数学高中巧学巧解大全

《高中数学巧学巧解大全》目录第一部分高中数学活题巧解方法总论第一篇数学具体解题方法代入法直接法定义法参数法交轨法几何法弦中点轨迹求法比较法基本不等式法综合法分析法放缩法反证法换元法构造法数学归纳法配方法判别式法序轴标根法向量平行法向量垂直法同一法累加法累乘法倒序相加法分组法公式法错位相减法裂项法迭代法角的变换法公式的变形及逆用法降幂法升幂法“1”的代换法引入辅助角法三角函数线法构造对偶式法构造三角形法估算法待定系数法特殊优先法先选后排法捆绑法插空法间接法筛选法（排除法）数形结合法特殊值法回代法（验证法）特殊图形法分类法运算转换法结构转换法割补转换法导数法象限分析法补集法距离法变更主元法差异分析法反例法阅读理解法信息迁移法类比联想法抽象概括法逻辑推理法等价转化法根的分布法分离参数法抽签法随机数表法第二篇数学思想方法函数与方程思想数形结合思想分类讨论思想化归转化思想整体思想第三篇数学逻辑方法比较法综合法分析法反证法归纳法抽象与概括类比法第二部分部分难点巧学一、看清“身份”始作答——分清集合的代表元素是解决集合问题的关键二、集合对实数说：你能运算，我也能！——集合的运算（交、并、补、子等）三、巧用集合知识确定充分、必要条件四、活用德摩根定律，巧解集合问题五、“补集”帮你突破——巧用“补集思想”解题六、在等与不等中实现等价转化——融函数、方程和不等式为一体七、逻辑趣题欣赏八、多角度、全方位理解概念——谈对映射概念的掌握九、函数问题的灵魂——定义域十、函数表达式的“不求”艺术十一、奇、偶函数定义的变式应用十二、巧记图象、轻松解题十三、特殊化思想十四、逆推思想十五、构造思想十六、分类思想十七、转化与化归思想十八、向量不同于数量、向量的数量积是数量十九、定比分点公式中应注意λ的含义二十、平移公式中的新旧坐标要分清二十一、解斜三解形问题，须掌握三角关系式二十二、活用倒数法则巧作不等变换——不等式的性质和应用二十三、小小等号也有大作为——绝对值不等式的应用二十四、“抓两头，看中间”，巧解“双或不等式”——不等式的解法二十五、巧用均值不等式的变形式解证不等式二十六、不等式中解题方法的类比应用二十七、吃透重点概念，解几学习巧入门二十八、把握性质变化，解几特点早领悟二十九、重点知识外延，概念的应用拓展三十、把握基本特点，稳步提高解题能力三十一、巧记圆锥曲线的标准方程——确定圆锥曲线方程的焦点位置三十二、巧用圆锥曲线的焦半径公式三十三、直线与圆锥曲线位置关系问题三十四、求轨迹的常用方法三十五、与圆锥曲线有关的最值问题、定值问题、参数范围问题三十六、空间问题向平面转化的基础——平面的基本性质三十七、既不平行，也不相交的两条直线异面三十八、从“低（维）”到“高（维）”，判定线面、面面的平行，应用性质则相反三十九、相互转化——研究空间线线、线面、面面垂直的“利器”四十、找（与所求角有关的线）、作（所缺线）、证（为所求）、算（其值）——解空间角问题的步骤四十一、作（或找垂线段）、证（为所求）、算（长度）——解距离问题的基本原则四十二、直线平面性质集中展示的大舞台——棱柱、棱锥四十三、突出球心、展示大圆、巧作截面——解有关球问题的要点四十四、排列、组合问题的巧解策略四十五、二项式定理的要点透析四十六、正确理解频率与概率的联系与区别四十七、要正确理解事件、准确判定事件属性四十八、求随机事件的概率的方法步骤 四十九、重要的概率模型五十、抓住关键巧判断——试验、随机试验、随机变量的判断 五十一、随机变量与函数的关系五十二、离散型随机变量分布列的两条性质的巧用五十三、理解是学习数学的上方宝剑——数学期望的巧妙理解 五十四、x 与E ξ的本质区别五十五、巧用公式快计算——公式D ξ＝E ξ2－（E ξ）2的理解与应用 五十六、公式的比较与巧记五十七、化难为易、化繁为简巧归纳 五十八、凑结论，一锤定音 五十九、取特殊，直接代换六十、巧设问，判断函数的连续性六十一、注意理解曲线 y ＝f (x) 在一点p ( x 0, y 0 )的切线概念 六十二、加强理解函数y ＝f (x)在（a ,b ）上的导函数 六十三、利用导数判断函数的单调性 六十四、利用导数证明不等式六十五、函数y ＝f (x)在点x ＝x 0处的极值理解六十六、求可导函数y ＝f (x)在区间（a ,b ）上的极值方法六十七、分清实部与虚部，转化为方程或不等式是判定复数类型的基本方法六十八、利用复数相等条件转化为方程组，复数问题实数化是求复数的基本方法 六十九、记住常用结论，简化复数运算七十、应用复数的几何意义，数形结合求与复数有关的问题郑重声明依照《中华人民共和国著作权法》，本书版权所有，任何人或单位都不得仿冒《高中理科巧学巧解大全》从事图书出版活动，不得擅自抄袭本书的研究成果，不得盗版及销售盗版图书，一旦发现，将违法图书寄往中华人民共和国新闻出版总署和工商行政管理总局，并将采取法律手段，使侵权者必将受到法律的严惩！第一部分 高中数学活题巧解方法总论一、代入法若动点),(y x P 依赖于另一动点),(00y x Q 而运动，而Q 点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式)(0x f x =，)(0x g y =，于是将这个Q 点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得P 点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。

