线段及角规律

合集下载

七年级数学线段、角综合复习冀教版知识精讲

七年级数学线段、角综合复习冀教版【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 认识直线、射线、线段的概念和它们的联系与区别，掌握它们的表示方法；掌握关于直线和线段的基本性质；理解两点之间距离的意义；会比较线段的大小，理解线段的和、差及线段的中点概念，会画一条线段等于已知线段．2. 认识角，理解角的两种描述方法，掌握角的表示方法；会比较角的大小，认识度、分、秒，并会进行简单的换算，会计算角度的和与差；了解角平分线的概念，了解余角和补角的概念，知道“等角的补角相等”“等角的余角相等”的性质．二. 知识要点：1. 两个基本性质（1）经过两点有一条直线，并且只有一条直线．可简说成：两点确定一条直线．（2）两点之间的所有连线中，线段最短．可简说成：两点之间，线段最短．2. 两点的距离：连结两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．注意：距离是一个长度，而不是这条线段本身，要把连结两点的线段与两点的距离区分开来．3.4. 角（1）角的概念①静态定义：由两条有公共端点的射线所组成的图形．②动态定义：看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．（2）角的表示①用三个大写字母表示，如∠AOB，但中间的字母必须是角的顶点O，也可写成∠BOA．②当以某点为顶点的角只有一个时，那么可用该顶点的字母表示，如∠O．③用数字表示，如∠1，但需要在图形中作标注．④用希腊字母表示，如∠α，需要在图形中作标注．（3）角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制．1周角＝2平角＝4直角＝360°，1°＝60′，1′＝60″．（4）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．若方向线与东、南、西、北相同，则依次称为正东、正南、正西、正北；若方向线刚好是相邻两个方向所成角的平分线，只要把这两个方向排在一起就可以了，如图所示．若方向线在其他位置时，则先说北或南，再说偏东或西多少度．西西（5）互余和互补同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．5. 线段的比较方法和角的比较方法都可以采用：一、叠合法，二、数值法．6.三. 重点难点：重点：一是对直线、射线、线段、角等这些基本概念的理解；二是两个基本性质：“两点确定一条直线”和“两点之间，线段最短”．三是线段和角的度量．难点：一是如何区分一些相近的概念；二是对图形的表示和画图、作图，对几何语言的学习、运用等．四. 考点分析：从近几年中考试题来看，对线段、角的考查命题难度不大，多以填空题、选择题的形式出现，有时也会融合在证明题或是实践操作题中出现，有时也会加入到有理数的计算中，综合来看本章内容在全卷中占3%左右的分值．【典型例题】例1. 选择题：（1）下列语句正确的是（）A ．画直线AB ＝10厘米B ．画直线l 的平分线C ．画射线OB ＝3厘米D ．延长线段AB 到点C ，使得BC ＝AB（2）如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°－∠β；②∠α－90°；③12（∠α＋∠β）；④12（∠α－∠β）．其中正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个（3）下列说法正确的是（） A ．画出A 、B 两点之间的距离B ．连结两点之间的直线长度，叫做这两点之间的距离C ．线段的大小关系，与它们的长度关系是一致的D ．若AC ＝BC ，则点C 必是线段AC 的中点分析：（1）直线没有长度，当然也不能把它平分，所以选项A 和B 都是错误的；射线也没有长度，所以选项C 也错．（2）如果∠α与∠β互补，那么∠α＋∠β＝180°，∠β＝180°－∠α，所以∠β的余角是90°－∠β＝90°－（180°－∠α）＝∠α－90°＝∠α－12（∠α＋∠β）＝12∠α－12∠β＝12（∠α－∠β）．共有三个式子正确，故选B ．（3）A 错在将两点之间的距离看成是线段本身，距离是指线段的长度而不是线段本身，所以是画不出来的；B 应为连结两点之间线段的长度；D 错在忽略线段中点必须首先在线段上这一条件．解：（1）D （2）B （3）C例2. 如图所示，O 是直线AB 上的一点，OD 是∠AOC 的平分线，OE 是∠COB 的平分线，则∠DOE ＝__________．ABOCDE分析：由题意知∠AOB 是平角，等于180°，OD 平分∠AOC ，OE 平分∠COB ，所以∠DOC ＝12∠AOC ，∠COE ＝12∠COB ，由此得∠DOE ＝∠DOC ＋∠COE ＝12（∠AOC ＋∠COB ）＝12×180°＝90°．解：90°评析：本题主要考查角的平分线的理解与应用，解题关键是找出∠DOE ＝∠DOC ＋∠COE 这一关系式．例3. 如图所示，已知线段AB ＝80cm ，M 为AB 的中点，P 在MB 上，N 为PB 的中点，且NB ＝14cm ，求PA 的长．ABMPN分析：从图形可以看出，线段AP 等于线段AM 与MP 的和，也等于线段AB 与PB 的差，所以，要求线段PA 的长，只要能求出线段AM 与MP 或求出线段PB 即可．解：解法一：因为N 是PB 的中点所以PB ＝2NB ，而NB ＝14cm 所以PB ＝2×14＝28cm又因为M 是AB 的中点，所以AM ＝MB ＝12AB所以AM ＝MB ＝40cm又因为MP ＝MB －PB ＝40－28＝12（cm ）所以AP ＝AM ＋MP ＝40＋12＝52（cm ）解法二：因为N 是PB 的中点，所以PB ＝2NB 所以PB ＝2×14＝28（cm ）又因为AP ＝AB －PB ，AB ＝80cm ∴AP ＝80－28＝52（cm ）评析：在几何计算中，要结合图形中已知线段和所求线段的位置关系求解，要步步有根据．另一方面要培养一题多解的思维能力，注意体会比较简捷的解题方法．求某条线段的长，通常是用转化思想将其转化为已知线段的和或差．例4. 已知∠1和∠2互余，∠2与∠3互补，若∠1＝63°，则∠3＝__________．分析：∠2＝90°－∠1＝27°，∠3＝180°－27°＝153°．解：153°评析：一定要理解透互余、互补的概念，并正确地进行角的计算．例5. 已知线段AB ＝8cm ，在直线AB 上有一点C ，且BC ＝4cm ，M 是线段AC 的中点，求线段AM 的长．