大学物理 质心、动量
大学物理第4章-动量和角动量
与地面碰撞的时间为t
由动量定理得：
F
，重tt12心F下dt移了ps2
。
p1
ห้องสมุดไป่ตู้
F Mv0
t2 t1
t
t
设人落地后作匀减速运动到静止，则：
讨论
v v0 at ,v2 v02 2as
F Mv02 2s
v02 2gh
t 2s v0 h
F Mg s
设人从 2m 处跳下，重心下移 1cm，则：
称质心：质点系的质量中心)的概念。 N个质点组成的系统∶
• • •• • m1, m2 ,, mi ,, mN
y
m1 m2
• • •• 位矢分别为 • • • •• • •
•C
m3
mi
x
• • r1 , r2 ,..., ri ,..., rN
mN
• 质点系的动量为∶
p m1v1 m2v2 ... mN vN
F1
m1
: F1
f1
dp1 dt
f1 f2 0
f1
f2
F2
m1
m2
m2
: F2
f2
dp2 dt
F1
F2
d(
p1
dt
p2
)
n 个质点组成的质点系：
即：
F
外
dp dt
n
Fi
i 1
d dt
n i 1
pi
— 质点系的动力学方程
即∶质点系所受合外力等于系统总动量的变化率。
说明
内力可以改变一个质点的动量，但对系统总动量 的改变无贡献。
四、质点系的动量定理： 1、微分形式： 由
F
大学物理3-4质心 质心运动定理 动量守恒定律
1. 质心
Y
质点系（或物体） 的质量中心，简称 质心。
C
O
X
抛手榴弹的过程
质心运动反映了质点系的整体运动趋势。
质心
对于N个质点组成的质点系：
m1, m2,, mi ,mN M mi 系统总质量
r1, r2, , ri , rN
直角坐标系中 质心的定义：
F1
f12
f13
f1n
m2a2
m2
d v2 dt
F2
f21
f23
f2n
mnan
mn
d vn dt
Fn
fn1
fn2
fn3
fnn1
质心运动定理
对于内力 f12 f21 0,, fin fni 0,
ac
mi
ai miai mi
F
i
ac
Fi mi
Fi
M
质心运
条件 定律
vc
Fi
0
mivi
M
=常矢量
P
mi vi
Mvc
=常矢量
i
动量守恒定律
直角坐标系下的分量形式
m1v1x m2v2x mnvnx =常量 m1v1y m2v2 y mnvny=常量 m1v1z m2v2z mnvnz =常量
动量守恒定律
例题3-8 如图所示,设炮车以仰角 发射一炮弹，炮车
线分布 d m dl 面分布 d m d S 体分布 d m dV
质心
注意：
质心的位矢与参考系的选取有关。
刚体的质心相对自身的位置确定不变。
质量均匀的规则物体的质心在几何中心。
理论力学第十章质心运动定理动量定理习题
yOyO第十章 质心运动定理 动量定理 习题解[习题10-1] 船A 、B 的重量别离为kN 4.2及kN 3.1，两船原处于静止间距m 6。
设船B 上有一人，重N 500，使劲拉动船A ，使两船靠拢。
若不计水的阻力，求当两船靠拢在一路时，船B 移动的距离。
解：以船A 、B 及人组成的物体系统为质点 系。
因为质点系在水平方向不受力。
即：0=∑ixF，设B 船向左移动了S 米， 则A 船向右移动了6－S 米。
由质点系的动量定理得：t v m m v m B B A A x F 0])([＝－－人+0])([＝－人B B A A v m m v m + B B A A v m m v m )(人+= B B A A v m m v m )(人+=tsm m t s m B A)(6人+=- s m m s m B A )()6(人+=-s s )5.03.1()6(4.2+=-s s )5.03.1()6(4.2+=- s s 3)6(4=- )(43.3724m s ==[习题10-2] 电动机重1P ，放置在滑腻的水平面上，还有一匀质杆，长L 2，重2P ，一端与电动机机轴固结，并与机轴的轴线垂直，另一端则刚连一重3P 的物体，设机轴的角速度为ω（ω为常量），开始时杆处于铅垂位置而且系统静止。
试求电动机的水平运动。
rC 3C v →y解：以电动机、匀质杆和球组成的质点系为研究对象。
其受力与运动分析如图所示。
匀质杆作平面运动。
→→→+=1212C C C C v v v ωl v r C =212cos C x C v t l v -=ωω→→→+=1313C C C C v v v ωl v r C 23=13cos 2C x C v t l v -=ωω因为质点系在水平方向上不受力，所以0==∑ix x F F由动量定理得：t F v t l m v t l m v m x C C C =--+-+-0)]cos 2()cos ([111321ωωωω 00)]cos 2()cos ([111321=--+-+-C C C v t l m v t l m v m ωωωω 111132)cos 2()cos (C C C v m v t l m v t l m =-+-ωωωω 11113322cos 2cos C C C v m v m t l m v m t l m =-+-ωωωω 1)(cos 2cos 32132C v m m m t l m t l m ++=+ωωωωt m m m m m l v C ωωcos )(321321+++=At m m m m m l dtdx C ωωcos )(321321+++=tdt m m m m m l dx C ωωcos )(321321+++=tdt m m m m m l x C ωωcos )(321321⎰+++=)(cos )(321321t td m m m m m l x C ωω⎰+++=t m m m m m l x C ωsin )(321321+++=t P P P P P l x C ωsin )(321321+++=这就是电动机的水平运动方程。
大学物理角动量角动量守恒
二. 角动量定理
d L d (r p)
L
dt
d t dr
dp
pr
dt
dd tp
0r p
m
v m v r
所 d d L t 以 r F M d t（ F ------合力）
这里 令 M r F 先说一说它：
v 1 v 2 r v 1 r v 1 v 2 r v 1 r 0
r1 v1 v 1rv27.5 7 (.6 5 4 0. 28 00 )7 00k1m 3 近地点高度 h 1 r 1 R 70 61 4 6 3 0 k 10 m
r j fij
f ji m j
第 i 质点受到 的全部力
dLi dt
ri F i
ji
fi j
记将式作上中式iM 对外 d d d 质d L L t t 点i 系iM 内rii外 r 所i F 有M iF 质ii- -点n -i各求的 质和r 矢i点， 量所得j 和i受f 称i外j 为力矩
对 t1t2 时间过程,有
的微分形式 （对固定点）
t2 t1
Mdt
L2L1
---质点角动量定理 的积分形式（对固定点）
上式右边为质点角动量的增量 左边称为冲量矩（请对比质点动量定理）。
即“质点对固定点角动量的增量等于该质点 所受的合力的冲量矩”。
三、角动量守恒定律及其应用
当合外力矩 M0时， L=常矢量
1. 质点系的角动量定理也是适用于惯性系。
2. 外力矩和角动量都是相对于惯性系中的 同一固定点说的。
质心运动及质点系统中的动量与能量守恒
质心运动及质点系统中的动量与能量守恒质心运动和质点系统中的动量与能量守恒是物理学中非常重要的概念。
在研究物体的运动和相互作用时，这两个概念可以帮助我们更好地理解和描述物体的行为。
首先，我们来了解一下质心运动。
质心是指一个物体或系统的总质量在空间中的平均位置。
在不受外力作用的情况下，质心会保持静止或匀速直线运动。
这是因为根据牛顿第一定律，一个物体在没有外力作用下会保持其运动状态。
质心的运动可以通过质量和位置的加权平均来计算。
当一个物体或系统受到外力作用时，质心会发生加速度，但这个加速度是由外力和质量的乘积决定的。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用在物体上的力成正比，与物体的质量成反比。
因此，质心运动的加速度与外力无关，只与质量有关。
这意味着，无论物体受到多大的外力作用，质心的运动都不会改变。
接下来，让我们来讨论质点系统中的动量守恒。
动量是描述物体运动状态的物理量，定义为物体的质量乘以其速度。
在一个封闭的系统中，当没有外力作用时，系统的总动量保持不变。
这可以通过动量守恒定律来解释，即系统内部的相互作用力的合力为零。
当一个质点系统中的物体发生碰撞或相互作用时，动量可以在系统内部转移。
根据动量守恒定律，系统的总动量在碰撞或相互作用前后保持不变。
这意味着，如果一个物体的动量增加，那么其他物体的动量就会减少，以保持系统的总动量不变。
动量守恒定律在很多实际应用中都非常有用。
例如，在交通事故中，当两辆车相撞时，它们的总动量在碰撞前后保持不变。
这个原理可以帮助我们分析事故发生的原因和结果。
除了动量守恒，能量守恒也是质点系统中的重要概念。
能量是物体的运动和相互作用能力，可以分为动能和势能两种形式。
动能是由于物体的运动而具有的能量，与物体的质量和速度的平方成正比。
势能是由于物体的位置而具有的能量，与物体的质量和重力势能的高度成正比。
在一个封闭的系统中，当没有外力做功时，系统的总能量保持不变。
这可以通过能量守恒定律来解释，即系统的总能量在相互转化时保持恒定。
大学物理 第3章动量定理
(m2
m1)v2o m1 m2
2m1v1o
2v1o
vr1o
m2 m1
当m1>>m2时，且第二个 球静止，则碰后，第一个球 速度不变，而第二球以2倍 于第一个球的初速度运动。
第一篇 力学
2.完全非弹性碰撞 totally non-elastic collision
特点：机械能不守恒，动量守恒。碰撞
大
数
理 学
例如：两队运动员拔河，有的人说甲队力气大，乙队
院 力气小，所以甲队能获胜，这种说法是否正确?
