第十五章 直线相关与直线回归分析
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医学统计学PPT：直线相关和回归
r X X Y Y
l XY
X X 2 Y Y 2
l XX lYY
X 的离均差平方和:
2
lXX X X
Y 的离均差平方和:
2
lYY Y Y
X与Y 间的离均差积和: lXY X X Y Y
离均差平方和、离均差积和的展开：
lXX
2
XX
X2
相关系数的抽样分布( = 0)
300 200 100
0 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
相关系数的抽样分布( =0.8)
300 200 100
0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
R.A. Fisher(1921) 的 z 变换
150
100
50
0
-2
-1
0
1
2
相关系数的z 值的抽样分布( = 0.8)
200
150
100
50
0
0
1
2
3
4
相关系数的可信区间估计
➢ (1) 将 r 变换为 z ； ➢ (2) 根据 z 服从正态分布，估计 z 的可信区间；
1 z u sz z u n 3
➢ (3) 再将 z 变换回 r 。
1 1
0.7221
lup
e2z 1 e2z +1
e22.6650 e22.6650
1该可0信.99区0间4 有1 什么含义？
7.3 直线回归
直线回归是把两个变量之间的关系用适当的方 程式表达出来，可以从一个自变量推算另一个 应变量。
直线回归的定义
➢ Y 因变量，响应变量 (dependent variable, response variable)
直线回归与相关
应用直线回归的注意事项
进行回归分析时，应先绘制散点图。若提示有直 线趋势存在时，可作直线回归分析；若提示无明 显线性趋势，则应根据散点分布类型，选择合适 的曲线模型，或经数据变换后，化为线性回归来 解决。 绘制散点图后，若出现一些特大特小的离群值 （异常点），则应及时复核检查，对由于测定、 记录或计算机录入的错误数据，应予以修正和剔 除。否则，异常点的存在会对回归方程中的系数 a、b的估计产生较大影响。
a>0表示回归直线与y轴的交点在X轴的上方； a<0表示回归直线与y轴的交点在x轴的下方； a=0表示回归直线通过原点。
b ：回归系数 (coefficient of regression)
回归系数即直线的斜率。
b>0，表示随x增加，y亦增加； b<0，表示随x增加，y值减少； b=0，表示回归直线与x轴平行，意为y与x无关。
直线回归分析的一般步骤
1、将 n 个观察单位的变量对(x，y)在直角坐标系中 绘制散点图，若呈直线趋势，则可拟合直线回归 方程。 2 2、求回归方程的回归系数和截矩 3、写出回归方程 Yˆ = a + bX ，画出回归直线 4、对回归方程进行假设检验
a ：截距(intercept)
截距是指x=0时，回归直线与y轴交点到原点的 距离。
lxx = ∑ ( x − x) = ∑ x −
2 2
(∑ x ) 2 n
(∑ x )(∑ y ) n
lyy = ∑ ( y − y ) = ∑ y −
2 2
(∑ y ) 2 n
lxy = ∑ ( x − x)( y − y ) = ∑ xy −
求回归系数b和截距a
∑ ( x − x )( y − y ) = l b= l ∑ ( x − x)
《直线相关与回归》课件
通过引入多个自变量，建立多元线性回归模 型，更准确地预测因变量的值。
模型评估
通过检验回归方程的显著性和模型的拟合优 度，评估多元线性回归模型的有效性。
案例分析与应用
市场营销
通过回归分析客户消费行为，制定有效的市场推广策略。
金融风险管理
通过建立回归模型，评估风险因素对金融资产的影响程度。
医学研究
回归分析可以帮助研究人员预测疾病发生的概率，优化治疗方案。
皮尔逊相关系数
常用的相关系数，取值范围为-1到1，表示两个变量之间的线性关系的强弱。
斯皮尔曼相关系数
用于非线性关系的测量，通过变量的排序关系来判断相关性的程度。
判定系数
判断回归方程对样本数据的拟合程度，解释自变量对因变量变化的百分比。
回归分析的基本原理
回归分析用于建立因变量与一个或多个自变量之间的数学关系。通过回归方 程的拟合和预测，揭示变量之间的内在规律。
《直线相关与回归》PPT 课件
本课件将介绍直线相关与回归的概念、测量方法以及基本原理。我们还将探 讨简单线性回归模型、多元线性回归模型，以及案例分析与应用。让我们开 始吧！
直线相关的概念
直线相关研究两个变量之间的关系，通过相关系数判断其相关性的强弱。相关性的理解对于回归分析非常重要。直Βιβλιοθήκη 相关的测量方法简单线性回归模型
模型公式
利用一条直线描述因变量与单个自变量之间的线性关 系。
散点图
通过散点图观察数据点的分布和趋势，评估线性模型 的适应度。
回归分析
通过回归分析，我们可以得到回归系数和截距，进而
多元线性回归模型
1
多重共线性
2
当两个或多个自变量之间存在高度相关性时，
