刹车距离与二次函数 2
2.3.刹车距离与二次函数
y=2x2+1
y
9
y=2x2
8 7 6 5 4 3 2 1
o
x 1 2 3 4
y y = 2x 2
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3
y = 2x 2 -1
o
1
2
3பைடு நூலகம்
4
x
y y = 2x 2
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1
0.5.
0.75.
1
x
-0.25. -0. 5. -0.75. -1.
y=3x2-1
二次函数y=ax +c的图象有什么关系 的图象有什么关系？ 二次函数y=ax2与y=ax2+c的图象有什么关系？ 二次函数y=ax +c的图象可以由 的图象可以由y=ax 二次函数y=ax2+c的图象可以由y=ax2的图象 平移c个单位得到. 当c > 0 时 向上平移c个单位得到. 平移- 个单位得到. 当c < 0 时 向下平移-c个单位得到.
刹车距离与二次函数
1 2 雨天行使时， 雨天行使时，这一公式为 s= v 50
影响刹车距离的最主要 因素是汽车行使的速度及 路面的摩擦系数。 路面的摩擦系数。 经我们实践和研究表明： 经我们实践和研究表明： 晴天在某段公路上行驶时速度为 V (km/h)的汽车的刹车距离 S / 的汽车的刹车距离 1 2 m 可由公式 s = v 确定。 确定。
4. a 越大 开口越小, 越大,开口越小 开口越小 a 越小 开口越大 越小,开口越大 开口越大.
议一议 函数y=2x2+1 y=2x +1的 图象是什么形状? 它的开口方向,对称 轴和顶点坐标分别 是什么?它与y=2x2 y=2x 的图象有什么相同 和不同? y = 2x 2 -1呢? 呢
刹车距离与二次函数
对称轴 y轴 轴 y轴
顶点坐标 （ 0， -1）
0.75. 0.5. 3x2-1
-1
-0.75.
-0.5. -0.25
0.
0.25.
0.5.
0.75.
1
x
二次函数 二次函数 y=3x2-1与 y=3x2-1与 与 y=3x2 的图象 y=3x2 的图象 形状相同， 形状相同，只 有什么关系？ 有什么关系。 是位置不同。 是位置不同？
32
相同点： 相同点： 开口方向 顶点 16 不相同点： 不相同点： 形状
0 20 40 60
增减性
v速度 公里 小时 速度(公里 小时) 速度 公里/小时
80
100
S(m)
112 96 80 64 48 32 16
1 S雨＝ 50 V2
1 S晴＝100
V2 v
1 2 S晴= 100V
0 20 40 60 80 100 4 16 36 64 100 8 32 72 128 200
二次函数y= 二次函数y= ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象 +c的图象可以由 平移c个单位得到. 当c > 0 时 向上平移c个单位得到. 向下平移|c|个单位得到. 平移|c|个单位得到. |c|个单位得到 当c < 0 时
上加下减
函数 y=ax2 y=ax2+c 开口方向 a>0时 a>0时,向上 a<0时 a<0时,向下 a>0时 a>0时,向上 a<0时,向下 时向 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0,0） 0,0） （0,c） 0,c
S距离 米) 距离(米 距离
如果行车速度是60km/h,那么 如果行车速度是60km/h,那么 112 在雨天行驶和在晴天行驶相比， 在雨天行驶和在晴天行驶相比， 刹车距离相差多少米？ 刹车距离相差多少米？ 96
刹车距离与二次函数
§2．3 刹车距离与二次函数课时安排3课时从容说课本节课要研究的问题是关于函数y=ax2和y=ax2+c的图象的作法和性质，逐步积累研究函数图象和性质的经验．“刹车距离”是二次函数关系的应用之一，本节借助晴天和雨天刹车距离的不同，引出二次函数y＝ax2的系数a对图象的影响．由此可知二次函数是某些实际问题的数学模型．由现实生活中的“刹车距离”联系到二次函数，说明数学应用的广泛性及实用性。
在教学中，由实际问题入手，能激起学生的学习兴趣和信心，运用类比的学习方法，通过与y=x2的图象和性质的比较，总结出它们的异同，从而更进一步地掌握不同形式的二次函数的图象和性质．课题§2．3 刹车距离与二次函数教学目标(一)教学知识点1．能作出y=ax2和y=ax2+c的图象．并研究它们的性质．2．比较y=ax2和y＝ax2+c的图象与y=x2的异同．理解a与c对二次函数图象的影响． (二)能力训练要求1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．通过比较y＝ax2，y=ax2+c与y=x2的图象和性质的比较．培养学生的比较、鉴别能力．(三)情感与价值观要求1．由“刹车距离”与二次函数的关系．