等可能概型

例2 一只口袋装有6只球, 其中4只白球、2只
红球. 从袋中取球两次, 每次随机地取一只, 考虑两
种取球方式: (a) 第一次取一只球, 观察其颜色后 放回袋中, 搅匀后再取一球.这种取球方式叫做放回 抽样. (b) 第一次取一球不放回袋中, 第二次从剩 余的球中再取一球, 这种取球方式叫做不放回抽样. 试分别就上面两种情况求 (1) 取到的两只球都是白球的概率; (2) 取到的两只球颜色相同的概率; (3) 取到的两只球中至少有一只是白球的概率.
N
许多问题和本例有相同数学模型.
生日问题
生日问题（投球模型）
假设每人的生日在一年365天中任一天是等可 能的,即都等于1/365, 那么随机选取 n ( 365)个人 , 他们的生日各不相同的概率为
n 365 364 ( 365 n 1) A365 n 365 365n
至少有2人生日相同的概率为
365 364 ( 365 64 1) 0.997. p 1 64 365
书25页11题（投球模型） 将3只球随机地放入4个杯子中，求杯子中球 的最大个数分别为1，2，3的概率。 解：球选杯子，总的放法为： n4 , 设 Ak 为杯子中球的最大个数是 k ( k 1,2,3), 3 A 则 (1) p( A ) 4 6 1 43 16 （2）三个中的某2个捆在一起，看作将2个球随 机放入不同的杯子中去，则有：
第四节 等可能概型(古典概型)
一、古典概型定义 二、古典概型计算公式
三、典型例题
四、小结
五、几何概型简介
一、古典概型的定义
定义 设E是随机试验 , 若E满足下列条件 : 1 试验的样本空间只包含有限个元素; 2 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
。 。
则称 E为等可能概型 , 也称为古典概型 .
例题：从1至10个数中任取一数，设每个数以1/10 的概率被取中，取后放回，先后取7个数字， 求下列事件的概率。
（1）7个数全不相同；（2）不含10和1； （3）10恰好出现两次；（4）取到的最大数为6； （5）取出的7个数形成一个严格上升的序列。
解：
67 57 ( 4) P ( D ) 0.0202 7 10 7 C10 ( 5) P ( E ) 0.000012 7 10
书25页7题（超几何模型） 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶， 黑漆4桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落， 交货人随意将这些油漆发给顾客，问一个订货为 4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆的顾客， 能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？ 解：
C C C 252 p( A ) C 2431
3 10
(1) 设事件A1为“恰有一次出现正面” 求P ( A1 ); (2) 设事件A2为“至少有一次出现正面” , 求P ( A2 ).
解 (1) 我们考虑如下的样本空间: S { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , 而
TTH , TTT } A1 { HTT , THT , TTH }.
中的任意 k 1只, 共有
k 1 (a b 1)(a b 2)[a b 1 ( k 1) 1] Aa b 1 k 1 种取法, 于是 B中包含 a Aa b 1个基本事件 , 故根据
(4.1)式得到
k 1 a A a b 1 a P( B) k ab Aa b
解
(a) 不放回抽样的情况.设
A:表示事件“取到的两只球都是白球”, B：“取到的两只球都都是红球”, C：“取到的两只球中至少有一只是白球”. 21 1 . 4 3 2 P( B) P ( A) . 6 5 15 6 5 5 7 P ( A B ) P ( A) P ( B ) . 15 14 P (C ) P ( B ) 1 P ( B ) . 15
3
2 2 C3 A4 9 p( A2 ) 3 4 16
3 1 C3 A4 1 ( 3) p( A3 ) 3 4 16
今从 例4 设有N件产品, 其中有D件是次品，
中任取 n件, 问其中恰有 k ( k D )件次品的概率
是多少? 解
在N件产品中抽取 n件, 所有可能的取法
这个模型成为超几何模型 这个分布称为超几何分布
3 4 9 17
2 3
书25页8题（超几何模型） 在1500件产品中有400件次品，1100件正品， 任取200件 （1）求恰有90件次品的概率。 （2）至少有两件次品的概率。
解：（1）设A为恰有90个次品，则
p( A )
C
90 400
C
110 1100 200 1500
C
（2）设B为至少有2个次品，则
C C 2 ( 3 ) P (C ) C
2 n
2 r 4 n 2 2r 2n
2 r 4
C ( 4) P ( D ) C
r n 2r 2n
例6 在1~2000的整数中随机地取一个数, 问
取到的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率 是多少? 解 （取数模型）
设A为事件“取到的数能被 6整除 ” ,
二、古典概型的计算公式
定理
设试验的样本空间 S包含n个元素,
事件A包含k个基本事件 , 则有
A包含的基本事件 k P ( A) n S中基本事件的总数
(4.1)式称为等可能概型中事件概率的计算公式.
古典概型的使用方法：计数
古典概型的使用工具：
加法原理，乘法原理，排列，组合
三、典型例题
例1 将一枚硬币抛掷三次.
