三视图和直观图
空间几何体的直观图与三视图知识点归纳总结
变式2 利用斜二测画法, 一个平面图形的直观图时边长为1的正方形, 如图8-11所示,则该平面图形的面积为()
A. B.2 C. D. 4
题型2.直视图 三视图
思路提示
已知直观图描绘三视图的原则是:
先看俯视图, 观察几何体的摆放姿态, 再看正视图与侧视图同高, 正视图与俯视图同长, 侧视图与俯视图同宽.
A. B. C. D.
变式3 若几何体的三视图如图8-35所示, 则该几何体的体积是().
A. B. C. D.
例8.13一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm)如图8-36所示,
则该几何体的侧面积为cm2.
分析由三视图是2个三角形和1个矩形, 可知该几何体是正四棱锥.
解析先看俯视图定底面——正四棱锥的底面, 再结合正视图和俯视图, 将中心 “拔地而起”得直观图, 如图8-37所示, 再由口诀知数据, 且可知斜高 ,所以几何体的侧面积 .
故选C.
变式1 （2012湖北理4）已知某几何体的三视图如图8-54所示，则该几何体的体积为（ ）.
A. B. C. D.
例8.17 如图8-55所示为由长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块的块数为（ ）.
A.3块B4块C.5块D.6块
分析 先看俯视图，从下往上“拔地而起”.
解析 先看俯视图定底，再结合正视图和侧视图，从下往上堆积可知其直观图，如图8-56所示. 故选B.
变式2 将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体, 则该几何体的左视图为().
变式3 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形, 则该正方体的正视图的面积面积不可能等于()
A. 1 B. C. D.
投影,直观图和三视图
投影,直观图和三视图【知识概述】柱、锥、台、球的结构特征是基础，以长方体为载体考查线线、线面、面面的关系是重点，三视图及直观图属新增内容，在高考中频繁出现，大多为由三视图确定原几何体的表面积与体积，多以选择题、填空题出现，难度不大．本节课通过知识的梳理和典型例题的讲解，使同学们理解和掌握空间几何体的结构特征、直观图和三视图的相关知识，并提高学生的空间想象能力、抽象概括能力以及几何直观能力.1.在三视图中，主视图反映物体的长与高的位置关系；俯视图反映物体的长与宽的位置关系；左视图反映物体的高与宽的位置关系.归纳口诀：长对正，高平齐，宽相等.2.斜二测画法的一般步骤：①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox 、Oy ，再作Oz 轴，使∠xOz ＝90°，且∠yOz ＝90°.②画直观图时，把它画成对应的轴O ＇x ＇、O ＇y ＇、O ＇z ＇，使∠ x ＇O ＇y ＇＝ 45°（或135°），∠ x ＇O ＇z ＇＝ 90°，x ＇O ＇y ＇所确定的平面表示水平平面.③已知图形中平行于x 轴、y 轴、z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ＇轴、y ＇轴、z ＇轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.④已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半.⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.【学前诊断】1. [难度] 易一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）A.球B.三棱锥C.正方形D.圆柱2．[难度] 中一个几何体的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________3m .3．[难度] 中若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm ．【经典例题】例1．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么ABC ∆的平面直观图'''A B C ∆的面积为（ ）A. 2B. 2C.28a D. 216a例2．如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形得到一个边长为1的正方形，则原来图形的形状是（ ）例3．设如图所示，甲、乙、丙是三个空间几何体的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（ ）①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱.A.④③②B. ②①③C. ①②③D. ③②④例4．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是（ ）例 5．如右图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是（ ）例 6．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（ ）例 7．若几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是（ ）A.3352cm 3B.3320cm 3C.3224cm 3D.3160cm 3例 8．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.2B.1C.23D.13 例 9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .例 10．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 .【本课总结】1.要注意牢固把握各种几何体的结构特征，利用它们彼此之间的联系来加强理解.2.以长方体为载体，借助实物模型，加深对几何体结构特征的理解和掌握.3.理解直观图与三视图的关系，能根据三视图画出直观图并求几何体的表面积和体积【活学活用】1．[难度] 易某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是（ ） 2. [难度] 中某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ）A．12π B.45π C.57π D.81π3.[难度] 难一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________.。
空间几何体的三视图和直观图
直观图的画法与三视图的形成
1. 根据平行投影原理绘制的、用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图.
