等可能概型
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1-4 等可能概型(古典概型)
n! 一共有 n !n ! n !种分法。(n1+n2+„+nk = n ) 1 2 k
n
1
证：从n个不同的元素中取出n1个元素有 n n !( n n )! 种取法；
1 1
n!
(n n1 )! 再从剩下的n-n1个元素中取出n2个元素有 n !(n n n )! 2 1 2
组合分析的两条基本原理
火车2次 火车
成都
汽车3次
重庆
成都
汽车
重庆
火车 飞机 轮船
武汉
共有23=6种方法 共有2+3=5种方法 1.加法原理 若完成一件事有两种方式，第一种方式有n1种方法， 第二种方式有n2种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事，
则完成这件事总共有n1+n2种方法。 2.乘法原理 若完成一件事有两个步骤，第一个步骤有n1种方法，
种分法。
例题7
例7 将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中
种取法；„
从最后剩下的n-(n1+n2+„+nk-1)个元素中取出nk个元素有
[n (n1 n2 nk 1 )]! 种取法。 nk ![n (n1 n2 nk )]!
按乘法原理，n个不同的元素，分成k组，每组分别有n1,n2,„,nk 个元素,应该有
[n (n1 n2 nk 1 )]! n! (n n1 )! n! n1!(n n1 )! n2!(n n1 n2 )! nk !0! n1!n2! nk !
P ( A) kA 16 4 , n 36 9
kB 4 1 . n 36 9 5 8 P( A B) P( A) P( B) , P(C ) P( B) 1 P( B) 9 9 P( B)
n
1
证：从n个不同的元素中取出n1个元素有 n n !( n n )! 种取法；
1 1
n!
(n n1 )! 再从剩下的n-n1个元素中取出n2个元素有 n !(n n n )! 2 1 2
组合分析的两条基本原理
火车2次 火车
成都
汽车3次
重庆
成都
汽车
重庆
火车 飞机 轮船
武汉
共有23=6种方法 共有2+3=5种方法 1.加法原理 若完成一件事有两种方式，第一种方式有n1种方法， 第二种方式有n2种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事，
则完成这件事总共有n1+n2种方法。 2.乘法原理 若完成一件事有两个步骤，第一个步骤有n1种方法，
种分法。
例题7
例7 将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中
种取法；„
从最后剩下的n-(n1+n2+„+nk-1)个元素中取出nk个元素有
[n (n1 n2 nk 1 )]! 种取法。 nk ![n (n1 n2 nk )]!
按乘法原理，n个不同的元素，分成k组，每组分别有n1,n2,„,nk 个元素,应该有
[n (n1 n2 nk 1 )]! n! (n n1 )! n! n1!(n n1 )! n2!(n n1 n2 )! nk !0! n1!n2! nk !
P ( A) kA 16 4 , n 36 9
kB 4 1 . n 36 9 5 8 P( A B) P( A) P( B) , P(C ) P( B) 1 P( B) 9 9 P( B)
等可能概型
1 P ({ei }) = , i = 1, 2, L，n n
在古典概型中，对任意随机事件A,若
A = {ei1 } ∪ L ∪ {eik }
则
P(A)=∑ ( P{e
j =1
k
ij
A包含的基本事件数 }) = 样本空间基本事件总数
此公式即为等可能概型中事件A概率的 计算公式.
例1 袋中有6个球（4白，2红）,现从袋中 任取球两次,每次任取1只.考虑放回抽样与不 放回抽样两种取球方式，求: (1) 两个均为白球的概率; (2) 两个球中两只球颜色相同的概率; (3) 两个球中至少有一个白球的概率. （p10例2）
长度为a
有利事件
a a a⎫ ⎧ A = ⎨( x , y ) | 0 < x < ,0 < y < , a > x + y > ⎬ 2 2 2⎭ ⎩ ⎧x + y > a − x − y ⎪ ⎨ x + (a − x − y ) > y 2 ⎪ y + (a − x − y ) > x 1 a ⎩ S = (a × a )
根的概率为 . 解 样本空间 Ω = {( u, v ) | 0 < u < 1,0 < v < 1}
x − 2vx + u = 0 有实根 ⇒ ∆ = ( −2v ) − 4u ≥ 0 ⇒ v ≥ u
2
2
2
有利事件 A = {( u, v ) | v ≥ u,0 < v < 1}
2
A 的面积 ∫ v dv P ( A) = = Ω 的面积 1× 1 1 1 = v | = . 3 3
1 2 0
3 1 0
在古典概型中，对任意随机事件A,若
A = {ei1 } ∪ L ∪ {eik }
则
P(A)=∑ ( P{e
j =1
k
ij
A包含的基本事件数 }) = 样本空间基本事件总数
此公式即为等可能概型中事件A概率的 计算公式.
例1 袋中有6个球（4白，2红）,现从袋中 任取球两次,每次任取1只.考虑放回抽样与不 放回抽样两种取球方式，求: (1) 两个均为白球的概率; (2) 两个球中两只球颜色相同的概率; (3) 两个球中至少有一个白球的概率. （p10例2）
长度为a
有利事件
a a a⎫ ⎧ A = ⎨( x , y ) | 0 < x < ,0 < y < , a > x + y > ⎬ 2 2 2⎭ ⎩ ⎧x + y > a − x − y ⎪ ⎨ x + (a − x − y ) > y 2 ⎪ y + (a − x − y ) > x 1 a ⎩ S = (a × a )
根的概率为 . 解 样本空间 Ω = {( u, v ) | 0 < u < 1,0 < v < 1}
x − 2vx + u = 0 有实根 ⇒ ∆ = ( −2v ) − 4u ≥ 0 ⇒ v ≥ u
2
2
2
有利事件 A = {( u, v ) | v ≥ u,0 < v < 1}
2
A 的面积 ∫ v dv P ( A) = = Ω 的面积 1× 1 1 1 = v | = . 3 3
1 2 0
3 1 0
等可能概型概述
P(Ai Aj ) (n 2)!/ n!1/ n(n 1), i !1/ n(n 1), i j, 共Cn2项,
P( Ai Aj Ak ) (n 3)!/ n! 1/ 3!Cn3, i
/ n!PP((1AA/13i..A!.CAj An3,)k ) i1/(nnj!k3,)!/共n!Cn3项1/,3.!.C.n3.,. P( A1...An ) 1/ n!
