刹车距离与二次函数
刹车距离与二次函数
对称轴 y轴 轴 y轴
顶点坐标 （ 0， -1）
0.75. 0.5. 3x2-1
-1
-0.75.
-0.5. -0.25
0.
0.25.
0.5.
0.75.
1
x
二次函数 二次函数 y=3x2-1与 y=3x2-1与 与 y=3x2 的图象 y=3x2 的图象 形状相同， 形状相同，只 有什么关系？ 有什么关系。 是位置不同。 是位置不同？
32
相同点： 相同点： 开口方向 顶点 16 不相同点： 不相同点： 形状
0 20 40 60
增减性
v速度 公里 小时 速度(公里 小时) 速度 公里/小时
80
100
S(m)
112 96 80 64 48 32 16
1 S雨＝ 50 V2
1 S晴＝100
V2 v
1 2 S晴= 100V
0 20 40 60 80 100 4 16 36 64 100 8 32 72 128 200
二次函数y= 二次函数y= ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象 +c的图象可以由 平移c个单位得到. 当c > 0 时 向上平移c个单位得到. 向下平移|c|个单位得到. 平移|c|个单位得到. |c|个单位得到 当c < 0 时
上加下减
函数 y=ax2 y=ax2+c 开口方向 a>0时 a>0时,向上 a<0时 a<0时,向下 a>0时 a>0时,向上 a<0时,向下 时向 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0,0） 0,0） （0,c） 0,c
S距离 米) 距离(米 距离
如果行车速度是60km/h,那么 如果行车速度是60km/h,那么 112 在雨天行驶和在晴天行驶相比， 在雨天行驶和在晴天行驶相比， 刹车距离相差多少米？ 刹车距离相差多少米？ 96
二次函数刹车距离与二次函数课
二次函数刹车距离与二次函数课件pptxx年xx月xx日contents •引言•二次函数概念及公式•刹车距离与二次函数关系分析•交通安全与二次函数关系探讨•实际应用案例-高速公路减速带设计•二次函数未来发展方向及挑战•结论目录01引言二次函数刹车距离研究车辆在刹车过程中所需的最短距离二次函数一种数学模型，描述一个变量与另外两个变量之间的变化关系主题简介目的通过分析二次函数来优化车辆刹车性能，减少刹车距离意义提高行车安全性，减少交通事故的风险目的与意义课程结构概述第一部分第二部分Array刹车距离的分析二次函数的定义及性质第三部分第四部分二次函数在优化刹车性能中的应用案例分析和应用02二次函数概念及公式二次函数是一种数学函数，表达式为y = ax^2 + bx + c (a≠0)。
它描述了一个曲线，通过给定的三个参数，可以表达一个曲线运动或描绘出一个几何形状。
二次函数定义y = ax^2 + bx + c二次函数公式标准形式y = a(x-h)^2 + k顶点式y = a(x-x1)(x-x2)两根式1二次函数图像及性质23二次函数的图像是一个抛物线，其形状由参数a、b、c决定。
根据a的符号，抛物线开口方向向上或向下。
b和c分别决定了抛物线的对称轴位置和顶点高度。
03刹车距离与二次函数关系分析刹车距离是指汽车在行驶过程中，从开始刹车到停止所需的距离。
刹车距离定义刹车距离（m）= 初速度（km/h）× 刹车时间（s）+ 1/2 × 加速度（m/s²）× 刹车时间（s）²计算公式刹车距离概念及计算公式二次函数表达式刹车距离与初速度、刹车时间和加速度成二次函数关系，可用如下二次函数表达式表示：y = ax² + bx + ca、b、c系数含义a代表加速度的平方，b代表加速度和初速度的乘积，c代表初速度。
二次函数对刹车距离的影响案例一某轿车以60km/h的初速度行驶，紧急刹车时加速度为-0.6m/s²，求刹车距离？案例二某高速列车以100km/h的初速度行驶，紧急刹车时加速度为-0.1m/s²，求刹车距离？实际应用案例分析04交通安全与二次函数关系探讨03维护社会稳定良好的交通安全状况有助于社会稳定和谐，减少社会矛盾和冲突。
7刹车距离与二次函数.docx
7刹车距离与二次函数知识点:I")抛物线y = a(x+h)2,向右平移h(h > 0)个3.y = a(x-h)2-^k(a^0)是由抛物线y = ax 1的图彖向上(或向下)向左(或向右)平移而成的。
