直观图与三视图
空间几何体的直观图与三视图知识点归纳总结
变式2 利用斜二测画法, 一个平面图形的直观图时边长为1的正方形, 如图8-11所示,则该平面图形的面积为()
A. B.2 C. D. 4
题型2.直视图 三视图
思路提示
已知直观图描绘三视图的原则是:
先看俯视图, 观察几何体的摆放姿态, 再看正视图与侧视图同高, 正视图与俯视图同长, 侧视图与俯视图同宽.
A. B. C. D.
变式3 若几何体的三视图如图8-35所示, 则该几何体的体积是().
A. B. C. D.
例8.13一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm)如图8-36所示,
则该几何体的侧面积为cm2.
分析由三视图是2个三角形和1个矩形, 可知该几何体是正四棱锥.
解析先看俯视图定底面——正四棱锥的底面, 再结合正视图和俯视图, 将中心 “拔地而起”得直观图, 如图8-37所示, 再由口诀知数据, 且可知斜高 ,所以几何体的侧面积 .
故选C.
变式1 （2012湖北理4）已知某几何体的三视图如图8-54所示，则该几何体的体积为（ ）.
A. B. C. D.
例8.17 如图8-55所示为由长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块的块数为（ ）.
A.3块B4块C.5块D.6块
分析 先看俯视图，从下往上“拔地而起”.
解析 先看俯视图定底，再结合正视图和侧视图，从下往上堆积可知其直观图，如图8-56所示. 故选B.
变式2 将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体, 则该几何体的左视图为().
变式3 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形, 则该正方体的正视图的面积面积不可能等于()
A. 1 B. C. D.
空间几何体的三视图和直观图
直观图的画法与三视图的形成
1. 根据平行投影原理绘制的、用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图.
2. 将空间图形向三个互相垂直的平面作正投影，并按照一定的布局放在同一平面内构成的图形叫做空间图形的三视图.
画直观图的的规则、步骤
1.建系（画轴）：
在空间图形中建立直角坐标系；画直观图时，使x'轴与y'轴成450或1350角(这样的x'o'y'平面表示水平平面)，z'轴与x'轴垂直.
2.平行性不变：
在空间图形中互相平行的直线或线段，在直观图中仍然平行.
3.横竖长不变、纵向长减半：
在直观图中，与x'轴、z'轴平行的线段的长度与空间图形中保持不变；与y'轴平行的线段的长度缩短为原空间图形中的一半.
4.擦去辅助线(包括x'y'z'轴)
三视图的对应规律(1)主视图和俯视图
----长对正
(2)主视图和左视图
----高平齐
(3)俯视图和左视图
----宽相等
例1、画出下例几何体的三视图
例2、画出下例几何体的三视图
上部正六棱柱的底面边长为3cm,
高为1.2cm；下部圆柱的底面半径
为0.8cm，高为2cm。
练习3. 画出下面三视图所表示的几何体的直观图
练习4. 画出下面几何体的三视图。
《三视图与直观图》
长、高相等，
从前向后看 侧视图
长
等， 相互对齐
从左向右看 俯视图：
从上向下看。
长对正
宽相等
正视图与俯视图的长相等，且相互对正
俯视图与侧视图的宽度相等
高平齐 正视图与侧视图的高度相等，且相互对齐
三视图的画法规则可归结为：
长对正，宽相等，高平齐。
三个视图之间的投影关系为：
正、俯视图长对正；正、侧视图高平齐；
俯、侧视图宽相等
三视图能反映物体真实的形状和长、宽、高.
柱、锥、台、球的三视图
直观图与三视图的转化：
例1.画出下面这个组合图形的三视图．
从航空测绘到土木建筑、机械设计以至家居装潢，——空 间图形与我们的生活息息相关.
1.2.1 中心投影与平行投影
中心投影的特点： 光线散射，与人的视 觉 效果一致，常用于绘画 平行投影的特点：
光线平行，图形形状、大 小完全一致，常用于作图
1.2.2 空间几何体的三视图
空间几何体的三视图
正视图
三视图与直观图
1.一个几何体的正视图和侧视图 的高度一样，
2.正视图与俯视图的长度一样
长对正
3.侧视图与俯视图宽度一样
俯视图
举例画出三视图
举例画出三视图
正视图
侧视图
圆锥
俯视图
举例画出三视图
正视图
侧视图
正三棱锥
俯视图
举例画出三视图
正视图
侧视图
六棱柱
俯视图
例2、画下例几何体的三视图
例3、画下例几何体的三视图
正视图
俯视图
光线从几何体的上面向下面正投影所得的投 影图称为“俯视图”．
三视图的平面位置
正视图、侧视图、俯视图在平面图中的一般位置
正视图 侧视图
俯视图 正视图、侧视图、俯视图统称为三视图
三视图的关系
定义：长、宽、高 长：左、右方向的长度 宽：前、后方向的长度 高：上、下方向的长度
结论：
长
正视图
侧视图 高平齐 宽 相 等
3. 平行线段仍然平行.