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．2．由有趣的实际问题，使学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．教学重点1．能作出y＝ax2和y=ax2+c的图象，并能够比较它们与y＝x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．2．能说出y＝ax2和y=ax2+c图象的开口方向；对称轴和顶点坐标．教学难点能作出函数y＝ax2和y=ax2+c的图象，并总结其性质，还能和y=x2作比较，教学方法类比学习法．教具准备投影片三张第一张：(记作§2．3 A)第二张：(记作§2．3 B)第三张：(记作§2．3 C)教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]在前两节课我们学习了二次函数的定义，会画函数y＝x2与y=-x2的图象，知道它们的图象是抛物线，并且还研究了抛物线的有关性质．如图象x轴是否有交点，交点坐标是什么?y随x的增大而如何变化．抛物线是否为轴对称图形等．那么二次函数是否只有y ＝x 2与y ＝-x 2这两种呢?本节课我们继续学习其他形式的二次函数．Ⅱ．新课讲解一、刹车距离与二次函数的关系．[师]大家知道两辆车在行驶时为什么要保持一定距离吗? [生]怕发生“迫尾”事故．[师]汽车刹车时向前滑行的离与什么因素有关呢? [生]与汽车行驶的速度有关系．[师]究竟与什么有关，关系有多大呢? 投影片：(§2．3 A)影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴 天在某段公路上行驶时，速度为v(km ／h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式s ＝1001v 2确定，雨天行驶时，这一公式为s ＝501v 2． [师]引刹车距离s 与速度v 之间的关系是二次函数吗? [生]根据二次函数的定义可知，它们都是二次函数．[师]与一上节课中学习的二次函数y ＝x 2和y ＝-x 2有什么不同吗?[生]y ＝x 2中的a 为1． s ＝1001 v 2中的a 为1001. 所以它们的不同之处在于a 的取值不同．[师]很好． 既然s ＝1001v 2和s=501v 2与y=x 2,y=-x 2它都是二次函数，且都是只含二次项的二次函数，所以它们有相同之处；又因为它们中的a 值的不同．所以它们肯定还有不同之处．比如在y ＝x 2中自变量x 可以取正数或负数，在s ＝1001 v 2中，因为v 是速度，能否取负值呢?由实际情况可知”不可以取负值．下图是s ＝1001v 2的图象，根据画图象的三个步骤即列表、描点、连线，在同一直角坐 标系内作出函数s=501v 2的图象．二、比较x=1001v 2和s ＝501v 2的图象． [师]从上图中，大家可以互相讨论图象有什么相同与不同?[生]相同点：(1)它们都是抛物线的一部分 (2)二者都位于s 轴的左侧．(3)函数值都随v 值的增大而增大． 不同点：(1)s=501 v 2的图象在s= 1001 v 2的图象的内侧． (2)s= 501v 2的s 比s ＝ 1001 v 2中的S 增长速度快．[师]如果行车速度是60 km ／h ，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米?[生]已知v ＝60 km ／h ．分别代入s ＝501v 2与s ＝1001 v 2中．相应地求出各自的刹车 距离，再求它们的差，即s 1＝ 501× 602=72， s 21001×602＝36．则 s 1-s 2＝72-36＝36(m)．所以在雨天行驶和在晴天行驶相比，雨天的刹车距离较长，相差36 m ． 三、做一做投影片：(§2．3 B)作二次函数y ＝2x 2的图象．(2)在下图中作 出y ＝2x 的图象．(3)二次函数y ＝2x 2的图象是什么形状?它与二次函数y=x 2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? [生](1)略 (2)如图(3)二次函数y=2x 2的图象是抛物线．它与二次函数y ＝x 2的图象的相同点： 开口方向相同，都向上． 对称轴都是y 轴．顶点都是原点，坐标为(0，0)．在y 轴左侧，都是y 值随x 值的增大而减小；在y 轴右侧，都是y 值随x 值的增大而增大．都有最低点，即原点．函数都有最小值．不同点：y＝2x2的图象在y＝x2的图象的内侧．y＝2x2中函数值的增长速度较快．四、议一议投影片：(§2．3 C)(1)在同一直角坐标系内作出函数y＝2x2与y＝2x2+1的图象．并比较它们的性质．(2)在同一直角坐标系内作出函数y＝3x2与y＝3x2-1的图象，并比较它们的性质．(3)由上可得出什么?[生](1)图象如下：比较性质如下：相同点：a．它们的图象都是抛物线，且形状相同，开口方向相同．b．