例1.(1)在同一坐标系屮画出y = -x 2,y = -x 2 + 2,y = -x 2一3的图象y 二-x 2的顶点处标是___________ ，对称轴是_______ ，开口向_______l.y = ax 2与y = ox ，+ ￡的图像Z 间的关系(1)二次函数y = ax 2与y = ax 2^k 的图象的形状相同，开口方向相同，对称轴相同, 只是顶点坐标不同⑵二次函数y = ax 2-^k 的图象町以由『=处2的图象平移得到当"0时，将丁 =拧向上平移冈个单位得到y = ax 2 +k当EvO 时,将y = ax 2向下平移崗个单位得到y = ax 1 + k(3)二次函数y = ax 2-^k 中，a 确定抛物线的开口方向和开口大小，相同抛物线的形状和开口大小相同；k 确定抛物线在上的位査，k>0抛物线与y 轴正半轴相交；￡<0与y 轴负半轴相交;y = cix 2+￡的图像是由y 二似‘的图彖沿y 轴二次術枚,二"』的禺介和性砸?>0■<0T^V 斤口力詡-A AT..sdciAn ?Dffltt 和件质? MJRM ?>O ■<0y ■(直町yt^Aiftjr-o)￡ta )(?JO mMft tti 値的nt si ■大；*5 ■<0时.甬牧恤■偵的増尢.M 刍丄X)时，甫敦傥,11的■大？M ;务<0眛确敎值、融■何的增大* 1?大上下平移得到的，移动规律是“上加下减”2. y = ax 2的图象向左平移h(h > 0)个单位得到?韵啟假斤口方问二*曲收?“卩常憎像札n?is >0?<0■下单位得到抛物线y = a(x-hf y = a(x+ /?)2的图像是由y 二cue 2的图象左右平移得到，移动规律是“左加右减”住时称紬的左側(即x 的廉女廂n 小金? ■甫Stttb I# x (A 的wx 企灯称■的左M(9?A 时的増I ■大■相i>A 时> ?<?[ 的増大？K 小二次甬敷y 3" 和性虞.下表: 二次曲St ?=<!(—* N U 的图*和ftttlD 卜& 1N ⑷教■??「7卩触序ft 札件*A<0j = -%2的图象沿y轴向_________ 平移_______ 个单位长度得到抛物线J =-X2+2,y = -x2+2的顶点坐标是____________ ，对称轴是________ ，开口向 _______y = -x2的图象沿y轴向_________ 平移_______ 个单位长度得到抛物线y = -x2-3 ,y = -x2-3的顶点坐标是____________ ，对称轴是________ ，开口向 _______发现抛物线y = -x2,jv = -x2+2,y = -x2-3的形状，开口大小相同，只是它们的顶点变了(2)在同一坐标系中画出y = -2x2, y = -2(x- 2)2, y = -2(x + 3)2的图象把抛物线)=-2x2沿兀轴向____________ (填左或右)平移_______ 个单位长度得到抛物线y = -2(兀-2)2,此时抛物线的的顶点处标是__________ ，对称轴是_____ ，开口向 _____把抛物线y = -2x2沿x轴向 __________ (填左或右)平移_______ 个单位长度得到抛物线3' = -2(兀+ 3)2，此时抛物线的的顶点坐标是________ ，对称轴是_____ ，开口向 _____发现抛物线y = -2x2,y = -2(x-2)\y = -2(x + 3)2的形状，开口大小相同，只是它们的顶点和对称轴变了例1.(1)抛物线y = -4/+5的开口向________ ,对称轴是______ ,顶点处标是______ ，函数有最—值是 _____(2)若点PQ,a)和2(-1^)都在抛物线上，，贝熾段PQ的长度为_________(3)已知二次函数y = or M+3,在对称轴左侧y随兀的增人而增人，则^ = _________⑷将抛物线y = -2异先向下平移3个单位，再向右平移2个单位得到的解析式是 _______ 练习：1将抛物线y=2x?向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为_____________ ；向右平移2个单位，所得抛物线的解析式为 __________________ :2._____________________________ 抛物线y=2(X+3)2的开口___ ；顶点处标为______ ；对称轴是________________________ ；当x>—3时，y ____________________ ；当x=—3吋，y有____ 值是________ ;3.抛物线y=m (x+n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y=—4 (x~4)2,则m= __________ , n= ___________ ；4.若抛物线y=m(x+l)2过点(1, —4),则m= ___________________ .例2.如图有一廉抛物线形拱桥，正常水位时桥下水血宽AB=20m,水位上升3m就达到警戒线CD,这时水面宽为10m. （1）在如图所示的绝标系中求抛物线的解析式；（2）洪水到来时,水位以0.2m/h的速度上升,从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？练习：5.如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB=1.6m,涵洞顶点O到水面的距离CO为2.4m,在图中直角处标系内，涵洞截而所在抛物线的解析式是 ________6.