等可能概型（古典概型）
定义：若试验E满足： •S中样本点有限(有限性) •出现每一样本点的概率相等(等可能性)
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
P A
A所包含的样本点数 S中的样本点数
1
例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5 个为黄球，设摸到每一球的可能性相等。
（1）从袋中随机摸一球，记A={ 摸到红 球 }，求P(A)．
（2）从袋中不放回摸两球，记B={恰是一 红一黄}，求P(B)．
2
解：(1)
S={1,2, ,8},A={1,2,3}
P
A
3 8
(2)P(B)
C31C51
/ C82
15 28
53.6%
3
例2：有N件产品，其中D件是次品， 从中不放回的取n件，记Ak＝{恰有k 件次品}（k≤D)，求P(Ak)．
(D N ,n N )
17
P(没有人取到自己礼物) P( A)
1 P( A1 ... An )
1
n i 1
1 n
Cn2
1 n(n 1)
Cn3
n(n
1 1)(n
2)
...
(1)n
1 n!
11 1 1 ... (1)n 1
2! 3!
n!
P( Ai Aj Ak ) (n 3)!/ n! 1/ 3!Cn3, i
/ n!PP((1AA/13i..A!.CAj An3,)k ) i1/(nnj!k3,)!/共n!Cn3项1/,3.!.C.n3.,. P( A1...An ) 1/ n!
等可能概型（古典概型）
定义：若试验E满足： •S中样本点有限(有限性) •出现每一样本点的概率相等(等可能性)
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
P A
A所包含的样本点数 S中的样本点数
1
例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5 个为黄球，设摸到每一球的可能性相等。
（1）从袋中随机摸一球，记A={ 摸到红 球 }，求P(A)．
（2）从袋中不放回摸两球，记B={恰是一 红一黄}，求P(B)．
2
解：(1)
S={1,2, ,8},A={1,2,3}
P
A
3 8
(2)P(B)
C31C51
/ C82
15 28
53.6%
3
例2：有N件产品，其中D件是次品， 从中不放回的取n件，记Ak＝{恰有k 件次品}（k≤D)，求P(Ak)．
(D N ,n N )
17
P(没有人取到自己礼物) P( A)
1 P( A1 ... An )
1
n i 1
1 n
Cn2
1 n(n 1)
Cn3
n(n
1 1)(n
2)
...
(1)n
1 n!
11 1 1 ... (1)n 1
2! 3!
n!
第1.3节 等可能概型
定义:
概率论所讨论的问题中,有一类问题最简单直观,这类问题
所涉及到的试验具有下面两个特征：
1)(有限性)试验的样本空间的元素只有有限个; 2)(等可能性)试验中每个基本事件发生的可能性相同. 把具有上述两个特征的试验称为等可能概型或古典概型.
例如,抛一枚质地均匀的硬币,或者出现正面或者出现反面,只
方法２ （利用对立事件的概率关系）
P ( A ) 1 P ( A ) 1 P ( A0 ) 1 C 20
甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率
为 0.85 ，乙击中的概率为 0.8 ．两人都击中的概率为
0.68 ．求目标被击中的概率．
解
设Ａ表示甲击中目标，Ｂ表示乙击中目标，
有两种结果,且每种结果出现的可能性相同.又如抛一颗骰子, 观察出现的点数,则共有6种结果,且每一种结果出现的可能性 相同.
设古典概率 E 的样本空间为 S e1 , e2 , , en .
由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同 , 即
P e1 P e 2 P e n
得 P(A1)
m A1 n
3 8
.
( 2 ) A 2 { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH }.
因此
P(A2)
m A2 n
7 8
.
例 2 一口袋装有 6 只球,其中 4 只白球、 只红球. 从 2 袋中取球两次,每次随机地取一只.考虑有放回和无放 回两种抽样,试分别就这两种情况求:(1) 取到的两只 球都是白球的概率,(2) 取到的两只球颜色相同的概 率,(3) 取到的两只球中至少有一只是白球的概率.