2. 将空间图形向三个互相垂直的平面作正投影，并按照一定的布局放在同一平面内构成的图形叫做空间图形的三视图.
画直观图的的规则、步骤
1.建系（画轴）：
在空间图形中建立直角坐标系；画直观图时，使x'轴与y'轴成450或1350角(这样的x'o'y'平面表示水平平面)，z'轴与x'轴垂直.
2.平行性不变：
在空间图形中互相平行的直线或线段，在直观图中仍然平行.
3.横竖长不变、纵向长减半：
在直观图中，与x'轴、z'轴平行的线段的长度与空间图形中保持不变；与y'轴平行的线段的长度缩短为原空间图形中的一半.
4.擦去辅助线(包括x'y'z'轴)
三视图的对应规律(1)主视图和俯视图
----长对正
(2)主视图和左视图
----高平齐
(3)俯视图和左视图
----宽相等
例1、画出下例几何体的三视图
例2、画出下例几何体的三视图
上部正六棱柱的底面边长为3cm,
高为1.2cm；下部圆柱的底面半径
为0.8cm，高为2cm。
练习3. 画出下面三视图所表示的几何体的直观图
练习4. 画出下面几何体的三视图。
空间几何体的直观图和三视图
直观图与三视图的转化：
例1.画出下面这个组合图形的三视图．
例2：已知几何体的三视图如下，请画出它的 直观图；单位：cm
z8 4
z y
y
x
4
x
x
例3．已知几何体的三视图，用斜二测画法画出 它的直观图
▪ 由三视图可知：
该几何体是怎么
的一个组合体？
·
O
·O
▪ 如何画出一个圆 柱的直观图？
·
O
·
O
正视图
例２．用斜二测法画水平放置的圆的直观图
y
C EG
A OBx
D FH
y
A
O
CEG B
x
DFH
例２．用斜二测法画水平放置的圆的直观图
y
C EG
A OBx
D FH
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 ABCD ABCD的直观图
1画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,使xOy=45 ,
4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理
去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线 ,
就可得到长方体的直观图.
Z
D
C y
A
D
BQ C
MO N x
AP B
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 ABCD ABCD的直观图
4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理
xOz 90 .
Z
y
O
x
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 ABCD ABCD的直观图
2画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4 cm;在
三视图和直观图
斜二测画法问题举例 C
1.画平面图形水平放置直观图
A
B
C1 A1
B1
斜二测画法问题举例
• 2.画立体图形水平放置直观图 • 3综合问题 • （1）根据三视图画直观图 • （2）画某物体的直观图
六棱柱的直观图画法
⑴ 六棱柱的组成
由两个六边形底面和几个 矩形侧面组成。侧棱相互平行。
⑵ 棱柱的三视图
思考5:在平行投影中，投影线正对着投影面时叫
做正投影，否则叫做斜投影.一个与投影面平行的 平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是 否发生变化？
正投影
斜投影
1. 斜投影
投 射 线 方 向
a c
90°
b
2.正投影
投 射 线 方 向
90°
思考6:一个与投影面不平行的平面图形，在正投
影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？
先画反映底面形状的视图。
作业: P15练习：1，2，3.
问题1:要很好地描绘这幢房子，需要从哪些方向去看？ 问题2:如果要建造房子，你是工程师，需要给施工员提 供哪几种图纸？
三视图
（1）光线从几何体的前面向后面正投影得到的投 影图，叫做几何体的正视图；
（2）光线从几何体的左面向右面正投影得到的投 影图，叫做几何体的侧视图； （3）光线从几何体的上面向下面正投影得到的投 影图，叫做几何体的俯视图；
思考3:用灯泡照射一个与投影面平行的不透明
物体,在投影面上形成的影子与原物体的形状、 大小有什么关系？当物体与灯泡的距离发生变 化时，影子的大小会有什么不同？
思考4:用手电筒照射一个与投影面平行的不透明
物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、 大小有什么关系？当物体与手电筒的距离发生变 化时，影子的大小会有变化吗？
空间几何体的三视图和直观图课件
C
A
B
y C
M
A
OBx
S
C
A
B
思考3:画棱柱、棱锥的直观图大致可分几个步骤 进行？
画轴 → 画底面 → 画侧棱 → 成图
例3 如图已知几何体的三视图，用斜二测画法画
出它的直观图.
