《概率论》第1章§3等可能概型
1-4 等可能概型(古典概型)
n
1
证：从n个不同的元素中取出n1个元素有 n n !( n n )! 种取法；
1 1
n!
(n n1 )! 再从剩下的n-n1个元素中取出n2个元素有 n !(n n n )! 2 1 2
组合分析的两条基本原理
火车2次 火车
成都
汽车3次
重庆
成都
汽车
重庆
火车 飞机 轮船
武汉
共有23=6种方法 共有2+3=5种方法 1.加法原理 若完成一件事有两种方式，第一种方式有n1种方法， 第二种方式有n2种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事，
则完成这件事总共有n1+n2种方法。 2.乘法原理 若完成一件事有两个步骤，第一个步骤有n1种方法，
种分法。
例题7
例7 将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中
种取法；„
从最后剩下的n-(n1+n2+„+nk-1)个元素中取出nk个元素有
[n (n1 n2 nk 1 )]! 种取法。 nk ![n (n1 n2 nk )]!
按乘法原理，n个不同的元素，分成k组，每组分别有n1,n2,„,nk 个元素,应该有
[n (n1 n2 nk 1 )]! n! (n n1 )! n! n1!(n n1 )! n2!(n n1 n2 )! nk !0! n1!n2! nk !
P ( A) kA 16 4 , n 36 9
kB 4 1 . n 36 9 5 8 P( A B) P( A) P( B) , P(C ) P( B) 1 P( B) 9 9 P( B)
概率论与数理统计 第一章 1.3等可能概型
概率论
54 3 P(C) = 2 = . 所以 8 12 (2) 采取不放回抽样.
从箱子中任取两件产品,每次取一件,取法总数为12⋅ 11 . ⋅
⋅ 即样本空间中所含有的基本事件总数为 12⋅ 11 . 1 1 事件A 事件 中所含有的基本事件数为 C9C8 = 9⋅ 8 . 9⋅ 8 6 = . 所以 P( A) = 12⋅ 11 11 事件B 事件 中所含有的基本事件数为 C1C1 = 9⋅ 3 . 9 3 9⋅ 3 9 所以 P( B) = = . 12⋅ 11 44
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
概率论
我们用 i 表示取到 i 号球， 号球， i =1,2,…,10 . 则该试验的样本空间
如i =2
2
S={1,2,…,10} ,
且每个样本点(或者说基本 且每个样本点 或者说基本 事件)出现的可能性相同 事件 出现的可能性相同 . 称这样一类随机试验为古 称这样一类随机试验为古 典概型. 典概型
乘法原理
概率论
完成某件事情需先后分成m个步骤 做第一步有 完成某件事情需先后分成 个步骤,做第一步有 1 个步骤 做第一步有n 种方法,第二步有 种方法,依次类推 第二步有n 依次类推,第 步有 步有n 种方法 第二步有 2种方法 依次类推 第m步有 m种方 特点是各个步骤连续完成. 法,特点是各个步骤连续完成 特点是各个步骤连续完成 则完成这件事共有N=n1×n2×…×nm种不同的方法 则完成这件事共有 × 种不同的方法,
即样本空间中所含的基本事件数为122 . C1C1 = 92 . 事件A 事件 中所含有的基本事件数为 9 9 92 9 = 2 = . 所以 P( A) 12 16 C1C1 = 9⋅ 3 . 事件B 事件 中所含有的基本事件数为 9 3 9⋅ 3 3 所以 P( B) = 2 = . 16 12 事件C 事件 中所含有的基本事件数为
1.3 等可能概型、几何概型
人们在长期的实践中总结得到“概率 很小的事件在一次实验中几乎是不发生的” （称之为实际推断原理）。这样小概率的 事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们 有比较大的把握怀疑这是魔术. 具体地说，可以99.9%的把 握怀疑这是魔术.
2013年7月29日星期一
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
第一章 第三节 --第3页--
例如，一个袋子中装有 10个大小、形状完全相同 的球. 将球编号为1－10 . 把球搅匀，蒙上眼睛，从 中任取一球.
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
2013年7月29日星期一
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
i 1, 2,, n .
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
其中
2013年7月29日星期一
n
第一章 第三节 --第6页--
古典概型的概率计算（概率的古典定义）
确定试验的基本事件总数
设试验结果共有n个基本事件ω1，ω2，...，ωn ， 而且这些事件的发生具有相同的可能性
确定事件A包含的基本事件数
P ( A1 A2 Ak ) P ( A1) P ( A2 ) P ( Ak ) 可列可加性
排列组合是计算古典概率的重要工具 .
2013年7月29日星期一 中央财经大学《概率统计》课件--孙 博 第一章 第三节 --第8页--
“等可能性”是一种假设，在实际应用中， 需要根据实际情况去判断。在许多场合， 由对称性和均衡性，我们就可以认为基本 事件是等可能的并在此基础上计算事件的 概率.