赵 承 均
甲队
乙队
第一篇 力学
重
大
数
理
学 院
r
F1
r F2
赵 承
均 分析：
拔河时，甲队拉乙队的力，与乙队拉甲队的力是一对作用 力与反作用力，为系统的内力，不会改变系统总的动量。只 有运动员脚下的摩擦力才是系统外力，因此哪个队脚下的摩 擦力大，哪个队能获胜。所以拔河应选质量大的运动员，以 增加系统外力。
重
大 数
质点质量与速度的乘积，可以表征质点瞬时运动的量，称为动量。
理
rr
学 院
p mv
单位：千克·米/秒, kg·m/s
赵 承 均
由Newton第二定律，得：F
ma
m
dv
d (mv)
dp
dt dt
即：
F dt
这就是动量定理。
在经典力学范围内，m=constant，动量定理与F=ma等价，但在高 速运动情况下，只有动量定理成立。
杆跃过自由下落，运动员与地面的作用时间分别
为 1 秒和 0.1 秒，求地面对运动员的平均冲击力。
大学物理第2章-质点动力学基本定律
势能的绝对值没有意义，只关心势能的相对值。 势能是属于具有保守力相互作用的系统 计算势能时必须规定零势能参考点。但是势能差是一定的，与零点的选择无关。 如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你就不会不关心它。 一块石头放在地面你对它并不关心。
重力势能：以地面为势能零点
01
万有引力势能：以无限远处为势能零点
m
o
θ
设：t 时刻质点的位矢
质点的动量
运动质点相对于参考原点O的角动量定义为：
大小：
方向：右手螺旋定则判定
若质点作圆周运动，则对圆心的角动量：
质点对轴的角动量:
质点系的角动量:
设各质点对O点的位矢分别为
动量分别为
二.角动量定理
对质点:
---外力对参考点O 的力矩
力矩的大小：
力矩的方向:由右手螺旋关系确定
为质点系的动能，
令
---质点系的动能定理
讨论
内力和为零,内力功的和是否为零？
不一定为零
A
B
A
B
S
L
例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。
内力做功可以改变系统的总动能
例 用铁锤将一只铁钉击入木板内,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板之深度成正比,如果在击第一次时,能将钉击入木板内 1 cm, 再击第二次时（锤仍以第一次同样的速度击钉）,能击入多深？ 第一次的功 第二次的功 解：
（1）重力的功
重力做功仅取决于质点的始、末位置za和zb，与质点经过的具体路径无关。
（2） 万有引力的功
*
设质量M的质点固定，另一质量m的质点在M 的引力场中从a运动到b。
M
a
b
ch10-质心运动定理与动量定理
第十章 质心运动定理与动量定理思 考 题10-1 分析下列陈述是否正确：（１） 动量是一个瞬时的量，相应地，冲量也是一个瞬时的量。
（２） 将质量为m 的小球以速度向上抛，小球回落到地面时的速度为。
因与的大小相等，所以动量也相等。
1v 2v 1v 2v （３） 力F 在直角坐标轴上的投影为、、，作用时间从t ＝０到t ＝t x F y F z F １，其冲量的投影应是111,,t F I t F I t F I z z y y x x ===。
（４） 一物体受到大小为10 N 的常力F 作用，在t ＝3 s 的瞬时，该力的冲量的大小I = Ft = 30 N ·s。
10-2 当质点系中每一质点都作高速运动时，该系统的动量是否一定很大？为什么? 10-3 炮弹在空中飞行时，若不计空气阻力，则质心的轨迹为一抛物线。
炮弹在空中爆炸后，其质心轨迹是否改变?又当部分弹片落地后，其质心轨迹是否改变?为什么?10-4 质量为的楔块A 放在光滑水平面上。
质量为的杆BC 可沿铅直槽运动，其一端放在楔块A 上。
在思考题10-４附图所示瞬时，楔块的速度为，加速度为，求此时系统质心的速度及加速度。
1m 2m A v Aa思考题10-4附图 思考题10-5附图 10-5 质点系由三个质量均为m 的质点组成。
在初瞬时，这三个质点位于思考题10-5 附 0t 图所示位置，并分别具有初速度。