正视图
侧视图
俯视图
分析：由几何体的三视 图知道，这个几何体是 一个简单组合体.它的 下部是一个圆柱，上部 是一个圆锥，并且圆锥 的底面与圆柱的上底面 重合.我们可以先画出 下部的圆柱，再画出上 部的圆锥.
（难点)
探究点1 中心投影与平行投影
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可 以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中， 我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫 做投影面．
观察下列投影图,并将它们进行比较.
B′
中心投影 我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心
投影．中心投影的投影线交于一点．
遮挡住的线用虚线表示.
例1 画出如图所示物体的正视图. 【解析】该物体可以看作是 从长方体中切掉一部分后， 再挖去一个三棱柱得到的组 合体.
正视图
【变式练习】 改一改：某同学画的下图物体的三视图，对吗？若 有错，请指出并改正.
俯视
侧视 正视
正视图 对 侧视图 错
俯视图 错
【提升总结】 三视图的作图步骤
斜二测画法
(二) 空间几何体的直观图的画法
思考1:对于柱、锥、台等几何体的直观图，可用斜 二测画法或椭圆模板画出一个底面，我们能否再用 一个坐标确定底面外的点的位置？
y
o
x
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、 2 cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图.
空间几何体的三视图和直观图
平行投影 斜投影
中心投影
A
B C
D
正投影
三角形一定相似吗？
一定是三角形吗？
平行投影 斜投影
中心投影
A
B C
D
正投影
正面投影为正视图
水平面投影为俯视图 侧面投影为侧视图
长
高
宽 高
宽
长 三视图对应关系为： 正、俯视图长相等（简称长对正） 正、侧视图高相等（简称高平齐） 俯、侧视图宽相等且前后对应 (宽相等）
主视图
“三视图” 知多少
左视图
高
长 宽
画 一 个 物 体 的 三视图时,主视图 ,左视图,俯视图 所画的位置如图 所示,且要符合如 下原则: 长对正, 高平齐, 宽相等.
俯视图
三视图有关概念 1、光线从几何体的前面向后面正投影得到的投 影图称为几何体的“正视图” ； 2、光线从几何体的左面向右面正投影得到的投 影图称为“侧视图”； 3、光线从几何体的上面向下面正投影得到的投 影图称为 “俯视图”． 几何体的正视图、侧视图、俯视图、统称为几 何体的三视图．
正视图
侧视图
俯视图
由三视图想象几何体 一个几何体的三视图如下,你能说出它是 什么立体图形吗?
正视图
左视图
圆锥 俯视图
由三视图想象几何体 一个几何体的三视图如下,你能说出它是 什么立体图形吗?
正视图
左视图
圆台
俯视图
由三视图想象几何体 一个几何体的三视图如下,你能说出它是 什么立体图形吗?
四棱锥
A
棱柱的三视图
棱锥的三视图
俯
侧
四棱锥
棱台的三视图
俯
左
圆台
正
简单组合体的三视图 例3：画出下面几何体的三视图。
三视图和直观图(含答案)
空间几何体的三视图和直观图一、探究 探究一：直观图1．如图，这是长方体、圆柱等四个几何体的直观图。
把空间图形（平面图形和立体图形的统称）画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图.空间几何体的直观图通常是在 投影下把空间图形展现在平面上，用平面的图形表示空间几何体。
探究二：斜二测画法 1．斜二测画法的方法步骤：①在已知图形中建立直角坐标系xOy ，画直观图时，把x 轴、y 轴画成对应的x '轴和y '轴，两轴交于点O '，使 ，它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于x 轴或y轴的线段，在直观图中分别画成 于x '轴和y '轴的线段.③已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中 ，平行于y 轴的线段， . 2．空间几何体直观图的画法：立体图形与平面图形相比多了一个z 轴，90xoz ∠=o 。
其直观图中对应于z 轴的是z '轴，''90x oz ∠=o，平行于z 轴的线段，在直观图中画成 于z '轴，长度 . 二、自我检测1．下列结论正确的有 ①相等的线段在直观图中仍然相等。
②若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行。
③矩形的直观图是矩形。
④圆的直观图一定是圆。
⑤角的水平放置的直观图一定是角。
2．直角坐标系中一个平面图形上的一条线段AB 的实际长度为4cm ，若AB//x 轴，则画出直观图后对应的线段=''B A ，若y AB //轴，则画出直观图后对应的线段B A ''= 。
3．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox 、Oy 、Oz 轴画成对应的x O ''、y O ''、z O ''，作y O x '''∠与z O x '''∠的度数分别为（ ）A ．οο90,90 B ．οο90,45 C ．οο90,135D ．ο45或οο90,1354．如图，A B C '''△是ABC △的直观图，那么ABC △是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．锐角三角形 三、应用示例例1．用斜二测画法画水平放置的正六边形、任意三角形的直观图。
三视图和直观图
ks5u精品课件
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空间几何体的三视图
正视图 高 从前向后看
长、高相等，相互对齐
宽 长
侧视图 从左向右看 宽、高相等，相互对齐
俯视图： 长、宽相等，相互对齐
从上向下看。
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正视图
侧视图
俯视图
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长对正 正视图与俯视图的长相等，且相互对正 高平齐 正视图与侧视图的高度相等，且相互对齐 宽相等 俯视图与侧视图的宽度相等
（2）已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观 图中分别画成平行于 x ' 或轴 y'轴的线段； （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中 保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的 一半
ks5u精品课件
2、画水平放置的圆的直观图.
