二次函数的图像
二次函数及其图像
二次函数及其图像一般地，我们把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数（quadratic function），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
x为自变量，y为因变量。
等号右边自变量的最高次数是2。
注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指自变量的最高次数为二次的多项式函数”。
“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。
在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。
从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数的关系。
[1]编辑本段几种表达式一般式y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为[-b/2a,(4ac-b^2)/4a]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c 的值。
[1]顶点式y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k），对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同，当x=h 时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
解：设y=a(x-1)^2+2，把（3，10）代入上式，解得y=2(x-1)^2+2。
注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，-h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
[1]交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A（x1，0）和B （x2，0）的抛物线，即b^2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
二次函数图像
12．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,生产第一档次(即最低档次)的产品一天 生产76件,每件利润10元,每提高一个档次,利润每件增加2元.
(1)当每件利润为16元时,此产品质量在第几档次?
(2)由于生产工序不同,此产品每提高一个档次,一天产量减少4件.若生产第 档次产品一天的 总利润为y元(其中 为正整数,且1≤ ≤10),求出y关于 的函数关系式; 若生产某挡次产品一 天的总利润为1080元,该工厂生产的是第几档次的产品?
课堂总结： 1、让学生总结本节课的收获 2、老师点评本节课学生的表现 3、学生的努力方向
作业：
1.抛物线 y=2（x-3）2的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C． 轴上 D． 轴上 2．二 次函数y=ax2 与一次函数y=ax+a 在同一坐标系中的大致图象为（ ） 3. 已知抛物线y=-（x+2)2 ,当x 时, y随x的增大而增大;当x 时,y随x的增大而减小. 4. 若点P （-1，a）和Q（1，b ）都在抛物 线y=-x2+1 上，则线段PQ 的长为 。
6．已知抛物线 的顶点为C,直线 与抛 物线交于A、B两点.试求 △ABC面积.
作业：
7. 抛物线y=-(x-8)2 的顶点坐标是 （ ）
A、（2，8）
B、（8，2） C、（—8，2） D、（—8，—2）
二次函数的图像与性质
二次函数的图象与性质知识要点概述1、二次函数的定义：如果y=ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)，那么y叫x的二次函数．2、二次函数的图象：二次函数y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线．3、二次函数的解析式有下列三种形式：(1)一般式：y=ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y=a(x－h)2＋k(a≠0)；)(x－x2) (a≠0)，这里x1，x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标．(3)交点式：y=a(x－x1确定二次函数的解析式一般要三个独立条件，灵活地选用不同方法求出二次函数的解析式是解与二次函数相关问题的关键．4、抛物线y=ax2＋bx＋c中系数a、b、c的几何意义抛物线y=ax2＋bx＋c的对称轴是，顶点坐标是，其中a的符号决定抛物线的开口方向．a>0，抛物线开口向上，a<0，抛物线开口向下；a，b同号时，对称轴在y轴的左边；a，b异号时，对称轴在y轴的右边；c确定抛物线与y轴的交点（0，c）在x轴上方还是下方．5、抛物线顶点式y=a(x－h)2＋k(a≠0)的特点(1)a>0，开口向上；a<0，开口向下；(2)x=h为抛物线对称轴；(3)顶点坐标为（h，k）．依顶点式，可以很快地求出二次函数的最值．当a>0时，函数在x=h处取最小值y=k；当a<0时，函数在x=h处取最大值y=k．6、抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的联系与区别抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的形状相同，位置不同．前者是后者通过“平移”而得到．要想弄清抛物线的平移情况，首先将解析式化为顶点式．7、抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴的两个交点为A、B，且方程ax2＋bx＋c=0的两根为x1，x2，则有A(x1，0)，B(x2，0)．典型剖析例1、已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示．下列结论：①a＋b＋c<0；②a－b＋c>0；③abc>0；④b=2a．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1解：选A．令x=1及由图象知a＋b＋c<0，①正确；令x=－1及由图象a－b＋c>0，②正确；由对称轴知，④正确；由④知a、b同号且抛物线与y轴的交点在x轴上方，即c>0，故③正确．所以选A．例2、二次函数y=x2＋(a－b)x＋b的图象如图所示．那么化简的结果是____________．解：原式=－1．∵图象与y轴交点在x轴上方，∴b＞0．又∵图象的对称轴在y轴右边且二次项系数为1，一次项系数为a－b，例3、已知抛物线y=x2－(2m＋4)x＋m2－10与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点．(1)用配方法求顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；(2)若AB的长为，求抛物线的解析式．解：(1)∵y=x2－(2m＋4)x＋m2－10=[x－(m＋2)] 2－4m－14，∴顶点C的坐标为(m＋2，－4m－14)．(2)∵A、B是抛物线y=x2－(2m＋4)x＋m2－10与x轴的交点且|AB|=，化简整理得：16m=－48，∴m=－3．当m=－3时，抛物线y=x2＋2x－1与x轴有交点且AB=，符合题意．故所求抛物线的解析式为y=x2＋2x－1．例4、如果抛物线y=－x2＋2(m－1)x＋m＋1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b．(1)求m的取值范围；(2)若a︰b=3︰1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式．解：(1)设A、B两点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)．∵A、B分处原点两侧，∴xx2<0，1即－(m＋1)<0，得m>－1．又∵△=[2(m－1)]2－4×(－1)(m＋1)=4m2－4m＋8=4(m－)2＋7>0，∴m>－1为m的取值范围．(2)∵a︰b=3︰1．设a=3k，b=k(k>0)，=3k，x2=－k．则x1例5、已知某二次函数，当x=1时有最大值－6，且其图象经过点（2，－8）．求此二次函数的解析式．解：∵二次函数当x=1时有最大值－6，∴抛物线的顶点为（1，－6），故设所求的二次函数解析式为y=a(x－1)2－6．由题意将点（2，－8）的坐标代入上式得：a(2－1)2－6=－8，∴a=－2，∴二次函数的解析式为y=－2(x－1)2－6，即y=－2x2＋4x－8．例6、二次函数y=ax2＋bx＋c的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．(1)请判断实数a的取值范围，并说明理由；(2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C．当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值．解：（1）由图象可知：a<0，图象过点（0，1），∴c=1．图象过点（1，0），∴a＋b＋c=0，∴b=－(a＋c)=－(a＋1)．由题意知，当x=－1时，应有y>0，∴a－b＋c>0，∴a＋(a＋1)＋1>0，∴a>－1，∴实数a的取值范围是－1<a<0．(2)此时函数为y=ax2－(a＋1)x＋1,与x轴两交点A、C之间的距离为例7、根据下列条件，求抛物线的解析式．(1)经过点（0，－1），（1，），（－2，－5）；(2)经过点（－3，2），顶点是（－2，3）；(3)与x轴两交点（－1，0）和（2，0）且过点（3，－6）．分析：求解析式应用待定系数法，根据不同的条件，选用不同形式求二次函数的解析式，可使解题简捷．但应注意，最后的函数式均应化为一般形式y=ax2＋bx＋c．解：（1）设y=ax2＋bx＋c，把（0，－1），（1，），（－2，－5）代入得方程组∴解析式为y=＋x－1．（2）设y=a(x＋2)2＋3，把（－3，2）代入得2=a(－3＋2)2＋3，解得a=－1．解析式为y＝－x2－4x－1.（3）设y=a(x＋1)(x－2)，把（3，－6）代入得－6=a(3＋1)(3－2)，解得．∴解析式为y=(x＋1)(x－2)，即．。
二次函数的图像与性质
弹簧振动：描述弹 簧振动的规律
波动：描述波动现 象，如声波、水波 等
电路：在交流电路 中，二次函数用于 描述电流与电压的 关系
与一次函数的比较
表达式不同：二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，一次函数的一般形式为y=kx+b 图像不同：二次函数的图像是抛物线，一次函数的图像是直线 开口方向不同：二次函数的开口方向由a的符号决定，一次函数没有开口方向 顶点不同：二次函数有顶点，一次函数没有顶点
程
对称轴的证明
证明方法：利用 二次函数的对称 性，通过代入法 证明对称轴的存 在
证明过程：通过 计算二次函数在 x轴上的交点， 推导出对称轴的 方程
证明结论：二次 函数的图像关于 对称轴对称，且 对称轴的方程为 x=-b/2a
证明意义：理解 二次函数图像的 对称性质，有助 于解决与二次函 数相关的数学问 题
与坐标轴交点坐标的证明
证明方法：通过令二次函数等于0，解出x的值，得到与y轴交点的坐标
证明过程：将二次函数的一般形式代入x=0，得到y的值，即为与y轴的交点坐标
证明结果：当x=0时，y的值即为与y轴的交点坐标 证明结论：通过以上步骤，可以证明二次函数与y轴的交点坐标为(0,c)
汇报人：XX
与反比例函数的比较
函数形式：二次 函数的一般形式
为 y=ax^2+bx+c，
反比例函数的一 般形式为y=k/x，
其中k为常数且 k≠0
添加标题
图像：二次函数的 图像是一个抛物线， 反比例函数的图像 是两条渐近线，当 k>0时，图像在第
一、三象限；当 k<0时，图像在第
二、四象限
添加标题
性质：二次函数有 最小值或最大值， 而反比例函数没有 最小值和最大值， 当k>0时，函数在 x>0时单调递减， 在x<0时也单调递 减；当k<0时，函 数在x>0时单调递 增，在x<0时也单
二次函数的图像(一般式)
直接画函数
我们知道,作出二次函数 y 1 x 2 的图象,通过平移抛物 2 1 2 线 y x 是可以得到二次函数 y 1 x 2 6 x 21 的图象. 2 2 1 应该在什么位置作出函数 y x 2 6 x 21 的图象呢?
