实数、有理数
数学各种数的概念
数学各种数的概念数学是一门研究数量、结构、变化和空间等概念的学科。
在数学中，有各种各样的数概念，这些概念是数学学习的基础，对于理解和应用数学知识都是至关重要的。
本文将介绍数学中一些常见的数的概念。
一、自然数自然数是最简单、最基本的数。
它们由0和正整数组成，用符号{0, 1, 2, 3, ...}表示。
自然数的特点是它们之间存在着顺序关系，后面的数比前面的数大1。
二、整数整数是由自然数、0和负整数组成。
整数集合用符号{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}表示。
整数和自然数不同的地方在于整数不仅包括正数，还包括负数和0。
整数之间的加减运算是封闭的，也就是说对两个整数进行加减运算后，结果仍然是一个整数。
三、有理数有理数是可以表示为两个整数之间的比值的数。
有理数包括整数和分数，它们的集合用符号Q表示。
有理数之间的加减乘除运算依然得到有理数。
四、无理数无理数是不能表示为两个整数之间的比值的数。
无理数包括无限不循环小数和无限循环小数，如π（圆周率）和√2（2的平方根）。
无理数和有理数一起构成了实数集。
五、实数实数包括有理数和无理数，它们构成了一个连续的数轴。
实数是数学中最基本的数系，包括了所有我们平时使用和接触到的数字。
六、复数复数是由实数和虚数组成的数。
虚数单位i是一个满足i²= -1的数，其中i称为虚数单位。
复数的一般形式为a + bi，其中a是实部，b是虚部。
复数在数学和物理学中都有重要的应用，它们可以表示平面上的向量、交流电路中的电压和电流等。
七、小数小数是指不是整数的数。
小数可以分为有限小数和无限循环小数两种类型。
有限小数是指小数部分有限位数的小数，如0.5、2.1等。
无限循环小数是指小数部分具有循环节并且无限循环下去的小数，如1/3=0.3333...。
八、分数分数是指两个整数之间的比值。
分数由一个分子和一个分母组成，分子表示被分割的份数，分母表示整体被分成的份数。
中考复习：有理数与实数讲解+练习
内容基本要求略高要求较高要求有理数理解有理数的意义会比较有理数的大小无理数了解无理数的概念能根据要求用有理数估计一个无理数的大致范围数轴能用数轴上的点表示有理数；知道实数与数轴上的点一一对应相反数会用有理数表示具有相反意义的量，借助数轴理解相反数的意义，会求实数的相反数掌握相反数的性质绝对值借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题近似数、有效数字和科学记数法了解近似数和有效数字的概念；会用科学记数法表示数在解决实际问题中，能按问题的要求对结果取近似值；能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断有理数运算理解乘方的意义掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）能运用的有理数的运算解决简单问题运算律理解有理数运算律能用运算律简化有理数运算实数了解实数的概念会进行简单的实数运算平方根、算术平方根了解开方与乘方互为逆运算，了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根会用平方运算的方法，求某些非负数的平方根立方根了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根会用立方运算的方法，求某些数的立方根二次根式及其性质了解二次根式的概念，会确定二次根式有意义的条件能根据二次根式的性质对代数式作简单变形；能在给定的条件下，确定字母的值二次根式的化简和运算理解二次根式的加、减、乘、除运算法则会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（不要求分母有理化）有理数与实数2014年中考怎么考2022年中考复习方案知识点一 有理数一、有理数注意：0既不是正数，也不是负数，前面带“—”号的不一定是负数二、数轴注意：原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.三、相反数⑴代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0的相反数是0． 相反数必须成对出现，不能单独存在．⑵几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．这两点是关于原点对称的．四、绝对值绝对值几何意义当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值．零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．五、科学计数法、有效数字科学记数法：把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中110a ≤<，n 是整数），此种记法叫做科学记数法．例如：5200000210=⨯就是科学记数法表示数的形式． 710200000 1.0210=⨯也是科学记数法表示数的形式．有效数字： 从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字． 如：0.00027有两个有效数字：2，7 ；1.2027有5个有效数字：1，2，0，2，7．注意：万410=，亿810=常考点及易错点：科学计数法中的单位转换，精确到什么位与保留有效数字的差别．记忆方法：移动几位小数点问题．比如：1800000要科学记数法，实际就是小数点向左移动到1和8之间，移动了6位，故记为61.810⨯．知识点二 实数①若0a ≥，则2()a a =；②不管a 为何值，总有2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩注：平方根要取正负，算术平方根只有一个且为非负．被开方数一定为非负数知识点三 二次根式自检自查必考点最简二次根式：⑴被开方数不能存在小数、分数形式⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式⑶分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．考点一有理数☞考点说明：本类题型无难度，但需要细心【例1】有理数－2的相反数是（）A.2B.－2C.12D.12-【例2】13-的倒数是（）A.3B.3- C.12D.13【例3】23-的倒数的绝对值为（）A.23B.32C.3D.2【例4】这些数1750.1390.10101010.1010010001211π----，，，，，，，……，……中为无理数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【例5】2009年初甲型H1N1流感在墨西哥爆发并在全球蔓延，研究表明，甲型H1N1流感球形病毒细胞的直径约为0.00000156 m，用科学记数法表示这个数（保留两位有效数字）是（）A．0.16×510-m B．0.156×510m C．1.6×610-m D．1.56×610m【例6】2010年上海世博会开园第一个月共售出门票664万张，664万用科学计数法表示为( )A.664×104B.66.4×l05C.6.64×106D.0.664×l07【例7】在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是5510-⨯cm，3210⨯个这样的细胞排成的细胞链的长是( )A．210-cm B．110-cm C．310-cm D．410-cm【例8】用四舍五入法按要求对0.06249分别取近似值，其中错误的是（）A．0.1（精确到0.1）B．0.06（精确到百分位）中考满分必做题C ．0.06（精确到千分位）D ．0.062（精确到0.001）【例9】 已知有理数a 与b 在数轴上的位置如图所示，那么a ，b ，a -，b -的大小顺序为___________【例10】已知01x <<，则2x ，x ，1x的大小顺序为_____________ 【例11】设23a m a +=+，12a n a +=+，1ap a =+，若3,a <-则（ ）A.m n p << B . n p m << C . p n m << D .p m n <<【例12】若化简绝对值26a -的结果为62a -，则a 的取值范围是（ ）A.3a >B.3a ≥C.3a <D.3a ≤【例13】若220x x -+-=，则x 的取值范围是____________【例14】 已知2()55a b b b +++=+，且210a b --=，那么ab =_______【例15】如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则11a b b a c c +------的值为______.考点二 实数与二次根式☞考点说明：本类型题在选择和填空中都有可能出现，只要掌握二次根式的四个公式即可 【例16】若a ＜11（ ）A ．2a -B ．2a -C ．aD ．a -【例17】已知1x <化简的结果是_______________. 【例18】下列计算正确的是（ ）A= B ．632=⋅C ．224=-3-【例19_________【例20】已知a b ，为两个连续的偶数，且a b <，则a b +=________． 【例21】把(2a -____________。
实数与有理数
实数与有理数实数和有理数是我们在数学中经常听到的概念。
它们都属于数学的一部分，但在某些方面又有所不同。
在本文中，我们将探讨实数和有理数的定义、性质以及它们的区别。
一、实数的定义和性质实数是包含所有有理数和无理数的数集。
有理数是可以用两个整数的比值来表示的数，而无理数是不能表示为有理数比值的数。
实数具有以下性质：1. 实数集是一个无限集合，不存在最大值或最小值。
2. 实数可以通过数轴上的点表示，每个实数在数轴上占据一个唯一的位置。
3. 实数可以进行加减乘除等基本运算，运算结果仍然是一个实数。
4. 实数具有传递性，即如果a < b且b < c，则a < c。
5. 实数集是完备的，即实数集中的任何一个无限数列都收敛于一个实数。
二、有理数的定义和性质有理数是可以用两个整数的比值来表示的数。
它包括整数和分数两部分。
有理数具有以下性质：1. 有理数的分数形式可以写为p/q的形式，其中p和q都是整数，q不等于0。
2. 有理数可以进行加减乘除等基本运算，运算结果仍然是一个有理数。
3. 有理数可以通过数轴上的点表示，每个有理数在数轴上占据一个唯一的位置。
三、实数与有理数的区别实数和有理数的主要区别在于是否包含无理数。
实数是一个更广泛的数集，包括有理数和无理数。
而有理数只是实数中的一部分，它不能表示无理数。
另外，实数集是一个无限集合，不存在最大值或最小值，而有理数集则存在最大值和最小值。
这是因为有理数可以通过两个整数的比值来表示，而整数本身就是有最大值和最小值的。
总结：实数和有理数都是数学中重要的概念，但在某些方面有所区别。
实数是包含所有有理数和无理数的数集，具有无限性和完备性的特点。
而有理数是可以用两个整数的比值来表示的数，它不包括无理数，有最大值和最小值的特点。
理解实数和有理数的概念对于我们的数学学习和应用具有重要意义。
通过深入研究它们的定义和性质，我们可以更好地理解数学的基本原理和推导过程，并在实际问题中进行有效的数值运算和分析。
实数的知识点
实数是数学中的一种基本概念，它包括有理数和无理数。
实数的概念在数学中具有重要的地位，并且在各个领域都有广泛的应用。
本文将从基本概念、实数的性质、实数的分类以及实数的应用等方面逐步展开。
一、实数的基本概念实数是数学中最基本的一个数系。
从直观上来理解，实数是包括所有可能的数值，无论是整数、分数还是无理数，都被认为是实数。
实数集通常用符号R表示，其中R代表实数的意思。
实数包括有理数和无理数两个部分。
二、实数的性质 1. 实数的有序性：实数集中的任意两个数都可以进行比较大小。
这是实数集的一个重要性质，它使得我们可以进行数字的排序和比较大小操作。
2. 实数的稠密性：在任意两个实数之间，总是可以找到另外一个实数。
这个性质说明实数集中没有任何空隙，每个数都可以用一个区间包围住。
3. 实数的完备性：实数集中的每个非空有上界的子集都有上确界。
这个性质保证了我们能够对实数进行精确的计算和推理。
三、实数的分类实数可以进一步分为有理数和无理数两个部分。
1. 有理数：有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数、零、正分数和负分数。
有理数可以用分数的形式表示，例如1/2、-3/4等。
2. 无理数：无理数是无法表示为两个整数的比值的数，包括无限不循环小数和无限循环小数。
无理数不能用分数的形式表示，例如π和√2等。
四、实数的应用实数在数学中的应用非常广泛，下面列举一些常见的应用领域：1. 几何学：实数被广泛应用于几何学中，用于描述线段的长度、角的度量等。
2.物理学：实数用于描述物理量的大小和关系，例如时间、质量、速度等。
3. 统计学：实数被用于统计学中，用于描述数据的分布、平均值、方差等。
4. 金融学：实数用于描述金融市场中的价格、收益率等。
5. 计算机科学：实数在计算机科学中被广泛使用，用于表示计算机程序中的浮点数和精确计算。
总结：实数是数学中的一个基本概念，包括有理数和无理数两个部分。
实数具有有序性、稠密性和完备性等性质，这些性质使得实数集在数学中具有重要的地位。
1、有理数、实数
6 =2- +12
］ 5)］=2-2+1- 5=1- 5 .
