《离散数学》第五章谓词逻辑
离散数学谓词逻辑
VS
复合命题
由原子命题通过逻辑运算符组合而成的命 题，如“John is a student and Mary is a teacher”
逻辑运算符和括号的使用
逻辑运算符
and（合取）、or（析取）、not（否定）、if...then（蕴含）等
括号的使用
对于复杂的命题，需要使用括号来表示逻辑运算的优先级
逻辑模型
通过建立合适的逻辑模型，将实际问题转 化为逻辑推理问题，从而得到最优解或可 行解。
06
总结与展望
离散数学谓词逻辑的重要性和应用价值
离散数学谓词逻辑是计算机科学、人 工智能、通信工程、应用数学等多个 学科领域的基础工具，对于解决这些 领域的问题具有重要的应用价值。
离散数学谓词逻辑提供了一种描述客 观世界中离散结构及其性质的方式， 可以用来刻画和解释计算机科学中的 数据结构和算法、人工智能中的知识 表示和推理等问题。
04
离散数学中的逻辑推理方法
演绎推理
定义
演绎推理是根据某些前提，通过推理得出结论的思维 方式。在离散数学中，演绎推理通常涉及逻辑推理、 集合推理、量词推理等。
形式化
演绎推理通常采用的形式是三段论，即大前提、小前 提和结论三个部分。例如，所有的偶数都是整数（大 前提），4是偶数（小前提），所以4是整数（结论） 。
蕴含
用if...then或者⇒表示，如“if John is a student, then Mary is a teacher”
逻辑量词：全称量词和存在量词
全称量词
用for all或者∀表示，如“for all x, x>0”
存在量词
用exists或者∃表示，如“exists x, x>0”
离散数学之谓词逻辑共60页
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
离散数学的谓词逻辑详解
“存在x， ┐ P(x)是真”
如: “有些有理数是整数。” 令Ｉ(x）：x是整数， 设x的个体域为有理数集合，则命题可表示为： x I(x）
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4. 论 域
含有量词的命题的表达式的形式，与论域有关。用量词量化 后的命题，其值也与论域有关。 例 1 x（x=0) 若论域为整数集，则此命题值为真， 若论域为正整数集，则命题的值为假。
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变元的约束
令 P（x， y）：“ x<y ”， Q（x）：x是有理数； F（x）：x可以表示为分数。 判断下列式子那些是命题函数，那些是命题？ 例1 ：
P(x， y) P(x， y)∧Q(x) Q(x) → F(x) x（Q(x)→ F(x)) x Q(x)→ F(x)
为了方便，引入全总个体域，记为：U，简称全域: 定义:宇宙间所有的个体聚集在一起所构成的集合称为全域。
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特性谓词
后面的讨论中，除特殊说明外，均使用全域。而对个 体变化的真正取值范围，用特性谓词加以限制。
一般地，对全称量词，特性谓词作蕴含的前件引入；而 对存在量词，特性谓词常作为合取项引入。
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3. 量词
使用前面介绍的概念，还不足以表达日常生活中的 各种命题。 例如： “ 所有的正整数都是素数 ” “ 有些正整数是素数 ” 两种量词: 全称量词和存在量词.
