初中数学中考 二次根式考点解析新人教版
2025年中考数学考点分类专题归纳之二次根式
2025年中考数学考点分类专题归纳二次根式知识点一、二次根式的相关概念和性质1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式. 备注：二次根式a 有意义的条件是0a ≥ ，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义.2.二次根式的性质；；.3. 最简二次根式1）被开方数是整数或整式；2）被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.4. 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.备注：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.知识点二、二次根式的运算1. 乘除法（1）乘除法法则：备注：⋅= . （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如a b c d ac bd-⨯-≠-⨯- .（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(4)(9)492.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.1．（2024•达州）二次根式中的x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣22．（2024•绥化）若y有意义，则x的取值范围是（）A．x且x≠0 B．x C．x D．x≠03．（2024•兰州）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．4．（2024•无锡）下列等式正确的是（）A．（）2＝3 B． 3 C． 3 D．（）2＝﹣35．（2024•盘锦）若式子有意义，则x的取值范围是_______．6．（2024•绵阳）等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．7．（2024•临安区）下列各式计算正确的是（）A．a12÷a6＝a2B．（x+y）2＝x2+y2C．D．8．（2024•郴州）下列运算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．a﹣2C．32D．（a+2）（a﹣2）＝a2+4 9．（2024•孝感）下列计算正确的是（）A．a﹣2÷a5B．（a+b）2＝a2+b2C．22D．（a3）2＝a510．（2024•德阳）下列计算或运算中，正确的是（）A．2B．C．623D．﹣3 11．（2024•陇南）使得代数式有意义的x的取值范围是_____．12．（2024•巴中）已知|sinA|0，那么∠A+∠B＝_____．13．（2024•广州）如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a___．14．（2024•山西）计算：（31）（31）＝____．15．（2024•镇江）计算：___．16．（2024•烟台）与最简二次根式5是同类二次根式，则a＝___．17．（2024•哈尔滨）计算610的结果是__ ．18．（2024•武汉）计算的结果是__________.19．（2024•盘锦）计算：_ _．20．（2024•滨州）观察下列各式：1，1，1，……请利用你所发现的规律，计算，其结果为__ ．21．（2024•莱芜）如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是2和2，则图中阴影部分的面积是___．22．（2024•大连）计算：（2）22﹣223．（2024•陕西）计算：（）×（）+|1|+（5﹣2π）0。
二次根式中考真题及详解
二次根式知识梳理知识点1．二次根式重点：掌握二次根式的概念 难点：二次根式有意义的条件 式子a （a ≥0）叫做二次根式． 例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）．解题思路：运用二次根式的概念，式子a （a ≥0）叫做二次根式．答案：1）、3）、4）、5）、7）例2若式子13x -有意义，则x 的取值范围是_______． 解题思路：运用二次根式的概念，式子a （a ≥0）注意被开方数的范围，同时注意分母不能为0 答案：3x >例3若y=5-x +x -5+2009，则x+y=解题思路：式子a （a ≥0），50,50x x -≥⎧⎨-≥⎩5x =，y=2009，则x+y=2014练习1使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42、若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．3答案：1. D 2. C知识点 2．最简二次根式 重点：掌握最简二次根式的条件 难点：正确分清是否为最简二次根式同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．例1.在根式1) 222;2);3);4)275xa b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)解题思路：掌握最简二次根式的条件，答案：C 练习．下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ） A ．7B ．3C ．12D ．2答案：C知识点3．同类二次根式 重点：掌握同类二次根式的概念 难点：正确分清是否为同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式． 例在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）A ．3和18B ．3和13C ．22.11a b ab D a a +-和和解题思路：∵18=32，∴3与18不是同类二次根式，A 错．13=33， ∴3与13是同类二次根，∴B 正确．∵22||,ab b a a b ==│a │b ， ∴C 错，而显然，D 错，∴选B ．练习已知最简二次根式322b a b b a --+和是同类二次根式，则a=______，b=_______． 答案：a=0 ，b=2知识点4．二次根式的性质 重点：掌握二次根式的性质难点：理解和熟练运用二次根式的性质①（a ）2=a （a ≥0）；0(0)a a ≥≥ ②2a =│a │=(0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩；例1、若()22340a b c -+-+-=，则=+-c b a ．解题思路：2|2|0,30,(4)0a b c -≥-≥-≥，非负数之和为0，则它们分别都为0，则2,3,4a b c ===，=+-c b a 3oba例2、化简：21(3)a a -+-的结果为（ ）A 、4—2aB 、0C 、2a —4D 、4解题思路：由条件则30,3a a -≥≥，运用（a ）2=a （a ≥0）则2(3)3a a -=- 答案：C例3．如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －b │+2()a b + 的结果等于（ ）A ．－2bB ．2bC ．－2aD ．2a解题思路：运用2a =│a │=(0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩；由数轴则0a b -> ， 0a b +<，则原式=a b a b ---=－2b 选A练习1.已知a<0，那么│2a －2a │可化简为（ ）A ．－aB ．aC ．－3aD ．3a2.如图所示，实数a ，b 在数轴上的位置，化简222()a b a b ---．3.若y x -+-324=0，则2xy= 。