2013年7月29日星期一 中央财经大学《概率统计》课件--孙 博 第一章 第三节 --第10页--
概率论第一章
下面我们讨论事件之间的关系与运算
1、包含关系
⑶ 两个特殊事件
必然事件U ★ 必然事件U ★ 不可能事φ 不可能事φ
3、随机试验
如果一个试验可能的结果不止一个， 如果一个试验可能的结果不止一个，且事先不能肯定 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。
例如, 掷硬币试验 例如, 寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 掷骰子试验 掷一枚硬币，观察出正还是反. 掷一枚硬币，观察出正还是反 出的灯泡的寿命. 出的灯泡的寿命 掷一颗骰子， 掷一颗骰子，观察出现的点数
第一章 随机事件及其概率
随机事件及样本空间 频率与概率 条件概率及贝努利概型
§1 随机事件及样本空间
一、随机事件及其有关概念
1、随机事件的定义
试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件” 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件” 记作A 简称“事件”。记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中 的元素。 的元素。
例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 10个大小 将球编号为1 10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。 将球编号为1－10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。
因为抽取时这些球是完全平等的， 因为抽取时这些球是完全平等的， 我们没有理由认为10个球中的某一个会 我们没有理由认为10个球中的某一个会 10 比另一个更容易取得。也就是说，10个 比另一个更容易取得。也就是说，10个 球中的任一个被取出的机会是相等的， 球中的任一个被取出的机会是相等的， 均为1/10 1/10。 均为1/10。
概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)
《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 A B 则称事件 B 包含事件 A ，指事件 A 发生必然导致事件 B 发生A B {x x A或x B} 称为事件 A 与事件 B 的和事件，指当且仅当 A ，B 中至少有一个发生时，事件 A B 发生A B {x x A且x B} 称为事件 A 与事件 B 的积事件，指当A，B 同时发生时，事件A B 发生A—B {x x A且x B} 称为事件A 与事件 B 的差事件，指当且仅当 A 发生、B 不发生时，事件 A — B 发生A B ，则称事件 A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件 A 与事件 B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的A B S A B ，则称事件 A 与事件 B 互为逆事件，又称事件 A 与事件 B 互为且对立事件2．运算规则交换律 A B B A A B B A结合律(A B) C A (B C) ( A B)C A(B C)分配律 A （B C）(A B) ( A C)A (B C)(A B)( A C)—徳摩根律 A B A B A B A B§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件 A 发生的次数n称为事件AA 发生的频数，比值n nA 称为事件 A 发生的频率概率：设E是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率1．概率P( A)满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件 A 0 P( A) 1（2）规范性：对于必然事件S P (S) 11（3）可列可加性：设A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，有nn nP A k ) P( A) ( （n可kk 1 k 1以取）2．概率的一些重要性质：（i ）P( ) 0（ii ）若A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，则有n Pn n( （n可以取）A k ) P( A )kk 1 k 1（iii ）设A，B 是两个事件若 A B ，则P(B A) P( B) P( A) ，P( B) P(A) （iv）对于任意事件A，P(A) 1（v）P( A) 1 P(A) （逆事件的概率）（vi）对于任意事件A，B 有P(A B) P( A) P( B) P( A B)§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件 A 包含k 个基本事件，即{e i } {e } {e }A ，里1 i i k] 2，k是，中某个不同的数，则有i1 i 2, ，i k 1,2 nP( A)j k1P { eij}knA包含的基本事件数S中基本事件的总数§5．条件概率（1）定义：设A,B 是两个事件，且P( A) 0 ，称P( A B)P(B | A) 为事件 A 发生的条P(A)件下事件 B 发生的条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件。
第1.3节 等可能概型
定义:
概率论所讨论的问题中,有一类问题最简单直观,这类问题
所涉及到的试验具有下面两个特征：
1)(有限性)试验的样本空间的元素只有有限个; 2)(等可能性)试验中每个基本事件发生的可能性相同. 把具有上述两个特征的试验称为等可能概型或古典概型.
例如,抛一枚质地均匀的硬币,或者出现正面或者出现反面,只
方法２ （利用对立事件的概率关系）
P ( A ) 1 P ( A ) 1 P ( A0 ) 1 C 20
甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率
为 0.85 ，乙击中的概率为 0.8 ．两人都击中的概率为
0.68 ．求目标被击中的概率．
解
设Ａ表示甲击中目标，Ｂ表示乙击中目标，
有两种结果,且每种结果出现的可能性相同.又如抛一颗骰子, 观察出现的点数,则共有6种结果,且每一种结果出现的可能性 相同.
设古典概率 E 的样本空间为 S e1 , e2 , , en .
由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同 , 即
P e1 P e 2 P e n
得 P(A1)
m A1 n
3 8
.
( 2 ) A 2 { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH }.
因此
P(A2)
m A2 n
7 8
.
例 2 一口袋装有 6 只球,其中 4 只白球、 只红球. 从 2 袋中取球两次,每次随机地取一只.考虑有放回和无放 回两种抽样,试分别就这两种情况求:(1) 取到的两只 球都是白球的概率,(2) 取到的两只球颜色相同的概 率,(3) 取到的两只球中至少有一只是白球的概率.
