第二章 随机变量及其分布

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解：按 第一 种方法 。 。 以X记“ 第一 人维护 的20台 中同 一时刻 发生故 障的 台数” 以A ( i =1,2,3,4) 表 示事 件“第人 i 维护的 台 20 中发 生故障 不能 i 及时维 修” ，则知 80台中 发生 故障不 能及 时维 修的概 率为 ：
而X ∼ b ( 20, 0.01) , 故有：
(p+q=1)
* n重贝努利试验：设试验E只有两个可能的结果： A, A 重贝努利试验：设试验E只有两个可能的结果： p(A)=p,0<p<1,将E独立地重复进行n次，则称这一串重复 独立地重复进行n 则称这一串重复 , 的独立试验为n重贝努利试验。 独立试验为n重贝努利试验 试验为 在相同条件下 重复进行
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有一大批产品，其验收方案如下：先作第一次检验， 例：有一大批产品，其验收方案如下：先作第一次检验， 从中任取10件 经检验无次品接受这批产品，次品数大于2 从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大于2拒 10 否则作第二次检验，从中任取5 仅当5 收；否则作第二次检验，从中任取5件，仅当5件中无次品便 接受这批产品，设产品的次品率为p 接受这批产品，设产品的次品率为p． 求这批产品能被接受的概率L(p)． 求这批产品能被接受的概率 ． 为第一次抽得的次品数， 为第二次抽得的次品数 为第二次抽得的次品数； 解：设X为第一次抽得的次品数，Y为第二次抽得的次品数； 为第一次抽得的次品数 (10,p) (5,p) 则X～b(10, )，Y～b(5, )， ～ (10, ～ (5, P( A|1 ≤ X ≤ 2) X=i} Y=j}独立。A={接受该批} ={接受该批 且{X=i}与{Y=j}独立。A={接受该批}。 = P(Y = 0|1≤ X ≤ 2)
2 ) P( X ≥ 1) = 1 − P( X = 0) = 1 − (1 − p) n (
同时可知： 同时可知： lim P ( X ≥ 1) = 1
n →∞
上式的意义为： 较小， 充分大， 上式的意义为：若p较小，p≠0,只要 充分大，至 较小 ,只要n充分大 少有一次命中的概率很大。 小概率事件” 少有一次命中的概率很大。即“小概率事件”在 大量试验中“至少有一次发生”几乎是必然的。 大量试验中“至少有一次发生”几乎是必然的。
即每次试验结果 互不影响
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例：
独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果： 1. 独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果： 正面，反面， 正面，反面， P (出现正面 ) = 1 2 2.将一颗骰子抛n 2.将一颗骰子抛n次，设A={得到1点}，则每次试验 将一颗骰子抛 A={得到1 得到 只有两个结果： 只有两个结果：A, A, P A = 1 6
推导：设Ai={ 第i次A发生 }，先设n=3
P( X = 0) = P( A1 A 2 A3 ) = (1 − p)3
1 P ( X = 1) = P( A1 A 2 A3 U A1 A 2 A3 U A1 A 2 A3 ) = C3 p1 (1 − p)3−1
P( X = 2) = P( A1 A 2 A3 U A1 A 2 A3 U A1 A 2 A3 ) = C32 p 2 (1 − p)3− 2
P ( X = 3) = P( A1 A 2 A3 ) = p 3
k 一般 P( X = k) = Cn pk (1− p)n−k , k = 0,1,2,L, n
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例： 设有80台同类型设备， 设有80台同类型设备，各台工作是相互独 80台同类型设备 立的，发生故障的概率都是0.01 0.01， 立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备 的故障能有一个人处理。 的故障能有一个人处理。 考虑两种配备维修工人的方法， 考虑两种配备维修工人的方法， 其一是由4个人维护，每人负责20 20台 其一是由4个人维护，每人负责20台； 其二是由3个人共同维护80 80台 其二是由3个人共同维护80台。 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时 维修的概率的大小。 维修的概率的大小。
(1)
P( X ≥ 2) = 1 − P( X = 0) − P( X = 1) = 1 − e
(1 + 4.5) = 0.9389
( 2)
P( X = 2) = 0.1198 P ( X = 2 | X ≥ 2) = P ( X ≥ 2)
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二 分布 泊 分 有 项 与 松 布 以下 似 式 近 公 ：
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某人骑了自行车从学校到火车站， 例：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上 要经过3个独立的交通灯， 要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独 且设各灯为红灯的概率为p 0<p<1， 立，且设各灯为红灯的概率为p，0<p<1， 表示一路上遇到红灯的次数。 以Y表示一路上遇到红灯的次数。 (1)求 的概率分布律； (1)求Y的概率分布律； (2)求恰好遇到 次红灯的概率。 求恰好遇到2 (2)求恰好遇到2次红灯的概率。 解：这是三重贝努利试验 Y ~ b(3, p)