已知CO BO AO v v v ,,,235.1,200k j i v k v ++==B A i v 30=C 。
试 求此时质点系质心的位置及速度。
长度单位为m ，时间单位为s 。
6-6 试求思考题10-6附图所示各均质物体的动量，设各物体质量均为m 。
思考题10-6附图10-7 两个半径和质量相同的均质圆盘A,B ，放在光滑的水平面上，分别受到力 的作用，如思考题10-7附图所示，且B A F F ,B A F F =。
设两圆盘受力后自静止开始运动，在某一瞬时两圆盘的动量分别为。
大学物理-质心质心运动定律
当刚体绕定轴转动时，如果作用于刚体上的外力矩为零，则刚体的 角动量守恒。
角动量守恒应用
利用角动量守恒原理可以解决一些实际问题，如陀螺仪的工作原理、 天体运动中行星轨道的确定等。
角动量不守恒情况
当作用于刚体上的外力矩不为零时，刚体的角动量将发生变化。此时 需要根据外力矩的作用时间和大小来计算角动量的变化量。
适用范围和条件
01
适用范围：质心运动定律适用于任何由多个质点组成的系统，无论这 些质点之间是否存在相互作用力。
02
适用条件：质心运动定律的应用需要满足以下两个条件
03
质点系所受的外力可以视为作用于质心上的合力。
04
质点系内部的相互作用力对质心的运动没有影响，或者其影响可以忽 略不计。
质点系相对于质心参
角动量
描述刚体绕定轴转动时动量的大小 和方向，等于转动惯量与角速度的 乘积。
刚体绕定轴转动时质心位置变化规律
质心位置不变
刚体绕定轴转动时，其质 心位置保持不变，始终位 于转轴上。
质心速度为零
由于质心位于转轴上，因 此质心的速度为零。
质心加速度为零
由于质心速度为零，因此 质心的加速度也为零。
刚体绕定轴转动时角动量守恒原理
02
考系运动
质点系内各点相对于质心参考系位移
01
02
03
定义
质点系内各点相对于质心 的位置矢量称为相对位移。
性质
相对位移是描述质点系内 各点相对于质心位置变化 的物理量，具有矢量性。
计算方法
通过几何方法或解析方法 求出各点相对于质心的位 置矢量。
质点系内各点相对于质心参考系速度
定义
质点系内各点相对于质心的速度称为相对速度。
动量定理 质心运动定理
动量定理质心运动定理动量定理质心运动定理质点的动量定理可以表述为:质点动量的微分，等于作用于质点上力的元冲量。
用公式d(mv),Fdt表达为 (17-7)d(mv),Fdt (17-8)tptp2211设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，将(17-8)式积分，积分区tt21间为从到，得t2p,p,Fdt21,t 1 (17-9)t2Fdt,I,tttF211记，称为力在到时间间隔内的冲量。
式(17-9)为质点系动量定理的积分形式，它表明质点系在某时间间隔内的冲量的改变量，等于作用在质点系上的外力主矢在该时间间隔内的冲量。
(e)(i)MFFiii对于质点系而言，设为质点所受到的外力，为该质点所受到的质点系内力，根据牛顿第二定律得dv(e)(i)im,F，F(e)(i)iiima,F，Fdtiiii 即mi除了火箭运动等一些特殊情况，一般机械在运动中可以认为质量不变。
如果质点的质量不dmv()(e)(i)ii,F，Fiidt变，则有上式对质点系中任一点都成立，n个质点有n个这样的方程，把这n个方程两端相加，得ndm(v),iinn()()ei,1i,，FF,,iidt,1,1iinn(e)(i)FF,,iii,1i,1 质点系的内力总是成对地出现，内力的矢量和等于零。
上式中是质点dp(e),F(e)RFdtR系上外力的矢量和，即外力系的主矢，记作，则上式可写为(17-10)1这就是质点系动量定理的微分形式，它表明:质点系的动量对时间的导数等于作用在质点系上外力的矢量和。
(e)dp,Fdt 将式(17-10)写成微分形式 Rtptptt222111 设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，上式从到积分，得t2(e)p,p,Fdt21R,t,I1 (17-11)p,p0 当外力主矢为零时，由上式可推出质点系的动量是一常矢量，即这表明当作用在质点系上的外力的矢量和为零时，质点系的动量保持不变，这就是质点系的动量守恒定理。