分析：题中只是说明A 、B 、C 三点在一直线上，无法判断点C 在线段AB 上，因为也可能在线段AB 的延长线上，所以分两种情况来求AM 的长．解：（1）当C 在线段AB 上时，如图（1）所示，因为AC ＝AB －BC ，AB ＝8cm ，BC ＝4cm ，所以AC ＝4cm ．又因为M 是AC 的中点，所以AM ＝12AC ．所以AM ＝12×4cm ＝2cm ．ABCM (2)ABC M(1)（2）当C 在线段AB 的延长线上时，如图（2）所示，因为M 是AC 的中点，所以AM ＝12AC ．又因为AC ＝AB ＋BC ，且AB ＝8cm ，BC ＝4cm ，所以AM ＝12AC ＝12（AB ＋BC ）＝12（8＋4）cm ＝6cm ．所以AM 的长度为2cm 或6cm ．评析：（1）本题注意分两种情况．因为题中没有明确点C 的位置，所以要对所有可能的情况进行考虑．（2）在解无图的几何题目的过程中，我们必须具备根据条件作图的能力，要注意图形的完整性和各种可能性．例6. 如图所示，上北下南，左西右东，指出射线OA 、OB 、OC 、OD 的方位．A分析：说一个点所在的方位角时可以先看这个点在起始点的南北方向，再说它的东西方向．解：（1）OA 在北偏东60°；（2）OB 在北偏西27°；（3）OC 在南偏西35°；（4）OD 在东南方向．评析：方位角的表示通常是以南、北方向为起始方向，常说成“北偏东多少度、北偏西多少度、南偏东、南偏西”等，北偏东45°、北偏西45°、南偏东45°、南偏西45°分别称为东北方向、西北方向、东南方向、西南方向．【方法总结】1. 点和线都是最基本的几何图形，常用点来表示物体的位置，射线和直线可以看做是由线段向一方或两方无限延伸得到的；另一方面，射线和线段也可以看做直线的一部分．2. 估测、度量和叠合，都是比较线段长短和角的大小的重要方法，应根据情况和需要来选用．3. 角的运算包括两种情况：一种是对两个（或几个）角的度数进行加、减运算，注意其度量制是以60为进率的；另一种是位置关系，即从位置上将某一个角表示为另外两个角的和或差．两角互余、两角互补是两角之间的特殊数量关系．【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题1. 要把一根木条固定在墙上，至少要钉（）个钉子． A ．1B ．2C ．3D ．42. 下列说法中错误的有（）（1）线段有两个端点，直线有一个端点（2）角的大小与我们画出的角的两边的长短无关（3）线段上有无数个点（4）同角或等角的补角相等（5）两个锐角的和一定大于直角 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3. 图中共有的角的个数是（） A ．5B ．6C ．7D ．84. 如图所示，O 在直线m 上，∠1与∠2互余，∠α＝134°，则∠β的度数是（） A ．134°B ．136°C ．154°D ．156°12mO αβ5. 如图中，下列表示不正确的是（） A ．AB ＋BC ＝ACB ．∠C ＝45°C ．∠B ＋∠B ＝180°D ．∠1＋∠2＝∠ADCABCD 1245°6. 如图所示，M是AB上一点，AM＝8cm，BM＝2cm，N是AB的中点，则MN的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cmA BNM二. 填空题1. 如图所示，射线AD上有三个点B、C、D，则共有__________条射线，图中共有__________条线段．A2. 按照图形填空：∠AOD＝__________＋__________＋__________；∠BOC＝__________－∠COD＝∠AOC－__________；∠AOB＝__________－∠BOC；∠AOC＋∠BOD－∠BOC＝__________．A BCOD3. 计算：（1）78°32′－51°47°＝_______．（2）23°45′＋24°20′＝_______．*4. 已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA＝3AB，则CB＝_______AB，CA ＝_______CB．5. 已知∠A与∠B互余，若∠A＝70°，则∠B的度数为__________．*6. 时针指示6点45分，它的时针和分针所成的锐角的度数是_______．7. 已知：∠AOB＝40°，OC是∠AOB的平分线，则∠AOC的余角度数是_______．8. 已知∠A＝50°，则∠A的补角是__________度．9. 如果∠1＝140°，∠2＝89°，∠3＝91°6′，则它们的大小关系是__________．（用“＜”连接）10. 如图所示，射线OA表示的方向是_______，射线OB表示的方向是_______．三. 解答题1. 如图，直线m 表示一条河，在河两侧有两个村庄A 、B ，要在河边建一个供水站，使供水站到两个村庄的距离之和最小，请找出C 点位置，并说明理由．ABm2. 将下列各题化成度、分、秒的形式： °°°．*3. 已知线段AB 上两点C 、D ，其中AB ＝acm ，CD ＝bcm ，E 、F 分别是AC 、DB 的中点．（1）求AC ＋DB 的长度；（2）E 、F 两点间的距离．*4. 如图，O 是直线AB 上的点，OD 是∠AOC 的平分线，OE 是∠COB 的平分线．（1）求∠DOE 的度数；（2）若∠DOE ＝90°，OD 平分∠AOC ，问OE 是否平分∠BOC ？ABCDEO**5. 如图所示，任意画一个四边形ABCD ，四边形的四边中点分别为E 、F 、G 、H ，连接EF 、FG 、GH 、HE ，并量出它们的长，你发现了什么？量出图中∠1、∠2、∠3、∠4的度数，你又发现了什么？多画几个四边形试试，你能得到什么猜想？试题答案一. 选择题1.B2.B3.D4.B5.C6.C二. 填空题1. 4，62. ∠AOB ，∠BOC ，∠COD ；∠BOD ，∠AOB ；∠AOC ；∠AOD3. 26°45′ 48°5′4. 4 345. 20°°7. 20° 8. 130 9. ∠2＜∠3＜∠1 10. 北偏东50°，南偏西75°三. 解答题1. 连结AB 交直线m 于点C ，点C 就是所求．根据是两点之间线段最短2. （1）45°36′；（2）78°25′48″；（3）≈35°33′50″3. （1）a －b （2）a ＋b 24. （1）∠DOE ＝90° （2）OE 平分∠BOC5. （1）EF ＝HG ，EH ＝FG ；（2）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°，∠1＝∠3，∠2＝∠4．猜想：顺次连接四边形各边的中点所得到的四边形一定是平行四边形．。

