三垂线定理教案
三垂线定理()教案 新人教A版必修
实用文档 精心整理1课题：2.2.3.6三垂线定理（2）课 型：新授课一、课题：三垂线定理（2）二、教学目标：1．进一步明确三垂线定理及逆定理的内容；2．能在新的情景中正确识别定理中的“三垂线”，并能正确应用．三、教学重、难点：三垂线定理的应用。
四、教学过程： （一）复习：1．三垂线定理及其逆定理的内容； 2．练习：已知：在正方体中，求证：（1）；（2）． （二）新课讲解：例1．点为所在平面外的一点，点为点在平面内的射影，若，求证：．证明：连结， ∵，且 ∴（三垂线定理逆定理） 同理，∴为的垂心， ∴， 又∵， ∴（三垂线定理）【练习】：所在平面外的一点在平面内的射影为的垂心，求证：点在内的射影是的垂心．例2．已知：四面体中，是锐角三角形，是点在面上的射影，求证：不可能是的垂心．1AC 111BD AC ⊥11BD B C ⊥A BCD ∆O A BCD ,AC BD AD BC ⊥⊥AB CD ⊥,,OB OC OD AO BCD ⊥平面AC BD ⊥BD OC ⊥OD BC ⊥O ABC ∆OB CD ⊥AO BCD ⊥平面AB CD ⊥BCD ∆A BCD O BCD ∆B ACD ∆P ACD ∆S ABC -,SA ABC ABC ⊥∆平面H A SBC H SBC ∆DCBAD 1C 1B 1A 1O DCBA实用文档精心整理 2 证明：假设是的垂心，连结，则，∵∴是在平面内的射影，∴（三垂线定理）又∵，是在平面内的射影∴（三垂线定理的逆定理）∴是直角三角形，此与“是锐角三角形”矛盾∴假设不成立，所以，不可能是的垂心．例3．已知：如图，在正方体中，是的中点，是的交点，求证：．证明：，是在面上的射影又∵，∴取中点，连结，∵，∴为在面上的射影，又∵正方形中，分别为的中点，∴，∴（三垂线定理）又∵，∴．五、课堂小结：三垂线定理及其逆定理的应用．六、作业：1．已知是所在平面外一点，两两垂直，是的垂心，求证：平面．2．已知是所在平面外一点，两两垂直，H SBC∆BH BH SC⊥BH SBC⊥平面BH AB SBCSC AB⊥SA ABC⊥平面AC SC ABCAB AC⊥ABC∆ABC∆H SBC∆1111ABCD A B C D-E1CCF,AC BD1A F BED⊥平面1AA ABCD⊥平面AF1A F ABCDAC BD⊥1A F BD⊥BC G1,FG B G111111,A B BCC B FG BCC B⊥⊥平面平面,B G1A F11BCC B11BCC B,E G1,CC BC1BE B G⊥1A F BE⊥EB BD B=1A F BED⊥平面P ABC∆,,PA PB PC H ABC∆PH⊥ABCP ABC∆,,PA PB PCHCSBAGFED CBAD1C1B1A1。
三垂线定理教学设计
三垂线定理教学设计教学目标：1.掌握垂线的概念和性质。
2.理解三角形的三垂线及其关系。
3.学会运用三垂线定理解决相关问题。
教学重点：1.掌握三垂线的定义和性质。
2.理解三垂线定理的内容和证明过程。
教学难点：1.运用三垂线定理解决相关问题。
2.理解三垂线定理的证明过程。
教学准备：1. PowerPoint课件。
2.教学黑板、粉笔、橡皮等。
教学过程：一、导入（5分钟）1.引导学生回忆并复习垂线的概念和性质。
2.让学生讲解垂线的相关知识，对学生的回答逐一给予肯定和指导。
二、新知讲解（25分钟）1.展示幻灯片，讲解三垂线的概念和性质。
a.什么是三垂线？它们有哪些特征？b.三角形的三垂线有哪些重要性质？c.三垂线交于一点，该点叫什么名字？在三角形中的作用是什么？d.三垂线定理是什么？如何解释这个定理？2.通过具体实例演示三垂线定理的应用。
a.展示一个三角形，绘制三条垂线。
b.引导学生发现三垂线交于一点的特点。
c.解释三垂线交于一点的意义和作用。
三、练习与讨论（30分钟）1.分发练习册，让学生在课堂上独立完成相关练习。
2.提供一些思考问题，引导学生深入思考三垂线的相关性质和定理。
四、课堂展示（20分钟）1.随机抽几位同学上台展示他们的练习，并请他们解答一些问题。
2.学生之间互相评价，给出肯定和提出改进意见。
五、概念总结（10分钟）1.对本节课的内容进行总结，强调三垂线定理的重要性和应用价值。
2.确认学生是否达到了本节课的学习目标。
六、拓展延伸（10分钟）1.提供更复杂的问题，让学生思考如何应用三垂线定理解决。
2.引导学生思考三垂线定理的证明过程，并提供相关的参考材料。
七、课堂小结（5分钟）1.概括本节课的内容和要点。
2.引导学生对今天的学习进行反思，列出自己的问题和困惑。
八、课后作业：1.让学生继续完成练习册的相关题目。
2.要求学生思考三垂线定理的证明过程，并撰写一篇小论文。
三垂线定理教案
三垂线定理教案数统院2012级刘林玲一、素质教育目标（一）知识与技能目标：1、理解三垂线定理的证明，准确把握“空间三线”垂直关系的实质。
2、领会应用三垂线定理解题的一般步骤，初步学会应用定理解决相关问题。
（二）过程与方法目标：1、通过讨论空间直线与平面内直线垂直的问题让学生做好知识的铺垫和图形的准备。
2、通过搭建实物模型操作的方法来表示平面的斜线在平面内有垂线，直观引导学生进一步思考，从而发现定理。
（三）情感、态度、价值观目标：1、通过教学进一步培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力,分析和论证问题的能力。
