第七节空间曲线及其方程

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7-7空间曲线及其方程

y
.
x
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2、球坐标系
设 M(x, y,z) 为空间内一点，则点M 可用
一个三元有序数组( r,,) 来确定，其中r 为原点O 与点M 间的距离，为从正z 轴来看自x
轴按逆时针方向转到向有线段 ON 的角，这里
N 为点M 在 xoy面上的投影，为有向线段
z
y y
N
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柱面坐标的坐标面
动点M(ρ, , z)
ρ =常数：柱面S
z =常数：平面
S
z
zρ
M
0 y
x
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柱面坐标的坐标面
动点M(r, , z)
ρ =常数：柱面S
z =常数：平面 =常数: 半平面P

S
z
zρ
M
P
0

y 0
| x| 3; 2
（3）同理在 yoz面上的投影也为线段.
z

1 2,
x 0
| y| 3. 2
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例5 求抛物面 y2 z2 x与平面 x 2 y z 0的截线
在三个坐标面上的投影曲线方程.
解
截线方程为
y2z2 x
zz(t)
0t 2
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例：
x 1 求直线: y t
z 2t
绕 z 轴旋转，所得旋转曲面的方程为：
x 1 t2 cos

y

1 t2 sin
z 2t
消去参数得旋转曲面的直角坐标方程为：

第七节常见曲面的方程及图形

第七节常见曲⾯的⽅程及图形第七节常见曲⾯的⽅程及图形Equation and Graph of Surface教学⽬的: 了解常见的空间曲线的标准⽅程并知道它们的图像.课题: 曲⾯及其⽅程;常见的曲⾯⽅程及其图形.教学重点: 空间曲⾯的图形及其⽅程教学难点: 常见空间曲线的图形及⽅程教学⽅法: 精讲常见曲⾯的⽅程及图形教学内容:⼀、曲⾯及其⽅程空间任⼀曲⾯都可以看作点的集合.在空间直⾓坐标系中,如果曲⾯S 上的任⼀点(,,)M x y z 的坐标满⾜三元⽅程(,,)0F x y z =,不在曲⾯上的点的坐标都不满⾜该⽅程,那么就称该⽅程是曲⾯S 的⽅程,⽽曲⾯S 是该⽅程的图形或轨迹.【例1】⼀平⾯垂直平分两点(1,2,3)A 和(2,1,4)B -间的线段,求该平⾯的⽅程.解显然所求平⾯是与A 及B 等距离的点的轨迹.在平⾯上任取⼀点(,,)M x y z ,则有MA MB =,⽽MA MB ==两边平⽅,化简,即得所求平⾯的⽅程 26270x y z -+-=⼆、常见的曲⾯⽅程及其图形1.球⾯⽅程空间动点到⼀定点的距离等于常数,此动点的轨迹即为球⾯.定点叫做球⼼,常数叫做球的半径.设球⼼在点(,,)C a b c ,半径为r ,在球⾯上任取⼀点(,,)M x y z ,有MC r =,即r =两边平⽅得2222()()()x a y b z c r -+-+-= (1)此⽅程即为所求的球⾯⽅程.当(1)式中0a b c ===,即球⼼在原点,半径为r 时,(1)式可化为2222x y z r ++=【例2】下列⽅程表⽰什么曲⾯?(1)2222440x y z x y ++---=(2)2222450x y z x y ++--+= (3)2222460x y z x y ++--+=解将⽅程左端配⽅(1) 222(1)(2)9x y z -+-+=,表⽰以点(1,2,0)C 为球⼼,半径3r =的球⾯;(2) 222(1)(2)0x y z -+-+=,由于此⽅程只有唯⼀的⼀组解:1,2,0x y z ===,即它表⽰⼀点(1,2,0);(3) 222(1)(2)1x y z -+-+=-,这时,空间任⼀点坐标都不满⾜⽅程,即没有⼏何图像,称之为虚球⾯.2.母线平⾏于坐标轴的柱⾯⽅程设⽅程中不含某⼀坐标,如不含竖坐标z ,即(,)0F x y = (2)它在xOy 坐标⾯上的图形是⼀条曲线L ,由于⽅程中不含z ,故在空间中⼀切与L 上的点(,,0)P x y 有相同纵坐标的点(,,)M x y z 均满⾜⽅程,也就是说,经过L 上的任⼀点P ⽽平⾏于z 轴的直线上的⼀切点的坐标均满⾜⽅程.反之,如果''''(,,)M x y z 与曲线L 上的任何点不具有相同的横、纵坐标,则点'M 的坐标必不满⾜⽅程(2).满⾜⽅程(2)的点的全体构成⼀曲⾯,它是由平⾏与z 轴的直线沿xOy 平⾯上的曲线L 移动⽽形成的,这种曲⾯叫做柱⾯.曲⾯L 叫做准线,形成柱⾯的直线叫做柱⾯的母线.因此⽅程(2)在空间的图像是母线平⾏于z 轴的柱⾯.同样地,⽅程(,)0F y z =的图像是母线平⾏于x 轴的柱⾯;⽅程(,)0F x z =的图像是母线平⾏于y 轴的柱⾯.(1) ⽅程 22221x y a b+= (3) 表⽰柱⾯,它的准线为xOy ⾯上的椭圆,母线平⾏于z 轴,称之为椭圆抛物⾯.在⽅程(3)中,当a b r ==,即222x y r +=时,它表⽰圆柱⾯.(2) ⽅程22221x y a b-=表⽰准线为xOy ⾯上的双曲线,母线平⾏于z 轴的柱⾯,称之为双曲圆柱⾯.(3) ⽅程22y Px =表⽰准线为xOy ⾯上的抛物线,母线平⾏于z 轴的柱⾯,称之为抛物柱⾯.3.旋转曲⾯旋转曲⾯是由⼀条平⾯曲线绕其平⾯上的⼀条直线旋转⼀周⽽成的.这条直线叫做该旋转曲⾯的旋转轴,这条平⾯曲线叫做旋转曲⾯的母线.设在yOz 平⾯上的曲线C 的⽅程为(,)0F y z =,把曲线C 绕z 轴旋转⼀周,就得到⼀个以z 轴为轴的旋转曲⾯.它的⽅程可以这样求得:设1111(,,)M x y z 为曲线C 上任⼀点,则有11(,)0F y z =,当曲线C 旋转时,点1M 转到点(,,)M x y z ,这时1z z =,点M 和1M 到z 轴的距离相等,即1y =把11,z z y ==代⼊11(,)0F y z =得()0F z =这就是所求的旋转曲⾯的⽅程.同理,xOy 平⾯上的曲线(,)0F x y =绕y 轴旋转⼀周,所得旋转曲⾯⽅程为()0F y =xOz 平⾯上的曲线(,)0F x z =绕x 轴旋转⼀周,所得旋转曲⾯⽅程为(,0F x =⽅程22z x y =+是yOz 平⾯上的抛物线2z y =绕z 轴旋转⼀周⽽成的旋转曲⾯,称为旋转抛物⾯.4.常见的⼆次曲⾯及其⽅程(1) 椭球⾯⽅程2222221x y z a b c ++=所表⽰的曲⾯叫做椭球⾯.(2) 单叶双曲⾯⽅程2222221x y z a b c +-=所表⽰的曲⾯叫做单叶双曲⾯.(3) 双叶双曲⾯⽅程2222221x y z a b c-+=-所表⽰的曲⾯叫做双叶双曲⾯.特别的,2220x y z -+=所表⽰的曲⾯叫做圆锥⾯.(4) 抛物⾯(a) 椭圆抛物⾯⽅程22(,0)22x y z p q p q =+>所表⽰的曲⾯叫做椭圆抛物⾯.(b) 双曲抛物⾯⽅程22(,0)22x y z p q p q=-+>所表⽰的曲⾯叫做双曲抛物⾯,也叫马鞍⾯.课堂练习:1. 指出下列各⽅程表⽰什么曲⾯.(1)2221x y z ++=(2)21x = (3)22z x y =+ (4)222231x y z ++=⼩结:学习了常见曲⾯的⽅程及其图形,包括球⾯、柱⾯、旋转曲⾯、⼆次曲⾯等.要求了解常见空间曲线的标准⽅程并指导它们的图像。