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全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
定义：一个n元函词即是一个论域Ｄ上的一个n元函数．
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概念的讨论
离散数学第五章__谓词逻辑
自由变元，关键是要看它在A中是约束出现，还
是自由出现。
例 指出下列各合式公式中的量词辖域、个体变元 的约束出现和自由出现。 (1) (x) (P(x)→(y) Q(x,y)),量词(x)的辖域是 P(x) → (y) Q(x,y),量词(y)的辖域是Q(x,y),对 于(y)的辖域而言，y为约束出现，x为自由出 现。对于(x)的辖域而言，x和y均为约束出现， x约束出现2次，y约束出现1次。 (2) (x) H(x)∧L(x,y),量词(x)的辖域是H(x) ，x 为约束出现，L(x,y)中的x和y都为自由出现。 对于整个公式而言，x的约束出现1次，自由出 现1次，y自由出现1次。
一些大学生有远大理想 (x)(S(x)∧I(x))
④令N(x)：x是自然数， P(x)：x是素数。则 有的自然数是素数 (x)(N(x)∧P(x))
在该例的解答中，由于命题中没有指明个
体域，这便意味着各命题是在全总论域中讨论，
因而都使用了特性谓词，如S(x)、N(x)。 而且还可以看出，量词与特性谓词的搭配 还有一定规律，即全称量词后跟一个条件式， 而特性谓词作为其前件出现；存在量词后跟一 个合取式，特性谓词作为一个合取项出现。
２.原子谓词
原子命题的谓词形式还可以进一步加以抽象， 比如在谓词右侧的圆括号内的n个个体常元被 替换成个体变元，如x1,x2,· · · ,xn，这样便得了 一种关于命题结构的新表达形式，称之为n元 原子谓词。 定义5.1.3 由一个谓词(如P)和n个体变元(如x1， x2，…，xn)组成的P(x1，x2，…，xn)，称它为 n元原子谓词或n元命题函数，简称n元谓词。 而个体变元的论述范围，称为个体域或论域。
当n=1时，称一元谓词，如S(x) 当n=2时，称为二元谓词，如P(x，y) … 特别地，当n=0，称为零元谓词。
离散数学 谓词逻辑
例1 给定解释I1如下：
(1)个体域为自然数集合N； (2)N中的特定元素a=0； （3）F(x,y):x大于或等于y. 在解释I1下,求下列各式的真值： (1)(∀x)F(x,a)；(2)(∀x∃y)F(x,y) 解 在解释I1下,公式分别解释为： (1)任何自然数都大于或等于零, 为真命题.
(2)对任一自然数x,都存在一自然数y使得x≥y, 为真命题.
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例子
［例2-1.1］ 张明是位大学生。 解：设S(x)：x是大学生,c：张明, 一元谓词：表 则原句的谓词形式为S(c)。 示客体性质 ［例2-1.2］我坐在张三和李四中间。 解：设S(x,y,z)：x坐在y和z之间,i：我,z：张 三,l：李四, 多元谓词：表 示客体间关系 则原句的谓词形式为S(i,z,l)。
★从以上两命题的符号化可以看出,同一命题在不同个体域下 符号化的形式可能不同。
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这里,M(x)称为特性谓词。应该注意 的是,全称量词和存在量词符号化时,引入 特性谓词时的形式是不同的。 用全称量词 符号化时,特性谓词作为条 件式的前件； 用存在量词符号化时则作为合取式的一 项。
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对于任一给定的实数x,都存在着一个实数y,使得 x+y=0。 如果取个体域为实数集合 ∀ x ∃ y H(x, y ) 然而 ∃ y ∀ x H(x, y )： 存在着一个少数y,对于任一实数x,使得x+y=0
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谓词的表示
客体词有两种：客体常元和客体变元。客体常 元表示具体的或特定的客体,一般用小写字母 a、b、c等表示；表示抽象的或泛指的客体的 词称为客体变元,常用小写字母x、y、z等表 示。 谓词,通常用大写的字母A、B、C等表示。
谓词填式：单独一个谓词不是完整的命题, 把谓词字母后填以客体所得的式子。
离散数学谓词逻辑python
离散数学谓词逻辑python离散数学是计算机科学中的一门重要学科，它研究离散对象及其相互关系的数学理论和方法。
谓词逻辑是离散数学中的一个重要概念，它用于描述和推理关于对象之间的关系和性质。
在本文中，我们将介绍谓词逻辑在Python编程语言中的应用。
谓词逻辑是一种用于描述和推理关于对象之间关系的形式系统。
它由一组谓词、变量和逻辑连接词组成。
在谓词逻辑中，谓词用于描述对象的性质或关系，变量用于表示未知对象，逻辑连接词用于构建复杂的命题。
在Python中，我们可以使用谓词逻辑来表示和处理关于对象之间的关系和性质。
Python的谓词逻辑库提供了一些函数和方法，可以实现谓词逻辑的基本操作，如命题的合取、析取、否定、存在量化和全称量化等。
在Python中，我们可以使用符号或者关键字来表示谓词逻辑中的各种操作。
例如，我们可以使用符号"∧"表示合取操作，使用符号"∨"表示析取操作，使用关键字"not"表示否定操作，使用关键字"exists"表示存在量化，使用关键字"forall"表示全称量化等。
