数学思想方法教学的实践与思考

数学思想方法教学的实践与思考作者：林伟来源：《中学数学杂志(高中版)》2013年第04期《数学课程标准》把数学思想方法作为基础知识的重要组成部分，这是加强素质教育，实施中学数学教学现代化的重要举措那么在数学教学中如何进行数学思想方法教学呢？笔者作如下思考：1数学思想方法的含义和内容我国古代教育家孔子说：“授之以鱼，不如授之以渔” 道出思想和方法的重要性数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动的一种结果它是数学中处理问题的基本观点，是对数学基础知识与基本方法的概括，是创造性地发展数学的指导方针.数学方法是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中包含的可操作的规则或模式.数学思想和数学方法两者既统一又有区别数学思想是对数学知识和方法的本质认识，它是数学思维的结晶和概括，是解决数学问题的灵魂和根本策略而数学方法则是数学思想的具体表现形式，是实现数学思想的手段和重要工具运用数学方法解决问题的过程，是感性认识不断积累的过程当这种积累达到一定程度时产生飞跃，从而上升为数学思想，因此，数学思想对数学方法起指导作用.中学数学思想方法大致可以分为三类：第一类称之为技巧型思想方法如消元、降次、配方、换元、待定系数方法，它们与知识并存，与解决具体问题紧密联系在一起，提供一定的操作步骤第二类是逻辑型思想方法如类比、分类、归纳、演绎、分析、综合、反证等方法这些方法有具体的逻辑结构，是普遍适用的推理论证模型第三类是宏观型思想方法，如以符号代数思想、方程与函数思想、分类讨论思想、整体思想、对数思想、分解与组合思想、数形结合思想、转化思想、数学模型等它们带有思想、观点的属性.2数学思想方法教学的意义正如一位哲人所说：“能使学生获得受用终身的东西的那种教育，才是最高尚最好的教育” 数学思想方法的教学，正是这样一件富有意义的工作数学思想方法属于基础知识的范畴数学基础知识分为形式化知识和策略性知识两大类数学思想方法属于策略性的知识，是人们对客观事物在量和形方面的本质认识，以及研究或解决问题并使之达到某种目的手段、方式和程序，由于数学研究的是现实世界中的量和形，而不研究事物的质两种不同事物，如果具有相同的量和形，它们的数学形式就是相同的因此，数学的形式化知识（法则、公式定理等）本身就体现了一种一般性的科学方法另一方面，随着科学技术的飞速发展，学生将来从事的生产活动已不再是简单、机械的劳动，将含有较高的智力成份，能使他们终身受益的不是形式的知识而是那些能有效地解决问题的思想和方法以上说明了学生掌握数学思想方法对学生将来的工作、学习的重要性这充分表明数学思想方法的教学应置于整个数学教学的突出地位.21数学思想方法是数学教学的内容之一数学教材包括两条主线：一是数学知识，这是写在教材上的明线；一是数学思想方法，这是编写教材上的一条暗线对于教材中概念、定理、公式等知识是数学的外在形式，而数学思想方法则是数学发展的动力没有不包含数学方法的知识，也没有游离于数学知识之外的方法，只有知识和方法的有机结合，才能从整体上把握数学教学因此重视数学思想方法的研究，是数学教学改革的新课题.22数学思想方法是数学的精髓《数学课程标准》总体目标明确指出：“获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用” 可见，数学思想方法是在数学活动中解决数学问题的根本方法，是对数学内在规律的理性认识，它在数学活动中起决策作用数学思想方法是数学活动中解决数学问题的根本手段、途径和方式，它为数学问题的求解、数学知识的获取提供了可能当学生一旦掌握了一种新的数学思想方法，思维就提高到一个新的层次，解答数学问题的能力便有较大的提高在教学中注意数学思想和方法，这是把知识型教学转化为能力型教学的关键，是培养创造型人才的良好手段和渠道所以重视数学思想方法的研究，等于找到了数学教学中进行素质教育的突破口.2数学思想方法的教学能培养学生良好的素质数学思想方法的教学能培养学生良好的数学观念，深刻理解数学，掌握解决问题的技能，提高数学素质，造就开拓型、创造型人才只有用数学思想武装起来的学生，解决问题才有洞察力，传统的数学教学，因掩盖了思想方法的教学，从而影响了学生素质的发展，数学思想方法则是帮助构建解题思路的指导思想“问题解决”依然是数学教育的中心课题因此重视数学思想方法的研究是指导学生学会独立分析问题、解决问题的重要途径，从而形成更佳的智能结构，让学身终生受益.