概率论f1-4
概率论f1-4概率论的基本概念§1-4 等可能概型目录索引等可能概型(古典概型)返回主目录第一章概率论的基本概念等可能概型1. 等可能概型(古典概型)考虑最简单的一类随机试验，它们的共同特点是：样本空间的元素只有有限个；(有限性) 每个基本事件发生的可能性相同。
(等可能性) 我们把这类试验称为等可能概型，考虑到它在概率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。
返回主目录第一章概率论的基本概念等可能概型基本事件的概率:设S ={e1, e2, 。
en }, 由古典概型的等可能性，得P ({e1 }) P ({e2 }) P ({en })又由于基本事件两两互不相容，所以1 P ( S ) P ({e1 }) P ({e2 }) ( P{en }),1 P ({ei }) , n i 1,2, , n.返回主目录第一章概率论的基本概念随机事件的概率:若事件A 包含k 个基本事件，即等可能概型A {en1 , en2 , , enk }则有：k P ( A) P ({eni }) n i 1kA包含的基本事件数即：P ( A) . S中基本事件总数例1 将一枚硬币抛掷三次。
设：事件A1=“恰有一次出现正面”返回主目录第一章概率论的基本概念事件A2 =“至少有一次出现正面”, 求P (A1 ), P (A2 )。
解：根据上一节的记号，E2 的样本空间S2={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT TTH,TTT},等可能概型n = 8,即S2 中包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同，属于古典概型。
A1为“恰有一次出现正面”,A1={HTT, THT, TTH},返回主目录第一章概率论的基本概念等可能概型k = 3,k 3 P ( A 1) = = , n 8事件A2=“至少有一次出现正面”,A2={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH }k2 = 7 ,k2 7 P ( A 2) = = , n 81 另解: 由于A2 = {T T T}, k A 2 = 1 ,P ( A 2 ) = = , n 8A2k1 7 P ( A2 ) = 1 P ( A2 ) = 1 = . 8 8返回主目录第一章概率论的基本概念等可能概型例2 一口袋装有6 只球，其中4 只白球、2 只红球。
概率论与数理统计-《概率论》第1章§4等可能概型-文档资料
l
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概率论的基本概念
19/16
蒲丰投针试验
例 1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针 试验问题.平面上画有等距离为a(>0)的一些平行直 线,现向此平面任意投掷一根长为b( <a )的针,试求 针与任一平行直线相交的概率.
解： 以x表示针投到平面上时, a 针的中点M 到最近的一条平行 直线的距离, 表示针与该平行直线的夹角.
第一章
概率论的基本概念
22/16
蒲丰投针试的验应用及意义
根据频率的稳定性,当投针试验次数n很大时, m 算出针与平行直线相交的次数m, 则频率值 即可 n 作为P( A)的近似值代入上式, 那么
2b P ( A) aπ
m 2b 2bn , π . am n aπ
利用上式可计算圆周率 π 的近似值.
M x
那么针落在平面上的位置可由( x, )完全确定.
第一章 概率论的基本概念
20/16
投针试验的所有可能结果 与矩形区域 a S {( x, ) | 0 x , 0 } 2 中的所有点一一对应. 由投掷的任意性可知, 这是一个几何概型问题. 所关心的事件
a
3/16
抛两枚硬币，求出现一个正面一个反面的概率 该试验的样本空间为
S {HH, HT, TH, TT} 这是一个古典概型,事件 A : “一个正面一个反面”的有利 场合是 HT, TH P( A) 2 1 4 2
18世纪著名的法国数学家达朗贝尔 取样本空间为
S {HH, HT, TT}
14/16
(约会问题) 两人相约7点到8点在某地会面，先 到者等候另一人20分钟，过时离去。试求这两人能会面 的概率。 设 x, y分别表示两人达到的时间， 则两人能会面的充要条件是
等可能概型
第一章 概率论的基本概念
333 2000
等可能概型
250 83 P ( A) , 同理得 : P ( B) , P ( AB) . 2000 2000 其中 B ={8, 16, … 2000 }, AB = {24, 48 … 199 2 }，
AB 为“既被 6 整除又被 8 整除”或“能被 24 整除”
所以，
b Pk 1 b a b 1 P A ． ab Pk ab
注意：结果与 i 无关．
此结果适用于：抓阄，买彩票等问题
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第一章 概率论的基本概念
等可能概型
例 6 在 1~2000 的整数中随机的取一个数，问取 到的整数既不能被 6 整除，又不能被 8 整除的概 率是多少？ 解：设 A 为事件“取到的整数能被 6 整除”， B 为 “ 取到的整数能被 8 整除”，则所求的概率为：
n N n
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第一章 概率论的基本概念
等可能概型
该数学模型可用于许多实际问题：
n(n 365)个人在365天的生日,可看成是n个球 放入365个盒子中。随机取n ( 365) 人他们的生日 各不相同的概率为
365 364 ( 365 n 1) P ( A) , n 365
率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。
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第一章
概率论的基本概念
等可能概型
基本事件的概率:
设 S ={e1, e2, …en }, 由古典概型的等可能性，得
P({e1 }) P({e2 }) P({en })
又由于基本事件两两互不相容，所以
1 P ( S ) P ({e1 }) P ({e2 }) ( P{en }),
概率论课件1-3,武大
μ(G ) G的面积 P ( A) μ( S ) S的面积
b 0 2 sin d a π 2 b 2b . a aπ π 2
π
o
蒲丰投针试验的应用及意义
2b P ( A) aπ 根据频率的稳定性, 当投针试验次数n 很大时 , m 测出针与平行直线相交的次数 m , 则频率值 即可 n 作为 P ( A) 的近似值代入上式, 那么 2bn m 2b π . n aπ am
212 p 12 0.0000003 . 7
小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的 , 从而可 知接待时间是有规定的.