等可能概型和几何概型
在人工智能领域，等可能概型和 几何概型用于机器学习和深度学 习的模型训练，如分类器设计、 神经网络训练等。Βιβλιοθήκη 5等可能概型和几何概型的扩展
条件概率
条件概率的定义
在某一事件A发生的条件下，另一事件B发生的概率，记作 P(B|A)。
条件概率的计算公式
P(B|A) = P(AB) / P(A)，其中P(AB)表示事件A和事件B同时 发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。
性质
等可能概型的概率具有均匀性，即每个基本事件的概率相等。
在等可能概型中，概率计算公式为P(A) = m/n，其中m为事件A包含的基本事件数，n为基本事件的总数。
等可能概型举例
投掷一枚质地均匀的骰子，出现1、2、3、4、5、6点的概率均为 1/6，属于等可能概型。
从一副无重复的扑克牌中随机抽取一张牌，每张牌被抽中的概率均 为1/52，也属于等可能概型。
互斥事件概率的加法法则
在等可能概型中，如果两个事件是互斥的，则它们的概率可以直接相加。即如 果$A$和$B$是互斥事件，则$P(A+B)=P(A)+P(B)$。
几何概型举例
投掷骰子
投掷一个六面体的骰子，观察出 现的点数，这是一个典型的等可 能概型问题。
抽签
在一组有限且数量相等的签中随 机抽取一根，也是一个等可能概 型问题。
等可能概型和几何概型
目
CONTENCT
录
• 等可能概型的定义和性质 • 几何概型的定义和性质 • 等可能概型与几何概型的比较 • 等可能概型和几何概型的应用 • 等可能概型和几何概型的扩展
01
等可能概型的定义和性质
定义
等可能概型是指试验中所有可能结果 出现的概率相等。
等可能概型(古典概型)
概率的取值具有非负性，即对于任何事 件A，都有P(A)>=0。
概率的加法原理
概率的加法原理是指对于任意两个事 件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A∩B)。
当事件A和B互斥时，即A∩B=∅，概 率的加法原理可以简化为 P(A∪B)=P(A)+P(B)。
概率的乘法原理
01
概率的乘法原理是指对于任意两个事件A和B，有 P(A∩B)=P(A)×P(B|A)。
条件
样本空间中的样本点数量是有限的，且每个样本点都 是互斥的。
特点
01
02
03
04
等可能性
在古典概型中，每个样 本点被选中的概率是相 等的。
有限性
古典概型的样本空间是 有限的，即样本点的数 量是有限的。
互斥性
样本空间中的样本点是 互斥的，即一个样本点 被选中后，其他样本点 就不能再被选中。
独立性
在古典概型中，各次试 验的结果是相互独立的， 即前一次试验的结果不A|B)。
02
计算公式
$P(A|B) = frac{P(A cap B)}{P(B)}$
03
应用场景
在决策理论、统计学、信息理论等领域中，条件概率都有广泛的应用。
贝叶斯定理
定义
贝叶斯定理是关于条件概率的定理，它提供了从事件B发生的条 件下计算事件A的条件概率的方法。
计算公式
$P(A|B) = frac{P(B|A) times P(A)}{P(B)}$
3
计算步骤
确定样本空间的大小，利用组合数公式计算概率。
公式法
定义
公式法是一种利用概率 的基本公式来计算概率 的方法。
适用范围
适用于样本空间较大， 且样本点之间有顺序的 情况。
概率的加法原理
概率的加法原理是指对于任意两个事 件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A∩B)。
当事件A和B互斥时，即A∩B=∅，概 率的加法原理可以简化为 P(A∪B)=P(A)+P(B)。
概率的乘法原理
01
概率的乘法原理是指对于任意两个事件A和B，有 P(A∩B)=P(A)×P(B|A)。
条件
样本空间中的样本点数量是有限的，且每个样本点都 是互斥的。
特点
01
02
03
04
等可能性
在古典概型中，每个样 本点被选中的概率是相 等的。
有限性
古典概型的样本空间是 有限的，即样本点的数 量是有限的。
互斥性
样本空间中的样本点是 互斥的，即一个样本点 被选中后，其他样本点 就不能再被选中。
独立性
在古典概型中，各次试 验的结果是相互独立的， 即前一次试验的结果不A|B)。
02
计算公式
$P(A|B) = frac{P(A cap B)}{P(B)}$
03
应用场景
在决策理论、统计学、信息理论等领域中，条件概率都有广泛的应用。
贝叶斯定理
定义
贝叶斯定理是关于条件概率的定理，它提供了从事件B发生的条 件下计算事件A的条件概率的方法。
计算公式
$P(A|B) = frac{P(B|A) times P(A)}{P(B)}$
3
计算步骤
确定样本空间的大小，利用组合数公式计算概率。
公式法
定义
公式法是一种利用概率 的基本公式来计算概率 的方法。
适用范围
适用于样本空间较大， 且样本点之间有顺序的 情况。
概率论与数理统计
记下颜色, 重复 m 次.
E: 球编号, 一次取出 m个球, 记下颜色.
(或 Ab )1) #S P (a ,b)( a
k # A Cm Pak Pbmk ,
m ab
m ab
#b S n C , (a 1)
m ab
k mk # A Ca Cb ,
—— 超几何分布—— 注: 不放回地逐次取 m 个球与一次取 m 个球所得结果相同.
解: A = “取到的数被 6 整除”， B = “取到的数被 8 整除”.
则
P ( A) 333 , 2000 P ( B) 250 , 2000 P( AB) 83 , 2000
所求为：P( A
B ) P ( A B) 1 P ( A B )
1 [ P( A) P( B) P( AB )] 1 ( 333 250 83 ) 3 . 4 2000 2000 2000
1
例1. 一个盒中装有10个大小形状完全相同的球. 依次将球
编号为1-10 . 把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球 . 1. 样本空间 S = { 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 }?
2. 记 A = “摸到 2 号球”，则 P(A) = ?
A = { 2 },
P( A) # A 1 ; # S 10
5 1 9 4 6 7 2 3 10 8
3. 记 B = “摸到红色球”，则 P(B) = ? B = { 1 2 3 4 5 6 }, P( B) # B 6 . # S 10
第一章 概率论的基本概念
2
例2 (p.13 例6). 在 1~2000 的整数中随机地取一个数，求
该数既不能被 6 整除, 又不能被 8 整除的概率.
E: 球编号, 一次取出 m个球, 记下颜色.
(或 Ab )1) #S P (a ,b)( a
k # A Cm Pak Pbmk ,
m ab
m ab
#b S n C , (a 1)
m ab
k mk # A Ca Cb ,
—— 超几何分布—— 注: 不放回地逐次取 m 个球与一次取 m 个球所得结果相同.
解: A = “取到的数被 6 整除”， B = “取到的数被 8 整除”.