九年级数学二次根式知识点
九年级数学二次根式知识点二次根式是九年级数学中一个比较重要的知识点，也是进一步学习高中数学的基础。
在本文中，我们将对九年级数学中的二次根式进行详细讲解和探讨。
一、二次根式的概念九年级数学中，我们通常会遇到如√2、√3等形式的二次根式。
二次根式指的是具有根号的平方根形式的数值。
在二次根式中，根号下的数被称为被开方数，而根号则表示进行开方运算。
例如，√2即为2的平方根。
但是，√2并不能得到一个精确的有限小数，因此我们通常用无限循环小数√2≈1.414来表示。
这是因为2的平方根是一个无理数，不是可以精确表示的有理数。
二、二次根式的化简在处理二次根式时，我们经常会遇到需要将其进行化简的情况。
化简二次根式可以使其更加简洁，方便进行数学运算。
首先，我们要注意的是二次根式的化简与因式分解是有差异的。
因式分解是将一个多项式分解为多个因子的乘积，而化简二次根式是对根号下的数进行简化。
例如，当我们遇到√18时，可以将18进行因式分解并写成3×3×2的形式。
这样，我们可以得出√18=√(3×3×2)=3√2。
在最后的结果中，我们把含有完全平方数的因子移到根号外面，并用其平方根代替原来的因子。
同样地，我们还可以化简二次根式之间的运算。
例如，当我们需要计算√8 + √32时，可以将其化简为√(4×2)+√(16×2)。
再进一步化简，我们可以得到2√2+4√2=6√2。
这样，我们通过合并同类项，并进行了有理化简。
三、二次根式的运算在九年级数学中，我们经常需要对二次根式进行加减乘除等运算。
下面我们将对这些运算进行探讨。
1. 加法与减法当我们对二次根式进行加法或减法运算时，需要先化简，然后合并同类项。
例如，计算√3+√5。
我们可以化简这个算式为√3+√5，然后观察根号下的数是否相同。
由于3和5不是完全平方数，因此无法合并。
所以，最终的结果为√3+√5。
2. 乘法对于二次根式的乘法运算，我们需要注意的是，当根号外面的系数相同时，我们可以把根号下的数相乘。
人教版八年级数学下册第16章二次根式重难点详解
2．逆用二次根式乘除法法则进行化简
例 3 计算或化简（1） (9) (8) ； （2） 9x2 y3 x y3 （ x 0; y 0
）
解：（1） (9) (8) = 98 9 8 3 2 2 6 2.
（ 2） 9x2 y2 x y3 = 9 x2 y2 (x y)3 3xy(x y) x y （ x 0; y 0
b2
bb
= 9a2b2 ab 9a2b ab 。 b
点拨: 运用二次根式乘除法法则进行乘除混合运算时,一要注意运算顺序， 二要注意整体观察被开方数之间的关系，合理搭配，达到简化运算的效 果。 5. 二次根式加减法法则的运用
例 6 计算 12 0.5 1 18 3
解:原式= 2
3
45 9 5; 40 410 中被开方数分别含有能开得尽方的因数 9 和 4，故
45; 40 都不是最简二次根式； 2 2 8 中被开方数含分母 3，故 2 2 不是
33
3
最简二次根式。故选 B。 4.运用二次根式乘除法法则计算或化简
例 4 化简: 12 ( 27 6) 24
点拨:观察发现已知条件 x, y中的 5 与2
5 2 是一对相反数,而所求式子是这
两个数的平方和与这两个数的乘积的差,故可由已知转变条件,运用完全平方式
简化求值.
栏目名：错题集
解二次根式常见错误分类解析
一、审题不清导致错误 例 1 16 的平方根是______ .
错解： 16 的平方根是 4.
诊断：错把 16 的平方根当成 16 的平方根。
二次根式重难点详解
一、 五大重点一一攻克
1． 二次根式的概念：重点注意被开方数是非负数。
最新人教版八年级数学下册 二次根式知识点归纳及题型总结
最新人教版八年级数学下册二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a\geq 0$）的式子叫做二次根式。
2.二次根式的双重非负性：$\sqrt{a}\geq 0$，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
3.二次根式的同底同指数相加减：$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-b}$。
4.积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$。
5.商的算术平方根的性质：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$b\neq 0$）。
6.若$a\geq 0$，则$\sqrt{a^2}=|a|$。
知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。
2) 注意每一步运算的算理。
3) 乘法公式的推广：$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$。
2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。
3.二次根式的混合运算1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。
2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。
例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。
A。
$-3$；B。
$x$；C。
$x^2+1$；D。
$x-1$2.$x$取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1）$\sqrt{-15+x}$；（2）$\frac{1}{\sqrt{x+4}}$3）$\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1}$；（4）$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$5）$3-\sqrt{x+1}$；（6）$\frac{2x}{\sqrt{x+1}}$7）若$x(x-1)=\frac{1}{4}$，则$x$的取值范围是（）。
初中数学八年级《二次根式》知识点讲解及例题解析