y
C E G
y′
C'
E'
A
O
B
x
A'
O′
B'
x′
D'
F'
D FH
y
F M E
y′
A' B'
F' M'
O′
E'
D&′
N'
C'
B
N
C
ks5u精品课件
规则：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交 于点O.画直观图时,把它们画成对应的 x '轴和 y' 轴,两 轴相交于O,且使 x' o' y' 450 或1350 ,它们确定的平面 表示水平面；
（3）已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在 直观图中分别画成平行于 x ' 轴 y'轴或 z '轴的线段； （4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观 图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原 ks5u精品课件 来的一半
高中数学课件-三视图与直观图
组合体：半圆柱+三棱锥
组合体：倒圆柱+倒圆锥
切割体：三棱柱砍掉一个三棱锥
蚂蚁在立体图形中的最短路径
思路：将面展开平面图，两点连线，即最短
如何展开？
三视图
题型一：由直观图确定三视图
注意轮廓线的实、虚
注意轮廓线的实、虚
题型二：三视图还原直观图
一、简单几何体 直观想象法：（1）想象常见几何体的三视图；
（2）想象从一个方向垒起；
二、组合体
直观想象法：想象常见几何体的三视图；
三、切割体 四、锥体
直观想象法：想象某个几何体砍掉部分后的几何体题 实、虚线分析法
拉伸点法：借助长方体，固定一个方向的关键投影点， 再根据其他两个方向，拉伸点或添加个别点，最后检验
一、简单几何体
直观想象法：（1）想象常见几何体的三视图； （2）想象从一个方向垒起；
二、组合体
直观想象法：想象常见几何体的三视图；
（三视图中一般至少有两个图为三角形）
拉伸点法：借助长方体，固定一个方向的关键投影点， 再根据其他两个方向，拉伸点或添加个别点，最后检验调整
拉伸点法：借助长方体，固定一个方向的关键投影点， 再根据其他两个方向，拉伸点或添加个别点，最后检验调整
题型三：由三视图确定三视图 已知两个图，确定第三个图
组合体：倒四棱锥+正方体
二、组合体 直观想象法：想象常见几何体的三视图；
组合体：半个圆柱+1/8个球
课前5分钟巩固训练
课前5分钟巩固训练
组合体：长方体+倒三棱柱
直观想象法：想象某个几何体砍掉部分后的几何体题
切割体：圆台挖掉一个倒圆锥
切割体：正方体砍掉一个三棱锥
三视图与直观图转换技巧
三视图与直观图转换技巧引言在设计和制造各种物品，尤其是机械和工程领域中，了解和绘制三视图是至关重要的。
三视图是物体的三个不同视角的平面表示，包括正视图、俯视图和侧视图。
通过将物体从不同角度观察并绘制出来，我们可以更好地理解其结构和外观。
然而，有时仅仅依靠三视图可能无法提供足够的信息，这就需要将三视图转换为直观图以更清晰地表示物体的形状和细节。
本文将介绍一些用于转换三视图为直观图的技巧和方法。
1. 三视图的基本概念在进行三视图转换之前，我们首先需要了解三视图的基本概念。
•正视图：正视图是通过将物体正对观察者的视角绘制而成的平面图。
它显示物体的前方轮廓和主要特征。
•俯视图：俯视图是通过将物体从上方向下观察的视角绘制而成的平面图。
它显示物体的上方轮廓和主要特征。
•侧视图：侧视图是通过将物体从侧面观察的视角绘制而成的平面图。
它显示物体的侧面轮廓和主要特征。
理解并能够准确绘制三视图是进行后续直观图转换的基础。
2. 三视图转换为直观图的技巧2.1. 引入透视效果三视图通常是在等距投影的基础上绘制的，这意味着物体的所有部分都以相同的比例展示。
然而，这种等距投影可能无法准确表示物体的真实外观。