则
P ( A) 333 , 2000 P ( B) 250 , 2000 P( AB) 83 , 2000
所求为：P( A
B ) P ( A B) 1 P ( A B )
1 [ P( A) P( B) P( AB )] 1 ( 333 250 83 ) 3 . 4 2000 2000 2000
1
例1. 一个盒中装有10个大小形状完全相同的球. 依次将球
编号为1-10 . 把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球 . 1. 样本空间 S = { 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 }?
2. 记 A = “摸到 2 号球”，则 P(A) = ?
A = { 2 },
P( A) # A 1 ; # S 10
5 1 9 4 6 7 2 3 10 8
3. 记 B = “摸到红色球”，则 P(B) = ? B = { 1 2 3 4 5 6 }, P( B) # B 6 . # S 10
第一章 概率论的基本概念
2
例2 (p.13 例6). 在 1~2000 的整数中随机地取一个数，求
该数既不能被 6 整除, 又不能被 8 整除的概率.
1.3 等可能概型
表示“两只都是红球”
若直接考虑： b.无放回 (考虑先后顺序) (乘法原理) S：6×5=30 (1)
(2) (3)
注：在使用排列组合时，分子分母要保持一致。
10
例4. 某教研室共有11 名教师, 其中男教师7 人, 现 在要选 3 名优秀教师, 问其中至少有一女教师概率 解 (方法一) 设 A = “ 3 名优秀教师中至少有一名女教师”
(2) 设 B = “n个人中至少有两个人生日相同”
当 n 等于64时，在64人的班级中，B发生的概率
接近于1，即 B几乎 总是会出现。
16
二、几何概率
样本空间的基本事件数为无限的几何概率。 其周期 例8 某十字路口自动交通信号的红、绿灯， 求随机到达 为60秒， 其中由南至北方向红灯为 15 秒， （由南至北）该路口的一辆汽车恰遇红灯的概率。 直观可得 例9 一片面积为S 的树林中有一块面积为 S0 的空地。 一架飞机随机地往树林内空投一只包裹。 求这包裹落
等可能概型也称为古典概型。
2
2.计算公式：
①
1 P ei i 1, 2, , n n ② 若事件A包含k个基本事件，即
其中(
表示
中的k个不同的数)
k 则有 P A n
3
例1 投两枚骰子，事件A——“点数之和为3”，求 解法一：出现点数之和的可能数值
11 12 21
第三节 等可能概型
一、等可能概型的定义 二、计算公式 三、计算方法
一、等可能概型
例：E1—抛均匀硬币,观察哪面朝上 S1 ={ H,T }
E2—投一均匀骰子,观察点数 S2 ={1,2,3,4,5,6} 1.定义：具备以下两个条件的随机试验称为等可能概型，
等可能概型
第一章 概率论的基本概念
333 2000
等可能概型
250 83 P ( A) , 同理得 : P ( B) , P ( AB) . 2000 2000 其中 B ={8, 16, … 2000 }, AB = {24, 48 … 199 2 }，
AB 为“既被 6 整除又被 8 整除”或“能被 24 整除”
所以，
b Pk 1 b a b 1 P A ． ab Pk ab
注意：结果与 i 无关．
此结果适用于：抓阄，买彩票等问题
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第一章 概率论的基本概念
等可能概型
例 6 在 1~2000 的整数中随机的取一个数，问取 到的整数既不能被 6 整除，又不能被 8 整除的概 率是多少？ 解：设 A 为事件“取到的整数能被 6 整除”， B 为 “ 取到的整数能被 8 整除”，则所求的概率为：
n N n
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第一章 概率论的基本概念
等可能概型
该数学模型可用于许多实际问题：
n(n 365)个人在365天的生日,可看成是n个球 放入365个盒子中。随机取n ( 365) 人他们的生日 各不相同的概率为
365 364 ( 365 n 1) P ( A) , n 365
率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。
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第一章
概率论的基本概念
等可能概型
基本事件的概率:
设 S ={e1, e2, …en }, 由古典概型的等可能性，得
P({e1 }) P({e2 }) P({en })
又由于基本事件两两互不相容，所以
1 P ( S ) P ({e1 }) P ({e2 }) ( P{en }),
概率论等可能概型
决策理论
01
02
03
பைடு நூலகம்
决策理论是研究如何根 据不同的可能性选择最 优方案的学科，等可能 概型在决策理论中也有
着重要的应用。
在决策理论中，等可能 概型常用于描述风险决 策和不确定性环境下的
决策问题。
通过等可能概型，可以 计算期望值和期望效用 ，从而进行风险评估和 决策分析，帮助决策者
做出最优选择。
06
03
等可能概型的基本概率公式
概率的加法定理
互斥事件的概率加法定理
如果事件A和B是互斥的，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)。
完备事件的概率加法定理
如果事件A和B是完备的，那么P(A∪B)=1，且P(A)+P(B)=1。
条件概率
条件概率的定义
在事件B发生的条件下，事件A发生的 概率定义为P(A∣B)=P(A∩B)P(B)。
04
等可能概型在概率论中具有广泛的应用，如排列组合、概率分布、随 机变量等。
等可能概型的未来发展
随着大数据和人工智能的兴起，等可能概型在 数据分析和机器学习等领域的应用将得到更深
入的研究和应用。
未来，等可能概型的研究将更加注重理论证明和实际 应用的结合，以更好地服务于各个领域的发展。
随着科学技术的不断发展和概率论的深入研究 ，等可能概型的应用范围将不断扩大。
概率论等可能概型
• 引言 • 等可能概型的定义与性质 • 等可能概型的基本概率公式 • 等可能概型中的随机变量 • 等可能概型的应用 • 结论
01
引言
主题简介
概率论等可能概型是概率论的一个重 要分支，主要研究在等可能性的前提 下随机事件发生的概率。
它涉及到随机试验、样本空间、事件 、概率空间等多个概念，是概率论的 基础。
第三节 等可能概型
第三节等可能概型一、古典概型二、几何概型1．试验的样本空间只含有有限个元素，即12{,,,}n Ωωωω= 2．试验中每个基本事件发生的可能性相同，即})({})({})({21n P P P ωωω=== 具有以上两个特点的随机试验称为等可能概型。