空间曲线及其方程

§7.6 空间曲线及其方程一空间曲线的一般方程空间曲线可看作两曲面的交线，设F x y z (,,)=0 和G x y z (,,)=0是两曲面的方程，它们的交线为C 。

曲线上的任何点的坐标x y z ,,应同时满足这两个曲面方程，因此，应满足方程组 F x y z G x y z (,,)(,,)==⎧⎨⎩00(1) 反过来，如果点M 不在曲线C 上，那么它不可能同时两曲面上。

所以，它的坐标不满足方程组(1)。

由上述两点可知：曲线C 可由方程组(1)表示。

方程组(1)称作空间曲线的一般方程。

二空间曲线的参数方程对于空间曲线C ，若C 上的动点的坐标x y z ,,可表示成为参数t 的函数x x t y y t z z t ===⎧⎨⎪⎩⎪()()() (2)随着t 的变动可得到曲线C 上的全部点，方程组(2)叫做空间曲线参数方程。

【例1】如果空间一点M 在圆柱面x y a 222+=上以角速度ω绕z 轴旋转，同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(其中：ω，v 均为常数)，那未点M 的轨迹叫做螺旋线，试建立其参数方程。

解：取时间t 为参数。

设当 t =0 时，动点与x 轴上的点 A a (,,)00 重合，经过时间t ，动点由A a (,,)00运动到M x y z (,,)。

记M 在xoy 面上的投影为'M ，它的坐标为'M x y (,,)0。

由于动点在圆柱面上以角速度ω绕z 轴旋转，经过时间t ，∠'=⋅AoM t ω从而 x a t y a t==⎧⎨⎩cos sin ωω又由于动点同时以线速度v 沿平行于z 轴正方向上升，所以z vt =因此，螺旋线的参数方程为x a t y a t z vt ===⎧⎨⎪⎩⎪cos sin ωω或令θω=⋅t ，则方程形式可化为x a y a z b b v ===⎧⎨⎪⎩⎪=cos sin (,)θθθωθ为参数螺旋线有一个重要性质：当θ从θ0变到θα0+时，z 由b θ0变到b b θα0+；这表明当oM '转过角α时，M 点沿螺旋线上升了高度h b =α；特别地，当oM '转过一周，即απ=2时，M 点就上升固定的高度为h b =2π，这个高度在工程技术上叫螺距。