它们都是轴对称图形，且对称轴都是y轴．c．在y轴左侧，y随x的增大而减小；在y轴右侧，y随x的增大而增大．d．都有最低点，y都有最小值．不同点：a．它们的顶点不同，y＝2x2的顶点在原点，坐标为(0，0)；y＝2x2+1的顶点在y轴上，坐标为(0，1)．b．虽然函数y都有最小值，但y＝2x2的最小值为0，y＝2x2+1的最小值为1．联系；y=2x2+1的图象可以看成函数y=2x2的图象整体向上平移一个单位．(2)[生]y＝3x2与y＝3x2-1的图象如下：性质比较如下：相同点：a ．它们的图象都是抛物线，且形状相同，开口方向相同． b.它们都是轴对称图形，且对称轴都是y 轴． c.都有最低点，函数值都有最小值．d.在y 轴左侧,y 都是随x 的增大而减小，在y 轴右侧，y 都随x 的增大而增大． c ．它们的增长速度相同． 不同点：a ．它们的顶点不同y=3x 2的顶点在原点，坐标为(0，0)，y ＝3x 2-1的顶点在y 轴上，坐标为(0，-1)．b ．y ＝3x 2的最小值为0，y ＝3x 2-1的最小值为-1．联系：y=3x 2-1的图象可以看成是y ＝3x 2的图象整体向下平移一个单位．[生](3)可以知道y=2x 2+1的图象是y=2x 2的图象整体向上移动一个单位得到的．[师]是的．由上可知，y ＝ax 2与y=ax 2+c 的图象形状相同，开口方向相同，对称轴也相同，只是顶点不同，函数的最大值或最小值不同．y ＝ax 2+c 的图象可以看成y=ax 2的图象整体上下移动得到的，当c>O 时,向上移动│c │个单位，当c<0时，向下移动│c │个单位． Ⅲ．课堂练习 画出函数y ＝21x 2与y ＝2x 2的图象．(在同一直角坐标系内)并比较它们的性质． 分析：画函数图象的步骤有列表、描点、连线．解：分别描点画图．相同点：图象都是抛物线，开口方向相同、顶点相同，都有最低点，函数有最小值．y 的值随x 的增大而变化情况相同．不同点：抛物线的开口大小不同，函数值的增长速度不同． Ⅳ．课时小结本节课巩固了画函数图象的步骤：列表、描点、连线；学习了刹车距离与二次函数的关系；并比较了函数y ＝2x 2与y=x 2，y ＝2x 2+1与y ＝2x 2，y ＝3x 2-1与y ＝3x 2的图象的性质． Ⅴ．课后作业 习题2．3Ⅵ，活动与探究 略 板书设计§2．3 刹车距离与二次函数一、1. 刹车距离与二次函数的关系(投影片§2．3 A)2．比较s ＝1001v 2与s ＝501v 2的图象 3．做一做(投影片§2．3 B)4．议一议(投影片§2．3 C) 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业 备课资料 参考练习1．在同一直角坐标系内画出下列函数的图象： (1)y ＝3x 2(2)y ＝-3x 2(3)y ＝31x 2答案：略2．分别说出抛物线y=4x 2与y=-41x 2的开口方向、对称轴与顶点坐标． 答案：y ＝4x 2的开口方向向上，对称轴为y 轴．顶点坐标为(0，0)．3．函数y ＝5x 2的图象在对称轴哪侧?y 随着x 的增大怎样变化?答案：函数y ＝5x2的图象在对称轴右侧部分．y 随着x 的增大而增大．4．函数y ＝-5x 2有最大值或最小值吗?如果有，是最大值还是最小值?这个值是多少：答案：函数y ＝-5x 2有最大值，这个值是0．。
《刹车距离与二次函数》二次函数PPT课件(上课用)2
y 3x 2 1
y 3x 2
位置不同; 最大值不同: 分别是和.
二次项系数为正数,开口 向上;开口大小相同;对称 轴都是轴;增减性与也相同.
想一想,在同一坐标系中作二次函数和的图象,会 是什么样?
二次函数的图象是什么形 状?它与二次函数的图象有 什么相同和不同?它的开口 方向、对称轴和顶点坐标分 别是什么?
二次函数的 图象形状与 一样,仍是抛物线. 顶点不同,分别是 原点()和().
y 3x 2
y 3x 2 1
位置不同; 最大值不同: 分别是和.
二次项系数为正数,开口 向下;开口大小相同;对称 轴都是轴;增减性与也相同.
请你总结二次函数的图象和性质.
二次函数的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
.不同点:()顶点不同:分别是(),(). ()最值不同:分别是和. .联系: ²(≠) 的图象可以看成² 的图象沿轴整体平移个单位得到的.( 当>时向上平移;当<时,向下平移).
独立 作业
知识的升华
习题 题.
祝你成功！
驶向胜利 的彼岸
习题 题
独立 作业
．二次函数和的图象有什么关系?它是轴对称图形吗? 它
的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?先想一想,
如果需要,作草图看一看.
1 2 1 2 二次函数y x 和 y x 呢? 2 2 1 ．二次函数 y 3x 2 2
和的图象有什么关系?
它是轴对称图形吗? 它的开口方向、对称轴和顶点坐 标分别是什么?先想一想,如果需要,作草图看一看.