1 2 y x - 4x 3 2
1 2 y x 4 - 5 2
函数y=ax2+bx+c的顶点式
用配方法求二次函数y=ax² +bx+c的对称轴和顶点坐标．
y ax bx c c 2 b a x x a a
2
2 b 4 ac b y a x . 2a 4a
4ac b 2 0 ，且a＜0，所以4ac b2 0 ，故 4a
b2 4ac 0 。
判断2a＋b的符号
b (5)因为顶点横坐标小于1，即 1 ， 2a
且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；
判断a＋b＋c的符号
(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点 的纵坐标为正值，即a· 12＋b· 1＋c＞0， 故 a＋ b＋ c＞ 0；
●
●
5
● ● ● ●
●
（6,3）
O
5
10
2.怎样平移抛物线 1 2 y x 2 可以得到抛物线 1 2 y x 6 x 21？ x 2
你学会了吗？
研究二次函数y=ax2+bx+c的图象，关键是找到 对称轴和顶点坐标。通常利用配方法把二次函数 y=ax2+bx+c转化为y=a(x-h)² +k的形式，然后确定抛 物线的开口方向、对称轴和顶点。 练习： 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 2 2 1 1 1. y 3x 2x y 3 x 3 3 2.
二次函数的图像和性质
二次函数复习二：二次函数的图像和性质班级：姓名：知识点一.二次函数的图像和性质1.二次函数图像的画法: 五点作图法（1）顶点坐标；（2）与x轴的交点坐标；（3）与y轴的交点坐标，再找到该点关于对称轴对称的对称点坐标。
2.抛物线c bx ax y ++=2中， a 、b 、c 的作用（1）a 决定开口方向及开口大小.a >0时，抛物线开口向上 ,a <0时，抛物线开口向下(a 的绝对值越大，抛物线的开口越小)。
（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（口诀：左同右异 ，即a 、b 同号，对称轴在y 轴左侧） （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab. 3.二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点横坐标。
因此一元二次方程中的ac 4b 2-=∆，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。
当∆>0时，图像与x 轴有两个交点；当∆=0时，图像与x 轴有一个交点；当∆<0时，图像与x 轴没有交点。
对称轴122x x x +=，在x 轴上截的线段长是||AB a =。
4.二次函数图象的平移① 对于抛物线y =ax 2+bx +c 的平移.通常先将一般式转化成顶点式()2y a x h k =-+，再遵循左加右减，上加下减的的原则,化为顶点式有两种方法：配方法，顶点坐标公式法。
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y axc=+的性质：上加下减。
a的符号 开口方向 顶点坐标对称轴性质 0a > 向上()00，y轴x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．a < 向下()00，y轴x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a的符号 开口方向 顶点坐标对称轴性质3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
a > 向上()0c ，y轴x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．a < 向下()0c ，y轴x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．a的符号 开口方向 顶点坐标对称轴性质 0a > 向上()0h ，X=hx h>时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0．a < 向下()0h ，X=hx h>时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．4. ()2y a x h k=-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：a的符号 开口方向 顶点坐标对称轴性质 0a > 向上()h k ，X=hx h>时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．a < 向下()h k ，X=hx h>时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴cbx axy ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，cbx ax y ++=2变成mc bx ax y +++=2（或mc bx axy -++=2） ⑵cbx axy ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，cbx ax y ++=2变成cm x b m x a y ++++=)()(2（或cm x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k=-+与2y axbx c=++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y axbx c=++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b <时，02b a ->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b <时，02b a -<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab的符号的判定：对称轴a b x 2-=在y 轴左边则>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶当0c 时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a b c，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2=++关于x轴对称后，得到的解析式是y ax bx c2=---；y ax bx c()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2=---；y a x h k2. 关于y轴对称2y ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2=-+；y ax bx c()2=-+关于y轴对称后，得到的解析式是y a x h k()2y a x h k=++；3. 关于原点对称2=++关于原点对称后，得到的解析式是y ax bx c2=-+-；y ax bx c()2=-+关于原点对称后，得到的解析式是y a x h k()2=-+-；y a x h k4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y axbx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by axbx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k=-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x 2y=x 22y=2x y=x 2y=-2x 2y= -x 2y= -x 22y=2x 2-4y=2x 2+2y=2x 2y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x 2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x 2十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法 【例1】求作函数64212++=x xy 的图象【解】 )128(21642122++=++=x x x xy2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下：x… -7-6-5-4 -3-2-1 …y…25 0 23- -2 23- 0 25… 【例2】求作函数342+--=x xy 的图象。
二次函数图像及性质
二次函数概念二次函数的概念形如2=++y ax bx c （,,a b c 是常数，0≠a ）的函数，叫做二次函数。
注：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次整式，x 的最高次数是2．⑵ ,,a b c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．课堂检测1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是……………………………………（ ） A ．y=3x ﹣1 B ．y=ax 2+bx+c C ．s=2t 2﹣2t+1D ．y=x 2+2．若y=（m+1）x是二次函数，则m=………………………………（ ）A ．7B ．﹣1C ．﹣1或7D ．以上都不对3．已知函数y=（m 2+m ）x 2+mx+4为二次函数，则m 的取值范围是…………（ ） A ．m≠0 B ．m≠﹣1 C ．m≠0，且m≠﹣1 D ．m=﹣1 4．若抛物线y=（1+m ）的开口向下，则m 的值为……………………（ ） A ．2B ．﹣2C ．±2D ．15.若函数y=a 是二次函数且图象开口向上，则a=……………………（ ） A ．﹣2 B ．4C ．4或﹣2D ．4或36.若二次函数y=（m+1）x 2﹣mx+m 2﹣2m ﹣3的图象经过原点，则m 的值必为（ ） A ．﹣1或3 B ．﹣1 C ．3 D ．﹣3或1二次函数的图像及性质注：根据图像会分析相应的增减性，最高(低)点，最大（小）值，交点问题（x轴和y轴)等课堂检测1．在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是………………（）A．B． C．D．2．下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是……………………（）A．