例3 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天是等可 能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少有2人生日相 同的概率.
解
64 个人生日各不相同的概率为
365 364 ( 365 64 1) p1 . 64 365
4.古典概型的基本模型之二:球放入杯子模型
(1)杯子容量无限 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.
3
3
3
3
4个球放到3个杯子的所有放法
3 3 3 3 34 种,
4 种 2
P ( AB ) P ( A B ) 1 P ( A B)
1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}.
333 2000 因为 333 334, 所以 P ( A) , 6 2000
2000 由于 250, 8
250 故得 P ( B ) . 2000
四、小结
最简单的随机现象 古典概型
《概率论与数理统计》1-123(频率与概率)
某一事件发生
它包含的一个样本点出现
三、事件间的关系及其运算
试验E S(样本空间) 事件A 必然事件 S 基本事件
不可能事件
A(子集) 样本点
1.事件的关系
① 包含、相等关系 A发生必然导致B发生
AB
称事件A包含于B或B包含A.
文氏图(Venn图)
A与B相等 ，记为A=B
例1: 产品有长度、直径、外观三个质量指标，
②(有﹏放﹏回﹏选﹏取﹏)从n个不同元素中有放回地抽取r个，依 次排成一列，称为可重复排列，排列数记
例 将三封信投入4个信箱，问在下列情形下各有几种 投法？ ⑴ 每个信箱至多允许投入一封信。 ⑵ 每个信箱允许投入的信的数量不受限制。 解：⑴ 无重复排列:
⑵ 可重复排列:
Ⅳ. 组合 从n个元素中每次取出r个元素，构成一组，称为从n个 元素里每次取出r个元素的组合。 组合数为 或 几个常用性质：
两两互不相容。
证明 由三公理中的可列可加性，令
则由性质1可得 所以下式成立
如果
则
①
≤
②
，0≤
≤1
(加法公式) 推广：
P11
例1 (天气问题) 某人外出旅游两天，据天气预报知： 第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3， 两天都下雨的概率为0.1 试求下列事件的概率： (1) 第一天下雨，第二天不下雨; (2) 第一天不下雨，第二天下雨; (3) 至少有一天下雨; (4) 两天都不下雨; (5) 至少有一天不下雨
解：设A、B分别表示第一、二天下雨 则 (1) (2) (3) (4) (5)
例2 (订报问题) 在某城市中，共发行三种报纸A，B，
C，订购A，B，C的用户占用分别为45%，35%，30%，
概率论等可能概型
决策理论
01
02
03
பைடு நூலகம்
决策理论是研究如何根 据不同的可能性选择最 优方案的学科，等可能 概型在决策理论中也有
着重要的应用。
在决策理论中，等可能 概型常用于描述风险决 策和不确定性环境下的
决策问题。
通过等可能概型，可以 计算期望值和期望效用 ，从而进行风险评估和 决策分析，帮助决策者
做出最优选择。
06
03
等可能概型的基本概率公式
概率的加法定理
互斥事件的概率加法定理
如果事件A和B是互斥的，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)。
完备事件的概率加法定理
如果事件A和B是完备的，那么P(A∪B)=1，且P(A)+P(B)=1。
条件概率
条件概率的定义
在事件B发生的条件下，事件A发生的 概率定义为P(A∣B)=P(A∩B)P(B)。
04
等可能概型在概率论中具有广泛的应用，如排列组合、概率分布、随 机变量等。
等可能概型的未来发展
随着大数据和人工智能的兴起，等可能概型在 数据分析和机器学习等领域的应用将得到更深
入的研究和应用。
未来，等可能概型的研究将更加注重理论证明和实际 应用的结合，以更好地服务于各个领域的发展。
随着科学技术的不断发展和概率论的深入研究 ，等可能概型的应用范围将不断扩大。
概率论等可能概型
• 引言 • 等可能概型的定义与性质 • 等可能概型的基本概率公式 • 等可能概型中的随机变量 • 等可能概型的应用 • 结论
01
引言
主题简介
概率论等可能概型是概率论的一个重 要分支，主要研究在等可能性的前提 下随机事件发生的概率。
它涉及到随机试验、样本空间、事件 、概率空间等多个概念，是概率论的 基础。
第一章 概率论的基本理论
第一章 概率论的基本理论前苏联数学家柯尔莫哥洛夫，1933年创立概率公理化体系。