1 2 二次函数y x 3 2 1 2 y x 和 2
二次函数-刹车距离与二次函数
课题刹车距离与二次函数年级初三授课对象编写人李庆时间学习目标1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a 与c对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．学习重点、难点1.二次函数y=ax2、y=ax2＋c的图象和性质，因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质的基础．我们在学习时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析．2.由函数图象概括出y=ax2、y=ax2＋c的性质．函数图象都由（1）列表，（2）描点、连线三步完成．我们可根据函数图象来联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置．教学过程E （测评）二次函数y=x2 与y=-x2的性质：抛物线y=x2y=-x2对称轴顶点坐标开口方向位置增减性最值I （归纳）1.你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗？刹车距离与什么因素有关？有研究表明:汽车在某段公路上行驶时，速度为v(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以由公式：晴天时：21001vs=；雨天时：2501vs=，请分别画出这两个函数的图像：2.在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象。
3.在同一平面内画出函数y=3x2与y=3x2-1的图象。
比较它们的性质，你可以得到什么结论？E （扩展）【例1】已知抛物线y=（m＋1）x mm+2开口向下，求m的值．【例2】k为何值时，y=（k＋2）x622--kk是关于x的二次函数？【例3】在同一坐标系中，作出函数①y=－3x2，②y=3x2，③y=21x2，④y=－21x2的图象，并根据图象回答问题：（1）当x=2时，y=21x2比y=3x2大（或小）多少？（2）当x=－2时，y=－21x2比y=－3x2大（或小）多少？【例4】已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为（－3，m）．（1）求a、m的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；（4）求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积．【例5】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求出将d表示为k的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．T （实练）见习题学生评价 （签字） 非常满意满意 较满意 不满意课后记审核人：课后练习1．抛物线y=－4x 2－4的开口向 ，当x= 时，y 有最 值，y= ． 2．当m= 时，y=（m －1）xmm +2－3m 是关于x 的二次函数．3．抛物线y=－3x 2上两点A （x ，－27），B （2，y ），则x= ，y= ． 4．当m= 时，抛物线y=（m ＋1）xmm +2＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ．5．抛物线y=3x 2与直线y=kx ＋3的交点为（2，b ），则k= ，b= ． 6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为．7．在同一坐标系中，图象与y=2x 2的图象关于x 轴对称的是（ ） A ．y=21x 2B ．y=－21x 2C ．y=－2x 2D ．y=－x 28．抛物线，y=4x 2，y=－2x 2的图象，开口最大的是（ ） A ．y=41x 2B ．y=4x 2C ．y=－2x 2D ．无法确定9．对于抛物线y=31x 2和y=－31x 2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）A ．两条抛物线关于x 轴对称B ．两条抛物线关于原点对称C ．两条抛物线关于y 轴对称D ．两条抛物线的交点为原点10．二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）11．已知函数y=ax 2的图象与直线y=－x ＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x 在第一象限内的交点相同，则a 的值为（ ）A ．4B ．2C ．21D ．4112．求符合下列条件的抛物线y=ax 2的表达式： （1）y=ax 2经过（1，2）；（2）y=ax 2与y=21x 2的开口大小相等，开口方向相反；（3）y=ax 2与直线y=21x ＋3交于点（2，m ）．13．如图，直线ι经过A （3，0），B （0，3）两点，且与二次函数y=x 2＋1的图象，在第一象限内相交于点C ．求：（1）△AOC 的面积；（2）二次函数图象顶点与点A 、B 组成的三角形的面积．14．自由落体运动是由于地球引力的作用造成的，在地球上，物体自由下落的时间t （s ）和下落的距离h （m ）的关系是h=4．9t 2．求：（1）一高空下落的物体下落时间3s 时下落的距离； （2）计算物体下落10m ，所需的时间．（精确到0．1s ）15．有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB 时宽20m ．水位上升3m ，就达到警戒线CD ，这时，水面宽度为10m ．（1）在如图2-3-9所示的坐标系中求抛物线的表达式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0．2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？。