B．C．D．3．二次函数y=（x+2）2﹣1的图象大致为………………………………………………（）A．B．C．D．4.已知k＜0，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为………………………………（）A．B． C． D．5．在平面直角坐标系中，二次函数y=a （x+h ）2的图象可能是………………（ ）A ．B ．C ．D ．6．函数y=﹣2x 2图象是………………………………………………………………（ ） A ．直线 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．不能确定7．若抛物线y=（x ﹣m ）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m 的取值范围为……（ ） A ．m ＞1 B ．m ＞0 C ．m ＞﹣1 D ．﹣1＜m ＜08．已知二次函数y=x 2+（m ﹣1）x+1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，而m 的取值范围是…………………………………………………………………………………………（ ） A ．m=﹣1 B ．m=3 C ．m ≤﹣1 D ．m ≥﹣19．在二次函数y=x 2﹣2x ﹣3中，当0≤x ≤3时，y 的最大值和最小值分别是……（ ） A ．0，﹣4 B ．0，﹣3 C ．﹣3，﹣4 D ．0，010．对于抛物线y=﹣（x+1)2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1； ③顶点坐标为（﹣1，3）；④x ＞1时，y 随x 的增大而减小，其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 11．已知二次函数21x 3y -=，22x 31y -=，2x y 233=它们的图象开口由小到大的顺序是………………………………………………………………………………………………（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 1＜y 3＜y 2D ．y 2＜y 3＜y 112．关于二次函数y=3x 2﹣k x+k ﹣3，以下结论：①抛物线交x 轴有两个不同的交点；②不论k 取何值，抛物线总是经过一个定点；③设抛物线交x 轴于A 、B 两点，若AB=1，则k=9；④抛物线的顶点在y=﹣3（x ﹣1）2图象上．其中正确的序号是…………………………（ ） A ．①②③④ B ．②③ C ．②④ D ．①②④ 13．对称轴是x=﹣2的抛物线的是…………………………………………………………（ ） A ．y=﹣2x 2﹣2 B ．y=2x 2﹣2 C ．y=（x+2）2 D ．y=2（x ﹣2）2 14．二次函数2x 23x 21y 2++-=的图象如图所示，当﹣1≤x ≤0时，该函数的最大值是（ ） A ．3.125 B ．4 C ．2 D ．015．在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是………………………………（ ） A ．y=31B ．y=﹣2x ﹣3C ．y=2x 2+1 D ．y=5x16．已知点A （1，y 1）、B （）、C （﹣2，y 3）在函数上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是……………………………………………………………………（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 2＞y 1＞y 317．若A （0，y 1）、B （1，y 2）、C （3，y 3）在抛物线y=﹣2（x ﹣1）2上，则……（ ） A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 2＞y 1＞y 3 C ．y 3＞y 2＞y 1 D ．y 1＞y 2=y 318．已知点（﹣1，y 1）、（﹣2，y 2）、（2，y 3）都在二次函数y=﹣3x 2﹣6x+12的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系为………………………………………………………………（ ） A ．y 1＞y 3＞y 2 B ．y 3＞y 2＞y 1 C ．y 3＞y 1＞y 2 D ．y 1＞y 2＞y 319．若点A （﹣2，a ）、B （﹣1，b ）、C （3，c ）都在二次函数y=mx 2（m ＜0）图象上，则a 、b 、c 的大小关系是…………………………………………………………………… （ ） A ．c ＜a ＜b B ．b ＜a ＜c C ．a ＜b ＜c D ．c ＜b ＜a20．已知点（1，y 1），（3，y 2），（5，y 3）在函数y=﹣x 2+2x+n 的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是……………………………………………………………………………………（ ） A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 2＞y 1＞y 3 C ．y 2＞y 3＞y 1 D ．y 3＞y 2＞y 121．已知抛物线y=﹣（x+1）2上的两点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），如果x 1＜x 2＜﹣1，那么下列结论一定成立的是……………………………………………………………………（ ） A ．y 1＜y 2＜0 B ．0＜y 1＜y 2 C ．0＜y 2＜y 1 D ．y 2＜y 1＜022．已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ＜0）过A （﹣3，0）、O （1，0）、B （﹣5，y 1）、C （5，y 2）四点，则y 1与y 2的大小关系是…………………………………………………………（ ） A ．y 1＞y 2 B ．y 1=y 2 C ．y 1＜y 2 D ．不能确定23．已知二次函数y=a （x ﹣2）2+c （a ＞0），当自变量x 分别取、3、0时，对应的函数值分别为y 1、y 2、y 3，则y 1、y 2、y 3的大小关系是…………………………………………（ ） A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 2＞y 1＞y 3 C ．y 3＞y 1＞y 2 D ．y 3＞y 2＞y 124．若抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （1，0），B （﹣1，2），则2a+3b+2c 的值为……（ ） A ．3 B ．2 C ．C ﹣1 D ．﹣2小聪观察上表，得出下面结论：①抛物线与x 轴的一个交点为（3，0）； ②函数y=ax 2+bx+C 的最大值为6；③抛物线的对称轴是21；④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．其中正确（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个抛物线c bx ax y ++=2图像与系数c b a ,,关系(1)a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． (2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置. ①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 课堂检测1．抛物线y=﹣x 2+9与y 轴的交点坐标是………………………………………………（ ） A ．（0，9） B ．（3，0） C ．（﹣3，0） D ．（3，0）或（3，0）2．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x 2+a 的图象可能是…………（ ）A ．B ．C ．D ．3.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c 的图象大致为…………（ ）A ．B ．C ．D ．4.函数y=ax 2与y=﹣ax+b 的图象可能是……………………………………………………（ ）A ．B ．C ．D ．5．(如图)一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是……………………………………………………………………（）A．B．C．D．6．函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0在同一直角坐标系中的图象可能是……………………（）A．B．C．D．7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法正确的个数是…………（）①a＞0；②b＞0；③c＜0；④b2﹣4ac＞0．A．1 B．2 C．3 D ．48．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c ＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为…………………………………………（）A．1 B．2 C．3 D．49．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：①2a+b=0②当﹣1≤x≤3时，y＜0③若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2④9a+3b+c=0其中正确的是…………………………………………………………………………………………（）A．①②④B．①④C．①②③D．③④10．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是……………………（）A．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）B．顶点坐标是（1，﹣3）C．函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0）D．当x＜0时，y随x的增大而减小11．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①abc ＞0；②b2=4ac；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0，其中正确的结论有……………………（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x 轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是…………………………………………（）A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤13．