小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y = --x2+3.5的一部分（如图），若命屮篮筐屮心，则他与篮底的距离/是 _________7.某公园草坪的防护栏由1（）（）段形状相同的抛物线形构件纟F1成，为了牢同起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（）A. 50MB. 100mC. 160mD. 200m8.己知d V -1 ,点（d -1,必）,（a,旳），（Q +1，＞3）都在〉'=/的图彖上，则X,儿，为的大小关系是____________&如图，河上冇一座抛物线桥洞，己知桥下的水面离桥拱顶部3m时冰面宽为AB = 6加，当水位上升时0.5加:⑴求水面CD的宽度为多少米？（2）有一艘游船，它的左右两边缘最宽处有一个长方休形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行.①若游船宽（指船的最人宽度）为2加，从水面到棚顶的高度为 1.8加，问这艘游船能否从桥洞下通过？7②若从水面到棚顶的高度为一加的游船刚好能从桥洞下通过，则这艘游船的最人宽度是多少4米？九课后练习：1.下列二次函数的图象，不能通过函数y = 3x 2的图彖平移得到的是() ? ?A 、y = 3x 2 + 2B 、y = 3(x-l)2C 、j = 3(x-l)2 + 2D 、y = 2x 22.二次函数y=2 (x- 1) ?+3的图象的顶点坐标是() A. (1, 3) B.(?1, 3) C. (1,?3) D.(?1,?3)3.将二次函数y=x 2的图彖向右平移一个单位长度，再向上平移3个4.如图，在平而总角处标系中，抛物线尸 2 2经过平移得到抛物线2X y=l x 2 _2x ,其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为( )2A. 2B. 4C. 8D. 16 5.把抛物线y=(x+l)2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是()A. y=(x+2)2+2B. y=(x+2)2-2C. y=x 2+2D. y=x 2-2 k6.函数y 二一和y = -kx 2+k(k^O)在同一坐标系小的图象可能是( )X y = -x 2 +1相交，其中一个交点为P,求出P 的坐标; ?4(3)将直线y = kx + b 继续绕着点B 旋转，与抛物线相交，其中一个交点为P (如图②), 过点P'作X 轴的垂线PM,点M 为垂足.是否存在这样的点F,使△PBM 为等边三角形? 若存在，请求出点P 的朋标；若不存在，请说明理山.单位长度所得的图象解析式为( )A. y= (x - 1) 2+3B. y= (x+1) 2+3C.y= (x- 1) 2-3D.y= (x+1) 2-3 8.如图，已知抛物线^ = -%2+1,直线y = kx + b 经过点B (0, 2)4(2)将直线y = kx + b 绕着点B旋转到与x 轴平行的位置时(如图1),直线与抛物线7.函数y = -mx^iV 和y = F+加在同一坐标系屮的图象可能是(。
刹车距离与二次函数
§2．3 刹车距离与二次函数课时安排3课时从容说课本节课要研究的问题是关于函数y=ax2和y=ax2+c的图象的作法和性质，逐步积累研究函数图象和性质的经验．“刹车距离”是二次函数关系的应用之一，本节借助晴天和雨天刹车距离的不同，引出二次函数y＝ax2的系数a对图象的影响．由此可知二次函数是某些实际问题的数学模型．由现实生活中的“刹车距离”联系到二次函数，说明数学应用的广泛性及实用性。
在教学中，由实际问题入手，能激起学生的学习兴趣和信心，运用类比的学习方法，通过与y=x2的图象和性质的比较，总结出它们的异同，从而更进一步地掌握不同形式的二次函数的图象和性质．课题§2．3 刹车距离与二次函数教学目标(一)教学知识点1．能作出y=ax2和y=ax2+c的图象．并研究它们的性质．2．比较y=ax2和y＝ax2+c的图象与y=x2的异同．理解a与c对二次函数图象的影响． (二)能力训练要求1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．通过比较y＝ax2，y=ax2+c与y=x2的图象和性质的比较．培养学生的比较、鉴别能力．(三)情感与价值观要求1．由“刹车距离”与二次函数的关系．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．2．由有趣的实际问题，使学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．教学重点1．能作出y＝ax2和y=ax2+c的图象，并能够比较它们与y＝x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．2．能说出y＝ax2和y=ax2+c图象的开口方向；对称轴和顶点坐标．