《二次根式》知识讲解及例题解析【学习目标】1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论： a ≥0，（a ≥0），（a ≥0），（a ≥0），并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式的概念一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2.（a ≥0）；3..4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（a ≥0，b ≥0）.5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商， 即()a a a b a b b b=÷=÷或（a ≥0，b >0）.要点诠释： （1）二次根式(a ≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2()(0a a a =≥）.（22a 2()a 要注意区别与联系：①a 的取值范围不同，2()a 中a ≥02a a 为任意值。
②a ≥0时，2()a 2a a ；a <0时，2()a 2a a -.要点三、最简二次根式（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开放数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的概念1．当x 是__________时，+在实数范围内有意义？【答案】 x ≥-且x ≠-1【解析】依题意，得由①得：x ≥-由②得：x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1时，+在实数范围内有意义.【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念.举一反三：【变式】方程480x x y m -+--=，当0y >时，m 的取值范围是（ ）A ．01m << B.m ≥2 C.2m < D.m ≤2【答案】C.类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x 的取值范围：(1)； (2).【答案与解析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三：【变式】问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：（1）；（2）．【答案】解：（1）==；（2）==．3.我们可以计算出①=2=；=3而且还可以计算=2==3（1）根据计算的结果，可以得到：①当a＞0时=a；②当a＜0时=．（2）应用所得的结论解决：如图，已知a，b在数轴上的位置，化简﹣﹣．【思路点拨】（1）直接利用a 的取值范围化简求出答案；（2）利用a ，b 的取值范围，进而化简二次根式即可．【答案与解析】解：（1）由题意可得：①当a ＞0时=a ；②当a ＜0时=﹣a ；故答案为：a ，﹣a ；（2）如图所示：﹣2＜a ＜﹣1，0＜b ＜1， 则﹣﹣=﹣a ﹣b +（a +b ）=0．【总结升华】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，正确化简二次根式是解题关键．类型三、最简二次根式4 (122389)+++【思路点拨】此类题型为规律题型，应该是在分母有理化的基础上寻找规律. 【答案与解析】原式1(21)1(32)19-8...(12)(21)(23)(32)+9-8⨯-⨯-⨯++-+-（）（89)(）2132...9891 =2【总结升华】找出规律，是这一类型题的特点，要总结此类题型并加以记忆.举一反三： 2323+-a ，小数部分是b ，求22a ab b -+的值.【答案】2(23)(23)=3=7+43(23)(23)-+原式（）又因为整数部分是a ，小数部分是b 则a =13，b =43622221313(436)(436)a ab b ∴-+=-⨯+=3311003-。
2024年中考数学一轮复习考点04 二次根式(精讲)(解析版)25
考点04.二次根式（精讲）【命题趋势】二次根式在各地中考中，每年考查2道题左右，分值为8分左右，对二次根式的考查主要集中在对其取值范围、化简、计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察。
此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题。
【知识清单】1：二次根式的相关概念（☆☆）（1）二次根式的概念：形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式。
其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数。
注意：被开方数a 只能是非负数。
即要使二次根式a 有意义，则a ≥0。
（2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。
（3）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式。
2：二次根式的性质与化简（☆☆☆）（1）二次根式的性质：1）双重非负性：a ≥0（a ≥0）；2）)0()(2≥=a a a ；32(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（2）二次根式的化简方法：1）利用二次根式的基本性质进行化简；2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。
（3）化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。
3：二次根式的的运算（☆☆☆）（1）加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并。
口诀：一化、二找、三合并。
（2）乘法法则:两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.（3）除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.（4）分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程。
人教版九年级数学上册知识点二次根式知识讲解
人教版九年级数学上册知识点二次根式知识讲解鉴于数学知识点的重要性 ,小编为您提供了这篇人教版九年级数学上册知识点二次根式知识讲解 ,希望对同学们的数学有所帮助。
I.二次根式的定义和概念：1、定义：一般地 ,形如ā(a0)的代数式叫做二次根式。
当a0时 ,a表示a的算数平方根,0=02、概念：式子ā(a0)叫二次根式。
ā(a0)是一个非负数。
II.二次根式ā的简单性质和几何意义1)a ā0 [ 双重非负性 ]2)(ā)^2=a (a0)[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式]3) (a^2+b^2)表示平面间两点之间的距离 ,即勾股定理推论。