2、进行辨证唯物主义思想教育，提高学生学习数学的积极性。
二、教学内容：本节课的主要内容是三垂线定理的引出、证明和初步应用。
三、教学重点、难点及解决方法1．教学重点：领会三垂线定理的实质，正确认识“空间三线”的垂直关系；同时掌握“线面垂直法”研究空间直线关系的思想方法。
2、教学难点：准确把握“空间三线”垂直关系的实质，掌握应用三垂线定理的一般步骤。
3、解决方法：本节课的定理，涉及的直线较多，学生在认识和理解上都会存在困难，为了加深印象并说明复杂的直线位置关系，可以采用一些教具，不如三角板和铅笔，按照教师的要求摆放．在学生感性认识的基础上，进行理性的证明和记忆，有助于定理的掌握．四、教学材料：多媒体课件、直角三角板。
五、教学步骤（一）温故知新，引入课题师：我们已经学习了直线和平面的垂直关系，学新课之前，让我们作个简单的回顾：1．直线和平面垂直的定义？答：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，则称直线与平面垂直2．直线和平面垂直的判定定理．答：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面3．什么叫做平面的斜线、斜线在平面上的射影？答：如果一条直线l与平面相交于一点O，但又不垂直于这个平面，则称这条直线为这个平面的斜线，这个交点称为斜足。
过斜线上不属于平面的一点P，做该平面的垂线，垂足为A，则OA所在直线即为该斜线在这个平面内的射影。
三垂线定理教案
三垂线定理教案【课题】三垂线定理【教学目标】根据教学大纲的要求、本节课的特点和学生对空间图形的认知特点，本节课的教学目的确定如下：知识目标：理解并掌握三垂线定理及其证明，准确把握几个垂直关系的实质，初步学会应用三垂线定理解决相关问题。
能力目标：通过对三垂线定理的探索过程，进一步渗透立体几何证明中的转化思想，具体体现在线线垂直与线面垂直的辨证关系上：线⊥线判定线⊥面性质线⊥线情感目标：通过数学严密的逻辑推理教学，使学生感受数学的严谨性，体会数学的美。
【教学重点、难点】重点：三垂线定理的理解和应用。
难点：正确做出或找出射影，熟练掌握并运用三垂线定理【教学方法】讲授法【教学工具】三角板，多媒体。
本节课内容较多，又涉及到很多的空间图形，所以采用多媒体课件来教学有助于降低学生学习的难度，提高课堂学习效率，还准备一把三角尺，建立三垂线定理中几条直线的模型，帮助理解三垂线定理的实质。
【教学过程】（一）复习提问：1、线⊥线判定线⊥面性质线⊥线2、何为平面的斜线、何为斜线在平面上的射影？（二）新课讲授：练习：已知PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α上的射影. a ⊂α,a ⊥AO 。
求证a ⊥PO三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它就与这条斜线垂直。
（垂影则垂斜） 分析定理中的3个垂直关系： 1、PA ⊥α （线面垂直） 2、a ⊥AO （线影垂直） 3、a ⊥PO （线斜垂直） 分析定理中的4条直线：PA —垂线 PO —斜线 AO —射影 a —平面内的直线（三）定理应用例1、已知P 是平面ABC 外一点，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC,求证：PC ⊥BC (例1) (练习1) （选择这道例题的主要目的是直接应用定理）练习1：已知：PA ⊥正方形ABCD 所在平面，O 为对角线BD 的中点。
求证：PO ⊥BD, PC ⊥BD练习2：已知: PA ⊥平面PBC ，M 是BC 的中点 ，且PB=PC 求证： BC ⊥ AM（练习题设计意图：深化对定理的理解） Aα aOPP A BC P A B CD OP A PAC例2、在正方体AC 1中，求证 ：A 1C ⊥BD ， A 1C ⊥BC 1（例题设计意图：培养学生在变换位置的形式下应用三垂线定理的能力）小结运用三垂线定理证明的一般步骤：一定（定平面）二找（ 找平面的垂线、斜线及其射影） 三证（证平面内一直线与斜线垂直）（ 解题回顾设计意图帮助学生理顺解题思路）练习3：填空：如图，ABCD 是矩形，PA ⊥平面AC,连接PB 、PC 、PD 。
三垂线定理示范课教案
三垂线定理示范课教案一、教学目标知识与技能：1. 让学生理解三垂线定理的内容及其实际应用。
2. 学会使用三垂线定理解决几何问题。
过程与方法：1. 通过观察模型，引导学生发现三垂线定理的规律。
2. 培养学生运用几何推理和证明的能力。
情感态度价值观：1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心。
2. 培养学生勇于探索、合作学习的良好习惯。
二、教学重点与难点重点：三垂线定理的内容及其应用。
难点：三垂线定理的证明和运用。
三、教学准备教具：三角板、直尺、圆规、模型等。
学具：笔记本、笔、三角板、直尺等。
四、教学过程1. 导入：通过一个实际问题，引发学生对三垂线定理的思考。
2. 新课讲解：（1）引导学生观察模型，发现三垂线定理的规律。
（2）讲解三垂线定理的内容，让学生理解并掌握。
（3）举例说明三垂线定理的应用，让学生学会运用。
3. 课堂练习：（1）让学生独立完成一些有关三垂线定理的练习题。
（2）引导学生相互讨论，共同解决问题。