会导致多重共线性问题。
模型评估
通过检验回归方程的显著性和模型的拟合优 度，评估多元线性回归模型的有效性。
案例分析与应用
市场营销
通过回归分析客户消费行为，制定有效的市场推广策略。
金融风险管理
通过建立回归模型，评估风险因素对金融资产的影响程度。
医学研究
回归分析可以帮助研究人员预测疾病发生的概率，优化治疗方案。
皮尔逊相关系数
常用的相关系数，取值范围为-1到1，表示两个变量之间的线性关系的强弱。
斯皮尔曼相关系数
用于非线性关系的测量，通过变量的排序关系来判断相关性的程度。
判定系数
判断回归方程对样本数据的拟合程度，解释自变量对因变量变化的百分比。
回归分析的基本原理
回归分析用于建立因变量与一个或多个自变量之间的数学关系。通过回归方 程的拟合和预测，揭示变量之间的内在规律。
《直线相关与回归》PPT 课件
本课件将介绍直线相关与回归的概念、测量方法以及基本原理。我们还将探 讨简单线性回归模型、多元线性回归模型，以及案例分析与应用。让我们开 始吧！
直线相关的概念
直线相关研究两个变量之间的关系，通过相关系数判断其相关性的强弱。相关性的理解对于回归分析非常重要。直Βιβλιοθήκη 相关的测量方法简单线性回归模型
模型公式
利用一条直线描述因变量与单个自变量之间的线性关 系。
散点图
通过散点图观察数据点的分布和趋势，评估线性模型 的适应度。
回归分析
通过回归分析，我们可以得到回归系数和截距，进而
多元线性回归模型
1
多重共线性
2
当两个或多个自变量之间存在高度相关性时，
会导致多重共线性问题。
《直线回归和相关》课件
离群值检测
识别可能对模型产生重大影响的异常观测值。
多重共线性和VIF检验
多重共线性指自变量之间存在高度相关性，VIF检验帮助我们发现和解决这个问题。
残差的正态性检验
根据残差的正态性检验结果，判断回归模型是否符合正态分布假设。
残差的同方差性检验
同方差性检验帮助我们检查回归模型的残差是否具有同一方差。
2 负相关
相关系数接近-1，变量反向变化。
3 无相关
相关系数接近0，变量之间无线性关系。
相关系数的显著性检验
通过假设检验和计算p值来判断相关系数是否显著不等于零。
相关系数的局限性
相关系数只能衡量线性关系，无法捕捉非线性关系和其他可能的因果关系。
回归模型的诊断
残差图
用于检查回归模型中残差的分布是否符合假设。
p值
2
衡量统计结果的显著性，p值越小，结果
越显著。
3
显著性水平
通常使用alpha=0.05作为显著性水平。
偏回归系数的含义及其计算方 法
偏回归系数表示自变量对因变量的影响程度。计算方法包括标准化回归系数 和边际效应。
相关系数和相关性分析
相关系数衡量两个变量之间的线性关系强度，相关性分析帮助我们理解变量 之间的相互依赖关系。
1 线性关系
自变量与因变量之间的关系是线性的。
3 同方差性
观测值的方差相等。
2 独立性
观测值之间相互独立。
4 正态分布
因变量的误差项服从正态分布。
最小二乘法和线性回归
最小二乘法是一种常用的直线回归拟合方法，通过最小化观测值与回归线之 间的误差平方和，找到最佳拟合直线。
假设检验和p值
1
假设检验
直线相关与直线回归
案例二：医学研究
总结词
医学研究中，利用直线相关和回归分析探究疾病与危险因素之间的关系。
详细描述
在医学研究中，直线相关和回归分析常被用于研究疾病与危险因素之间的关系。 例如，通过分析吸烟、饮酒、饮食等危险因素与肺癌发病率之间的关系，可以 建立线性模型，从而为预防和治疗提供依据。
案例三：农业研究
总结词
通过假设检验的方法，检验两个变量之间是否存在显著的线性关系。常用的假设检验方法 包括t检验、F检验等。
直线相关系数
直线相关系数是用来量化两个变量之间线性关 系的强度和方向的一个数值，其取值范围为-1 到1。
相关系数的值为1表示完全正相关，值为-1表示 完全负相关，值为0表示无直线相关。
相关系数的绝对值越大，说明两个变量之间的 线性关系越强。
直线相关结果通常以相关系数和散点图等 形式呈现，而直线回归结果则以回归方程 、系数表和预测值等形式呈现。
联系
理论基础
直线相关和回归都基于线性关 系假设，即两个变量之间存在
一条直线的趋势。
应用场景
在某些情况下，直线相关和回 归可以相互转换，例如当一个 变量是另一个变量的函数时。
相互支持
在数据分析过程中，可以先进 行直线相关分析，再基于相关 系数进行直线回归分析，或者 反之。
结果解释
在某些情况下，直线相关和回 归的结果可能相似或一致，例 如当两个变量之间的线性关系
很强时。
04
直线相关与回归的应用
经济预测
预测市场趋势
通过分析历史数据，利用直线相关或回归分析来预测市场趋势， 如股票价格、商品需求等。
评估经济政策效果
通过分析政策实施前后的经济数据，利用直线相关或回归分析来评 估政策效果，为政策制定提供依据。
直线相关与回归
r>0，为正相关 ,一变量增加，另一变量随之增加；
r<0，为负相关,一变量增加，另一变量随之减少； r=0，零相关，两变量无直线关系； r=1，为完全正相关; r=-1，完全负相关； 后两种情况理论上存在，实际工作中少见。
本例r=0.7194, 正相关?