2019中考数学《线段与角》专题复习考点讲解(含答案)

线段与角考点图解技法透析1．与直线、射线、线段有关的知识(1)直线：①直线的概念，一根拉得很紧的线，给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．②直线的表示方法：如图记作“直线AB”或“直线BA”；l 记作“直线l”．③直线的性质：过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条直线．(2)射线：①射线的概念，直线上一点和它一旁的部分叫射线，这一点叫射线的端点．射线向一方无限延伸．②射线的表示方法：如图记作“射线AB”；l记作射线l，注意必须把表示端点的字母写在前面．(3)线段：①线段的概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点，线段不延伸．②线段的表示方法：如图记求“线段AB”或“线段BA”或“线段a”．③线段的性质：两点的所有连线中，线段最短．即两点之间，线段最短．(4)直线、射线、线段的区别与联系．①联系：直线、射线都可以看作是线段无限延伸得到的；反过来，射线和线段都是直线的一部分，线段可以看作是直线上两点及这两点间的部分，射线可以看作是直线上一点及其一旁的部分．②区别：如下表(5)线段的画法：①用直尺可以画出以A、B为端点的线段，画时不能向任何一方延伸．②“连接AB”的意义就是画出以A、B为端点的线段．③线段的延长线，如图，延长AB是指按由A向B的方向延长．延长BA是指按由B向A的方向延长．(也可说反向延长AB)(6)线段的比较①度量法：测量线段的长度后比较大小，②叠合法：用圆规把一条线段移到另一条线段上比较大小．(7)画一条线段等于已知线段，如：已知线段a，画一条线段AB＝a，有两种画法：①先画射线AC，再在射线AC上截取AB＝a．②先测量线段a的长度、再画一条等于这个长度的线段AB即可．(8)线段的中点及等分点的概念①如图①点O把线段AB分成相等的两条线段，AO与OB，点O叫线段AB的中点，显然有AO＝OB＝12AB（或AB＝2AO＝2OB）②如图②点O1，O2把线段AB分成相等的三条线段AO1＝O1O2＝O2B，则点O1，O2叫做线段AB 的三等分点，显然有：AO 1＝O 1O 2＝O 2B ＝13AB(或AB ＝3AO ，＝3O 1O 2＝3O 2B) ③如图③，点O 1，O 2，O 3把线段AB 分成相等的四条线段，则点O 1，O 2，O 3叫做线段AB的四等分点，显然有：AO 1＝O 1O 2＝O 2O 3＝O 3B ＝14AB(或AB ＝4AO 1＝4O 1O 2＝4O 2O 3＝4O 3B) (9)两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．2．与角有关的知识(1)角的概念：角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形，又可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形．(2)角的四种表示方法：①一般可以用三个大写字母表示，且表示顶点的字母必须写在中间．如图①，记作∠AOB （或∠BOA ）；②当角的顶点处只有一个角时，可以用角的顶点字母来表示这个角，如图①可记作∠O ；③可以用一个小写希腊字母（如α、β、γ等）表示，如图②∠BOC 记作∠a ；④用一个阿拉伯数字表示如图②∠AOC 记作∠1．(3)特殊角及角的分类：①平角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置在同一条直线上时所成的角． ②周角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置重合时所成的角． ③直角：等于90°的角叫直角．④锐角：小于直角的角叫锐角．⑤钝角：大于直角而小于平角的角叫钝角．(4)角度制及角的画法：①角度制：以度、分，秒为单位的角的度量制，1°＝60'，1'＝60"．②借助三角尺和量角器画角．(5)角的和、差、倍、分的关系①每的和、差，如图所示：∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ，∠AOB ＝∠AOC －∠BOC②角的倍、分：角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，如图所示，若∠1＝∠2，则OC 是∠AOB 的平分线，此时有∠1＝∠2＝12∠AOB （或∠AOB ＝2∠1＝2∠2）．同理，还有角的三等分线、四等分线……等．(6)余角和补角：①定义：如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角．②性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等(7)方位角：方位角是表示方向的角．具体表示时．是南（或北）在先，再说偏东（或偏西）3．钟表上有关角的问题(1)钟表上，相邻两个数字之间有5个小格，每个小格表示1分钟，如果与角度联系起来，每一小格对应6°；(2)秒针每分钟转过360°，分钟每分钟转过6°，时针每分钟转过0.5°．(3)时针与分针成一直线必须成180°的角，两针重合必须成0°的角，名题精讲考点1例1 平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为_______个，最多为_______个．【切题技巧】可以通过画图来探求，先从简单情形、特殊情形考虑，再进行归纳，得出结论．①当平面内两两相交的6条直线相交于一点，此时交点的个数最少为1个，②当平面内两两相交的5条直线相交于一点，第6条直线与前面的5条直线都相交，此时交点的个数为1＋5＝6个，③当平面内两两相交的4条直线相交于一点，第5条直线与前面的4条直线都相交，第6条直线再与前面的5条直线都相交，此时交点的个数为1＋4＋5＝10个……，因此为使平面内两两相交的直线的交点个数最多，则要使任意两直线相交都产生新的交点，即任意两条直线相交都确定一个交点，且任意三条直线都不过同一点，于是可得交点数最多为：1＋2＋3＋4＋5＝()1552+⨯＝15(个)【规范解答】分别填1个，15个．(1)本例可进行如下推广：若平面内有两两相交的n条直线，其交点最少为1个，最多为1＋2＋3＋…＋（n＋1）＝12n（n－1）个交点；(2)一般地，平面内n条直线两两相交，且任意三条直线都不共点，那么这些直线将平面分成12（n＋1）n＋1个互不重叠的部分．(3)－般地，如果一条直线上有n个点，那么这条直线上的不同线段的条数为（n－1）＋（n－2）＋…＋2＋1＝12n（n－1）条；共有2n条不同的射线．【同类拓展】1．如图，数一数图中共有多少条不同的线段，多少条不同的射线？考点2 线段长度的计算例2 如图C、D、E将线段AB分成2：3：4：5四部分，M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点，且MN＝42，求PQ的长．【切题技巧】先根据比例把AC、CD、DE、EB用含x的代数式表示，再利用线段的和差及线段的中点的意义可得到相应的方程，从而求得PQ的长．【规范解答】∴【借题发挥】几何问题本身是研究图形的性质和数量关系，准确地画出图形，能使问题中各个量之间的关系直观化．