§7.4空间曲线及其方程高数

单叶双曲面: x a sec cos y b sec sin 4 4 z c tan 0 2 圆环面: x ( R r cos ) cos y ( R r cos ) sin 0 2 0 2 z r sin 正螺面:
解: 取时间 t 为参数, 当 t = 0 时, 动点从 x 轴上的一点A(a, 0, 0)出发, 经过 t 时间, 运动到点M(x, y, z ), M 在xoy面上的投影为M(x, y, 0). z 由于点M在圆柱面 x2 + y2 = a2上以角速度绕 z 轴旋转, 所以经过时间 t , AOM= t. 从而: x =| OM |cosAOM= a cos t. y =| OM | sinAOM= a sin t. o M 又由于点M同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升, 所以 x A y M z=vt t x a cos t 因此, 螺旋线的参 y a sin t 数方程为: z v t
x2 y2 1 z 0
x
2
y
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空间立体
曲面
z 4 x 2 y 2 和锥面例6: 设一个立体由上半球面 z 3( x 2 y 2 ) 所围成, 求该立体在xoy面上的投影.
解: 半球面和锥面的交线为 z 4 x 2 y2 , C : z 3( x 2 y 2 ) , 消去 z 得投影柱面方程: x2 + y2 = 1. 则交线C在xoy面上的投影曲线方程为: x 2 y 2 1, z 0. 这是xoy面上的一个圆, 所以, 所求立体在xoy面上的投影(区域)为: x 2 y 2 1.

高等数学 -空间曲线及其方程

高等数学(下)
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.
2C
y
sin
1 x
,
,
求证： lim f (x, y) 0.
x0
y0
证： f (x, y) 0
x y
xy 0 xy 0
要证
ε
ε 0, δ ε 2,当0 ρ x2 y2 δ 时，总有
故
lim f (x, y) 0
x0
y0
证： Q 0 f (x, y)
x y 0 x 0, y 0
若对任意给定的 , 点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称点P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
• 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ;
• 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .

空间曲线方程

空间曲线方程
一、空间曲线及其方程
1. 空间曲线的一般式方程
空间直线可以看作是两个平面的交线，而它的方程可以用这两相交平面方程的联立方程组来表示，同样空间曲线可以看作两个曲面的交线．
设有两个相交的曲面，它们的方程分别是F1(x,y,z)=0， F2(x,y,z)=0．那么联立方程组
（7-15）就是它们交线的方程，称式(7 15）为空间曲线的一般式方程．
2x2+y2－2x=0．于是，两球面的交线在xOy面上的投影曲线方程为
最后，我们通过例题来说明，空间解析几何中由方程来描绘空间区域的方法．它在今后多元函数积分学中经常用到，要仔细体会．
二、空间曲线在坐标面上的投影
【例4】
描绘由x≥0，y≥0，z≥0，x+y≤1，y2+曲线C′在xOy坐标面上的投影曲线方程．
二、空间曲线在坐标面上的投影
同理，从式(7-17）中消去x或y，分别得投影柱面方程 G(y,z)=0或R(x,z)=0，再分别与x=0或y =0联立，即可得曲线C′在坐标面yOz面或zOx面上的投影曲线方程分别为
【例3】
求两球面x2+y2+z2=1和(x－1)2+y2+(z－1)2=1的交线在xOy面上的投影方程．
解在空间解析几何中，不等式关系描述了曲线上（下）方或内（外）的区域，为此，我们在空间直角坐标系中只要描绘出相应方程的图形，就可得到所描绘的空间区域．
方程x+y=1表示过点（1，0，0）和点（0，1，0）且平行于z轴的平面．
二、空间曲线在坐标面上的投影
x+y≤1表示以x+y=1为界，且包含原点的那个半空间．
一、空间曲线及其方程

空间曲面曲线方程

我们可以用上述平面截痕法画出单叶双曲面：
双叶双曲面椭圆抛物面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
z
x2 a2
y2 b2
的图形（如图）的图形（如图）的图形（如图）
（返回）
三、空间曲线及其在坐标上的投影 1. 空间曲线其方程：任何一条空间曲线都可以成是两个曲面的交线。设
垂直与平面X+Y+Z=0，求平面方程
解：M1M2 1,0, 2，设所求平面的法向量为 n
因 M1M2 在所求平面上，故 n M1M2
面垂直于平面 X+Y+Z=0，所以
，又所求平
i jk
n 1,1,11,0, 2 1 1 1 2,1,1
1 0 2
所求平面方程为
2(x 1) ( y 1) (z 1) 0, 即 2x y z 0
z
F(x,y,z)=0
y 0 x
例1）求与点A(2, 1, 0)和点B(1, -3, 6)等距离的点的轨迹解：设M(x, y, z)为轨迹上任一点，根据题意有 M1M M2M 将其写为坐标形式有
(x 2)2 ( y 1)2 z2 (x 1)2 ( y 3)2 (z 6)2
两边平方并整理得
解：绕 x 轴旋转的曲面方程为：
x2 a2
y2 z2 b2
1
绕 y 旋转的旋转曲面方程为：称这样的曲面为旋转椭球面
x2 z2 y2 1
a2
b2
例5．求由yoz平面上的直线z=ky绕z轴旋转而成的旋转曲面方程
解：在z=ky中，把 y 换成 x2 y2 得到所求方程为
z k x2 y2 即 z2 k2(x2 y2)