6 =2+1-( 2 +1) 2 −1 2
1
× 2(2×
2 3 - )+12 2
2 -1=2-
62
2
• 14:近似数： 近似数： 近似数
• 15:有效数字 ：对于一个近似数，从左边第一个不为 的数字起， 有效数字 对于一个近似数，从左边第一个不为0的数字起 的数字起， 到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。 到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。
• 16：规定：a0=1(a≠0), ：规定： 1 － p= a 是正整数） 是正整数 p (a≠0,p是正整数） a
例5、计算： 、计算： (1) ( 1 )−1 + ( 1
2 )0 × 3 − 8 − 1 − 5
2 −1
(2)
2 (2 cos 45o − sin 60 o ) + (4 − 5π ) 0 − ( 2 − 1) −1
解： (1)原式 原式=2+1×(-2)-［-(1原式 × ［ (2)原式 原式= 原式
1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2）正数都大于0,负数都小于0；正数大于一切负数； 正数都大于0,负数都小于0 正数大于一切负数； 0,负数都小于 3）数轴上的点与实数一一对应。 数轴上的点与实数一一对应。
实数包括有理数和无理数
什么是实数?
疑惑：什么是实数?
解析：实数这个概念是相对虚数而言的，如果一个数的平方是负数我们就说这个数是虚数。
虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创制，当时的观念认为这是不存在的数，所以称为虚数。
实数包括有理数和无理数。
其中无理数就是无限不循环小数，除了无理数就是有理数。
实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。
可以把实数理解为“实实在在存在的数”，而虚数是不存在的数。
结论：实数是相对虚数而言，实数包括有理数和无理数。
本文由索罗学院整理。
实数有理数讲义
第十二章 实数第1讲 实数的概念【知识要点】1. 无理数：无限不循环小数叫做无理数,也就是不能用两整数比表示的数.无理数可分为正无理数和负无理数.只有符号不同的两个无理数是互为相反数.2. 实数：有理数和无理数统称为实数.3. 实数分类：0⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数【学习目标】理解无理数、实数的概念【典型例题】【例1】 下列表述是否正确,并说明理由：（1）一个实数,不是正数,就是负数.（2）有限小数都是有理数,无限小数都是无理数.（3）一个有理数不是整数,就是负数.（4）一个无理数,不是正数就是负数.（5）一个实数不是有理数,就是无理数.【分析】利用实数、有理数、无理数的概念.【解答】因为零是实数,但它既不是正数也不是负数,在（1）的实数分类中并没有把零包括在内,所以（1）不正确. 无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数,而无限循环小数是有理数,所以（2）不正确.因为零是有理数,它既不是正数也不是负数,在（3）的有理数分类中没有把零包括在内,所以（3）不正确. 无理数可分为正无理数和负无理数,所以（4）正确.实数是有理数与无理数的统称,所以（5）正确.【注】零在实数中仍是正、负数的分界点,不可忽视.【例2】选择题：（1） 在实数范围内,有一个数不是正实数,这个数一定是（A ） 负实数 （B ）负有理数 （C ）非正实数 （D ）非负实数（2）实数31,, 3.14,0,7,0.1101100110004π--⋅⋅⋅ (两个11之间依次多一个0)中,无理数的个数有 （ ）（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个【解答】（1）按实数可以分为正实数,零,负实数,非正实数,即零或负实数,选（C ）.（2）判断无理数应根据无理数的概念“无限不循环小数是无理数”来断定,应选（B ）.【例3】分别将下列各数填入相应的横线上：3370.34321343213432134321 3.14161.13113111339153π-⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，（重复出现）,，（每两个3之间1的个数依次多1） 有理数是无理数是【分析】有理数是能表示为(0)a a b b b≠、是整数，且形式的数,无理数是无限不循环小数,分别用这两条标准去检验上面的数得出正确结果. 【解答】有理数是：3370.34321343213432134321 3.1416;3915-⋅⋅⋅，，（重复出现）,1.1311311133π-⋅⋅⋅，，（每两个3之间1的个数依次多1）.【基础训练】1. 实数可以分为和两类. 2． 有理数可以分为和;但按符号来分还可以分为、和.3．叫无理数.4．122,0.3,0.3,,3.14,37π 在无理数有个,它们是 5．写出在2和3之间的一个无理数.第2讲 数的开方（1）平方根和开平方【知识要点】1.平方根如果一个数的平方根等于a ,那么这个数叫做a 的平方根,也可叙述为：“如果2x a =,那么x 就叫做a 的平方根.”2.开平方求一个数a 的平方根的运算叫做开平方,a 叫做被开方数.3.平方根的性质一个正数有两个平方根,它们互为相反数.正数a 的两个平方根可以用“表示,a 的正平方根（又叫算术平方根）,读作“根号a ”; a 的负平方根,读作“负根号a ”.0=.因为任何一个正数、负数或零的平方都不是负数,所以负数没有平方根.4.开平方与平方的关系开平方与平方互为逆运算,根据平方根的意义,“如果2x a =,那么x 叫做a 的平方根”, x 记作我们得到：（1）一个正数的平方根的平方等于这个数,即：当0a >时,22,(;a a ==（2）一个正数的平方的正平方根等于这个数,即：当0a >时.a =一个负数的平方的正平方根等于这个数的相反数,即：当0a <时.a =-【学习目标】1.理解平方根与开平方的概念;2.理解开平方与平方互为逆运算的关系;3.掌握平方根的性质,分清平方根与算术平方根的区别,并知道它们之间的联系.【典型例题】例1 判断下列说法是否正确：（1）1的平方根是1. （2）-16的平方根是4±. （3）3±的平方根是9.（49=±. （5）-7是49的平方根 （64±【解答】（1）不正确.因为1是正数,1的平方根有两个,是1±.（2）不正确.因为-16是负数,负数没有平方根.（3）不正确.应该是3±的平方是9.（4）不正确81的正的平方根.它是一个正数9≠-.（5）正确.因为()2749-=，根据平方根的概念,-7是49的平方根,但反过来说,49的平方根是-7就错了.(6)不正确4=4的平方根,2±.【点评】解答这道题目是对巩固和掌握平方根的概念和性质不可忽视的基本训练.【例2】求下列各式的值：（1（2）（3）（4）【分析】144的正的平方根（即144的算术平方根）;求916的负的平方根（即916的算术根的相反数）;求的值就是求0.01的平方根;求2（-6）的算术平方根的相反数.搞清各式的符号语言的意义,是得到正确解的关键.【解答】（112= （2）34=-（3）0.1=± （4）6==-【例3】求下列各数的平方根：（1）0.64 （2）2564 （3）0 （4）2514⎛⎫- ⎪⎝⎭【解答】（1）20.64,0.64±=∴ （0.8）的平方根是0.8.±即：0.8.=±（2）25252555.8646488⎛⎫±=∴±=± ⎪⎝⎭ ，的平方根是（3）200000.=∴= ，的平方根是 （4）222598198114416416⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=±= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而，25991.444⎛⎫∴-±±=± ⎪⎝⎭的平方根是，即： 【点评】运用平方运算求一个非负数的平方根是常用的方法.用符号语言表示一个非负数的平方根,应由不习惯到习惯,这对加深平方根概念和性质的理解有好处.【例4】 已知21x -的平方根是5±,3x y -的平方根是2±,求x y +的平方根.【分析】由已知得：21x -=()25±,()232x y -=±，即：2125x -= ①,34x y -= ②,解由方程①和②组成的方程组得x 和y 的值,再求x y +的平方根.【解答】由已知得2125,34x x y -=⎧⎨-=⎩解得13,13316,3x x y x y y =⎧+=+=∴+⎨=⎩的平方根是4±. 【基础训练】1.下列说法正确的是（ ）（A ）因为3的平方是9,所以9的平方根是3（B ）因为-3的平方是9,所以9的平方根是-3（C ）因为2(3)-的底数为-3,所以2(3)-没有平方根（D ）因为-9是负数,所以-9没有平方根2.下列各数是否有平方根,如果有,有几个？并说明理由.（1）2(4)-（2）-8 （3）0 （4）2x -3.,求22a b +的值4.求下列各数的平方根和算术平方根（1）0.0009 （2）2(5)- （3）2(6)--5.求值.（1）2 （2 （3）（4）(2 （5（6） 【提高训练】1.一个数的算术平方根为a ,比这个数大2的数是 ( )(A)2a + （B 2 （C 2 （D ）22a +5a =-,则a 的取值范围为 （ ）(A) 5a ≥ （B ）5a ≤ （C ）5a > （D ）5a <3.若25x <<,.=4.已知9y ,求2x y 的值. 5.已知一个正数的平方根是23a a -和316a -,求a 的值.6.已知,x y 为实数,求2(1)3u x y =-+的最小值和取得最小值时,x y 的值.第2讲 数的开方（2）立方根和开立方【知识要点】1.