五、课后作业1. 完成课后练习题，巩固三垂线定理的知识。
2. 选取一道有关三垂线定理的综合题，进行深入研究和思考。
3. 准备下一节课的相关内容。
六、教学评估1. 课堂练习环节，观察学生对三垂线定理的理解和运用情况。
2. 课后作业的完成情况，了解学生对课堂所学知识的掌握程度。
3. 对学生进行访谈，了解他们对三垂线定理的理解和兴趣。
七、教学反思课后，教师应反思本节课的教学效果，包括：1. 学生对三垂线定理的理解和掌握程度。
2. 教学方法和教学内容的适用性。
3. 学生的参与度和积极性。
八、拓展与延伸1. 引导学生探索三垂线定理在实际生活中的应用。
2. 介绍与三垂线定理相关的数学历史故事，激发学生的兴趣。
3. 鼓励学生参加数学竞赛或研究项目，提高他们的数学能力。
九、教学评价1. 学生对该节课的理解和兴趣。
2. 学生对三垂线定理的掌握程度。
3. 学生参与课堂活动和合作学习的情况。
十、教学计划本节课的教学计划如下：1. 导入：10分钟2. 新课讲解：20分钟3. 课堂练习：15分钟4. 课堂小结：5分钟5. 课后作业布置：5分钟教师应根据实际情况灵活调整教学计划，确保教学目标的实现。
《三垂线定理》教案
《三垂线定理》教案基本问题: 三垂线定理及逆定理内容是什么单元问题: 如何运用三垂线定理和逆定理解题内容问题: 运用三垂线定理及逆定理有哪些要素课程标准（本单元所针对的课程标准或内容大纲）：三垂线定理及其逆定理是现行立体几何教材中的两个十分重要的定理 .前者实际上是平面内一条直线和平面的一条斜线垂直的判定定理 ,后者实际上是平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直的性质定理 .这两个定理的实质是 :平面内的一条直线与平面的斜线及其在平面内的射影垂直的关系。
一、教学目标：立足学生现状，结合教学大纲，制定以下教学目标：1、知识与技能1）熟练掌握三垂线定理及其逆定理的内容，并会证明。
2）会运用定理解简单题。
3）培养学生的识图能力及空间想象力，提高对知识的应用能力。
4）通过探索过程，进一步渗透立体几何证明中的转化思想，提高学生的多向思维能力。
2、过程与方法自主合作探究，指导法、讲练结合法3、情感态度价值观通过数学严密的逻辑推理教学使学生感受到数学的严谨性，体会数学美。
二、教学重难点：重点：熟练掌握并区分三垂线定理及其逆定理内容。
难点：真正弄清定理中复杂的线线关系。
三、教学用具：电脑、大屏幕、实物投影仪四、教学过程：（一）复习提问：我先用电脑结合大屏幕依次提出如下问题：（二）讲授新课1、三垂线定理的证明及简单应用。
1）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。
（首先，通过问答法由学生说出命题的已知、求证，然后让学生思考证明过程，接着让学生互说证明过程，最后请一名同学讲出证明过程。
）已知：P A、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α上的射影。
a在平面α内，a⊥AO。
求证：a⊥PO命题正确得出这便是三垂线定理。
2)分析定理：①定理中元素：一面四线三垂直一面——平面α（基础平面）四线——PA(α的垂线)，PO（斜线），AO（射影），a(α内的直线)三垂直——PO⊥a ，A0⊥a ，PA⊥a (故称三垂线定理)，由一垂、二垂得出第三垂，并不是三垂都作为已知条件。
三垂线定理教案
三垂线定理（人教版）一、设计理念本教学设计以师生互动教学为指导，以信息技术融入学科教学为手段，以课堂为依托来实现教学目标。
在教学过程中，注意与学生所学数据知识的衔接，突出三垂线定理的思想，强调三垂线定理的应用。
人人学习有价值的数学。
二、教材分析“三垂线定理”是在研究了空间直线和平面直线关系的基础上来研究空间两条直线垂直关系的一个重要定理。
它既是线面垂直关系的一个应用，又为后续学习奠定了基础，同时这节课也是培养学生空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新精神能力都有重要意义。
三、学情分析对处于该学习阶段的学生来说，空间观念才初步形成，学生在认识和理解的上都会存在困难，为了加深印象并说。
明复杂的直线位置关系，可以采用一些教具，或者让学生通过亲自动手操作，提高感性认识，进行理性的证明和记忆，有助于定理的掌握。
领会定理实质的关键是要认识到平面内一条直线与斜线及其在平面内的射影确定的平面垂直；应用定理的关键是要找到平面的垂线，射影就可以由垂足与斜足确定，问题便会迎刃而解。
四、教学目标1. 知识与技能1)理解、掌握三垂线定理及其逆定理的内容，并能从口头上和书面上作出正确的表达。
2)掌握运用三垂线定理或逆定理解决数学问题。
2. 过程与方法通过探索三垂线定理及其证明，培养学生观察问题，发现问题的能力和空间想象能力，培养学生空间计算能力和逻辑思维能力。
3. 情感态度与价值观激发学生学习兴趣，激发学生不断发现、探索新知的精神；渗透知识相互转化理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过图形的立体美、对称美，培养学生的审美意识。
五、教学重、难点重点：启发学生去发现三垂线定理,证明三垂线定理,正确运用三垂线定理及其逆定理去解决实际问题。
难点：理解三垂线定理及其逆定理的本质,掌握运用两个定理证题的一般思路和步骤。