⎧⎨⎩确定现象随机现象§1. 随机试验例：1E ：抛一枚硬币，观察正反面出现情况； {}1,H T Ω=2E ：将一枚硬币抛三次，观察正反面出现情况；{}2,,,,,,,HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT Ω=3E ：抛两颗色子，观察出现点数和； {}32,3,4,,12Ω=4E ：在一批灯管中任取一只，测试它的寿命； {}40t t Ω=≥ 5E ：将一尺之棰折成三段，观察各段长度；(){}5,,0,0,0,1x y z x y z x y z Ω=>>>++=特点：()()()123⎧⎪⎨⎪⎩试验可以在相同条件下重复进行；试验结果具有多种可能性，但能事先知道所有可能结果；进行试验前不能确定哪一结果出现。
满足上述特点的试验称之为随机试验，通过随机试验来研究随机现象。
§2. 样本空间 随机事件一、 样本空间随机试验E 的所有可能结果组成的集合，称为E 的样本空间。
样本空间通常用S 或Ω来表示。
（见上节）样本空间的元素——样本点。
二、 随机事件样本空间S 的子集——随机事件（事件），用,,A B C 表示；基本事件，必然事件，不可能事件。
事件A 发生⇔A 中有一样本点出现。
例1、 2E 2S1A ：第一次出现H {}1,,,A H H H H H T H T H HT T = 2A ：三个均出现T {}2A T T T =三、 事件间关系与事件的运算E S ,A B k A S ⊂1. A B ⊂ 事件B 包含事件A A 发生导致B 发生 A B =⇔A ⊂B 且B A ⊂。
2. A B ⋃1nk k A =1k k A ∞=3. A B A B ⋂1nk k A =1k k A ∞=4. A B A B -=5. A B ⋂=∅ ,A B 不相容，互斥6. A B S ⋃=且A B ⋂=∅——,A B 互逆，或对立事件 A B = A S A =- 算律同集合论例 设,,A B C 表示三个随机事件：○1 A 出现，,B C 都不出现 ABC ○2 ,A B 都出现，C 不出现 ABC ○3 三个事件均出现 ABC ○4 三个事件至少有一个出现 A B C ⋃⋃ ○5 三个事件均不出现 A B C ○6 不多于一个事件出现 ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC○7 不多于两个事件出现 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC or ABC ○8 三个事件至少有两个出现 ABC ABCABCABC○9 ,A B 至少有一个出现,C 不出现 ()A B C +⋅ ○10 ,,A B C 中恰好有两个出现 ABC ABC ABC§3. 频率与概率一、 排列、组合复习1. 不可重复排列（不放回） ()()()()!121!rn n A n n n n r n r =---+=-2. 可重复排列 (放回)n 个不同元素取r 个（未必不同）组成的排列种数 rn 3. 不可重复组合rnC n r ⎛⎫ ⎪⎝⎭4. 乘法原理、加法原理二、 频率1、E, n 次，A, A n()An n f A n=2、性质11121.0()12()13()()()()n n k n k n n n k f A f S A A f A A f A f A f A ≤≤⎧⎪=⎨⎪⎩=++……、、均不相容………… 例1， P8 例2， P9可见，n 逐渐增大-------()n f A 逐渐趋于一个常数-------------------频率稳定性-------- 统计规律性------- 概率（事件发生可能性的） -----------------概率定义三、 概率 Probability1. 定义： E S A E ⊂ 实数()P A 满足：()()()()()()()1210213,,,,,n i j P A P S A A A i j A A ⎧≥⎪⎪=⎨⎪≠⋅=∅⎪⎩非负性规范性设两两互不相容，即：时则()()()()1212nn P A A A P A P A P A =++++（可列可加性）则称P 为概率，()P A 为事件A 的概率。
第三节 等可能概型
第三节等可能概型一、古典概型二、几何概型1．试验的样本空间只含有有限个元素，即12{,,,}n Ωωωω= 2．试验中每个基本事件发生的可能性相同，即})({})({})({21n P P P ωωω=== 具有以上两个特点的随机试验称为等可能概型。