数学思想方法的教学原则1渗透性的原则：数学思想和方法常常蕴含在数学知识系统之中，要求教师进行数学思想方法教学时必须以数学知识为载体，有意识潜移默化地把数学思想渗透在知识教学过程中，把藏于知识背后的思想方法显示出来，才能通过知识传授过程达到思想方法教学的目的，逐步加深学生对数学思想的认识.2循序渐进原则：数学思想方法的形成比知识的理解掌握还难，不是一朝一夕能完成的它既有近期效益，又有长期效果只能经过多次反复，采取“小步走”、“多层次”的方法才能奏效数学思想方法教学与知识教学，与学生认知水平相适应，按照反复孕育，初步形成，应用发展的顺序完成，结合不同阶段的知识教学，有意识地反复孕育同一个数学思想方法尤其重要，可收到潜移默化，水到渠成之效.参与性原则：数学知识教学是数学认识活动结果的教学，重在记忆理解数学思想方法教学是数学活动过程的教学，重在思辨操作在数学思想方法教学时，要求学生在教学过程中充分发挥学生主体作用，引导学生积极参与教学过程，使在学生动脑、动手、动口的过程中，自觉主动地学习数学思想方法，要积极创造条件让学生参与数学思想方法的提炼.4数学思想方法的教学措施41提高渗透的意识性在教学过程中，数学思想和方法应占有中心的地位“占有把数学大纲中所有的，为数很多的概念，所有的题目和章节联结成一个统一的学科的核心地位” 这就是要突出数学思想和方法的渗透强化渗透意识，这是数学教学改革的需要，也是新时期素质教育对每一位数学教师提出的新要求素质教育要求：“不仅要使学生掌握一定的知识技能，而且还要达到领悟数学思想，掌握数学方法，提高数学素质养成的目的” 这就要求教师不断增强数学思想方法教学的意识，应深入钻研课程标准、教材，对数学教材中蕴含的数学思想方法有个全面认识，以便在制订教学目标，确定教学要求，采用教学方法时，突出数学思想方法的作用例如，新教材改变了学习代数从有理数入手的传统做法如数形结合的思想，在数学的几乎全部的知识中，处处以数学对象的直观表象及深刻精确的数量表达这两方面给人以启迪，为问题的解决提供简捷明快的途径它的运用，往往展现出“柳暗花明又一村”般的数形和谐完美结合的境地案例1高中数学（必修1）p1例：“求方程x + lg x = 在区间（2，）内的近似解” 教学参考中是这样解的：解在同一坐标系内画出函数y = lg x 及y = – x 的图象，求得交点的横坐标x≈26，这个x 值近似地满足lg x = – x，所以它就是原方程的近似解如果就此结束本题的解答，将失去渗透函数思想教学的好时机我的做法是：先让学生用类似的方法解方程x2 = 4x，学生很快画出图形，得出结果至此，要不失时机地作出小结：一般地，方程f（x）=g（x）的解就是函数f（x）与g（x）的图象的交点的横坐标，从而为用函数的方法解决方程的问题提供了依据，这正是函数思想的体现.42注意把握学生思想方法的层次性.根据《数学课程标准》精神，中学数学思想有转化思想、分类讨论的思想数学方法有分类法、类比法、反证法、待定系数法、消元法、换元、图象法等从知识和思想方法的关系来看，数学思想方法隐含在知识里，体现在知识的应用过程中，数学思想方法是渗透在全部数学教学内容之中的从学生的认识规律来看，数学思想方法的掌握不象知识的理解可以短期内完成那样，而要经历一个过程，简单表述为“了解”￣——“理解”——“掌握”——“会用”的过程从学生的个别差异来看，也存在着认识不同步的现象，因此数学思想方法的教学以采用渗透为合适这里“了解”、“理解”、“掌握”、“会用”是教学要求的具体尺子如函数、方程、不等式的关系，当函数值等于、大于或小于一常数时，分别可得方程，不等式，联想函数图象可提供方程，不等式的解的几何意义运用转化、数形结合的思想，这三块知识可相互为用注意总结建构数学知识体系中的数学思想方法，揭示思想方法对形成科学的系统的知识结构，把握知识的运用，深化对知识的理解等数学活动中的指导作用在数学知识教学的同时，把握数学思想方法的层次性，必须注重数学方法的有机渗透.4在知识发生过程中，适时渗透数学思想方法《数学课程标准》明确指出：“数学教学，不仅需要教给学生数学知识，而且还要提示获取知识的思维过程” 