真正弄清定理中复杂的线线关系。
六、教学方法与手段以老师的讲授法、学生的讨论法和师生之间的问答法相结合。
三垂线定理示范课教案
三垂线定理示范课教案一、教学目标1. 让学生理解三垂线定理的概念和意义。
2. 引导学生掌握三垂线定理的证明过程。
3. 培养学生运用三垂线定理解决几何问题的能力。
二、教学内容1. 三垂线定理的定义及表述。
2. 三垂线定理的证明过程。
3. 三垂线定理在几何问题中的应用实例。
三、教学重点与难点1. 教学重点：三垂线定理的概念、证明及应用。
2. 教学难点：三垂线定理的证明过程和灵活运用。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解三垂线定理的概念和证明过程。
2. 利用几何画板或实物模型，直观展示三垂线定理的应用。
3. 设计练习题，巩固学生对三垂线定理的掌握。
五、教学过程1. 导入新课：回顾线段垂直的性质，引出三垂线定理的概念。
2. 讲解三垂线定理：（1）给出三垂线定理的定义及表述。
（2）详细讲解三垂线定理的证明过程，引导学生理解并掌握定理。
3. 应用实例：（1）利用几何画板或实物模型，展示三垂线定理的应用实例。
（2）引导学生分析实例，巩固对三垂线定理的理解。
4. 课堂练习：（1）设计练习题，让学生独立完成。
（2）解答学生疑问，指导学生正确运用三垂线定理。
5. 总结与拓展：（1）对本节课内容进行总结，强调三垂线定理的重要性和应用价值。
（2）提出拓展问题，激发学生进一步学习的兴趣。
6. 课后作业：布置相关作业，巩固所学内容。
六、教学评价1. 评价目标：检查学生对三垂线定理的理解和应用能力。
2. 评价方法：课堂练习的正确率。
学生对练习题的解答过程和思路。
学生参与讨论和提问的积极性。
七、教学资源1. 教学课件：用于展示三垂线定理的定义、证明过程和应用实例。
2. 几何画板或实物模型：用于直观展示三垂线定理的应用。
3. 练习题：用于巩固学生对三垂线定理的理解和应用。
八、教学进度安排1. 课时：本节课计划2课时，每课时40分钟。
2. 教学进度：第一课时：介绍三垂线定理的定义和证明过程。
第二课时：应用实例展示和课堂练习。
三垂线定理教学设计
组长批改并汇报小组内解答情况。
教师巡视、点评、解疑。
投射答案
2、（2010年）如图S-ABC中， 为正三角形，S在平面ABC内的射影O在 的平分线CD上。求证： ；
3．（2012年）如图，在长方体 中，
， ．
（1）证明：当点 在棱 上
移动时， ；
课后巩固
（1）巩固练习卷一份
学生回忆、交流关键知识点
适时点评学生完成情况
评点高考信息
生边说师边呈现解题过程，强调规范解题过程。
教师巡视辅导，纠错，归纳，总结。
教师补充、完善。
投影正确
答案
投影展示
投影展示
投影呈现
任务五：
考一考
1、（2009）如图，在正三棱柱C-A1B1C1中，侧棱和底面边长都是2，D是AC的中点。
（1）求证： ⊥A1D；
高考要求和考点分析
1.空间四边形ABCD中，AB⊥CD,BC⊥AD,求证：AC⊥BD.
C
A
B
D
O
2.如图：正方体ABCD- 中，连接B , , ,
A
D
B
C
求证B ⊥平面A
（1）知识内容（2）思想方法
（3）应用步骤（4）注意
学生回答
观察、分析、了解重点内容
小组讨论，学生分析解题，其余学生补充完善。
小组合作完成，一学生上黑板完成。
（2）整理线线垂直证明题，做比较归纳。
学生课后完成
教师批改一下，并下一节课评讲。
教学重点：掌握并正确表达定理得内容。
教学难点：构建运用定理的条件证空间两直线垂直。
教学设计：
教学结构
教学内容
学习内容
9.4.4三垂线定理1
9.4.4三垂线定理1 班级 学号 姓名一、课堂目标：（1）掌握三垂线定理和逆定理；（2）会用三垂线定理和逆定理证明直线与直线垂直。
二、要点回顾：1. 三垂线定理： （文字）， （符号语言）；2．三垂线定理的逆定理： （文字）， （符号语言）。
3．三垂线定理和三垂线定理逆定理中含一个面，四条直线（垂线、斜线、平面内一条直线、斜线在平面内的射影），三个垂直。
4．应用三垂线定理和三垂线定理逆定理证明的思路：一垂（找平面及平面的垂线）、二射（找射影或斜线）、三证（证明射影或斜线与片面内直线垂直）。
三、目标训练1．在下列命题中，为真命题的共有 （ ） ①如果一条直线和一条斜线在这个平面内的射影垂直，则这条直线和这个平面垂直； ②如果一条直线和一条斜线垂直，那么这条直线和斜线在这个平面内的射影垂直；③如果一条直线和一条斜线垂直，也和这条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线在平面内或者和平面平行。
A.0个B. 1个C.2个D. 3个2．已知直线a 是平面α的斜线，直线'a 是a 在平面α内的射影。
若α⊂b ，则a b ⊥是'a b ⊥的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件 3．在ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，⊥PA 平面ABC ，8=PA ，则P 到BC 的距离等于（ ）A.5B.52C. 53D. 544．P 是矩形ABCD 所在平面外一点，且⊥PA 平面ABCD ，那么以P 、A 、B 、C 、D 五个点中的三个点为顶点的直角三角形的个数是 个。