由于它是概率论发展初期的主要研究对象，所以也称之为古典概型．一、古典概型111()({}){}{}n ni i i i i P P P nP Ωωωω======∑∪1{}(1,2,,)i P i n n ω== 12{}{}{}ki i i A ωωω=∪∪ ∪1()({})j ki j k A P A P n ω====Ω∑包含的基本事件数中基本事件总数这里i 1,i 2, ···,i k 是1, 2,···,n 中某k 个不同的数，则有设实验E是古典概型，由于基本事件是两两互斥，因此从而若事件A 含有k 个基本事件，即这样就把求概率问题转化为计数问题.排列组合是计算古典概率的重要工具.基本计数原理这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的（1）加法原理设完成一件事有m 种方式，第一种方式有n 1种方法，第二种方式有n 2种方法,…；第m 种方式有n m 种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有n 1 +n 2 +…+n m 种方法.1.两个基本计数原理例如，某人要从甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火车,也可以乘轮船.火车有两班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3+ 2种方法回答是基本计数原理则完成这件事共有种不同的方法.m n n n ××× 21（2）乘法原理设完成一件事有m 个步骤，第一个步骤有n 1种方法，第二个步骤有n 2种方法,…；第m 个步骤有n m 种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？可以有种打扮3×2加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础.排列•排列：!(1)(1)()!rnn P n n n r n r =−−+=− r n n n n⋅= •重复排列：特别地，当r = n ，全排列!n n P n =从n 个不同的数中任取r 个，排成一排，共有多少种排法？2.两个计数工具——排列和组合组合•组合：!!!()!r rnn P n C r r n r ==−1rn r C +−•重复组合：从n 个不同的数中任取r 个，共有多少种取法？推广：（分组问题） 把n个不同的元素分成k 组，各组元素数目分别为 r1, r2 , ···, rk , 且r1+ r2 +··· +rk=n，则不同的分法为：C ⋅Cr1 nr2 n − r1n! ⋅⋅⋅ C = r1 !r2 !⋅⋅⋅ rk !rk rk例3 将一枚硬币抛二次（ 1 ）设事件A1为“恰好有一次出现正面” , 求P( A1 ) （2）设事件A2为“至少有一次出现正面” , 求P( A2 )设随机试验E为 : 将一枚硬币抛两次, 观察正反 解（1） 则样本空间为Ω = { HH , HT , TH , TT } Ω 中包含n = 4个元素，每个基本事件发生的可能性相同,故此试验为等可能概型. 又A1 = {HT , TH }中包含的基本事件数k = 2 故P( A1 ) = 2 / 4 = 1/ 2（2） 因为 A2 = { TT } 1 H3 T T T H H P ( A2 ) = 1 − P ( A2 ) = 1 − = 于是 4 4HT例3：30名学生中有3名运动员,将这30名学生平均分成 3组,求：（1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。
第三节 等可能概型
知识点总结
1、概率的定义 2、古典概型的求法 （1）依次摸球问题：有放回、无放回 （乘法公式） （2）一次摸出多个球的问题（组合问题） （3）投球问题（只能是依次投，乘法问题）
作业p14
2 ，4
一架飞机随机地往树林内空投一只包裹。 求这包裹落
在空地上的概率。
S0 P S
几何概率
问题：谁有办法计算 右边图形的面积，假 设方框的面积为1
我们规定A的概率定义为
u ( A) P( A) u(S )
u S 为样本空间的度量。
u A
为构成A 的子区域的度量。
此为几何概率， 其满足概率的三个公理及性质。
性要求外，还受 n 为有限的限制。 空间的基本事件数为无限的几何概率。 例9 某十字路口自动交通信号的红、绿灯， 其周期 下面介绍一种样本
为60秒， 其中由南车恰遇红灯的概率。 直观可得 例10
15 P 0.25 60
一片面积为S 的树林中有一块面积为 S0 的空地。
C C
于是所求的概率为：
C C p C 此式即为超几何分布的概率公式。
k D
nk N D
种，
k D nk N D n N
例6.
把甲、乙、丙三位学生依次随机地分配到5间
宿舍中去。假定每间宿舍可住 4人，求下列事件的概率：
1、 2、
A:
这三位学生住不同宿舍。
B: 这三位学生中至少有两位住同一宿舍.
PB PA 1 P A 0.52
例题：投球问题 将n只球随机地放入N（N≥n)个盒子中，试求每个盒子中 至多有一只球的概率（盒子的容量不限） 将n只 球放入N个盒子中,每一种方法是一基本事件
A P N
概率论主要内容概括1-3
21
概率密度函数的两个性质
连续型的概率非负性和概率完备性表现为 （1）非负性 ：f(x) 0，(- <x< +)；
＝ （2）归一性： f ( x)dx 1.