下面是一个简单的例子，演示了如何使用Python的谓词逻辑库来表示和处理关于人和年龄的关系：```pythonfrom sympy import symbols, Predicate, And, Or, Not, Exists, ForAll# 定义谓词和变量Person = symbols('Person')Age = symbols('Age')Young = Predicate('Young', Age)Old = Predicate('Old', Age)# 定义谓词逻辑公式formula = And(Exists(Person, Young), ForAll(Person, Old))# 打印谓词逻辑公式print(formula)```上述代码中，我们首先引入了Python的谓词逻辑库，并定义了谓词"Young"和"Old"以及变量"Person"和"Age"。
离散数学 第五章
5.1 一阶逻辑等值式与置换规则定义5.1设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若A B是永真式，则称A与B 是等值的。
记做A B，称A B是等值式。
谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关等值式类似。
下面主要讨论关于量词的等值式。
一、基本等值式第一组代换实例由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的永真式，因而第二章的16组等值式给出的代换实例都是一阶逻辑的等值式的模式。
例如：xF(x)┐┐xF(x)x y(F(x,y)→G(x,y))┐┐x y(F(x,y)→G(x,y))等都是(2.1)式的代换实例。
又如：F(x)→G(y)┐F(x)∨G(y)x(F(x)→G(y))→zH(z)┐x(F(x)→G(y))∨zH(z))等都是(2.1)式的代换实例。
第二组消去量词等值式设个体域为有限域D={a1,a2,…,a n}，则有(1)xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(a n)(2)xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(a n) (5.1)第三组量词否定等值式设A(x)是任意的含有自由出现个体变项x的公式，则(1)┐xA(x)x┐A(x)(2)┐xA(x)x┐A(x)(5.2)(5.2)式的直观解释是容易的。
对于(1)式，“并不是所有的x都有性质A”与“存在x没有性质A”是一回事。
对于(2)式，“不存在有性质A的x”与“所有x都没有性质A”是一回事。
第四组量词辖域收缩与扩张等值式设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，B中不含x的出现，则(1)x(A(x)∨B)xA(x)∨Bx(A(x)∧B)xA(x)∧Bx(A(x)→B)xA(x)→Bx(B→A(x))B→xA(x) (5.3)(2)x(A(x)∨B)xA(x)∨Bx(A(x)∧B)xA(x)∧Bx(A(x)→B)xA(x)→Bx(B→A(x))B→xA(x) (5.4)注意：这些等值式的条件。
第五组量词分配等值式设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则(1)x(A(x)∧B(x)）xA(x)∧xB(x)(2)x(A(x)∨B(x)）xA(x)∨xB(x) (5.5)二、基本规则1．置换规则设Φ(A)是含公式A的公式，Φ(B)是用公式B取代Φ(A)中所有的A之后的公式，若A B，则Φ(A)Φ(B).一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置换规则形式上完全相同，只是在这里A，B 是一阶逻辑公式。
离散数学L5谓词逻辑2
– 这个条件很容易满足:对约束变元改名即可.
Lu Chaojun, SJTU
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基本等值式(4)
• 量词对的分配律
(x)(P(x) Q(x)) (x)P(x) (x)Q(x) (x)(P(x) B) (x)P(x) B (x)(B P(x)) B (x)P(x) (x)(P(x) B) (x)P(x) B (x)(B P(x)) B (x)P(x) – 其中B不含x的自由出现!
Lu Chaojun, SJTU
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约束变元换名规则
• 约束变元的名字是无关紧要的. • 换名规则:对于公式(x)A(或(x)A),设变 元y不在A中出现,将A中所有受此量词约 束的x出现都换成y得到A,且量词改成 (y)(或(y)).得到的公式(y)A (或(y)A ) 与原公式等值.
所有人要么是男人要么是女人.
(x)Man(x)(x)Woman(x)
要么所有人都是男人,要么所有人都是女人.
Lu Chaojun, SJTU
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基本等值式(3)
• 量词对及的分配律
(x)(P(x)B) (x)P(x) B (x)(P(x)B) (x)P(x) B (x)(P(x)B) (x)P(x) B (x)(P(x)B) (x)P(x) B – 其中B不含x的自由出现!
– 只有普遍有效的公式A ,才与其-前束范式是 等值的. – 一般的公式与其-前束范式并不等值. – 用于FOL完备性的证明.