水平直观图
正三角形的水平直观图
C C A
0
y B x
B
A
o
M
水平直观图
直角梯形的水平直观图
y
D
C D′
y′ C′ B′ x′
A
B x
0
A′
1 xoy 45 , AD AD , AB AB 2
水平直观图
正六边形的水平直观图的画法
y
F
M
E F′ M A′ D
1.2.3 1.2.3 空间几何体的直观图 空间几何体的直观图
斜二测画法
观察正方体的平面图
问：正方体的每个面都是正方形，但在 平面图中有几个面画成正方形？平行四边形？
高中数学必修2空间几何体的三视图和直观图
俯视图
圆锥的三视图
正视图 侧视图
俯视图
思考：下列两组三视图分别是什么几何体？
正视图
侧视图
正视图
侧视图
俯视图
俯视图
圆台
三棱锥
一个几何体的三视图如下，则这个几 六棱锥 何体是______
正视图
主视图
左视图
俯视图
俯视图
画法说明
1、同一张图样中，同类图线的宽度应基本一致。 2、虚线、点划线相交时，应使两小段相交。
C
3 连接AB,CD,EF,FA,并擦去辅助线x轴和y轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图ABCDEF
y
F
M
E D
A
B
O
x
N
C
斜二测画法的步骤:(平面图形)
(1)在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴,两轴 相交于O点．画直观图时，把它画成对应的 x 轴、 轴,使 xOy=45 或135 ,它确定的平面表示水平 y 平面. (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观 图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． (3)已知图形中平行于x 轴的线段,在直观图中保 持原长度不变;平行于y 轴的线段,长度为原来的一 半．
y
F
M
E D
A
y
F M E
N
A
B
O
x
N
B
O
D
C
x
C
3 连接AB,CD,EF,FA,并擦去辅助线x轴和y轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图ABCDEF
y
F
M
E D
y
A
B
O
空间几何体的三视图和直观图-PPT课件
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
思考4:如图，桌子上放着一个长方体和 一个圆柱，若把它们看作一个整体，你 能画出它们的三视图吗？
正视图
侧视图
正视 俯视图
知识探究（二）：将三视图还原成几何体
一个空间几何体都对应一组三视图， 若已知一个几何体的三视图，我们如何 去想象这个几何体的原形结构，并画出 其示意图呢？
（3）水平线段等长，竖直线段减半.
思考6:斜二测画法可以画任意多边形水 平放置的直观图，如果把一个圆水平放 置，看起来像什么图形？在实际画图时 有什么办法？
思考1:下列两图分别是两个简单组合体 的三视图，想象它们表示的组合体的结 构特征，并画出其示意图.
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
思考2:下列两图分别是两个简单组合体 的三视图，想象它们表示的组合体的结 构特征，并作适当描述.
正视图 正视图 侧视图
侧视图
俯视图
俯视图
理论迁移
例1 下面物体的三视图有无错误？ 如果有，请指出并改正.
正视图
侧视图
正视 俯视图
例2 将一个长方体挖去两个小长方体 后剩余的部分如图所示，试画出这个组 合体的三视图.
正视图
侧视图
俯视图
例3 说出下面的三视图表示的几何体 的结构特征.
正视图
侧视图
俯视图
知识探究（一）:水平放置的平面图形的画法
思考1:把一个矩形水平放置，从适当的 角度观察，给人以平行四边形的感觉， 如图.比较两图，其中哪些线段之间的位 置关系、数量关系发生了变化？哪些没 有发生变化？
c
a
俯视图
b b
高考命题交汇点的新宠---三视图与直观图
故本题应选 Ｄ ．
【 点评 】 本题考 查形 式新颖 ，可 以考
二 、 给 出 三 视 图 （ 部 分 ） 考 查 直 截去一个角所得多面体的直观图 ，其余是 或 。 （ ） 正 视 图 下 面 ，按 照 画 三 视 图 的 １在
单位 ：ｃ ． ｍ） 查对 三视 图画法规则的掌握情况以及对 常 观 图 （ 其 他 视 图 ） 的 画 法 ，并 求几 何 体 它 的正 视 图和 左 视 图 （ 或
一
（ Ａ）２ ／ 、
（ Ｃ）４
Ｄ
（ ）２ ／ Ｂ 、
（ Ｄ）２ｖ５ 、 ／
Ｃ
主 视 图
左 视 图
甄
俯 视 图
图３
解 ：（ ） １ 由三视图可知 ，该几何体 由
Ｃ
、
给 出 几何 体 ，识 别 三视 图
Ａ ｍ Ｂ
正方体 和四棱柱组成 ，如 图 ４所示．
图２
见简单几何体的感知、领 悟能力和 空间想 的 表 面 积 和体 积
象 能力 ．
例 ３ 一 个 几 何 体 按 比例 绘 制 的 三 视 要 求 画 出该 多 面 体 的俯 视 图 ； ［ ０ １年 第 ４期 ］ 础 教 育 论 坛 ２１ 基
（） ２ 按照给出的尺寸 ，求该多面体的
因为 、丁 ／
（） 方体 １正 （） ２ 圆锥
＝口 ，Ｖｑ＋ ｍ一＝ｂ ，
正方体 的体积 为 １ ＝ｌ １ ： Ｘ
所 以 （２ ） ｂ 一１ ＝６ ａ —１ ＋（ ） ．
所 以 ＋ｂ ８ ．
四 柱 体 为 ＃一１ １ ， 棱 的 积 ×ｘ：
二 二
算 问题并汇在一起进行考查 ，如面积 、体
8.2三视图和直观图
授课主题：三视图和直观图教学目标1．了解中心投影和平行投影的特征．2．能画出简单空间图形如长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型．3．会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图，了解空间图形的不同表示形式．4．掌握斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图．5．会用斜二测画法画出长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的直观图．教学内容1．投影由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体的影子的屏幕叫做投影面．FMF 'M 'l2．平行投影（1）定义：我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的投涉线是平行的．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．（2）性质：若图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有以下性质：①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④平行于投射面的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．（3）正投影概念：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影．性质：①垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；②垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分．3．