17:35:53
14
3、相关系数r的假设检验
11 12 13 14 15
65 60 70 75 69
2300 1900 2400 2500 2350
二、直线回归分析的步骤：
1、绘制散点图：实际工作中，通过散点
图发现两变量间存在直线趋势时，再作回 归分析。
2、建立回归方程(Regression equation)
⑴ 一般表达式： 式中，x为自变量(independent variable)， y 是因 ˆ 变量y的估计值，a是常数或截距，b是回归系数 。
17:35:53
34
因此，实际工作中，可先进行相关分析，求出 r后，若用查表法代替回归系数b的假设检验。
4、直线回归方程的图示
为更直观地分析两变量的回归关系，需绘出 回归直线（regression line），步骤如下： (1)在x的实测值范围内任取两个相距较远的x 值， 代入方程求出两个y1,y2的估计值。
例：某校测得15名女中学生的胸围(cm) 和肺活量（ml）,数据如下表，试做相 关分析。
15名女中学生的胸围(cm)和肺活量（ml）数据
编号 1 2 胸围(x) 72 68 肺活量(y) 2400 2200 编号 9 10 胸围(x) 肺活量(y) 69 71 2000 2600
3 4 5 6 7 8
直线相关(linear correlation)是相关 分析中最基本、最简单的一种，故又称 简单相关(simple 念
直线相关与回归分析
三、回归分析之作用： 1、可以找到关键少数“x” 2、可以对“y”进行预测 3、可以对“y”进行优化 4、可确定如何设置“x”以达到优化y的目的
四、直线回归 －－是用直线回归方程表示两个数量变量间依存关 系的统计分析方法，属双变量分析的范畴。
五、回归关系的检验
又称回归方程的检验，其目的是检验求得的回 归方程在总体中是否成立，即是否样本代表的总体 也有直线回归关系。方法有以下两种： 1、方差分析 －－其基本思想是将总变异分解为 SS回归和SS剩余，然后利用F检验来判断回归方程 是ห้องสมุดไป่ตู้成立。 2、t检验－－其基本思想是利用样本回归系数b 与总体均数回归系数进行比较来判断回归方程是否 成立，实际应用中因为回归系数b的检验过程较为复 杂,而相关系数r的检验过程简单并与之等价,故一般用 相关系数r的检验来代替回归系数b的检验。
九、案例分析 某公司测得其产品厚度（X）与抗击力（Y） 的关系有如下数据：
请判定X，Y之间线性关系是否显著？
解：
2、计算－－相关系数是x,Y的离均差积和lxy除 以X的离均差平方和lxx与Y的离均差平方和lyy之积的 算术平方根的商。故此相关系数又被称为积差相关 系数。
3、相关关系的检验标准 因变量y与自变量x之间是否存在相关关系，在 求回归方程的过程中并不能回答，因为对任何无规 律的试验点，均可配出一条线，使该线离各点的误 差最小。为检查所配出的回归方程有无实际意义， 可以用相关关系，或称相关系数检验法。 在实际应用中，判断r值与1接近到何程度时， 才认为x与y是相关的，或者说，所配出的回归方程 才是有意义的，需要对照相关系数临界值表来判断， 当计算的相关系数r的绝对值大于表中显著性水平为 0.05和相应的自由度f=n-2下的临界值r0.05,f时，则表 示y与x是显著相关的。如显著性水平取0.01，r计算＞ r0.01,f时，则表示y与x有非常显著的相关关系。
统计学中直线相关与回归的区别与联系
统计学中直线相关与回归的区别与联系在统计学中，直线相关和回归是两个相关的概念，但又有一些区别和联系。
区别：
1. 定义：直线相关是指两个变量之间的线性关系，即随着一个变量的增加，另一个变量也以一定的比例增加或减少。
回归分析是一种统计方法，用于建立一个或多个自变量与因变量之间的关系模型。
2. 目的：直线相关主要关注变量之间的关系和相关程度，通过相关系数来衡量。
而回归分析旨在通过建立数学模型来预测或解释因变量的变化，以及评估自变量对因变量的影响。
3. 变量角色：在直线相关中，两个变量没有明确的自变量和因变量的区分，它们之间的关系是对称的。
而在回归分析中，通常有一个或多个自变量作为预测因变量的因素。
联系：
1. 线性关系：直线相关和回归分析都假设变量之间存在线性关系，即可以用直线或线性模型来描述它们之间的关系。
2. 相关系数：直线相关中使用相关系数来度量变量之间的相关程度。
回归分析中也使用相关系数，但更多地关注回归模型的参数估计和显著性检验。
3. 数据分析：直线相关和回归分析都是常用的数据分析方法，在实际应用中经常同时使用。
直线相关可以帮助我们了解变量之间的关系和趋势，而回归分析可以进一步建立模型和进行预测。
总之，直线相关和回归分析是统计学中两个相关但又有区别的概念。
直线相关关注变量之间的线性关系和相关程度，而回归分析则更关注建立模型和预测变量之间的关系。
在实际应用中，它们常常相互补充使用，以帮助我们理解和解释数据。
直线相关与回归分析的区别和联系
山东 医药 ２ ０ １ ３年 第 ５ ３卷第 ２ ０期
工
芝麻 、 海产品、 豆制品等， 并 给予适量维生素 Ｄ及维 生素 ｃ丰 富 的樱 桃 、 猕 猴桃 、 橘子 、 青 花 菜 等蔬 菜 水 果， 以帮 助钙 吸收 ， 注 意禁 食 茶 、 咖 啡等 影 响钙 质 吸
收 的食 物 ； 同时也 应 该 进 食 低 磷 的食 物 ， 如冬瓜 、 排
术后常规预防性补钙 ， 以减少术后并发症的发 生。 参 考文 献 ：