Lu Chaojun, SJTU
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例:-前束范式
求(x)(y)(u)P(x,y,u)的-前束范式(P中无量词). 1.先求前束范式.本例已是. 2.关键一步:(y)改写成(y)...(z).形如 (x)((y)(u)(P(x,y,u) S(x,y)) (z)S(x, z))
离散数学谓词逻辑
法律中的谓词逻辑
法律推理
法律推理中广泛使用了谓词逻辑，通过 定义相关的谓词和关系，可以清晰地表 达法律条款和案例，并利用逻辑推理得 出结论。
VS
法律文本分析
法律文本分析中利用谓词逻辑对法律文本 进行语义分析和理解，提取关键信息，提 高法律工作的效率和准确性。
心理学中的谓词逻辑
认知心理学
认知心理学中利用谓词逻辑来描述和解释人 类的认知过程，例如概念形成、推理和判断 等。
存在量词消解
如果P(x)是一个存在命题，且Q(x)是一个全称命题，且P(x)和Q(x)之间存在某种关系，那么可以推断 出R(x)成立。
形式化证明
前提条件
证明一个命题需要基于其他命题或公理。
01
推导步骤
使用推理规则将前提条件转化为结论。
02
03
证明结构
由一组前提条件、推导步骤和结论组 成的结构。
04
谓词逻辑的应用
人工智能中的谓词逻辑
推理和决策
人工智能在推理和决策方面应用了谓词逻辑，例如在专家系统中使 用谓词逻辑来表示和推理知识。
自然语言处理
自然语言处理中的语义分析部分广泛使用了谓词逻辑，通过将自然 语言转换为谓词逻辑表示，可以进行更准确的理解和推理。
机器学习
机器学习算法可以利用谓词逻辑进行特征提取和分类，提高学习效率 和准确性。
离散数学谓词逻辑
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目 录
• 离散数学概述 • 谓词逻辑基础 • 谓词逻辑的推理规则 • 谓词逻辑的应用 • 离散数学的其他分支 • 离散数学与计算机科学的关系
01
离散数学概述
定义与特点
定义
离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科。它包括许多分支，如数理逻辑、图论、组合数学、代数 结构等。
离散数学 第五-六章
例 题4
设集合A={ ,}, A上定义的二元运算如表所示. 对*可分配吗? * 对 ?
代数结构 >运算性质
定义5-2.6 设,△是定义在集合A上的两个二元运 算,如果对 x y∈A,都有 x (x△y) = x x△(x y) =x 则称运算和运算△满足吸收律。
代数系统 >代数系统的引入
二元运算的例子 • N上 +, 是N上二元运算,而-, 不是. • 整数集I上 +,-, 是I上的二元运算, 而 不是. • R-{0}上的 , 是R-{0}上的二元运算,而+,-不是. • 矩阵的 +, 是N阶实矩阵集合上的二元运算,但不是 全体实矩阵集合上的二元运算. • ,,, 是真值集合{0,1}上 的二元运算. • ,, 是幂集P(A)上的二元运算. 一元运算的例子 • R上的 求绝对值|X|运算. • 整数 I上求负运算是一元运算,但不是N上的一元运算.
n 例如 实数集上的+, ; 集合上的运算, ;,命题 集合P上的,都是可结合的.
例题3
A为非空集合,*定义为:对任意的a,bA,有 a*b=b. 证*可结合的.
代数结构 >运算性质
定义5-2.4 设是定义在集合A上的一个二元运算, x∈A,若xx=x,称x是等幂元; 若对x∈A,都有
2 独异点(monoid)
定义5-3.3 含有幺元的半群称为独异点。 独异点的判定: 对给定集合S 及运算*, 1)是封闭的, 即对x,y∈S, 有 xy∈S (是代数系统) 2)是可结合的,即对x,y,z∈S, 有(x y) z= x (y z) 3) 有幺元,即e∈S, 对x∈S,有ex=xe=x. 例如 <R, +>是独异点,幺元为0, <I+,+ >不是. <R, * >, <I, * >都是独异点,幺元为1 <{0,1}, > , <{0,1}, >都是独异点,幺元分别为0和1. < P(S), >和 < P(S), >是独异点?