由于它是概率论发展初期的主要研究对象，所以也称之为古典概型．一、古典概型111()({}){}{}n ni i i i i P P P nP Ωωωω======∑∪1{}(1,2,,)i P i n n ω== 12{}{}{}ki i i A ωωω=∪∪ ∪1()({})j ki j k A P A P n ω====Ω∑包含的基本事件数中基本事件总数这里i 1,i 2, ···,i k 是1, 2,···,n 中某k 个不同的数，则有设实验E是古典概型，由于基本事件是两两互斥，因此从而若事件A 含有k 个基本事件，即这样就把求概率问题转化为计数问题.排列组合是计算古典概率的重要工具.基本计数原理这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的（1）加法原理设完成一件事有m 种方式，第一种方式有n 1种方法，第二种方式有n 2种方法,…；第m 种方式有n m 种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有n 1 +n 2 +…+n m 种方法.1.两个基本计数原理例如，某人要从甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火车,也可以乘轮船.火车有两班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3+ 2种方法回答是基本计数原理则完成这件事共有种不同的方法.m n n n ××× 21（2）乘法原理设完成一件事有m 个步骤，第一个步骤有n 1种方法，第二个步骤有n 2种方法,…；第m 个步骤有n m 种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？可以有种打扮3×2加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础.排列•排列：!(1)(1)()!rnn P n n n r n r =−−+=− r n n n n⋅= •重复排列：特别地，当r = n ，全排列!n n P n =从n 个不同的数中任取r 个，排成一排，共有多少种排法？2.两个计数工具——排列和组合组合•组合：!!!()!r rnn P n C r r n r ==−1rn r C +−•重复组合：从n 个不同的数中任取r 个，共有多少种取法？推广：（分组问题） 把n个不同的元素分成k 组，各组元素数目分别为 r1, r2 , ···, rk , 且r1+ r2 +··· +rk=n，则不同的分法为：C ⋅Cr1 nr2 n − r1n! ⋅⋅⋅ C = r1 !r2 !⋅⋅⋅ rk !rk rk例3 将一枚硬币抛二次（ 1 ）设事件A1为“恰好有一次出现正面” , 求P( A1 ) （2）设事件A2为“至少有一次出现正面” , 求P( A2 )设随机试验E为 : 将一枚硬币抛两次, 观察正反 解（1） 则样本空间为Ω = { HH , HT , TH , TT } Ω 中包含n = 4个元素，每个基本事件发生的可能性相同,故此试验为等可能概型. 又A1 = {HT , TH }中包含的基本事件数k = 2 故P( A1 ) = 2 / 4 = 1/ 2（2） 因为 A2 = { TT } 1 H3 T T T H H P ( A2 ) = 1 − P ( A2 ) = 1 − = 于是 4 4HT例3：30名学生中有3名运动员,将这30名学生平均分成 3组,求：（1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。
第三节 等可能概型
知识点总结
1、概率的定义 2、古典概型的求法 （1）依次摸球问题：有放回、无放回 （乘法公式） （2）一次摸出多个球的问题（组合问题） （3）投球问题（只能是依次投，乘法问题）
作业p14
2 ，4
一架飞机随机地往树林内空投一只包裹。 求这包裹落
在空地上的概率。
S0 P S
几何概率
问题：谁有办法计算 右边图形的面积，假 设方框的面积为1
我们规定A的概率定义为
u ( A) P( A) u(S )
u S 为样本空间的度量。
u A
为构成A 的子区域的度量。
此为几何概率， 其满足概率的三个公理及性质。
性要求外，还受 n 为有限的限制。 空间的基本事件数为无限的几何概率。 例9 某十字路口自动交通信号的红、绿灯， 其周期 下面介绍一种样本
为60秒， 其中由南车恰遇红灯的概率。 直观可得 例10
15 P 0.25 60
一片面积为S 的树林中有一块面积为 S0 的空地。
C C
于是所求的概率为：
C C p C 此式即为超几何分布的概率公式。
k D
nk N D
种，
k D nk N D n N
例6.
把甲、乙、丙三位学生依次随机地分配到5间
宿舍中去。假定每间宿舍可住 4人，求下列事件的概率：
1、 2、
A:
这三位学生住不同宿舍。
B: 这三位学生中至少有两位住同一宿舍.
PB PA 1 P A 0.52
例题：投球问题 将n只球随机地放入N（N≥n)个盒子中，试求每个盒子中 至多有一只球的概率（盒子的容量不限） 将n只 球放入N个盒子中,每一种方法是一基本事件
A P N
高中数学六种概率模型
高中数学六种概率模型高中数学中，概率是一个重要的概念。
它用来描述事件发生的可能性大小。
在概率论中，有六种常见的概率模型，它们分别是等可能概型、几何概型、排列概型、组合概型、条件概型和分布概型。
下面将逐个介绍这六种概率模型。
一、等可能概型：等可能概型是指每个基本事件发生的可能性相等。
比如抛硬币，硬币正面和反面出现的概率都是1/2。
再比如掷骰子，每个点数出现的概率都是1/6。
在等可能概型中，我们可以通过计算事件的个数与样本空间的大小来求解概率。
二、几何概型：几何概型是指在几何空间中进行概率计算。
比如说，我们可以通过几何概型来计算平面内的点落在某个区域的概率。
在几何概型中，我们可以通过计算区域的面积或体积与几何空间的大小来求解概率。
三、排列概型：排列概型是指在排列问题中的概率计算。
比如说，从n个元素中取出r个元素进行排列，那么排列的个数就是n个元素的全排列数，即n!。
在排列概型中，我们可以通过计算事件的个数与样本空间的大小来求解概率。
四、组合概型：组合概型是指在组合问题中的概率计算。
比如说，从n个元素中取出r个元素进行组合，那么组合的个数就是n个元素的组合数，即C(n,r)。
在组合概型中，我们可以通过计算事件的个数与样本空间的大小来求解概率。
五、条件概型：条件概型是指在已知某些条件下的概率计算。
比如说，已知某个事件A发生的条件下，另一个事件B发生的概率。
在条件概型中，我们可以通过计算事件A与事件B同时发生的概率与事件A发生的概率之比来求解概率。
六、分布概型：分布概型是指在统计分布中的概率计算。
比如说，正态分布、泊松分布、二项分布等等。
在分布概型中，我们可以通过计算随机变量的取值与概率密度函数或概率质量函数之间的关系来求解概率。
高中数学中的概率有六种常见的概率模型，它们分别是等可能概型、几何概型、排列概型、组合概型、条件概型和分布概型。
每种概率模型都有其独特的应用场景和计算方法。
熟练掌握这些概率模型，有助于我们更好地理解和应用概率论的知识，解决实际生活和工作中的问题。
等可能概型(古典概型)
解 (1) 设 H 为出现正面 , T 为出现反面 .