中心投影一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．中心投影的直观性强，看起来与人的视觉效果一致，常在绘画时使用，在立体几何中，一般用平行投影原理来画图．4．三视图（1）正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图形称为几何体称为正视图（主视图）．（2）侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图形称为几何体称为侧视图（左视图）．（3）俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图形称为几何体称为俯视图．将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图．如右图为圆锥的三视图：俯视图左视图主视图5．三视图的对应关系正俯视图长相等、正侧视图图的高相等、俯侧视图图的宽相等，简称“长对正，宽平齐，高相等”或说“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”．6．直观图定义：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．画法：斜二测画法和正等测画法．7．斜二测画法规则（1）在已知图形所在的空间中取水平平面，作相互垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使90xOz∠=︒，90yOz∠=︒．（三维空间中）（2）画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O x O y O z''''''，，，使45x O y'''∠=︒或135︒，90x O z'''∠=︒，x O y'''所确定的平面表示水平平面．（二维平面上）（3）已知图形中，平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴，'y轴或z'的线段．并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．（4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．题型一投影的概念例1判断对错(对的在括号内打“√”，错的打“×”)：(1)矩形的平行投影一定是矩形；()(2)梯形的平行投影一定是梯形；()(3)平行四边形的平行投影可能是正方形；()(4)正方形的平行投影一定是菱形；()(5)两条相交直线的平行投影可能平行；()(6)如果一个三角形的投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线．()解析：利用平行投影的概念和性质进行判断．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×(6)√点评：平面图形经过平行投影后一般要改变形状，平行直线的平行投影是平行或重合的直线．两条相交直线的平行投影不可能平行．巩固如图所示，在正方体ABCDA′B′C′D′中，E，F分别是A′A，C′C的中点，则下列判断中正确的是______．①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形；②四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是菱形；③四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形．解析：①四边形BFD′E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是点B、C、D、A，故投影是正方形，正确；②设正方体的棱长为2，则AE＝1，取D′D的中点G，则四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是四边形AGD′E，由AE∥D′G，且AE＝D′G，∴四边形AGD′E是平行四边形，但AE＝1，D′E＝5，故四边形AGD′E不是菱形．对于③，由②知是两个边长分别相等的平行四边形，从而③正确．答案：①③题型二画空间几何体的三视图例2画出如图所示几何体的三视图解析：三视图如下图所示．点评：三视图的画法关键是分清楚观察者的方向，应从正面、侧面、上面三个方向去观察图形，然后画出三视图．巩固画出右面几何体的三视图．解析：三视图如下：题型三由三视图还原成实物图例3下图所示的是三个立体图形的三视图，请说出其立体图形的名称．解析：由图可知甲的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又正视图和侧视图均是矩形，则甲是圆柱；乙的俯视图是三角形，则该几何体是多面体，又正视图和侧视图均是三角形，则该多面体的各个面都是三角形，则乙是三棱锥；丙的俯视图是圆(及圆心)，则该几何体是旋转体，又正视图和侧视图均是三角形，则丙是圆锥．点评：根据三视图还原几何体要具备一定的空间想象能力，想象整个几何体的几何特征，从而判断三视图所描述的几何体．通常先判断是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体．巩固下图是由小正方体组成的几何图形的三视图，则组成它的小正方体的个数是________．解析：还原为实物图易知．答案：5题型四画水平放置的平面图形的直观图例1用斜二测画法画水平放置的正五边形的直观图．解析：建立坐标系xOy后，B，E两点不在平行于坐标轴的直线上，故需作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H.(1)建立如图①所示的直角坐标系xOy，再建立如图②所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在图①中作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H，在坐标系x′O′y′中作O′H′＝OH，O′G′＝OG，O′A′＝OA，O′F′＝OF.过F′作C′D′∥x′轴且C′D′＝CD.(3)在平面x′O′y′中，过G′作G′B′∥y′轴，且G′B′＝BG，过H′作H′E′∥y′轴，且H′E′＝HE，连接A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，E′A′，得五边形A′B′C′D′E′，这就是正五边形ABCDE的平面直观图．点评：用斜二测画法画水平放置的平面图形一要注意坐标系的选取，二要注意平行于x轴的长度不变，平行于y 轴的长度变为原长度的一半．巩固(多解题)用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．解析：解法一：(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．(2)画对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝12OA.连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．解法二：(1)如图③所示，以BC边所在的直线为y轴，以BC边上的高AO所在的直线为x轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′A′＝OA，在y′轴上截取O′B′＝O′C′＝12OC＝1 cm，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图④所示．