(文章)刹车距离与行驶速度携手构建的二次函数问题
刹车距离与行驶速度携手构建的二次函数问题二次函数是刻画和研究现实世界数量关系及变化规律的重要数学模型，课本中是按照“问题情景——建立模型——解释应用——回顾拓展”的方式进行探究的，因而我们在学习二次函数的知识时，应充分结合具有实际情景的现实问题，体验和感悟二次函数是研究事物变化规律的工具.从而增强数学的建模意识，提高分析问题、解决问题的能力.下面让我们共同走进“交通问题中，汽车的行驶速度、刹车时司机反应时间与刹车距离”共同导演的二次函数关系的问题，体会二次函数知识奥秘.首先我们共同研究【引例】行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离成称为“刹车距离”，某车的刹车距离s(m)与车速x(km/h)间有如下的函数关系式：s=0.01x+0.002x2.现该车在限速140km/h的高速公路上出了交通事故，事后测得其刹车距离为46.5m.请推测刹车前，汽车是否超速？分析：从题目中，容易发现“刹车距离s(m)与车速x(km/h)”两个变量之间的关系满足“二次函数关系：s=0.01x+0.002x2”，欲推测刹车前，汽车是否超速，只要根据题目中的条件：刹车距离为46.5m求出相对应的速度与140km/h进行比较就可作出判断.解：由题意可知：s=46.5m,把s=46.5代入二次函数的解析式得：46.5=0.01x+0.002x2,整理化简得x2+5x－23250=0,解之得x1=150,x2=－155(不合题意，舍去)因为150km/h>140km/h，所以汽车超速.本题虽然创设了一个“刹车距离与车速”相互关系的交通中的实际问题的情景，但已经提供了二次函数的数学模型，事实上本题已经是“数学化了”的一个实际背景，这样更加贴近学生知识结构，降低了“数学建模”的难度.从数学的角度看，本题是已知二次函数的函数值(s)，求相应的自变量(v)的值，方法是转化为一元二次方程求解.其次将引领读者到中考百花园里，再共同探索与赏析.例1、（广州）行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离成称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车刹车性能（车速不超过130km/h）对这种汽车进行测试，测得数据如下表：(1)以车速为x轴，刹车距离为y轴，在下面的方格图中建立坐标系，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到函数的大致图象；(2)观察图象，估计该函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式；(3)该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现测得刹车距离为26.4m，问在事故发生时，汽车是否超速？说明理由.分析：这是一道融“表格、图象、函数解析式”于一体二次函数的实际应用的综合问题，首先应在直角坐标系中描出由刹车车速与刹车距离构成对应点（0，0）（10，1.1） (60)9.6）、（70，11.9），观察发现它们均在同一条抛物线上，由图象确定为二次函数，设函数解析式为y=ax2+bx+c,再利用待定系数法即可确定表达式，进而解决实际问题.解；（1）图象如图所示(2)该函数的图象是抛物线的一部分，将点（0，0），（10，1.1），（20，2.4）代入y=ax 2+bx+c 得：⎪⎩⎪⎨⎧++=++==c b 20a 4004.2c b 10a 1001.10c 解之得a=0.001,b=0.1,c=0故函数解析式为y=0.001x 2+0.1x ，（3）当y=26.4时，有26.4=0.001x 2+0.1x ，,解之得x 1=120,x 2=－220(不合题意，舍去)因为130km/h>120km/h ，所以发生事故时，汽车正常行驶.评注：通过描点、猜想、验证，用待定系数法建立二次函数的数学模型，体现了新课标“问题情景——建立模型——解释应用——回顾拓展”的自主探索性学习精神，这类考题重视在实践中思考，在探索中获得数学知识，有益于学生体验问题的发生、发展过程，掌握数学问题的解决的思想方法.例2、（潍坊）为保证交通安全，汽车驾驶员必须知道汽车刹车后的停止距离（开始刹车到车辆停止车辆行驶的距离）与汽车行驶速度（开始刹车时的速度）的关系，以便及时刹车．下表是某款车在平坦道路上路况良好时刹车后的停止距离与汽车行驶速度的对应值表：（1出以下三个函数：①y ax b =+；②()0k y k x=≠；③2y ax bx =+，请选择恰当的函数来描述停止距离y （米）与汽车行驶速度x （千米／时）的关系，说明选择理由，并求出符合要求的函数的解析式；（2）根据你所选择的函数解析式，若汽车刹车后的停止距离为70米，求汽车行驶速度．