［ １ ］王越琦 ， 阊晨 涛， 锁 涛， 等． 原发 性 甲状 旁腺功 能亢进症 １ ９例 分 析［ Ｊ ］ ． 中国临床 医学 ， ２ ０ ０ ９， ５ （ １ ６ ） ： ８ ０ ９ — ８ １ １ ． ［ ２ ］陈国锐 ， 王深明． 甲状腺外科 ［ Ｍ］ ． 北京 ： 人民卫生出版社 ， ２ ０ ０ ５：
原有 骨病 的患 者 ， 随着骨 后低血钙护理 ： 甲状旁腺切除后 ， 正常甲
状 旁腺 功能 尚不 足 ， Ｐ Ｔ Ｈ 分 泌 减 少 或 由于骨 骼 大 量 再 吸收 血钙 ， 引起 “ 骨饥 饿 ” ， 使 血 钙快 速 降 低 ， 导 致 神经 、 肌 肉兴 奋性 增 高 ， 出现 手 足 麻 木 及 抽 搐 ， 严 重
能锻炼 ， 促 进肌 力恢 复 、 骨骼 复原 。但应 注 意逐 渐加
大活动 量 ， 以不 感 到 疲 劳 和疼 痛 为 宜 。 嘱患 者 定 期 复查 ， 如有 其他 不适 及时 就诊 。 综上所述 ， Ｐ Ｈ 围手术期护理重点是血钙离子水
平 的监测及饮食 、 行动 的护 理 ， 及 其引起相应 临床症状 的观察与处理 ， 尤其是术后 低钙血症 的观察与处理 ， 可
［ ３ ］陈培雪 ， 赖淑蓉 ， 李美兰． １ ９例原发性 甲状旁腺 功能亢进病人 的 围术期护理［ Ｊ ］ ． 全科护理 ， ２ ０ １ ０， ８ （ ５ Ａ） ： １ １ ４ ３ — １ １ ４ ４ ． ［ ４ ］时云． 原发性甲状旁腺 功能亢进并发病理 性骨折 １例围手术 期 的护理 ［ Ｊ ］ ． 中国误诊学杂 ， ２ ０ ０ ９ ， ９ （ ２ ６ ）： ６ ５ ０ ６ ￣５ ０ ７ ．
工
芝麻 、 海产品、 豆制品等， 并 给予适量维生素 Ｄ及维 生素 ｃ丰 富 的樱 桃 、 猕 猴桃 、 橘子 、 青 花 菜 等蔬 菜 水 果， 以帮 助钙 吸收 ， 注 意禁 食 茶 、 咖 啡等 影 响钙 质 吸
收 的食 物 ； 同时也 应 该 进 食 低 磷 的食 物 ， 如冬瓜 、 排
术后常规预防性补钙 ， 以减少术后并发症的发 生。 参 考文 献 ：
［ １ ］王越琦 ， 阊晨 涛， 锁 涛， 等． 原发 性 甲状 旁腺功 能亢进症 １ ９例 分 析［ Ｊ ］ ． 中国临床 医学 ， ２ ０ ０ ９， ５ （ １ ６ ） ： ８ ０ ９ — ８ １ １ ． ［ ２ ］陈国锐 ， 王深明． 甲状腺外科 ［ Ｍ］ ． 北京 ： 人民卫生出版社 ， ２ ０ ０ ５：
原有 骨病 的患 者 ， 随着骨 后低血钙护理 ： 甲状旁腺切除后 ， 正常甲
状 旁腺 功能 尚不 足 ， Ｐ Ｔ Ｈ 分 泌 减 少 或 由于骨 骼 大 量 再 吸收 血钙 ， 引起 “ 骨饥 饿 ” ， 使 血 钙快 速 降 低 ， 导 致 神经 、 肌 肉兴 奋性 增 高 ， 出现 手 足 麻 木 及 抽 搐 ， 严 重
能锻炼 ， 促 进肌 力恢 复 、 骨骼 复原 。但应 注 意逐 渐加
大活动 量 ， 以不 感 到 疲 劳 和疼 痛 为 宜 。 嘱患 者 定 期 复查 ， 如有 其他 不适 及时 就诊 。 综上所述 ， Ｐ Ｈ 围手术期护理重点是血钙离子水
平 的监测及饮食 、 行动 的护 理 ， 及 其引起相应 临床症状 的观察与处理 ， 尤其是术后 低钙血症 的观察与处理 ， 可
［ ３ ］陈培雪 ， 赖淑蓉 ， 李美兰． １ ９例原发性 甲状旁腺 功能亢进病人 的 围术期护理［ Ｊ ］ ． 全科护理 ， ２ ０ １ ０， ８ （ ５ Ａ） ： １ １ ４ ３ — １ １ ４ ４ ． ［ ４ ］时云． 原发性甲状旁腺 功能亢进并发病理 性骨折 １例围手术 期 的护理 ［ Ｊ ］ ． 中国误诊学杂 ， ２ ０ ０ ９ ， ９ （ ２ ６ ）： ６ ５ ０ ６ ￣５ ０ ７ ．
15直线相关与回归
双变量相关一、相关的概念 许多事物是相互联系，相互制约的， 如身高和体重，体内某微量元素与当 地饮用水中同一元素之间 当所研究的事物或现象之间，既存在 着密切的数量关系趋势，但又不象函 数关系那样有确定的数量对应关系 时，称它们之间存在相关关系简称相 关（correlation)。
Y Y直线相关 分析两个随机变量X和Y之间的关系时，在 同一个（对）个体上既观察X又观察Y，共 得到n对数据如下：(X1,Y1) (X2,Y2) (X3,Y3)......(Xn,Yn) 当X由小到大，另一变量Y相应由小到大或由大到小，且两变量的散点图呈直线趋 势 ， 则 称 X 与 Y 直 线 相 关 (linear correlation) ， 又 称 简 单 相 关 （ simple correlation）X: 1 2 3 4 5… Y: 3 5 7 9 11…121086420123456X函数y=1+2xX:1 2 3 4 5 … Y:4.0 5.5 6.2 7.7 8.5…98765430123456X直线相关分析的目的和条件 研究目的：X与Y 是否存在直线关系，如 果有，则判断是正相关还是负相关以及 相关的密切程度。
资料要求：Pearson相关系数要求双变量 正态分布资料。
（可以证明，如果X服从 正态分布，且以Y为因变量，X为自变量 进行回归分析，若其残差服从正态分 布，则为双变量正态分布）1二. 积矩相关/Pearson相关 (product moment correlation/ Pearson correlation ) 积矩相关系数的意义 积矩相关系数的计算 积矩相关系数的假设检验 积矩相关系数的可信区间＃ 两个积矩相关系数比较的u检验#相关系数的意义 统 计 学 上 用 相 关 系 数 （ correlation coefficient）来说明两变量间直线相 关关系的密切程度和相关方向。