教学难点能作出函数y＝ax2和y=ax2+c的图象，并总结其性质，还能和y=x2作比较，教学方法类比学习法．教具准备投影片三张第一张：(记作§2．3 A)第二张：(记作§2．3 B)第三张：(记作§2．3 C)教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]在前两节课我们学习了二次函数的定义，会画函数y＝x2与y=-x2的图象，知道它们的图象是抛物线，并且还研究了抛物线的有关性质．如图象x轴是否有交点，交点坐标是什么?y随x的增大而如何变化．抛物线是否为轴对称图形等．那么二次函数是否只有y ＝x 2与y ＝-x 2这两种呢?本节课我们继续学习其他形式的二次函数．Ⅱ．新课讲解一、刹车距离与二次函数的关系．[师]大家知道两辆车在行驶时为什么要保持一定距离吗? [生]怕发生“迫尾”事故．[师]汽车刹车时向前滑行的离与什么因素有关呢? [生]与汽车行驶的速度有关系．[师]究竟与什么有关，关系有多大呢? 投影片：(§2．3 A)影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴 天在某段公路上行驶时，速度为v(km ／h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式s ＝1001v 2确定，雨天行驶时，这一公式为s ＝501v 2． [师]引刹车距离s 与速度v 之间的关系是二次函数吗? [生]根据二次函数的定义可知，它们都是二次函数．[师]与一上节课中学习的二次函数y ＝x 2和y ＝-x 2有什么不同吗?[生]y ＝x 2中的a 为1． s ＝1001 v 2中的a 为1001. 所以它们的不同之处在于a 的取值不同．[师]很好． 既然s ＝1001v 2和s=501v 2与y=x 2,y=-x 2它都是二次函数，且都是只含二次项的二次函数，所以它们有相同之处；又因为它们中的a 值的不同．所以它们肯定还有不同之处．比如在y ＝x 2中自变量x 可以取正数或负数，在s ＝1001 v 2中，因为v 是速度，能否取负值呢?由实际情况可知”不可以取负值．下图是s ＝1001v 2的图象，根据画图象的三个步骤即列表、描点、连线，在同一直角坐 标系内作出函数s=501v 2的图象．二、比较x=1001v 2和s ＝501v 2的图象． [师]从上图中，大家可以互相讨论图象有什么相同与不同?[生]相同点：(1)它们都是抛物线的一部分 (2)二者都位于s 轴的左侧．(3)函数值都随v 值的增大而增大． 不同点：(1)s=501 v 2的图象在s= 1001 v 2的图象的内侧． (2)s= 501v 2的s 比s ＝ 1001 v 2中的S 增长速度快．[师]如果行车速度是60 km ／h ，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米?[生]已知v ＝60 km ／h ．分别代入s ＝501v 2与s ＝1001 v 2中．相应地求出各自的刹车 距离，再求它们的差，即s 1＝ 501× 602=72， s 21001×602＝36．则 s 1-s 2＝72-36＝36(m)．所以在雨天行驶和在晴天行驶相比，雨天的刹车距离较长，相差36 m ． 三、做一做投影片：(§2．3 B)作二次函数y ＝2x 2的图象．(2)在下图中作 出y ＝2x 的图象．(3)二次函数y ＝2x 2的图象是什么形状?它与二次函数y=x 2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? [生](1)略 (2)如图(3)二次函数y=2x 2的图象是抛物线．它与二次函数y ＝x 2的图象的相同点： 开口方向相同，都向上． 对称轴都是y 轴．顶点都是原点，坐标为(0，0)．在y 轴左侧，都是y 值随x 值的增大而减小；在y 轴右侧，都是y 值随x 值的增大而增大．都有最低点，即原点．函数都有最小值．不同点：y＝2x2的图象在y＝x2的图象的内侧．y＝2x2中函数值的增长速度较快．四、议一议投影片：(§2．3 C)(1)在同一直角坐标系内作出函数y＝2x2与y＝2x2+1的图象．并比较它们的性质．(2)在同一直角坐标系内作出函数y＝3x2与y＝3x2-1的图象，并比较它们的性质．(3)由上可得出什么?[生](1)图象如下：比较性质如下：相同点：a．它们的图象都是抛物线，且形状相同，开口方向相同．b．它们都是轴对称图形，且对称轴都是y轴．c．在y轴左侧，y随x的增大而减小；在y轴右侧，y随x的增大而增大．d．都有最低点，y都有最小值．不同点：a．它们的顶点不同，y＝2x2的顶点在原点，坐标为(0，0)；y＝2x2+1的顶点在y轴上，坐标为(0，1)．b．虽然函数y都有最小值，但y＝2x2的最小值为0，y＝2x2+1的最小值为1．联系；y=2x2+1的图象可以看成函数y=2x2的图象整体向上平移一个单位．(2)[生]y＝3x2与y＝3x2-1的图象如下：性质比较如下：相同点：a ．它们的图象都是抛物线，且形状相同，开口方向相同． b.