解析：（1）若选择y ax b =+，把4016x y ==，与6030x y ==，分别代入得16403060a b a b =+⎧⎨=+⎩，解得0.712a b =⎧⎨=-⎩，而把80x =代入0.712y x =-得4448y =<， 所以选择y ax b =+不恰当；若选择(0)k y k x=≠，由x y ，对应值表看出y 随x 的增大而增大，而(0)k y k x=≠在第一象限y 随x 的增大而减小，所以不恰当；若选择2y axbx =+，把4016x y ==，与6030x y ==，分别代入得1616004030360060a b a b =+⎧⎨=+⎩，解得0.0050.2a b =⎧⎨=⎩，而把80x =代入20.0050.2y x x =+得48y =成立，所以选择2y ax bx =+恰当，解析式为20.0050.2y x x =+．（2）把70y =代入20.0050.2y x x =+得2700.0050.2x x =+， 即240140000x x +-=，解得100x =或140x =-（舍去）， 所以，当停止距离为70米，汽车行驶速度为100千米／时．。
二次函数刹车距离与二次函数课件ppt
对未来研究的建议
可以进一步拓展二次函数刹车距离模型，考虑车辆 性能、多种刹车条件、实验数据测量和验证等因素
。
可以研究其他车型和参数对刹车距离的影响，完善 相关理论和实验研究。
可以探讨摩擦力和其他影响因素的定量关系，深 入了解刹车距离与各因素之间的复杂关系。
THANKS
谢谢您的观看
考虑车辆负载和类型
不同车辆的刹车性能和负载情况不同，减速带设计应根据不同车辆类型和负载情况进行调整。
优化减速带设计提高安全性
通过实验和数据分析，优化减速带设计，提高车辆的刹车性能和安全性。
实际应用案例分析
某高速公路减速带设计
通过实地调查和实验，设计出一款符合该高速公路实际情况 的减速带，有效减少了交通事故的发生。
二次函数定义
二次函数是一种数学函数，表达式为y = ax^2 + bx + c (a≠0)。
它描述了一个曲线，通过给定的三个参数，可以表达一个曲 线运动或描绘出一个几何形状。
二次函数公式
标准形式
y = ax^2 + bx + c
顶点式
y = a(x-h)^2 + k
两根式
y = a(x-x1)(x-x2)
二次函数图像及性质
1
二次函数的图像是一个抛物线，其形状由参数a 、b、c决定。
2
根据a的符号，抛物线开口方向向上或向下。
3
b和c分别决定了抛物线的对称轴位置和顶点系分析
刹车距离概念及计算公式
刹车距离定义
刹车距离是指汽车在行驶过程中，从开始刹车到停止所需的 距离。
、财产损失和生产力损失等。
保障人身安全
02
交通安全事关人的生命安全，减少交通事故的发生可以降低人
《刹车距离与二次函数》同步课堂教学课件
结冰路面
在结冰路面上，摩擦系数几乎为零，刹车距 离最长，需要特别小心驾驶。
05
课堂互动与讨论
学生提出关于刹车距离与二次函数的问题
总结词
学生主动参与
详细描述
在讨论刹车距离与二次函数的关系时，有学生提出疑问，如“为什么二次函数可以用来 描述刹车距离的变化？”、“如何将二次函数的性质应用到实际刹车距离的计算中？”
01
我们建议进一步探索刹车距离与其他物理因素之间的关系， 例如风速、道路状况等。
02
我们鼓励将刹车距离与二次函数的关系应用于实际问题中， 提高交通安全性和减少交通事故。
03
我们展望未来在刹车距离研究领域的更多创新和发展，以推 动交通工程技术的进步。
感谢观看
THANKS
通过建立数学模型，将刹车距离与二次函数联系起来，可以更准确地预测车辆在不同条件下的停止距 离，从而为驾驶员提供更加科学的驾驶建议和安全保障。
03
二次函数的图像与性质
二次函数的开口方向
要点一
总结词
二次函数的开口方向由二次项系数a决定，a大于0时，开口 向上；a小于0时，开口向下。
要点二
详细描述
二次函数的开口方向决定了函数图像的形状。当二次项系 数a大于0时，抛物线的开口向上，意味着函数值随着x的 增加而增加；当a小于0时，抛物线的开口向下，意味着函 数值随着x的增加而减小。
等。
分组讨论刹车距离的实际应用
总结词：团队合作
VS
详细描述：将学生分成小组，每组围 绕一个与刹车距离相关的实际问题展 开讨论，如“如何根据二次函数计算 出在不同速度下的刹车距离？”、“ 如何利用二次函数优化刹车系统设计 ？”等。
分享讨论结果与心得
九下23刹车距离与二次函数
课题 第二章 刹车距离与二次函数执教人：枣庄市实验学校 岳德凤课型：新授课授课时间：2013 年 12 月 20 日 星期五 第 1 节课教学目标：1．能作出 y＝ax2 和 y＝ax2＋c 的图象．并研究它们的性质． 2．比较 y＝ax2 和 y＝ax2＋c 的图象与 y＝x2 的异同．理解 a 与 c 对二次函数图象的影 响． 3．经历探索二次函数 y＝ax2 和 y＝ax2＋c 的图象的作法和性质的过程，进一步获得将 表格、表达式、图象三者联系起来的经验． 4．通过比较 y＝ax2，y＝ax2＋c 与 y＝x2 的图象和性质的比较，培养学生的比较、鉴别 能力．教学重点：y ax2 和 y ax2 c 图象的作法和性质.教学难点：能够比较 y ax2 、 y ax2 和 y ax2 c 的图象的异同，理解 a 与 c 对二次函数图象的影响.教学方法：合作探究，对比总结.