离散数学谓词逻辑.ppt
三、量词和全总个体域 1.量词
使用前面介绍的概念，还不足以表达日常生活中 的各种命题。
例如：对于命题 “ 所有的正整数都是素数 ”
和 “ 有些正整数是素数 ” 仅用个体词和谓词是很难表达的。 量词 在命题里表示数量的词。
（1） 全称量词
“ x”
x D（x）， 如“所有人都是要死的。”可表示为
三、换名规则和代入规则 1.换名规则
对约束变元进行换名，使得一个变元在一个 公式中只呈一种形式出现。 （1）约束变元换名时，该变元在量词及其辖域 中的所有出现均须同时更改，公式的其余部分不 变； （2）换名时，一定要更改为该量词辖域中没有 出现过的符号，最好是公式中未出现过的符号。
例8
对公式 进 x(P(x, y) yz (u, v, z) ) S(x, z)
x或 x的辖域。x在公式的x约束部分的任一出现都称为
x的约束出现。 公式中约束出现的变元是约束变元 当x的出现不是约束出现时，称x的出现是自由出 现 。 自由出现的变元是自由变元。
例7
指出下列各公式中的量词辖域及自
由变元和约束变元。
( 1 ) x y (( P ( x ) Q ( y )) zR ( z ))
行换名，使各变元只呈一种形式出现。
解 需对x，y换名
u(P(u, y) v Q(u, v, z)) S(x, z)
错误法： u(P(u, v) vQ(u, v, z)) S(x, z)
u(P(u, y) zQ(u, z , z)) S(x, z)
2.
代入规则
谓词、个体词和量词 谓词演算公式 谓词演算的永真公式 谓词演算的推理理论
谓词、个体词和量词 例
05-L.02 谓词逻辑的归结推理
离散数学基础2017-11-19•一些基本定义：−谓词公式中原子或原子的否定形式称为文字。
−文字的析取式称为子句。
−不包含任何文字的子句称为空子句。
»空子句是不可满足的。
−若干相互形成合取关系的子句以集合元素的形式构成集合，称为子句集。
•定理：谓词公式的子句集化归−任何谓词公式都可应用谓词逻辑等值式及推理规则化成相应的子句集。
−过程（构造性证明）：(1)蕴涵消去：消去条件蕴涵符号；(2)否定词深入：否定词直接作用在原子上；(3)变量标准化：处于不同量词辖域的约束变量根据易名规则使用不同的变量名；(4)消去存在量词：对不受约束的存在量词，使用常量符号例化；对被约束的存在量词，引入Skolem函数建立依赖；(5)化为前束形： （前缀）（母式），前缀包含全称量词串，母式中不包含任何量词；(6)将母式化为合取范式；(7)消去全称量词（自由变量默认全称量化）；(8)由(6)中各极大项构成子句；(9)变量分离：使各子句不含同名变量。
•例：∀xP(x)→∀x∃y((P(x)∨Q(x))→R(x, y))¬ ∀xP(x) ∨ ∀x∃y(¬(P(x) ∨ Q(x)) ∨ R(x, y)) 蕴涵消去∃x¬P(x) ∨ ∀x∃y ((¬P(x) ˄ ¬Q(x)) ∨ R(x, y))否定词深入∃x¬P(x) ∨ ∀z∃y ((¬P(z) ˄ ¬Q(z)) ∨ R(z, y))变量标准化¬P(c) ∨ ∀z((¬P(z) ˄ ¬Q(z)) ∨ R(z, f Skolem(z))消去存在量词∀z(¬P(c) ∨ ((¬P(z) ˄ ¬Q(z)) ∨ R(z, f Skolem(z))) 化为前束形∀z((¬P(c) ∨ ¬P(z) ∨ R(z, f Skolem(z)) ˄(¬P(c) ∨ ¬Q(z) ∨ R(z, f Skolem(z)))将母式化为合取范式¬P(c) ∨ ¬P(z) ∨ R(z, f Skolem(z), ¬P(c) ∨ ¬Q(z) ∨ R(z, f Skolem(z) 消去全称量词 {¬P(c) ∨ ¬P(u) ∨ R(u, f Skolem(u), ¬P(c) ∨ ¬Q(v) ∨ R(v, f Skolem(v)} 变量分离−说明：»子句中的变量总是被默认为全称量化的；»化归得到的子句集不等价于原公式；»考虑到量词消去和引入规则的应用，若公式 A 在逻辑上遵循公式集 S，则也遵循由 S 变换成的子句集。