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1 14．如图，观察二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①a+b+c＞0，②2a+b＞0，③b2﹣4ac＞0，④ac＞0．其中正确的是……………………………………………………（）A．①②B．①④C．②③D．③④15．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有…………………………（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：①4ac﹣b2＜0；②2a﹣b=0；③a+b+c ＜0；④点M（x1，y1）、N（x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2，则y1≤y2，其中正确结论的个数是…………………………………………………………………………………………（）A．1个B．2个C．3个D．4个。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质一、二次函数的一般形式二次函数是一种形式为f(x)=ax2+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a eq0。
二、二次函数的图像1.抛物线二次函数的图像是一条抛物线。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
2.判别法利用二次函数的判别式 $\\Delta = b^2 - 4ac$ 的正负性可以确定二次函数的图像开口方向和与x轴的交点情况。
3.最值点二次函数的顶点为抛物线的最值点，当a>0时，最小值在顶点处取得；当a<0时，最大值在顶点处取得。
顶点的横坐标为 $-\\frac{b}{2a}$，纵坐标为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$。
三、二次函数的性质1.对称轴二次函数的对称轴为直线 $x = -\\frac{b}{2a}$，即抛物线关于对称轴对称。
2.单调性当a>0时，二次函数在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减；当a<0时，二次函数在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增。
3.零点二次函数的零点为方程f(x)=0的解，可以利用求根公式 $x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 求得。
4.图像的平移如f(x)=a(x−ℎ)2+k，其中(ℎ,k)为平移后的顶点坐标，抛物线上下平移，方向与a的正负有关。
四、应用二次函数在几何、物理、经济等领域有着广泛的应用。
例如几何问题中的抛物线轨迹、物体自由落体运动方程、经济学中的成本、收益关系等均可用二次函数描述。
结语二次函数作为高中数学中重要的函数类型，在图像和性质上有着独特的表现，通过对其图像和性质的深入理解，可以更好地应用于解决实际问题。
希望本文的介绍能帮助读者更好地掌握二次函数的知识。
二次函数图像与性质
┃二次函数的图象与性质
考点2 二次函数图象的平移
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成y＝a(x－ h)2＋k(a≠0)的形式，而任意抛物线y＝a(x－h)2＋k均 可由抛物线y＝ax2平移得到，具体平移方法如图15－1 ：
图15－1
[注意] 确定抛物线平移后的解析式最好利用 顶点式，利用顶点的平移来研究图象的平移．
图15－4
解
析 ∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0. ∵二次函数的图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴 上， ∴c＜0. ∵二次函数图象的对称轴是直线 x＝－1， b ∴－ ＝－1， 2a ∴b＝2a＞0，∴abc＜0，∴①正确； 2a－b＝2a－2a＝0，∴②正确；
∵二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的一部分，其对 称轴为 x＝－1，且过点(－3，0)． ∴与 x 轴的另一个交点的坐标是(1，0)， ∴把 x＝2 代入 y＝ax2＋bx＋c， 得 y＝4a＋2b＋c ＞0，∴③错误； ∵二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的对称轴为 x＝ －1， ∴点(－5，y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3， y1 ) ， 根据当 x＞－1 时，y 随 x 的增大而增大， 5 ∵ ＜3，∴y2＜y1，∴④正确． 2
变式2 如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b 与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（ ）
y y y y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
二次函数的图象特征主要从开口方向、 与x轴有无交点，与y轴的交点及对称轴的位 置，确定a，b，c及b2－4ac的符号，有时也 可把x的值代入，根据图象确定y的符号．
二次函数与函数图像
b知识梳理第二十四讲 二次函数与函数图像一、二次函数的图像性质二次函数 y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图像的开口大小及方向；h 决定了二次函数图像的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图像的上下平移，而且“k 正上移， k 负下移”．（1） 当 a ＞0 时，函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 图像开口向上；顶点坐标为(- b 4ac - b 2, ) ，对称轴为 2a 4ab b b直线 x ＝－ ；当 x ＜ - 时，y 随着 x 的增大而减小；当 x ＞ - 时，y 随着 x 的增大而增大；2a 2a b2a 4ac - b 2当 x ＝ - 时，函数取最小值 y ＝ ． 2a 4ab 4ac - b 2（2） 当 a ＜0 时，函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 图像开口向下；顶点坐标为(- , ) ，对称轴为 2a 4ab b b直线 x ＝－ ；当 x ＜ - 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x ＞ - 时，y 随着 x 的增大而减小；2a 2a b2a 4ac - b 2当 x ＝ - 时，函数取最大值 y ＝ ．2a 4aybx ＝－2aO二、二次函数的最值A (- , 2ax4ac - b 2)4a一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．设 f ( x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) ，求 f ( x ) 在 x ∈[m ，n ] 上的最大值与最小值．分析：将 f ( x ) 配方，得对称轴方程 x = - b，2ab 当a > 0 时，抛物线开口向上，若-∈[m ，n ] 必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取2a得最大值；若- b2a∉[m ，n ] ，当a > 0 时，抛物线开口向上，此时函数在[m ，n ]上具有单调性，yA (- , b 4ac - b 22a 4aOxbx ＝－2a)⎪⎨ ⎪ ⎨ ⎨m in 故在离对称轴 x = - b 2a较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．当a < 0 时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图像总结如下： 当a > 0 时⎧ b 1 ⎧f (n )，- b 2a > n (如图3)f (x ) max ⎪ f (m )，- 2a ⎨ b ≥ (m + n )(如图1) 2 1f (x ) min ⎪ = ⎪ f (- b )，m ≤ - b 2a 2a ≤ n (如图4) ⎪ f (n )，- ⎩ 2a < (m + n )(如图2) 2 ⎪ ⎪ f (m )，- b ⎩2a < m (如图5)当a < 0 时⎧ f (n )，- b 2a> n (如图6) ⎧ f (m )， - b≥ 1 (m + n )(如图9)f (x ) max ⎪ = ⎪ f (- b )，m ≤ - b 2a 2a≤ n (如图7) f (x ) = ⎪ ⎪ 2a 2 b 1 ⎪ b ⎪f (n )， - < (m + n )(如图10) ⎪ f (m )，- ⎩2a < m (如图8)⎩ 2a 2三、根的分布问题设方程ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的不等两根为 x , x 且 x < x ，相应的二次函数为1212f ( x ) = ax 2 + bx + c = 0 ，方程的根即为二次函数图像与 x 轴的交点，它们的简单分布情况见下表⎪ ⎪=分布情况两根都小于 k 即 x 1 < k , x 2 < k 两根都大于 k 即x 1 > k , x 2 > k 一个根小于 k ，一个大于 k 即x 1 < k < x 2a ⋅ f (0) < 02a ⎪⎩a ⋅ f (0) > 0⎪ ⎨ ⎪ - b > 0 ⎧ ∆ > 02a ⎪⎩a ⋅ f (0) > 0 ⎪ ⎨ ⎪ - b < 0 ⎧ ∆ > 0 af (0) > 02a ⎪⎩ f (0) < 0⎪ ⎨ ⎪- b > 0 ⎧ ∆ > 02a ⎪⎩ f (0) < 0 ⎪ ⎨ ⎪ - b < 0 ⎧ ∆ > 0a < 0f (0) < 02a ⎪⎩ f (0) > 0⎪ ⎨ ⎪ - b > 0 ⎧ ∆ > 02a ⎪⎩ f (0) > 0 ⎪ ⎨ ⎪ - b < 0 ⎧ ∆ > 0a > 