a，b∈0，＋∞，但B中直线有a0矛盾，应排除；再看A中双曲线的a0，但直线有a>0，b>0，也矛盾，应排除；C中双曲线的a>0，b0的渐近线方程为＝±错误!，那么b等于________【知识点】双曲线的渐近线【解题过程】双曲线的渐近线方程为＝±错误!，∴b＝1【思路点拨】双曲线的渐近线方程为【答案】1能力型师生共研7点是双曲线的右支上一点，分别是和上的点，那么的最大值是〔〕【知识点】双曲线的几何性质【解题过程】由题意知：，故又，所以【思路点拨】圆心即双曲线的焦点，从而利用双曲线的定义分别求得，进而求得的最值【答案】C8 点是双曲线的一个交点，且2∠=∠，其中、是双曲线的两个焦点，那么双曲线的离心率为【知识点】双曲线的几何性质【解题过程】由题意知，设，那么，故【思路点拨】解题时灵活利用双曲线的定义和几何性质，合理进行等价转化【答案】探究型多维突破9 双曲线中心在原点，焦点在轴上，过双曲线的右焦点且斜率为的直线交双曲线于两点，假设，，求双曲线的方程【知识点】直线与双曲线，韦达定理应用【解题过程】设双曲线的方程为，直线的方程为联立得设，那么又，由韦达定理得又【思路点拨】将条件转化为坐标形式，根据点斜式得到直线方程，将其与双曲线联立即可利用韦达定理建立方程求解【答案】10求经过点且与双曲线仅有一个公共点的直线方程【知识点】直线与双曲线的位置关系【解题过程】设所求直线方程为〔1〕化简得③1〕当直线与双曲线相切时，仅有一个公共点，所以有又故所求直线方程为2〕当时，方程③变为一次方程，且有唯一解，因而直线和双曲线仅有一个公共点，故得到3〕当时，得直线，此时和双曲线也仅有一个公共点〔2〕当不存在时，因为点在直线上，故所求直线方程为综上所述，符合题意的直线有四条，分别为【思路点拨】当直线与双曲线相切或直线平行于双曲线的渐近线时只有一个公共点【答案】自助餐2－2＝a2与直线＝aa>0没有公共点，那么a的取值范围是〔〕＝1 1 ≥1【知识点】直线与双曲线的位置关系【解题过程】等轴双曲线2－2＝a2的渐近线方程为＝±，假设直线＝aa>0与等轴双曲线2－2＝a2没有公共点，那么a≥1【思路点拨】利用直线与渐近线的位置判断【答案】D－错误!＝1b>0的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为＝，点P错误!，0在该双曲线上，那么错误!·错误!＝〔〕A－12 B－2【知识点】双曲线的渐近线【解题过程】因为渐近线方程为＝，∴b＝错误!，∴双曲线方程为2－2＝2，所以点P的坐标为错误!，±1，又易知F1－2,0，F22,0，不妨取P错误!，1∴错误!·错误!＝－2－错误!，－1·2－错误!，－1＝0【思路点拨】利用渐近线与双曲线方程的关系求得双曲线方程即可【答案】C＝±错误!，那么双曲线的离心率是〔〕或错误!错误!或错误!【知识点】双曲线的几何性质【解题过程】假设双曲线焦点在轴上，∴错误!＝错误!，∴e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!假设双曲线的焦点在轴上，∴错误!＝错误!，错误!＝错误!∴e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!【思路点拨】焦点在轴上，离心率与渐近线斜率之间的关系：【答案】C、F2分别是双曲线错误!－错误!＝1a>0，b>0的左右焦点，过点F1的直线与双曲线的左右两支．．．．分别交于A、B两点假设△ABF2是等边三角形，那么该双曲线的离心率为〔〕【知识点】双曲线的离心率【解题过程】如图，由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，∴|AB|＝|BF1|－|AF1|＝|BF1|－|AF1|＋|AF2|－|BF2|＝|BF1|－|BF2|＋|AF2|－|AF1|＝4a，∴|BF2|＝4a，|BF1|＝6a，在△BF1F2中，∠ABF2＝60°，由余弦定理，|BF1|2＋|BF2|2－|F1F2|2＝2|BF1|·|BF2|·co60°，∴36a2＋16a2－4c2＝24a2，∴7a2＝c2，∵e>1，∴e＝错误!＝错误!，应选D【思路点拨】利用几何关系，再结合双曲线的定义解题【答案】D＝a＋1与双曲线32－2＝1交于A、B两点〔1〕假设以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；〔2〕是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线对称？假设存在，请求出a的值；假设不存在，请说明理由【知识点】直线与双曲线的位置关系【解题过程】1由错误!消去得，3－a22－2a－2＝0①依题意错误!即－错误!<a<错误!且a≠±错误!②设A1，1，B2，2，那么∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥O B∴12＋12＝0，但12＝a212＋a1＋2＋1，代入求解得：〔2〕假设存在实数a，使A、B关于＝错误!对称，那么直线＝a＋1与＝错误!垂直，∴a＝－2直线的方程为＝－2＋1 将a＝－2代入③得1＋2＝4∴AB中点横坐标为2，纵坐标为＝－2×2＋1＝－3但AB中点2，－3不在直线＝错误!上即不存在实数a，使A、B关于直线＝错误!对称【思路点拨】将直线方程与双曲线方程联立，合理利用韦达定理解题【答案】〔1〕；〔2〕不存在，理由见解题过程－错误!＝1的右焦点作倾斜角为45°的弦A B求：〔1〕弦AB的中点C到右焦点F2的距离；〔2〕弦AB的长【知识点】直线与双曲线【解题过程】〔1〕因为双曲线的右焦点为F25,0，直线AB的方程为＝－5由错误!消去，并整理得72＋90－369＝0如图，设A1，1，B2，2，∴1＋2＝－错误!，1·2＝－错误!设AB的中点C的坐标为，，那么＝错误!＝－错误!，∴＝－错误!∴〔2〕【思路点拨】直线与双曲线相交的弦长公式：，其中为直线的斜率，【答案】〔1〕；〔2〕。
