第十五章 直线相关与直线回归分析
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分析研究两个变量x与y之间的关系时，两个 变量的值可视为直角坐标系的一个点。为直 观地判断两个变量间的关系，可把每对（x,y) 变量值在直角坐标系标点出来，此为散点图。 若一个变量x由小到大（或由大变小），则另 一变量相应地由小到大（或由大到小），两 个变量的散点图呈直线趋势，可称这种现象 为共变。
18
百度文库
1.根据原始数据做散点图，从图中各点的分 布情况看，血液药物浓度Y随唾液药物浓度 X增加而增加的趋势。 2.计算相关系数 （1）计算基础数据根据原始数据求得
X 43.9
Y＝143.4
XY 568.1
X ＝174.5
2
Y ＝1873.0
2
19
r
[ X
2
XY X Y / n X / n][ Y Y
11
3、相关的类型
★正相关 ★负相关 ★完全正相关 ★完全负相关 ★零相关
12
一、直线相关统计量
13
相 关 系 数 及 意 义
相关系数：相关系数是用以衡量两个变量线 形相关有无、强弱与方向的统计指标。 总体参数： 样本相关系数：r
14
相关系数的计算公式
r
X－X Y Y X X . Y Y
学 习 目 标
1.说出直线相关与直线回归的概念； 2.说出等级相关的适用范围； 3.能计算直线相关系数与回归系数、
进行假设检验； 4.能从专业角度考虑相关与回归的实 际意义。
1
两个变量之间的关系大致分为两种：
2
1.两个变量共同变化的，是一种 相互依赖的关系
例如身高与体重的关系。可以用相
1 －r
=n-2=12-2=10 t=7.73，查t值表P436， t 0.05(10) 2.228
上述计算t=7.73>2.228，由t所推断的P值小于0.05，按 =0.05水准拒绝H0 ，接受H1, r为正值，说明唾液 药物浓度与血液药物浓度存在正相关关系。
23
相关一定有内在联系吗？
21
对相关系数的假设检验，常用t检验，选用统计 量t的计算公式如下：
t r 0 r 1 r2 n2
=n-2
sr
n2 r 1 r2
22
(1)建立假设 H0 ： =0 ，即X与Y间无直线相关关系 H1 ： ≠0 ， 即X与Y间有直线相关关系 （2）确定检验水准：=0.05 （3）确定单双测检验：本例选择双测检验 （4）计算t值： r n2 r=0.9256, n=12, 代入公式 t r 2
液药物浓度与血液药物浓度之间存在相关关系。但是，这12
名癫痫病人只是总体中的一个样本，由此得到的相关系数会 存在抽样误差。
因为，总体相关系数（）为零时，由于抽样误差，从总体 抽出的12例，其r可能不等于零。所以，要判断该样本的r是 否有意义，需与总体相关系数=0进行比较，看两者的差别 有无统计学意义。这就要对r进行假设检验，判断r不等于零 是由于抽样误差所致，还是两个变量之间确实存在相关关系。
16
相关系数的特点：
r是无量刚的统计量；-1<r<1 r可正可负（正表正相关，负表负相关）； r＝0 零相关（无线性相关） r 的大小表示相关的程度，越接近1，表相 关性越好，越接近0，表相关性越差。
17
二、直线相关系数的计算
例15－1
某医师研究12名癫痫病人口 服鲁米那后两小时唾液药物浓度与 血液药物浓度之间的数量关系。试 计算两种体液药物浓度间的直线相 关关系。
4
为了研究父亲与成年儿子 身高之间的关系，卡尔.皮 尔逊测量了1078对父子的 身高。把1078对数字表示 在坐标上，如图。用水平 轴X上的数代表父亲身高， 垂直轴Y上的数代表儿子 的身高，1078个点所形成 的图形是一个散点图。它 的形状象一块橄榄状的云， 中间的点密集，边沿的点 稀少，其主要部分是一个 椭圆。
是一种互为因果的数量协同变化关系； 变量类型：两变量应同时满足正态分布 的条件（实际工作中近似正态分布）。
8
相关分析
1.图示法：有无相关、相关程度、相关方向
2相关系数：在求相关系数前，最好先做图。
9
相关分析：无自变量、因变量、地位平等。
回归分析：有自变量、因变量，两者从属关 系。
10
绘制散点图
关分析方法去研究这种关系。可以 研究两个变量之间的相互关系的密 切程度和变化趋势，并用恰当的统 计指标表达。
3
2.一个变量对另外一个变量有着某 种依存关系
例如儿子的身高与父亲的身高有着某种
依存关系，可以用回归分析的方法去研 究这种关系，即把两个变量间的数量依 存关系用函数形式表示出来，用一个或 多个变量去推测另一个变量的估计值和 波动范围，这就是回归分析。
5
第一节 直 线 相 关 分 析
Linear Correlation
6
1.直线相关概念