本题的分析要着眼于找出未知线段的联系，使未知向已知转化，求线段的长度要充分利用线段的和差与线段的中点、等分点的意义，其解题方法与途径不是唯一的，需要我们根据题意灵活运用不同方法解决实际问题．【同类拓展】2．已知三条线段a、b、c在同一条直线上，他们有共同的起点，a 的终点是b的中点，c的中点是b的终点，且a＋b＋c＝7cm，求a、b、c的长．考点3 角的个数及角的度数的计算例3 如图已知OA、OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．(1)若∠AOD＝70°，∠MON＝50°求∠BOC的大小；(2)若∠AOD＝α；∠MON＝β，求∠BOC的大小（用含α、β的式子表示）．利用角的平分线性质，角的和、差之间的转化，先找出∠AOD，∠MON与∠BOC之间的数量关系，为方便角的表示，可用含α、β的式子表示所求的角，也可设未知数，把几何问题代数化，通过整体变形、列方程，从而确定出角的大小．【规范解答】【借题发挥】(1)对于求角的度数的计算，通常有两种思路：一是根据各个量之间的关系，用已知量来表示未知量，直接求未知量；二是通过设辅助未知数，把几何问题代数化，根据图形中角的相等关系列方程或方程组，从而求解，应注意挖掘题目中的隐含的条件，适当转换．(2)一般地，同一平面内，在平角∠AOB的内部引以O为端点的（n－1）条射线，则图中共有：n＋（n－1）＋（n－2）＋…＋3＋2＋1＝12n（n＋1）个小于平角的角．【同类拓展】 3．如图，∠AOB＝100°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON＝_______．考点4 钟表上有关的角度问题例4 时钟在下午4点至5点的什么时刻：(1)分针和时针重合？(2)分针和时针成一条直线？(3)分针和时针成45°角？【切题技巧】4点整时针已转过4大格，每大格30°，这时可看成时针在分针前面120°，若设所需时间为x分钟，则有6x－12x的值等于1200时，两针就重合；当时针与分针之间的角度为1200＋180°时两针成一条直线；当时针与分针之间的角度差等于120°－45°（时针在前）或120°＋45°（分针在前）时，两针成45°角．【规范解答】【借题发挥】钟表上时针和分钟问题实质是数学中的追及问题，钟面上有12大格，60小格，每个大格为30°的角，每个小格为6°的角．如果把单位时间内，分针和时针转过的度数当作是它们的“速度”，那么分针的速度为6°／分，时针的速度为0.5°／分，因此，分针速度是时针速度的12倍．在时针与分针的转动过程中，总是分针追及时针，然后超过时针又转化为追及时针，【同类拓展】4．王老师在活动课上为学生们讲数学故事，他发现故事开始时挂钟上的时针和分针恰好成90°角，这时是7点多；故事结束时两针恰好也是90°角，这时是8点多，他还发现，讲故事中，两针成90°角的有趣图形还出现过一次，求王老师讲故事所花的时间多少分？考点5 与线段有关的实际问题例5 摄制组从A市到B市有1天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃中饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息．司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A、B两市相距多少千米？【切题技巧】题目中所给条件只有路程，而没有给出时间与速度，所以可以画出线段表示各段路程，借助图形，思考它们之间的数量关系，从而利用形数结合思想解决问题．【规范解答】如图，设小镇为D，傍晚汽车E处休息，令AD＝x，则AC＝3x，DE＝400，CE＝400－2x ED＝12(400－2x)＝200－x，于是有：AB＝AC＋CE＋EB＝3x＋400－2x＋200－x＝600(km) 答：A、B两市相距600千米，【借题发挥】利用“线段图”将实际问题转化为几何问题，借助图形，利用“形数结合”思想解决实际问题是数学竞赛中的常用方法，如：A、B、C、D、E、F六支足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A、B、C、D、E五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没有与B队比赛的球队是哪支队？此题用算术或代数方法求解容易陷入困境，此时可考虑用6个点表示A、B、C、D、E、F这6支足球队，若两队已赛过一场、就在相应的两个点之间连一条线，这样用“线段图”来辅助解题，形象直观，如图所示，则还没有与B队比赛的球队是E队．【同类拓展】5．某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30个，B区有15人，C区有10人，三个区在同一条直线上．位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在 ( )A．A区B．B区C．C区D．A、B两区之间参考答案1．(1)21(条) (2)14(条) 2．1cm，2cm，4cm． 3．50°4．1小时零5511分钟． 5．A2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( )+8)cm B.10cm C.14cm D.无法确定2．2018年全国消协组织创新维权手段，聚焦维权难点，消费维权能力和水平不断提.2018年，全国消协组织共受理消费者投诉76.2万件，解决55.6万件，为消费者挽回经济损失约9.8亿元；其中，9.8亿可用科学记数法表示为（）A．9.08×108B．9.8×108C．0.98×109D．0.98×1010 3．2019年3月3日至3月15日，中国进入“两会时间”，根据数据统计显示，2019年全国两会热点传播总量达829.8万条，其中数据“829.8万”用科学记数法表示为（）A．8.298×107B．82.98×105C．8.298×106D．0.8298×1074．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B在x轴的负半轴上，将线段AB绕点A逆时针旋转90°至AB'，点M是线段AB'的中点，若反比例函数kyx(k≠0)的图象恰好经过点B'，M，则k＝（）A.4B.6C.9D.12 5．下列立体图形中，主视图是三角形的是（）A. B. C. D.6．在刚刚结束的中考英语听力、口语测试中，某班口语成绩情况如图所示，则下列说法正确的是（）A ．中位数是9B ．众数为16C ．平均分为7.78D ．方差为27．下列运算中，正确的是（）A ．（﹣x ）2•x 3＝x 5B ．（x 2y ）3＝x 6yC ．（a+b ）2＝a 2+b 2D ．a 6+a 3＝a 28．如图，点E 、F 是正方形ABCD 的边BC 上的两点（不与B 、C 两点重合），过点B 作BG ⊥AE 于点G ，连接FG 、DF ，若AB ＝2，则DF+GF 的最小值为（）A. ﹣1B.C.3D.49．关于x 的一元二次方程（m-5）x 2+2x+2=0有实根，则m 的最大整数解是（）A ．2B ．3C ．4D ．510．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,1，点B 是x 轴正半轴上一点，以AB 为边作等腰直角三角形ABC ，使BAC=90∠︒，点C 在第一象限。