则 S = { HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}.
而 A 1 = { HTT , THT , TTH }. 得 P ( A 1 ) = 3 8 .
(2) A 2 = { HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT,TTH}.
p = 1−
365 × 364 ×
× ( 365 − n + 1) . n 365
我们利用软件包进行数值计算.
人 数 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 5 0 1 6 0 至 少 有 两 人 生 日 相 同 的 概 率 0 . 1 1 6 9 4 8 1 7 7 7 1 1 0 7 7 6 5 1 8 7 0 . 4 1 1 4 3 8 3 8 3 5 8 0 5 7 9 9 8 7 6 2 0 . 7 0 6 3 1 6 2 4 2 7 1 9 2 6 8 6 5 9 9 6 0 . 8 9 1 2 3 1 8 0 9 8 1 7 9 4 8 9 8 9 6 5 0 . 9 7 0 3 7 3 5 7 9 5 7 7 9 8 8 3 9 9 9 2 0 . 9 9 4 1 2 2 6 6 0 8 6 5 3 4 7 9 4 2 4 7 0 . 9 9 9 1 5 9 5 7 5 9 6 5 1 5 7 0 9 1 3 5 0 . 9 9 9 9 1 4 3 3 1 9 4 9 3 1 3 4 9 4 6 9 0 . 9 9 9 9 9 3 8 4 8 3 5 6 1 2 3 6 0 3 5 5 0 . 9 9 9 9 9 9 6 9 2 7 5 1 0 7 2 1 4 8 4 2 0 . 9 9 9 9 9 9 9 8 9 4 7 1 2 9 4 3 0 6 2 1 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 5 6 0 8 5 2 1 8 9 5 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 6 2 4 0 3 2 3 1 7 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 6 2 1 0 3 9 5 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 5 4 9 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 0 0
§1.4 等可能概型
解 （1）不放回情形
设 E: 球编号, 任取一球, 记下颜色, 放在一边，重复 m 次
n Amab (a b)(a b 1)(a b m 1)
记事件 A 为m个球中有k个白球，则
nA
Cmk Aak
Amk b
m! a! b!
k!(m k)! (a k)! (b m k)!
样本空间S共有6 6个基本事件。
若事件A发生，由于第一次有4只白球可供抽取， 第二次也有4只白球可供抽取，故有
P(A) 4 4 4 66 9
同理P(B) 2 2 1 66 9
由于AB ，故
P(A B) P(A) P(B) 5 9
P(C) P(B) 1 P(B) 8 9
(空,白,红),(空,红,白),(白,空,红),(白,红,空), (红,空,白),(红,白,空),(红白,空,空), (空, 空,红白),(空,红白,空).
因为两只球的放置是随机的,所以每一种放法 是等可能的,即每一个基本事件出现的可能性 相等,故每一个基本事件出现的机会都是1/9, 而事件A出现的可能结果为下面四种情况: (白,红, 空), (红,白, 空), (红白, 空, 空), (空,红白, 空). 即事件A包含九个基本事件中的四个基本事 件,故事件A出现的可能性为4/9,即P(A)=4/9.
A140
90
因为，从十个数字中不重复任取四个数的
取法总数为A140 . 而0在个位的四位数共有A93种取法， 而个位为2, 4, 6,8且首位不为0的数有4 8 A82种.
例12 从0，1，2，…，9等十个数字中任意 选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： （1）A1={三个数字中不含0和5}；（2） A2={三个数字中不含0或5}。
设 E: 球编号, 任取一球, 记下颜色, 放在一边，重复 m 次
n Amab (a b)(a b 1)(a b m 1)
记事件 A 为m个球中有k个白球，则
nA
Cmk Aak
Amk b
m! a! b!
k!(m k)! (a k)! (b m k)!
样本空间S共有6 6个基本事件。
若事件A发生，由于第一次有4只白球可供抽取， 第二次也有4只白球可供抽取，故有
P(A) 4 4 4 66 9
同理P(B) 2 2 1 66 9
由于AB ，故
P(A B) P(A) P(B) 5 9
P(C) P(B) 1 P(B) 8 9
(空,白,红),(空,红,白),(白,空,红),(白,红,空), (红,空,白),(红,白,空),(红白,空,空), (空, 空,红白),(空,红白,空).
因为两只球的放置是随机的,所以每一种放法 是等可能的,即每一个基本事件出现的可能性 相等,故每一个基本事件出现的机会都是1/9, 而事件A出现的可能结果为下面四种情况: (白,红, 空), (红,白, 空), (红白, 空, 空), (空,红白, 空). 即事件A包含九个基本事件中的四个基本事 件,故事件A出现的可能性为4/9,即P(A)=4/9.