教 具准备：课件，多媒体教学过程:第一环节 创设情境 师:我们已经学习了二次函数的定义，会画函数 y＝x2 与 y＝－x2 的图象，知道它们的图象是（），并且还研究了抛物线的有关性质．如 y＝x2 图象开口（ ），有最（ ）对称轴是（ ），顶点坐标是（ ）y 随 x 的增大而如何变化（ ）．生齐答：抛物线，向上，低点，y 轴，原点，在对称轴的左侧 y 值随 x 值的增大而减小；在对称轴轴右侧，y 值随 x 值的增大而增大．（师注意观察每一个学生回答的情况）（学生的 状态很好，对前面学的知识掌握的不错）（有一个学生举手，师示意他起立）生：学生状态很好，积极踊跃. 生：老师我想说说函数 y＝－ x 2 的图像和有关性质. 师：你这么积极，你就说吧！ 生：老师你画一个二次函数 y＝-x2 草图，y＝-x2 图象开口向下，有最高点，对称轴是 y 轴，顶点坐标是原点，（我按照学生说的二次函数 y＝-x2 的特点画了草图，学生说 y 随 x 的变化情况更喜欢看着图像来说，因为图像更直观）在对称轴的左侧 y 值随 x 值的增大而增 大；在对称轴轴右侧，y 值随 x 值的增大而减小． 师:你说的真好. 师：那么二次函数是否只有 y＝x2 与 y＝－x2 这两种呢？本节课我们继续学习其他形式 的二次函数．引出课题————2.3 刹车距离与二次函数 设计意图：引导学生回忆上节课学的最简单的二次函数，以便引出本节课内容。
《刹车距离与二次函数》二次函数
05 结论
研究总结
01
刹车距离与二次函数的关系
通过数据分析，我们发现刹车距离与二次函数之间存在明显的负相关关
系。当二次函数的系数增加时，刹车距离呈现明显的缩短趋势。
02 03
刹车距离的影响因素
除了二次函数之外，刹车距离还受到其他因素的影响，如车辆性能、驾 驶员反应速度、路面状况等。这些因素在研究中考虑在内，但仍然可能 存在一些未知的影响因素。
点，其方程为x=-b/2a。
开口方向与a的符号有关， a>0时，开口向上；a<0时
，开口向下。
当a、b、c三个值中至少有一 个为0时，函数图像将与x轴平
行。
03 刹车距离与二次函数关系
刹车距离概念
要点一
刹车距离
车辆在行驶过程中，从开始刹车到完全停止所行驶的 距离。
要点二
影响因子
刹车距离受到多种因素的影响，包括车速、路面情况 、车辆性能等。
利用二次函数的最小值公式，我们可 以找到使d最小的t1。这个t1可以用 来调整刹车策略，以使刹车距离最短 。
考虑实际因素的刹车距离计算
实际因素
在实际情况下，车辆刹车还受到路面条件、轮胎摩擦系 数、空气阻力等因素的影响。这些因素需要考虑到刹车 距离的计算中。
考虑实际因素的刹车距离公式
综合考虑各种因素，刹车距离的计算公式变得更加复杂 。需要考虑的变量包括路面条件、轮胎摩擦系数、空气 阻力等。这些变量可以通过实验测量得到，并用于修正 刹车距离的计算公式。
二次函数对刹车距离的影响
车辆性能
车辆性能对刹车距离有显著影响。车辆 的制动系统、轮胎抓地力等都会影响刹 车距离。
VS
路况
路况如湿滑、结冰等都会影响刹车距离， 因为这些条件会降低轮胎的摩擦力。
2-3刹车距离与二次函数
课 题：§2.3 刹车距离与二次函数知识与技能：1.能作出函数2ax y =和c ax y +=2的图象；并研究它们的性质.2．能比较2ax y =和c ax y +=2的图象与2x y =的异同.理解a 与c 对二次函数图象的影响.过程与方法：1.经历探索二次函数2ax y =和c ax y +=2的图象的作法和性质的过程，获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验.2.通过2ax y =，c ax y +=2与2x y =的图象及性质比较，培养学生的比较、鉴别能力. 情感、态度与价值观：1.由刹车距离与二次函数的关系，体会二次函数是某些实际问题的数学模型2.由有趣的实际问题，激发学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲. 重 点：1. 能作出2ax y =和c ax y +=2的图象，并比较它们的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响..2．能说出2ax y =和c ax y +=2图象的开口方向；对称轴和顶点坐标. 难 点：能作出2ax y =和c ax y +=2的图象，并总结其性质还能和2x y =作比较. 教 法：引导学生进行类比学习 学 法：类比学习法教 学 过 程一.创设问题情景，引入新课 二次函数y=x 2 与y=-x 2的性质：二、自主探究，形成新知你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗？刹车距离与什么因素有关？有研究表明:汽车在某段公路上行驶时，速度为v(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以由公式： 晴天时：21001v s =；雨天时：2501v s =，请分别画出这两个函数的图像：总结：相同点：（1）它们都是抛物线的一部分； （2）二者都位于y 轴的左侧。
（3）函数值都随v 值的增大而增大。
不同点： （1）2150s v =的图像在21001v s =的图象的内侧。
（2）2150s v =的s 比21001v s =中的s 增长速度快.三、动手操作、探究：1.在同一平面内画出函数y=2x 2与y=2x 2+1的图象。
初中九年级数学 刹车距离与二次函数课件
?