4.4 质心 质心运动定理
大学物理 第三次修订本
17
第4章 冲量和动量
在第二级火箭燃料耗尽时, 火箭主体的 速度达到了v2 , 由公式得
v v0 uln
M0 M
v2 v1 uln N 2
在第三级火箭燃料耗尽时, 火箭主体最后 达到的速度为v, 应满足
M v [(M dM )(v dv) (dM )(v dv u )]
即
M dv udM 0
v
0
积分得 v
dv u
M
dM M
0
M0
v v 0 u(ln M ln M 0 ) 0 v v 0 u ln
M0 M
12
大学物理 第三次修订本
第4章 冲量和动量
16
第4章 冲量和动量
例3有一个三级火箭, 第一级火箭脱落前的质量 比为 N1 , 第二级火箭刚发动时火箭的质量与第 二级火箭燃料耗尽时火箭的质量之比为 N2 , 第 三级火箭刚点燃时火箭的质量与燃料耗尽时火 箭的质量之比为N3 。 若取N1 = N2 = N3 = 7.4；各级火箭的喷射速 度都为u =2.5kms-1。不计重力影响, 求该火箭最 后达到的速度。
第4章 冲量和动量
各级火箭中燃料烧完后, 火箭的速率为
v1 u ln N1
v2 v1 u ln N 2
v3 v2 u ln N 3
若火箭粒子流的喷射速率u=2.5kms-1，每 一级的质量比分别为N1=4, N2=3, N3=2, 可得: v3=7.93kms-1。
大学物理 第三次修订本
ri
rc
mi
大学物理 第三章 动量守恒定律和能量守恒定律 3-9 质心 质心运动定律
第五版
3-9 质心 -
质心运动定律
一 质心
1 质心的概念
板上C点的运动轨迹是抛物线 板上 点的运动轨迹是抛物线 其余点的运动=随 点的平动+绕 点的 点的平动 点的转动 其余点的运动 随C点的平动 绕C点的转动
第三章 动量守恒和能量守恒
1
物理学
第五版
3-9 质心 -
质心运动定律
2 质心的位置 由n个质点组成 个质点组成 的质点系， 的质点系，其质心 的位置： 的位置：
13
物理学
第五版
3-9 质心 n n v v v m'vC = ∑ mi vi = ∑ pi = p i =1 i =1
质心运动定律
求一阶导数， 再对时间 t 求一阶导数，得
质心加速度
dp v m'aC = dt v v dp ex 根据质点系动量定理 = Fi dt
第三章 动量守恒和能量守恒
}⇒
x2 = 2 xC
17
第三章 动量守恒和能量守恒
物理学
第五版
3-9 质心 -
质心运动定律
例4 用质心运动定律 y F 来讨论以下问题． 来讨论以下问题． 一长为l 一长为 、密度均匀的 y 柔软链条， 柔软链条，其单位长度的质 c yC 量为 λ ．将其卷成一堆放在 地面． 若手提链条的一端， 地面． 若手提链条的一端， o 以匀速v 将其上提．当一端 以匀速 将其上提． 被提离地面高度为 y 时，求手的提力． 求手的提力．
竖直方向作用于链条的合外力为 F − λyg
第三章 动量守恒和能量守恒
20
物理学
第五版
3-9 质心 -
质心运动定律
v 得到 F − yλg = lλ ⋅ l
4质心运动定理、动量守恒定律
2m 2 gh F′ = j t
= 3.8×10 j
2
(N) )
17
逆风行舟动量分析
18
三,动量守恒定律
如果系统所受的外力之和为零, 如果系统所受的外力之和为零,则系统的总动量保 持不变.这个结论叫做动量守恒定律 动量守恒定律. 持不变.这个结论叫做动量守恒定律. Fi = 0 结论 ∑mi vi = C 条件 ∑mivi = C 由质心运动定理: 由质心运动定理: Fi = MaC aC = 0 vC = C vC = M ∑ 明确几点 1.对于一个质点系,若合外力为 0,系统的总动量 对于一个质点系, , 对于一个质点系 保持不变,但系统内的动量可以相互转移. 保持不变,但系统内的动量可以相互转移.
