六年级数学专题详解 容斥原理
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容斥原理
在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A|表示有限集A的元素的个数。在两个集合的研究中,已经知道,求两个集合并集的元素个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两根集合的个数之中减去重复计算的元素个数,用式子可以表示成|A∪B|=|A|+|B|–|A∩B|。
我们称这一公式为包含与排除原理,简称为容斥原理。
包含与排除原理|告诉我们,要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素个数,可以分一下两步进行:
第一步:分别计算集合A、B的元素个数,然后加起来。即先求|A|+|B|(意思是把A、B的一切元素都“包含”进来,加在一起);
第二步“从上面的和中减去交集的元素的个数,即减去|A∩B|(意思是“排除”了重复计算的元素的个数)。
例1.求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少?
解:设I={1、2、3、…、19、20},A={I中2的倍数},B={I中3的倍数}。
显然题目中要求计算并集A∪B的元素个数,即求|A∪B|。
我们知道A ={2、4、6、……、20},所以|A |=10, B ={3、6、9、12、15、18},|B |=6。
A ∩
B ={I 中既是2的倍数又是3的倍数}={6、12、18},所以|A ∩B |=3,
根据容斥原理有|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |=10+6–3=13. 答:所求的数共有13个。
此题可以直观地用图表示如下:
例2.某班统计考试成绩,数学得90分以上的有25人,语文得90分以上的有21人,两科中至少有一科在90分以上的有38人,问两科都在90分以上的有多少人?
解:设A ={数学在90分以上的学生},B ={语文在90分以上的学生},
由题意知|A |=25,|B |=21。
A ∪
B ={数学、语文至少一科在90分以上的学生},|A ∪B |=38。
A ∩
B ={数学、语文都在90分以上的学生},
由容斥原理知|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |,
所以|A ∩B |=|A |+|B |–|A ∪B |=25+21–38=8。 159320
1816
1412
1086
42
B A
答:两科都在90分以上的有8人。
画图分析一下:
其中A 的人数是x +n =25,B 的人数是y +n =21,A ∪B 的人数是x +n +y =38,求n 等于多少?
很明显n =(x +n )+(y +n )–(x +y +n )=25+21–38=8。
例3.如图所示,一个边长为2 的正方形与一个边长为3的正方形放在桌面上,它们所盖住的面积有多大?
解:如果把两个正方形的面积加起来是32+22=9+4=13,就会发现多计算了一块阴影的面积,应该从上面的和中减去这一部分。
因此两个正方形所覆盖住的面积是32+22–1.52=13–2.25=10.75。
n y
x B A
2
3
例4.有100位旅客,其中10人既不懂英语又不懂俄语,有75人懂英语,83人懂俄语。问既懂英语又懂俄语的有多少人?
解:设A={懂英语的旅客},B={懂俄语的旅客},那么英语或俄语至少懂一种的旅客是A∪B,而两种语言都懂的旅客是A∩B。
由题意|A|=75,|B|=83,|A∪B|=100–10=90,
根据容斥原理得|A∩B|=|A|+|B|–|A∪B|=75+83–90=68.
答:两种语言都懂的旅客有68人。
对于任意三个有限集合A、B、C,我们可以将上面的容斥原理推广得到如下的公式:
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C|–|A∩C|+|A∩B∩C|。
三个集合的容斥原理告诉我们要计算并集A∪B∪C的元素个数,可以分三步进行:
第一步:求|A|+|B|+|C|;
第二步:减去|A∩B|,|B∩C|,|C∩A|;
第三步:加上|A∩B∩C|。
结合下图作出说明。
由于A ∪B ∪C 可以有七个部分组成,其中I 、II 、III 部分的元素仅属于某个集合,而IV 、V 、VI 部分的元素分别属于某两个集合,第VII 部分则是三个集合的交集。
由于A ∪B ∪C 的元素分别来自集合A 、B 、C ,因此先计算|A |+|B |+|C |。
在这个和里,第I 、II 、III 部分的元素只计算了一次,而第IV 、V 、VI 部分的元素各自计算了两次,第VII 部分的元素计算了三次。
在第二步中减去了|A ∩B |,|B ∩C |,|C ∩A |后,得|A |+|B |+|C |–|A ∩B |–|B ∩C |–|A ∩C |,
这样显然消除了第IV 、V 、VI 部分的元素的重复计算,但是请注意同时对第VII 部分的元素是减去了三次,这样第VII 部分的元素都被减去了,因此必须补回来,即再加上|A ∩B ∩C |。
综上所述得|A ∪B ∪C |=|A |+|B |+|C |–|A ∩B |–|B ∩C |–|A ∩C |+|A ∩B ∩C |。
C VII VI
V
IV III II I
B A
例5.某校组织棋类比赛,分成围棋、中国象棋、国际象棋三个组进行。参加围棋比赛的有42人,参加中国象棋比赛的有51人,参加国际象棋比赛的有30人。同时参加围棋和中国象棋比赛的有13人,同时参加围棋和国际象棋比赛的有7人,同时参加中国象棋和国际象棋比赛的有11人,其中三种棋都参加的有3人。问参加棋类比赛的共有多少人?
解:设A ={参加围棋比赛的人},B ={参加中国象棋比赛的人},C ={参加国际象棋比赛的人}。那么参加棋类比赛的人的集合为A ∪B ∪C 。
由题意知,|A |=42,|B |=51,|C |=30,又|A ∩B |=13,|A ∩C |=7,|B ∩C |=11,|A ∩B ∩C |=3。
根据容斥原理得
|A ∪B ∪C |=|A |+|B |+|C |–|A ∩B |–|B ∩C |–|A ∩C |+|A ∩B ∩C |=42+51+30–13–7–11+3=95(人)。
答:参加棋类比赛的共有95人。
画图来计算:
8431030
1525C VI
V IV III
II I B A
C VI V IV III II I B A