为了更好地表达物体的形状和细节，我们可以引入透视效果。
在直观图中，通过使用透视效果，物体的近处会比远处更大，这使得观察者能够更好地感知物体的立体形状。
为了实现透视效果，可以使用投影技术，如线性透视或离散透视。
2.2. 添加阴影和光影在直观图中，通过添加适当的阴影和光影效果，可以使物体看起来更真实。
阴影和光影可以提供关于物体表面的凹凸和光照方向的信息。
通过在直观图中添加适当的阴影和光影，可以使观察者更好地理解物体的形状、凹凸部分和立体感。
要添加阴影和光影，需要对物体的材质和光照条件有一定的了解，并使用阴影和高光的绘图技巧。
2.3. 加入背景和环境直观图可以通过添加适当的背景和环境来增加真实感和可视化效果。
背景和环境可以帮助观察者更好地理解物体的用途和应用场景。
空间几何体的直观图和三视图
球体
空间几何体的直观图
空间几何体的直观图通常是在平行投影 下画出的空间图形
对于水平放置的多边形常用斜二测 画法画它们的直观图
例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图
1 在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为X轴，
对称轴MN所在直线为Y轴,两轴交于点O。画相应
的X轴和Y轴，两轴相交于点O,使xOy=45
A C
B D
画三视图的步骤
1.正投影 2.找位置 3.定尺寸
圆柱的三视图:
俯
侧
圆锥的三视图:
俯
侧
画出如图所示三棱柱的三视图
高
长
宽
宽
画出如图所示三棱锥的三视图
高
长
宽
宽
注意：
画几何体的三视图时，能看见的轮廓和
棱用实线表示，不能看见的轮廓和棱 用虚线表示。
正视图
侧视图
正视图
侧视图
俯视图
俯视图
(正视图 )
(侧视图 )
(俯视图 )
从三个方向看
从上面看
从左面看
主视图 左视图
从正面看
俯视图
简单组合体的三视图
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
由三视图想象几何体
下面是一些立体图形的三视图，请根据视 图说出立体图形的名称:
正视图
侧视图俯视图Fra bibliotek四棱柱由三视图想象几何体
下面是一些立体图形的三视图，请根据视 图说出立体图形的名称:
正视图
左视图
俯视图
圆锥
由三视图想象几何体
一个几何体的三视图如下,你能说出它是 什么立体图形吗?
正视图
三视图和直观图
2．平行投影：投射线相互平行的投影.
平行投影按投射方向是否正对着投影面， 可分为斜投影和正投影两种.
这两种射影有什么区别?
中心投影:点光源,投射线交于一点 平行投影:平行光线,投射线相互平 行.
优、缺点以及应用
中心投影形成的直观图能非常逼真地 反应原来的物体,因此主要用于绘画领域.
但中心投影的投射中心,投影面和物体 的相对位置改变时,直观图的大小和形状 也将改变,因此工程制图或技术图样一般 不采用中心投影,而采用平行投影的办法.
2．三视图的有关概念
视图是指将物体按正投影向投影面投射所得 到的图形。
光线自物体的 前面向后投射所得的投影称为主视图; 自上向下的投影成为俯视图; 自左向右的投影成为左视图; 用这三种视图刻画空间物体的结构，我们称
例2．（教材第13页例2）设所给的方向为物体 的正前方，试画出它的三视图。
练习1、画下列几何体的三视图
练习2、由下列几何体的三视图画几何体
练习3、由下列几何体的三视图画几何体
五、回顾小结：
1.本节课学习中心投影、平行投影和三视图的 有关概念，以及三视图的画法；
2．画三视图应注意：长对正，高平齐，宽相 等，被遮挡的轮廓线应画成虚线。
之为三视图。
三视图的对应规律
主视图和左视图 的高保持齐平 主视图和俯视图 长应对正
俯视图和左视图 的宽度相等
例如
例1、画下列几何体的三视图
注意：
（1）分析几何体的结构，弄清它是由哪些简 单几何体组成的.