5．在四面体ABCD 中，已知BD AC CD AB ⊥⊥,。
求证：BC AD ⊥6、如图，P 是ABC ∆所在平面外一点，且⊥PA 平面ABC ，若Q O ,分别是ABC ∆和PBC ∆的垂心，求证：⊥OQ 平面PBC7、已知⊥PA 正六边形ABCDEF 所长在的平面，且b AB a PA ==,，求点P 到边CD BC ,的距离。
三垂线定理教案
三垂线定理教案【课题】三垂线定理【教学类型】新知课【教学目的】1.掌握射影的概念，并能做出一点或一个图形的射影。
2.掌握三垂线定理，并能熟练运用。
3.进一步提高学生的做图能力，培养学生的数形结合的数学素养。
【教学方法】讲授法【教学重点、难点】重点：三垂线定理的理解和应用。
难点：正确做出或找出射影，熟练掌握并运用三垂线定理【教学工具】三角板，多媒体【教学过程】（复习）1.提问：一直线垂直于一平面的定义。
2.上节课学了一个判断直线与平面相互垂直的定理，试复述一下。
3.过上点可以有两条直线和已知平面相互垂直吗？（讲解新课）大家现在学习很辛苦吧？每天晚上回家都要披星戴月，还有路灯陪着你们。
还有一个每天晚上都会陪伴你们的东西，大家知道是什么吗？不错，就是影子。
大家都学过物理，相信对影子的形成也很清楚了，它是光的直线传播造成的。
在物理课中，光可以从各个方向射过来，我们今天来研究一个特殊的方向——垂直照射。
大家看我手中的三角板（将三角板一个角接触桌面，使其与桌面斜交）如果有一束光与桌面垂直，从上边直射下来，这个三角板的射影是怎样的呢? 大家能画出一个示意图吗？我们一起来画一下吧。
如图所示，咱们先来研究AB这一条边。
过点B做面a的垂线垂足为P。
那么点P就叫做点B在面a中的正射影，我们简称为射影。
线段PA就叫做AB在面a中的射影。
对于平面上方任一个不规则的图形，大家能画出它们的射影吗？（在多媒体上演示几个例子）（黑板上画的图像）像AB这样与一平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线就叫做这个平面的斜线。
斜线和平面的交点（点P）叫斜足，斜线上点与斜足之间的线段（线段AP）叫做斜线段。
我们这段时间学习大家也发现了，主要研究的就是平行和垂直。
今天我们还要再学一个很重要的垂直——三垂线定理大家看黑板上这个图，如果在平面a中过点A做一条直线l与PA垂直，就好像在三角板的这个顶点处放一根竹竿，那它和直线AB有没有关系呢？如果图画得准的话可以直接从图形上看出来它们是垂直的，下面咱们来证一下。
三垂线定理教案
《三垂线定理》教案十堰市郧阳中学 邹 本 俭课 题:三垂线定理.教学目的:通过教学,使学生掌握三垂线定理及其逆定理,使学生理解运用两个定理解题的一般思路和步骤,使学生初步学会运用这两个定理去解决实际问题;培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力、转化能力和分析问题、解决问题的能力.教学重点:启发学生去发现三垂线定理,证明三垂线定理,正确运用三垂线定理及其逆定理去解决实际问题.教学难点:理解三垂线定理及其逆定理的本质,掌握运用两个定理证题的一般思路和步骤. 教学关健:与三条直线相对应的平面的确定,斜线在平面内的射影的寻找.课 型:新课.课 时:一课时.教学方法:发现教学法、讲练结合教学法.教 具:三角板、正方体骨架各一个. 教学过程 一、复习旧知识: 1.直线和平面垂直的定义; 2.直线和平面垂直的判定定理;3.利用图1复习平面的斜线、 斜线在平面内的射影概念. 图1 二、引导发现:教师提问:平面的垂线垂直于平面内的所有直线,平面的斜线不垂直于平面,故不可能垂直于平面内的所有直线.平面内有直线与平面的斜线垂直吗? 借此问题,教师引导学生用三角板和笔建造 如图2之模型,学生就可发现PO ⊥OA, PO ⊥a.教师再提问:空间两直线PO 、a 的垂直关系研究起来有时比较复杂,甚至很困难.能把空间两直线PO ⊥a 的判定转化为平面α内某条直线垂直于a 来得到吗? 图教师引导学生建造图3之模型,学生通过观察、分析、研究后发现，只要OA ⊥a,则PA ⊥ 三、证明观察所得之结论: 已知:PO 、PA 分别是平面α的垂线、斜线， OA 是PA 在α上的射影，a ⊂α,a ⊥OA(如图1).求证:a ⊥ 证明:（师生共同分析、研究，共同完成证明过程） PO ⊥α ⇒ PO ⊥a ⇒a ⊥平面POA ⇒a ⊥PA 图 a ⊂α 又AO ⊥a PA ⊂平面POA 四、写出定理：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.教师提问:把这个定理的条件和结论调换一下位置,条件作结论,结论作条件,所得问题还正确吗?教师引导学生就图1研究这一问题,发现类似于定理的证明那样很快就可证明这一问题也正确,故又得一定理:三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直. 五、讲解定理:1.两定理所研究的对象都是三条直线:平面内一条直线、平面的斜线以及斜线在平面内的射影.2.两定理的作用都是由线线垂直推证线线垂直.3.两定理的用途:原定理将空间两条直线的垂直问题转化为同一平面内两直线的垂直问题来证明,逆定理则是将空间两条直线互相垂直转化为同一平面内两直线也互相垂直.4.强调两定理中三条直线与平面相对的关系必须符合定理的条件;指出直线a在平面α内可平行移动;指出平面的位置是任意的,不一定要水平放置;揭示a⊥PA与a⊥OA等价的本质特点.