第十五章--直线相关与直线回归分析
n
5
Lyy
2
Y Y
Y2
Y 2 ＝27.86－112 ＝3.66
n
5
Lxy
X X
Y Y
XY
25 6
❖ 1.绘制散点图 有相关关系，再作回归分析 ❖ 2.计算回归系数
41
❖ （1）编制回归系数计算表：求基础数据
X 75
Y 11
X 2 1375
Y 2 27.86
XY 194.25
42
（2）计算离均差平方和及离均差积和
Lxx
2
XX
X2
X 2 ＝1375－752 ＝250
tr
r
n2 1－r 2
=n-2=12-2=10 t=7.73，查t值表P436， t0.05(10) 2.228
上述计算t=7.73>2.228，由t所推断的P值小于0.05，按
=0.05水准拒绝H0 ，接受H1, r为正值，说明唾液
药物浓度与血液药物浓度存在正相关关系。
23
相关一定有内在联系吗？
5
第一节 直 线 相 关 分 析
Linear Correlation
6
1.直线相关概念
❖ 概念：描述和推断两个（事件、现象）正态 变量（x、y)总的变化趋势上协同变化规律性 的密切程度和方向（但又非确定的函数关系） 的统计分析方法。
❖ 协同变化：同增同减，此增彼减
7
2.直线相关的特点：
❖ 两变量同时进入数据分析； ❖ 两变量不区别为原因变量和结果变量，
20
（3）直 线 相 关 系 数 的 假 设 检 验
❖ 上例中的相关系数r等于0. 9256，说明了12名癫痫病人的唾 液药物浓度与血液药物浓度之间存在相关关系。但是，这12 名癫痫病人只是总体中的一个样本，由此得到的相关系数会 存在抽样误差。
直线相关与回归-PPT
相关得类型
相关与回归
25
相关系数概念
相关系数(correlation coefficient), 又称simple correlation coefficient, coefficient of product – moment correlation, 或 Pearson’s correlation coefficient 、
相关与回归
6
相关与回归
图 1078对父子身高间得关系
7
直线回归就就是用来描述一个变量 如何依赖于另一个变量得统计方法。
dependent variable(应变量) indepentent variable(自变量)
相关与回归
8
回归方程
❖ 直线回归得任务就就是要找出因变量随自变量变 化得直线方程,我们把这个直线方程叫做直线回归 方程。
14
(1)回归系数得方差分析
P(X ,Y)
Y
总情况(Y Y )
(Y Yˆ)剩余部分
(Yˆ Y )回归部分
y
X
Y Y Y Yˆ Yˆ Y
相关与回归
15
Y得离均差平方和得分解
由于：(Y Y ) (Y Yˆ) (Yˆ Y ) 可以证明：
(Y Y ) 2 (Y Yˆ)2 (Yˆ Y )2
5、相关、回归若无统计学意义,不等于无任何关系。
相关与回归
36
相关与回归得区别
❖ 1、应用 :研究两变量得相互关系,用相关分析,即在两个变量中,任何一个得变
化都会引起另一个得变化,就是一种双向变化得关系。回归就是反映两个变量得 依存关系,一个变量得改变会引起另一个变量得变化,就是一种单向得关系。
❖ 2、资料要求:回归分析要求Y呈正态分布;相关分析要求资料呈双变量正态分布
直线相关与回归
变量X和Y不服从双变量正态分 布，或均为多分类有序资料， 可以用Spearman秩相关
主要输出结果：
图 8-6 correlations结果
胸围与肺活量之间的相关系数为0.504，P=0.138，无 统计学意义，那么我们可以认为女大学生胸围与肺活量之 间不存在线性相关性。
Spearman 秩相关
例8-1. 某地10名一年级女大学生的胸围（cm）与肺活量（L） 数据见下表，试分析两个变量有无线性相关关系？
表 8-1 某地10名一年级女大学生的胸围（cm）与肺活量（L）
【操作步骤】
1. 建立SPSS数据文件，如图8-1所示
图8-1 数据库文件
2．绘制散点图，直观判断两个变量之间有无线性关系 Graphs —> Scatter/Dot… —> Simple Scatter —> Define， 将胸围选入X Axis中，将肺活量选入Y Axis中—>Titles…—> 在Title的Line 1中输入散点图的标题—>Continue—>OK。
单击Statistics，打开子对话框—> 在Regression Coefficients中选择 Estimates 选择Model fit—>Continue —>OK。
主要输出结果
图 8-14 拟合过程中变量进入/退出模型的情况 线性回归中只有一个自变量，并且采取强行进入的方法
图 8-15 模型的拟合优度情况 模型中相关系数R=0.882， 决定系数为0.778， 校正决定系数为0.740
一、直线相关
【目的】 掌握直线相关的作用、应用前提 掌握线性相关SPSS操作方法 正确解释线性相关的输出结果
【原理】
简述直线回归与直线相关的区别与联系。
简述直线回归与直线相关的区别与联系。
直线回归与直线相关，是统计学中常用的两个概念。
直线回归是一种统计分析方法，用于建立一个自变量和一个因变量之间的线性关系模型。