题型五画空间几何体的直观图例5下图是已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．解析：由几何体的三视图知，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆台，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆台的上底面重合，我们可以先画出下部的圆台，再画出上部的圆锥．(1)画轴．如图甲，画x轴，y轴，z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画圆台的两底面．选择椭圆模板中适当椭圆，画出底面⊙O，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，作Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面⊙O′(与画⊙O一样)．(3)画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度．(4)成图．连接P A′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图乙．点评：利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的基本原则：①画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取．为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示．②画法规则可简记为：两轴夹角为45°，竖轴垂直仍不变，平行不变，长度变，横竖不变，纵折半．③画空间几何体的直观图，要注意选取适当的原点，建系画轴．巩固根据下图所示的三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图．解析：(1)由俯视图并结合其他两个视图可以看出，这个物体是由一个圆柱和一个正四棱柱组合而成，圆柱的下底面圆和正四棱柱的上底面正方形内切，它的实物草图如图①所示．(2)由三视图知，该物体下部分是一个长方体，上部分的表面是两个等腰梯形和两个等腰三角形，它的实物草图如图②所示．题型六 将直观图还原为平面图形例6 下图是一梯形OABC 的直观图，其直观图面积为S ，求梯形OABC的面积．解析：设O ′C ′＝h ，则原梯形是一个直角梯形且高为2h .C ′B ′＝CB ，O ′A ′＝OA .过C ′作C ′D ⊥O ′A ′于D ，则C ′D ＝22h .由题意知12C ′D (C ′B ′＋O ′A ′)＝S ，即24h (C ′B ′＋O ′A ′)＝S . 又原直角梯形面积为S ′＝12·2h (CB ＋OA )＝h (C ′B ′＋O ′A ′)＝4S 2＝22S .所以梯形OABC 的面积为22S .点评：将水平放置的平面图形的直观图还原为原来的实际图形，其作法是运用斜二测画法，也就是使平行于x ′轴的线段的长度不变，而平行于y ′轴的线段长度变为原来的2倍．巩 固 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋ 2 B.1＋22C.2＋22D ．1＋ 2解析：画出其相应平面图易求，故选A.答案：A1．观察图中的投影过程，回答问题．(1)它们的投影过程有什么不同？(2)图②、③是平行投影，它们有什么不同？ (3)中心投影和平行投影有什么不同？解析：(1)图①的投影线交于一点．把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影；图②、③的投影线平行，把在一束平行光线照射下形成的投影称为平行投影．(2)图③中的投影是正对着投影面．这种平行投影称为正投影；图②中的投影线不是正对着投影面，这种平行投影称为斜投影．它们的不同在于投影线是否正对着投影面．(3)与投影面平行的平面图形在平行投影下留下的影子与原平面图形是全等的平面图形；而在中心投影下留下的影子与原平面图形是相似的平面图形．2．(1)：圆锥的正视图是等腰三角形，对吗？答案：错．要看如何放置，当底面正对你时是圆，底面水平时是等腰三角形．(2)：底面水平的圆柱的左视图是矩形，对吗？答案：对．(3)：水平放置的圆台的俯视图是一个与下底面大小相同的圆，对吗？答案：错．是两个同心圆．3．有一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体应是一个()A．棱台B．棱锥C．棱柱D．都不对答案：A4．一个几何体的正视图如图，它一定不是()A．棱柱B．棱台C．圆柱D．长方体答案：B5．对几何体三视图，下列说法中正确的是()A．正视图反映物体的长和宽B．俯视图反映物体的长和高C．侧视图反映物体的长和宽D．正视图反映物体的高和长答案：D6．两条相交直线的平行投影是()A．两条相交直线B．一条直线C．一条折线D．两条相交直线或一条直线答案：D7．如下图所示的几何体，其俯视图正确的是()答案：C8．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④答案：D9．四个正方体按如图所示的方式放置，其中阴影部分为我们观察的正面，则该物体的三视图正确的为()答案：B10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是()A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台答案：D11．下面两个几何体的侧视图和俯视图一样吗？解析：侧视图一样，俯视图不同．12．根据如图所示俯视图，找出对应的物体(1)对应________；(2)对应________；(3)对应________；(4)对应________；(5)对应________．答案：D A E C B13.如图，点O为正方体ABCDA′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是________(填所有可能的序号)．答案：①②③1．在画三视图时，务必做到正视图、侧视图高平齐，正视图、俯视图长对正，俯视图、侧视图宽相等．2．若相邻两物体表面相交，表面的交线是它们的分界线，分界线和可见轮廓线用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．3．确定正视、俯视、侧视的方向，同一物体放置的方向不同，所画的三视图可能不同．1．梯形的直观图是()A．梯形B．矩形C．三角形D．任意四边形答案：A2．如图，直观图表示的平面图形是( )A ．任意三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形解析： A ′B ′∥y ′轴，B ′C ′∥x ′轴，∴相应的∠ABC ＝90°. 答案：C3．关于斜二测直观图的画法，以下说法不正确的是( )A ．原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x ′轴，长度不变B ．原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y ′轴，长度变为原来的12C ．画与直角坐标系xOy 对应的x ′O ′y ′时，∠x ′O ′y ′必须是45°D ．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同 答案：C4．