f(x)
f ( x )dx 1
0
x
22
分布函数F(x)性质F(x)=P(Xx), -<x<
(1) 0 F ( x) 1, 对一切x R成立 (2) F ( x)是x的不减函数, 即 任给x1 , x2 R, x2 x1有 F ( x2 ) F ( x1 ) (3) F () lim F ( x) 0
通常求出随机变量的分布并不是一件容易的事, 而人 们更关心的是用一些数字来表示随机变量的特点, 这 些与随机变量有关的数字, 就是随机变量的数字特征. 最常用的数字特征为数学期望, 方差等。
26
期望
EX xk pk
k 1 n
EX
xf ( x)dx
(1)E(c)=c; (2)E(aX)=aE(X); (3)E(X+b)=EX+b;
有利于A的基本事件数 m P( A) 试验的基本事件总数 n
7
概率公理化定义
注意到概率古典定义和频率定义都具有非负性、 正则性、可加性。 1933年,前苏联数学家柯尔 莫哥洛夫通过规定概率应具备的基本性质给出 一般性的公理化定义。 定义:设试验E的样本空间为Ω,对于试验E 的每 一个事件A ,即对于样本空间Ω的每一个子集A, 都赋予一个实数P(A),若P(A)满足下面3条公理： 公理1:对任何事件A,有P(A)≥0。 (非负性) 公理2:对于必然事件Ω, P(Ω)= 1。(正则性) 公理3:对于任意可列个互斥事件A1,A2,…,An, …, 满足P(ΣAi)= ΣP(Ai)。(可列可加性) 则称实数P(A)为事件A的概率。
概率论第一章 概率论的基本概念 PPT
试验者
n
nA
fn (A)
德.摩根
2048
1061
0.5181
蒲丰
4040
2048
0.5069
费勒
10000
4979
0.4979
K.皮尔逊
12000
6019
0.5016
K.皮尔逊
24000
12012
0.5005
一口袋中有6个乒乓球，其中4个白的，2个红的．有
放回地进行重复抽球，观察抽出红色球的次数。
基本事件：随机事件仅包含一个样本点ω，单点子集{ω}。 复合事件：包含两个或两个以上样本点的事件。
事件发生：例如，在试验E2中，无论掷得1点、3点还是5点， 都称这一次试验中事件A发生了。
如，在试验E1中{H}表示“正面朝上”，就是个基本事件。
两个特殊的事件
必然事件：Ω； 不可能事件：φ.
既然事件是一个集合，因此有关事件间的关系、 运算及运算规则也就按集合间的关系、运算及运算规 则来处理。
如何研究随机现象呢？
1.1.2 随机试验
例1-1： E1: 抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况； E2: 掷一颗骰子，观察出现的点数； E3: 记录110报警台一天接到的报警次数； E4: 在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命； E5: 记录某物理量的测量误差；
E6: 在区间0，1上任取一点，记录它的坐标。
1.1.3 随机事件与样本空间
v样本空间: 试验的所有可能结果所组成的集合称为 试验E的样本空间, 记为Ω. v样本点: 试验的每一个可能出现的结果（样本空 间中的元素）称为试验E的一个样本点, 记为ω.
例1-2：
分别写出例1-1各试验 Ek 所对应的样本空间
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怎样计算等可能概型中事件的概率 样本点总数
221
k P ( } P { e i k } n
A 包含的样本点个数 k 样本点总数 n A 包含的基本事件个数 k 样本点总数 n A 的有利场合数 k 样本点总数 n
（2）不放回抽样的情况，有
P( B) a A
k 1 a b 1
/A
k a b
a ab
1621
小结：求事件的古典概型应注意几点：
(1) 选择适合解决该问题的实验与样本空间， 正确计算样本空间的基本事件数，与所求事件所 含的基本事件数，避免重复计算或漏算。 (2) 利用事件间的关系与运算，把所求概率的 事件表示为容易求得其概率的一些事件的运算， 在利用概率的性质计算出所要求的概率，是常用 的方法。
2 2 60 40 5 p 9 60 2
20
x
O
20
60
2321
习题1-3： 2、 4 、5、6、7、8
1
2
n
完成这件事的方法总数
N m1 m 2 m n
821
例3 设盒中有3个白球和2个红球，现从盒中任取2 个球，求取到一红一白的概率。
解
设A={取到一红一白这一事件}，并且有：
N () C
2 5
1 1 N (A) C 3 C2
1 C 31C 2 3 P(A ) 2 5 C5
33 1 1 ， ， 200 8 25
1521
例6 袋中有a个白球，b个红球，K个人依次在袋中取一个球， （1）作放回抽样；（2）做不放回抽样，(k a b) 求第 i(i 1, 2, , k） 人取到白球（记为事件B）的概率
解：
（1）作放回抽样的情况，显然有
a P( B) ab
1721
例7 （女士品茶）一位常饮奶茶的女士称：她能从 一杯冲好的奶茶中辨别出该奶茶是先放牛奶还是先放 茶冲制而成。做了10次测试，结果是她都正确地辨别 出来了。问该女士的说法是否可信？
1821
解 假设该女士的说法不可信，即纯粹是靠运气猜对的。 在此假设下，每次试验的两个可能结果为： 奶＋茶 或 茶＋奶 且它们是等可能的，因此是一个古典概型问题。 10次试验一共有 2 10 个等可能的结果 若记
2121
设随机试验的样本空间为有界区域 D ,事件 A { 试验结果落在区域 d 中 } 发生的概率定义为 d 的面积 P ( A) D 的面积 称为几何概型
事件 A 发生的概率与位置无关,只与 A的面积有关， 这体现了某种“等可能性”
如果样本空间为有界区间、空间有界区域，则 “面积” 改为“长度”、“体积”