而直线是一种几何图形，由无数个点组成，具有方向和长度。
直线回归是一种预测模型，用于预测因变量的值。
它通过寻找最佳拟合直线来描述自变量和因变量之间的关系。
直线回归的目标是使预测值与实际观测值之间的误差最小化。
在直线回归中，自变量是已知的，而因变量是待预测的。
通过建立一个拟合直线，可以根据自变量的值来预测因变量的值。
直线回归可以分为简单线性回归和多元线性回归。
简单线性回归是指只有一个自变量和一个因变量之间的关系。
多元线性回归是指有多个自变量和一个因变量之间的关系。
无论是简单线性回归还是多元线性回归，都可以使用最小二乘法来估计模型参数。
与直线回归相关的概念还有相关系数。
相关系数是衡量两个变量之间相关程度的统计指标。
它的取值范围在-1到1之间，-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无相关。
在直线回归中，相关系数可以用来衡量自变量和因变量之间的线性关系的强度和方向。
直线是一种几何图形，由无数个点组成。
直线具有方向和长度。
在几何学中，直线是由两个点确定的，也可以通过斜率和截距来表示。
直线具有方向，可以用来描述物体的运动方向或者数据的趋势方向。
直线的长度可以用来衡量物体的长度或者数据的大小。
直线与直线回归之间存在联系和区别。
直线回归是一种统计分析方法，用于建立自变量和因变量之间的线性关系模型。
而直线是一种几何图形，用于描述物体的运动方向或者数据的趋势方向。
在直线回归中，可以使用最小二乘法来估计模型参数，从而得到拟合直线。
而在几何学中，直线由两个点确定，也可以通过斜率和截距来表示。
此外，在直线回归中还可以使用相关系数来衡量自变量和因变量之间的线性关系的强度和方向。
相关系数可以用来判断数据是否具有相关性，以及相关性的强弱和方向。
而在几何学中，并没有类似的概念来衡量两条直线之间的相关程度。
直线回归分析
符号反映了x影响y的性质，b的绝对值大小
反映了x影响y的大小；
ˆ 叫做回归估计值 ，是当x在其研究 y
范围内取某一个值时，y总体平均数 （ x ）的估计值。
上一张 下一张 主 页 退 出
如果将（7-3）式代入（7-2）式，得到回 归方程的另一种形式：
ˆ y bx bx y b( x x ) y
令 Q对a、b的一阶偏导数等于0，即：
Q 2 ( y a bx) 0 a
Q 2 ( y a bx ) x 0 b
上一张 下一张 主 页 退 出
整理得关于a、b的正规方程组
an b x y a x b x xy
2
上一张 下一张 主 页
上一张 下一张 主 页
退 出
a y bx 7.7778 (1.0996 37.0778) 48.5485（天）
直线回归方程为：
ˆ 48.5485 1.0996 x y
上述回归方程的显著性还有待检验。如果
显著，
上一张 下一张 主 页
退 出
回归系数
b=
-1.0996的意义为：当3月下旬的
2 ，记作 ( x x ) SS x 。
xy
a叫做样本回归截距，是总体回归截距的
最小二乘估计值也是无偏估计值，是回归直线
ˆ =a； 与y轴交点的纵坐标，当x=0时， y
上一张 下一张 主 页
退 出
b叫做样本回归系数，是总体回归系数
的最小二乘估计值也是无偏估计值，表 示x改变一个单位，y平均改变的数量，b的
退 出
所以
S yx
2 ˆ ( y y )
n2
74.6670 =3.2660（天） 92
反映了x影响y的大小；
ˆ 叫做回归估计值 ，是当x在其研究 y
范围内取某一个值时，y总体平均数 （ x ）的估计值。
上一张 下一张 主 页 退 出
如果将（7-3）式代入（7-2）式，得到回 归方程的另一种形式：
ˆ y bx bx y b( x x ) y
令 Q对a、b的一阶偏导数等于0，即：
Q 2 ( y a bx) 0 a
Q 2 ( y a bx ) x 0 b
上一张 下一张 主 页 退 出
整理得关于a、b的正规方程组
an b x y a x b x xy
2
上一张 下一张 主 页
上一张 下一张 主 页
退 出
a y bx 7.7778 (1.0996 37.0778) 48.5485（天）
直线回归方程为：
ˆ 48.5485 1.0996 x y
上述回归方程的显著性还有待检验。如果
显著，
上一张 下一张 主 页
退 出
回归系数
b=
-1.0996的意义为：当3月下旬的
2 ，记作 ( x x ) SS x 。
xy
a叫做样本回归截距，是总体回归截距的
最小二乘估计值也是无偏估计值，是回归直线
ˆ =a； 与y轴交点的纵坐标，当x=0时， y
上一张 下一张 主 页
退 出
b叫做样本回归系数，是总体回归系数
的最小二乘估计值也是无偏估计值，表 示x改变一个单位，y平均改变的数量，b的
退 出
所以
S yx
2 ˆ ( y y )
n2
74.6670 =3.2660（天） 92
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2
2
LXY L XY .LYY
2
Lxx X X
L yy Y Y
Lxy
X
2
2 2
2
X
n
2
Y
Y
n
X Y X X Y Y XY
n
15
r 的计算结果：
说明了两个变量X与Y之间关联的密切程度 （绝对值大小）与关联的性质（正负 号）。
2 2
2
/ n]