它们都是轴对称图形，且对称轴都是y 轴． c.都有最低点，函数值都有最小值．d.在y 轴左侧,y 都是随x 的增大而减小，在y 轴右侧，y 都随x 的增大而增大． c ．它们的增长速度相同． 不同点：a ．它们的顶点不同y=3x 2的顶点在原点，坐标为(0，0)，y ＝3x 2-1的顶点在y 轴上，坐标为(0，-1)．b ．y ＝3x 2的最小值为0，y ＝3x 2-1的最小值为-1．联系：y=3x 2-1的图象可以看成是y ＝3x 2的图象整体向下平移一个单位．[生](3)可以知道y=2x 2+1的图象是y=2x 2的图象整体向上移动一个单位得到的．[师]是的．由上可知，y ＝ax 2与y=ax 2+c 的图象形状相同，开口方向相同，对称轴也相同，只是顶点不同，函数的最大值或最小值不同．y ＝ax 2+c 的图象可以看成y=ax 2的图象整体上下移动得到的，当c>O 时,向上移动│c │个单位，当c<0时，向下移动│c │个单位． Ⅲ．课堂练习 画出函数y ＝21x 2与y ＝2x 2的图象．(在同一直角坐标系内)并比较它们的性质． 分析：画函数图象的步骤有列表、描点、连线．解：分别描点画图．相同点：图象都是抛物线，开口方向相同、顶点相同，都有最低点，函数有最小值．y 的值随x 的增大而变化情况相同．不同点：抛物线的开口大小不同，函数值的增长速度不同． Ⅳ．课时小结本节课巩固了画函数图象的步骤：列表、描点、连线；学习了刹车距离与二次函数的关系；并比较了函数y ＝2x 2与y=x 2，y ＝2x 2+1与y ＝2x 2，y ＝3x 2-1与y ＝3x 2的图象的性质． Ⅴ．课后作业 习题2．3Ⅵ，活动与探究 略 板书设计§2．3 刹车距离与二次函数一、1. 刹车距离与二次函数的关系(投影片§2．3 A)2．比较s ＝1001v 2与s ＝501v 2的图象 3．做一做(投影片§2．3 B)4．议一议(投影片§2．3 C) 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业 备课资料 参考练习1．在同一直角坐标系内画出下列函数的图象： (1)y ＝3x 2(2)y ＝-3x 2(3)y ＝31x 2答案：略2．分别说出抛物线y=4x 2与y=-41x 2的开口方向、对称轴与顶点坐标． 答案：y ＝4x 2的开口方向向上，对称轴为y 轴．顶点坐标为(0，0)．3．函数y ＝5x 2的图象在对称轴哪侧?y 随着x 的增大怎样变化?答案：函数y ＝5x2的图象在对称轴右侧部分．y 随着x 的增大而增大．4．函数y ＝-5x 2有最大值或最小值吗?如果有，是最大值还是最小值?这个值是多少：答案：函数y ＝-5x 2有最大值，这个值是0．。
二次函数-刹车距离与二次函数
课题刹车距离与二次函数年级初三授课对象编写人李庆时间学习目标1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a 与c对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．学习重点、难点1.二次函数y=ax2、y=ax2＋c的图象和性质，因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质的基础．我们在学习时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析．2.由函数图象概括出y=ax2、y=ax2＋c的性质．函数图象都由（1）列表，（2）描点、连线三步完成．我们可根据函数图象来联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置．教学过程E （测评）二次函数y=x2 与y=-x2的性质：抛物线y=x2y=-x2对称轴顶点坐标开口方向位置增减性最值I （归纳）1.你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗？刹车距离与什么因素有关？有研究表明:汽车在某段公路上行驶时，速度为v(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以由公式：晴天时：21001vs=；雨天时：2501vs=，请分别画出这两个函数的图像：2.在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象。
3.在同一平面内画出函数y=3x2与y=3x2-1的图象。