立方根与平方根类似,有：如果一个数的立方等于a ,那么这个数叫做a 的立方根,用,读作“三次根号a ”a 叫做被开方数,“3”叫做根指数;也可叙述为“如果3x a =,那么x 就叫做a 的立方根”,x 2.开立方求一个数a 的立方根的运算叫做开立方.开立方与立方互为逆运算.3.立方根的性质我们已学过正数的立方是一个正数,负数的立方是一个负数,零的立方等于零,由立方运算可知正数有一个正立方根,负数有一个负立方根,零的立方根是零,也就是说任意一个数都有立方根,而且只有一个立方根.类似于平方与开平方之间的关系,根据立方根的意义,可以得到3a a ==.（以上a 是实数）,根指数3不能忽略.由于328=,2=,()328-=-,2=-,=一般地,如果a >0则=如果把非负数的立方根叫做算术立方根,那么负数的立方根可以由它的相反数的算术立方根的相反数来表示,也就是把“—”号提到根号外面来.典型剖析【学习目标】1.理解立方根与开立方的概念;2.理解开立方与立方互为逆运算的关系;【典型例题】【例1】 求下列各式的值：（1（2（3（4【分析】 由立方根的意义,如果3x a =,那么x 就叫做a 的立方根,x 记作可知a 的立方根3a =.【解答】 （1）3464,4==（2）()3464,4-=-=-4==-（3）33273,51255⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭（4）()311,1-=-=-【例2】 判断题（对的打“√”,错的打“×”）（1）1的立方根是1±.（2）任何数都有立方根.（3那么0a b -=.（4）两个互为相反数的立方根也是互为相反数.（5）一个数的立方根和平方根都是它本身,这个数是0或1.（64±.【解答】（1）（×）. 1的立方根是1.（2）（√）.任何实数a 都有唯一的立方根,（3）（√）.因为是a 的立方根,则3a =;同理,3b =.由可推出33=,即a b =.0a b ∴-=.（4）（√）. =∴两个互为相反数的立方根也互为相反数.(5) (×) 如果一个数x 的立方根是它本身,,x =3,x x ∴=()210.x x -=0x ∴=或1±.如果一个数x 的平方根是它本身,则x =,则()2,10x x x x =-=,所以0x ∴=或1.（6）（√）16==,它的平方根为4±.【例3】 若a <0,=______________.【解答】 a ,0a a a a =-==-+=.【例4】 求下列各数的立方根（1）0.216 （2）338- （3）125± 【分析】运用立方运算求一个数的立方根是常用的方法,求带分数的立方根,要先将带分数化为假分数.用=5==-,但对于平方根来说不能适用,因为复数没有平方根.【解答】（1）30.60.216=0.216∴的立方根是0.6,0.6=.（2）32738125-=- ,而332728⎛⎫-=- ⎪⎝⎭338∴-的立方根是32-,32=-. （3）()335125,5125=-=-125∴的立方根是5,5=;125-的立方根是5-,5=-.【基础训练】1. 判断（1）125512的立方根是58和58- （ ） （2）1216-的的立方根是没有意义的 （ ） （3）127-的立方根是13- （ ） （4）164的立方根是4 （ ）（5）35是27125±的立方根 （ ） 2.下列说法正确的是（ ）（A ）一个数的立方根有两个,且它们互为相反数（B ）任何一个数必有立方根和平方根（C ）一个数的立方根必与这个数同号（D ）负数没有立方根3. 求下列各数的立方根：27(1)343(2)(3)0216-4.求下列各式的值：3(1)(2)(3)⎛ ⎝5.计算：(2)【能力提高】1.3270n -=,则3()m n -的立方根= .2.若0,a <.3.已知m n A +=是8m +的算术平方根, 2m n B -=5n +的立方根,求35A B -的立方根.4.解方程：327(1)80x -+=5.==(1).(2),m n ==用含m n 、第2讲 数的开方（3）n 次方根【知识要点】1.n 次方根如果一个数的n 次方(n 是大于1的整数)等于a ,那么这个数叫做a 的n 次方根,也可叙述为“如果n x a =(n 是大于1的整数),那么x 就叫做a 的n 次方根”,x 平方根和立方根是n 次方根的特例.2.开n 次方求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方,a 叫做被开方数, n 叫做根指数.n 次方根简称为“方根”;开n 次方简称“开方”.3.n 次方根的性质由于n 次方根包含平方根和立方根在内,而平方根和立方根有不同的性质,这使得研究n 次方根的性质时,必然要把指数按奇数或偶数分别进行研究.与立方根类比：实数a 的奇次方根有且只有一个,,其中被开方数a 是任意一个实数,根指数n 是大于1的奇数.与平方根类比：正数a 的偶次方根有两个,它们互为相反数,正n 次根用表示,读作“n 次根号a ”,负n次根用“,其中被开方数0a >,根指数n 是正偶数（当2n =时,在n ）,负数的偶次方根不存在.因为零的n 次方等于零,所以零的n 次方根等于零,0=方法与技能：研究n 次方根,必须用分类思想把指数分为奇数和偶数来考虑,学习奇次根式时与立方根类比,学习偶次根式时与平方根类比,这种类比方法是数学思维重要方法之一.综上,无论n 为奇数还是偶数,对于正数a 的正n 称为正数a 的n 次算术根.（0的n 次算术根为零）正数a 的n 次算术根,有下列重要性质：（n 为大于或等于2的整数）即根指数与被开方数的指数如果有公因数则可以约去,这一公式可以顺用,即将化为反过来,也可以将【学习目标】1.理解n 次方根的概念;2.理解开n 次方与n 次乘方互为逆运算的关系;【典型例题】【例1】 求值：（1）32的五次方根 （2）-32的五次方根 （3）16的四次方根（4）64的六次方根 （4）0.000064的六次方根 （6）32243-的五次方根 【分析】 运用乘方运算求方根的值是常用的方法,对于正数的偶次方根有两个,它们互为相反数要充分理解,求n 次方根的值必须考虑指数的奇、偶性,增强分类的意识,学会正确的语言表述是很重要的,给书写也带来简便.【解答】 （1）5232=∴32的五次方根2==（2）()5232-=-∴-32的五次方根2==-（3）()4216±=∴16的四次方根2=±（4）()6264±=∴64的六次方根2=±（5）()60.20.000064±=∴0.000064的六次方根0.2==± （6）52323243⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∴32243-的五次方根23==-【例2】 选择题：1.下列语句中,正确的是（ ）（A ）正数a 的n（B ）如果n 是偶数,当且仅当a 是非负实数时,（C ）零的n 次方根无意义（D ）任何实数都能开方2.5x -在实数范围内能开偶次方根的条件是（ ）（A ）x 为任意实数 （B ）5x ≥ （C ）5x ≤ （D ）0x ≤【分析】理解立方根和开立方的概念【解答】1.（B ）当n 是奇数时,正数a 的n, 当n 是偶数时,正数a 的n次方根记作“,故（A ）错.当a 为非负实数时,a 有偶次方根,n 是偶数）有意义,故（B ）对.零的n 次方为零,故（C ）错.负数没有偶次方根,任何实数不一定都能开方,故（D ）错.2.（C ）由被开方数50x -≥解得5x ≤,故选（C ）.【例3】求适合下列等式中的x .（1）3910x -= （2）4810x =【分析】理解开n 次方与n 次乘方互为逆运算的关系【解答】（1）x 是910-的立方根,因为3391010--=（）,所以310-是910-的立方根,因此310x -= ,即0.001x =.（2）由已知可知,x 是810的四次方根,由于248(10)10±=,所以210±是810的四次方根,因此210x =±,即100x =±.【基础训练】 1.132-的五次方根是（ ） 2.81的四次方根是 （ ） 3. 423⎛⎫- ⎪⎝⎭的四次方根是（ ） 4. 5(5)-的五次方根是（ ）5.如果(0,)n x a a n =≥是偶数,那么x =6.下列式子中,正确的是()1(1(1()1A B C D =±=±=-=7.用符号表示下列各方根,并求出各方根的值.(1)12-的三次方的三次方根（2）164的六次方根（3）—8平方的六次方根8.计算：43)【能力提高】1.下列各式不正确的是(2(6()5(()A BC D a n=---=是奇数2.()(0)x y zy z z x x yxyzxyzx y z+++++≠=3.计算：200720071)1)4.已知n是自然数, an=成立.试讨论n及a的取值范围.第3讲 实数的运算（1）用数轴上的点表示实数【知识要点】知识点1 用数轴上的点表示无理数方法一：用画图的方法找到数轴上的一个点来表示它.例如：边长为1的正方形,对角线长为直角三角形中勾股定理后很容易知道,现在暂不作介绍）,正方形,以原点O 为圆心,正方形对角线为半径作弧,与数轴正 (半轴交于点A 与数轴负半轴交于点B 就表示 图1无理数方法二：用无限不循环小数点的近似值来确定这个点的位置.例如：π可以精确到百分位的近似数3.14来确定数轴上表示π这个点的位置.π1- 0 1 2 33.14 4 x知识点2 数轴上的点和实数成一一对应每一个有理数和无理数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来数轴上的每一个点都可以用一个有理数或无理数表示.为有理数和无聊隶属统称为实数,因此,全体实数所对应的点布满了整个数轴,数轴上的点和实数成一一对应.知识点3 实数的相反数和绝对值一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离,叫做这个数的绝对值,实数a 的绝对值记作a ∣∣ ,a 当0a >时a ∣∣ = 0 当0a =时a - 当0a <时绝对值相等,符号相反的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零,非零实数a 的相反数是a -.