III.二次根式的性质和最简二次根式1)二次根式ā的化简a(a0)ā=|a|={ -a(a0)2)积的平方根与商的平方根ab=ab(a0 ,b0)a/b=a /b(a0 ,b0)3)最简二次根式条件：(1)被开方数的因数是整数或字母 ,因式是整式;(2)被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a(a0)、x+y 等;含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a^2、(x+y)^2、x^2+2xy+y^2等IV.二次根式的乘法和除法1 运算法那么ab=ab(a0 ,b0)a/b=a /b(a0 ,b0)二数二次根之积 ,等于二数之积的二次根。
2 共轭因式如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式 ,那么这两个代数式叫做共轭因式 ,也称互为有理化根式。
V.二次根式的加法和减法1 同类二次根式一般地 ,把几个二次根式化为最简二次根式后 ,如果它们的被开方数相同 ,就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2 合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3二次根式加减时 ,可以先将二次根式化为最简二次根式 ,再将被开方数相同的进行合并Ⅵ.二次根式的混合运算1确定运算顺序2灵活运用运算定律3正确使用乘法公式4大多数分母有理化要及时5在有些简便运算中也许可以约分 ,不要盲目有理化VII.分母有理化分母有理化有两种方法I.分母是单项式如:a/b=ab/bb=ab/bII.分母是多项式要利用平方差公式如1/a+b=a-b/(a+b)(a-b)=a-b/a-bII.分母是多项式要利用平方差公式如1/a+b=a-b/(a+b)(a-b)=a-b/a-b这篇人教版九年级数学上册知识点二次根式知识讲解是精品小编精心为同学们准备的 ,祝大家学习愉快!。
人教版数学九年级上册二次根式知识点总结
人教版数学九年级上册二次根式知识点总结21.1 二次根式1.二次根式：式子 (a≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；〔1〕被开方数的因数是整数，因式是整式；〔2〕被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如，， ..........都不是最简二次根式，而，，5 ，都是最简二次根式。
3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
如 , , 就是同类二次根式，因为 =2 ， =3 ，它们与的被开方数均为2。
4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。
如与，a+ 与a- ， - 与 + ，互为有理化因式。
二次根式的性质：1. (a≥0)是一个非负数, 即≥0;2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a≥0)；3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 =|a|=4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即= ·〔a≥0,b≥0〕。
5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方铲除以除式的算术平方根，即 = 〔a≥0,b;0〕。
21.2 二次根式的乘除1. 二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即〔≥0，≥0〕。
说明：〔1〕法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，、都是非负数；〔2〕〔≥0，≥0〕可以推广为〔≥0，≥0〕；〔≥0，≥0，≥0，≥0〕。
〔3〕等式〔≥0，≥0〕也可以倒过来使用，即〔≥0，≥0〕。
也称“积的算术平方根〞。
它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。
2. 二次根式的除法两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即〔≥0，＞0〕。
说明：〔1〕法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，≥0，在分母中，因此＞0；〔2〕〔≥0，＞0〕可以推广为〔≥0，＞0，≠0〕；〔3〕等式〔≥0，＞0〕也可以倒过来使用，即〔≥0，＞0〕。
【人教版】九年级数学下册中考知识点梳理：第4讲二次根式
【人教版】九年级数学下册中考知识点梳理：第4讲二次根式第 4 讲二次根式一、知识清单梳理知识点一：二次根式重点点拨及对应举例（ 1）二次根式的观点：形如a(a≥0)的式子 .失分点警告：当判断分式、二次根式构成的复（ 2）二次根式存心义的条件：被开方数大于或等于 0.合代数式存心义的条件时，注意保证各部分都存心义，即分母不为0，被开方数大于等于 01. 相关观点（ 3）最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整1等.例：若代数式存心义，则 x 的取值式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方x 1的因数或因式范围是 x ＞1.利用二次根式的两重非负性解题：（ 1）两重非负性：（1）值非负 : 当多个非负数的和为0 时，可得①被开方数是非负数，即a≥0；各个非负数均为0.如 a 1 +b 1=0，②二次根式的值是非负数，即a ≥0.则 a=-1， b=1.（2）被开方数非负 : 当互为相反数的两个数同注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平2.二次根式方根、二次根式 .的性质(2)两个重要性质：a a0① ( a)2＝ a(a≥0)；② a2＝ |a|＝a ；a0 (3)积的算术平方根：ab ＝ a · b (a≥0，b≥0)；(4)商的算术平方根：a ab (a≥0， b＞ 0)．b知识点二：二次根式的运算3.二次根式的先将各根式化为最简二次根式，再归并被开方数同样的二次根式．加减法4.二次根式的（ 1）乘法： a · b =ab ( a≥0，b≥0)；乘除法（ 2）除法：a a(a≥0， b＞ 0)．b=b5.二次根式的运算次序与实数的运算次序同样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）．混淆运算时出此刻二次根式的被开方数下时，可得这一对相反数的数均为0.如已知b=a1 +1 a,则 a=1,b=0.例：计算：3.142＝；2＝；3.142224=；=2；442993例：计算： 2 832＝3 2.注意：将运算结果化为最简二次根式.例：计算：32＝1；3232 4.2322运算时，注意察看，有时运用乘法公式会使运算简易 .例：计算： ( 2 +1)(2-1)= 1 .1。