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是( )A ．①②B ．①C ．③④D ．①②③④解析：因平行性不改变，故②正确，①也正确；平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半，故③，④不正确，从而选A.答案：A5．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( )解析：直观图的正方形的对角线在y ′轴上且长度为2，故原来图形的对角线在y 轴上且长度为2 2.故选A. 答案：A6．对于一个底边在x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图的面积是原三角形面积的( )A ．2倍 B.22倍 C.24倍 D.12倍 解析：直观图的底面边长与实际三角形底面边长相同，而直观图的高为12×h ×sin 45°＝24h ，所以直观图的面积是实际三角形面积的24倍． 答案：C7．右图为水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系中点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到O′x′轴的距离为()A.12 B.22C．1 D. 2解析：如图，为正方形ABCO在x′O′y′中的直观图，作B′D′⊥x′轴于D′，则在Rt△B′C′D′中，∠B′C′D′＝45°，|B′C′|＝1，∴B′D′＝|B′C′|·sin 45°＝1×22＝22.即B′到x′轴的距离为22.答案：B8．下图中长方体的长、宽、高分别为5,4,3，侧视图矩形的面积为________．解析：长方体的侧视图是长为4，宽为3的长方形，故面积为3×4＝12.答案：129．根据三视图想象物体原形，并画出物体直观图．解析：由几何体的三视图知道几何体是一个简单组合体，下部是个圆柱，上部是个圆台，且圆台下底与圆柱面重合．画法如图(1)所示，图(2)为三视图所表示的物体的直观图．10．有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图．解析：(1)先画出边长为3 cm 的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示；(2)过正六边形的中心O ′建立z ′轴，画出正六棱锥的顶点V ′，在z ′轴上截取O ′V ′＝3 cm ，如图②所示； (3)连接V ′A ′、V ′B ′、V ′C ′、V ′D ′、V ′E ′、V ′F ′，如图③所示；(4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示．11．如图，等腰直角△O ′A ′B ′是△OAB 的直观图，它的斜边长为O ′A ′＝a ，求△OAB 的面积．解析：∵A ′，B ′在轴上，∴∠AOB ＝90°. 又O ′B ′＝22a ，故OB ＝2a ， ∴S △OAB ＝12a ·2a ＝22a 2.12．已知几何体的三视图如下，画出它的直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)．解析：直观图如下图所示，画法略．13．如图所示，AB 和CD 两根木杆竖在平面上，有一灯使AB 和CD 这两根木杆有影子，试根据实物和影子确定灯的位置．解析：要确定灯的位置，就要了解灯光是向四面发散的，这样，致使两根木杆的影子如图所示，所以，灯的位置应在木杆AB顶部A和它的影子的顶部E的连线的那条直线上，同样，这个灯也在木杆CD顶部C和它的影子的顶部F的连线上．如下图，点O就是灯所放的位置．。
三视图和直观图(含答案)
空间几何体的三视图和直观图一、探究 探究一：直观图1．如图，这是长方体、圆柱等四个几何体的直观图。
把空间图形（平面图形和立体图形的统称）画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图.空间几何体的直观图通常是在 投影下把空间图形展现在平面上，用平面的图形表示空间几何体。
探究二：斜二测画法 1．斜二测画法的方法步骤：①在已知图形中建立直角坐标系xOy ，画直观图时，把x 轴、y 轴画成对应的x '轴和y '轴，两轴交于点O '，使 ，它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于x 轴或y轴的线段，在直观图中分别画成 于x '轴和y '轴的线段.③已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中 ，平行于y 轴的线段， . 2．空间几何体直观图的画法：立体图形与平面图形相比多了一个z 轴，90xoz ∠=o 。
其直观图中对应于z 轴的是z '轴，''90x oz ∠=o，平行于z 轴的线段，在直观图中画成 于z '轴，长度 . 二、自我检测1．下列结论正确的有 ①相等的线段在直观图中仍然相等。
②若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行。
③矩形的直观图是矩形。
④圆的直观图一定是圆。
⑤角的水平放置的直观图一定是角。
2．直角坐标系中一个平面图形上的一条线段AB 的实际长度为4cm ，若AB//x 轴，则画出直观图后对应的线段=''B A ，若y AB //轴，则画出直观图后对应的线段B A ''= 。
3．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox 、Oy 、Oz 轴画成对应的x O ''、y O ''、z O ''，作y O x '''∠与z O x '''∠的度数分别为（ ）A ．οο90,90 B ．οο90,45 C ．οο90,135D ．ο45或οο90,1354．如图，A B C '''△是ABC △的直观图，那么ABC △是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．锐角三角形 三、应用示例例1．用斜二测画法画水平放置的正六边形、任意三角形的直观图。
三视图和直观图
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空间几何体的三视图
正视图 高 从前向后看
长、高相等，相互对齐
宽 长
侧视图 从左向右看 宽、高相等，相互对齐
俯视图： 长、宽相等，相互对齐
从上向下看。
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正视图
侧视图
俯视图
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长对正 正视图与俯视图的长相等，且相互对正 高平齐 正视图与侧视图的高度相等，且相互对齐 宽相等 俯视图与侧视图的宽度相等
（2）已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观 图中分别画成平行于 x ' 或轴 y'轴的线段； （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中 保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的 一半
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2、画水平放置的圆的直观图.