与三角形有关的线段和角

与三角形有关的线段和角三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。

在三角形中，存在着一些与线段和角度相关的性质和定理。

本文将围绕着与三角形有关的线段和角展开讨论。

一、三角形的边长关系在任意三角形ABC中，存在着边长之间的一些关系。

首先，三角形的任意两边之和大于第三边，即AB+AC>BC、AB+BC>AC、AC+BC>AB。

这一性质被称为三角形的三角不等式，它保证了三角形的存在性。

另外，根据三角形边长的长短关系，可以将三角形分为三类：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形。

二、三角形的角度关系在三角形ABC中，三个角A、B、C的和为180度，即角A+角B+角C=180°。

这一性质被称为三角形内角和定理。

由内角和定理可以推导出多个有用的定理，例如：在任意三角形中，若两角的和等于第三角，则该三角形为直角三角形。

三、三角形的中线与垂心三角形的中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。

在三角形ABC中，连接顶点A与边BC中点D的线段AD被称为三角形ABC 的中线。

三角形的三条中线交于一点，该点被称为三角形的重心。

重心有许多重要的性质，例如：三角形的重心将三条中线分成2:1的比例。

另外，垂心是指三角形的三条高所交于的一点。

三角形的三个顶点到垂心的连线相互垂直。

四、三角形的角平分线和垂直平分线在三角形ABC中，角平分线是指将角A平分成两个相等角的线段。

角平分线的交点与三角形的顶点和对边上的两个点构成的三角形被称为三角形ABC的角平分线三角形。

另外，垂直平分线是指将对边AB的垂直平分线与对边AC的垂直平分线的交点。

垂直平分线与三角形的顶点和对边上的两个点构成的三角形被称为三角形ABC的垂直平分线三角形。

五、三角形的外心和内心三角形的外心是三角形外接圆的圆心，即通过三角形的三个顶点作圆时，圆心在外接圆上的点。

外接圆可以通过三角形的三条边的中垂线相交而得到，且外接圆的圆心与三角形的三个顶点共线。

初中数学中考复习几何辅助线规律总结(共102条)

初中数学几何辅助线规律线、角、相交线、平行线【规律】1如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n－1)条。

【规律】2平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)+1〕个部分。

【规律】3如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n－1)条。

【规律】4线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半。

【规律】5有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有n(n－1)个。

【规律】6如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n－1）个。

【规律】7如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角。

【规律】8平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）个。

【规律】9互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°。

【规律】10平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n－1)个。

【规律】11互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半。

【规律】12当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直。

【规律】13已知AB∥DE,如图⑴～⑹,规律如下：【规律】14成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半。

三角形部分【规律】15在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题。

注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题。

【规律】16三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半。

【规律】17三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半。

数线段和角的规律

数线段和角的规律数线段和角是几何学中的重要概念，它们之间存在一定的规律和关联。

本文将从数线段和角的定义、性质以及它们之间的规律三个方面进行探讨。

一、数线段的定义和性质数线段是两个点之间的连线，它具有以下性质：1. 数线段有长度，可以用实数表示，例如线段AB的长度可以表示为|AB|或AB。

2. 线段的长度是不变的，即使线段的位置改变了，其长度仍然保持不变。

3. 线段可以延长，即通过延长线可以得到更长的线段。

二、角的定义和性质角是由两条射线共享一个端点所形成的图形，它具有以下性质：1. 角由两个射线和一个公共端点组成，公共端点称为角的顶点，两个射线分别称为角的边。

2. 角可以用度数或弧度来表示，度数是常用的表示方法。

3. 角可以分为锐角、直角、钝角和平角四种类型，分别对应不同的度数范围。

4. 角可以通过平分角、垂直角等方式进行构造，具有很多有趣的性质。

1. 数线段和角的单位换算数线段的长度和角的度数可以通过一定的换算关系相互转化。

例如，1度对应的弧度约为0.017弧度，1弧度对应的度数约为57.3度。

这种单位换算在几何学中经常用到，可以使问题的处理更加方便。

2. 数线段和角的比较在几何学中，可以通过比较两条线段的长度或两个角的大小来进行判断和求解。

例如，如果线段AB的长度大于线段CD的长度，则可以表示为|AB| > |CD|。

同样地，如果角A的度数大于角B的度数，则可以表示为∠A > ∠B。

通过比较可以得到不等式关系，进而解决问题。

3. 数线段和角的运算数线段和角可以进行加、减、乘、除等运算。

例如，两个线段的和等于它们的长度之和，即|AB| + |CD|。

对于角而言，两个角的和等于它们的度数之和，即∠A + ∠B。

这种运算在几何学中经常用到，可以帮助我们求解更复杂的问题。

4. 数线段和角的应用数线段和角的概念和规律广泛应用于各个领域，如建筑、工程、物理学等。

例如，在建筑设计中，需要测量和计算线段的长度和角的大小，以确保建筑物的稳定和美观。

专题复习—线段和角

3.方位角定义及其应用定义：轮船、飞机等物体运动的方向与正北方向的夹角称为方位角，如下图所示.4.角的大小比较方法（1）度量法；（2）叠合法.5.画相等的角（尺规法）6.角的和、差、倍的画法7.角平分线的概念及画法概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.8.余角、补角（1）余角的定义：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角.简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角.（2）补角的定义：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角.简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角.（3）余角的性质：同角（或等角）的余角相等.（4）补角的性质：同角（或等角）的补角相等.9.角的度量单位、角的换算及角的分类（1）角的度量单位：度、分、秒.（2）角的换算：160,160''''==（3）角的分类：小于90的角叫做锐角，等于90的角叫做直角，大于90小于180的角叫做钝角.二、练习一、填空题（本大题共30分，每小题3分）1、在所有连结两点的线中，__________最短.2、如图为同一直线上的A、B、C三点，图中共有_______条射线，_____条线段.（第2题）（第3题）3、如图，C、D是线段AB上两点，如果AC、CD、DB长之比为3：4：5，则AC=________AB，AC=___________CB。

4、如图，O为直线AD上一点，∠AOB=45º，OC平分∠BOD，则∠COD=_____度。

南偏西25北偏东20东北西北东南西南北西南东5、如图， OC ⊥OA ，OD ⊥OB ，则∠AOB=∠_________.(第4题) （第5题） 6、互为补角的两角之差为22º，则这个两角分别为______度和______度. 7、如图，∠AOB=72º，OC 平分∠AOB ，OD ⊥OC ，则∠AOD=______度.8、如图，C 、D 是线段AB 上两点，AC 、CD 、DB 的长度比为1：2：3，又M 为AC 的中点，DN ：NB=2：3，已知AB=30cm ，则MN=______cm.（第8题）（第7题）9、计算：28º46´+57º32´-60º15´=___________.10、α=（x+10）º，∠β=（x-30）º，且∠α和∠β互余，则∠α=______度. 二、单项选择题（本大题共24分，每小题3分） 1、以下说法中不正确的是（） A 、若OA=OB ，则O 是线段AB 的中点； B 、若O 是线段AB 的中点，则OA=OB ； C 、 B 是线段AC 上一点，AB ：BC=2：3，则AC BC 53=；D 、延长线段AB 至C ，使BC=AB ，则B 是线段AC 的中点. 2、右图中线段的总数是（） A 、4条. B 、5条.C 、6条.D 、7条. 3、如图，线段AD=90cm ，B 、C 是这条线段上两点，AC=70cm ，且CD=31BC ，则AB 的长是（） A 、20cm. B 、15cm. C 、10cm. D 、8cm .4、如图，C 是线段AB 的中点，D 是线段CB 上任意一点，则下列表示线段关系的式子中错误的个数为（）（1）CD=21（AD-BD ）. （2）CD=2BD AB -.（3）BD=21（AB-2CD ）. （4）BD=AD-2CD . A 、1个. B 、2个. C 、3个. D 、4个.5、如图，∠BOC=2∠AOB ，OP 平分∠AOB ，已知∠AOP=12º，则∠POC=（） A 、60º. B 、72º.C 、78º.D 、84º. 6、∠α的余角是40º，则∠α的补角为（）A 、100º.B 、110º.C 、120º.D 、130º. 7、有几种说法，其中正确的有（）（1）只有补角而没有余角的角是钝角；（2）锐角既有余角又有补角；（3）一个锐角的余角比这个角的补角小90º；（4）互补的两个角一个是锐角一个是钝角。

