第24招 三角函数解析式的求法

【知识要点】
三角函数的解析式的求法一般有三种：待定系数法、图像变换法和代入法. 【方法讲评】
【例1】 已知函数())(0,)22
f x wx w f f +>-?的图像关于直线3x =对称，且图像上
相邻两个最高点的距离为p .
（1）求函数的解析式；（2）若2()()2
63
f a
p p
a =
<<，求3cos()2a p +的值.
（2）由（1）得())226f α
απ=⋅
-=所以1sin()64πα-=，又263
ππα<<得
0,
6
2
π
πα<-
<
所以cos()64πα-===，
3cos()sin sin[()266
πππααα+==-+1142
=
. 【点评】利用待定系数法求三角函数的解析式，需要建立关于各个待定系数的方程，这需要对函数的图
像和性质理解透彻，如：图像上相邻两个最高点的距离为p ，就是说函数的最小正周期是p ，而不是2p .如果方程错了，待定系数的值也自然是错的.
【反馈检测1】已知函数()()()
sin 0,0,0,f x A x b A b ωϕωϕπ=++>><<为常数的一段图象如图所示．
（1）求函数()f x 的解析式；（2）函数()f x 在y 轴右侧的极小值点的横坐标组成数列{}n a ，设右侧的第一个极小值点的横坐标为首项1a ，试求数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S ．
【例2】已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>． (1)令
1
2
ω=
,求函数()()()F x f x f x π=++的单调区间； (2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移
,
再往上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像．对任意的a R ∈,求()y g x =在区间[,10]a a π+上零点个数的所有可能值．
【点评】利用图像变换法求函数的解析式时，要对函数图像变换（平移变换、伸缩变换、对称变换和翻折变换）比较熟练，不要出错. 学科#网
【反馈检测2】已知函数()sin()(w 0,0)f x wx f f p =+><<的周期为p ,且0)4(=π
f ,将函数()
f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）,再将所得图像向右平移2
p
个单位长度后得到函
数()g x 的图像.
（1）求函数()f x 与()g x 的解析式；
（2）是否存在0(,)64
x p p
Î,使得)6
(),(),(00π
f x
g x f 按照某种顺序成等差数列？若存在,请求出0x 的
值，若不存在,说明理由；
（3）求实数a 与正整数n ,使得(x)f(x)()F ag x =+在(0,)n p 内恰有2013个零点．
【例3】 定义在区间[,]3
ππ-
上的函数)(x f y =的图象关于直线6
x =对称,当[,]36x π∈-时
函数()sin()(000)f x A x A ωϕω
ϕπ=+>><<图象如图所示．
(1)求函数)(x f y =在
2
[,]3
ππ-的表达式；(2)求方程()f
x =的解；
(3)是否存在常数m 的值,使得2|)(|<-m x f 在2[,]3
x π
π∈-上恒成立;若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由．
(2)当236x ππ-
≤≤
时
,2()2sin()3f x x π=+=2sin()3x π+=
∴23,344
x πππ+=或 即51212x ππ=-
或
,
当6x ππ≤≤时,()2sin f x x x === ∴344x ππ=或∴方程
()f x =
53121244ππππ⎧⎫-⎨⎬
⎩
⎭,,,
【点评】(1)这种方法关键在于理解，这种处理方法有点类似求轨迹方程里的“代入法”.可以把已知的图像上的点看作“主动点”，对称图像上的点看作是“被动点”，这样就好理解些了.(2)求对称点的坐标时，一般利用对称的知识列方程求解，不要算错了.
【反馈检测3】设函数()f x =sin (
3x π－6
π)－22cos 6x
π． (1)求()y f x =的最小正周期及单调递增区间；
(2)若函数()y g x =与()y f x =的图象关于点(0,1)对称，求当x [0,1]∈时，函数()y g x =的值域．
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第24讲：
三角函数解析式的求法参考答案
【反馈检测1答案】（1）()3sin 226f x x π⎛
⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭；
（2）21964
n n
S n π=⋅+.
【反馈检测2答案】（1）x x f 2cos )(=，x x g sin )(=；（2）不存在；（3）1±=a ，1342=n .学科#网 【反馈检测2详细解析】（1）由函数)sin()(ϕω+=x A x f 的周期为π可得，2=ω，又由0)4
(=π
f ，
πϕ<<0得2
π
ϕ=
，所以x x f 2cos )(=；将函数)(x f 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（保持
纵坐标不变）后可得x y cos =的图像，再将x y cos = x x g sin )(=.
（3）令0)()()(=+=x ag x f x F ，即0sin 2cos =+x a x ，当0sin =x 时，显然不成立；当0sin ≠x 时，
x x x x a sin 1sin 2sin 2cos -
=-
=，令x t sin =，则当]2,0[π∈x 时，]1,1[-∈t .由函数,1
2t
t a -=]1,1[-∈t 及x t sin =，]2,0[π∈x 的图像可知，当1±=a 时，x
x a sin 1
sin 2-
=在]2,0[π∈x 内有3个解.再由6713
2013
=可知，13426712=⨯=n ，综上所述，1±=a ，1342=n . 【反馈检测3答案】（1）6T =,单调递增区间为[6k －12，6k ＋5
2]，k z ∈；（2）值域为39[,]22.
【反馈检测3详细解析】(1)由题意知()f x
sin 3x π－32cos 3x π－1
3x π－3π)－1，所以
()y f x =的最小正周期T ＝
23
π
π＝6．由2k π－2π≤3πx －3π≤2k π＋2π，k z ∈，得6k －12≤x ≤6k ＋52，k z ∈，所以()y f x =的单调递增区间为[6k －12，6k ＋5
2
]，k z ∈． (2)因为函数()y g x =与()y f x =的图象关于直线2x =对称，设点(,)P x y 是函数图像()y g x =上一点，则其关于点（0,1）对称的点(2,2)P x y ¢-必在函数()y f x =的图像上，所以2y -
2sin()133
x p p
-- 所以3y =2sin(
)33
x p p
- 222323
010sin()
33
333333323
3293sin()3
3sin()
2332
2
332
x x
x x x x p p
p p p p p p
p p p p ＃\＃
所以函数()y g x =的值域为39
[,]22
.。