比较它们的性质，你可以得到什么结论？E （扩展）【例1】已知抛物线y=（m＋1）x mm+2开口向下，求m的值．【例2】k为何值时，y=（k＋2）x622--kk是关于x的二次函数？【例3】在同一坐标系中，作出函数①y=－3x2，②y=3x2，③y=21x2，④y=－21x2的图象，并根据图象回答问题：（1）当x=2时，y=21x2比y=3x2大（或小）多少？（2）当x=－2时，y=－21x2比y=－3x2大（或小）多少？【例4】已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为（－3，m）．（1）求a、m的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；（4）求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积．【例5】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求出将d表示为k的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．T （实练）见习题学生评价 （签字） 非常满意满意 较满意 不满意课后记审核人：课后练习1．抛物线y=－4x 2－4的开口向 ，当x= 时，y 有最 值，y= ． 2．当m= 时，y=（m －1）xmm +2－3m 是关于x 的二次函数．3．抛物线y=－3x 2上两点A （x ，－27），B （2，y ），则x= ，y= ． 4．当m= 时，抛物线y=（m ＋1）xmm +2＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ．5．抛物线y=3x 2与直线y=kx ＋3的交点为（2，b ），则k= ，b= ． 6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为．7．在同一坐标系中，图象与y=2x 2的图象关于x 轴对称的是（ ） A ．y=21x 2B ．y=－21x 2C ．y=－2x 2D ．y=－x 28．抛物线，y=4x 2，y=－2x 2的图象，开口最大的是（ ） A ．y=41x 2B ．y=4x 2C ．y=－2x 2D ．无法确定9．对于抛物线y=31x 2和y=－31x 2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）A ．两条抛物线关于x 轴对称B ．两条抛物线关于原点对称C ．两条抛物线关于y 轴对称D ．两条抛物线的交点为原点10．二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）11．已知函数y=ax 2的图象与直线y=－x ＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x 在第一象限内的交点相同，则a 的值为（ ）A ．4B ．2C ．21D ．4112．求符合下列条件的抛物线y=ax 2的表达式： （1）y=ax 2经过（1，2）；（2）y=ax 2与y=21x 2的开口大小相等，开口方向相反；（3）y=ax 2与直线y=21x ＋3交于点（2，m ）．13．如图，直线ι经过A （3，0），B （0，3）两点，且与二次函数y=x 2＋1的图象，在第一象限内相交于点C ．求：（1）△AOC 的面积；（2）二次函数图象顶点与点A 、B 组成的三角形的面积．14．自由落体运动是由于地球引力的作用造成的，在地球上，物体自由下落的时间t （s ）和下落的距离h （m ）的关系是h=4．9t 2．求：（1）一高空下落的物体下落时间3s 时下落的距离； （2）计算物体下落10m ，所需的时间．（精确到0．1s ）15．有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB 时宽20m ．水位上升3m ，就达到警戒线CD ，这时，水面宽度为10m ．（1）在如图2-3-9所示的坐标系中求抛物线的表达式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0．2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？。
23刹车距离与二次函数
v速度(公里/小时)
0
20
40
60
80
100
函数y=2x2的
y
图象是什么形
状?它与y=x2
9
的图象有什么
8
相同和不同?
7
它的开口方向
6
对称轴和顶点
5
坐标分别是什
4
么?
3
二次函数y=ax2（a≠0）， 2
a 的值越大，
1
开口越 越小。
-4 -3 -2 -1 o 1
y=x2
y=2x2
x
2 34
议一议
0
1
4
0.5 1.5
3
1
3
2
1.5 5.5
2
9
1
-4 -3 -2 -1
o1 2
34
x
函数 y=3x2
y=3x2-1
开口方向
y 1.
向上
向上 0.75.
0.5.
0.25.
对称轴
顶点坐标
y轴 y=3x2（0，0）
y轴
（0，-1）
-1 -0.75. -0.5. -0.25 0.
二次函数
-0.25.
y=3x22-1与
点(-m,n) __在___y=ax2+a的图象上. 4. 若y=x2+（2k-1）的顶点位于x轴上方， 则K_____＞__ 0.5
思维与拓展
1. 一次函数y=ax+b与y=ax2-b在同一坐
B 标系中的大致图象是（ ） y
A.
y
B.
0 C. y
x D.