知识点4 两个实数大小的比较两个实数可以比较大小,其大小顺序的规定同有理数一样,负数小于零,零小于正数,两个正数,绝对值大的数较大;两个负数,绝对值大的反而小,从数轴上看,右边的点所表示的数总比左边的点索表示的数大.知识点5 同一数轴上,两点间的距离在数轴上,如果点A 、点B 索对应的数分别是a b 、,那么A B 、两点的距离AB a b ∣∣=∣-∣.方法与技能：当有理数系扩展到实数后,有理数的绝对值、相反数、大小比较法则都自然延伸到实数系.有关概念、性质仍然正确,特别是数形结合思想仍然是研究的重要方法.了解了数学系扩大的原则,大大的提高了学习的效率.【学习目标】1.会用数轴上的点表示实数;2.理解在实数范围内绝对值、相反数的概念,会比较实数的大小;【典型例题】【例1】写出下列各数的相反数与绝对值：0.5,1,0,5π-,【分析】与有理数一样,实数(0)a a ≠的相反数是a -;实数a 的绝对值的为(0)a a ≥或(0)a a -<.【解答】 0.5的相反数是0.5-,绝对值是0.5;11,1;0的相反数是0,绝对值是0;5π-的相反数是5π,绝对值是5π;的相反数是【例23与1.【分析】 3 2.23630.764≈≈-≈-1.732,11 1.7320.732≈≈-≈-∴可以先将无理数用近似的有限小数表示,转化为有理数后再进行比较.【解答】3 2.23630.764≈-≈-11 1.7320.732≈-≈-0.7640.732-<-31<【例3】 如图2,在数轴上,如果点A 、点B 求A B 、 两点间的距离.B A图2【解答】 (AB ∣∣【注】 也可以这样计算：[AB ∣∣=∣=--=【例4】 已知a b c 、、在数轴上的位置如图3所示,a b b c ∣+∣∣+∣的值等于（ ） （A ）2c a - （B ）2a b -（C ）a - （D ）b图 3【解答】 如图12-5所示,知b a c -<-<.,,()a a b a b c a b c b c =-∣+∣=--=-∣+∣=-+∴原式a a b c a b c a =-+++---=-.选（C ）.【例5】 当1x <-是,21x x ∣-∣=（ ） （A ）0 （B ）44x - （C ）44x - （D ）44x +【解答】 1,22,11,x x x x x <-∴->-∣-∣=- ∴原式22(1)44x x x x =-+--=-,选（B ）.【例6】 当9,x 的值是（ ）（A ）9 （B ）3 （C ）3- （D ）3±【解答】 0,99S ≥∴=≤.当且仅当290x -=时,S 的值最大,为9,此时3x =±,选（D ）.【分析】 x 的算术平方根,0,0x ≥,结合不等式的性质,获得如上.对于a b ∣-∣的几何意义是表示数轴两点a b 、间的距离,也是数形结合重要知识点,首先0a b ∣-∣≥,其次与实数绝对值概念结合,当a b ≥时,a b b a ∣-∣=-.这是有广泛应用的知识点.【例7】 6=,求x 的取值范围.【解答】 5x =∣-∣,表示点x 到点5的距离1x =∣+∣表示点x 到点1-的距离,从图4上观察,图4当点x 在点1-到点5之间时,恒有51156x x x x =∣-∣+∣+∣=++-=.15x ∴-≤≤.【基础训练】1.无理数可以用（ ）点来表示.2.数轴上的点都表示（ ）数.3.在数轴上表示 ）.44的相反数、绝对值依次是（ ）、（ ）.5.在数轴上分别标出53-，，.6.设在数轴上对应的点是M,在数轴上对应的点是N ,那么M 、N 两点间的距离是（ ）()()()()A B C D -7.比较下列各组数的大小.(2)-【能力提高】1.如果0,b a <<试化简2.由23<<,之间求一个无理数;3之间求两个无理数.3.已知a 为实数,化简4.一个正实数的两个4次方根分别为43a a -与316a -,求a 与这个正实数.第3讲 实数的运算（2）实数的运算【知识要点】知识点1 算术平方根的积和商(0,0)(0,0)a b a b =≥≥=≥> 注意：公式都是双向的,既可从左到右,也可从右到左,,非算数平方根,公式不一定成立.=0,0a b ≥≥时,成立.如0,0a b <≥,就不能直接应用,. 另一方面,对于上节已提到的算术根的基本性质=更要仔细对待.=如下的应用十分频繁：==根号内的数可以移到根号外;反过来,也可把根号外的数移到根号内),这里要特别注意a 的正负,如0,a <==-知识点2 近似数的精确度近似数与准确数的接近程度即近似程度,近似的程度的要求叫做精确度.近似数的精确度有以下两种表达方式：一种是精确到哪一个数位,例如精确到千分位（即保留3位小数）,那么准确数与近似数的误差不大于0.0005（即万分之五）,这是因为近似数是经过四舍五入截取得到的.另一种是指定保留几个有效数字.对于一个近似数,从左边第一个不是零的数字起,往右到末尾数字为止的所有数字,叫做这个近似数的有效数字.如果保留五个有效数字,π的近似值为 3.1416.那么π的准确值在 3.14155与3.14165之间,绝对误差为0.00005.如用π代表圆周率的准确值,则 3.14160.00005.π-<利用无理数的近似数作计算时,中间过程中,应比最后要求精确度多保留一位数字,到最后再按四舍五入法,按最后要求取近似值.知识点1和2都是难点,应结合典例剖析仔细理解.【学习目标】1.掌握实数的加减乘除运算;2.会运用算术平方根的积和商进行计算,理解近似数的精确度.【典型例题】【例1】不用计算器,计算：22.【分析】掌握实数的加减乘除运算,通过合并同类项以及算术平方根的积和商来计算.2222101(233(2(32) 1.=-+=-====⎡⎤=⎣⎦=-=【解答】【例2】已知0,0,m n >>化简：. 【分析】运用算数平方根的积和商来计算【解答】======【例3】化简π再用计算器求值,要求保留两位小数.【分析】运用算数平方根的商运算2.2363.1422 3.1627.026 6.32513.351C π=+==+≈⨯+⨯≈+≈【解答】【例401211)1).2+-【解答】32==-,211)2,==0111)11122===，3121)222.∴=-++-=-原式【例5】 当0a <时.【解答】0,).a a ===<=-【例6】化简的0)a ≠结果是（）()()()()A B C D --33()0,0.().a a a C -=-≥∴≤====- 【解答】选【基础训练】1 ） （A ）3 （B ）7 （C ）3- （C ）7-2．下列式子中,正确的是（ ）（A ）0.6= （B 13=-（B =（D ）6=±3．下列各式中,正确的是（ ）（A 4=± （B ）326(3)6a a =（C 3.14π=- （D ）0( 3.14)1π-=4．要使021(x +∣∣-3)有意义,则x 的取值范围是（ ）（A ）1x = （B ）x ≠±3（C ）1x ≥且x ≠±3 （D ）1x >且 x ≠±35．把-,得（ ）（A （B ）（C （D ）填空题：6. 2100b ∣-∣=,那么a =⎽⎽⎽⎽⎽⎽,b =⎽⎽⎽⎽⎽⎽.7．如果0x x +∣∣=,则x ∣=⎽⎽⎽⎽⎽⎽.8．计算232)2)=⎽⎽⎽⎽⎽⎽.9=⎽⎽⎽⎽⎽⎽.10．若01x <<,=⎽⎽⎽⎽⎽⎽.【能力提高】1．已知x y 、为实数,12y x =-,求34x y +的值.21=,求（1?=（2）?x =3．计算221)---.4．已知等式3x -2(3)0x +-=求x 的值5．已知1x x +=且1x x >,试求1x x-的值.第4讲 分数指数幂【知识要点】知识点1 （1）分数指数幂概念.把指数的取值范围扩大到分数,((0),m m nna a aa -=≥=>其中,m n 为正整数, 1n >.在这规定中的m na 与m na-叫做分数指数幂, a 是底数.(2)有理数指数幂概念整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂. 知识点2 运用有理数指数幂的性质计算 （1） 有理数指数幂运算性质：设0,0,a b p q >>、为有理数,那么①,p q p q p q p q a a a a a a +-⋅=÷=②()p q pq a a =③(),()ppppp p a a ab a b b b==（2） 利用幂的性质计算.幂的指数取值范围扩大到有理数后,幂的运算性质仍旧适用.【学习目标】1.理解分数指数幂的概念以及会运用指数幂的性质进行计算;2.理解分数指数幂的意义与表示方式以及它与算术根的内在联系.【典型例题】【例1】把下列方根转化为幂的形式,幂的形式转化为方根形式.24331(2)(6)3(7)()5-【分析】分数指数幂与方根互化时,方根的根指数作为分数指数的分母,被开方数的指数作为分数指数的分子.【解答】1411212135633534(1)43(2)3(3)1593(5)7(6)3----或或【例2】 计算：（结果用幂的形式表示）12111211111033336552228(1)()(2)1010(3)28(4)(5)(25)27a a a⨯⨯÷⋅⨯【分析】运用有理数指数幂的运算性质计算 【解答】11333822(1)()()2733⎡⎤==⎢⎥⎣⎦2121333311112222111111136236322121101010425555(2)10101010(3)28(28)164(4)(5)(25)(2)(5)25400a a a aa +-+⨯==⨯=⨯==÷⋅===⨯=⨯=⨯=【分析】利用方根形式转化为幂的形式,通过幂的性质来解决.【解答】151362555=⨯===1111315342424241114482(2)2222222+=⨯=⨯=⨯===⨯=111111233232216(23)32332323-=⨯÷=⨯÷=⨯=⨯=【例4】化简：a b c【分析】利用分数指数幂化简求值.