P ( X = k ) = P( A1 A2 ⋅⋅⋅ Ak −1 Ak ) = (1 − p ) k −1 p, k = 1, 2, ⋅⋅⋅
亦称X为服从参数 的几何分布。 亦称 为服从参数p的几何分布。 为服从参数
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三个主要的离散型随机变量
0－1(p) 分布 二项分布
X p 0 q 1 p
样本空间中只 有两个样本点
k P ( X = k ) = Cn p k (1 − p ) n − k ， = 0，⋅⋅⋅，n k 1，
并称X服从参数为 的二项分布， 并称 服从参数为n ,p的二项分布，记 X ~ b(n, p) 服从参数为 的二项分布
k 注： = ( p + q) = ∑Cn pk qn−k 其中q =1− p 1 n k =0 n
第二章 随机变量及其分布
关键词：
随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数常见的两类试验结果： 常见的两类试验结果：
降雨量；候车人数； 示数的——降雨量；候车人数；发生交通事故的次数… 明天天气（ ）；化验结果 阳性，阴性） 化验结果（ 示性的——明天天气（晴，多云…）；化验结果（阳性，阴性）…
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例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经 某人骑自行车从学校到火车站， 个独立的交通灯，设各灯工作独立， 过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设 各灯为红灯的概率为p， 各灯为红灯的概率为 ，0<p<1，以X表示首次 1 停车时所通过的交通灯数， 的概率分布律。 停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。 的概率分布律 解： ={第 个灯为红灯 个灯为红灯} 设Ai={第i个灯为红灯}，则P(Ai)= ，i=1,2,3 ( )=p， =1,2,3 相互独立。 且A1,A2,A3相互独立。
( ) ( 0.01) ( 0.99 )
k
20 − k
= 0.0169
按第二种方法。以Y记 台中同一时刻发生故障的台数， 80 80 故 台中发生故障而不能及时维修的概率为：
k P {Y ≥ 4} = 1 − ∑ ( C80 ) ( 0.01) ( 0.99 ) 3 k k =0 80 − k
= 0.0087
X P
x1 p1 x2 p2
… …
xi pi
… …
pi ≥ 0, ∑ pi = 1
i =1
∞
样本空间S＝{ X=x1，X=x2，…，X=xn，… } 由于样本点两两不相容 ∞ ∞
1 = P(S) = ∑P( X = xi ) = ∑ pi
i=1 i=1
# 概率分布
写出可能取值－－ －－即写出了样本点 1、写出可能取值－－即写出了样本点 写出相应的概率－－ －－即写出了每一个样本点出现的概率 2、写出相应的概率－－即写出了每一个样本点出现的概率
中心问题： * 中心问题：将试验结果数量化
s e x
－－为 上的单值函数， X=f(e)－－为S上的单值函数，X为实数
定义：随试验结果而变的量X为 * 定义：随试验结果而变的量 为随机变量
*
常见的两类随机变量
离散型的 连续型的
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§2
离散型随机变量及其分布
定义： 定义：取值可数的随机变量为离散量 离散量的概率分布(分布律) 离散量的概率分布(分布律)
P( X = 0) = P( A1 ) = p ；
P ( X = 1) = P ( A1 A2 ) = (1 − p ) p ；
P ( X = 2) = P ( A1 A2 A 3 ) = (1 − p ) 2 p ；
P ( X = 3) = P ( A1 A2 A 3 ) = (1 − p ) 3 ；
X p 0 p 1 p(1-p) 2 3
注意： = 0) , ( X =1) , ( X = 2) (X
( X = 3) 为S的一个划分
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(1-p)2p (1-p)3
从生产线上随机抽产品进行检测， 例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品 的次品率为p 0<p<1， 的次品率为p，0<p<1，若查到一只次品就 得停机检修，设停机时已检测到X只产品， 得停机检修，设停机时已检测到X只产品， 试写出X的概率分布律。 试写出X的概率分布律。 ={第 次抽到正品} i=1,2,… 解：设Ai={第i次抽到正品}，i=1,2,… 相互独立。 则A1,A2,…相互独立。
当 >10, p < 0.1 , n 时
k Cn pk
(1− p)
n−k
e−λλk , 其 λ = np ≈ 中 k ！
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泊松分布(Poisson分布) 泊松分布(Poisson分布) (Poisson分布 若随机变量X 若随机变量X的概率分布律为 e−λλk