（2）被遮挡的轮廓线应画成虚线；不被遮挡 的线画成实线.
（3）选择不同的视角，所画的三视图可能不 同.
1.2空间几何体的三视图和直观图课件(上课)
田淑华
引入：
引入：
引入：
三视图的概念
1.光线从几何体的前面向后面正投影所 得到的投影图 叫做几何体的正视图. 2.光线从几何体的左面向右面正投影所 得到的投影图 叫做几何体侧视图. 3.光线从几何体的上面向下面正投影所 得到的投影图 叫做几何体的俯视图.
三 视 图
知识探究（一）：画简单几何体的三视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
知识探究（二）：将三视图还原成几何体
一个空间几何体对应一组三视 图，若已知一个几何体的三视图，我们 如何去想象这个几何体的原形结构，并 进行描述呢？
问题三：
例2：下列两图分别是两个简单组合体 的三视图，想象它们表示的组合体的结 构特征，并给出描述.
正视图
侧视图
俯视图
下列两图分别是两个简单组合体的 三视图，想象它们表示的组合体的结构 特征，并作适当描述.
根据长方体的模型，请您尝试画出它的三视图，并 观 察三种图形之间的关系．
正视图 正视图 侧 视 图
侧视图
俯视图ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
俯视图
问题一： 观察长方体的三视图，你能得出同一 个几何体的正视图 、侧视图和俯视图 在形状、大小方面的关系么？ 结论：
正、侧一样高
正视图 侧视图
正、俯一样长
侧、俯一样宽
长度 宽度
俯视图
高度
规定：侧视图在正视 图的右边，俯视图在 正视图的下边
例1：请您画出圆柱的三视图
俯
左
圆柱
请您画出圆锥的三视图
俯
左
请您画出球的三视图
俯
左
问题二： 观察下列两个几何体，它们的结构
特征如何？你能画出它们的三视图吗？
1.2空间几何体的三视图和直观图
1 V ( S S S S )h 3
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
S 0
S S V 1 Sh 1 V ( S S S S )h 3 3
S为底面面积， h为锥体高
S , S 分别为上、下
底面面积，h 为台体 高
柱体（棱柱、圆柱）的体积公式：
V Sh
（其中S为底面面积，h为柱体的高）
锥体体积
h
椎体（圆锥、棱锥）的体积公式：
1 V Sh 3
（其中S为底面面积，h为高）
由此可知， 棱柱与圆柱的体积公式类似，都是 底面面积乘高； 棱锥与圆锥的体积公式类似，都是 1 底面面积乘高的 ． 3
台体体积
台体（棱台、圆台）的体积公式
考向二 空间几何体的三视图
【例2 】►(2012·湖南) 某几何体的正视图和侧视图均如图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 俯 视 图 不 可 能 是 ( )．
[审题视点] 根据正视图和侧视图相同逐一判断．
正视图
侧视图
圆台
俯视图
根据三视图想象它们表示的几何体的结构特征
正视图
侧视图
正四棱台 俯视图
简单组合体的三视图
水平直观图
正方形的水平直观图
y y
0 0
x
x
1. 水平方向线段长度不变;
变化 规则
2. 竖直方向的线段向右倾斜450，长度减半;
3. 平行线段仍然平行.
