第14章波与离子例题

(2) 反冲电子所获得的动能Ek等于X光子损失的能量
所以
Ek mc m0c h 0 h
hc hc hcΔ 0 0 Δ 0 (0 Δ )
2
2
代入数据，得
Ek
6.63 10 34 3.00 10 8 2.43 10 12 2.00 10
∴
原子中电子轨道概念不适用。
例5-2 动能Ek 108 eV的电子射入威尔逊云室，
分析：电子位置的不确定量 x 10 4cm。
径迹的线度10 4cm，问 “轨道”概念适用否？
由此可计算动量的不确定量 p x 10 28 kg m s 1 2 x
而电子 动量
§15.5 微观粒子的波动性 一个能量为E、动量为 p 的实物粒子，同时 它的波长、频率 和 E、p的 也具有波动性， 关系与光子一样：
E h
p h

E h h p
爱因斯坦 — 德布罗意关系式
与粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波，
— 德布罗意波长 （de Broglie wavelength）
1 mu 2 eK eV 0 2
和
1 h mu 2 A 2
比较，得
X射线光子的质量为
m2 h c2
kg 2.21 10 8 11 3.00 10 1.00 10
6.63 1034
31
kg
例２-2：用波长为400 nm的紫光去照射某种金属， 观察到光电效应，同时测得遏止电势差为1.24 V，试 求该金属的红限和逸出功。 解: 由爱因斯坦方程，得
10
( 2.00 10
10
2.43 10
12
)
J 1.19 10
17
J
入射X光子的能量为
hc 6.63 10 34 3.00 10 8 16 h 0 J 9 . 95 10 J 10 0 2.00 10 §15-4 氢原子光谱和玻尔的量子论
经爱因斯坦的推荐，物质波理论受到了关注。 在论文答辩会上，佩林问：
“这种波怎样用实验耒证实呢？” 德布罗意答道： “用电子在晶体上的衍射实验可以做到。”
h h 算算电子的波长： （电子v << c） p 2m0 E h h 设加速电压为U 12.25 （ A） p 2m0eU （单位为伏特） U
1 1 ~ ~ T ( k ) T (n) kn R( 2 2 ) 也可以写为 kn k n R R 其中 T ( k ) 2 ,T ( n) 2 光谱项
k n
把对应于任意两个不同整数的光谱项合并起来组成 它们的差，便得到氢原子光谱中一条谱线的波数， 这个规律称为组合原理。
例5-4：在室温下达到热平衡的中子称为热中子。 求温度为300K的热中子的德布罗意波长。 解: 根据能量均分定理，得
3 3 23 21 k kT 1.3810 300J 6.21 10 J 2 2
1 1 ~ 帕邢系 R( 2 2 ) , n 4,5, 3 n 1 1 ~ 布拉开系 R( 2 2 ) , n 5,6, 4 n 1 1 ~ R( 2 2 ) , n 6,7, 普丰德系 5 n 将上述五个公式综合为一个公式：
例3-1:波长为0 = 0.200 nm的X射线在某物质中产
生康普顿散射，在散射角为 = 90的方向上观测到 散射X射线。求： (1) 散射X射线相对于入射线的波长改变量； (2) 引起这种散射的反冲电子所获得的动能Ek。 解: (1) 波长的改变量为
h 12 Δ (1 cos ) 2.43 10 (1 cos 90 )m m0 c - 12 = 2.43 10 m.
三、玻尔的量子论 玻尔量子论的三个假设：
1 定态假设：原子处于一系列不连续的稳定状态。
具有一定的能量、不辐射电磁波。 h n 1,2,3 2 角动量量子化 L me vr n 2π 3 跃迁假设 h E A EB
对于氢原子，由库仑定律和牛顿第二定律，得 e2 v2 me 2 r 4 0 r 2 2 2 e 0h n vn 轨道半径和运动速率为 rn 2 0 hn m e 2