【解答】a b c111()()()()()()a b cb c c a a bc a a b a b b c b c c ab c c a a bc a a b a b b c b c c ax x xx x x+++⋅⋅⋅------+++-⋅--⋅--⋅-==⋅⋅=⋅⋅()()()()()()()()()01b c b c c a c a a b a bc a a b b cxx+-++-++----===【例5】已知15533515,a b c==说明530ab bc ac--=成立. 【分析】引用辅助字母,利用幂的运算性质找出,,a b c的关系. 【解答】设15533515.a b c k===当0a b c===时,等式显然成立.若0,abc≠则11515133,5,15,abckkk======所以11111551551535a b a bk k k+=⨯=⨯=因为1k≠,所以111,3155c a b=+53.ab bc ac =+所以530.ab bc ac --=【基础训练】1.写成幂的形式 . 2.把326-写成方根的形式 .3.下列各式中错误的是 （ ）11111111112424()()()()()()(()n n n n n n nA ab a bB a b a bC a b a bD a b =-=-==+4.设,x y >则13()y x -可化为1122661133()()()()()()()()A y xB x yC x yD x y ⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎣⎦---5.如果0,a <则112332()()a a += （ ）()0()2()2()2A B a C a D a -6. 121()a a--= .7.计算11112222()()x y x y +-= . 8.计算：9.10.计算：11112222(3)(3)x y x y --+-【能力提高】0,0).x y >>=2.21()m n m nm m n m x +--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.计算：2240282(2)11)5S ---⨯-=--4.化简：1163()()x y y x -⋅-5.解答题：已知2212213333334,3,3,a b x a a b y b a b +==+=+求2233()()x y x y +-的值.《实数》章节测试（全卷共三个大题,满分150分,考试时间90分钟）一、选择题（本大题共6个小题,每小题4分,共24分）1.下列说法正确的是 （ ） A ．无限小数是无理数 B.带根号的数都是无理数 C ．无理数是无限小数 D.无理数是开方开不尽的数2.－27的立方根与81的平方根之和为 （ ） A.0 B.6 C.0或-6 D.0或63.下列式子中,正确的是 （ ）A ．3355-=- B.6.06.3-=- C. 13)13(2-=- D. 636±=4.有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应;②不带根号的数一定是有理数;③负数没有立方根;④无理数包括正无理数、负无理数和零.其中正确的有 （ ）A ．0个 B.1个 C. 2个 D.3个 5.若式子33112x x -+-有意义,则x 得取值范围是 （ ） A ．2≥x B.3≤x C.32≤≤x D.以上都不对 6.下列说法正确的有 （ ）①一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根;②64的平方根是±8,立方根是±4;③a ±表示a 的平方根,3a 表示a 的立方根;④a -一定是负数A. ①③B. ①③④C. ②④D. ①④二、填空题（本大题12个小题,每小题4分,共48分）7. 2)4(±的算术平方根是 ,36的平方根是 . 327-=8. 23- 23-9. 若52=x ,则=x ;若22)3(-=x ,则=x ;若16)1(2=-x ,=x ;10. 37-的相反数是 , 绝对值等于3的数是11. 若a =20, 则=2.0 ;289.114.23≈,且89.123=-x ,则=x .12. 如果正方体的体积扩大为原来的27倍,则边长扩大为原来的 倍;若体积扩大为原来的2n 倍,则边长扩大为原来的 倍. 13. 如果a ,b 都是有理数,且2232-=+b a ,则a = ,b =14. 已知01042=-++y x ,15. 若41<<x ,则化简22)1()4(-+-x x 的结果是16.若a ,b 都是无理数,且2=+b a ,则a ,b 的值可以是 .（填一组） 17．若n 为自然数,那么221(1)(1)n n +-+-＝ ．18a 和b 之间,a b <,那么a ,b 的值分别是 ．三、解答题（本大题7个小题,共78分）19.将下列各数的序号填在相应的集合里.（10分）①3512,②π,③3.1415926,④－0.456,⑤3.030030003……（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1）,⑥0,⑦115,⑧－39,⑨2)7(-,⑩1.0有理数集合：{ ……}; 无理数集合：{ ……}; 正实数集合：{ ……}; 整数集合： { ……};20.计算（10分） ⑪π++221（414.12≈ 精确到0.01） ⑫33325533++--21.（10分）已知12-a 的平方根是3±,13-+b a 的算术平方根是4,求b a 2+的平方根.22.（10分）已知a ,b 为实数,且满足01)1(1=---+b b a ,则20092009b a -的值是多少？23.（12分）已知x ,y 满足xx x y 289161622---+-=,求xy 的平方根.24.（12分）阅读下面的文字,解答问题.大家知道2是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此2的小数部分我们不可能全部地写出来,于是小明用12-来表示2的小数部分,你同意小明的表示方法吗？事实上,小明的表示方法是有道理,因为2的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是小数部分. 请解答：已知：y x +=+310,其中x 是整数,且10<<y ,求y x -的相反数.25.（14分）观察下列各式：==请写下你猜想的规律,用自然数(1)n n ≥的代数式表示,并证明你的猜想.第十四章三角形第一讲三角形的有关概念与性质【知识要点】1．三角形的概念：由不在同一直线上的三点顺次联结所组成的图形叫做三角形。
实数知识点大全总结
实数知识点大全总结实数是指包括有理数和无理数在内的所有数的集合。
实数包括正数、负数、零、有理数、无理数等各种类型的数。
实数有着丰富的数学性质和运算规律，在数学和其他学科中都有广泛的应用。
1. 实数的分类实数可以分为有理数和无理数两大类。
有理数是可以用分数表示的数，包括正整数、负整数、零、分数等。
有理数具有分数形式和小数形式两种表达方式，例如3/4和0.75都是有理数。
无理数是不能用分数表示的数，或者说是无限不循环小数的数。
无理数包括无限不循环小数和根号形式的数，例如π和√2都是无理数。
2. 实数的运算实数可以进行各种运算，包括加法、减法、乘法、除法等。
实数的运算遵循一定的性质和规律。
加法和减法：实数的加法和减法满足交换律、结合律和分配律，即a+b=b+a，a+(b+c)=(a+b)+c，a*(b+c)=a*b+a*c。
加法的逆元是减法，即a+(-a)=0。
乘法和除法：实数的乘法和除法也满足交换律、结合律和分配律，即a*b=b*a，a*(b*c)=(a*b)*c，a/(b*c)=(a/b)/c。
乘法的逆元是除法，即a*(1/a)=1。
3. 有理数的性质有理数具有以下性质：a) 有理数的加法和乘法封闭性：两个有理数的和、积仍然是有理数。
b) 有理数的序关系：任意两个有理数可以比较大小，成立大小关系。
c) 有理数的密集性：在任意两个有理数之间，都可以找到另一个有理数。
d) 有理数的稠密性：在有理数的任何两个不同的数之间总存在无数个有理数。
4. 无理数的性质无理数具有以下性质：a) 无理数的加法和乘法封闭性：两个无理数的和、积仍然是无理数。
b) 无理数的密度性：在任意两个无理数之间，总存在另一个无理数。
c) 无理数的非周期性：无理数小数部分是无限不循环小数。
d) 无理数的无限性：无理数是无限不可数的。
5. 实数的绝对值实数a的绝对值记作|a|，定义为：a≥0时，|a|=a；a<0时，|a|=-a。
初一实数知识点总结
初一数学概念实数：—有理数与无理数统称为实数。
有理数：整数和分数统称为有理数。
无理数：无理数是指无限不循环小数。
自然数：表示物体的个数0、1、2、3、4～（0包括在内）都称为自然数。
数轴：规定了圆点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
相反数：符号不同的两个数互为相反数。
倒数：乘积是1的两个数互为倒数。
绝对值：数轴上表示数a的点与圆点的距离称为a的绝对值。
一个正数的绝对值是本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
数学定理公式有理数的运算法则⑴加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0。
⑵减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
⑶乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。
⑷除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。
1、整数包括哪些数？自然数是什么？什么叫有理数？答：整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、什么叫数轴？在数轴上如何表示数？答：数轴是一条带有方向、原点和规定长度单位的直线。