离散数学谓词逻辑
离散数学谓词逻辑
1.谓词逻辑基本概念
能够独立存在的具体或抽象的事物，称之为个体，也称之为客体。
通常用小写英文字母a、b、c…表示
例如：小张、小李、8，a，沈阳，社会主义都是客体。
个体常项:具体的或特定的个体。
常用a,b,c,…等小写字母表示
个体变元:泛指某一个个体。
常用x,y,z,…等小写字母表示
谓词：用以刻化个体属性或者表达个体之间关系的词，即为谓词。
谓词用大写字母表示。
谓词也有常项与变项之分。
表示具体性质与关系的谓词称为谓词常项。
泛指某–性质或关系的谓词称为谓词变项。
将不带个体变元的谓词称为0元谓词。
例如，S(a)，G(3,7) 等。
当谓词是常项时，0元谓词是命题;否则当谓词是变项时，0 元谓词是命题变元。
含有n个变元的命题函数是以个体域为定义域，以{ F,T }为值域的n元函数。
注意:命题函数本身并不是命题，只有在括号内填入足够的具体客体，或用足够的量词约束后才变成命题。
个体变元的取值范围，称之为个体域，也称之为论域。
由所有个体构成的个体域，称之为全总个体域。
它是“最大的个体域。
约定:对于一个命题函数，如果没有指明其个体域，则假定其个体域是全总个体域。
离散数学(第五章)
令 x的个体(gètǐ)域为正整数。 A(x)：x是奇数 B(x)：x是偶数
x (A(x) B(x)) 存在既是奇数又是偶数的正整数。
x A(x) x B(x) 存在为奇数的正整数且存在为偶数的正整数。
共五十六页
§2.3 一阶逻辑(luójí)等值式与置换规则
量词与联结词∧，∨的关系(guān xì)总结： 1)
共五十六页
§2.3 一阶逻辑(luójí)等值式与置换规则
例：设个体域是整数集，则下列命题(mìng tí)的真值为真的是 （）
A． y x(x·y=1)
B． x y (x·y≠0)
C． x y (x·y=y2)
D． y x(x·y=x2)
共五十六页
§2.3 一阶逻辑(luójí)等值式与置换规则
(A(a1)B(a1)) …. (A(an)B(an)) (A(a1)… A(an)) (B(a1)… B(an)) xA(x) x B(x)
共五十六页
§2.3 一阶逻辑等值式与置换(zhìhuàn)规 则 ∀x(A(x)∨B(x)) ⇔ ∀x A(x) ∨∀x B(x)？
举例(jǔ ： lì) 令 x的个体域为正整数。
(x)P(x) ❖ 可以看出命题(1)(2)意义完全相同，(3)(4)意义也完全相同
共五十六页
§2.3 一阶逻辑等值式与置换(zhìhuàn)规则
（2）量词否定(fǒudìng)转换律 ¬xP(x) x¬P(x) ¬xP(x) x¬P(x)
下面证明：¬xP(x) x¬P(x) 设个体域为： S={a1,a2,…an} ¬xP(x) ¬(P(a1) P(a2) … P(an))
上述二命题的否定为： (a)上海不是一个小城镇 ¬A(s) (b)有一些自然数不是偶数 ¬x(N(x)E(x))x¬(N(x)E(x)) x¬(¬N(x)E(x)) x (N(x) ¬E(x)) 结论：对于非量化命题的否定只需将动词否定，而对于 量化命题的否定不但对动词进行否定而且对量词同时 进行否定，其方法是： x的否定变为x ， x的否定变 为x 。
离散数学 谓词逻辑
离散数学谓词逻辑
哎呀呀，啥是离散数学里的谓词逻辑呀？这对我这个小学生来说，简直就像天上的星星，看着亮晶晶，却怎么也够不着！
老师在课堂上讲谓词逻辑的时候，我感觉自己就像掉进了一个大大的迷宫。
我瞪大眼睛，竖起耳朵，可还是听得云里雾里。
比如说，老师说：“谓词就像是给事物贴上的标签。
”我就在心里想，这怎么能像标签呢？标签多简单呀，一撕一贴就完事儿了。
可这谓词，怎么就这么复杂呢？
我忍不住问同桌：“你听懂了吗？”同桌皱着眉头摇摇头说：“我也迷糊着呢！”我俩你看看我，我看看你，一脸的无奈。
后来老师又举例子，说：“‘所有的学生都在努力学习’，这里面‘所有的’就是一个谓词。
”我就更懵啦，这“所有的”怎么就成谓词啦？