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3．2双曲线的简单几何性质授课人：莉
●三维目标
1．知识与技能：使学生掌握双曲线的围、对称性、顶点、、离心率等几何性质，并能利用它们解决简单问题．
2．过程与方法：在与椭圆的性质类比中获得双曲线的性质，进一步体会数形结合的思想，掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，培养分析、归纳、推理等能力．
3．情感、态度与价值观：进一步体会曲线与方程的对应关系，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
●重点难点
重点：已知双曲线的方程求其几何性质．
难点：双曲线性质的应用，与双曲线离心率渐近线相关的问题．
易混点：双曲线与椭圆中a，b，c的关系．
教学时要抓住知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，引导学生类比椭圆，让学生讨论、归纳双曲线的性质，通过例题与练习让学生掌握性质的应用．
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体
教学过程：
一复习双曲线的定义，焦点，标准方程
二新课导入
有一首歌,名字叫做《悲伤双曲线》,歌词如下:如果我是双曲线,你就是那渐近线.如果我是反比例函数,你就是那坐标轴.虽然我们有缘,能够生在同一个平面.然而我们又无缘,漫漫长路无交点.为何看不见,等式成立要条件.难道正如书上说的,无限接近不能达到？为何看不见,明月也有阴晴圆缺,此事古难全,但愿千里共婵娟.
这是一首情歌,有意思的是其歌词形象地利用了双曲线中的简单几何性质.双曲线到底有哪些迷人的几何性质,让我们一起来探讨吧!
三 教学过程 1．围、对称性
x
由图形观察，双曲线关是以x 轴，y 轴为对称轴的轴对称图形，以原点为对称中心的中心对称图形。
从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图像，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，在类比椭圆的性质从方程的方面进行学习，让学生进行归纳总结。
2 顶点 : A 1(-a,0), A 2(a,0) 特殊点：B 1 ( 0,-b), B 2( 0 ,b) 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长
双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异． 3．离心率
概念：双曲线的焦距与实轴长的比a
c
a c e ==22，叫做双曲线的离心率 围：1>e
思考：根据以上几何性质能否较准确地画出双曲线的图形呢？
（引出渐近线）
4渐近线
过双曲线122
22=-b
y a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的
平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是x a
b
y ±
=（
0=±b
y
a x ）
，这两条直线就是双曲线的渐近线
5．双曲线的草图
具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 6双曲线形状与e 的关系：
112
222
2-=-=-=
=e a
c a a c a
b k ，因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。
由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔
用代数方法边板书边推导，这样就可化难为易，使学生对此规律有更深刻清晰的理解 这样做将有助于实在本节的这个难点
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：
（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=
e
等轴双曲线可以设为：)0(2
2≠=-λλy x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y
轴上
学生口答
将焦点在x 轴和y 轴对比记忆 讲解例：
例1求双曲线1441692
2
=-x y 的实半轴长和虚半
轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
解：把方程化为标准方程13
422
22=-x y
由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3．
5342222=+=+=b a c
焦点的坐标是(0，－5)，(0，5)． 离心率4
5
==
a c e
渐近线方程为x y 3
4
±= 练习：（口答） 例
2
1
22
22=-b
y a x 的方程为解：依题意可设双曲线
8162==∴a a ，即
10
,45
=∴==c a c e Θ又 3681022222=-=-=∴a c b
1
36642
2=-∴y x 双曲线的方程为
x y 43
±
=∴渐近线方程为
)0,10(),0,10(21F F -焦点
练习见多媒体 课堂小结
作业：练习1，A 1,5.
《双曲线的简单几何性质》
教学设计
彬县中学：莉。