0
x
y
0
x
0
x
刹车距离与二次函数(一)
1 v2 s 下图是 100 的图象，在同一直角坐标系中 作出函数 s 1 v 2 的图象(先想一想,v可以取任何 50
值吗?为什么?)． 1.完成下表：
v 0 20 40 60 80 100 120
1 2 s v 50
0
S=
8
1 50 v2
32
72
128
200 288
2.在下图中作出
的图象
s/m
128
112
96
S=
1 50
v2 S=
1 100
v2
80
72
64
48Biblioteka 3632 16v/(km/h)
0
20
40
60
80
可以观察图象也 可以通过计算得 到结论
注:（1）二者都位于s轴的右侧，函 数值都随v值得增大而增大。
1 2 1 2 S= v S= v （ 2） 50 的图象在 100
波罗中学
情境创设
y x2
二次函数y=x2 与y=-x2的性质
抛物线 对称轴
y x2
y=x2
y轴
y=-x2
y轴 （0，0） 向下
顶点坐标
开口方向 位置 增减性 最值
（0，0）
向上 在x 轴的上方 如图所示 最小值为0
在x 轴的下方 如图所示
最大值为0
新课讲解
刹车距离与二次函数
•你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗 ? •汽车刹车时向前滑行的距离(称为刹车距离)与什么因 素有关? 影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的 摩擦系数.有研究表明,晴天在某段公路上行驶时,速度为 v(km／h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式(1)确定, 雨天行驶时,由公式(2)来计算：
刹车距离与二次函数
当 时，抛物线的开口向下。
当 时，抛物线与y轴的交点在原点的上方；
当 时，抛物线与y轴的交点在原点的下方。
同学们完成完成书本P44做一做，并总结出二次函数中的a与c的取值对图象的影响。
3、 和 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标
☆议一议书本P45议一议
1）形状、开口方向、对称轴都相同，但顶点坐标不同， 的图象的顶点坐标是（0 ，1），实际上，只要将 的图象向上平移1个单位，就可以得到 的图象；
微课
目标
掌握二次函数 和 图象的性质以及a与c对图象的影响。
微课
设计
阶段
时间
内容
旁白
备注
导入
1分钟
回顾二次函数 和 的图象与性质。
在上一节课，我们学习了什么？。这节课，我们将接着讨论形如 和 的图象的作法和性质，以及a与c对图象的影响。
过程
10分钟
1、刹车距离与二次函数
借助晴天和雨天刹车距离的不同，引出二次函数的系数对图象的影响。
两二次函数的形状、开口方向、对称轴都相同，但顶点坐标不同， 的图象的顶点坐标是（0 ， ），实际上，只要将 的图象向上平移1个单位，就可以得到 的图象。
同学们完成完成书本P45
议一议
认真思考并讨论总结出二次函数 和 的图像性质。
总结
2分钟
二次函数 和 中的a与c对图象的影响，和它们的顶点坐标，以及 与 的关系。
好了同学们，？请告诉你的同桌我们这节课你学到了什么？
进阶练习
提示：设计一套测试或练习题，用于检验通过微课学习，学生是否化解了“重难点”。这套题分：易、中、难三个层次，每个层次一道题（三道题围绕该重难点）
易请说明二次函数y=2x2和y=-3x2的开口方向、对称轴、顶点坐标。
刹车距离与二次函数
函数
2 x y=x²
y=-x²
图象形状 开口方向 对称轴
顶点 坐标
抛物线 向上 y轴 (O,0)
抛物线 向下 y轴 (O,O)
y=-x2
•你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗?
•汽车刹车时向前滑行的距离(称为刹车距离)与什么 因素有关?
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路
面的摩擦系数.有研究表明,晴天在某段公路上行驶
7
1
-1
1
7
y
8
6 4
2
-4 -2 0 2 4 x
-2
二次函数y=-3x2+1 , y=-3x2-1 的图象与二次函
2
2
数y=-3x2 的图象有什么关系？
你能肯定吗？
解析：
二次函数y=-3x2+1 ,由二次函数y=-3x2的图象向 2
上平移 1 个单位 2
二次函数y=-3x2+1 ,由二次函数y=-3x2的图象向 2
(2)二者都位于y轴的左侧.
(2)的s比(1)中的S增长速度快 .
(3)函数值都随y值的增大而增大
.
2.如果行车速度是60km/h，那么在雨天行驶和在晴天行 驶相比刹车距离相差多少米？你是怎么知道的？
解析：如图S=S雨-S晴
S(m)
1
112 S雨＝ 50 V2
=162 0162 03m 6 50 100
y=2x2 y 10
y=x2
8
6
4
2
-4
-2
0
2x
随着 ︱a︱的增大，开口将越来越小 y=-x2
y=-2x2
请你总结二次函数y=ax2的图象和性质.
刹车距离与二次函数—y=ax2与y=ax2+c图象和性质
64 48
这两个二 次函数图 像有什么 相同和不 同？
32
相同点： 开口方向 顶点 16 不相同点： 形状
0 20 40 60
增减性
80 100
做一做P43 3
s 288
观察图象,回答问题串
S=
1 50
v2
S=
1 100
v2
200 144 128 100 72 64 36
32
(1)两个图象有什么相同与不同?
y ax2
4. a 越大,开口越小, a 越小,开口越大.
2.当a>0时， 抛物线y=ax2 在x轴的上 方(除顶点 外),它的开 口向上,并且 向上无限伸 展；当a<0 时,抛物线 y=ax2在x轴 的下方(除顶 点外),它的 开口向下,并 且向下无限 伸展.
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴 ３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴 ２.位置与开口方向
图象形状与y=-x2 一样,仍是抛物线.
2
y 2x 2
只是开口 大小不同.