我举手问老师：“老师，那‘有的同学喜欢数学’，这里面‘有的’也是谓词吗？”老师笑着点点头，说：“对呀，你很会思考！”可我还是不太明白呀！
回到家，我跟爸爸妈妈说起谓词逻辑，爸爸说：“这就像搭积木，每个积木块都有它的作用和位置。
”妈妈接着说：“对呀，谓词就是那些能让你把逻辑大厦搭得更稳的关键积木。
”
可我还是觉得好难好难，这谓词逻辑到底有啥用呢？难道就是为了让我们这些小学生头疼吗？
不过，我可不会轻易放弃！我一定要把这个谓词逻辑搞明白，就像我解开一道很难很难的数学题一样！我相信，只要我努力，总有一天我能在这个迷宫里找到出口！
我觉得呀，学习就像一场冒险，虽然会遇到像谓词逻辑这样的大怪兽，但只要我们勇敢面对，总有办法打败它们！。
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第五章 谓词逻辑
本章可视为前一章的深入和提高； 由于命题逻辑的局限性我们必须 引入谓词逻辑.学习本章时要求掌 握好谓词与命题的关系、量词、 辖域、公式等概念.比较谓词公式 的等价、蕴涵与命题公式相应的 概念的异同；能将自然语言符号 化；能用谓词逻辑进行推理；理 解前束范式的意义.
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第五节 谓词演算的演绎与推理
与命题逻辑中的推理一样,谓词逻辑中的推理 也是利用公式间的各种等价关系，蕴涵关系. 通过一些推理规则，从已知的公式推出某些 新的公式.且命题逻辑的推理规则在谓词逻辑 中仍可使用,但由于谓词逻辑中引进了个体词， 谓词和量词，因此我们还必须添加一些与量 词有关的推理规则,
1.添加的推理规则是:全称特定规则、存在特定 规则、全称推广规则、存在推广规则;
第一节 谓词与量词
本节的主要内容有: 1.给出了谓词与量词两个概念,其中量词又
分为全称量词与存在量词； 2.给出许多自然语言符号化的例子； 3.初步体会到应用谓词与量词后,逻辑表达
能力大为加强.
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第二节 公式与解释
本节主要内容有: 1.给出了4种符号,即常量符号、变量符号、函
第四节 前束范式
范式是解决公式的标准表示形式问题.在 一阶逻辑性中同样有范式的概念并且范式 也不只一种.但我们仅介绍一种范式—— 前束范式
1.前束范式的定义； 2.前束范式的存在性,即一阶逻辑中的任意
公式，都存在一个与之等价的前束范式； 3.前束范式的求法,见书中给出的例子.
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与命题逻辑一样，一阶逻辑也有等价与蕴 涵的问题,考虑了下列问题:
1.量词与否定联结词之间的关系 ; 2.量词辖域的扩张与收缩规律； 3.量词与联结词之间的13个基本等价式； 4.5个基本蕴涵式； 5.改变公式的两个量词排列次序的变化规律； 6.对偶式的概念与对偶原理
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2.此外本节给出许多例子说明推理方法.
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本章小结
本章讨论问题的方式与前一章基本上是平 行的，首先认识到前一章的命题的局限 性进而引入了谓词，并在此基础上定义 了公式以及公式的解释、等价、蕴涵、 前束范式等，然后用等价式、蕴涵式等 进行推理，与命题逻辑相比，谓词逻辑 的内容较为丰富也较为复杂.
数符号、谓词符号的定义;
2.在4种符号的基础上,定义了项,在项和谓词 的基础上定义原子,在原子的基础上用递归 的方法定义了公式；
3.公式的指导变元、辖域、约束变元、自由 变元及变元的改名规则;
4.命题的解释或赋值的概ห้องสมุดไป่ตู้； 4.恒真、恒假公式的定义;
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第三节 等价与蕴涵