63 2
1
图象,表格或解析式都可以 获知.
6
-0 2 0
20 40 60 80 10 12 14 V/(km 0 0 0 /h)
做一做 5
P44函数y=ax2(a≠0)的图象
驶向胜 利的彼
和性质
岸
在同一坐标系中作二次函数y=x2和 y=(12)x完2的成图下象表．：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
2
0 0 0 /h)
0
观察图象,回答
做一做P434
问题串
s
28 8
s 1 v2 50
驶向胜
s 1 v2 100
利的彼 岸
20 104 412
(2)如果行车速度是60km／h， 那么在雨天行驶和在晴天行驶
1087260
相比，刹车距离相差多少米?你 是怎么知道的?
34 刹车距离相差一半(36m),由
二次项系数为正数3,开口 向上;开口大小相同;对称 轴都是y轴;增减性与也相同.
想一想,在同一坐标系中作二次函数 y=-3x2-1和y=-3x2的图象,会是什么样?
二次函数y=-3x2-1 的图象是什么形状? 它与二次函数y=-3x2 的图象有什么相同 和不同?它的开口方 向、对称轴和顶点 二图坐次象函标形数分状y=与别3yx=2是+31x的2什么?
天在某段公路上行驶时,速度为v(km／h)
的雨汽天车行的驶刹时车,由距公离式s((m2))可来以计由算公：式(1)确
定:
1.s
1
v2. 2.s
1 v2.
100
50
想一想 2
P42 比较s 函1 数v2 s 1 v2 与 的100 图象50
§2.3 刹车距离与二次函数2
80
72 64
48
36 32
相同点: 开口方向 16
不同点: 形状
0
20
40
顶点
60
S=510 v2
1 S= 100
v2
这两个二 次函数图 像有什么 相同和不
同？
增减性
v速度(公里/小时)
80
100
函数y=2x2的图 象是什么形状? 它与y=x2的图 象有什么相同和 不同?它的开口 方向对称轴和顶 点坐标分别是什 么?
说出y=ax2和y=ax2+c的图象的 开口方向、对称轴和顶点坐标.以 及他们之间的联系.
二次函数y=ax²+c与y=ax²的关系
1.相同点: (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同. (2)都是轴对称图形, 对称轴都是y轴. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在y轴左侧,y都随x的增大而减
汽车刹车时向前滑行的距离称为刹车距离
那么刹车距离与什么因素有关？
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速 度及路面的摩擦系数
有研究表明.汽车在某段公路上行驶时.速度为 v(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以由公式：
晴天时：s=
1 v2 100
雨天时：s= 1 v2 50
S距离(米)
128 如果行车速度是60km/h, 112 那么在雨天行驶和在晴
向下
在x 轴的下方（除顶点外）
如图所示
当x=0时，最大值为0
由二次函数y=x2和y=-x2知：
1.抛物线y=ax2的顶点是原点(0,0),对称轴是y轴. 2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶
刹车距离与二次函数
当 时，抛物线的开口向下。
当 时，抛物线与y轴的交点在原点的上方；
当 时，抛物线与y轴的交点在原点的下方。
同学们完成完成书本P44做一做，并总结出二次函数中的a与c的取值对图象的影响。
3、 和 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标
☆议一议书本P45议一议
1）形状、开口方向、对称轴都相同，但顶点坐标不同， 的图象的顶点坐标是（0 ，1），实际上，只要将 的图象向上平移1个单位，就可以得到 的图象；
微课
目标
掌握二次函数 和 图象的性质以及a与c对图象的影响。
微课
设计
阶段
时间
内容
旁白
备注
导入
1分钟
回顾二次函数 和 的图象与性质。
在上一节课，我们学习了什么？。这节课，我们将接着讨论形如 和 的图象的作法和性质，以及a与c对图象的影响。
过程
10分钟
1、刹车距离与二次函数
借助晴天和雨天刹车距离的不同，引出二次函数的系数对图象的影响。
两二次函数的形状、开口方向、对称轴都相同，但顶点坐标不同， 的图象的顶点坐标是（0 ， ），实际上，只要将 的图象向上平移1个单位，就可以得到 的图象。
同学们完成完成书本P45
议一议
认真思考并讨论总结出二次函数 和 的图像性质。
总结
2分钟
二次函数 和 中的a与c对图象的影响，和它们的顶点坐标，以及 与 的关系。
好了同学们，？请告诉你的同桌我们这节课你学到了什么？
进阶练习
提示：设计一套测试或练习题，用于检验通过微课学习，学生是否化解了“重难点”。这套题分：易、中、难三个层次，每个层次一道题（三道题围绕该重难点）
易请说明二次函数y=2x2和y=-3x2的开口方向、对称轴、顶点坐标。