这一思维过程就是思想方法传授学生以数学思想，教给学生以数学方法在数学教学过程中要向学生展现要领的形成过程，结论的指导过程，方法的思考过程，问题的发现过程，规律的被揭示过程等这都是向学生渗透数学思想方法，训练思维，培养能力的较好机会将发现过程中的活生生的数学“返朴归真”地交给学生，让学生亲自参与“知识再发现”的过程，吸取更多的思维营养如几何体体积公式的推导体系，集公理化思想、转化思想、等积类比思想及割补转换方法之大成，就是这些思想方法灵活运用的完美范例只有通过展现体积问题解决的思路分析，并同时形成系统的条理的体积公式的推导线索，才能把这些思想方法明确地呈现在学生的眼前学生才能从中领悟到当初数学家的创造思维进程，这对激发学生的创造思维，形成数学思想，掌握数学方法的作用是不可低估的案例2高中数学（必修1）p1—2，有关函数的单调性和奇偶性的知识，是数形结合思想渗透教学的最好材料，教学中要充分抓住这一有利时机函数f（x）在区间A上是增函数或减函数可直观地用下图示意：通过图象的直观性，可使学生深刻理解函数的单调性，也使学生对增函数、减函数的定义有更加明确的认识.函数的奇偶性实质上是一种对称性，而对称本来就是一个几何概念，因而用数形结合的思想方法解决有关奇偶性的问题再自然不过了.44注意对数学思想方法的提炼、归纳.由于同一内容可表现不同的教学方法，而同一数学思想方法又常分布在许多不同的知识点里我们应该经常反复提炼、概括，才能促使大多数学生理解方法的实质，进而上升到数学思想方法的高度如函数图象变换的复习中，我把散见于二次函数、反函数、正弦型函数等知识中的平移、伸缩、对称变换，引导学生运用化曲线间的关系为对应动点之间的关系的转化思想及求相关动点轨迹的方法统一处理，得出图象变换的一般结论深化学生图象变换的认识，提高了学生解决问题的能力及观点.《解析几何》中，在研究圆锥曲线时，“平面内的一个动点到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹”，当1时为双曲线这是进行分类思想教学的典型内容，教师要充分利用这一材料，适时进行归纳小结.4在解题教学中，加强对数学思想方法的指导.教学大纲明确指出：“要加强对解题的正确指导，要引导学生从解题的思想和方法上作必要的概括” 这就是新教材的新思想其实，数学问题的解决过程，实质是命题不断变换和数学思想方法反复运用的过程；数学思想方法则是数学问题解决的观念性成果，它存在于数学问题的解决之中数学问题的步步转化，无不遵循数学思想方法指示的方向因此，在解题教学中，要十分注意研究解题的指导策略，结合教学内容不失时机地对学生运用数学思想方法解决问题加强指导，引导学生学习知识，掌握方法，形成思维只有这样，学生才会受到数学思想方法的教育，这对于优化学生思维品质，提高学生创造思维能力，具有十分重要的意义如解题中求二面角大小最常用的方法之一就是：根据已知条件，在二面角内寻找或作出过一个面内一点到另一个面上的垂线，过这点再作二面角的棱的垂线，然后连结二垂足这样平面角即为所得的直角三角形的一锐角这个通法就是在化立体问题为平面问题的转化思想的指导下求得的其中三垂线定理在构图中的运用，也是分析，联想等数学思维方法运用之所得作者简介林伟，男，1969年11月出生中学数学高级教师现任深圳第二实验学校教师发展部主任、学校学术委员会秘书长享受政府特殊津贴，广东省名教师、全国模范教师、全国“十杰教师”提名奖获得者、第二届全国教育改革创新教师奖出版专著8部，发表论文2多篇研究方向：课堂教学与管理、教材教法研究、高考研究。