y
C E G
y′
C'
E'
A
O
B
x
A'
O′
B'
x′
D'
F'
D FH
y
F M E
y′
A' B'
F' M'
O′
E'
D&′
N'
C'
B
N
C
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规则：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交 于点O.画直观图时,把它们画成对应的 x '轴和 y' 轴,两 轴相交于O,且使 x' o' y' 450 或1350 ,它们确定的平面 表示水平面；
（3）已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在 直观图中分别画成平行于 x ' 轴 y'轴或 z '轴的线段； （4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观 图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原 ks5u精品课件 来的一半
《空间几何体的三视图和直观图》教学反思
（3）三视图与直观图的应用：运用三视图和直观图解决实际问题，如计算空间几何体的表面积和体积。
举例：通过一个具体的实例，如圆柱的表面积和体积计算，讲解如何结合三视图和直观图进行求解。
2.教学难点
（1）三视图的识别与绘制：学生对三视图的识别和绘制存在一定难度，需要通过实例分析和反复练习来掌握。
在总结回顾环节，我强调了对知识点的掌握和在生活中的实际应用。我希望通过这种方式，让学生认识到学习几何学的实际意义，激发他们的学习兴趣。同时，我也鼓励学生们在课后积极提问，巩固所学知识。
1.对于三视图和直观图的绘制，增加课堂示范和练习，让学生有更多的机会动手操作，提高他们的绘图能力。
2.在斜二测画法的讲解中，加入更多实际案例，让学生更好地理解这一方法在实际中的应用。
3.在小组讨论环节，加强对学生的引导，鼓励他们提出自己的观点，培养独立思考能力。
4.加强课堂总结，通过提问、答疑等方式，帮助学生巩固所学知识，提高他们的几何素养。
（3）空间几何体的表面积和体积计算：学生在运用三视图和直观图进行表面积和体积计算时，容易出错。
难点解析：针对这一问题，教师可以设计一些具有代表性的例题，引导学生分析解题思路，总结计算方法，提高学生的计算准确性。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《空间几何体的三视图和直观图》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否注意过建筑图纸或者立体图形的不同视角？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索空间几何体的三视图和直观图的奥秘。
空间几何体的三视图和直观图 公开课课件
1、中心投影：我们把光由一点向外散射 形成的投影，叫做中心投影。 注意：投射线交于一点.
A B C B’ C’ D’ D
2：平行投影
平行投影：我们把一束平行光线照射下形成的 投影叫做平行投影，投影线正对着投影面时叫正 投影，否则叫斜投影。 →平行光线
斜投影
正投影
思考
太阳光线（假定太阳光线 是平行的）把一个长方形形状 的窗框投射到地板上，变成了 什么图形？ 窗框的投影图形与原 窗框图比较，哪些几何关 系或几何量发生了变化？ 哪些没有发生变化？
主视图 高 长 宽 俯视图
左视图
宽
柱、锥、台、球的三视图
思考 4
圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什么？
圆柱
正视图 侧视图
俯视图
柱、锥、台、球的三视图
圆锥
正视图
侧视图
.
俯视图
柱、锥、台、球的三视图
圆台
正视图
侧视图
俯视图
棱柱的三视图
俯
侧
六棱柱
棱锥的三视图
俯
侧
正三棱锥
棱锥的三视图
俯
侧
正四棱锥
棱台的三视图
俯
侧
正四棱台
柱、锥、台、球的三视图
思考 5
球的三视图是什么？ 下列三视图表示一个什么几何体？
正视图
侧视图
俯视图
柱、锥、台、球的三视图
例 如图是一个倒置的四棱柱的两种摆放，试 分别画出其三视图，并比较它们的异同.