水平直观图
正三角形的水平直观图
由三视图求几何体的相关量
若一个正三棱柱的三视图如图所示， 求这个三棱 柱的高和底面边长以及左视图的面积．
学案5：§8.1 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积第1讲 空间几何体的结构、三视图和直观图
§8.1 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图考纲考情1.能画出柱、锥、台、球等简易组合体的三视图，并能识别三视图所表示的立体模型．会用斜二测画法画出它们的直观图．2.了解平行投影与中心投影，了解空间图形的不同表示形式．主干知识·整合知识点一空间几何体的结构特征1．多面体(1)棱柱的侧棱都________，上下底面是______且______的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个________的三角形．(3)棱台可由________________的平面截棱锥得到，其上下底面是________且_____的多边形．2．旋转体(1)圆柱可以由______绕其任一边旋转得到．(2)圆锥可以由直角三角形绕其__________________旋转得到．(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由______于圆锥底面的平面截圆锥得到．(4)球可以由半圆或圆绕____________旋转得到．对点快练1．下列说法正确的是()A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点2．下图所示的几何体中，是棱柱的为________(填写所有正确的序号)．知识点二空间几何体的三视图1．三视图的名称几何体的三视图包括________、________、________.2．三视图的画法(1)画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的______方、______方、______方观察几何体得到的正投影图．对点快练3．将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()4．如图所示，图①②③是图④所示的几何体的三视图，若图①是正视图，则图②是________，图③是________．知识点三空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用________画法来画，其规则是：1．原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为____，z′轴与x′轴和y′轴所在平面______．2．原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别____________．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线段在直观图中长度变为__________．对点快练5．用斜二测画法画一个水平放置的水平图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()热点命题·突破热点一空间几何体的结构特征例1给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体；⑤棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．变式训练给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3热点二空间几何体的三视图考向1由直观图判断三视图例2如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)()A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤考向2由三视图还原直观图例3某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A. 16 B.13 C.12D．1考向3由部分视图确定剩余视图例4已知某组合体的正视图与侧视图相同，如图所示，其中AB＝AC，四边形BCDE为矩形，则该组合体的俯视图可以是________(把你认为正确的图的序号都填上)．总结反思三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图.变式训练(1)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD 的正视图与侧视图的面积之比为()A．1 1 B．21C．2 3 D．32(2)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()(3)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．热点三空间几何体的直观图例5如图所示，四边形A′B′C′D′是一平面图形的水平放置的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形A′B′C′D′是一直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行，若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2.求这个平面图形的实际面积．变式训练已知平面△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．课堂总结1．对于基本概念和能用公式直接求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决，这种题目难度不大．2．在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线．在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓线画成虚线．并做到“长对正、高平齐、宽相等”．3．能够由空间几何体的三视图得到它的直观图；也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图．提升空间想象能力．参考答案主干知识·整合知识点一空间几何体的结构特征1．(1)互相平行互相平行全等(2)公共顶点(3)平行于棱锥底面相互平行相似2．(1)矩形(2)一条直角边所在直线(3)平行(4)直径所在直线对点快练1．【答案】B【解析】A错，如图1；B正确，如图2，其中底面ABCD是矩形，可证明∠P AB，∠PCB 都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图3；D错，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点．2．【答案】③⑤【解析】根据棱柱的结构特征可知③⑤是棱柱．知识点二空间几何体的三视图1．正视图侧视图俯视图2．(2)正前正左正上对点快练3．【答案】B【解析】由正视图、俯视图得原几何体的形状如图所示，则该几何体的侧视图为B.4．【答案】侧视图俯视图【解析】根据三视图的概念知图②是侧视图，图③是俯视图．知识点三空间几何体的直观图斜二测1. 45°或135°垂直2. 平行于坐标轴不变原来的一半对点快练5．【答案】A【解析】由直观图的画法可知，落在y轴上的对角线的长度为2 2.热点命题·突破热点一空间几何体的结构特征例1【答案】②③④⑤【解析】①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体AC 1中的三棱锥C 1－ABC ，四个面都是直角三角形；⑤正确，由棱台的概念可知．变式训练 【答案】A【解析】①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．