一个有理数在数轴上总可以找出一点和它对应。
表示方向的箭头在直线的右端。
数轴上方或右方是正数、原点的左方或下方是负数、原点是零。
3、什么叫相反数？什么是绝对值？如何判定有理数的大小？答：到原点距离相等的两个数叫互为相反的数。
零的相反数是零。
数轴上表示的数a到原点的距离叫数a的绝对值。
一个正数的绝对值是它本身、一个负数的绝对值是它相反数、零的绝对值是它本身。
正数大于零，零大于负数，正数大于负数、两个负数绝对值大的反而小。
4、有理数加法法则是什么？答：符号相同的两数相加，和的符号与加数的符号相同，并把它们的绝对值相加；绝对值不等符号相异的两数相加，和的符号取绝对值较大的那个加数的符号，并把较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的数相加，和为零；任何数与零相加，和就是这个数。
实数与有理数
有理数和无理数统称实数。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来数轴上的每一个点都表示一个实数。
实数的分类有两种，一是分类是：正数、负数、0；另一种分类是：有理数、无理数。
实数包括有理数和无理数。
其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。
①相反数（只有符号不同的两个数，我们就说其中一个是另一个的相反数）实数a的相反数是-a②绝对值（在数轴上一个数所对应的点与原点0的距离）实数a的绝对值是：|a|= ①a为正数时，|a|=a②a为0时， |a|=0③a为负数时，|a|=-a③倒数（两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数）实数a的倒数是：1/a （a≠0）有理数有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。
正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零3种数整数和分数的统称。
正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零3种数。
由于任何一个整数或分数都可以化为十进循环小数，反之，每一个十进循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进循环小数。
有理数集是整数集的扩张。
在有理数集内，加法、减法、乘法、除法（除数不为零）4种运算通行无阻。
有理数的大小顺序的规定：如果a-b是正有理数，就称a大于b或b小于a，记作a＞b或b＜a。
任何两个不相等的有理数都可以比较大小。
有理数集与整数集的一个重要区别是，有理数集是稠密的，而整数集不是稠密的。
将有理数依大小顺序排定后，任何两个有理数之间必定还存在其他的有理数，这就是稠密性，整数集没有这一特性，因为两个相邻的整数之间就没有其他的整数了。
[1]数学术语有理数可分为整数和分数也可分为正有理数，0，负有理数。
除了无限不循环小数以外的数统称有理数。
整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n（m，n都是整数，且n≠0）的形式。
初中数学专题训练--实数--《有理数》本章测试
《有理数》本章测试与巩固练习一、选择题：1．下列说法正确的是（ ）（A ）整数包括正整数和负整数 （B ）分数包括正分数和负分数 （C ）1是最小的有理数 （D ）符号相反的数互为相反数2．c b a -,,表示的数如图所示，则c b a -,,由小到大的顺序为（ ） （A ）b c a ,,- （B ）c a b -,, （C ）c b a -,, （D ）a c b ,,-3．若a a -=，则a 一定是（ ）（A ）正数 （B ）负数 （C ）非负数 （D ）非正数4．一个数的倒数的相反数是524，则这个数是（ ） （A ）522- （B ）522 （C ）225- （D ）2255．计算200020032003)1(1)1()1(-+-÷-+-的值为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）2二、填空题：1．若赢利2 000元记作＋2 000元，则亏损800元记作__________； 2．计算____2123____,59=+-=--； 3．存折中有4 500元，取出1 300元，又存入800元，则存折中还有___________元； 4．_________的倒数是它本身；5．近似数51060.9⨯精确到________位，有效数字是_________。
三、解答题：1．在数轴上表示下列各数，并按从大到小的顺序用“＞”把这些数连接起来：3-，－5，213，－2.5，2)2(--，－（－1），0 2．按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： （1）2.879（精确到百分位） （2）9.527（精确到0.1）（3）0.036 403（保留3个有效数字） （4）17 249（精确到千位） 3．计算：（1）314)14.0(314+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛- （2）2)2()2(3---⨯（3）－65×4－（－2.5）÷（－0.1） （4）⎪⎭⎫⎝⎛++-÷51312160（5）942)1(2125.0-⨯⎪⎭⎫⎝⎛-÷- （6）)3()4()2(8102-⨯---÷+-4．某公路检修组乘汽车沿公路检修，约定前进为正，后退为负。
实数六大基本定理
实数的六大基本定理是指以下六个关于实数的重要数学定理：
实数存在性定理（Completeness Axiom）：实数集合是一个完备的数学对象，它满足实数序列的收敛性和有界性，即实数集合中的任意非空有上界的子集都有最小上界。
实数唯一性定理：实数具有唯一性，即在实数集合中不存在两个不同的数值对应于同一数。
实数无理数定理：实数中存在无理数，即不能表示为两个整数的比例形式的实数，如根号2和圆周率π。
实数有理数定理：实数中存在有理数，即可以表示为两个整数的比例形式的实数，如整数和分数。
实数连续性定理：实数集合是连续的，即对于任意两个实数a和b（a < b），在它们之间存在无限多个实数。
实数的稠密性定理：实数集合中的有理数和无理数是稠密分布的，即在实数集合中的任意两个不同实数之间，总存在一个有理数或一个无理数。
这些基本定理在实数的理论和应用中起着重要的作用，它们为实数的性质和运算提供了基础和保障。
这些定理是由数学家们在研究和探索实数的性质中发现和证明的重要结果。
实数注意事项
实数注意事项有以下几个实数的注意事项：1. 实数包括有理数和无理数。
有理数是可以表示为两个整数之间比值的数，如整数、分数和循环小数。
无理数是不能表示为有限小数或循环小数的数，如根号2和π。
2. 实数可以用数轴上的点表示。
数轴上的每一个点都对应一个实数，而每一个实数都对应数轴上的一个点。
数轴上的正方向表示正数，负方向表示负数。
3. 实数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
这些运算满足交换律、结合律和分配律，即对于任意实数a、b和c，有a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)，a * (b + c) = a * b + a * c。
4. 实数之间可以进行比较。
对于任意两个实数a和b，有a = b（相等），a > b （大于），a < b（小于），a >= b（大于等于），a <= b（小于等于）等关系。
5. 实数满足三角不等式，即对于任意三个实数a、b和c，有a + b <= a +b ，a - b <= a + b 。
6. 实数可以进行四舍五入和取绝对值操作。
四舍五入是把一个实数近似到最接近的整数或某个小数位数的值。
取绝对值是把一个实数的符号去掉，保留其大小。
7. 实数可以用科学记数法表示。
科学记数法表示一个实数为一个小于10的数乘以10的幂，如2.5 * 10^3表示2500。
8. 实数可以进行开方和幂运算。
开方是求一个实数的平方根，幂运算是求一个实数的某个幂次方，如2的平方根是根号2，2的3次方是8。
9. 实数有无穷多个，可以通过无限的小数进行表示。
例如，π是一个无限不循环小数，它是一个无理数。
总之，实数是数学中最基本的数，它们的性质和运算规则是数学的基础。
了解这些注意事项可以帮助我们更好地理解和运用实数。
实数可以分为有理数和无理数两类
实数可以分为有理数和⽆理数两类最后⼀条是区分实数和有理数的关键。
例如所有平⽅⼩于 2 的有理数的集合存在有理数上界，如 1.5；但是不存在实数上界（因为不是有理数）。
实数通过上述性质唯⼀确定。
更准确的说，给定任意两个有序域 R1 和 R2，存在从 R1 到 R2 的唯⼀的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。
5相关性质基本运算实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘⽅等，对⾮负数（即正数和0）还可以进⾏开⽅运算。
实数加、减、乘、除（除数不为零）、平⽅后结果还是实数。
任何实数都可以开奇次⽅，结果仍是实数，只有⾮负实数，才能开偶次⽅其结果还是实数。
4图册四则运算封闭性实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。
有序性实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满⾜下列三个关系之⼀：ab.传递性实数⼤⼩具有传递性，即若a>b,b>c,则有a>c.阿基⽶德性实数具有阿基⽶德（Archimedes）性，即对任何a，b ∈R，若b>a>0,则存在正整数n，使得na>b.稠密性实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另⼀个实数，既有有理数，也有⽆理数.唯⼀性如果在⼀条直线（通常为⽔平直线）上确定O作为原点，指定⼀个⽅向为正⽅向（通常把指向右的⽅向规定为正⽅向），并规定⼀个单位长度，则称此直线为数轴。