【例1】（2009年高考广东卷）已知曲线C ：2x y =与直线l ：02=+-y x 交于两点),(A A y x A 和),(B B y x B ，且B A x x <，记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D .设点),(t s P 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合.若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；【巧解】联立2x y =与2+=x y 得2,1=-=BA x x ，则AB 中点)25,21(Q ，设线段PQ 的中点M 坐标为),(y x ，则225,221ty s x +=+=，即252,212-=-=y t x s ，又点P 在曲线C 上，∴2)212(252-=-x y 化简可得8112+-=x x y ，又点P 是L 上的任一点，且不与点A 和点B 重合，则22121<-<-x ，即4541<<-x ，∴中点M 的轨迹方程为8112+-=x x y （4541<<-x ）.【例2】（2008年，江西卷）设),(00y x P 在直线m x =)10,(<<±≠m m y 上，过点P 作双曲线122=-y x 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，定点M )0,(1m 。

过点A 作直线0=-y x 的垂线，垂足为N ，试求AMN∆的重心G 所在的曲线方程。

【巧解】设1122(,),(,)A x y B x y ，由已知得到120y y ≠，且22111x y -=，22221x y -=，（1）垂线AN 的方程为：11y y x x -=-+，由11y y x x x y -=-+⎧⎨-=⎩得垂足1111(,)22x y x y N ++，设重心(,)G x y所以11111111()321(0)32x y x x m x y y y +⎧=++⎪⎪⎨+⎪=++⎪⎩解得1139341934x y m x y x m y ⎧--⎪=⎪⎪⎨⎪-+⎪=⎪⎩由22111x y -= 可得11(33)(33)2x y x y m m--+-=即2212()39x y m --=为重心G 所在曲线方程巧练一：（2005年，江西卷）如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.，求△APB 的重心G 的轨迹方程.巧练二：（2006年，全国I 卷）在平面直角坐标系xOy 中，有一个以)3,0(1-F 和)3,0(2F 为焦点、离心率为23的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x 、y 轴的交点分别为A 、B ，且向量OB OA OM+=，求点M 的轨迹方程二、直接法直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法。

从近几年全国各地的高考数学试题来看，绝大大部分选择题的解答用的是此法。

但解题时也要“盯住选项特点”灵活做题，一边计算，一边对选项进行分析、验证，或在选项中取值带入题设计算，验证、筛选而迅速确定答案。

【例1】（2009年高考全国II卷）已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点。

若FB AF 4=，则C 的离心率为（ ）（A ）56（B ）57（C ）58（D ）59【巧解】设),(11y x A ，),(22y x B ，)0,(c F ，由FB AF 4=，得),(4),(2211y c x y x c -=-- ∴214y y -=，设过F 点斜率为3的直线方程为c y x +=3，由⎪⎩⎪⎨⎧=--+=03222222b a y a x b c y x 消去x 得：032)3(42222=++-b y c b y a b ， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+224212222133)3(36a b b y y a b c b y y ， 将 214y y -=代入得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=-224222222334)3(363a b b y a b c b y 化简得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=)3(43)3(32224222222a b b y a b c b y ，∴)3(43)3(3422422224a b b a b c b --=-， 化简得：)3(9)3(916222222a c a b a c +-=-=，∴223625a c =，25362=e ，即56=e 。

故本题选（A ）【例2】（2008年，四川卷）设定义在R 上的函数)(x f 满足13)2()(=+⋅x f x f ，若2)1(=f ，则=)99(f （ ）（A ）13（B ）2（C ）213（D ）132 【巧解】∵)(13)2(x f x f =+，∴)()(1313)2(13)4(x f x f x f x f ==+=+ ∴函数)(x f 为周期函数，且4=T ，∴213)1(13)3()3244()99(===+⨯=f f f f 故选（C ）巧练一：（2008年，湖北卷）若),1()2ln(21)(2+∞-++-=在x b x x f 上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A ．),1[+∞-B ．),1(+∞-C ．]1,(--∞D ．)1,(--∞巧练二：（2008年，湖南卷）长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，3AA 1=1，则顶点A 、B 间的球面距离是（ ）A ．π22B ．π2 C ．22πD ．42π三、定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解题。