爱因斯坦方程不仅圆满地解释了光电效应的实验规 律，而且还给出了常量K和V0的数值。
由
h A K , V0 e e 例２-1：分别计算波长为400 nm的紫光和波长为10.0 pm 的 X 射线的光子的质量。
解: 紫光光子的质量为
h 6.63 1034 36 m1 kg 5 . 53 10 kg 8 7 c1 3.00 10 4.00 10
14
7.50 10 Hz 2.99 10 Hz 4.51 10 Hz.
14
14
根据逸出功A与红限 0的关系，可求得逸出功
A 0 h 4.51 10 6.63 10 2.99 10
19
14
34
J
J = 1.87 eV
§15.3 康普顿效应
光子与静止的自由电子的碰撞
另有关系
E t 2
▲ 用不确定关系做数量级估算的举例
例5-1 证明原子中电子运动不存在“轨道”。
设：电子Ek = 10eV，则 v
原子线度 r 10
2E 6 10 m /s。 m
10 m，p
2r
p 5 v 6 10 m /s v m 2 m r
为什么在宏观世界中观察不到能量分立的现象?
例1-1：设想一质量为 m = 1 g 的小珠子悬挂在一 个小轻弹簧下面作振幅 A = 1 mm的谐振动
弹簧的劲度系数 k = 0.1 N/m 按量子理论计算 此 弹簧振子的能级间隔多大？减少一个能量子时 振 动能量的相对变化是多少？
解：弹簧振子的频率
0.1 1 k 1 1 1 . 59 s 3 m 2π 6.28 10
由于u≪c ,故不考虑相对论效应，所以
p 2eVm e 2 1.60 1019 100 9.11 1031 kg m s 5.40 10
24 -1
kg m s
-1
.
电子的德布罗意波长为
h 6.63 10 34 10 m 1.23 10 m 24 p 5.40 10
▲ 两把自然尺度： c
和h
c ： 相对论 h 0 ：量子物理
牛顿力学
经典物理 几何光学）
（ 0：波动光学
海森伯（W. Heisenberg）1927年由量子力学
导出了不确定关系：
x p x y p y 2 z p z
不确定关系使微 观粒子运动失去 了“轨道”概念。
e
0 h2 11 a r 5.29177249 10 m 玻尔半径 0 1 2 me e
氢原子系统的总能量
4 2 m e 1 e En mev 2 2e 2 2 2 4π 0 r 8 0 h n
电子由n跃迁到k(<n)时，发出光子的频率为 En Ek me e 4 1 1 kn 2 3( 2 2) h 8 0 h k n
U=100V 时， =1.225Å — X射线波段
例 m = 0.01kg，v = 300 m/s 的子弹
h h 6.63 10 34 波长 2.21 10 34 m p m v 0.01 300
Hale Waihona Puke Baidu
h极小 宏观物体的波长小得实验难以测量 “宏观物体只表现出粒子性”
1 2 A h mu 2
等号两边同除以普朗克常量h，得
A mu 2 h 2h
等号左边等于红限 0，所以
mu 2 0 2h c
因为
eVa
1 2
mu
2
所以
eVa 0 h c
代入数值，得
1.60 1019 1.24 0 Hz Hz 7 34 4.00 10 6.63 10 3.00 108
0
1 2 eU a m m 2
1 eU a mv m2 h A 2
三、光子的性质
h
光子静止质量 m0 = 0
E mc
h ˆ k P n
2
h m 2 c
P mc h
h
h


2π 2π
2π ˆ k n
T b
m

2.8978 10 3 471 .0 10
9
K 6152 K
§15-2 光电效应和爱因斯坦的光量子论 一、 光电效应的实验规律
1 mu 2 eK eV0 2
二、光电效应方程
0
V0 K
A 1 2 红限频率 mv m h A A：逸出功 h 2
由电子的静质量m0与运动质量m之间的关系，得 即
2m0c 2h( 0 ) 2h2 0 (1 cos ) c c h (1 cos ) 0 m0 c
c
由于 ，所以

由上式得结论：
h Δ 0 (1 cos ) m0 c
(1) 散射X射线的波长改变量只与光子的散射角有关， 越大，也越大。当 = 0时， = 0，即波长不变；当 = 时， = 2h / m0c，即波长的改变量为最大值。h/m0c也 是基本物理常量，称为电子的康普顿波长，用C表示，C = 2.426310581012 m。 (2) 在散射角相同的情况下，所有散射物质，波长的改变 量都相同。
能级间隔
E h 6.651034 1.59 1.051033 J
振子能量
1 2 1 E kA 0.1106 5108 J 2 2
33 Δ E 1 . 05 10 相对能量变化 26 2 10 8 E 510
这样小的相对能量变化在现在的技术条件下还不可 能测量出来现在能达到的最高的能量分辨率为： E 1016 所以宏观的能量变化看起来都是连续的。 E 例1-2：对太阳辐射的观测发现，在波长471.0 nm附 近单色辐出度为最大，试估计太阳表面的温度。 解: 根据维恩位移律，得
p 2mEk 1.8 1023 kg m s1
显然， p >> px，此情形下，坐标和动量基本
上可以认为是同时确定的， “轨道”概念适用。
例5-3：求在100 V加速电势差作用下，电 子的德布罗意波长。 2 eV 解: 电子的运动速率为 u me 电子的动量
p me u 2eVme
根据相对论，得
m m0 1 u / c
2 2
h 0 c
h c
e θ

x
e
mu
2 2 mc h ( ) m c 或 0 0
碰撞过程中能量是守恒的，即
h 0 m0c 2 h mc 2
由于碰撞过程动量守恒，得
2
h 0 2 h 2 h 0 h ( mu ) ( ) ( ) 2( )( ) cos c c c c 2 2 2 2 2 2 2 2 m u c h h 2 h 0 cos 或 0 2 2 mc h ( ) m c 将式 平方后减去上式，得 0 0 2 u 2 4 m 2c 4 (1 2 ) m0 c 2h2 0 (1 cos ) 2m0c 2 h( 0 ) c
4 m e 1 1 1 1 ~ e 2 3 ( 2 2 ) R( 2 2 ) 对应的波数为 kn c 8 0 h c k n k n 式中 me e 4 -1 R =1.097373 107 m R 2 3
kn
8 0 h c
此理论值与里德伯常量的实验值符合得很好。