任⼀实数都对应与数轴上的唯⼀⼀个点；反之，数轴上的每⼀个点也都唯⼀的表⽰⼀个实数。
于是，实数集R与数轴上的点有着⼀⼀对应的关系。
完备性作为度量空间或⼀致空间，实数集合是个完备空间，它有以下性质：⼀.所有实数的柯西序列都有⼀个实数极限。
有理数集合就不是完备空间。
例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。
实际上，它有个实数极限√2。
实数可以分为有理数和无理数两类
集合 R 满足完备性，即任意 R 的有非空子集S ( S∈R，S≠Φ)，若 S 在 R 内有上界，那么 S 在 R 内有上确界。
最后一条是区分实数和有理数的关键。
例如所有平方小于 2 的有理数的集合存在有理数上界，如 1.5；但是不存在实数上界（因为不是有理数）。
实数通过上述性质唯一确定。
更准确的说，给定任意两个有序域 R1 和 R2，存在从 R1 到 R2 的唯一的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。
5相关性质基本运算实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数和0）还可以进行开方运算。
实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。
任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。
4图册四则运算封闭性实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。
有序性实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一：a<b,a=b,a>b.传递性实数大小具有传递性，即若a>b,b>c,则有a>c.阿基米德性实数具有阿基米德（Archimedes）性，即对任何a，b ∈R，若b>a>0,则存在正整数n，使得na>b.稠密性实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数.唯一性如果在一条直线（通常为水平直线）上确定O作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右的方向规定为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴。
任一实数都对应与数轴上的唯一一个点；反之，数轴上的每一个点也都唯一的表示一个实数。
于是，实数集R与数轴上的点有着一一对应的关系。
完备性作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间，它有以下性质：一.所有实数的柯西序列都有一个实数极限。
有理数集合就不是完备空间。
例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142,1.41421, ...) 是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。
有理数和实数
有理数和实数有理数和实数是数学中的两个重要概念，它们在数轴上表示了不同的数值范围。
本文将深入探讨有理数和实数的定义、性质和应用。
一、有理数有理数是可以表示为两个整数之比的数。
有理数包括正整数、负整数、0和分数。
有理数可以用分数表示，其中分母不为0。
例如，1/2、-3/4和5都是有理数。
有理数具有以下性质：1. 有理数的加法和减法：两个有理数相加或相减，结果仍然是有理数。
例如，3/4 + 1/4 = 1和-5/6 - 1/6 = -1。
2. 有理数的乘法和除法：两个有理数相乘或相除，结果仍然是有理数，除数不为0。
例如，2/3 × 4/5 = 8/15和-3 ÷ 6 = -1/2。
3. 有理数的大小比较：对于任意两个不同的有理数，可以通过比较它们的大小关系。
例如，1/2 < 3/4和-2/3 > -5/6。
有理数在实际生活和数学中有广泛的应用。
例如，在分数运算中，有理数可以表示两个整数之间的比例关系；在经济学中，有理数可以表示货币的数量；在地理学中，有理数可以表示温度、海拔等。
二、实数实数是数轴上的所有数的集合，包括有理数和无理数。
实数可以用小数表示，无限不循环小数是无理数。
例如，π和√2都是无理数。
实数具有以下性质：1. 实数的加法和减法：两个实数相加或相减，结果仍然是实数。
例如，1.5 + 0.5 = 2和-2.8 - 1.2 = -4。
2. 实数的乘法和除法：两个实数相乘或相除，结果仍然是实数，除数不为0。
例如，2.3 × 0.5 = 1.15和-3.6 ÷ 2 = -1.8。
3. 实数的大小比较：对于任意两个不同的实数，可以通过比较它们的大小关系。
例如，0.5 < 0.7和-2 > -3。
实数是数学中最常用的数集，它们在几乎所有数学分支中都有应用。
例如，在代数中，实数可以作为方程或不等式的解；在微积分中，实数可以表示函数的定义域和值域；在统计学中，实数可以表示数据的测量结果。
实数和有理数的概念
实数和有理数的概念实数和有理数的概念实数的概念•实数是数学中一个重要的数集，包含了所有的有理数和无理数。
•一个数如果可以表示成无限不循环小数，那么它就是一个实数。
•实数集包括整数、分数、小数、无限循环小数和无限不循环小数等。
有理数的概念•有理数是可以表示为两个整数的比值的数。
•有理数集包括整数、分数和有限小数。
整数•整数是没有小数部分的数。
•整数集包括正整数、负整数和零。
分数•分数是两个整数的比值，其中分母不为零。
•分数可以表示为有理数的一个形式。
有限小数•有限小数是有限位数的小数。
•有限小数也可以表示为有理数的一个形式。
实数和有理数的关系•有理数是实数的一个子集，即每一个有理数都是实数，但并非所有的实数都是有理数。
•无理数是实数集减去有理数集后剩下的部分。
•无理数不能表示为两个整数的比值，例如圆周率π和自然对数的底数e都是无理数。
结论•实数集包含了有理数和无理数。
•有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和有限小数。
•实数和有理数是数学中非常重要的概念，它们在各种数学运算和数学证明中都起到了关键的作用。
实数的性质•实数集是一个无穷集合，其中的元素可以进行加、减、乘、除等运算。
•实数具有可比性，即任意两个实数都可以进行比较大小。
•实数集满足交换律、结合律、分配律等运算法则。
有理数的性质•有理数具有有限性，即有理数的表示形式要么是整数，要么是分数，不会无限循环。
•有理数可以进行四则运算，并且运算的结果仍然是有理数。
实数和有理数的应用•实数和有理数的概念在数学中广泛应用于代数、几何、概率、数论等各个数学分支中。
•实数和有理数的概念也应用于自然科学、工程学、经济学等各个学科中，帮助解决实际问题。
实数和有理数的重要性•实数和有理数是数学中最基础的概念之一，它们为数学的发展提供了坚实的基础。
•实数和有理数的研究和应用推动了数学的发展，也提供了人类思维的一种抽象和形式化方式。
总结•实数是包括有理数和无理数在内的数的集合，有理数是可以表示为两个整数的比值的数。
实数集合的符号
实数集合的符号引言实数集合是数学中的基本概念之一，它包含了所有的实数。
在数学中，我们需要使用一些特定的符号来表示实数集合及其性质。
本文将介绍这些符号及其含义。
实数的定义实数是可以用有理数表示的数。
有理数是可以写成两个整数的比值的数（分母不为零），包括整数、分数和小数。
实数集合包括所有的有理数和无理数，如根号2、圆周率π等。
我们可以用符号来表示实数集合。
实数集合的符号1.N：自然数集合，包括0、1、2、3…2.Z：整数集合，包括所有的正整数、负整数和零。
3.Q：有理数集合，包括所有的整数、分数和小数。
有理数可以表示为两个整数的比值。
4.R：实数集合，包括所有的有理数和无理数。
实数不能被表示为有理数的比值。
实数集合的性质实数集合具有以下性质： 1. 实数集合是无限的，无论是有理数还是无理数。
这是因为我们可以用无穷的小数表示实数。
2. 实数集合是连续的，不存在实数之间的空隙。
这是实数集合的一个重要性质，在数轴上，任意两个实数之间都存在着其他的实数。
3. 实数集合是有序的，可以根据大小关系进行排序。
实数集合上的大小关系可以通过比较两个实数的大小来确定。
4. 实数集合上有加法、减法、乘法和除法等运算，满足各种基本性质。
实数集合的表示方式实数集合可以通过数轴来表示。
数轴是一个直线，用来表示实数集合上的大小关系。
我们可以在数轴上将实数集合划分为不同的区间，每个区间表示一定范围内的实数。
区间表示在数轴上，我们可以用符号表示区间，以表示其中所有的实数。
以下是一些常见的区间表示方式： 1. (a, b)：开区间，表示所有大于a且小于b的实数。
2. [a, b]：闭区间，表示所有大于等于a且小于等于b的实数。
3. [a, b)：半开区间，表示所有大于等于a且小于b的实数，包括a。
4. (a, b]：半开区间，表示所有大于a且小于等于b的实数，包括b。
区间的无穷表示除了有限的区间表示方式，实数集合还可以通过无穷来表示。
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（1）有理数、实数 〖考试内容〗
有理数，数轴，相反数，数的绝对值；平方根，算术平方根，立方根.无理
数，实数.近似数与有效数字. 〖考试要求〗
①理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.