正视
正视
柱、锥、台、球的三视图
正视图
侧视图
正视
俯视图
柱、锥、台、球的三视图
正视图
侧视图
思考：先观察一个正方形，如何把它画
第1讲 三视图与直观图 -讲义
第1讲：三视图与直观图一、 考点梳理1、 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点M 、N分别是BC 、CC 1的中点，则图中阴影部分在平面 ADD 1A 1的正投影为（ A ）2、 如图所示，E 、F 分别是正方体的面在ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的 面上的正投影可能是 ②③ . （把可能的图的序号都填上）3、说出下列的三视图表示的几何体： 解：这是一个简单组合体：上部是一个圆柱，下部是一个长方体.这是一个底面为等腰梯形的直四棱柱.二、金题精讲例1、下图是一个空间几何体的正图、侧视图、俯视图，则这个空间几何体对应下面的（ B ）例2、一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ C ）A.2π+4π+2π+4π+例3、已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出 的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ B ）Ａ．34000cm 3 Ｂ．38000cm 3Ｃ．32000cm Ｄ．34000cm例4、如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1。
则该几何体的俯视图可以是（C ）正视图俯视图俯视图正(主)视图 侧(左)视图三、 课后自测1、若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 18 3cm ．解：该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1339⨯⨯=，上面的长方体体积为3319⨯⨯=，因此其几何体的体积为182、一个空间几何体的三视图，其正视图与侧视图是边长为3的正三角形、俯视图轮廓是边长为3的正方形.(1)求该几何体的高及侧棱长;(2)求该几何体的侧面积. 答案：（1）高2（2）18 3、右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ D ）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面积为22411221312.S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=3俯视图正视图3。
直观图与三视图
正视图 正视图 侧 视 图
侧视图
高度
长对正
长度
宽相等
宽度
俯视图
俯视图
请您画出圆柱的三视图 俯
左
圆柱
请您画出圆锥的三视图
俯
左
请您画出圆台的三视图 俯
左
请您画出六棱柱的三视图
俯
左
请您画出六棱锥的三视图
俯
左
请您画出四棱台的三视图
俯
左
请您画出球的三视图
俯
左
三通水管
图2
图1 如果要做一个水管的三叉接头，工人事先看到的不是图1， 而是图2，然后根据这三个图形制造出水管接头.
只 缘 身 在 此 山 中
不 识 庐 山 真 面 目 ，
远 近 高 低 各 不 同
横 看 成 岭 侧 成 峰 ，
题 西 林 壁
苏 轼
.
.
在不透明物体后面的屏幕上留下影子的现象叫做投影．其 中，光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面．
投射线可自一点发出，也可是一束与投影面成一定角度的 平行线，这样就使投影法分为中心投影和平行投影
立体几何中采用平行投影(斜投影)来画 空间图形的直观图，这种画法叫斜二测画 法．
平行投影(斜投影)——斜二测画法．
投影规律
1.平行性不变，但形状、长度、 夹角会改变； 2.平行直线段或同一直线上 的两条线段的比不变； 3.在太阳光下，平行于地面 的直线在地面上的投影长 不变．
例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图 (1)在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为X轴，对称轴MN 所在直线为Y轴，两轴交于点O．画对应的 X ' , Y ' 轴，两轴相交 于点 O ' ，使 X ' OY ' 45
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题型分类·深度剖析
题型一 空间几何体的结构特征
【例 1】
(1)下列说法正确的是
( B )
思维启迪 从多面体、旋转体的定义入手，可以借助实例或几何模型理 A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多 解几何体的结构特征．
解析 (1)A 错，如图 1；
面体是棱柱
应有 OD＝2O′D′＝2×2 2＝4 2 cm， CD＝C′D′＝2 cm. ∴OC＝ OD2＋CD2＝ 4 22＋22＝6 cm，
∴OA＝OC，
故四边形 OABC 是菱形．
答案 (1)C (2)C
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型三 空间几何体的表面积与体积
【例 3】
解析 由三视图知该几何体的直观图如图所示， 该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是 长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面， 上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为 42＋12 1 ＝ 17.所以S表＝42＋2×4＋2×(2＋4)×4×2＋4× 17×2＝48＋8 17. A．48 B．32＋8 17 C．48＋8 17 D．80
所在的直线
直角梯形中垂直于底边的腰
所在的直线
半圆直径
所在的直线
练出高分
思想方法
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
3.空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用 斜二测 画法来画，其规则： (1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x′ 轴、y′轴的夹角为 45°或135° ，z′轴与 x′轴和 y′ 轴所在平面 垂直 ． (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍 平行于坐
B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 B 正确， 如图 2， 其中底面 ABCD 是矩形， 可证明∠PAB， ∠PCB
都是直角，这样四个侧面都是直角三角形； C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是
C 错，如图 3；
棱台
D 错，由棱台的定义知，其侧棱必相
D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 交于同一点．
标轴 ．平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度 不变 ，平行于 y 轴的线段长度在直观图中 长度为原来 的一半 ．
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
4．空间几何体的三视图 (1)三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的
正前方 、 正上方 、 正左方 看到的物体轮廓线的