0大致图像（）得出的结论大致图像（）得出的结论综合结论（不讨论 ）大致图像（综合结论（不讨论）- -- -- -⎪<⎪>⎪<⎪>⎪<⎪>ka > 0 kk⎧∆> 0 ⎧∆> 0⎪b ⎨2a k⎪b⎨2ak f (k )< 0⎪⎩f(k)>0⎪⎩f(k)>0 a < 0⎧∆> 0 ⎧∆> 0⎪b ⎨2a k⎪b⎨2ak f (k )> 0⎪⎩f(k)<0⎪⎩f(k)<0⎧∆> 0 ⎧∆> 0⎪b ⎨2a k⎪b⎨2ak a ⋅f (k )< 0⎪⎩a⋅f(k)>0a⎪⎩a⋅f(k)>0分布情况两根都在(m, n)内两根有且仅有一根在(m, n)内（图像有两种情况，只画了一种）一根在(m, n)内，另一根在(p, q)内，m <n <p <q）得出的结论大致图像（）得出的结论综合结论（不讨论）⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎨a > 0⎧ ∆ > 0 ⎪ f (m ) > 0 ⎧ f (m ) > 0⎪f (n ) < 0⎧⎪ f (m ) f (n ) < 0 或 ⎨ ⎪f (n ) > 0 ⎪ bf (m )⋅ f (n ) < 0⎨ f ( p ) < 0 f (q ) > 0 ⎩⎪ f ( p ) f (q ) < 0 ⎪m < - < n⎩⎩⎪2a a < 0⎧ ∆ > 0 ⎪f (m ) < 0 ⎪ f (n ) < 0f (m )⋅ f (n ) < 0⎧ f (m ) < 0⎪f (n ) > 0 ⎨或f (m ) f (n ) < 0 ⎪b ⎪ f ( p ) > 0 ⎪⎩ f ( p ) f (q ) < 0 ⎪m < - < n⎪ f (q ) < 0⎩⎪2a⎩a ——————f (m )⋅ f (n ) < 0⎧ f (m )f (n ) < 0 ⎪ ⎨ ⎪⎩ f (p ) f (q ) < 0根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m , n )外，即在区间两侧 x < m , x > n ，（图12形分别如下）需满足的条件是⎪ 大致图像（）得出的结论大致图像（）得出的结论( ) ( ) 2 2⎧⎪ f (m ) < 0（1） a > 0 时， ⎨ ⎪⎩ f n < 0 ⎧⎪ f (m ) > 0；（2） a < 0 时， ⎨⎪⎩ fn > 0对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在(m , n )内有以下特殊情况：1︒ 若 f (m ) = 0 或 f (n ) = 0 ，则此时 f (m ) f (n ) < 0 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或 n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m , n )内，从而可以求出参数的值．如 方 程 mx 2-(m + 2) x + 2 = 0 在 区 间 (1, 3)上 有 一 根 ， 因 为f (1) = 0， 所 以mx 2 -(m + 2) x + 2 = ( x -1)(mx - 2) ，另一根为 2 ，由1 < < 3 得 < m < 2 即为所求；m m 3 2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间(m , n )内，即∆ = 0 ，此时由∆ = 0 可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数．如方程 x 2 - 4mx + 2m + 6 = 0 有且一根在区间(-3, 0) 内，求 m 的取值范围．分析：①由f (-3) f (0) < 0 即 (14m +15)(m + 3) < 0 得 出 -3 < m < -1514； ② 由 ∆ = 0 即 16m 2 - 4(2m + 6) = 0 得出m = -1或 m = 3，当m = -1时，根 x = -2 ∈(-3, 0) ，即 m = -1满足题2意；当 m = 3 时，根 x = 3∉(-3, 0) ，故 m = 3 不满足题意；综上分析，得出 -3 < m < - 15或 m = -12 2 14 四、函数的图像 （一）、画图像的方法——描点法和图象变换法；由函数解析式，用描点法作图像应①化简解析式；②分析函数的性质如：分布范围、变化趋势、 对称性、周期性等；③选算对应值，列表，描点，连线．（二）、常见的图象变换有：平移、伸缩、对称、旋转等． 1、平移变换< = < y = f ( x ) −a −>−0,−右−移−→ a < 0, 左移y = f ( x - a ) ；y = f ( x ) −b −>−0,−上−移−→y = f ( x ) + b ； b < 0,下移2、 伸缩变换：y = f ( x ) −0−<−ω−< 1−, 伸−（−横−向−）→ y = f (ωx ); ω> 1, 缩（横向）y = f ( x ) −0−<−A −< 1−, 缩−（−纵−向−）→ y = Af (x ) ． A > 1, 伸（纵向）【教学建议】在讲解平移与伸缩变换时，可举三角函数的图像变换实例予以说明．3、对称变换：（1） y = f ( x ) −−x 轴−→ y = - f ( x ) （即把( x , y ) 换成( x , - y ) ）； 对称 （2） y = f ( x ) −−y 轴−→ y = f (-x ) （即把( x , y ) 换成(-x , y )）； 对称（3） y = f ( x ) −直−线−x −=−a → y = f (2a - x ) （即把( x , y ) 换成(2a - x , y )）； 对称 （4） y = f ( x ) −原−点−→ y = - f (-x ) （即把( x , y ) 换成(-x , - y )）； 对称（5） y = f ( x )−直−线−y −=−x → y = f -1 ( x ) （即把( x , y ) 换成( y , x )）； 对称（6） y = f ( x )−保−留−y −轴−右−边−图−像，−去−掉−y −轴−左−边−图−像−→ y = f ( x )；并作关于y 轴对称图像【教学建议】可先分析函数 y = f ( x )的奇偶性，易知其为偶函数，即图像关于 y 轴对称，再对函 数 y = f ( x ) 分段，发现当 x ≥ 0 时其 y = f ( x )= f ( x ) ，从而易得图像的画法如上所述．（7） y = f ( x ) −−−保−留−x −轴−上−方图−像−−−→ y = 把下方图像对称到x 轴上方f ( x ) ；*（8） y = f ( x ) −如−何−变−换−?−→ y = 方法一：f (| x + a |)y = f ( x ) −a −>−0,−左−移−→ y = f ( x +a ) −保−留−x −=−a 右−边−图−像−，−去−掉−x =−a −左−边−图−像−→ y = f (| x + a |)a 0, 右移 并作关于x a 对称图像 方法二：y = f ( x ) −保−留−y −轴−右−边−图−像，−去−掉−y −轴−左−边−图−像−→ y = f ( x ) −a −>−0,−左−移−→ y = f (| x + a |) *（9） 并作关于y 轴对称图像a < 0, 右移 y = f ( x ) −如−何−变−换−?−→ y = f (| x | + a )y = f ( x ) −a −>−0,−左−移−→ y = f ( x +a ) −保−留−y −轴−右−边−图−像，−去−掉−y −轴−左−边−图−像−→ y = f (| x + a |)a 0, 右移 并作关于y 轴对称图像【教学建议】（8）（9）两条变换是难点，也是重点分析内容，可举实例让学生自主探索，（如f ( x ) = x 2 - 4x - 5 ，画出 y = f ( x ) ， y = f ( x +1)， y = f ( x + 1 ) ， y = f ( x + 1) 等图像比较并自行探索分析）教师再总结归纳，综合例题巩固（如例 1（4，6）与其同类变,3,4，5），让学生加深印象．五、函数的周期性与对称性（一）、周期性1、定义：对于 f ( x ) 定义域内的每一个 x ，都存在非零常数T ，使得 f ( x + T ) = f ( x ) 恒成立， 则称函数 f ( x ) 具有周期性，T 叫做 f ( x ) 的一个周期，则 kT (k ∈ Z , k ≠ 0) 也是 f ( x ) 的周期，所有周期中的最小正数叫最小正周期．1、函数自身的对称性 （1） 轴对称若函数 f ( x ) 满足 f (x + a ) = f (b - x ) ，则 f ( x ) 的图像关于直线 x = a + b对称；2（由“ x 的和一半 x =(a + x ) + (b - x ) ”确定）．2特例：若函数 f ( x ) 满足 f ( x + a ) = f (a - x ) ，则 f ( x ) 的图像关于直线 x = a 对称；若函数 f ( x ) 满足 f ( x ) = f (-x ) ，则 f ( x ) 的图像关于直线 x = 0 （ y 轴）对称；（2） 中心对称若函数 f ( x ) 满足 f ( x + a ) = - f (b - x ) ，则 f ( x ) 的图像关于点⎛ a + b , 0 ⎫对称；2 ⎪ ⎝ ⎭特例：若函数 f ( x ) 满足 f ( x + a ) = - f (a - x ) ，则 f ( x ) 的图像关于点(a , 0) 对称；若函数 f ( x ) 满足 f ( x ) = - f (-x ) ，则 f ( x ) 的图像关于点(0, 0) （即原点）对称；*拓展：若函数 f ( x ) 满足 f ( x + a ) + f (b - x ) = c ，则 f ( x ) 的图像关于点⎛ a + b , c ⎫对称； 22⎪⎝⎭综上：可以看出“内同则周期，内反则对称” ． 2、不同函数之间的对称性 （1） 轴对称函数 y = f (a + x ), y = f (b - x ) 的图像关于直线 x = b - a 对称（由相等求出 x 即 a + x = b - x2决定）．特例：函数 y = f (a + x ), y = f (a - x ) 的图像关于直线 x = 0 对称．（2） 中心对称函数 y = f (a + x ), y = - f (b - x ) 的图像关于⎛ b - a , 0⎫对称（由相等求出 x 即 a + x = b - x2⎪ ⎝ ⎭决定）．