②借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）.
③了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.
④了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根.会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.
⑤了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应.
⑥能用有理数估计一个无理数的大致范围. ⑦了解近似数与有效数字的概念，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值.
⑧会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）
〖考点复习〗
1．正数、负数
[例1]（2005大连）气温升高1°记做＋1°，气温下降6°记做_________。
2．相反数、绝对值、倒数
[例2] （2005常州）31
-的相反数是 ，
31
-的绝对值是 ， 3
1-的倒数是 ． 3．有理数、无理数和实数
[例3] （2005常州）在下列实数中，无理数是（） A 、5 B 、0 C 、
7 D 、5
14
4．数轴
[例4] 4．（2005连云港）北京等5个城市的国际标准时间（单位：小时）可在数轴上表示如下：
如果将两地国际标准时间的差简称为时差，那么（ ）
A ．汉城与纽约的时差为13小时
B ．汉城与多伦多的时差为13小时
C ．北京与纽约的时差为14小时
D ．北京与多伦多的时差为14小时 5．平方根、立方根
[例5]（2005无锡）4的平方根是________，8的 立方根是________。
6．科学记数法
[例6]（2005福州）接《法制日报》2005年6月8日报道，1996年至2004年8年 全国耕地面积共减少114000000亩，用科学记数法表示为（ ）
A 、1.14×106
B 、1.14×107
C 、1.14×108
D 、0.114×109
7．有理数的比较 [例7]（2005无锡）比较4
1
,31,21--的大小，结果正确的是（ ） A 、
413121<-<-
B 、314121-<<-
C 、213141-<-<
D 、4
12131<-<-
8．估算
[例8] （2005安徽）5. 一批货物总重1.4×107kg, 下列可将其一次性运走的合适运输工具是 ( )
A. 一艘万吨巨轮
B. 一架飞机
C. 一辆汽车
D. 一辆板车
〖考题训练〗
1．（2005福州）吐鲁番盆地低于海平面155m ，记作—155m 。
福州鼓山绝顶峰高于海平面919m ，记作＿＿＿＿＿m 。
2．（2005厦门）－3的相反数是 . 3．（2005海淀区）一个数的相反数是3，则这个数是（ ）
A 、 31-
B 、3
1
C 、3-
D 、 3
4．（2005资阳）1
2
-的绝对值是
A. -2
B. 12-
C. 2
D. 12
5．（2005茂名）已知，－5的相反数是a ，则a 是 （ ）
A 、5
B 、5
1
-
C 、51
D 、－5
6．（2005南京）如果a 与-2互为倒数，那么a 是（
A 、-2
B 、-2
1 C 、2
1 D 、
2 7．（2005徐州）写出一个比零小的有理数：_______________。
8．（2005上海）在下列实数中，是无理数的为
（ ）
A 、0
B 、－3.5
C
D 9．（2005陕西）A 为数轴上表示-1的点，将点A 沿数轴向右平移3个单位到点B ，则点B 所表示的实数为（ ）
A 、 3
B 、 2
C 、-4
D 、2或-4 10．（2005南京）9的算术平方根是 （ ）
A 、-3
B 、3
C 、± 3
D 、81 11．（2005 内江市）第五次全国人口普查结果显示，我国的总人口已达到1300000000人，用科学记数法表示这个数，结果正确的是( )
A 、8103.1⨯
B 、9
103.1⨯ C 、101013.0⨯ D 、9
1013⨯
12．（2004深圳）今年6月5日是第33个世界环境日，其主题是“海洋存亡，匹夫有责”．目前全球海洋总面积约为36105.9万平方公里，用科学记数法(保留三个有效数字)表示为（ ）
A 、3.61×108平方公里
B 、3.60×108平方公里
C 、361×106
平方公里 D 、36100万平方公里
13．（2005深圳）在0，-1，1，2这四个数中，最小的数是
A 、-1
B 、0
C 、1
D 、2 14．（2005苏州）温家宝总理有句名言：“多么小的问题乘以13亿，都会变得很大；多么大的经济总量，除以13亿都会变得很小”据国家统计局的公布，2004年我国淡水资源总量为26520亿立方米，居世界第四位，但人均只有 立
方米，是全球人均水资源最贫乏的十三个国家之一。
15．（2005常州）用计算器计算sin35°≈ ，
≈41 (保留4个有效数字)。
16．（2005深圳）实数a 、b 在数轴上的位置如
图所示，那么化简|a-b|-2a 的结果是
A 、2a-b
B 、b
C 、-b
D 、-2a+b 17．（2004重庆）自然数中有许多奇妙而有趣的
现象，很多秘密等待着我们去探索！比如：对任意一个自然数，先将其各位数字求和，再将其和乘以 3后加上1，多次重复这种操作运算，运算结果最终会得到一个固定不变的数R ，它会掉入一个数字“陷井”，永远也别想逃出来，没有一个自然数能逃出它的“魔掌”.那么最终掉入“陷井”的这个固定不变的数R= . 〖课后小测〗
1．（2004厦门）－3的相反数是 。
2．（2005苏州）1
3
-的相反数是 。
3．（2004大连）3的相反数是( )
A 、33-
B 、3-
C 、3
3D 、3 4．（2005 内江市）2005-的绝对值是( )
A 、2005-
B 、2005
1- C 、2005
1
D 、2005
5．（2005济南）若a 与2互为相反数，则|a ＋2|等于( )
A 、0
B 、－2
C 、2
D 、4
6．（2004湟中）1
2
-的相反数的倒数是____。
7． (2004河北)
22-的值是
A 、2-
B 、2
C 、4
D 、4- 8．（2004贵阳）据中新社报道：2010年我国粮食产量将达到540000000000千克，用科学记数法表示这个粮食产量为______千克.
9．(2004河北) 第五次全国人口普查结果显示，我国的总人口已达到1 300 000 000人，用科学记数法表示这个数，结果正确的是
O
a
A、1.3×108
B、1.3×109
C、0.13×1010
D、13×109
10．（2005南京）10在两个连续整数a和b之间，a<10<b, 那么a , b 的值分别是。
11．（2004重庆）自然数中有许多奇妙而有趣的
现象，很多秘密等待着我们去探索！比如：对任
意一个自然数，先将其各位数字求和，再将其和
乘以3后加上1，多次重复这种操作运算，运算
结果最终会得到一个固定不变的数R，它会掉入
一个数字“陷井”，永远也别想逃出来，没有一
个自然数能逃出它的“魔掌”.那么最终掉入“陷
井”的这个固定不变的数R= .。