解 将 n个球放入 N个盒子中去，每种放法是一 个基本事件。显然这是古典概型问题。因每一 个球都可以放入N 个盒子中的任一个盒子，故 共有
N N N N
种不同的方法。
n
1221
每个盒子中至多只有一只球,共有 N ( N 1 ) [ N ( n 1 )] 种不同的方法，因此所求的概率为
2221
(约会问题) 两人相约8点到9点在某地会面，先 到者等候另一人20分钟，过时离去。试求这两人能会面 的概率。 设 x , y 分别表示两人达到的时间， 则两人能会面的充要条件是
| x y | 20
20 x y 20
y
60
y x 20 y x 20
这是一个几何概型，所求概率是
取数与次序无关
621
做一件事共有 n类方法
第一类方法有 m1 种方法 第二类方法有 m2 种方法 …… 第 n 类方法有 mn 种方法
m1
m2
mn
完成这件事的方法总数
N m1 m 2 m n
721
做一件事共有 n个步骤
第一步有 m1 种方法 第二步有 m2 种方法 …… 第 n 步有 mn 种方法
n 个人
n 只球 , 3 6 5 天
n 20 25 30 40 50 55 100 p 0.41 0.57 0.71 0.89 0.97 0.99 0.9999997
1421
例5 从1到200这200个自然数中任取一个， (1)求取到的数能被6整除的概率 (2)求取到的数能被8整除的概率 (3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率 解: N(S)=200， N(1)=[200/6]=33， N(2)=[200/8]=25 N(3)=[200/24]=8 所以有 (1)，(2)，(3)的概率分别为:
321
例1 有三个子女的家庭，设每个孩子是男是女的概 率相等，则至少有一个男孩的概率是多少? 解: H表示某个孩子是男孩，T表示某个孩子是女孩， 则样本空间： ={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT}
N (A ) 7 P( A ) N () 8
421
袋中有 a 只白球， 只黑球. 从袋中任取 n 只球， b 求取到 k ( m in ( n , a ) ) 只白球的概率. 从 a b 只球中任取 n 只，样本点总数为
p N ( N 1)
n AN [ N ( n 1)] n N Nn
思考：某班级有55 个人(n365)，问至少有两个人 的生日在同一天的概率有多大？
1321
概率论历史上有名的问题 --- 生日问题 参加某次聚会共 n个人, 求没有两人生日相同的概率
365 个盒子 n A P { n 个人生日各不相同 } 365n ,则 365 n A 结果有点出 365 P { 至少有两人生日相同 } 1 n 365 乎人们意料
k An
n ! n ( n 1) ( n k 1) (n k )!
当 k n 时，称为全排列，计算公式为 n 取数与次序有关 An n! 从 n 个不同的元素中, 任取 k ( n ) 个元素并成 一组 ，全部组合数为
k A n n! k Cn k Ak k !( n k )! n ( n 1) ( n k 1) k!
2021
古典概型的特点：
有限个样本点 基本事件的等可能性
怎样推广到“无限个样本点”而又 有某种“等可能性” ？ 某5万平方公里的海域中，大约有40平方公里的 大陆架贮藏有石油。若在这海域中任选一点进行钻探， 问能够发现石油的概率是多少？ 认为任一点能钻探到石油是等可能的, 则所求概 率为
p 40 0.0008 50000
C an b
取到 k 只白球的有利场合数为
C ak C bn k
故所求概率为
C ak C bn k pk C an b
古典概型计算中常常用到排列组合公式，以及 加法乘法原理。
521
从 n 个不同的元素中, 任取 k ( n ) 个元素, 按 照一定的顺序排成一列，全部排列个数为
N () 33
所以有
N (A ) 3!
N (A ) 3! 2 P(A ) 2 N () 3 9
P(B ) 1 P{空两合} P{全有球}
3 2 2 1 3 9 3 3
1121
例 将 n个球随机地放入 N ( N n )个盒子中去，设 盒子的容量不限，试求 每个盒子至多有一只球的概率；
121
“抛硬币” 、“掷骰子”等随机试验的特征 ： 只有有限个基本结果
每个基本结果的出现是等可能的
设随机试验 E 的样本空间为 S ,若 只含有限个样本点,即 设 A 是等可能概型的任一事件 S { e 1 , e 2 , , e n } ，则有
A { e {e {e ik } i1 , e i 2 , , e i k } { e i1 } 2} 每个样本点的出现是等可能的 ,i即 1 有利场合 P { e } P { e } P { e } ne } k P ( A ) P 1{ e i1 } P 2{ e i 2 } P { ik n n 则称该试验为 等可能概型 ,也称为 古典概型 A 包含的样本点个数
A {1 0 次 试 验 中 都 能 正 确 分 辨 出 放 奶 和 放 茶 的 先 后 次 序 }
则 A只包含了 2 10个样本点中一个样本点，故
1 P ( A ) 10 0 . 0009766 2
1921
注记 在实际应用中，概率非常接近 1 的事件可近似 地看成必然事件，称为几乎必然事件 概率非常小的事件，称为小概率事件
921
抽球问题： 一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球 ，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个 白球的概率是
C C p C
k M
n k N M n N
1021
例4 将3个球随机的放入3个盒子中去，问： （1）每盒恰有一球的概率是多少？ （2）空一盒的概率是多少？
解: 设={A:每盒恰有一球；B:表示空一盒} 因为