568.19 43.9 143.4 / 12 0.9256 2 2 [174.51 43.9 / 12][1873 .04 143.4 / 12]
20
（3）直 线 相 关 系 数 的 假 设 检 验
上例中的相关系数r等于0. 9256，说明了12名癫痫病人的唾
4
为了研究父亲与成年儿子 身高之间的关系，卡尔.皮 尔逊测量了1078对父子的 身高。把1078对数字表示 在坐标上，如图。用水平 轴X上的数代表父亲身高， 垂直轴Y上的数代表儿子 的身高，1078个点所形成 的图形是一个散点图。它 的形状象一块橄榄状的云， 中间的点密集，边沿的点 稀少，其主要部分是一个 椭圆。
学 习 目 标
1.说出直线相关与直线回归的概念； 2.说出等级相关的适用范围； 3.能计算直线相关系数与回归系数、
进行假设检验； 4.能从专业角度考虑相关与回归的实 际意义。
1
两个变量之间的关系大致分为两种：
2
1.两个变量共同变化的，是一种 相互依赖的关系
例如身高与体重的关系。可以用相
1 －r
=n-2=12-2=10 t=7.73，查t值表P436， t 0.05(10) 2.228
上述计算t=7.73>2.228，由t所推断的P值小于0.05，按 =0.05水准拒绝H0 ，接受H1, r为正值，说明唾液 药物浓度与血液药物浓度存在正相关关系。
23
相关一定有内在联系吗？
是一种互为因果的数量协同变化关系； 变量类型：两变量应同时满足正态分布 的条件（实际工作中近似正态分布）。
8
相关分析
1.图示法：有无相关、相关程度、相关方向
2相关系数：在求相关系数前，最好先做图。
9
相关分析：无自变量、因变量、地位平等。
回归分析：有自变量、因变量，两者从属关 系。
10
绘制散点图
18
1.根据原始数据做散点图，从图中各点的分 布情况看，血液药物浓度Y随唾液药物浓度 X增加而增加的趋势。 2.计算相关系数 （1）计算基础数据根据原始数据求得
X 43.9
Y＝143.4
XY 568.1
X ＝174.5
2
Y ＝1873.0
2
19
r
[ X
2
XY X Y / n X / n][ Y Y
5
第一节 直 线 相 关 分 析
Linear Correlation
6
1.直线相关概念
概念：描述和推断两个（事件、现象）正态 变量（x、y)总的变化趋势上协同变化规律性 的密切程度和方向（但又非确定的函数关系） 的统计分析方法。 协同变化：同增同减，此增彼减
7
2.直线相关的特点：
两变量同时进入数据分析； 两变量不区别为原因变量和结果变量，
11
3、相关的类型
★正相关 ★负相关 ★完全正相关 ★完全负相关 ★零相关
12
一、直线相关统计量
13
相 关 系 数 及 意 义
相关系数：相关系数是用以衡量两个变量线 形相关有无、强弱与方向的统计指标。的计算公式
r
X－X Y Y X X . Y Y
21
对相关系数的假设检验，常用t检验，选用统计 量t的计算公式如下：
t r 0 r 1 r2 n2
=n-2
sr
n2 r 1 r2
22
(1)建立假设 H0 ： =0 ，即X与Y间无直线相关关系 H1 ： ≠0 ， 即X与Y间有直线相关关系 （2）确定检验水准：=0.05 （3）确定单双测检验：本例选择双测检验 （4）计算t值： r n2 r=0.9256, n=12, 代入公式 t r 2
分析研究两个变量x与y之间的关系时，两个 变量的值可视为直角坐标系的一个点。为直 观地判断两个变量间的关系，可把每对（x,y) 变量值在直角坐标系标点出来，此为散点图。 若一个变量x由小到大（或由大变小），则另 一变量相应地由小到大（或由大到小），两 个变量的散点图呈直线趋势，可称这种现象 为共变。
某君喜得贵子，庭前种一小树，每月测子高 与树高，积累了数据。统计计算发现，子高 与树高具有相关性，难道两者真有内在联系？ 原来子高与树高均与日俱增，时间变量与两 者得潜在联系，造成了子高与树高的虚假联 系。
关分析方法去研究这种关系。可以 研究两个变量之间的相互关系的密 切程度和变化趋势，并用恰当的统 计指标表达。
3
2.一个变量对另外一个变量有着某 种依存关系
例如儿子的身高与父亲的身高有着某种
依存关系，可以用回归分析的方法去研 究这种关系，即把两个变量间的数量依 存关系用函数形式表示出来，用一个或 多个变量去推测另一个变量的估计值和 波动范围，这就是回归分析。
16
相关系数的特点：
r是无量刚的统计量；-1<r<1 r可正可负（正表正相关，负表负相关）； r＝0 零相关（无线性相关） r 的大小表示相关的程度，越接近1，表相 关性越好，越接近0，表相关性越差。
17
二、直线相关系数的计算
例15－1
某医师研究12名癫痫病人口 服鲁米那后两小时唾液药物浓度与 血液药物浓度之间的数量关系。试 计算两种体液药物浓度间的直线相 关关系。
液药物浓度与血液药物浓度之间存在相关关系。但是，这12
名癫痫病人只是总体中的一个样本，由此得到的相关系数会 存在抽样误差。
因为，总体相关系数（）为零时，由于抽样误差，从总体 抽出的12例，其r可能不等于零。所以，要判断该样本的r是 否有意义，需与总体相关系数=0进行比较，看两者的差别 有无统计学意义。这就要对r进行假设检验，判断r不等于零 是由于抽样误差所致，还是两个变量之间确实存在相关关系。
2
LXY L XY .LYY
2
Lxx X X
L yy Y Y
Lxy
X
2
2 2
2
X
n
2
Y
Y
n
X Y X X Y Y XY
n
15