(3)旋转体的形成不仅要看由何种图形旋转得到，还要看旋 转轴是哪条直线．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 如图是一个无盖的正方体盒
子展开后的平面图，A，B，C 是展开图上 的三点，则在正方体盒子中，∠ABC 的值 为 A．30° B．45°
解析
( C ) C．60° D．90°
④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边 形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．
答案 A
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 空间几何体的结构特征
思维升华
(1)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形
的几何体不一定是棱柱．
(2)既然棱台是由棱锥定义的，所以在解决棱台问题时，要 注意“还台为锥”的解题策略．
数学
R B（理）
§8.1 空间几何体的三视图、直
观图、表面积与体积
第八章 立体几何
基础知识·自主学习
要点梳理
1．多面体的结构特征
多面体 棱柱 结构特征 有两个面互相平行，而且夹在这两个平行平面 间的每相邻两个面的交线都 互相平行 . 有一个面是 多边形 ，而其余各面都是有一个
知识回顾 理清教材
棱锥
(1)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几 ( )
何体的表面积为
A．48
基础知识
B．32＋8 17
题型分类
C．48＋8 17
思想方法
D．80
练出高分
题型分类·深度剖析
题型三 空间几何体的表面积与体积
【例 3】
(1)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几 ( C )
何体的表面积为
思维启迪 先由三视图确定几何体的构成及度量，然后求表面积或体积．
还原正方体，如图所示，连接
AB，BC，AC，可得△ABC 是正三角 形，则∠ABC＝60° .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 空间几何体的三视图和直观图
【例 2】 (1)如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为 1 1 的正方形，且体积为 ，则该几何体的俯视图可以是 2 ( )
基础知识
( C．2
思想方法
)
B ．1
题型分类
D．3
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 空间几何体的结构特征
(2)①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；
②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价 于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如 图 1 所示；
③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两 边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图 2 所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 空间几何体的三视图和直观图
【例 2】 (1)如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为 1 1 的正方形，且体积为 ，则该几何体的俯视图可以是 2 ( C )
思维启迪 1 由主视图和左视图可知该几何体的高是 1， 由体积是 可求 2
出底面积．由底面积的大小可判断其俯视图是哪一个．
(2)正三角形 AOB 的边长为 a， 建立如图所 示的直角坐标系 xOy，则它的直观图的面
6 2 a 16 积是________．
1 2 2 3 2 6 2 ∴S△O′A′B′＝2× 2 S△OAB＝ 4 × 4 a ＝ 16 a .
思维升华
解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知
图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线 或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意 两个图形中关键线段长度的关系．
1 4π 23 2π 所以半球的体积 V2＝2× 3 ×( 2 ) ＝ 6 ，故所求几何体的 1 2π 体积 V＝V1＋V2＝6＋ 6 .
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题型分类·深度剖析
题型一 空间几何体的结构特征
(2)给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线 是圆柱的母线；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体 都是圆锥； ④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等． 其中正确命题的个数是 A．0
解析 由该几何体的主视图和左视图可知该几何体是柱体，且其高为 1 1 1，由其体积是2可知该几何体的底面积是2，由图知 A 的面积是 1，B π 1 π 的面积是 ，C 的面积是 ，D 的面积是 ，故选 C. 4 2 4
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题型分类·深度剖析
题型二 空间几何体的三视图和直观图
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (1)(2013· 湖南 )已知棱长为 1 的正方体的俯视图 是一个面积为 1 的正方形，则该正方体的主视图的面积不可 能等于 A.1 B. 2 2－1 C. 2 ( 2＋ 1 D. 2 )
(2)如图，矩形 O′A′B′C′是水平放 置的一个平面图形的直观图，其中 O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原 图形是 A．正方形 C．菱形
公共顶点 的三角形.
棱锥被平行于底面 的平面所截, 截面 和 底面 之间的部分.
题型分类 思想方法 练出高分
棱台
基础知识
基础知识·自主学习
要点梳理
2.旋转体的形成
知识回顾 理清教材
几何体 圆柱 圆锥 圆台 球
基础知识
旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆
题型分类
旋转轴
矩形的一边 所在的直线 直角三角形的一直角边
题型二 空间几何体的三视图和直观图
(2)正三角形 AOB 的边长为 a， 建立如图所 示的直角坐标系 xOy，则它的直观图的面 积是________．
基础知识
题度剖析
题型二 空间几何体的三视图和直观图
(2)正三角形 AOB 的边长为 a， 建立如图所 示的直角坐标系 xOy，则它的直观图的面 积是________．
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
直棱柱 正棱锥
S 侧＝ ch
1 ch′ S 侧＝ 2 1 (c＋c′)h′ S 侧＝ 2
2
V＝ Sh
1 Sh V＝ 3
正棱台
1 V＝ (S 上＋S 下＋ 3 S上S下)h
4 3 V＝ 3πR
球
S 球面＝ 4πR
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
答案
(1)× (2) × (3) × (4) × (5) √ (6) √
解析
D A
6 2 3 3π
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 空间几何体的结构特征
【例 1】
(1)下列说法正确的是
(