二次项系数a<0,开口都 向下;对称轴都是y轴;增 减性与也相同. 请你总结二次函数y=ax2的图象和性质.
二次函数y=ax2 的性质
1.抛物线y=ax2的 顶点是原点,对称 轴是y轴.
3.当a>0时,在对称轴的 左侧,y随着x的增大而 减小；在对称轴右 侧,y随着x的增大而增 大.当x=0时函数y的值 最小.当a<0时，在对 称轴的左侧,y随着x的 增大而增大；在对称 轴的右侧,y随着x增大 而减小,当x=0时,函数y 的值最大.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右 侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右 侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
刹车距离与二次函数
2x y§2.3 刹车距离与二次函数(1)学习目标：1、经历探索二次函数y=a x 2和y=a x 2＋c 的图象的作法和性质的过程2、会作出y=a x 2和y=a x 2＋c 的图象，并能比较它们与y= x 2的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响3、能说出y=a x 2＋c 与y=a x 2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 学习重点：二次函数y=a x 2、y=a x 2＋c 的图象和性质 学习过程：一、 复习旧知，温故知新二次函数y=x 2 与y=－x 2的性质： 二、创设情境，引入新知二次函数是否只有y ＝x 2与y ＝－x 2这两种呢?有没有其他形式的二次函数？ 它们的函数图象又是怎样的呢？ 三、合作探究，发现新知1、在同一坐标系中作二次函数y=x2、y=2x 2 和y=4x 2的图象，并分析它的特征。
(1)列表：x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x 2 … 9 41149… y=2x 2 … … y=4x 2 ……(2)在直角坐标系（右图）中描点，(3)用光滑的曲线连接各点，得到函数y ＝x 2，y=2x 2和y=4x 2的图象，分析它的相同点与不同点相同点：它们的图象都是一条 ，开口都向 ，对称轴都是 ，顶点坐标都是 ，增减性规律都一致，函数都有最 值，当x ＝0时，y 最小= 。
不同点：函数图象开口大小不同，|a|越大，函数图象开口越 ,函数值的增长速度越 。
【小结】：二次函数y=ax 2（a ＞0）图象抛物线 y=x 2 y=－x 2对称轴 顶点坐标 开口方向 位置 增减性 最值的开口大小与 有关。
若|a|越大，函数图象开口越 ,函数值的增长速度越 。
2、类比y=x 2与y ＝－x 2图象性质的联系，试一试不画出二次函数y=－x 2、y=－2x 2 和y=－4x 2的图象，分析它的特征。
相同点：它们的图象都是一条 ，开口都向 ，对称轴都是 ，顶点坐标都是 ，增减性规律都一致，函数都有最 值，当x ＝0时，y 最大= 。
《刹车距离与二次函数》二次函数
05 结论
研究总结
01
刹车距离与二次函数的关系
通过数据分析，我们发现刹车距离与二次函数之间存在明显的负相关关
系。当二次函数的系数增加时，刹车距离呈现明显的缩短趋势。
02 03
刹车距离的影响因素
除了二次函数之外，刹车距离还受到其他因素的影响，如车辆性能、驾 驶员反应速度、路面状况等。这些因素在研究中考虑在内，但仍然可能 存在一些未知的影响因素。
点，其方程为x=-b/2a。
开口方向与a的符号有关， a>0时，开口向上；a<0时
，开口向下。
当a、b、c三个值中至少有一 个为0时，函数图像将与x轴平
行。
03 刹车距离与二次函数关系
刹车距离概念
要点一
刹车距离
车辆在行驶过程中，从开始刹车到完全停止所行驶的 距离。
要点二
影响因子
刹车距离受到多种因素的影响，包括车速、路面情况 、车辆性能等。
利用二次函数的最小值公式，我们可 以找到使d最小的t1。这个t1可以用 来调整刹车策略，以使刹车距离最短 。
考虑实际因素的刹车距离计算
实际因素
在实际情况下，车辆刹车还受到路面条件、轮胎摩擦系 数、空气阻力等因素的影响。这些因素需要考虑到刹车 距离的计算中。
考虑实际因素的刹车距离公式
综合考虑各种因素，刹车距离的计算公式变得更加复杂 。需要考虑的变量包括路面条件、轮胎摩擦系数、空气 阻力等。这些变量可以通过实验测量得到，并用于修正 刹车距离的计算公式。
二次函数对刹车距离的影响
车辆性能
车辆性能对刹车距离有显著影响。车辆 的制动系统、轮胎抓地力等都会影响刹 车距离。
VS
路况
路况如湿滑、结冰等都会影响刹车距离， 因为这些条件会降低轮胎的摩擦力。