（三）对称性与周期性（1） 若 y = T = 2 a - b ；f ( x ) 的图像关于直线 x = a 、 x = b (a ≠ b ) 对称，则 f ( x ) 是周期函数，且周期特例：若 y = f ( x ) 是偶函数且其图像关于直线 x = a 对称，则周期T = 2 a ；（2） 若 y = （3） 若 y =f ( x ) 关于点(a , 0)、(b , 0) 对称，则 f ( x ) 是周期函数，且周期T = 2 a - b ； f ( x ) 的图像关于直线 x = a 、对称中心(b , 0)(a ≠ b ) 对称，则 f ( x ) 是周期函数，且周期T = 4 a - b ；特例：若 y = f ( x ) 是奇函数且其图像关于直线 x = a 对称，则周期T = 4 a综上：若函数的图像同时具备两种对称性，两条对称轴，或两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数． 【教学建议】以上的知识讲解比较抽象，建议一边利用抽象函数取相关点分析、证明，一边举实例予以说明， 如在讲解“三、对称性与周期性”时可举 y = sin x 函数的对称性验证说明： 其图像关于 x = π， x = 3π对称，则周期T = 2 ⎛ 3π- π⎫ = 2π；图像关于(0, 0),(π, 0)对称，则 2 2 2 2 ⎪ ⎝ ⎭周期T = 2(π- 0) = 2π；图像关于(0, 0), x = π对称，则周期T = 4 ⋅π= 2π22一、二次函数图像和性质 【例 1】设函数 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) ,对任意实数t 都有 f (2 + t ) = f (-1), f (1), f (2), f (5) 中,最小的一个不可能是 ．【例 2】求函数 y ＝|x 2＋2x －3|的增区间与减区间．f (2 - t ) 成立,则函数值【例 3】函数 f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2 在[－1，＋∞]上是增函数，求实数 a 的取值范围．例题解析【例4】已知a 为实数，试求函数 f (x) =x2+x -a + 1 的最小值．⎧⎪ax2+2x+1,x≥0,【例5】已知函数f (x) =⎨⎪⎩-x2+bx+c,x<0是偶函数，直线y =t 与函数f ( x) 的图像自左至右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D ，若| AB |=| BC | ，则实数t 的值为．【例6】已知二次函数f(x)=ax2+bx，且f(x+1)为偶函数，定义：满足f(x)=x 的实数x 称为函数f(x) 的不动点，若函数f(x)有且仅有一个不动点，（1）求f(x)的解析式；（2）若函数g(x)= f(x)+ kx+1x2在(0，2 3]上是单调减函数，求实数k 的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在区间[m，n](m<n)，使得f(x)在区间[m，n]上的值域为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由．【巩固训练】1．（1）已知二次函数g(x)满足g(1)=1，g(-1)=5，图像过原点，求g(x)；（2）已知二次函数h(x) 与x 轴的两交点为(-2, 0) ，(3, 0) ，且h(0) =-3 ，求h(x) ；（3）已知二次函数F (x) ，其图像的顶点是(-1, 2) ，且经过原点，求F (x) .62.已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3 的抛物线，试比较大小：（1）f(6)与f(4) (2)f(2)与f( 15)3．已知f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x) （）A．在区间(-1，0)内是减函数B．在区间(0，1)内是减函数C．在区间(-2，0)内是增函数D．在区间(0，2)内是增函数4.已知不等式a ≤3x2 - 3x + 4 ≤b 的解集为[a, b] ，则a +b 的值为．45.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2 月1 日起的300 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图a 表示的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图b 表示的抛物线段表示（1）写出图（a）表示市场售价与时间的函数关系式P=f(t)；（2）写出图(b)表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)（3）认定市场售价减去种植成本为纯收益，那么何时上市的西红柿纯收益最大？5．设函数f (x) =形区域，则a 的值为．(a < 0) 的定义域为D ，若所有点(s, f (t))(s, t ∈D) 构成一个正方ax2 +bx +c1 2 1二、一元二次方程根的分布【例 7】已知实系数一元二次方程 x 2 + (1 + a )x + a + b + 1 = 0 的两个实根为 x ， x 且0 < x< 1 ，x > 1，则 b的取值范围是（ ） 2a 121A ． (-1,- 1 ) 2B ． (-1,- 1]2C ． (-2,- 1]2 D ． (-2,- 1)2【例 8】已知 f (x ) =| x 2 - 1 | + x 2 + kx ．（1）若k = 2 ，求方程 f ( x ) = 0 的解；（2）若关于 x 的方程 f ( x ) = 0 在(0,2) 上有两个解 x 1 ， x 2 ，求 k 的取值范围．【例 9】设关于 x 的方程 4x 2-4(m+n)x+m 2+n 2=0 有一个实根大于-1，另一个实根小于-1，则 m,n 必须满足的关系是 ．【例 10】设二次函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c (a > 0) ，方程 f ( x ) - x = 0 的两个根 x, x 满足0 < x 1 < x 2 < a．（1）当 x ∈(0, x 1 ) 时，证明 x < f ( x ) < x 1 ；（2）设函数 f ( x ) 的图像关于直线 x = x 0 对称，证明 x < x1 ． 0 2【例11】已知函数f (x)=kx2+x +k 有两个不同的零点，且一个零点在区间(0,1)内，另一个在区间(1,3)，求k 的取值范围．【例12】已知m、n、α、β∈ R,m <n,α<β，若α、β是函数f ( x) = 2( x-m)( x-n) - 7 的零点，则m、n、α、β四个数按从小到大的顺序是．（用符号“<”连接起来）【巩固训练】1.已知函数f (x) =-x 2+ax +b(a, b∈R) 的值域为(-∞,0] ，若关于x 的不等式f ( x) >c -1 的解集为(m - 4, m + 1) ，则实数c 的值为．2.对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0，则称x0 是f（x）的一个不动点，已知f（x）=x2+ax+4 在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a 的取值范围．3.已知关于x 的一元二次方程：x2–kx+2k–3=0 有两个实数根．(1)若两个根满足：一个根大于1，另一个根小于1，求实数k 的取值范围；(2)求方程的两个实数根的平方和的最小值，并写出此时实数k 的值．4．已知函数 f (x ) = 3x 2+ ( p + 2)x + 3 ， p 为实数．（1） 若函数 y = f ( x ) 是偶函数，试求函数 f ( x ) 在区间[-1, 3] 上的值域； （2） 已知α：函数 f ( x ) 在区间[-1, +∞) 上是增函数， β：方程 f ( x ) = p 有小于-2 的实根．试 2问：α是β的什么条件（指出充分性和必要性）？请说明理由．三、恒成立及有解问题【例 13】已知函数 y = f (x ) =x 2+ 3x + 2a, xx ∈[2, +∞) ． （1） 当 a = 1时，求函数 f (x ) 的最小值；2 （2） 若对任意x ∈[2, +∞), f (x ) > 0 恒成立，求实数 a 的取值范围．【例 14】若关于 x 的方程 2 x 2 - x + 2 + a = 0 有解，则实数a 的取值范围是 ．【例 15】已知 k ∈ N ， k 为常数，方程 x 2 -(4k + a ) x + 4k 2 = 0 在区间(2k -1, 2k +1]上有两个不等的实根，求 a 的范围．【例16】已知函数f (x) =x 2- 1 ，g ( x) =a | x - 1 | ．(1)若关于x 的方程| f ( x) |=g (x) 只有一个实数解，求实数a 的取值范围；(2)若当x ∈R 时，不等式f ( x) ≥g (x) 恒函数成立，求实数a 的取值范围；(3)求函数h( x) =| f ( x) | +g ( x) 在区间[-2,2]上的最大值（直．接．写．出．结．果．，不．需．给．出．演．算．步．骤．）．【巩固训练】1.已知f ( x) =x | x - 6 | -m 有三个不同零点，则实数m∈．2.已知关于x 的方程x2 - 6x + 5 =a 有四个不相等的实数根，则a 的取值范围是．3.若关于x 的不等式x -1 >x2+a 仅有负数解，则实数a 的取值范围是．四、函数图像变换【例16】分别画出以下函数的图像：（1）y = 2 - x（2）y = - 2- x1（3）y = - 2 - x1（4）y = lg(1-x)（5）y = 2 x - 1 （6）y =-x + 2⎪ 【例 17】分别画出以下函数的图像：（1） y =| x - x 2| （4） y = lg | x -1|（2） y = x 2- | x | （5） y = (x -1)-2+ 3（3） y =| x 2+ 2x | -3 （6） y = lg ( x - 2)2【例 18】用min (a , b ) 表示 a , b 两数中的最小值，若函数 f ( x ) = min{ x , x + t }的图像关于直线x = - 1对称，则t 的值为（ ）2A 、 -2B 、2C 、 -1D 、1⎧ lg x , 0 < x ≤ 10, 【例 19】已知函数 f ( x ) = ，若a , b , c 互不相等，且 f (a ) = f (b ) = f (c ) ，⎨- 1x + 6, x > 10⎩⎪ 2则abc 的取值范围是（）A 、(1,10)B 、(5, 6)C 、(10,12)D 、(20, 24)【例 20】已知 且 ,函数在区间上既是奇函数又是增函数,则函数的图象是（）1 1 1 1【巩固训练】 1. 函数 y =| x 2 + 2x | -3 与函数 y = a 交点的个数可能为．2. 若直线y = 2a 与函数 y = a x-1 (a ＞0，a ≠ 1) 的图像有两个公共点，则a 的取值范围是．3．方程lg(x -100)2= 7- (| x | -200)(| x | -202) 的解的个数为（）2（A ）2（B ）4（C ）6（D ）84 ． 