六、两定理的应用:例1:在正方体AC1中,求证: (1) BD1⊥AC; (2) BD1⊥面B1AC.利用正方体骨架,在学生直观感知的同时,教师与学生共同完成此题的分析与证明过程,总结用两个定理证题的一般步骤:1.根据所研究的对象和已知条件,确定平面;2.找出三条线:平面内的直线、斜线、斜线在此平面内的射影；3.根据已知条件和待证,选用两定理中的一个证明之.例2:如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上∉α,PE⊥AB, PF⊥AC,已知:∠BAC在平面α内,点PPO⊥α, 垂足分别是E、F、O，PE＝PF（如图4）.求证:∠BAO=∠CAO.证明:PE=PF ⇒ OE=OF CPO⊥α FPO⊥α OE⊥AB ⇒∠BAO=∠PE⊥AB ⇒ OF⊥AC E B PF⊥AC 图4注:师生共同作图4,利用图4共同完成分析、研究、证明过程.教师再将已知条件“PE=PF”改为“∠PAC＝∠PAB”,或是改为“PE、PF与平面α所成角相等”,让学生研究之,并与学生一起总结这类习题的解法,总结规律.七、学生课堂练习:做课本中的相应练习题,由学生上台演板,教师点评.八、小结:本节课重点讲授了三垂线定理、三垂线逆定理以及两定理的应用,采用了建模、探索、猜想、证明的构建知识的方法，渗透了空间问题转化为平面问题的转化思想，教给了学生运用两个定理证题的思路、步骤和方法.九、布置课外作业。
《三垂线定理》教学设计
《三垂线定理》教学设计《三垂线定理》教学设计一、教学目标：1．认知目标：掌握三垂线定理及其逆定理(1) 定理的证明(2) 定理的应用2．能力目标：(1)能够利用"线线垂直"→"线面垂直"及"线面垂直"→"线线垂直"(2)能够熟练的想象出"线线"、"线面"间的位置关系3．情感目标：(1)通过自己发现,探索,找出结论,激发学生学习兴趣;(2)培养学生主动探求、发现的精神。
二、重点、难点：本节课重点是三垂线定理及逆定理的证明及初步应用本节课难点是三垂线定理及逆定理中各线、面的作用三、对象分析及教学设计：该班学生基础中等，有一定的'分析问题、解决问题的能力，但积极性不够。
同时解决问题的能力有限,对于一些问题需要及时强化巩固。
考虑用多媒体技术来激发学生的主动性，使他们能够积极的投入到学习中去，自主去感受。
使学习者个体自我潜能得到真正有意义的开发和发展。
四、网络教学环境设计：在多媒体网络教室实施教学,学生机上都装有《几何画板》4.03及本课件，使得每个学生都能通过自己的操作体会到线线、线面之间的位置关系。
同时教师又能控制学生的电脑，能够进行课件的演示。
五、教学过程设计与分析：教学过程设计思路及多媒体应用分析[复习]线线垂直的定义及线面垂直的定义在计算机上，学生自己浏览和复习演示斜线及斜线在平面上的射影[提出问题、引入］已知一平面α和平面的一斜线pa，在平面内有没有直线与已知直线垂直,如果没有,请说明理由;如有,找出其中一条.由于前面复习时演示了斜线及斜线在平面上的射影,在计算机上演示直线和平面,通过线面之间图形的旋转,让学生体会线面之间的关系,学生很容易发现结论[学生回答][学生1]在平面内和斜线在平面上的射影垂直的直线是满足条件的直线[学生2]一定吗?学生2提出疑问,可以让学生自己在电脑上拖动直线a,观察是否始终和直线pa垂直.[教师演示]显示平面的垂线,斜线在平面上的射影,旋转平面的位置,移动直线a的位置.在整个动态变化过程中,让学生体会它们之间的关系[提问]如何进行证明此结论呢?[学生分析完成证明]在电脑上打出证明过程.[讲解]此定理为三垂线定理,。
《三垂线定理》教案
《三垂线定理》教案一、教学目标：1.理解垂线的概念和性质，了解垂线与直线的关系。
2.掌握三垂线定理的内容和应用。
3.培养学生的推理和证明能力，培养学生的逻辑思维能力。
二、教学重点：1.理解垂线的定义和性质。
2.掌握三垂线定理的证明和应用。
三、教学难点：1.掌握三垂线定理的证明方法。
2.运用三垂线定理解决问题。
四、教学过程：Step 1 热身导入（10分钟）1.引入垂线的概念：请同学们举出日常生活中垂线的例子，并解释什么是垂线。
2.引导学生讨论垂直直线的特点，并总结垂直直线的性质。
Step 2 三垂线定理的引入（15分钟）1.展示一个三角形ABC，并画出三条垂线，分别过顶点A、B、C和对边BC、AC、AB，请学生观察并发现三条垂线的共同特点。
2.提问：你们能总结出三条垂线的特点吗？3.引入三垂线定理的概念：三垂线定理是指在任意三角形中，三条垂线的交点是唯一的，并且与三个顶点分别相连的线段交于一个点。
Step 3 三垂线定理的证明（30分钟）1.让学生根据已有的知识和思考，尝试给出三垂线定理的证明方法。
2.展示三垂线定理的证明过程，并逐步解释每一步的原理和推导过程。
3.提醒学生要注意观察和利用已有的定理和性质，使证明更加简洁和直观。
Step 4 三垂线定理的应用（20分钟）1.给学生一些实际问题，并引导他们利用三垂线定理解决问题，如：已知一个三角形的两条边和一个角度，求第三条边的长度。
2.引导学生在解决问题的过程中，要充分利用已有的定理和性质，运用逻辑推理进行分析和解决问题。
Step 5 总结与拓展（10分钟）1.让学生总结三垂线定理的内容和证明方法。
2.提醒学生要将所学的知识与生活实际相结合，灵活运用于解决实际问题。