dm = 2xσ dx
三角形质心坐标x 三角形质心坐标 c是
y
xc =
∫ xdm
m
∫ =
a/ 2
0
2σ x2dx
a
1 2 σ a 2
2 = a 3
O x dx
x
9
例
确定半径为R的均质半球的质心位置. 确定半径为 的均质半球的质心位置. 的均质半球的质心位置
解:建立如图所示坐标 已知薄圆盘的质心位于圆心, 已知薄圆盘的质心位于圆心,取 厚度为dy的薄圆盘为质量微元 的薄圆盘为质量微元. 厚度为 的薄圆盘为质量微元.
19
例
xC总 = 0
v车 m x车 x车 = = = M v人 x人 Li + x车
x人地 = x人车 + x车地
x 人 = Li + x 车
m x车 = Li m+M
20
作 业:
2-1 2-25 2-5 2-27
大学物理 动量守恒定律 质心运动定理
mi vi 2 mi vi1
i 1 i 1
质点间的作用力是相互的，满足牛顿第三定律
f ji 0
n n 1 i 1 j 1
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–3 动量 动量守恒定律 *质心运动定理
8
t2
t1
n n ( Fi外 )dt mi vi 2 mi v i1 n i 1 i 1 i 1
1 n zc m i z i m i 1
对质量连续分布的物体：
xdm xc m
说明
ydm yc m
zdm zc m
对密度均匀、形状对称的物体，其质心在 其几何中心．
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–3 动量 动量守恒定律 *质心运动定理
1
力的累积效应 一、质点的动量定理 动量
F (t ) 对 t 积累 p , I F 对 r 积累 W , E
p mv
动量为矢量，方向与速度的方向相同。 单位：
kg m / s
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
F ma d(mv) dp dv F a dt dt dt Fdt dp d (mv)
n 1 t2 t1 ( Fi外 f ji )dt i 1 j 1 n mi vi 2 mi vi1 n i 1
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–3 动量 动量守恒定律 *质心运动定理
7
t2
t1
n n 1 t2 ( Fi 外 )dt ( f ji )dt n i 1 t1 i 1 j 1 n n
3-2 质点系动量定理和质心运动定理
解：
dm = 2xσdx
a/ 2
y a
三角形质心坐标x 三角形质心坐标 c是
xc
∫ xdm = ∫ = ∫ dm ∫
0
a/
0
2 a = 2 3 2σxdx
2σx dx
2
O x dx
x
这个结果和熟知的三角形重心位置一致。 这个结果和熟知的三角形重心位置一致。
11
三、质心运动定理 右边: 右边:
r d 据质点系动量定理: 据质点系动量定理 ∑ F = (∑m v ).
质点系动量定理：在一段时间内， 质点系动量定理：在一段时间内，作用于质点系的 外力矢量和的冲量等于质点系动量的增量. 外力矢量和的冲量等于质点系动量的增量
1
v d n v 微分形式） Fi = (∑mivi ) （微分形式） ∑ dt i=1 i=1
n
其分量式
Fixdt = ∑mi vix − ∑mi vi 0x ∫t0 ∑ t ∫t0 ∑Fiydt = ∑miviy − ∑mivi0 y t Fizdt = ∑mi viz − ∑mi vi 0z ∫t0 ∑
z
dm ( x , y , z )
体分布 面分布 线分布
dm = ρdV
r r
x o
M
dm = σdS dm = λdl
y
dm ρ= dτ dm σ= ds dm λ= dl
dm：宏观小，微观大 宏观小，
xc =
r rc =
∫ ∫
xdm M ydm M
注意： 注意：
1.质心的坐标值与坐标系的选取有关； 2.质量分布均匀、形状对称的实物，质 心位于其几何中心处； 3.不太大的实物，质心与重心相重合。
动量定理 质心运动定理
动量定理 质心运动定理质点的动量定理可以表述为：质点动量的微分，等于作用于质点上力的元冲量。
用公式表达为 Fv =)(m dt d（17-7）dt m d F v =)( （17-8）设1t 时刻质点系的动量为1p ，2t 时刻质点系的动量为2p ，将（17-8）式积分，积分区间为从1t 到2t ，得⎰=-2112t t dtF p p （17-9）记IF =⎰21t t dt ，称为力F 在1t 到2t 时间间隔内的冲量。