已知函数 f ( x ) = lg | x -1| ， 若 x 1 < x 2 < x 3 < x 4 ， 且 f (x 1 ) = f (x 2 ) = f (x 3 ) = f (x 4 ) ， 则+ + + = ．x 1 x 2 x 3 x 4五、函数的周期性与对称性【例 21】定义在 R 上的函数 f (x + 2)+ f (x )= 0 ，且 y = f (x -1)是奇函数，给出下列命题：①函【例 22】设 y = f ( x ) 的定义域为 R ，且 y = f (2x + 1) 为偶函数，则 y = 2f (2 x ) 图像关于对称， y = f ( x ) 关于对称．【例 23】已知函数 y = f ( x ) 对一切实数 x 满足 f (2 - x ) = f (4 + x ) ，且方程 f ( x ) = 0 有 5 个实根， 则这 5 个实根之和为（ ）A 、5B 、10C 、15D 、18⎩ 【例 24】在 R 上定义的函数 f (x ) 是偶函数，且 f (x ) = f (2 - x ) .若 f (x ) 在区间[1, 2] 上是减函数，则 f (x ) ( )A. 在区间[-2, -1] 上是增函数，在区间[3, 4] 上是增函数B. 在区间[-2, -1] 上是增函数，在区间[3, 4] 上是减函数C. 在区间[-2, -1] 上是减函数，在区间[3, 4] 上是增函数D. 在区间[-2, -1] 上是减函数，在区间[3, 4] 上是减函数【例 25】定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (x ) = ⎧log 2 (1- x ), x ≤ 0，则 f (2014 ) 的值为．⎨f (x -1) - f (x - 2), x > 0【例 26】设 g ( x ) 是定义在 R 上，以周期为 1 的函数，若函数 f ( x ) = x + g ( x ) 在区间[3, 4] 上的值域为[-2,5] ，则 f ( x ) 在区间[-10,10] 上的值域为．【 例 27 】 f (x ) 为 R 上的偶函数, g (x ) 为 R 上的奇函数且过 (-1,3) , g (x ) =f (x - 1) , 则f (2012) + f (2013) =．【巩固训练】1. 对于定义在 R 上的函数 f (x ) ，有下述命题：①若 f (x ) 是奇函数，则 f ( x - 1) 的图像关于点 A （1，0）对称； ②若函数 f ( x - 1) 的图像关于直线 x = 1对称，则 f (x ) 为偶函数； ③若对 x ∈ R ，有 f (x - 1) = - f (x ),则2 是 f (x ) 的一个周期； ④函数 y = f (x -1)与y = f (1 - x ) 的图像关于直线 x = 1 对称． 其中正确的命题是 .（写出所有正确命题的序号）．2. 设函数 y =f ( x ) 的定义域为 R ，则下列命题中，①若 y = f ( x ) 是偶函数，则 y = f ( x + 2) 图像关于 y 轴对称； ② 若 y = f ( x + 2) 是偶函数， 则 y = f ( x ) 图像关于直线 x = 2 对称； ③ 若 f ( x - 2) = f (2 - x ) ，则函数 y = f ( x ) 图像关于直线 x = 2 对称；④ y = f ( x - 2) 与 y = f (2 - x ) 图像关于直线 x = 2 对称，其中正确命题序号为 ．反思总结课后练习3.已知函数 f (x ) = 14 - 2 x的图像关于点 P 对称，则点 P 的坐标是（ ）（A ） (2, 1 ) 2 （B ） (2, 1 ) 4 （C ） (2, 1) 8（D ） (0, 0)4. 已知函数 f (x ) 的图像关于直线 x = 2 和 x = 4 都对称，且当0 ≤ x ≤ 1时， f( x ) = x ．求 f (19.5)的值．5. ． 已知定义在 R 上的奇函数 f (x ) , 满足 f (x - 4) = - f (x ) , 且在区间[0,2] 上是增函数, 若函数F (x ) = f (x ) - m (m > 0) 在 区 间 [- 8,8] 上 有 四 个 不 同 的 零 点 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , 则 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = .1、研究二次函数问题牢牢抓住“三根主心骨”：开口，对称轴，判别式；2、最值问题四大类：定轴定区间、定轴动区间、动轴定区间、动轴动区间；3、根的分布问题额外讨论区间端点的正负号；4、函数图像是高考的必考内容，其中包括作图、识图、用图．作图一般有两种方法：描点法、图像变换法．图像变换法中，有平移变换、对称变换和伸缩变换，要记住它们的变换规律．利用描点法作函数图像其基本步骤是①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；④列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；⑤描点，连线．识图时，要留意它们的变化趋势，以及坐标轴的交点及一些特殊点.特别是对称性、周期性等图 形特点，应引起足够的重视．用图，主要是数形结合思想的应用．1.函数f(x)= x2+2(a－1)x+2 在区间(－∞,4)上递减,则a 的取值范围是（）A. [-3, +∞)B. (-∞, -3]C. (－∞,5)D. [3, +∞)2.若函数y =f ( x -1) 是偶函数，则y =f ( x) 的图象关于直线对称．3.已知函数f (x) = 2ax 2 + 4(a -3)x + 5 在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是．4.设f ( x) 是定义在R 上的以3 为周期的函数，若f (-1) >1, f (2) =2a -3，则实数a 的取值范围a +1是．5．方程lg x2 = 4 -(| x | -200)(| x | -202) 的解的个数为（）（A）2 (B）4 （C）6 （D）86.如果实数x、y 满足x + y = 4 ，则x 2 + y 2的最小值是（）A. 4.B. 6.C. 8 .D. 10 .7.函数y = f ( x) 的图象沿x 轴正方向平移2 个单位，得图象c1 ，图象c1 关于y 轴对称图象为c2 ，那么c2对应的函数解析式是．8.定义在R 上的函数f ( x) 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程f ( x) = 0在闭区间[-T ,T ]上的根的个数记为n ，则n 至少为．9.定义域和值域均为[-a, a]（常数a > 0 ）的函数y =列四个命题：（1）方程f[g(x)]= 0 有且仅有三个解；（2）方程g[f(x)]= 0 有且仅有三个解；（3）方程f[f(x)]= 0 有且仅有九个解；（4）方程g[g(x)]=0 有且仅有一个解．那么，其中正确命题的个数是（）f (x)和y =g(x)的图像如图所示，给出下（A）1 （B）2 （C）3 （D）4⎩ 12 ⎧x +1, x ∈[-1, 0), 7.已知 f (x ) = ⎨x 2 +1, x ∈[0,1],则下列函数的图像错误的是（ ）(A) f ( x - 1) 的图像 (B) f (- x ) 的图像 (C) f (| x |) 的图像 (D) | f ( x ) |的图像8. 已知二次函数 f (x ) = ax 2 + bx 满足 f (2) = 0 且方程 f ( x ) = x 有等根．（1）求 f ( x ) 的解析式；（2）问是否存在实数m , n (m < n ) 使 f ( x ) 的定义域为[m , n ] ，值域为[2m ,2n ] ．如存在，求出m , n 的值，若不存在说明理由．9. 已知函数 f (x ) = x 2 - kx + 2k - 3 有两个实数零点 x , x ，求这两个零点的平方和的最小值．10. 已知 a 为实数，函数 f ( x ) = 2x 2 + ( x - a ) x - a ．⑴若 f (0) ≥ 1，求 a 的取值范围；⑵求 f ( x ) 的最小值．11.已知函数f (x) =m(x +1) 的图象与函数h(x) =1(x +1) + 2 的图象关于点A(0,1) 对称．x 4 x（1）求m 的值；（2）若g(x) =f (x) + a在(0, 2]上为减函数，求a 的取值范围．4x12.如果定义域D 为函数f (x)同时满足以下两个条件：① f (x)在D 上是单调函数；②存在区间[a, b]⊆D ，使得f (x)在[a, b]上的值域也是[a, b]。
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发展性训练: 发展性训练: 1.由y=3(x+2)2+4的图像经过怎样的平移变换， 1.由 +4的图像经过怎样的平移变换， 的图像经过怎样的平移变换 可以得到y=3x 的图像.右移2单位，下移4 可以得到y=3x2的图像.右移2单位，下移4单位
2.把函数y=x2-2x的图像向右平移２个单位，再 的图像向右平移２ 2.把函数y=x 2x的图像向右平移 个单位， 把函数 向下平移３ 向下平移３个单位所得图像对应的函数解析式 为 y=(x-2)2-2(x-2)-3=x2-6x+5=(x-3)2-4 y=(x2(x-2)6x+5=(x-
列表如下： 列表如下：
x
x
2x
2
…
-3 9 18 4.5
-2 4 8 2
-1 1 2 1
0 0 0 0
1 1 2 1
2 4 8 2
3 9
… …
2 …
…
18 … 4.5
1 2 … x 2
从表中你能观察出有何规律？
画图像
抽象概括（ ） 抽象概括（1）
y = ax 2 的图像是由 y = x 2 1:二次函数 二次函数
发展性训练: 发展性训练: 1.由y=3(x+2)2+4的图像经过怎样的平移变换， 1.由 +4的图像经过怎样的平移变换， 的图像经过怎样的平移变换 可以得到y=3x 的图像. 可以得到y=3x2的图像. 右移2单位，下移4 右移2单位，下移4单位 2.把函数y=x2-2x的图像向右平移２个单位，再 的图像向右平移２ 2.把函数y=x 2x的图像向右平移 个单位， 把函数 向下平移３ 向下平移３个单位所得图像对应的函数解析式 为 y=(x-2)2-2(x-2)-3=x2-6x+5=(x-3)2-4 y=(x2(x-2)6x+5=(x-
作图
动手实践（ ）： 动手实践（1）：
和 y = −2 x 的图像。 的图像。
1 2 请用类似的方法画出 y = 2 x 2
作图
问题提出（ ） 问题提出（2）
y = ax 2 和 y = a ( x + h) 2 + k (a ≠ 0) 函数
的图像之间有什么联系 ？
在在在在在在在, 画画画画画画画画画： (1) y=2x 2 ; (2) y=2(x+1) 2 ; (3) y=2(x+1) 2-3 .