人教版数学中考知识点梳理-二次根式
第4讲二次根式一、知识清单梳理
【素材积累】
1、走近一看，我立刻被这美丽的荷花吸引住了，一片片绿油油的荷层层叠叠地挤摘水面上是我不由得想起杨万里接天莲叶无穷碧这一句诗。
荷叶上滚动着几颗水珠，真像一粒粒珍珠，亮晶希望对您有帮助，谢谢晶的。
它们有时聚成一颗大水珠，骨碌一下滑进水里，真像一个顽皮的孩子！
2、摘有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。
房檐上挂满了冰凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩摘大地毯上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声旧出了，原来是雪摘告我们：和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来。
对了，还有树。
树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜春风来，千树万树梨花开。
真好看呀！。
人教版初中数学二次根式知识点总结全面整理
人教版初中数学二次根式知识点总结全面整理单选题1、函数y=√x−5中，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．答案：B解析：根据函数y＝√x−5可得出x－5≥0，再解出一元一次不等式即可.由题意得，x－5≥0，解得x≥5．在数轴上表示如下：故选B．小提示：本题要考查的是一元一次不等式的解法以及二次根式成立得出判定，熟练掌握一元一次不等式的解法是本题的解题关键.2、使√x−3有意义的x的取值范围是（）A．x≤3B．x＜3C．x≥3D．x＞3答案：C解析：先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．解：∵式子√x−3有意义，∴x-3≥0，解得x≥3．故选C．小提示：本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．3、下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．√14B．√48C．√abD．√4a+4答案：A解析：根据最简二次根式的定义和化简方法将二次根式化简成最简二次根式即可：如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式.那么，这个根式叫做最简二次根式．解：A、√14是最简二次根式，故此选项符合题意；B、√48=4√3不是最简二次根式，故此选项不符合题意；C、√ab =√ab|b|不是最简二次根式，故此选项不符合题意；D、√4a+4=2√a+1不是最简二次根式，故此选项不符合题意；故选A．小提示：本题主要考查了最简二次根式的判段，熟知最简二次根式的定义是解题的关键．4、下列各式中正确的是（）A．√42=±4B．√(−4)2=−4C．−√(−4)2=−4D．√(a)2=a 答案：C解析：根据二次根式的性质化简即可．解：A、√42=4，故本选项错误；B、√(−4)2=4，故本选项错误；C、−√(−4)2=−4，故本选项正确；D、√(a)2=|a|，故本选项错误；故选：C．小提示：此题考查了二次根式的性质，掌握基本性质是解题的关键．5、下列各式中正确的是（）A．√42=±4B．√(−4)2=−4C．−√(−4)2=−4D．√(a)2=a 答案：C解析：根据二次根式的性质化简即可．解：A、√42=4，故本选项错误；B、√(−4)2=4，故本选项错误；C、−√(−4)2=−4，故本选项正确；D、√(a)2=|a|，故本选项错误；故选：C．小提示：此题考查了二次根式的性质，掌握基本性质是解题的关键．6、下列各式化简后的结果为3√2的是（）A．√6B．√12C．√18D．√36答案：C解析：A、√6不能化简；B、√12=2√3，故错误；C、√18=3√2，故正确；D、√36=6，故错误；故选C．点睛：本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．7、下列运算正确的是（）A．√a+√b=√a+b B．2√a×3√a=6√aC．(a+b)2=a2+b2D．(x2)5=x10答案：D解析：A.根据同类二次根式的定义解题；B.根据二次根式的乘法法则解题；C.根据完全平方公式解题；D.幂的乘方解题．解：A. √a与√b不是同类二次根式，不能合并，故A错误；B. 2√a×3√a=6a，故B错误；C. (a+b)2=a2+2ab+b2，故C错误；D. (x2)5=x10，故D正确，故选：D．小提示：本题考查实数的混合运算，涉及同类二次根式、二次根式的乘法、完全平方公式、幂的乘方等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．8、下列运算正确的是（）A．√2 +√3=√5B．√18 =2√3C．√2•√3=√5D．√2÷√1=22答案：D解析：利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．解：A.√2与√3不能合并，所以A选项错误，不符合题意；B.原式=3√2，所以B选项错误，不符合题意；C.原式=√2×3=√6，所以C选项错误，不符合题意；D.原式=√2×2=2，所以D选项正确，符合题意．故选D．小提示：本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．填空题9、若m＜2√7＜m+1，且m为整数，则m＝_____．答案：5解析：利用二次根式的估值方法进行计算即可．解：2√7=√28，∵√25<√28<√36，∴5＜2√7＜6，又∵m＜2√7＜m+1，∴m＝5，所以答案是：5．小提示：本题考查了二次根式的估值求参数值的问题，熟练掌握二次根式的估值计算是解题的关键．10、如果√3−x在实数范围内有意义，那么实数x的取值范围是________答案：x≤3解析：根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．解：∵二次根式√3−x在实数范围内有意义，∴3-x≥0，解得，x≤3，所以答案是：x≤3．小提示：本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．11、若√17−n的值是整数，则自然数n的值为_____．答案：17或16或8或1解析：先根据二次根式的定义求出x的取值范围，再根据√17−n的值是整数这一条件对n的值进行讨论即可．由题意得：17-x≥0，解得，x≤17，当x=0时，原式=√17，不合题意；当x=1时，原式=√16=4，符合题意；当x=2时，原式=√15，不合题意；当x=3时，原式=√14，不合题意；当x=4时，原式=√13，不合题意；当x=5时，原式=√12=2√3，不合题意；当x=6时，原式=√11，不合题意；当x=7时，原式=√10，不合题意；当x=8时，原式=√9=3，符合题意；当x=9时，原式=√8=2√2，不合题意；当x=10时，原式=√7，不合题意；当x=11时，原式=√6，不合题意；当x=12时，原式=√5，不合题意；当x=13时，原式=√4=2；符合题意；当x=14时，原式=√3，不合题意；当x=15时，原式=√2，不合题意；当x=16时，原式=1；当x=17时，原式=0．