3.引导学生拓展思考，探究其他与垂线相关的定理和性质。
五、教学作业1.完成课堂练习和习题。
2.思考并准备一个与三垂线定理相关的实际问题。
六、教学资源1.三角板和粉笔。
2.幻灯片展示课件。
2019-2020年高二数学三垂线定理(一)教案
2019-2020年高二数学三垂线定理（一）教案一、教学目标 （一）知识目标1．三垂线定理及其逆定理的论证． 2．三垂线定理及其逆定理的简单应用．（二）能力目标通过探索三垂线定理及其证明，培养学生观察问题，发现问题的能力和空间想象能力，培养学生逻辑思维能力.（三）情感目标：激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神；渗透事物相互转化理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过图形的立体美、对称美，培养学生的审美意识。
二、教学重点、难点1．教学重点三垂线定理、三垂线定理的逆定理2．教学难点：两个定理的证明及应用．三、对象分析：对高二学生来说，空间观念才初步形成，学生在认识和理解上都会存在困难，为了加深印象并说明复杂的直线位置关系，可以采用一些教具，或者让学生准备三根竹签，让学生摆放各种位置关系，通过学生感性认识，进行理性的证明和记忆，有助于定理的掌握。
领会定理实质的关键是要认识到平面内一条直线与斜线及其在平面内的射影确定的平面垂直；应用定理的关键是要找到平面的垂线，射影就可由垂足与斜足确定，问题便会迎刃而解。
四、教材分析：“三垂线定理”是在研究了空间直线和平面垂直关系的基础上来研究空间两条直线垂直关系的一个重要定理。
它既是线面垂直关系的一个应用，又为后续学习奠定了基础，同时这节课也是培养学生空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义五、学生活动设计三垂线定理及其逆定理的条件和结论都比较简单，但应用却很广泛，为了培养学生的能力，应让学生探索定理的命题形式，充分利用好手中的三根竹签．设计学生活动符合建构主义的教学思想，也符合教师为主导、学生为主体的教学思想；教师根据教学要求，提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，主动发现，主动发展，从而调动了学生学习的积极性．六、教学模式：“启发-------探究”模式 ：设问激疑，以旧探新————启发引导，猜想论证————讨论辨析，形成概念————示例练习，初步应用————反思小结，培养能力————布置作业，巩固深化七、教具准备：三角板，竹签，模型八、教学过程（一）设问激疑，以旧探新问题1．直线和平面垂直的定义？问题2．直线和平面垂直的判定定理．问题3．PO 是平面α的垂线，O 为垂足；PA 为平面α的斜线，A 为斜足；AO 是PO 在平面α内的射影。
《三垂线定理》第一课时设计与反思
《三垂线定理》第一课时设计与反思
《三垂线定理》第一课时设计与反思《三垂线定理》第一课时设计与反思该课是大纲版《三垂线定理》的第一课时，从定理的重要性开始，从线面垂直的角度引入，定理证明，定理叙述，定理应用（定理条件作用，标准形式，基本变形，相对简单的灵活应用），中间几个小结，课后设置简单对应练习和作业，第二课时巩固和加深，尤其是变式训练，让学生达到熟练掌握的程度。
该课获2009年全县优质课评比一等奖，尤其是课件和教案结合较好，动画效果良好，搭配重点知识的板书，相得益彰，效果很好，学生反应积极热烈，兴趣浓厚，辨析知识深刻，变式应用灵活。
三垂线定理一、教学目标：
理解掌握定理逆定理；培养空间想象力;转化能力；二、教学重点：
（1）、定理证明与理解；（2）、定理的使用；三、教学过程：三垂线定理：。
符号表示：
证明：
P O AA αααP aααP 逆定理完整叙述：
思考：
定理中去掉“平面内”行么？D1 A1 C1 B1 A C D B 例、正方体中（1）、D1 A1 C1 B1 A C D B （2）、求证：
C A B P 练习1、已知求证：
o C A P 练习2、,求课后思考：
(1) S A B C O (2)、（1）的逆命题成立么？小结：
课后反思：
重点突出，讲解到位，变式应用灵活。
三垂线定理教学设计(第一课时)
三垂线定理教学设计（第一课时）德化三中中学数学科组授课教师陈建勇1、教学目标说明（1）三垂线定理及其逆定理都是研究直线和直线的垂直关系的。
它们在空间图形的计算问题和证明问题中有着广泛的应用，所以这部分内容中的知识必须达到理解、应用的水平。
（2）利用投影、计算机模拟运动，增强直观性，激励学生的学习动机，培养学生的空间想象能力和转化的数学思想方法。
2、教学内容分解表3、学习内容分解表4、媒体选用表5、教学过程（1）复习旧知，揭示课题例1（引例）在正方体ABCD—A1B1C1D1中， D1 C1①找平面AC的斜线BD1的射影②BD1与AC的位置关系如何？③BD1与AC成多少度的角？ A 1 B1D CA B通过回忆斜线、射影、直线与直线的位置关系，揭示这节课所要学的内容与原来所学的知识之间的内在联系，也就是提醒学生这节课的目的是利用所学过的数学知识去总结结论，发现定理，从而为定理的证明打下了基础。
（2）分析定理，得出逆定理①分析定理中的关键字词，计算机闪烁相应字词及相应的图形，其目的是帮助学生更好地理解定理，加深印象。
②在定理证明完毕，提问：若将已知条件“a⊥AO”与“a⊥PO”互换，结论成立吗？电脑动态显示“a⊥AO ”与“a⊥PO ”语句的移动，激发学生的学习兴趣，增强探索问题的能力。
