1.1.1集合的概念与表示

第一章集合与函数概念第一部分 集合一．教学课题：第一节 集合的含义与表示二．教学目标：1.了解集合的概念，2.掌握集合中元素的性质，并能正确理解元素与集合的关系3.能够将集合正确的表示，来解决相关的实际问题三．教学过程（一）.知识提点1.集合的概念一般而言，我们把所研究的对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

2.集合中元素的性质（1）确定性：对于给定的集合，它的元素必须是确定的，即任何一个元素在不在这个集合中就确定了。

（2）互异性：对于给定的集合，它的元素必须是各不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。

（3）无序性：对于给定的集合，它的元素的顺序是可以不一样的。

注意：1.对于满足三种性质的元素，才能构成集合；2.在解决很多实际问题涉及到集合中元素时，需要对元素的互异性进行检验。

应用1：判断下列元素的全体是否构成集合。

（1）一年中有31天的月份；（2）方程0342=+-x x 的实数解。

（3）视力好的同学。

3.元素与集合的关系集合常用大写字母A,B,C,…表示，元素用小写字母,,,c b a …表示；（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to ）A ，记作∈a A ；（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to ）A ，记作a ∉A ；（3）集合相等：构成两个集合的元素相等。

注意：1.元素与集合的关系只有属于和不属于两种情况；2.判断集合相等一般可直接通过元素判断。

应用1：设A 表示“中国所有省会城市”组成的集合，则宜宾A ； 成都A . （填∈或∉）4.常用数集（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ；（2）全体正整数组成的集合称为整数集，记作N *或N +；（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ；（4）全体有理数集组成的集合称为有理数集，记作Q ；（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R 。

应用1：给出下列关系：① R ∈21；② 2Q ∉；③3N +-∉；④3.Q -∈ 其中正确的个数为（ ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5.集合的表示法（1）将集合中的元素一一列举出来，并用大括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法；（2）用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，其一般形式为{|}x A P ∈，其中x 代表元素，P 是限制条件；（3）数轴法；（4）韦恩图法；（5）区间法。

注意：1.当集合中的元素个数较少的时候，一般采用列举法表示集合，应该将集合中的元素全部列举；2.当集合中的元素个数较多的时候，一般采用描述法表示集合，要正确描述元素的共同性质和特征；运用描述法表示集合时，如果代表元素x ∈R ，那么这一部分可以适当省略，但是x 不能省略。

应用1：用适当的方法表示以下集合：（1）大于10而小于20的合数；（2）方程230x x -=的所有实数根组成的集合；（3）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；（4）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合；（5）方程组23x y x y +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合；（6）一次函数y x =与21y x =-的图象的交点组成的集合.应用2：（二）.例题分析A 级题组例1.对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是______．变式训练1：(1)已知2{1,0,}x x ∈，则实数x 的值为________(2)已知集合2{4}{}a =，则a =________(3)若221{10},2{0}x x ax b x x ax b ∈+++=∈+-=，则__a =，__b =例2．（集合与方程的解）若方程x2＋mx ＋n ＝0(m ，n ∈R)的解集为{－2，－1}，则m ＝______，n ＝______．变式训练2．若集合A ＝{x ｜x 2＋(a －1)x ＋b ＝0}中，仅有一个元素a ，则a ＝______，b ＝______．例3.（集合中元素互异性的考查）集合{3，x ，x 2－2x }中，x 应满足的条件是______．变式训练3：某个含有三个实数的集合既可表示为{b ，ab ，0}，也可以表示为{a ，b a +，1}，则b a -的值为________.B 级题组例1：下列各组集合是否为相等集合，说明理由(1){21,}A x x k k Z ==+∈，{21,}B t t k k Z ==-∈,C ={偶数}(2){21,}A x x k k Z ==+∈，{21,}B x x m m Z ==-∈(3){(2,3)}A =, {2,3}B =(4)2{(,)}A x y y x ==, 2{}B y y x ==,2{}C x y x ==注意：点集与数集的区别变式训练1：说出下列集合的含义 (1){012,21,}x x x k k Z <-<=-∈（2）{(,)21,,}x y x y x R y R +=∈∈变式训练2：下列各选项中的M 与P 表示同一个集合的是( )A ．M ＝{x ∈R ｜x 2＋0.01＝0}，P ＝{x ∈R ｜x 2＝0}B ．M ＝{(x ，y)｜y ＝x 2＋1，x ∈R}，P ＝{(x ，y)｜x ＝y 2＋1，x ∈R}C ．M ＝{y ｜y ＝t 2＋1，t ∈R}，P ＝{t ｜t ＝(y －1)2＋1，y ∈R}D ．M ＝{x ｜x ＝2k ，k ∈Z}，P ＝{x ｜x ＝4k ＋2，k ∈Z}例2.若集合A={1，2，3，4，5}，B={),(y x ｜A y x A y A x ∈-∈∈,,},则B 中所含元素个数为 （ ）A.3B.6C.8D.10C 级题组例1.已知集合A ＝{x|ax 2－2x ＋1＝0}.(1)若A 中恰好只有一个元素，求实数a 的值；(2)若A 中至少有一个元素，求实数a 的取值范围.解：(1)∵A 中恰好只有一个元素，∴方程ax 2－2x ＋1＝0恰好只有一个根.当a ＝0时，方程的解为x ＝12满足题意； 当a ≠0时，Δ＝(－2)2－4a ＝0，∴a ＝1.∴所求a 的值为a ＝0，或a ＝1.(2)∵A 中至少有一个元素，∴方程ax 2－2x ＋1＝0有实数根.当a ＝0时，恰有一个根x ＝12满足题意； 当a ≠0时，Δ≥0，即(－2)2－4a ≥0，解得a ≤1.∴所求实数a 的取值范围是{a|a ≤1}.例2.实数集A 满足条件1A ∉,若A a ∈,则A a∈-11; （1）若2A ∈，求A ；（2）集合A 能否为单元素集？若能，求A ；若不能，说明理由（3）求证：A a∈-11。