高数空间曲线及其方程

隐式方程
通过三个坐标分量之间的隐式关系来表示空间曲线，如F(x,y,z)=0，其中F为某个三元函数。
参数方程
通过引入参数来表示空间曲线上的点的坐标，如 x=x(t), y=y(t), z=z(t)，其中t为参数，可以表示空间曲线上的任意一点。
02 空间曲线的基本类型
一般空间曲线
01
参数方程形式
空间曲线与曲面的切线及法线
要点一
切线与法线的定义
空间曲线在一点处的切线是与该点处曲线相切的直线，法线则是垂直于切线的直线。对于曲面而言，切线是指曲面上一点处与曲面相切的平面，法线则是垂直于该切平面的直线。
要点二
切线与法线的性质
切线和法线在几何学和微积分学中具有重要的应用，它们可以用于描述曲线和曲面的局部性质，如斜率、曲率等。
空间曲线的基本概念
空间曲线的定义
空间曲线可以看作是一维曲线在三维空间中的推广，由无数个点组成，且每个点都有三个坐标分量。
空间曲线的分类
根据形状和性质，空间曲线可以分为多种类型，如平面曲线、直线、圆、螺旋线等。
方程表示方法
01
02
03
显式方程
通过三个坐标分量之间的显式关系来表示空间曲线，如x=f(t), y=g(t), z=h(t)，其中t为参数。
要点三
切线与法线的求解方法
对于给定的曲线或曲面方程，可以通过求导或微分的方法得到切线和法线的方程。对于空间曲线而言，需要分别求出曲线在参数变化方向上的切向量和法向量；对于曲面而言，则需要求出曲面在一点处的切平面和法线向量。
06 案例分析与实践应用
案例分析：空间曲线在实际问题中的应用
曲线的弯曲程度

空间曲线及其方程

平行于x轴的柱面
投影柱面
yoz面上的投影Cyoz为线段：
z
x
10,
| y | 1
（3）同理xoz面上的投影Czox也为线段:
z
y
10,
| x | 1.
15
例7 求抛物面 y2 z2 x 与平面 x 2 y z 0
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. z
解截线C的方程为:
y2 z2 x
y
x 2y z 0
如图,
o
x
16
（1）消去z ，得 C 在 xoy 面上的投影：
x2 5 y2 4xy x 0
,
z 0
（2）消去y ，得 C 在 zox 面上的投影：
x2 5z2 2xz 4x 0
,
y 0
（3）消去 x，得 C 在 yoz 面上的投影：
y2 z2 2y z 0
F( x, y, z) 0 G( x, y, z) 0
消去x
C yoz
:
x0 R( y, z)
0
C在zox 面上的投影 Czox:
F( x, y, z) 0 消去y G( x, y, z) 0
C z ox
:
T ( x, z)
y
0
0
9
例4
C
:
x
2
x2 (y
y2 1)2
z2 1 (z 1)2
.
x 0
17
四、一元向量值函数
1. 基本概念
(1) 一元向量值函数
r r(t), t I
其中r
xi
yj
zk ,
空间曲线的向量形式
r(t )
x(t)i

高等数学：8-7空间曲线

x 1
(1)
y2
z 4 x2 y2
(2)
yx0
z
z
oo
2y
1
x
o
2y
x
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(3) x2 z2 a2 x2 y2 a2
z a oa
y
x
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2.求上半球 0 z a2 x2 y2与圆柱体 x2 y2 ax(a 0) 的公共部分
分别在xoy面,xoz平面上投影。
z
z
x
xz20y2 ax
ay
ay
x
x2 z2 a2 (x 0, z 0) y0
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作业 P54 A类： 2; 3; 4
B类：4；5
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第7节空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影
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一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.
2C
o 1y
x
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又如,方程组
z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay
x
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二、空间曲线的参数方程
将曲线C 上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:
z
称它为空间曲线的参数方程.
例如,圆柱螺旋线的参数方程为
令 t , b v
M o
x y

大学一年级数学目录(邵燕灵版)