概念：描述和推断两个（事件、现象）正态 变量（x、y)总的变化趋势上协同变化规律性 的密切程度和方向（但又非确定的函数关系） 的统计分析方法。 协同变化：同增同减，此增彼减
7
2.直线相关的特点：
两变量同时进入数据分析； 两变量不区别为原因变量和结果变量，
2
2
LXY L XY .LYY
2
Lxx X X
L yy Y Y
Lxy
X
2
2 2
2
X
n
2
Y
Y
n
X Y X X Y Y XY
n
15
r 的计算结果：
说明了两个变量X与Y之间关联的密切程度 （绝对值大小）与关联的性质（正负 号）。
某君喜得贵子，庭前种一小树，每月测子高 与树高，积累了数据。统计计算发现，子高 与树高具有相关性，难道两者真有内在联系？ 原来子高与树高均与日俱增，时间变量与两 者得潜在联系，造成了子高与树高的虚假联 系。
2 2
2
/ n]
568.19 43.9 143.4 / 12 0.9256 2 2 [174.51 43.9 / 12][1873 .04 143.4 / 12]
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（3）直 线 相 关 系 数 的 假 设 检 验
上例中的相关系数r等于0. 9256，说明了12名癫痫病人的唾
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1.根据原始数据做散点图，从图中各点的分 布情况看，血液药物浓度Y随唾液药物浓度 X增加而增加的趋势。 2.计算相关系数 （1）计算基础数据根据原始数据求得
X 43.9
Y＝143.4
XY 568.1
X ＝174.5
2
Y ＝1873.0
2
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r
[ X
2
XY X Y / n X / n][ Y Y
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3、相关的类型
★正相关 ★负相关 ★完全正相关 ★完全负相关 ★零相关
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一、直线相关统计量
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相 关 系 数 及 意 义
相关系数：相关系数是用以衡量两个变量线 形相关有无、强弱与方向的统计指标。 总体参数： 样本相关系数：r
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相关系数的计算公式
r
X－X Y Y X X . Y Y
学 习 目 标
1.说出直线相关与直线回归的概念； 2.说出等级相关的适用范围； 3.能计算直线相关系数与回归系数、
进行假设检验； 4.能从专业角度考虑相关与回归的实 际意义。
1
两个变量之间的关系大致分为两种：
2
1.两个变量共同变化的，是一种 相互依赖的关系
例如身高与体重的关系。可以用相
1 －r
=n-2=12-2=10 t=7.73，查t值表P436， t 0.05(10) 2.228
上述计算t=7.73>2.228，由t所推断的P值小于0.05，按 =0.05水准拒绝H0 ，接受H1, r为正值，说明唾液 药物浓度与血液药物浓度存在正相关关系。
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相关一定有内在联系吗？
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对相关系数的假设检验，常用t检验，选用统计 量t的计算公式如下：
t r 0 r 1 r2 n2
=n-2
sr
n2 r 1 r2
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(1)建立假设 H0 ： =0 ，即X与Y间无直线相关关系 H1 ： ≠0 ， 即X与Y间有直线相关关系 （2）确定检验水准：=0.05 （3）确定单双测检验：本例选择双测检验 （4）计算t值： r n2 r=0.9256, n=12, 代入公式 t r 2
液药物浓度与血液药物浓度之间存在相关关系。但是，这12
名癫痫病人只是总体中的一个样本，由此得到的相关系数会 存在抽样误差。
因为，总体相关系数（）为零时，由于抽样误差，从总体 抽出的12例，其r可能不等于零。所以，要判断该样本的r是 否有意义，需与总体相关系数=0进行比较，看两者的差别 有无统计学意义。这就要对r进行假设检验，判断r不等于零 是由于抽样误差所致，还是两个变量之间确实存在相关关系。