式（17-9）为质点系动量定理的积分形式，它表明质点系在某时间间隔内的冲量的改变量，等于作用在质点系上的外力主矢在该时间间隔内的冲量。
对于质点系而言，设)(e i F 为质点i M 所受到的外力，)(i i F 为该质点所受到的质点系内力，根据牛顿第二定律得)(i i (e)ii i m F F a += 即)()(i i e i iidt d m F F v +=除了火箭运动等一些特殊情况，一般机械在运动中可以认为质量不变。
如果质点的质量i m 不变，则有 )()()(i i e i i i dt m d F F v +=上式对质点系中任一点都成立，n 个质点有n 个这样的方程，把这n 个方程两端相加，得∑∑∑===+=ni i i ni e ini i i dtm d 1)(1)(1)(F F v质点系的内力总是成对地出现，内力的矢量和∑=ni i iF1)(等于零。
上式中∑=ni e iF1)(是质点系上外力的矢量和，即外力系的主矢，记作)(e RF ，则上式可写为)(e R dt d F p= （17-10）这就是质点系动量定理的微分形式，它表明：质点系的动量对时间的导数等于作用在质点系上外力的矢量和。
将式（17-10）写成微分形式dt d e R )(F p =设1t 时刻质点系的动量为1p ，2t 时刻质点系的动量为2p ，上式从1t 到2t 积分，得⎰=-21)(12t t e R dtF p p I =（17-11）当外力主矢为零时，由上式可推出质点系的动量是一常矢量，即0p p =这表明当作用在质点系上的外力的矢量和为零时，质点系的动量保持不变，这就是质点系的动量守恒定理。
大学物理-质心 质心运动定律
3-9 质心 质点 系内
质心运动定律
v in ∑ Fi = 0
n i =1
v ex F
v dvC v = m′ = m′aC dt
质心运动定律:作用在系统上的合外力等于系统 质心运动定律 作用在系统上的合外力等于系统 的总质量乘以质心的加速度. 的总质量乘以质心的加速度 The law of motion of center of mass: The combined external force on the system is equal to the total mass of the system times the acceleration of the center of mass
第三章 动量守恒和能量守恒
8/12
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律 设有一质量为2m的弹丸 从地面斜抛出去,它 的弹丸,从地面斜抛出去 例3 设有一质量为 的弹丸 从地面斜抛出去 它 飞行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片,其中一个 飞行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片 其中一个 竖直自由下落,另一个水平抛出 它们同时落地.问第二个 另一个水平抛出,它们同时落地 竖直自由下落 另一个水平抛出 它们同时落地 问第二个 碎片落地点在何处? 碎片落地点在何处 选弹丸为一系统,爆 解:选弹丸为一系统 爆 选弹丸为一系统 炸前、 炸前、后质心运动轨迹 2m m m C 不变.建立图示坐标系 建立图示坐标系. 不变 建立图示坐标系 xC x O xC
解： C x
∑m x = ∑m
i =1 i
n
i i
mHd sin37.7o + mO × 0 + mHd sin37.7o = mH + mO + mH
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解：
T 0 T v0
M
m
Mg v mg v
m
( T Mg )Δ t =M v 0
M
h
( T mg )Δ t = mv ( mv0)
三、质点系的动量定理
F1
1. 推导
Σ
Σ t2
t1
Fi 外
dt
t2 t1
Fi 内
dt
F2
F21 F12
2
1
F13 F31
F23 F32 3
且（d + r）< R 。
求：挖掉小圆盘后，该系统的质心坐标y。
解：由对称性分析，
质心C应在 x 轴上。
R
用挖补法
1.先将挖去的部分补上 计算总的质心位置
xC总 0
C
x·c O
O′
x
r
d
2. 再计算挖去的部分的质心位置
xC挖 d
y
m总xC总 m挖 xC挖
m剩 xC剩
R
C
x·c O
O′
r
x
3. 则剩余部分的质心位置 d
[ 例1 ] 质量为一吨的蒸汽锤自1.5m高的地方落 下，它与工件的碰撞时间为τ =0.01s,
求：打击的平均冲力。
(N mg )τ = 0 ( m v0 )