(完整word版)线段、角中的规律

线段、角中的规律姓名：规律一：平面内n个点构成线段的规律平面内有n个点，可以构成条线段，对应练习：1、如图，点Ｃ、D在线段AB 上．AC＝6 cm，CD＝4 cm，AB＝12 cm，则图中所有线段的和是多少 cm．2、从哈尔滨开往A市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站间的票价都不相同，那么有种不同的票价．2.1、火车从A地到B地途经C、D、E、F四个车站，且相邻两站之间的距离各不相同，则售票员应准备种票价的车票.(往返票价不同）2.2往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站，则有种不同的票价（来回票价一样），需准备种车票3、如图，AB＝a，BC＝b，CD=c，DE=d，EF=e，以A、B、C、D、E、F为端点的所有线段长度的和为．4、如图1－15所示．A2，A3是线段A1A4上两点，且A1A2=a1，A1A3=a2，A1A4=a3．求线段A1A4上所有线段之和．四条直线相交,最多有6个交点.三条直线相交,最多有3个交点.两条直线相交,最多有1个交点.规律二：射线构成角的规律1、从点O 引出n 条射线，可以构成条小于平角的角2、如下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有个角；画2条射线，图中共有个角；画3条射线，图中共有个角，求画n 条射线所得的角的个数。

规律三：直线分平面的问题(1)平面上有1条直线把平面分成部分? (2)平面上有2条直线把平面分成部分? (3)平面上有3条直线最多能把平面分成部分? (4) 平面上有n 条直线最多能把平面分成部分? 规律四：两点确定一直线的问题平面上有一个点，过这一点可以画条直线．若平面上有两个点，则过这两点可以画的直线的条数是；若平面上有三个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是；若平面上有四个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是．若平面上有n 个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是．规律五：直线的交点问题观察图中的图形,并阅读图形下面的相关文字:n 条直线相交最多有个交点，最少有个交点规律六：三角板中的角的和差问题我们有2付三角板，其中一付的三个角的度数是另一付三个角的度数是他们通过和、差计算，可以得到的度数是线段、角中的变化问题专题练习姓名：1、已知，O 是直线AB 上的一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC ．（1）如图1，若∠AOC=30°，求∠DOE 的度数；（2）图1中，若∠AOC=a ，直接写出∠DOE 的度数（用含a 的代数式表示）；（3）将图1中的∠DOC 绕顶点O 顺时针旋转至图2的位置．探究∠AOC 和∠DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；DE CBAE DC BA2、如图，①∠AOC=60°，∠AOB 和∠COD 都是直角，则∠AOD+∠BOC= ；②若∠AOC=30°，∠AOB=90°，∠COD=90°，则∠AOD+∠BOC= ；③∠AOB 和∠COD 都是直角，试猜想∠AOD 和∠BOC 这两个角在数量上存在怎样的关系？并说明理由；④当∠COD 绕点O 旋转到图（2）的位置，你原来的猜想的结论还正确吗？为什么？3、如图，数轴的原点为O ，点A 、B 、C 是数轴上的三点，点B 对应的数为1，AB =6，BC =2。