例2 【答案】 B【解析】 正视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①；侧视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③. 例3 【答案】 A【解析】 由三视图可得该几何体的直观图为三棱锥A －BCD ，将其放在长方体中如图所示，其中BD ＝CD ＝1，CD ⊥BD ，三棱锥的高为1，所以三棱锥的体积为13×12×1×1×1＝16.故选A .例4 【答案】 ①②③④【解析】 直观图如图1的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为①；直观图如图2的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个圆柱)的俯视图为②；直观图如图3的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个圆柱)的俯视图为③；直观图如图4的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为④.变式训练【答案】(1)A (2)C (3)33【解析】(1)根据题意，三棱锥P －BCD 的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高，故三棱锥P －BCD 的正视图与侧视图的面积之比为11.(2)A ，B ，D 选项满足三视图作法规则，C 不满足三视图作法规则中的宽相等，故C 不可能是该锥体的俯视图．(3)由正视图知，底面三角形是腰长为2，底边为23的等腰三角形，三棱锥的高为1，所以该三棱锥的体积V ＝13×(12×23×1)×1＝33.例5 解：根据斜二测直观图画法规则可知该平面图形是直角梯形，且AB ＝6，CD ＝4保持不变． 由于C ′B ′＝2A ′D ′＝2 2.所以CB ＝4 2. 故平面图形的实际面积为12×(6＋4)×42＝20 2.变式训练 解：如图所示，△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，作C ′D ′∥A ′B ′交y ′轴于点D ′，则D ′到x ′轴的距离为32a ，∵∠D ′A ′B ′＝45°，∴A ′D ′＝62a ， 由斜二测画法的法则知，在△ABC 中，AB ＝A ′B ′＝a ，AB 边上的高是A ′D ′的二倍，即为6a ，∴S △ABC ＝12a ·6a ＝62a 2.。
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如右图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是 ( )
解析：将斜二测画法还原为直观图，如图所示
1．(2012年杭州模拟)用任意一个平面截一个几何体，各 个截面都是圆，则这个几何体一定是 A．圆柱 C．球体 B．圆锥 D．圆柱，圆锥，球体的组合体 ( )
解析：由球的性质可知用平面截球所得的截面都是圆 面．
空间几何体
1．空间几何体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都 平行且相等 ，上下底面是 全等 的 多边形． (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点 多面体 的三角形． (3)棱台可由 平行于底面 的平面截棱锥得到， 相似 其上下底面是 多边形．
(1)圆柱可以由 矩形 绕其任一边旋转得到． (2)圆锥可以由直角三角形绕其 直角边 旋转得到． (3)圆台可以由直角梯形绕 直角腰 或等腰梯形绕 旋转体 上下底中点连线 旋转得到，也可由 平行于圆锥底面 的平面截圆锥得到． (4)球可以由半圆或圆绕 直径 旋转得到.
直 观 图
1.用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S′与原 2 平面图形的面积S之间的关系是S′＝ 4 S. 2．对于图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通 过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线段， 再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置．
用斜二测画法画几何体的直观图时，要注意原图与直观 图中的“三变、三不变”： 坐标轴的夹角改变， “三变”与y轴平行线段的长度改变减半， 图形改变. 平行性不变， “三不变”与x轴平行的线段长度不变， 相对位置不变.
2.简单组合体 简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何 体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而 成．有多面体与多面体征可知：棱柱有两个面互相 平行，其余各面都是平行四边形，反过来，成立吗？
提示：不一定成立．如图所示几何体有两个面平行，其 余各面都是平行四边形，但不满足“每相邻两个侧面的公共 边互相平行”，故它不是棱柱．
4. 5．如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是
( A．等腰三角形 B．直角三角形 解析：还原为原来的图形即： C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 )
问题探究2：空间几何体的三视图和直观图在观察角度上 有什么区别？ 提示：观察直角：三视图是从三个不同位置观察几何体 而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形.
3．三视图与直观图
空间几何体的三视图是用 正投影 得到的，这种投影下与 三视 投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大 图 俯视图 ． 侧视图 、 完全相同的，三视图包括正视图 、 小是 空间几何体的直观图常用 斜二测 画法来画，基本步骤是 ： (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O， 画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交 于点O′，且使∠x′O′y′＝45° (或135°)，已知图形 保持不变 原来的一半 中平行于x轴的线段，在直观图中长度 ，平行于y 轴的线段，长度变为 ． (2)画几何体的高 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对 不变 应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于 z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度 .
答案：C
2．(2012年福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小 均相等，那么这个几何体不可以是 A．球 C．正方体 B．三棱锥 D．圆柱 ( )
解析：∵球的三视图均为圆；正方体的三视图均可以为 正方形，∴排除A、C.而三条侧棱两两垂直且相等的正三棱锥 的三视图可以为全等的直角三角形，排除B.∵圆柱的正视图 与侧视图均是矩形，俯视图为圆，故选D.
3．(2012年浙江)已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所 示，则该三棱锥的体积是 A．1 cm3 B．2 cm3 C．3 cm3 D．6 cm3 ( )
解析：由三视图可知，该三棱锥底面为两条直角边分别 为1 cm和2 cm的直角三角形，一条侧棱垂直于底面，垂足为 1 1 直角顶点，且高为3 cm，所以体积V＝ × ×1×2×3＝ 3 2 1(cm3)，故选A.