综上所述，x=1、8、13、16或17．小提示：主要考查了二次根式的意义和性质及自然数的定义：概念：式子√a（a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．12、√12与最简二次根式5√a+1是同类二次根式，则a=_____．答案：2解析：先将√12化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．解：∵√12与最简二次根式5√a+1是同类二次根式，且√12=2√3，∴a+1=3，解得：a=2．故答案为2．小提示：本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．13、一个三角形的三边长分别为√8cm，√12cm，√18cm，则它的周长是___________cm．答案：5√2+2√3解析：试题解析：√8+√12+√18=2√2+2√3+3√2=5√2+2√3解答题﹣514、(1)计算：√12−√24√3(2)计算：6√13−14√48+(3√3−1)×√3答案：(1)﹣2√2﹣3；(2)9.解析：（1）先计算二次根式的除法运算，然后化简后合并即可；（2）先将各二次根式化为最简，有括号的去括号，再化简合并即可. 解：(1)原式＝√123﹣√243﹣5＝2﹣2√2﹣5＝﹣2√2﹣3；(2)原式＝2√3﹣√3+9﹣√3＝9．小提示：本题考查了二次根式的混合运算，注意运算中符号的变化.15、化简求值：（1a+1−a−3a 2−1）÷2a+1，其中a ＝√2+1．答案：1a−1，√22解析：先通过分式的性质化简，在代入求值即可；解：原式＝[a−1(a+1)(a−1)−a−3(a+1)(a−1)]⋅a+12， ＝2(a+1)(a−1)⋅a+12，＝1a−1，当a ＝√2+1时，原式＝，√2+1−1，＝√2＝√2．2小提示：本题主要考查了分式化简求值，二次根式的运算，准确计算是解题的关键．。
人教版九年级数学上册二次根式重点知识掌握和训练
九年级数学上册二次根式重点知识考查和训练教学目标】考点一：二次根式的定义和双重非负性1、 )0a ≥的式子，叫做二次根式。
2、 ”的双重非负性● 有意义的前提条件：被开方数0a ≥● 0考点二：二次根式的两个核心公式● ()20a a =≥● ()(){00a a a a a ≥-<==考点三：分母有理化1、 定义：将无理式分母转化为有理式分母的过程，叫做分母有理化。
2、 操作方法：分子、分母同时乘以分母的有理化因式考点四：最简二次根式1、 定义：同时满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：● 被开方数不含能开得尽方的因数和因式.● 被开方数不含分母.2、 约定：作为最终结果的二次根式，一般都要求化为最简的二次根式的形式.考点五：同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式知识点：判别同类二次根式的基本程序：①把二次根式化成最简二次根式；②比较最简二次根式的被开方数是否相同.考点六：二次根式的乘除法法则1、 二次根式的乘法法则)0,0a b ab a b =≥≥2、 二次根式的除法法则)0,0a b=≥≥ 考点七：二次根式的加减法法则把各二次根式化成最简的二次根式后，再把同类的二次根式进行合并.[教学过程]考点一：二次根式的定义和双重非负性1)0a ≥的式子，叫做二次根式。
2● 有意义的前提条件：被开方数0a ≥● 0例1、当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是 （ ）A ．a≥2B ．a ＞2C ．a≠2D ．a≠－2例2、若1a b -+互为相反数，则()2011a b -的值是针对训练：1、 x 的取值范围是（ ） A 12x x >-≠-且 B 1x ≥ C 1x ≥- D 2x ≠-2a b 、应满足的条件是 （ ） A 0,0b a ≥> B 0,0b a ≤< C a b 、同号 D a b 、同号且0a ≠3、已知实数x 、y 216640,y y -+= （ ）A 16-B 16C 4-D 44、若实数x y 、满足4y = ）A 2-B 2C 22-或D 不能确定考点二：二次根式的两个核心公式● ()20a a =≥●()(){00a a a a a ≥-<==例3 若212,1x x =--+化简针对训练1、 下列等式不正确的是 （ ）A a =B a =C 2a =D a =2、当0a <时，化简2a （ ）A aB 2-C 3aD 3a -32x =-，那么x 的取值范围是 （ ）A 2x >B 2x ≥C 2x <D 2x ≤4、化简二次根式 （ ）A B C D5、已知23x =-= 。
中考数学 黄金知识点系列 专题35 二次根式-人教版初中九年级全册数学试题
专题35 二次根式聚焦考点☆温习理解1、二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。
2、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
4、二次根式的性质（1）)0()(2≥=a a a（2）==a a 2(0)(0)a a a a ≥≤⎧⎨⎩ （3）)0,0(≥≥•=b a b a ab（4）)0,0(≥≥=b a bab a 5、二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。
名师点睛☆典例分类考点典例一、二次根式概念与性质【例1】（2016某某某某第4题）使二次根式1-x 有意义的x 的取值X 围是 A. 1≠x B. 1>x C. 1≤x D. 1≥x 【答案】D. 【解析】试题分析：使二次根式a 有意义的条件是被开方数a ≥0，所以使二次根式1-x 有意义的条件是x-1≥0，即x ≥1，故答案选D. 考点：二次根式有意义的条件.【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 【举一反三】 （某某）在式子11,,x 2,x 3x 2x 3---- 中，x 可以取2和3的是【 】 A ．1x 2- B ．1x 3- C ．x 2- D ．x 3-【答案】C ．考点：二次根式和分式有意义的条件. 考点典例二、二次根式的运算【例2】（某某）如果ab ＞0，a+b ＜0a ab b=1a b b a =aab b b=-其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③D ．①②③【答案】B. 【解析】答案：二次根式的乘除法． 【点睛】二次根式化简依据：)0,0(≥≥•=b a b a ab ，)0,0(≥≥=b a bab a ，本题是考查二次根式的乘除法，解答本题的关键是明确a ＜0，b ＜0． 【举一反三】（2016某某某某第13题）计算18212-的结果是． 【答案】22-. 【解析】 试题分析：2223221218212-=-⨯=- 考点：二次根式化简.考点典例三、二次根式混合运算 【例3】011244(12)382. 