A140
90
因为，从十个数字中不重复任取四个数的
取法总数为A140 . 而0在个位的四位数共有A93种取法， 而个位为2, 4, 6,8且首位不为0的数有4 8 A82种.
例12 从0，1，2，…，9等十个数字中任意 选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： （1）A1={三个数字中不含0和5}；（2） A2={三个数字中不含0或5}。
1-4古典概型
七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中， 现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按 取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一 个英文单词：
SC I ENCE
问：在多大程度上认为这样的结果
是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？
解 七个字母的排列总数为7！
拼成英文单词SCIENCE 的情况数为
22 4
概率.
解 同时掷两枚硬币有44个个等等可可能能 的结果，即样本
空间为
古典概型
={(正,正), (正,反), (反,正), (反,反)}
又事件A, B, C 分别包含 1个、2个和 1个样本点，
P( A)
1 4
;
P(B)
2 4
1 2
;
P(C )
1 4
.
抽样模型
例4 从有9件正品、3件次品的箱子中任取两次 每次取一件 ,试分别以:
箱中摸球
分球入箱
随机取数
分组分配
是常见的几种模型 . 课下可通过作业进一步掌握.
二、几何概率
定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且
任意一点落在度量（长度, 面积, 体积）相同的 子区域是等可能的,则事件A的概率可定义为
P( A) SA
S
（其中S是样本空间的度量，S
是构成事件A的子区
A
域的度量）这样借助于几何上的度量来合理规定
箱
人 任一天
旅客 车站
某城市每周发生7次车祸, 假设每天发生 车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸 的概率.
车祸 天
211
月
波尔克和哈定
的生日
3月 菲尔莫尔和
8 塔夫脱的祭日
12月 杜鲁门和福
26 特
SC I ENCE
问：在多大程度上认为这样的结果
是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？
解 七个字母的排列总数为7！
拼成英文单词SCIENCE 的情况数为
22 4
概率.
解 同时掷两枚硬币有44个个等等可可能能 的结果，即样本
空间为
古典概型
={(正,正), (正,反), (反,正), (反,反)}
又事件A, B, C 分别包含 1个、2个和 1个样本点，
P( A)
1 4
;
P(B)
2 4
1 2
;
P(C )
1 4
.
抽样模型
例4 从有9件正品、3件次品的箱子中任取两次 每次取一件 ,试分别以:
箱中摸球
分球入箱
随机取数
分组分配
是常见的几种模型 . 课下可通过作业进一步掌握.
二、几何概率
定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且
任意一点落在度量（长度, 面积, 体积）相同的 子区域是等可能的,则事件A的概率可定义为
P( A) SA
S
（其中S是样本空间的度量，S
是构成事件A的子区
A
域的度量）这样借助于几何上的度量来合理规定
箱
人 任一天
旅客 车站
某城市每周发生7次车祸, 假设每天发生 车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸 的概率.
车祸 天
211
月
波尔克和哈定
的生日
3月 菲尔莫尔和
8 塔夫脱的祭日
12月 杜鲁门和福
26 特
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B为事件“取到的数能被8整除”, 则所求概率为
3 1 [ P ( A) P ( B ) P ( AB )] 4 2000 2000 2000 334, 250, 83 由于 333 84, 6 8 24
P ( A B ) P ( A B ) 1 P ( A B )
N
许多问题和本例有相同数学模型.
生日问题
生日问题（投球模型）
假设每人的生日在一年365天中任一天是等可 能的,即都等于1/365, 那么随机选取 n ( 365)个人 , 他们的生日各不相同的概率为
n 365 364 ( 365 n 1) A365 n 365 365n
例2 一只口袋装有6只球, 其中4只白球、2只
红球. 从袋中取球两次, 每次随机地取一只, 考虑两
种取球方式: (a) 第一次取一只球, 观察其颜色后 放回袋中, 搅匀后再取一球.这种取球方式叫做放回 抽样. (b) 第一次取一球不放回袋中, 第二次从剩 余的球中再取一球, 这种取球方式叫做不放回抽样. 试分别就上面两种情况求 (1) 取到的两只球都是白球的概率; (2) 取到的两只球颜色相同的概率; (3) 取到的两只球中至少有一只是白球的概率.
(1) P ( A) ( 2) P ( B )
C C
a
b
C C ( a b )!
ab A
ab C a b
C C
ab C
a
b
结论： （3）一次性的取k件与无放回的抽取k次 所计算的概率相同
练习： 一个盒子装有4只产品, 其中有3只一等品,
解
(a) 放回抽样的情况.设
A:表示事件“取到的两只球都是白球”, B：“取到的两只球都都是红球”, C：“取到的两只球中至少有一只是白球”. 2 2 1 4 4 4 P( B) . P ( A) . 6 6 9 6 6 9 5 P ( A B ) P ( A) P ( B ) . 9 8 P (C ) P ( B ) 1 P ( B ) . 9 (b) 不放回抽样. 由读者自己完成.
C p( B ) 1 p( B ) 1 C
200 1100 200 1500
C C C
1 400
199 1100 200 1500
发生的可能性同.
当事件 B发生时, 第i人取的应
是白球, 它可以是 a只白球中的任一只, 有a种取法 .