作图
抽象概括（ ） 抽象概括（2）
一般地， 一般地，二次函数 y = a ( x + h) 2 + k (a ≠ 0) 中， a决定了二次函数图像的开口大小及方 决定了二次函数图像的开口大小及方 而且“ 正开口向上 正开口向上， 负开口向下 负开口向下” 而且“a正开口向上，a负开口向下”； 开口越小 ｜a｜越大开口越小； ｜越大开口越小； h决定了二次函数图像的左右平移， 决定了二次函数图像的左右平移， 决定了二次函数图像的左右平移 而且“ 正左 正左移 负右移 而且“h正左移，h负右移”； 负右 k决定了二次函数图像的上下平移， 决定了二次函数图像的上下平移， 决定了二次函数图像的上下平移 而且“ 正上 正上移 负下移 而且“k正上移，k负下移”。 负下
的图像各点纵坐标变为原来的a倍得到的。 的图像各点纵坐标变为原来的 倍得到的。 纵坐标变为原来的 2：a决定了函数的开口方向和在同 ： 决定了函数的开口方向和在同 一直角坐标系中的开口大小。 一直角坐标系中的开口大小。 a>o开口向上，a<0开口向 开口向上， 开口向上 开口向 3.a决定了图像在同一直角坐标系中 决定了图像在同一直角坐标系中 的开口大小。 的开口大小。 |a|越小图像开口就越大 越小图像开口就越大
2
的关系。 的关系。
作图
抽象概括（ ） 抽象概括（3）
一般地， 一般地，二次函数 y = ax + bx + c(a ≠ 0)
2
通过配方可以得到它的恒等形式 图像如何平移就能得到 y = ax + bx + ( x + h) + k (a ≠ 0)从而知道，由 从而知道，
2
的图像。 的图像。
巩固性训练二 １.将二次函数y=3x2的图像平行移动,顶点移 将二次函数y=3x 的图像平行移动, y=3(x+3)2+2 （－３ ），则它的解析式为 到（－３,２），则它的解析式为 2.二次函数y=f(x)与y=g(x)的图像开口大小 2.二次函数y=f(x)与y=g(x)的图像开口大小 二次函数y=f(x) 相同，开口方向也相同，已知函数g(x)=x +1， 相同，开口方向也相同，已知函数g(x)=x2+1， f(x)图像的顶点为(3,2)， f(x)的表达式为 图像的顶点为(3,2) f(x)图像的顶点为(3,2)，则f(x)的表达式为 y=(xy=(x-3)2+2
巩固性训练二 １.将二次函数y=3x2的图像平行移动,顶点移 将二次函数y=3x 的图像平行移动, （－３ ），则它的解析式为 到（－３,２），则它的解析式为 y=3(x+3)2+2 2.二次函数y=f(x)与y=g(x)的图像开口大小 二次函数y=f(x) 2.二次函数y=f(x)与y=g(x)的图像开口大小 相同，开口方向也相同，已知函数g(x)=x +1， 相同，开口方向也相同，已知函数g(x)=x2+1， f(x)图像的顶点为(3,2)， f(x)的表达式为 图像的顶点为(3,2) f(x)图像的顶点为(3,2)，则f(x)的表达式为 y=(xy=(x-3)2+2
动手实践（ ） 动手实践（2）
的图像， 由 y = −3x 的图像，画出 y = −3( x − 1) + 1
2
2
的图像。 的图像。
作图
问题探究（ ） 问题探究（3）
函数y = ax 和 y = ax + bx + c(a ≠ 0) 图像之间有什么关系？ 图像之间有什么关系？
2
2
y = 2 x2 + 4 x − 1 我们一起研究一下y = 2 x 与
作业
• 作业 课本P46习题 作业:课本 习题2-4 A组第 ， 组第1， 课本 习题 组第 2，4题。 ， 题 • 预习 预习二次函数的性质 预习:预习二次函数的性质
2-1; y=(x+2)
(1)
(2) y=-(x-2)2+2 ; (3)
2+k y=a(x+h)
.
问题提出（1）：
函数y = x 和函数 y = a x 的图像之 间有什么关系？ 间有什么关系？
2
2
在研究上述问题之前我们先来在同 1 2 2 2 y 一坐标系中画出 y = 2 x ， = x ， = x y 2 的图像。 的图像。
作业： 作业： 1.习题2 ，Ａ组 1.习题2-4，Ａ组１，２，３（１），（４） 习题 ），（４ B组１，２ 2.自已研究二次函数的性质 自已研究二次函数的性质. 2.自已研究二次函数的性质.
巩固性训练二 １.将二次函数y=3x2的图像平行移动,顶点移 将二次函数y=3x 的图像平行移动, （－３ ），则它的解析式为 到（－３,２），则它的解析式为 y=3(x+3)2+2 2.二次函数y=f(x)与y=g(x)的图像开口大小 二次函数y=f(x) 2.二次函数y=f(x)与y=g(x)的图像开口大小 相同，开口方向也相同，已知函数g(x)=x +1， 相同，开口方向也相同，已知函数g(x)=x2+1， f(x)图像的顶点为(3,2)， f(x)的表达式为 图像的顶点为(3,2) f(x)图像的顶点为(3,2)，则f(x)的表达式为 y=(xy=(x-3)2+2
作业： 作业： 1.习题2 ，Ａ组 1.习题2-4，Ａ组１，２，３（１），（４） 习题 ），（４ B组１，２ 2.自已研究二次函数的性质 自已研究二次函数的性质. 2.自已研究二次函数的性质.
巩固性训练二 １.将二次函数y=3x2的图像平行移动,顶点移 将二次函数y=3x 的图像平行移动, （－３ ），则它的解析式为 到（－３,２），则它的解析式为 y=3(x+3)2+2 2.二次函数y=f(x)与y=g(x)的图像开口大小 二次函数y=f(x) 2.二次函数y=f(x)与y=g(x)的图像开口大小 相同，开口方向也相同，已知函数g(x)=x +1， 相同，开口方向也相同，已知函数g(x)=x2+1， f(x)图像的顶点为(3,2)， f(x)的表达式为 图像的顶点为(3,2) f(x)图像的顶点为(3,2)，则f(x)的表达式为 y=(xy=(x-3)2+2
发展性训练: 发展性训练: 1.由y=3(x+2)2+4的图像经过怎样的平移变换， 1.由 +4的图像经过怎样的平移变换， 的图像经过怎样的平移变换 可以得到y=3x 的图像. 可以得到y=3x2的图像. 右移2单位，下移4 右移2单位，下移4单位 2.把函数y=x2-2x的图像向右平移２个单位，再 的图像向右平移２ 2.把函数y=x 2x的图像向右平移 个单位， 把函数 向下平移３ 向下平移３个单位所得图像对应的函数解析式 为 y=(x-2)2-2(x-2)-3=x2-6x+5=(x-3)2-4 y=(x2(x-2)6x+5=(x-
二次函数的图像
知识与技能：二次函数图像的上下左右移动 知识与技能：二次函数图像的上下左右移动 过程与方法：动手实践，在解决问题中构建新知 动手实践， 动手实践 情感与态度：形与数的和谐统一美 形与数的和谐统一美
复习引入: 复习引入
说出下列函数的开口方向、对称轴、 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶 点.
知识点: 知识点 对二次函数y=a(x+h) 2 +k图像的影响 １.a,h,k对二次函数 对二次函数 图像的影响 的图像变换规律。 ２.y=x2与y=a(x+h)2+k的图像变换规律。 的图像变换规律 思想方法: 思想方法 1.数形结合 数形结合; 数形结合 2.转化与化归 转化与化归; 转化与化归 3.研究函数的一般方法 由特殊到一般 研究函数的一般方法:由特殊到一般 研究函数的一般方法 由特殊到一般; 4.配方法 配方法. 配方法