线与角知识点

线与角知识点在我们的数学世界中，线与角是非常基础且重要的概念。

它们就像是构建数学大厦的基石，虽然看似简单，却蕴含着丰富的知识和规律。

首先，让我们来聊聊线。

线可以分为直线、射线和线段。

直线是没有端点的，可以无限延伸，向两端都没有尽头。

想象一下，一条笔直的公路一直延伸到远方，没有尽头，这就是直线的形象。

直线没有长度的限制，因为它可以一直延伸下去。

射线则是有一个端点，另一端可以无限延伸。

比如手电筒发出的光，我们可以把光源看作端点，光线就是射线，它朝着一个方向无限伸展。

线段是有两个端点的，长度是固定的。

像我们用尺子画出的一段线条，就是线段。

线段的长度是可以测量的。

在实际生活中，我们经常会遇到与线相关的例子。

比如，火车轨道可以看作是两条平行的直线，电线杆之间的电线可以近似看作线段。

接下来，咱们说一说角。

角是由两条有公共端点的射线组成的图形。

这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。

角的度量单位是度，用符号“°”表示。

将圆平均分成 360 等份，每一份所对的角的大小就是 1 度。

角可以分为锐角、直角、钝角、平角和周角。

锐角是小于 90 度的角。

比如三角板中的 30 度角、45 度角，都是锐角。

直角是等于90 度的角。

我们的书本、桌面的四个角通常都是直角。

钝角是大于 90 度而小于 180 度的角。

平角是等于 180 度的角，它看起来就像是一条直线，但实际上它是由两条射线组成的。

周角是等于 360 度的角，它的两条边完全重合。

角的大小与边的长短无关，而是与两条边张开的程度有关。

两条边张开得越大，角就越大；张开得越小，角就越小。

在几何图形中，角的运用非常广泛。

比如三角形中，三个内角的和是 180 度；四边形的内角和是 360 度。

线与角之间也有着密切的关系。

比如，两条直线相交会形成角。

如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。

其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

平行线也是线与角关系的一个重要体现。

线段与角的度量

线段与角的度量线段与角是几何学中的重要概念，它们的度量方法是我们学习几何的基础。

在本文中，我们将探讨线段的度量和角的度量，并介绍一些相关的概念和定理。

一、线段的度量在线段的度量中，我们常用长度来表示线段的大小。

长度是指从线段的一个端点到另一个端点的距离。

为了方便起见，我们通常使用单位长度来度量线段，如厘米、米等。

线段的度量有以下几个特点：1. 两个等长的线段具有相等的度量。

2. 线段度量的加法和减法满足数学中的加法和减法规则。

3. 线段度量可用于解决实际问题，比如计算周长、面积等。

二、角的度量角是由两条射线共享一个公共端点形成的图形，我们用它来描述物体之间的相对位置和方向。

角的度量通常用弧度或度数来表示。

1. 弧度制弧度制是一种角度度量方式，它以线段的弧长与半径的比值来表示角的大小。

其中，弧度是单位长度为半径的圆弧所对应的角度大小，符号常用rad表示。

一周的角度为360°，对应的弧度为2π rad。

2. 度数制度数制是我们常用的度量方式，它将一周的角度平均分为360等份，每份为1°。

我们可以使用直尺或量角器来度量角的大小。

三、相关定理和概念1. 同位角同位角是指两条平行线被一条截线所切割形成的对应角，它们的度数相等。

2. 全角全角是指平面内一条射线绕着一个固定端点旋转一周所成的角，它的度数为360°或2π rad。

3. 余角余角是指与给定角相加等于全角的角。

结语通过本文，我们了解了线段和角的度量方法，以及相关的定理和概念。

线段和角的度量在几何学中起着重要的作用，它们不仅可以用来描述实际问题，还可以应用于解决各种几何推理和证明问题。

因此，掌握线段和角的度量方法对于学习和应用几何知识具有重要意义。

线段及角的和差倍分计算

线段及角的和差倍分计算
首先我们来介绍线段的和、差计算方法。

1.线段的和计算：
设线段AB的长度为a，线段BC的长度为b，那么线段AC的长度为
a+b。

2.线段的差计算：
设线段AB的长度为a，线段BC的长度为b，那么线段AC的长度为，
a-b，即两个线段长度的差的绝对值。

接下来我们来介绍角的和、差计算方法。

1.角的和计算：
设角A的度数为α，角B的度数为β，那么角A和角B的度数和为
α+β。

2.角的差计算：
设角A的度数为α，角B的度数为β，那么角A和角B的度数差为，α-β，即两个角度数的差的绝对值。

--------------------------------------------
下面我们来介绍线段和角的倍数计算方法。

1.线段的倍数计算：
设线段AB的长度为a，倍数为n，那么线段AB的n倍长度为na。

2.角的倍数计算：
设角A的度数为α，倍数为n，那么角A的n倍度数为nα。

需要注
意的是，角度的n倍有时候不是一个具体的度数，而是一种表示角度大小
关系的相对概念。

线段和角的等分计算方法：
1.线段的等分计算：
设线段AB的长度为a，要将其等分成n份，那么每一份的长度为a/n。

例如，要将线段AB等分成3份，那么每一份的长度为a/3
2.角的等分计算：
设角A的度数为α，要将其等分成n份，那么每一份的度数为α/n。

例如，要将角A等分成2份，那么每一份的度数为α/2。

线与角的知识要点

线的知识点经过一点可以画无数条射线；经过一点可以画无数条直线。

经过两点只能画一条直线。

1.线段线段特点：线段有两个端点，线段有一定长度，线段可以度量。

线段命名：用线段两个端点的字母作为线段的名称。

例如：读作：线段AB 或线段BA ；读作：线段CD 或线段DC 。

线段性质：两点间所有的连线中，线段最短。

两点间距离：连接两点的线段的长度，叫这两点间的距离。

2.射线射线特点：射线只有一个端点，射线可以向一个方向无限延伸，射线不可度量。

射线命名：用射线的端点字母和射线中的一个点的字母作为射线的名称。

如：读作：射线AB注：这条射线不能读作射线BA ，因为表示射线名称的第一个字母代表发射线的位置，第二个字母代表发射线的方向。

3.直线直线特点：直线没有端点，直线可以向两个方向无限延伸，直线不可度量。

直线命名：在直线上任意取两点，用这两点的字母作为直线的名称。

例如：注：由于直线、射线都是可以无限延伸的，因此直线、射线是不可比较长短的。

1:直线。

过一点可画无数条直线；过两个能画一条直线；过三点，如果三点在一条线上，经过三点只能画一条直线，如果这三点不在一条线上，那么经过三点不能画出直线。

2.明确两点之间的距离，线段比曲线、折线要短。

3.直线、射线可以无限延长。

因为直线没有端点，射线只有一个端点，所以不可以测量，没有具体的长度。

如：直线长4厘米。

是错误的。

只有线段才能有具体的长度。

相交线和垂直线相交：两条直线相交，只有一个交点。

垂直：当两条直线相交成直角时，这两条直线相互垂直。

画垂线题型垂：1.过直线l 的一点P 画垂线PA 。

2.过直线l 外一点P 画垂线PA 。

垂线段：过直线l 外一点P 画垂线PA ，线段PA 叫作点P 到直线l 的垂线段。

垂线段性质：直线外一点P 到直线l 上点的所有连线中，垂线段最短。

点到直线的距离：过直线l 外一点P 所画垂线PA ，垂线段PA 的长度叫作点P 到直线l 的距离。

线段的长度与角度的度量

地理测绘
在地理测绘中，通过测量地球表面的各种线段长度，可以绘制出准确的地图和地理信息。
工业生产
在工业生产中，长度度量被广泛应用于产品制造、质量检测等环节，以确保产品的精度和一致性。
03
角度的度量
角度度量的基本方法
量角器的使用
量角器是度量角度的基本工具，通过将其上的刻度与待测角度对齐，可以直接读取角度值。
掌握线段长度与角度的度量方法
通过学习和实践，掌握各种线段长度与角度的度量方法，提高几何问题的解决能力。
线段与角度的基本概念
01
02
03
线段
两个端点之间的所有点的集合，具有长度、方向和位置等属性。
角度
两条射线或线段在一个平面上相交形成的夹角，其大小由夹角的度数或弧度来衡量。
度量单位
线段的长度通常用长度单位（如米、厘米等）来度量；角度的大小通常用度或弧度来度量。
06
总结与展望
本次研究的主要成果
1
提出了基于计算机视觉的线段长度和角度度量算法，实现了自动化、高精度的测量。
2
通过实验验证了算法的准确性和可靠性，证明了其在不同场景下的适用性。
3
探讨了线段长度和角度度量在实际应用中的意义和价值，为相关领域的研究提供了新思路。
对未来研究的展望
深入研究计算机视觉技术在线段长度和角度度量中的应用，提高算法的精度和效率。
在圆中，弧长与圆心角的大小成正比，弧长越长，所对应的圆心角越大。
在多边形中，边长和角度共同决定了多边形的形状，线段长度的改变会导致角度的变化。
角度对线段长度的影响
01
在直角三角形中，一个锐角的大小决定了对应边的长度，角度越大，对应边越长。