解：（1）若A ∈2，由于2≠1,则 A ∈-2111，即A ∈-1∵A ∈-1,-1≠1∴A ∈--)1(11，即A ∈21 ∵A ∈21,21≠1 ∴A ∈-2111,即A ∈2 综上所述，若A ∈2，则A 中还有另外两个数-1和21∴A={-1，21，2}（2）集合A 不可能为单元素集证明：不妨设A 是单元素的实数集，则有aa -=11， 即012=+-a a∵Δ=2)1(--4×1×1=-3<0，∴方程012=+-a a 没有实数根，∴集合A 不可能为单元素集（3）证明：∵若A a ∈,则A a∈-11 ∴A a∈--1111,即 A a ∈-11∴ 原命题得证。

随堂练习A 级题组1. 下列说法正确的是（ ）.A ．某个村子里的高个子组成一个集合B ．所有小正数组成一个集合C ．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合D ．13611,0.5,,,,2244这六个数能组成一个集合 2.用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0}为( )A.{1,1}B.{1}C.{x ＝1}D.{x 2－2x ＋1＝0}3.集合{=A 面积为1的矩形}，{=B 面积为1的正三角形}，则正确的是（ ） A.B A ,都是无限集B.B A ,都是有限集C.A 是有限集B 是无限集D.B 是有限集A 是无限集4.下面命题：① {2，3，4，2}是由四个元素组成的；②集合{0}表示仅一个数“零”组成的集合；③集合{1，2，4}与{4，1，2}是同一集合；④集合{小于1的正有理数}是一个有限集。

其中正确的是（ ）.A ③④ .B ②③ .C ①② .D ②5.直线21y x =+与y 轴的交点所组成的集合为（ ）.A. {0,1}B. {(0,1)}C. 1{,0}2-D. 1{(,0)}2-6.集合{},,M a b c =中三个元素可构成一个三角形三边的长,则此三角形一定不是 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形7.设下面8个关系式{}00,,2.0,3∈∈∉∈+N Q Q R ，{}φφφφ==∉∈0,0,0,0 其中正确的个数是（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个8.用列举法表示集合{|510}A x Z x =∈≤<为.9.集合A ＝{x |x =2n 且n ∈N }， 2{|650}B x x x =-+=，用∈或∉填空： 4A ，4B ，5A ，5B .10.M ＝{x|x ≤22}，且a ＝32，则a 与M 的关系是 .11.若集合}01|{2=++x ax x 有且只有一个元素，则实数a 的取值集合是B 级题组1.已知集合A ＝{x ∈N ＋|－5≤x ≤5}，则必有 ( )A.－1∈AB.0∈AC.3∈AD.1∈A2.若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z ｜y x z +=，A y A x ∈∈,}中元素的个数为A.5.B.4C.3D.23.已知集合P ＝{0，1，2，3，4}，Q ＝{x ｜x ＝ab ，a ，b ∈P ，a ≠b}，用列举法表示集合Q ＝______4.集合{21,}A x x k k Z ==+∈与集合{21,}B x x m m Z ==-∈的关系是________5.对于各含有2个元素的集合,A B ，其中{,},{,},A a b B c d ==定义运算A B *还是一个含有2个元素的集合，{,}A B ac bd ad bc *=-+，那么{0,1}{0,1}*=________6.设y x ,都是非零的实数， 则xyxy y y x x ++的值组成的集合的元素个数为；7.已知集合{}4,433,222-+-+-=x x x x M ，若M ∈2，求满足条件的实数x 组成的集合。

8.用列举法表示下列集合。

（1）A={x N ∈|N x ∈-99} (2) B={N x ∈-99|x N ∈}(3) C= {y|62+-=x y ，∈x N +,N y ∈}(4）D={(y x ,)|62+-=x y ,∈x N ,N y ∈}(5) E={x |x q p=,N q N p q p ∈∈=+,,5*}9.设A 表示集合{a 2＋2a －3,2,3}，B 表示集合{2，|a ＋3|}，已知5∈A 且5∉B ，求a 的值.解： 因为5∈A ，所以a 2＋2a －3＝5，解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，|a ＋3|＝5，不符合题意，应舍去.当a ＝－4时，|a ＋3|＝1，符合题意，所以a ＝－4.C级题组1.已知集合22==-∈，求证：A x x m n m n Z{,,}（1）任何奇数都是A的元素.（2）偶数42()-∈不属于A.k k Z证明：（1）对任意奇数x=2t-1(t∈Z)由于：x=2t-1=t2-(t-1)2只要：令：m=t,n=t-1--->x=m2-n2∈A（2）对于A中的任意元素x=m2-n2=(m+n)(m-n)如果m,n奇偶性不同，则m+n,m-n必同为奇数，x也必为奇数；如果m,n奇偶性相同，则m+n,m-n必同为偶数，x必能被4整除。