古典概型中的一个易错问题

古典概型中的一个易错问题

对于古典概型概率的求法，只要求出基本事件总数和事件A包含的基本事件个数就行了。困难在于确定基本事件，使之具有有限性和等可能性。判断等可能性是被许多人忽略，又使许多人感到困惑的问题，要做好这一点，需要严谨的思维，切忌想当然。本文就是对这类问题出现的错误归类予以剖析，以期引起大家的注意。

例1. 一个家庭有两个小孩，求他们中至少有一个女孩的概率。

错解：样本空间：两个女孩或两个男孩或一男一女，用A表示“至少有一女孩”这一事件，则Ω={(男，男),(男，女),(女，女)}

A={(男，男),(男，女)}

∴P(A)= 2 3

解析：上述解法在考虑样本空间时，两个女孩或两个男孩或一男一女发生的可能性不相等。

古典概型中，P(A)= A包含基本事件的个数基本事件的总数

仅当所述的试验结果是等可能时才成立。两个女孩只可能是（女，女），但有一女孩的情况有（男，女），（女，男）两种情况，所以

Ω={(男，男),(男，女),（女，男），(女，女)}

A={(男，女)， (女，男), （女，女}，

∴P(A)= 3 4

例2.设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地摸出2只球，

（1）求这两只球都是白球的概率；

（2）求这两只球中一只是白球一只是黑球的概率。

错解1：一次摸出2个球，观察结果的颜色只能有（白，白），（白，黑），（黑，黑）三种情况，即Ω={(白，白),(白，黑),（黑，黑）}。

（1）用A表示“两只球都是白球”这一事件，A ={(白，白)}，所以P(A)= 1 3

（2）用B表示“两只球中一只是白球一只是黑球”这一事件，B={(白，黑)}，

所以P(B)= 1 3

错解2：从袋中无放回地摸出2只球，第一次有6种摸法，第二次有5种摸法，共有65215

⨯÷=种可能结果，

（1）用A表示“两只球都是白球”这一事件，则A事件共有4326

⨯÷=种可能结果，

所以P(A)= 2 5

（2）用B表示“两只球中一只是白球一只是黑球”这一事件，则B事件共有4224

⨯÷=种

可能结果，所以P(B)=

2 15

解析1：在上述错解1中（白，白），（白，黑），（黑，黑）三种结果出现不是等可能的。我们不妨把4个白球标以1，2，3，4号，2个黑球标以5，6号，则Ω={(1，2),(1，3),…

(1，6)（2，1），（2，3），…（2，6）…（6，1）（6，2）…（6，5）}。

（1）用A表示“两只球都是白球”这一事件，则A={(1，2),(1，3),(1，4)（2，1），（2，3），（2，4）（3，1），（3，2），（3，4），（4，1）（4，2）（4，3）}，

所以P(A)= 2 5

（2）用B表示“两只球中一只是白球一只是黑球”这一事件，则B={（1，5，），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，

1），（6，2），（6，3），（6，4）}，所以P(B)=

8 15

解析2：在上述错解2中，计算基本事件个数时看做是无顺序的，所以第（2）问中事件B应有428

⨯=种结果。正确解法如下：

从袋中无放回地摸出2只球，第一次有6种摸法，第二次有5种摸法，共有6530

⨯=种可能结果，

（1）用A表示“两只球都是白球”这一事件，则A事件共有4312

⨯=种可能结果，

所以P(A)= 2 5

（2）用B表示“两只球中一只是白球一只是黑球”这一事件，则B事件共有42216

⨯⨯=种

可能结果，所以P(B)=

8 15

例3.在一个盒子中装有12枝圆珠笔，其中7枝一等品，5枝二等品，从中任取3枝，求恰有1枝一等品的概率：

错解：从中任取3枝，第一次有12种取法，第二次有11种取法，第三次有10种取法，所以

从12枝圆珠笔任取3枝的情况共有121110

⨯⨯种；

用A表示“恰有1枝一等品”这一事件，则事件A共有754

⨯⨯种情况，

∴P(A)=

7547 12111066⨯⨯

=

⨯⨯

解析1：错解中基本事件的总数共有121110

⨯⨯种取法，这表明在计算基本事件总数时是看作是有顺序的，所以在计算事件A包含基本事件的个数时，也应该看作是有顺序的。一等品的圆珠笔可能是第一次取道的，也可能是第二次、第三次，所以事件A共有5473

⨯⨯⨯种情况。

∴P(A)= 54737 12111022⨯⨯⨯

=

⨯⨯

解析2：上述例题在计算基本事件总数时也可以看作是无顺序的，若看作是无顺序的，则基本事件总数为1211106

⨯⨯÷，事件A包含基本事件的个数为5427

⨯÷⨯

（），

∴P(A)=

54277 121110622⨯÷⨯

=

⨯⨯÷

（）