第一章函数、极限与连续第一节函数一、集合与区间二、函数概念三、函数的基本性质四、反函数五、复合函数六、初等函数第二节极限一、数列极限二、函数极限三、极限的性质第三节极限的运算法则一、极限的四则运算法则二、复合函数的极限运算法则第四节极限存在准则两个重要极限一、夹逼准则二、单调有界准则第五节无穷小与无穷大一、无穷小的概念二、无穷小的性质三、无穷小的比较四、无穷大第六节连续函数的概念与性质一、函数的连续性二、函数的间断点三、闭区间上连续函数的性质第二章一元函数微分学第一节导数的概念一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系第二节函数的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则二、反函数的求导法则三、复合函数的求导法则四、基本求导公式与求导法则第三节高阶导数第四节隐函数的导数与由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数二、对数求导法三、由参数方程所确定的函数的导数四、相关变化率第五节函数的微分一、微分的定义二、基本初等函数的微分公式与微分运算法则三、微分在近似计算中的应用第六节微分中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理第七节洛必达法则一、o/o型未定式二、∞/∞型未定式三、其他类型的未定式第八节泰勒公式第九节函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法二、曲线凹凸性的判定第十节函数的极值与最大值、最小值一、函数的极值及其求法二、最大值与最小值问题第十一节函数图形的描绘第十二节曲率一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径第三章一元函数积分学第一节不定积分的概念与性质一、不定积分的概念二、不定积分的性质三、基本积分公式第二节不定积分的换元积分法一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法第三节不定积分的分部积分法第四节其他类型不定积分举例第五节定积分的概念与性质一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质第六节微积分基本公式一、积分上限的函数及其导数二、牛顿一莱布尼茨公式第七节定积分的换元积分法与分部积分法一、定积分的换元积分法二、定积分的分部积分法第八节定积分的几何应用一、平面图形的面积二、几何体的体积三、平面曲线的弧长第九节定积分的物理应用举例一、变力沿直线所作的功二、液体静压力三、引力第十节反常积分一、无穷限的反常积分二、具有无穷间断点的函数的反常积分第十一节定积分的近似计算一、梯形法二、抛物线法第三章总复习题第四章微分方程第一节微分方程的基本概你念第二节可分离变量的微分方程第三节齐次方程第四节一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程二、伯努利方程第五节可降阶的高阶微分方程一、y(n)=f(x)型的微分方程二、y''=f(x，y')型的微分方程三、y''=f(y，y')型的微分方程第六节二阶常系数齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程解的性质二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法第七节二阶常系数非齐次线性微分方程一、二阶常系数非齐次线性微分方程解的性质二、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法第八节微分方程的应用举例第五章向量代数与空间解析几何第一节空间直角坐标系一、空间直角坐标系二、空间两点间的距离第二节向量及其线性运算一、向量的概念二、向量的线性运算三、向量的坐标表示四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模与方向余弦六、向量的投影第三节数量积向量积 *混合积一、两向量的数量积二、两向量的向量积*三、向量的混合积第四节平面及其方程一、平面的方程二、两平面的夹角三、点到平面的距离第五节空间直线及其方程一、空间直线的方程二、两直线的夹角三、直线与平面的夹角四、平面束第六节曲面及其方程一、曲面方程的概念二、几种常用曲面及其方程三、二次曲面第七节空间曲线及其方程一、空间曲线的方程二、空间曲线在坐标面上的投影第六章多元函数微分学第一节多元函数的基本概念一、平面点集n维空间二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性第二节偏导数一、偏导数的定义二、偏导数的计算三、高阶偏导数第三节全微分一、全微分的定义二、全微分与偏导数的关系*三、全微分在近似计算中的应用第四节平面及其方程一、平面的方程二、两平面的夹角三、点到平面的距离第五节隐函数的微分法一、一个方程的情形二、方程组的情形第六节多元函数微分学的几何应用一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线第七节方向导数与梯度一、方向导数二、梯度第八节多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值二、多元函数的最大值、最小值三、条件极值拉格朗日乘数法第七章重积分第一节二重积分的概念与性质一、二重积分的概念二、二重积分的性质第二节二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分第三节三重积分的概念和计算一、三重积分的概念二、利用直角坐标计算三重积分三、利用柱面坐标计算三重积分 *四、利用球面坐标计算三重积分第四节重积分应用一、曲面的面积二、质心和转动惯量*三、引力第八章曲线积分与曲面积分第一节对弧长的曲线积分一、对弧长曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法第二节对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标曲线积分的计算法*三、两类曲线积分之间的联系第三节格林公式曲线积分与路径无关的条件一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的条件*三、二元函数的全微分求积第四节对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法第五节对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的概念二、对坐标的曲面积分的计算法*三、两类曲面积分之间的联系第六节高斯公式与斯托克斯公式一、高斯公式*二、斯托克斯公式*第七节场的基本概念散度与旋度一、场的基本概念二、梯度场和势场三、散度与旋度第九章无穷级数第一节常数项级数的概念与性质一、常数项级数的概念二、收敛级数的基本性质第二节常数项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛第三节幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算第四节函数展开成幂级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数第五节傅里叶级数一、三角级数三角函数系的正交性二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数*四、周期为2z的周期函数的傅里叶级数第六节级数应用举例一、函数值的近似计算二、定积分的近似计算*三、计算常数项级数的和*四、欧拉公式。

高等数学第七章第七部分

2
2
1 cos 2
a
1 cos 2
a sin

2
x y z
a 2 a 2 a 2

a 2
cos
sin sin
0 2
例. 将曲线
化为参数方程
解: 根据第一方程引入参数 , 得
练习:
(1)
x 1
y2
o o
1
z
2
y
x
(2)
z
4 x y
2
2
z
y x0
o x
2 y
(3)
x z a
2 2
2 2
2
z
x y a
2
a
在第一卦限的部分
o
a
y
x
y 5x 1 y x3
z
y 5x 1 y x3
o
y
x
2

y
2
z
1
4
9
y3
思考: 对平面 y b 交线情况如何? 交线情况如何?
2
3 y
x
x y z 1 曲线 1 z 2
2 2 2
抛物面 y z x 与平面 x 2 y z 0 的截线
2 2
2 2 2
解 z
a x y 上半球面, 2 a 2 a 2 (x ) y 圆柱面, 2 4
交线如图.
二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标 x, y, z 表示成参数t 的函数:
称它为空间曲线的参数方程.
当给定 t t 1 时，就得到曲线上的一个点
随着参数的变化可得到曲线上的全部点.