【解析】 试题分析：考点：二次根式的混合运算【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．【举一反三】（2016某某某某第5题）27312）A．0 B．2 C．23-D．3【答案】D．【解析】27312333233D．考点：二次根式的加减法．考点典例四、二次根式运算中的技巧【例4】（某某）若y=442x x---2，则（x+y）y=【答案】14．【解析】试题分析：根据被开方数大于等于0，列式求出x，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解．试题解析：由题意得，x-4≥0且4-x≥0，解得x≥4且x≤4，∴x=4，y=-2，∴x+y）y=（4-2）-2=14．考点：二次根式有意义的条件【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．【举一反三】（某某）若（m-1）2+2n =0，则m+n的值是（）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】A．考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．考点典例五、估算大小【例5】（某某）a，b是两个连续整数，若a＜7＜b，则a，b分别是（）A．2，3 B．3，2 C．3，4 D．6，8【答案】A．【解析】479479可得a=2，b=3．故选：A．考点：估算无理数的大小．【举一反三】（某某）若a ＜13＜b ，且a ，b 为连续正整数，则b 2-a 2=【答案】7.考点：估算无理数的大小．课时作业☆能力提升1. （2016年某某某某第3题）与5-是同类二次根式的是（ ）A ．10B ．15C ．20D ．25 【答案】C. 【解析】试题分析：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．10、15都是最简二次根式，被开方数与5-的被开方数不一样，因此A 、B 错误，5220=与5-的被开方数一样，因此C 正确，525=与5-的被开方数不一样，因此D 错误.故选C.考点：同类二次根式2. （2016某某某某第2题）下列计算正确的是（ ）A 1223=3323x x x -=-D 2x x = 【答案】A ． 【解析】试题分析：A 1223，正确；B．3622=，故此选项错误；C．3x x x-=-，故此选项错误；D．2x x=，故此选项错误；故选A．考点：二次根式的性质与化简．3.（2016某某某某第3题）函数y=中自变量x的取值X围是（）A．x≥0 B．x＞4 C．x＜4 D．x≥4【答案】D.【解析】试题分析：根据二次根式有意义的条件可得出x﹣4≥0，解得x≥4．故答案选D．考点：二次根式有意义的条件．4. （内江）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为2，则最后输出的结果是（）A．14 B．16 C．8+52 D．14+2【答案】C.考点：实数的运算．6. .（2016某某某某第6题）计算3﹣2的结果是（）A ．B ．2C ．3D ．6【答案】A. 【解析】试题分析：根据二次根式的加减运算法则可得原式=（3﹣2）=．故答案选A ．考点：二次根式的加减法．7（2016某某某某第12题）代数式9－x 有意义时，实数x 的取值X 围是 . 【答案】x ≤9. 【解析】试题分析：使二次根式9－x 有意义，必须满足9-x ≥0，即x ≤9. 考点：二次根式有意义的条件.8.（2016某某A 卷第14题）计算：04(2)+-=．【答案】3． 【解析】试题分析：04(2)+-=2+1=3．故答案为：3．9.（2016某某某某第12题）计算：2(27)=．【答案】28． 【解析】试题分析：原式=222(7)⨯=28．故答案为：28．考点：二次根式的乘除法．10.（2016某某湘西州第12题）计算3﹣2的结果精确到0.01是（可用科学计算器计算或笔算）（ ）【答案】C ．考点：计算器的运用.11.（2016某某某某第13题）计算18212-的结果是． 【答案】22-. 【解析】 试题分析：2223221218212-=-⨯=- 考点：二次根式化简.12.（2016某某呼伦贝尔市、兴安盟第9题）若1＜x ＜2，则23(1)x x -+-的值为（ ） A ．2x ﹣4 B ．﹣2 C ．4﹣2xD ．2【答案】D ．考点：二次根式的性质与化简．13. （2016某某某某第9题）化简：82-=． 【答案】2． 【解析】试题分析：原式=222-=2．故答案为：2． 考点：二次根式的加减法． 14.（2016某某东营第19题）(1)计算：(12016)－1＋(π―3.14)0－2sin60°―12＋|1－33|；(2)先化简，再求值：（a ＋1－4a －5a －1）÷（1a －1a 2－a ），其中a ＝2＋3．【答案】(1)原式=2016；（2）原式=a 2－2a.当a ＝2＋3时，原式＝3＋2 3. 【解析】试题分析：(1)根据绝对值的概念、零指数幂、负整数指数幂的法则，以及特殊三角函数值计算即可．(2)根据分式的运算顺序先化简再求值即可.试题解析：(1)原式＝2016＋1－2×32－23＋（33－1）＝2016＋1－3－23＋33－1考点：实数的运算；分式的化简求值.。
中考数学总复习 第4讲 二次根式 新版 新人教版
注意：将运算结果化为最简二次根式.
例：计 算： ＝1； 4.
5.二次根式的混合运算
运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）．
运算时，注意观察，有时运用乘法公式会使运算简便.
例：计算：( +1)( -1)=1.
二、习题处理
中考一本通P13---6、7 P15---5
三、课后反思：
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————
第4讲二次根式
一、知识清单梳理
知识点一：二次根式
关键点拨及对应举例
1.有关概念
（1）二次根式的概念：形如 (a≥0)的式子.
（2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0.
（3）最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
失分点警示：当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都有意义，即 分母不为0，被开方数大 于等于0等.例：若代数式 有意义，则x的取值范围是x＞1.
2.二次根式的性质
（1）双重非负性：
①被开方数是非负数，即a≥0；
②二次根式的值是非负数，即 ≥0.
注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式.
利用二次根式的双重非负性解题：
（1）值非负:当多个非负数的和为0时，可得各个非负数均为0.如 + =0，则a =-1，b=Байду номын сангаас.
（2）被开方数非负:当互为相反数的两个数 同时出现在二次根式的被 开方数下时，可得这一对相反数的数均为0.如已知b= + ,则a=1,b=0.