③定理与逆定理的一致性，分析定理中的元素与用途。
通过电脑动态显示，进一步加深学生对两个定理的理解。
（3）应用定理例2、在空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AH⊥平面BCD，求证：BH⊥CDADHBC（4）归纳应用定理证明“a⊥b”的一般程序“一垂二射三证明”第一、找平面及平面的垂线第二、找射影线，第三、用定理去证明a，b垂直（5）练习评讲1、已知：点O是△ABC的垂心，OP⊥平面ABC，求证：PA⊥BCPA B OC2、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求BD1与B1C成多少度的角？D1 C1A1 B1D CA B(6)全课小结本节课学习了三垂线定理及逆定理，其实质是平面的斜线与平面内的一直线垂直的判定定理与性质定理，以及这两个定理的简单应用，下一节课我们将进一步学习这两个定理的应用。
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（四）练习 已知: PD⊥平面 ABC ，D 是 AB 的中点 ，且 AC=BC 求证： AB ⊥ PC
P
C A D B
（五）课堂小结： 1、记住小组讨论的结果：三垂线定理、及证明（线线 垂直—线面垂直—线线垂直）. 2、三垂线定理的特征（特点） ：一面四线三垂直. 3、三垂线定理解题的三个步骤：一定平面、二找直线、 三证垂直. 4、使用三垂线定理还应注意的问题： 三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直 的判定定理，这两条直线可以是：相交直线、异面直线 （六）作业： 1.课本 p.24/3 2.正方体 ABCD-A'B'C'D'中，M、N 分别是 BD、AD'的中点. 求证： （1）B'M⊥AD' （2）MN⊥AD 学生思考，尝试解答， 探索发现
三垂线定理和逆定理的符号表示： l 是平面 的一条斜
' ' 线， l 是 l 在 内的射影， a 的垂线，斜线．ＡＯ 是ＰＡ在平面α 内的射影，ａ在平面α ，且ａ⊥ＰＡ． 学生讨论，回答 求证：ａ⊥ＯＡ 证明：ＰＯ⊥α ， ∴ＰＯ⊥ａ． 又ａ⊥ＰＡ，ＰＡ∩ＯＡ＝Ａ， ∴ａ⊥平面ＰＯＡ ∴ａ⊥ＯＡ （三）例题
《指数函数及其性质》教案 课题 授课对象 三垂线定理 高一 课时 课型 1 新授 授课时间 授课人 45 分钟 陈悦
教学目标
知识目标：理解并掌握三垂线定理及其证明，准确把握几个垂直 关系的实质，初步学会应用三垂线定理解决相关问题。 能力目标：通过对三垂线定理的探索过程，进一步渗透立体几何 证明中的转化思想，具体体现在线线垂直与线面垂直的辨证关系 上： 判定 性质 线 线 线 面 线 线 情感目标：通过数学严密的逻辑推理教学，使学生感受数学的严 谨性，体会数学的美。
P
的关系式,可以表示为 y ＝0.84x 。 引导学生观察，两个函 数中，底数是常数，指
O
a
数是自变量。
A
求证 a PO
三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条
斜线在这个平面内的射影垂直，则它就与这条斜线 垂直。 （垂影则垂斜） 证明：∵PO⊥α ， ∴PO⊥a． 又 a⊥OA，PO∩OA＝O， ∴a⊥平面 POA． ∴a⊥PA 分析定理中的 3 个垂直关系： 1、PA⊥ （线面垂直） 2、a ⊥AO （线影垂直） 3、a ⊥PO （线斜垂直） 分析定理中的 4 条直线： PA—垂线 PO —斜线 AO—射影 a— 平面内的直线 2.三垂线逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平 面的一条斜线垂直， 那么它也和这条斜线在这个平面内 的射影垂直．简记为：斜线垂直，射影垂直
教学重点 A、掌握三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的 射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 B、掌握三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。 难点：变换位置下的三垂线定理的应用。 几何画板 教 师 活 动 内 容、方 式 学生活动方式、内容
已知：BAC在平面α内，点P不在平面α内，PEAB， PFAC，POα，垂足分别是E、F、O,PE＝PF。 求证：BAO＝CAO.
Ｐ
Ｃ
O
Ｆ
A
学生思考，引导他们发 现总结
Ｂ
Ｅ
证明：∵PE⊥AB，PF⊥AC,PO⊥α , ∴AB⊥OE,AC⊥OF ∵PE=PF,PO=PO ∴Rt△POE≌Rt△POF. ∴OE=OF. 又 AO=AO, ∴Rt△AOE≌Rt△AOF. ∴∠BAO＝∠CAO.
教 学 重、难点
教、学具
教学过程： （一）复习提问： 1、 线 线 判定 线 面 性质 线 线
学生回答: y 与 x 之间 的关系式,可以表示为 y ＝2 x 。
2、何为平面的斜线、何为斜线在平面上的射影？
（二）新课讲授： 1.已知 PA、PO 分别是平面 的垂线、斜线，AO 是 PO 在 平 面 上 的 射 影 . a ,a AO 。 学生回答: y 与 x 之间