第七节常见曲面的方程及图形

第七节常见曲面的方程及图形Equation and Graph of Surface教学目的: 了解常见的空间曲线的标准方程并知道它们的图像.课题: 曲面及其方程;常见的曲面方程及其图形.教学重点: 空间曲面的图形及其方程教学难点: 常见空间曲线的图形及方程教学方法: 精讲常见曲面的方程及图形教学内容:一、曲面及其方程空间任一曲面都可以看作点的集合.在空间直角坐标系中,如果曲面S 上的任一点(,,)M x y z 的坐标满足三元方程(,,)0F x y z =,不在曲面上的点的坐标都不满足该方程,那么就称该方程是曲面S 的方程,而曲面S 是该方程的图形或轨迹.【例1】一平面垂直平分两点(1,2,3)A 和(2,1,4)B -间的线段,求该平面的方程.解显然所求平面是与A 及B 等距离的点的轨迹.在平面上任取一点(,,)M x y z ,则有MA MB =,而MA MB ==两边平方,化简,即得所求平面的方程 26270x y z -+-=二、常见的曲面方程及其图形1.球面方程空间动点到一定点的距离等于常数,此动点的轨迹即为球面.定点叫做球心,常数叫做球的半径.设球心在点(,,)C a b c ,半径为r ,在球面上任取一点(,,)M x y z ,有MC r =,即r =两边平方得2222()()()x a y b z c r -+-+-= (1)此方程即为所求的球面方程.当(1)式中0a b c ===,即球心在原点,半径为r 时,(1)式可化为2222x y z r ++=【例2】下列方程表示什么曲面?(1)2222440x y z x y ++---=(2)2222450x y z x y ++--+= (3)2222460x y z x y ++--+=解将方程左端配方(1) 222(1)(2)9x y z -+-+=,表示以点(1,2,0)C 为球心,半径3r =的球面;(2) 222(1)(2)0x y z -+-+=,由于此方程只有唯一的一组解:1,2,0x y z ===,即它表示一点(1,2,0);(3) 222(1)(2)1x y z -+-+=-,这时,空间任一点坐标都不满足方程,即没有几何图像,称之为虚球面.2.母线平行于坐标轴的柱面方程设方程中不含某一坐标,如不含竖坐标z ,即(,)0F x y = (2)它在xOy 坐标面上的图形是一条曲线L ,由于方程中不含z ,故在空间中一切与L 上的点(,,0)P x y 有相同纵坐标的点(,,)M x y z 均满足方程,也就是说,经过L 上的任一点P 而平行于z 轴的直线上的一切点的坐标均满足方程.反之,如果''''(,,)M x y z 与曲线L 上的任何点不具有相同的横、纵坐标,则点'M 的坐标必不满足方程(2).满足方程(2)的点的全体构成一曲面,它是由平行与z 轴的直线沿xOy 平面上的曲线L 移动而形成的,这种曲面叫做柱面.曲面L 叫做准线,形成柱面的直线叫做柱面的母线.因此方程(2)在空间的图像是母线平行于z 轴的柱面.同样地,方程(,)0F y z =的图像是母线平行于x 轴的柱面;方程(,)0F x z =的图像是母线平行于y 轴的柱面.(1) 方程 22221x y a b+= (3) 表示柱面,它的准线为xOy 面上的椭圆,母线平行于z 轴,称之为椭圆抛物面.在方程(3)中,当a b r ==,即222x y r +=时,它表示圆柱面.(2) 方程22221x y a b-=表示准线为xOy 面上的双曲线,母线平行于z 轴的柱面,称之为双曲圆柱面. (3) 方程22y Px =表示准线为xOy 面上的抛物线,母线平行于z 轴的柱面,称之为抛物柱面.3.旋转曲面旋转曲面是由一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周而成的.这条直线叫做该旋转曲面的旋转轴,这条平面曲线叫做旋转曲面的母线.设在yOz 平面上的曲线C 的方程为(,)0F y z =,把曲线C 绕z 轴旋转一周,就得到一个以z 轴为轴的旋转曲面.它的方程可以这样求得:设1111(,,)M x y z 为曲线C 上任一点,则有11(,)0F y z =,当曲线C 旋转时,点1M 转到点(,,)M x y z ,这时1z z =,点M 和1M 到z 轴的距离相等,即1y =把11,z z y ==代入11(,)0F y z =得()0F z =这就是所求的旋转曲面的方程.同理,xOy 平面上的曲线(,)0F x y =绕y 轴旋转一周,所得旋转曲面方程为()0F y =xOz 平面上的曲线(,)0F x z =绕x 轴旋转一周,所得旋转曲面方程为(,0F x =方程22z x y =+是yOz 平面上的抛物线2z y =绕z 轴旋转一周而成的旋转曲面,称为旋转抛物面.4.常见的二次曲面及其方程(1) 椭球面方程2222221x y z a b c ++=所表示的曲面叫做椭球面.(2) 单叶双曲面方程2222221x y z a b c +-=所表示的曲面叫做单叶双曲面.(3) 双叶双曲面方程2222221x y z a b c-+=-所表示的曲面叫做双叶双曲面.特别的,2220x y z -+=所表示的曲面叫做圆锥面.(4) 抛物面(a) 椭圆抛物面方程22(,0)22x y z p q p q =+>所表示的曲面叫做椭圆抛物面.(b) 双曲抛物面方程22(,0)22x y z p q p q=-+>所表示的曲面叫做双曲抛物面,也叫马鞍面.课堂练习:1. 指出下列各方程表示什么曲面.(1)2221x y z ++=(2)21x = (3)22z x y =+ (4)222231x y z ++=小结:学习了常见曲面的方程及其图形,包括球面、柱面、旋转曲面、二次曲面等.要求了解常见空间曲线的标准方程并指导它们的图像。