则
3 3 C C 1 5 4 P( B) 3 20 C 10
例 3：将 n只球随机地放入 N ( N n 2)个盒子里去
（3）求第2,5个盒子是空的概率 （4）若每个盒子只能放一只球， 求第2,5个盒子是空的概率
( N 2) ( 3) p3 n N
n
来自百度文库
(4) p4
n AN 2 n
1只二等品. 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不 放回抽样. 设事件A为两次都取到一等品 试求概率 P( A). 解：
P ( A) C
2 3
C
2 4
例题：n双不同型号的的鞋，今从其中任意拿2r只, (2r n) 求下列事件的概率. （1）无一双配对（2）恰有一双配对 （3）恰有两双配对（4）恰有r双配对（取球模型）
C p( B ) 1 p( B ) 1 C
200 1100 200 1500
C C C
1 400
199 1100 200 1500
发生的可能性同.
当事件 B发生时, 第i人取的应
是白球, 它可以是 a只白球中的任一只, 有a种取法 .
其余被取的 k 1只球可以是其余 a b 1只球中
结论：
（1）P(B)与i无关，即第一个人，第二个...第k个人 做同一事件尽管次序不同，但所得概率是相同的。 （2）P(B)在有放回抽样还是无放回抽样中是一样的。
练习：设袋子中有50个球，其中红球有20个， 白球有30个，今有两个人依次随机的从袋子中各取一球， 取后不放回，则第二个人取得红球的概率是多少？
(1) P ( A) ( 2) P ( B )
C C
a
b
C C ( a b )!
ab A
ab C a b

C C
ab C
a
b
结论： （3）一次性的取k件与无放回的抽取k次 所计算的概率相同
练习： 一个盒子装有4只产品, 其中有3只一等品,
333 故得 P ( A) 2000
250 P( B) 2000
83 P ( AB ) 2000
例题：从1至10个数中任取一数，设每个数以1/10 的概率被取中，取后放回，先后取7个数字， 求下列事件的概率。 （取数模型） （1）7个数全不相同；（2）不含10和1； （3）10恰好出现两次；（4）取到的最大数为6； （5）取出的7个数形成一个严格上升的序列。 解：设这5个事件分别为A,B,C,D,E则有： 7 A10 (1) P ( A) 0.0605 7 10 87 ( 2) P ( B ) 0.2097 7 10 2 C7 95 ( 3 ) P (C ) 0.1240 7 10
解：设这4个事件分别为A,B,C,D，则有： （1）先从n双中选取2r双，再从每一双中取一只，则有
C 2 P ( A) 2r C2n
( 2) P ( B ) CC
1 n
2r n
2r
C
2r 2 n 1 2r 2n
2
2r 2
例题：n双不同型号的的鞋，今从其中任意拿2r只, (2r n) 求下列事件的概率. （1）无一双配对（2）恰有一双配对 （3）恰有两双配对（4）恰有r双配对
={最小号码大于等于5}-{最小号码大于等于6} 3 C3 C 则 1 6 5 P ( A) 3 12 C 10
在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章， 任选3人记录其纪念章的号码。 (1)求最小号码是5的概率。 (2)求最大号码是5的概率。
（2）设B={最大号码等于5} ={最大号码小于等于5}-{最大号码小于等于4}
20 2 P ( A2 ) P ( A1 ) 50 5
例题： 只白球， 只黑球， 袋子中有
(a , b N , a , b )
现用下列两种方式从中任取（a+b)个球，
求所取得球中，恰有a只白球，b只黑球的概率。 （1）从袋子中一次性抽取； （2）从袋子中无放回的抽取。
因而, n个人中至少有两人生日 相同的概率为
p 1 365 364 ( 365 n 1) 365n 我们利用软件包进行数值计算计算可得下述结果:
64 个人的班级里，生日各不相同的概率为
365 364 ( 365 64 1) p1 . 64 365
B为事件“取到的数能被8整除”, 则所求概率为
3 1 [ P ( A) P ( B ) P ( AB )] 4 2000 2000 2000 334, 250, 83 由于 333 84, 6 8 24
P ( A B ) P ( A B ) 1 P ( A B )
解
(a) 放回抽样的情况.设
A:表示事件“取到的两只球都是白球”, B：“取到的两只球都都是红球”, C：“取到的两只球中至少有一只是白球”. 2 2 1 4 4 4 P( B) . P ( A) . 6 6 9 6 6 9 5 P ( A B ) P ( A) P ( B ) . 9 8 P (C ) P ( B ) 1 P ( B ) . 9 (b) 不放回抽样. 由读者自己完成.
这种模型称为随机取球的模型
书25页6题（取球模型） 在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章， 任选3人记录其纪念章的号码。 (1)求最小号码是5的概率。 (2)求最大号码是5的概率。 解：（1）方法1：设A={最小号码等于5}
C 1C 2 1 1 5 方法 2 ： P ( A) 12 C3 10
N n 共有 C N 种 , 恰有k ( k D )件次品的取法数为 n D N D D N D k n k ，故所求概率为 k n k p N n
即随机取球不放回的模型
A2 {TTT },
(1)
3 P ( A1 ) . 8 1 7 P ( A2 ) 1 P ( A2 ) 1 8 8 注意
(2)
当样本空间中的元素较多时, 一般不再将元素 A1 { HTT , THT , TTH }. 而 一一列出, 只需分别求出 S和A中元素的个数，再 A2 {TTT }, 用计算公式即可求得相应的概率.
例7 将15名新生随机地平均分配到三个班级 中去, 这15名新生中有3名是优秀生. 问 (1) 每个班 级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3名优秀 生分配在同一班级的概率是多少? （投球模型） 解 总数为