其余被取的 k 1只球可以是其余 a b 1只球中
例7 将15名新生随机地平均分配到三个班级 中去, 这15名新生中有3名是优秀生. 问 (1) 每个班 级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3名优秀 生分配在同一班级的概率是多少? （投球模型） 解 总数为
结论：
（1）P(B)与i无关，即第一个人，第二个...第k个人 做同一事件尽管次序不同，但所得概率是相同的。 （2）P(B)在有放回抽样还是无放回抽样中是一样的。
练习：设袋子中有50个球，其中红球有20个， 白球有30个，今有两个人依次随机的从袋子中各取一球， 取后不放回，则第二个人取得红球的概率是多少？
C C 2 ( 3 ) P (C ) C
2 n
2 r 4 n 2 2r 2n
2 r 4
C ( 4) P ( D ) C
r n 2r 2n
例6 在1~2000的整数中随机地取一个数, 问
取到的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率 是多少? 解 （取数模型）
设A为事件“取到的数能被 6整除 ” ,
则
3 3 C C 1 5 4 P( B) 3 20 C 10
例 3：将 n只球随机地放入 N ( N n 2)个盒子里去
（3）求第2,5个盒子是空的概率 （4）若每个盒子只能放一只球， 求第2,5个盒子是空的概率
( N 2) ( 3) p3 n N
n
(4) p4
n AN 2 n
N n 共有 C N 种 , 恰有k ( k D )件次品的取法数为 n D N D D N D k n k ，故所求概率为 k n k p N n
即随机取球不放回的模型
书25页7题（超几何模型） 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶， 黑漆4桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落， 交货人随意将这些油漆发给顾客，问一个订货为 4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆的顾客， 能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？ 解：
C C C 252 p( A ) C 2431
3 10
(1) 设事件A1为“恰有一次出现正面” 求P ( A1 ); (2) 设事件A2为“至少有一次出现正面” , 求P ( A2 ).
解 (1) 我们考虑如下的样本空间: S { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , 而
TTH , TTT } A1 { HTT , THT , TTH }.
这种模型称为随机取球的模型
书25页6题（取球模型） 在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章， 任选3人记录其纪念章的号码。 (1)求最小号码是5的概率。 (2)求最大号码是5的概率。 解：（1）方法1：设A={最小号码等于5}
C 1C 2 1 1 5 方法 2 ： P ( A) 12 C3 10
解
(a) 不放回抽样的情况.设
A:表示事件“取到的两只球都是白球”, B：“取到的两只球都都是红球”, C：“取到的两只球中至少有一只是白球”. 21 1 . 4 3 2 P( B) P ( A) . 6 5 15 6 5 5 7 P ( A B ) P ( A) P ( B ) . 15 14 P (C ) P ( B ) 1 P ( B ) . 15
第四节 等可能概型(古典概型)
一、古典概型定义 二、古典概型计算公式
三、典型例题
四、小结
五、几何概型简介
一、古典概型的定义
定义 设E是随机试验 , 若E满足下列条件 : 1 试验的样本空间只包含有限个元素; 2 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
。 。
则称 E为等可能概型 , 也称为古典概型 .
例题：从1至10个数中任取一数，设每个数以1/10 的概率被取中，取后放回，先后取7个数字， 求下列事件的概率。
（1）7个数全不相同；（2）不含10和1； （3）10恰好出现两次；（4）取到的最大数为6； （5）取出的7个数形成一个严格上升的序列。
解：
67 57 ( 4) P ( D ) 0.0202 7 10 7 C10 ( 5) P ( E ) 0.000012 7 10
={最小号码大于等于5}-{最小号码大于等于6} 3 C3 C 则 1 6 5 P ( A) 3 12 C 10
在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章， 任选3人记录其纪念章的号码。 (1)求最小号码是5的概率。 (2)求最大号码是5的概率。
（2）设B={最大号码等于5} ={最大号码小于等于5}-{最大号码小于等于4}
A2 {TTT },
(1)
3 P ( A1 ) . 8 1 7 P ( A2 ) 1 P ( A2 ) 1 8 8 注意
(2)
当样本空间中的元素较多时, 一般不再将元素 A1 { HTT , THT , TTH }. 而 一一列出, 只需分别求出 S和A中元素的个数，再 A2 {TTT }, 用计算公式即可求得相应的概率.
二、古典概型的计算公式
定理
设试验的样本空间 S包含n个元素,
事件A包含k个基本事件 , 则有
AБайду номын сангаас含的基本事件 k P ( A) n S中基本事件的总数
(4.1)式称为等可能概型中事件概率的计算公式.
古典概型的使用方法：计数
古典概型的使用工具：
加法原理，乘法原理，排列，组合
三、典型例题
例1 将一枚硬币抛掷三次.
因而, n个人中至少有两人生日 相同的概率为
p 1 365 364 ( 365 n 1) 365n 我们利用软件包进行数值计算计算可得下述结果:
64 个人的班级里，生日各不相同的概率为
365 364 ( 365 64 1) p1 . 64 365
20 2 P ( A2 ) P ( A1 ) 50 5
例题： 只白球， 只黑球， 袋子中有
(a , b N , a , b )
现用下列两种方式从中任取（a+b)个球，
求所取得球中，恰有a只白球，b只黑球的概率。 （1）从袋子中一次性抽取； （2）从袋子中无放回的抽取。
解：设这4个事件分别为A,B,C,D，则有： （1）先从n双中选取2r双，再从每一双中取一只，则有
C 2 P ( A) 2r C2n
( 2) P ( B ) CC
1 n
2r n
2r
C
2r 2 n 1 2r 2n
2
2r 2
例题：n双不同型号的的鞋，今从其中任意拿2r只, (2r n) 求下列事件的概率. （1）无一双配对（2）恰有一双配对 （3）恰有两双配对（4）恰有r双配对
中的任意 k 1只, 共有
k 1 (a b 1)(a b 2)[a b 1 ( k 1) 1] Aa b 1 k 1 种取法, 于是 B中包含 a Aa b 1个基本事件 , 故根据
(4.1)式得到
k 1 a A a b 1 a P( B) k ab Aa b
至少有2人生日相同的概率为
365 364 ( 365 64 1) 0.997. p 1 64 365