空间解析几何中的空间曲线与曲面

空间解析几何中的空间曲线与曲面在数学中，空间解析几何是研究空间中的点、直线、曲线和曲面等几何元素的学科。

其中，空间曲线和曲面是解析几何中的重要概念，对于研究空间中的形状和运动非常关键。

本文将介绍空间解析几何中的空间曲线与曲面，并对其相关性质进行探讨。

一、空间曲线空间曲线是指在三维空间中的一条曲线。

常见的空间曲线包括直线、抛物线、椭圆、双曲线等。

下面以直线为例进行讨论。

1. 直线在空间解析几何中，直线可通过点和方向确定。

假设直线上有两个点A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)，则直线的方向向量为AB(x₂-x₁,y₂-y₁, z₂-z₁)。

方向向量是指从点A指向点B的向量。

除了通过两个点来确定直线外，我们还可以使用点与方向向量的形式表示直线。

设直线上一点为P(x, y, z)，则直线的参数方程为：x = x₁ + aty = y₁ + btz = z₁ + ct其中t为参数，同时a、b、c为方向向量AB的分量。

2. 抛物线、椭圆和双曲线在空间解析几何中，抛物线、椭圆和双曲线都是曲线的一种。

它们的方程可以通过二次方程来表示。

以抛物线为例，其方程一般形式为：Ax² + By² + Cz = 0其中A、B、C为实数，并且A和B不同时为零。

抛物线在空间中呈现出的形状取决于A、B和C的取值。

二、空间曲面空间曲面是指在三维空间中的一个曲面。

常见的空间曲面包括平面、球面、圆锥曲面和椭球面等。

1. 平面在空间解析几何中，平面是由三个相互垂直的坐标轴确定的。

平面可以用一个点和一个法向量来表示。

假设平面上有一点P(x₁, y₁, z₁)，该平面的法向量为N(a, b, c)，则平面的方程可以表示为：a(x-x₁) + b(y-y₁) + c(z-z₁) = 0其中(x, y, z)为平面上任意一点的坐标。

2. 球面在空间解析几何中，球面是由一个固定点O和到该点距离相等的所有点构成的曲面。

空间曲线及其在坐标面上的投影

就是C 在 xO y 面上的投影方程。
同理，若分别从方程组
FF12
( (
x x
, ,
y y
, ,
z z
) )
0 0
中消去变量x或y，分别得
方程G( y , z ) 0 或 H (x , z ) 0，则曲线C 在 yO z 面与 zO x 面的
投影方程分别为
G ( y , z ) 0 x 0
因为C上的点的坐标满足方程组
FF12
( (
x x
, ,
y y
, ,
z z
) )
0 0
,当然也满足方
程 F ( x , y ) 0 ，所以C上的点都在此柱面上。方程 F( x , y ) 0 就是曲线C 关于xO y 面的投影柱面方程。它与 xO y 面的交线
F (x , y ) 0 z 0
因此，联立方程组
FF12
( (
x x
, ,
y y
, ,
z z
) )
0 0
程，它称为空间曲线的一般式方程。 2.投影柱面及投影曲线
即为空间曲线C 的方
设空间曲线C
的方程为
FF12
( (
x x
, ,
y y
, ,
z z
) )
0 0
,过曲线C
上的每一点作
xO y 坐标面的垂线，这些垂线形成了一个母线平行于z 轴且过
z
1 2,
y 0
| x | 3 ; 2
（3）同理在 yoz 面上的投影也为线段.
z
1 2,
x 0
| y | 3 . 2
与
H (x , z ) 0 y 0

高等数学6(7)空间曲线及其方程

基本
结起来,且该折线上的点都属于D,
称开集D是连通的.
概念
连通的开集称区域或开区域.
y
如 {( x, y)1 x2 y2 4},
{( x, y) x y 0}
o
x
y
都是区域.
x y0
•
x y0 •
O•
x
35
开区域连同其边界,称为闭区域.
y
如{( x, y)1 x2 y2 4},
小结思考题作业
28
第八章多元函数微分法及其应用
多
元
从一元函数到二元函数,在内容上都会
函数
出现一些实质性的差别,而多元函数之间差
的基
异不大.因此研究多元函数时,将以二元函数为主.
本概念
29
一、预备知识
多
1. 平面点集 n 维空间
元函
一元函数
R1
数的
平面点集
R2
基本
n 维空间
Rn
x, y — 自变量, z — 因变量,
D — 定义域,
f (D) {z z f (x, y),(x, y) D} — 值域.
41
函数 z f ( x, y) 在点P( x0 , y0 )处的函数值多
记为 f ( x0 , y0 ) 或 f ( P0 ).
元函
数
类似, 可定义n元函数.
的基
2 , 上升的高度 h 2b
螺距
7
三、空间曲线在坐标面上的投影
定义投影柱面以空间曲线C为准线，母线平行于
z轴（即垂直于xOy面）的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面。投影投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线