我们发现角的很多规律和线段一样

我们发现角的很多规律和线段一样
1、角的视觉:
a)角的形状：角一般是由两个线段所组成，并且角可以有多种形状，如直角，锐角，钝角，圆角等等。

b)角的大小：由两个线段所构成的角的大小，一般由围着它的两个线段的长度来决定，也可以由身角的大小公式来确定。

c)角的方向：角可以有不同的方向，这也是角与线段最大的不同之处，方向可以由角的三边来决定，当两条线段从一个点出发，并且旋转各自的角度来确定方向时，这时即可确定角的方向。

2、围绕角的元素：
a)圆角：对于有边框的元素，大多数时候都会将角部分变成圆角，这样形式看起来会更加圆滑，而且更利于人脸，多数软件中都可以通过调整来让边框的角变成圆角。

b)弧线：另外一种围绕角的元素就是弧线，它可以和角一起配合使用，它可以将边框变得更加美观，而且也符合艺术美学规范。

c)扇形：有时候还可以把角变成扇形，配合其他图形，也能给视觉带来美感，比如安全标志等都是由扇形与角组成的，也是常见的元素。

3、角的应用：
a)空间隔离：角的应用之一就是用来空间隔离，比如图书馆中的书架、家具的角落等，这都是角的典型应用之一。

b)艺术美学：另外角也可以用来作为艺术美学的元素，比如软件界面设计中的围绕角变成圆角、弧线和扇形等等，都能起到较大的美学效果。

c)测量：角也是常用于测量，比如建筑等行业会用到角度仪，这些仪器能够测量旋转的角度，从而来确定空间、距离等信息。

第一章线段角

（2）几何语言表示： OC 是 AOB 的平分线，AOB 2AOC 2COB （或 AOC COB 1 AOB）.
2
变式训练: 1．如图,填空：
(1) ABC ABD ____ ;
(2那么， (1) ABD _____ ; (2) _____ 2DBC . 3．如上图：OB是AOC 的平分线，OD是 COE 的平分线 (1)若 AOC 50 ，则 BOC ______; (2) AOC 50 ，COE 80 ，则 BOD ____ .
如图1所示．
图1
移动DEF，使其顶点 E 与ABC的顶点 B 重合，一边ED和 BA重合，出现以下三种情况，如图2所示．
图2
问题3：同学们观察DEF的另一边EF 的位置情况，
你能确定出两个角的大小关系吗？（找学生回答）
小结： ① EF与 BC重合，DEF等于ABC，记作 DEF ABC．
②EF落在ABC 的内部，DEF小于ABC，
记作DEF ABC ． ③EF落在ABC 的外部，DEF大于ABC ，
记作DEF ABC ．（2）测量法用量角器测量一个角，角的大小也可以按其度数比较．度数大的角则大，度数小的则小．反之，角大度数大，角小度数小．
2．角的和、差、倍、分
问题4：如下图，1 2，把 2 移到 1上，使它们
（2）2 在 1外部时，如图2，DEF是 1与 2的和，
记作：DEF 1 2．
图1
图2
课堂练习：
已知如下图，1 ，画2 ，使 2 1 1．
3．角平分线如右图，AOC COB 1，也就是OC把 AOB分成了两个相等的角，这条射线叫 AOB的平分线．
（1）定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．

1.三角形相关的线段及角

与三角形有关的线段及角一、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接。

2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.注意：已知两边可得第三边的取值范围是：两边之差 < 第三边 < 两边之和3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.注意：①三角形的三条高是线段；②画三角形的高时，只需要三角形一个顶点向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点，交点叫重心．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.注意：①三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线;②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．6.三角形内角与外角定理及性质⑴三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形.⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 三角形的一个外角和与之相邻的内角互补.【解读】三角形的三边关系是用不等式来描述的，它是判断线段能否组成三角形的依据。

同时，运用它也可以解决与三角形有关的线段的不等关系和求线段的取值范围的问题。

例1.老师让同学们用20cm，90cm，100cm，的三根木条搭一个三角架，小明不小心把100cm的木条折断了，他用折断后剩下的木条与另两根木条怎么搭也搭不成三角形。

判断线段及角度的关系

判断线段及角度的关系在几何学中，线段和角度是两个重要的概念。

线段是由两点确定的一条直线上的一段，而角度是由两条射线共同确定并围绕着一个点旋转形成的图形。

在判断线段和角度的关系时，我们可以通过比较它们的长度和位置来进行分析。

首先，我们来讨论线段之间的关系。

线段可以分为相等、相交和平行三种情况。

1. 相等线段：当两条线段的长度相等时，我们可以说它们是相等线段。

用符号“=”来表示相等。

例如，若线段AB的长度等于线段CD的长度，则可表示为AB=CD。

2. 相交线段：当两条线段的端点不重合，但线段之间有一部分重叠时，我们可以说它们是相交线段。

用符号“∩”来表示相交。

例如，若线段AB和线段CD有一部分共同的端点，则可表示为AB∩CD。

3. 平行线段：当两条线段之间没有任何交点，并且它们的长度也不相等时，我们可以说它们是平行线段。

用符号“∥”来表示平行。

例如，若线段AB和线段CD之间没有任何交点，并且它们的长度也不相等，则可表示为AB∥CD。

接下来，我们讨论角度之间的关系。

角度可以分为相等、补角、邻角和垂直角四种情况。

1. 相等角：当两个角的度数相等时，我们可以说它们是相等角。

用符号“≌”来表示相等角。

例如，若角A的度数等于角B的度数，则可表示为∠A≌∠B。

2. 补角：当两个角的度数之和为90°时，我们可以说它们是补角。

例如，若∠A和∠B是补角，则可表示为∠A + ∠B = 90°。

3. 邻角：当两个角共享一个公共边，并且它们的非公共边在同一直线上时，我们可以说它们是邻角。

例如，若∠A和∠B是邻角，则可表示为∠A 和∠B在同一直线上，共享边AB。

4. 垂直角：当两个角的度数之和为180°时，我们可以说它们是垂直角。

例如，若∠A和∠B是垂直角，则可表示为∠A + ∠B = 180°。

通过以上对线段和角度关系的介绍，我们可以更好地理解它们之间的联系。

线段和角度在几何学中有着重要的地位，它们的关系决定了图形的形状和属性。