v0 2gh
m 2gh
N
mg
显然，越小，N越大
mN v0
hm
m
0
工件 mg
[ 例2 ] 已知 M，m，h，绳子拉紧瞬间绳子 与m ,M 之间的相互作用时间为Δt。
xC
0 d r2 R2 r2
d
R / r2
1
三、质心运动定律
质点系的运动可用全部质量集中在质心的质点来描述
1.推导
N
P i 1
质点系总动量
i
N
mivi
i 1
N i 1
midri
dt
d
N
mi
ri
i 1
dt
d (mrc )
dt
m drc
dt
mvc
质点系总动量
第二章 运动的守恒量和守恒定律
2 - 1 质心 质心运动定理
一、质点系的内力和外力
内力总是成对出现，矢量和为零
质点系的合力：
F2
F21 F12
2
F1
1
F13 F31
F F外 F内 F外
F23 F32 3
F3
二、质心
N个粒子系统（质点系），
mi ri
1.定义 质量中心
z mi
rc C ri
x
F
dP
dt
p mvc
F mac
2.内容
质点系质心的运动决定于质点系合外力
若 F合外力 0 ，
则 vc (Pc ) 不变
即系统内力不会影响质心的运动
如抛掷的物体、 跳水的运动员、 爆炸的焰火等
例：水平桌面上拉动纸，纸张上有一均匀球， 球的质量M，纸被拉动时与球的摩擦力为 F， 求：t 秒后球相对桌面移动多少距离？
Fi外dt
mivi2
mivi1
若 Fi外 0 即外力矢量和为零
则：
mivi C
2. 动量守恒定律
1)内容：质点系所受合外力为零时，质 点系总动量保持不变
------ 动量守恒定律
2)说明：
(1). 守恒条件必须是
F合外力 0
而非
t
0 F合外力dt 0
(2). 常用分量守恒
若 Fx 0 则 px p0x
t2 Fdt t1
v2 d (mv )
v1
mv2 mv1
t2 t1
Fx dt
mv2 x
mv1x
t2 t1
Fy dt
mv2 y
mv1y
2.平均冲力 ：
t2 t1
Fx dt
Fx
t2 t1
Fx
Fx 0 t1
t2
t
用平均冲力表示的动量原理为：
Fx t2 t1 mv2x mv1x
(3). 只适用于惯性系
(4). 动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本
例，已知: m，M， = 0，
车速 v0 及人对车的速度 u 求：人跳离瞬时车速 v
(m M )v0 Mv m(v u)
v
v0
mu mM
u
v0
选 m+M 质点系
=0
作业
1.32,1.33,2.3,2.25,2.27
3) 对于确定的质点系,质心位置是唯一确定的
例：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。
y
（x1，y1）
o
x2 x
N
mi xi
xc
i 1
m
1.质心公式 2.求质心
xc
mx1 mx2 3m
x1 x2 3
yc
my1 3m
y1 3
[例] 如图示，从半径为R的均质圆盘上挖掉一块
半径为r的小圆盘，两圆盘中心O和O′相距为d，
N
rc
mi ri
i 1 N
mi
N
mi ri
i 1
m
i 1
N
mi xi
y
xc
i 1
m
2.质量连续分布的物质
N
rc
mi ri
i 1 N
mi
rdm m
i 1
z
r
xO
dm
×C
rC m
y
xdm
ydm
zdm
xc m
yc m
zc m
3. 质心的计算 1) 均匀的杆、圆盘、圆环和球的质心 —— 几何中心 2) 小线度物体质心和重心是重合的
y
o N F mg
解： 质心运动定理
F Mac
F
x
ac M
xc
1 2
act 2
1 2
F M
t2
答：沿拉动纸的方向移动 1 F t 2 2M
2 - 2 动量定理 动量守恒定律
一、基本概念 1. 动量
p mv
2. 冲量 过程中力的积累
1) 常力的冲量
F2Δ t 2
I Ft
F1Δ t 1
FiΔ t i FnΔ tn
Σ mivi2 Σ mivi1
F3
t2 t1
Fi外dt
mivi2 mivi1
质点系的动量定理
2、内容:
t2 t1
Fi外dt
mivi2
mivi1
1）内力冲量和为零，内力不改变系统的总动量
2） 任意情况下，
( f f ')t o
三、动量守恒定律
1. 推导
t2 t1
力对时间的积累
I
2) 变力的冲量
I Fiti
3) 当力连续变化时
I t2 Fdt t1
Fx
Ix
t2 t1
Fx dt
+
I y
t2 t1
Fy dt
0 t1
t2
t
冲量的几何意义：冲量 Ix 在数值上等于
Fx ~ t 图线与坐标轴所围的面积。
二、动量定理
1.推导 F m dv d (mv) dt dt