r 的计算结果：
说明了两个变量X与Y之间关联的密切程度 （绝对值大小）与关联的性质（正负 号）。
2 2
2
/ n]
568.19 43.9 143.4 / 12 0.9256 2 2 [174.51 43.9 / 12][1873 .04 143.4 / 12]
20
（3）直 线 相 关 系 数 的 假 设 检 验
上例中的相关系数r等于0. 9256，说明了12名癫痫病人的唾
4
为了研究父亲与成年儿子 身高之间的关系，卡尔.皮 尔逊测量了1078对父子的 身高。把1078对数字表示 在坐标上，如图。用水平 轴X上的数代表父亲身高， 垂直轴Y上的数代表儿子 的身高，1078个点所形成 的图形是一个散点图。它 的形状象一块橄榄状的云， 中间的点密集，边沿的点 稀少，其主要部分是一个 椭圆。
学 习 目 标
1.说出直线相关与直线回归的概念； 2.说出等级相关的适用范围； 3.能计算直线相关系数与回归系数、
进行假设检验； 4.能从专业角度考虑相关与回归的实 际意义。
1
两个变量之间的关系大致分为两种：
2
1.两个变量共同变化的，是一种 相互依赖的关系
例如身高与体重的关系。可以用相
1 －r
=n-2=12-2=10 t=7.73，查t值表P436， t 0.05(10) 2.228
上述计算t=7.73>2.228，由t所推断的P值小于0.05，按 =0.05水准拒绝H0 ，接受H1, r为正值，说明唾液 药物浓度与血液药物浓度存在正相关关系。
23
相关一定有内在联系吗？
是一种互为因果的数量协同变化关系； 变量类型：两变量应同时满足正态分布 的条件（实际工作中近似正态分布）。
8
相关分析
1.图示法：有无相关、相关程度、相关方向
2相关系数：在求相关系数前，最好先做图。
9
相关分析：无自变量、因变量、地位平等。
回归分析：有自变量、因变量，两者从属关 系。
10
绘制散点图
18
1.根据原始数据做散点图，从图中各点的分 布情况看，血液药物浓度Y随唾液药物浓度 X增加而增加的趋势。 2.计算相关系数 （1）计算基础数据根据原始数据求得
X 43.9
Y＝143.4
XY 568.1
X ＝174.5
2
Y ＝1873.0
2
19
r
[ X
2
XY X Y / n X / n][ Y Y
5
第一节 直 线 相 关 分 析
Linear Correlation
6
1.直线相关概念
概念：描述和推断两个（事件、现象）正态 变量（x、y)总的变化趋势上协同变化规律性 的密切程度和方向（但又非确定的函数关系） 的统计分析方法。 协同变化：同增同减，此增彼减
7
2.直线相关的特点：
两变量同时进入数据分析； 两变量不区别为原因变量和结果变量，
11
3、相关的类型
★正相关 ★负相关 ★完全正相关 ★完全负相关 ★零相关
12
一、直线相关统计量
13
相 关 系 数 及 意 义
相关系数：相关系数是用以衡量两个变量线 形相关有无、强弱与方向的统计指标。的计算公式
r
X－X Y Y X X . Y Y
21
对相关系数的假设检验，常用t检验，选用统计 量t的计算公式如下：
t r 0 r 1 r2 n2
=n-2
sr
n2 r 1 r2
22
(1)建立假设 H0 ： =0 ，即X与Y间无直线相关关系 H1 ： ≠0 ， 即X与Y间有直线相关关系 （2）确定检验水准：=0.05 （3）确定单双测检验：本例选择双测检验 （4）计算t值： r n2 r=0.9256, n=12, 代入公式 t r 2
分析研究两个变量x与y之间的关系时，两个 变量的值可视为直角坐标系的一个点。为直 观地判断两个变量间的关系，可把每对（x,y) 变量值在直角坐标系标点出来，此为散点图。 若一个变量x由小到大（或由大变小），则另 一变量相应地由小到大（或由大到小），两 个变量的散点图呈直线趋势，可称这种现象 为共变。
某君喜得贵子，庭前种一小树，每月测子高 与树高，积累了数据。统计计算发现，子高 与树高具有相关性，难道两者真有内在联系？ 原来子高与树高均与日俱增，时间变量与两 者得潜在联系，造成了子高与树高的虚假联 系。
关分析方法去研究这种关系。可以 研究两个变量之间的相互关系的密 切程度和变化趋势，并用恰当的统 计指标表达。
3
2.一个变量对另外一个变量有着某 种依存关系
例如儿子的身高与父亲的身高有着某种
依存关系，可以用回归分析的方法去研 究这种关系，即把两个变量间的数量依 存关系用函数形式表示出来，用一个或 多个变量去推测另一个变量的估计值和 波动范围，这就是回归分析。
16
相关系数的特点：
r是无量刚的统计量；-1<r<1 r可正可负（正表正相关，负表负相关）； r＝0 零相关（无线性相关） r 的大小表示相关的程度，越接近1，表相 关性越好，越接近0，表相关性越差。
17
二、直线相关系数的计算
例15－1
某医师研究12名癫痫病人口 服鲁米那后两小时唾液药物浓度与 血液药物浓度之间的数量关系。试 计算两种体液药物浓度间的直线相 关关系。
液药物浓度与血液药物浓度之间存在相关关系。但是，这12
名癫痫病人只是总体中的一个样本，由此得到的相关系数会 存在抽样误差。
因为，总体相关系数（）为零时，由于抽样误差，从总体 抽出的12例，其r可能不等于零。所以，要判断该样本的r是 否有意义，需与总体相关系数=0进行比较，看两者的差别 有无统计学意义。这就要对r进行假设检验，判断r不等于零 是由于抽样误差所致，还是两个变量之间确实存在相关关系。