高等数学--空间曲线及方程

xyz1的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.
解：旋转曲面方程为 zx2 y2,它与所给平面的
交线为
z x2 y2 x y z 1
此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为
xyx2y21
此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为
xyx2 y2 1 z 0
例2
方程组 ( x

a )2 2

y2

a2 4
表示怎样的曲线？
z
解 z a2x2y2
上半球面,
(xa)2y2 a2
2
4
圆柱面,
交线如图.
o ay
x
二、空间曲线的参数方程
x x(t)

y

y(t)
空间曲线的参数方程
z z ( t )
当给定t t1时，就得到曲线上的一个点 (x1,y1,z1)，随着参数的变化可得到曲线上的全
解半球面和锥面的交线为
C:z 4x2 y2, z 3(x2 y2),
消去 z得投影 x2柱 y2 面 1,
则交C线在xoy面上的投影为
x2 y2 1,
一个圆,
z 0.
所求立x体 o面 y在上的投影为
x2y21.
四、小结
空间曲线的一般方程、参数方程．
2, 上升的高度 h2b螺距
例4. 将下列曲线化为参数方程表示:
(1)
x2

y2
1
2x 3z 6
(2)zx2 ay22xa2xy02
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
xco t s
ysint
(0t2)
z1 3(62cot)s

空间曲线及其方程

1.2 空间曲线的参数方程
例 3 如果空间点 M 在圆柱面 x2 y2 a2 上以角速度绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v
沿平行于 z 轴的正方向上升（其中，v 都是常数），那么点 M 构成的图形称为螺旋线．试建
立其参数方程．
分析关键是确定参数．已知动点 M 的运动角速度和线速度，则动点坐标与时间有关，可以以时间 t 为参数．
1.4 空间曲线在坐标面上的投影
定义以曲线 C 为准线，且母线平行于 z 轴的柱面称为曲线 C 关于 xOy 面的投影柱面．这个投影柱面与 xOy 面的交线称为空间曲线 C 在 xOy 面上的投影曲线，如图所示．投影曲线的方程为
H (x ，y) 0 ， z 0．
同理可得，曲线 C 在 yOz 面或 zOx 面上的投影曲线方程为
x2 y2 1．
高等数学
动，方程（9-17）便是旋转曲面的方程．
例如，球面 x2 y2 z2 a2 可看成 zOx 面上的半圆周
x a sin ，
y
0
，
(0 π)
z a cos ，
x a sin cos ，
绕 z 轴旋转所得，故球面方程为
y
a
sin
sin
，(0
π ，0
2π)
z a cos ，
*1.3 曲面的参数方程
技术上称为螺距.
*1.3 曲面的参数方程
曲面的参数方程通常含有两个参数，形如
x x(s ，t) ，
y
y(s
，t)
，
z z(s ，t) ．
例如，空间曲线
x (t) ，
y
(t)
，(
t
)
z (t) ，

空间曲线直线及方程

5. 直线的平面束方程
x y z 1 0
例9 求L : x y z 1 0在Π : x y z 0的投影直线
解：分析：关键是找过L且垂直于Π的平面Π0
由平面束方程, 设 Π0： y z 1) ( x y z 1) 0 (x
即： (1 ) x (1 ) y ( 1) z ( 1) 0 Π0 Π n0 n n0 n 0
1 (1 ) 1 (1 ) 1 ( 1) 0 1
即：Π0 : y z 1 0
x 1 y 2 z L: 0 1 1
例 7
2 x y z 4 0 Π1 将L：化为对称式、参数式 x y z 1 0 Π2
x 1 或： y 2 t —参数式 z t
例 7 2：由原式消去z得：x 1 0 解法
第五节
空间曲线及其方程空间直线及其方程
一、一般方程
空间曲线的一般方程为：
F ( x, y, z ) 0 是一条空间曲线 (7) G( x, y, z ) 0
即：可以看成是空间两条曲面的交线： S1：F ( x, y, z ) 0, S2：G( x, y, z ) 0
*
注：空间曲线的方程不唯一！
二、直线及其方程
1. 直线的一般方程
A1 x B1 y C1 z D1 0 — Π1 L： A2 x B2 y C2 z D2 0 — Π2
注：同一条直线可以用不同的相交平面得到。
—相交平面族
图略！
设直线L // s ，且过点M 0 ( x0 , y0 , z0 ), s (m, n, p)

第七节 空间曲线及其方程

7-7空间曲线及其方程

第七节常见曲面的方程及图形

空间曲线及其方程

§7.4空间曲线及其方程高数

高等数学 -空间曲线及其方程

空间曲线方程

空间曲面曲线方程

高数空间曲线及其方程

空间曲线及其方程

高等数学：8-7空间曲线

大学一年级数学目录(邵燕灵版)

高等数学第七章第七部分

第七节常见曲面的方程及图形

空间解析几何中的空间曲线与曲面

空间曲线及其在坐标面上的投影

高等数学6(7)空间曲线及其方程

高等数学--空间曲线及方程

空间曲线及其方程

空间曲线直线及方程

第七节空间曲线及其方程