人教版中考数学核心考点归纳总结-二次根式乘除典例解析
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！二次根式乘除典例解析例1．化简(1)；(2)；(3)（x≥0）；(4)；(5)（a≥5）；(6)（a≥2）分析：此题中的各被开方数都可以分解成几个因数或因式积的形式，根据积的算术平方根的性质，把各因式的算术平方根，能开尽方的因数或因式要全部开出来，以达到化间的目的.解：（1）（2）（3）∵x≥0，∴原式=；（4）（5）∵a≥5，∴a-1≥0，a-5≥0，原式=（6）∵a≥2，∴a-2≥0，原式=小结：当被开方数是几个数相乘时，不要先求出乘积，而是把完全平方数的开出来；不是完全平方数的，就先分解因数或因式，然后再开方，注意一般地， . 另外要注意课本上强调本章中如未加说明的字母一般均表示正数，此题中（3）（5）（6）字母均有限制，目的保证被开方数是一个正数的完全平方数.例2．计算（字母均为正数）（1）；（2）；分析：逆向利用积的算术平方根的性质，（a≥0，b≥0）得到（a≥0，b≥0）这就是二次根式的乘法法则. 有理数的运算律、乘法公式对于二次根式同样适用.解：（1）（2）例3．比较下列各组数的大小：（1）和；（2）和；（3）和分析：比较两个根式的大小，可转化为比较两个被开方数的大小，具体做法是，将根号外面的正因式平方后移到根号里面，计算出被开方数，如果两个正数比较，也可以采用平方法，计算出它们的平方数，再比较大小.，一般地，如果a＞0，b＞0，且，则a ＞b.解：（1）∵，而45＞24，∴＞（2）∵而，∴＜（3）∵，∴小结：两个负数比较大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的数反而小.例4．计算（1）；（2）；（3）；（4）．分析：这是一组二次根式的乘除运算题，按照二次根式的乘除运算法则进行．解（1）原式．（2）原式．（3）原式．（4）原式．。
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二次根式考点解析
二次根式是中考考察的重点之一，在历年的中考试题中都有体现，现将年中考中关于这部分知识的考查点介绍如下．
考点一、识别同类二次根式
例1．下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ） Ａ．8
Ｂ．3.0
Ｃ．
3
2
Ｄ．12
=3010
13.0=，
6
3
132=，3212=．根据同类二次根式的定义可知
本题选Ｄ．
考点二、识别最简二次根式
例2．下列二次根式是最简二次根式的为（ ）
Ａ．
B
C D
解析：本题考查最简二次根式：符合条件（1）被开方式中不含有开得尽方的数或因式，（2）被开方
式中不含有分母，符合以上两个条件的二次根式叫最简二次根式，只有 A
考点三、化简二次根式 例3
＝ ．
解析：本题考查分母有理化：（1）互为有理化因式：•两个带有二次根式的代数式相乘不再含有二次
a a
，与；
（2）分母有理化：把分母中的根号化去过程，叫做分母有理化，•方法是在分子分母上同乘以分母的有理化因式．对该分式进行分母有理化，分子分母同
乘以的有理化因式2，化简得：2考点四、根据非负数的性质计算
例4．若m 2006
2006a b --53x y +的值．
分析：二次根式的被开方数必须是非负数，因而本题存在隐含条件20060a b +-≥，
20060a b --≥，由此求出a b +的值，问题也随之解决．
解：由二次根式的意义可得2006020062006200602006a b a b a b a b a b +-+⎧⎧+=⎨
⎨--+⎩⎩
，，
．．≥≥≥≤∴ ∴．
0=， 530380x y -=-=∴，
． 385
3
x y ==，∴， 533811x y +=+=∴．
考点五、求代数式的值
例5．先化简下面的代数式，再求值：(2)(2)2(1)x x x x +-++=，
解析：依据多项式的乘法法则得：
22(2)(2)2(1)42222x x x x x x x x +-++=-++=+-=，
代入该式得：2
2
2222x x +-=
+=．
考点六、根据规律判断两个二次根式的大小
例6．用计算器计算：1
2122--，13132--，14142--，1
5152
--，……，根据你发现的规律，判断
P =
Q =
（n 为大于1的整数）的值的大小关系为（ ）
Ａ．P Q < Ｂ．P Q =
Ｃ．P Q >
Ｄ．与n 的取值无关
解析：借助计算器可得：
1.732 1.414 1.291=
=
=
1.225=，由上面求得的这些数据的大小变化规律可以猜想出P Q ，之间的关系为P Q <，故知本题选Ａ．
考点六、开放性问题 （1）探索规律
所谓探索规律就是要通过由特殊推广到一般，并经过大胆地猜想、归纳和验证，从而获得正确的结果．
例7．观察下列各式：
===请你将发现的规律用含自然数n(n ≥1)的等式表示
出来 ．
解析：仔细观察寻找算式中变化的和没有改变的规律，很容易会得到结果为：
＝
(1n +（2）新定义运算
定义的新运算，实质是给出了一种变换规则，以此考查学生的思维应变能力和演算能力．解这类题的关键是深刻理解所给的定义或规则，将它们转化成我们熟悉的运算
例8．定义运算“@”的运算法则为: x@y＝，则(2@6)@8=．
解析：观察所给的表达式的形式，可知新运算的结果等于两边的字母（或数字）的乘积加4的算术平方根，所以(2@6)@8=2×6＋4@8＝4@8＝4×8＋4＝6
注：题中在一定前提条件下，定义了不同的新运算，计算时，应看清条件，分别计算．。