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相关系数的特点：
r是无量刚的统计量；-1<r<1 r可正可负（正表正相关，负表负相关）； r＝0 零相关（无线性相关） r 的大小表示相关的程度，越接近1，表相 关性越好，越接近0，表相关性越差。
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二、直线相关系数的计算
例15－1
某医师研究12名癫痫病人口 服鲁米那后两小时唾液药物浓度与 血液药物浓度之间的数量关系。试 计算两种体液药物浓度间的直线相 关关系。
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为了研究父亲与成年儿子 身高之间的关系，卡尔.皮 尔逊测量了1078对父子的 身高。把1078对数字表示 在坐标上，如图。用水平 轴X上的数代表父亲身高， 垂直轴Y上的数代表儿子 的身高，1078个点所形成 的图形是一个散点图。它 的形状象一块橄榄状的云， 中间的点密集，边沿的点 稀少，其主要部分是一个 椭圆。
是一种互为因果的数量协同变化关系； 变量类型：两变量应同时满足正态分布 的条件（实际工作中近似正态分布）。
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相关分析
1.图示法：有无相关、相关程度、相关方向
2相关系数：在求相关系数前，最好先做图。
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相关分析：无自变量、因变量、地位平等。
回归分析：有自变量、因变量，两者从属关 系。
10
绘制散点图
关分析方法去研究这种关系。可以 研究两个变量之间的相互关系的密 切程度和变化趋势，并用恰当的统 计指标表达。
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2.一个变量对另外一个变量有着某 种依存关系
例如儿子的身高与父亲的身高有着某种
依存关系，可以用回归分析的方法去研 究这种关系，即把两个变量间的数量依 存关系用函数形式表示出来，用一个或 多个变量去推测另一个变量的估计值和 波动范围，这就是回归分析。
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第一节 直 线 相 关 分 析
Linear Correlation
6
1.直线相关概念
概念：描述和推断两个（事件、现象）正态 变量（x、y)总的变化趋势上协同变化规律性 的密切程度和方向（但又非确定的函数关系） 的统计分析方法。 协同变化：同增同减，此增彼减
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2.直线相关的特点：
两变量同时进入数据分析； 两变量不区别为原因变量和结果变量，
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LXY L XY .LYY
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Lxx X X
L yy Y Y
Lxy
X
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X
n
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Y
Y
n
X Y X X Y Y XY
n
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r 的计算结果：
说明了两个变量X与Y之间关联的密切程度 （绝对值大小）与关联的性质（正负 号）。
某君喜得贵子，庭前种一小树，每月测子高 与树高，积累了数据。统计计算发现，子高 与树高具有相关性，难道两者真有内在联系？ 原来子高与树高均与日俱增，时间变量与两 者得潜在联系，造成了子高与树高的虚假联 系。
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/ n]
568.19 43.9 143.4 / 12 0.9256 2 2 [174.51 43.9 / 12][1873 .04 143.4 / 12]
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（3）直 线 相 关 系 数 的 假 设 检 验
上例中的相关系数r等于0. 9256，说明了12名癫痫病人的唾