概率论二维随机变量及其分布
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一、二维随机变量 在实际应用中，有些随机现象需要同时用两个或以 上的随机变量来描述. 例如，研究某地区学龄前儿童
前儿童的发育情况时，就要同时抽查儿童的身高 X 、 体重Y , 这里，X 和 Y 是定义在同一样本空间
S {某地区的全部学龄前儿童}
上的两个随机变量. 在这种情况下，我们不但要研究 多个随机变量各自的统计规律，而且还要研究它们之 间的统计相依关系，因而需考察它们的联合取值的统
二维随机变量的分布函数
记为
F ( x, y) P{( X x) (Y y)} P{X x,Y y}
称为二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数或称为随
二维随机变量的分布函数
记为
F ( x, y) P{( X x) (Y y)} P{X x,Y y}
称为二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数或称为随机 变量 X 和 Y 的联合分布函数. 若将二维随机变量 ( X ,Y ) 视为平面上随机点的坐
计规律，即多维随机变量的分布. 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，故我们
二维随机变量 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，故我们
二维随机变量 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，故我们 重点讨论二维随机变量.
定义 设随机试验的样本空间为 S, 而 X X (e),Y Y (e)
注：以上四个等式可从几何上进行说明.
（2）F ( x, y) 关于 x 和 y 均为单调非减函数，即
联合分布函数的性质 注：以上四个等式可从几何上进行说明.
（2）F ( x, y) 关于 x 和 y 均为单调非减函数，即 对任意固定的 y, 当 x2 x1, F( x2 , y) F( x, y1), 对任意固定的 x, 当 y2 y1, F( x, y2 ) F( x, y1); （3）F ( x, y) 关于 x 和 y 均为右连续，即 F ( x, y) F ( x 0, y), F ( x, y) F ( x, y 0).
二维随机变量的分布函数
P{ x1 x x2 , y1 y y2 } F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y2 ) F ( x1, y1 ). 若已知 ( X ,Y )的分布函数F ( x, y), 则可由F ( x, y) 导出 X 和 Y 各自的分布函数 FX ( x) 和 FY ( y) :
FX ( x) F ( x,) FY ( y) F (, y) 分别称 FX ( x)和 FY ( y) 为F ( x, y)关于 X 和Y 的
边缘分布函数. 联合分布函数的性质
完
联合分布函数的性质
随机变量 ( X ,Y )的联合分布函数
F ( x, y) P{ X x,Y y}.
联合分布函数的性质：
是定义在 S 上的两个随机变量，称( X ,Y )为定义在 S
上的二维随机变量或二维随机向量.
注： 一般地，称 n 个随机变量的整体 X ( X1, X2 , , Xn )为 n 维随机变量或随机向量.
完
二、二维随机变量的分布函数
二维随机变量 ( X ,Y )的性质不仅与 X 及 Y 有关，
而且还依赖于这两个随机变量的相互关系, 故需
F(x, y) P{X x,Y y}
就是随机点 ( X ,Y ) 落入区域
{(t, s) | t x, s y}
的概率(如图1).
由概率的加法法则，随机点( X ,Y ) 落入矩形域
{ x1 x x2 , y1 y y2 }
y
y2
( x2 , y2 )
的概率
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y1
P{ x1 x x2 , y1 y y2 }
(1) 0 F ( x, y) 1, 且 对任意固定的 y, F (, y) 0,
y
(x, y)
O
x
对任意固定的 x, F ( x,) 0,
F (,) 0, F (,) 1;
注：以上四个等式可从几何上进行说明.
（2）F ( x, y) 关于 x 和 y 均为单调非减函数，即
联合分布函数的性质
FX ( x) F( x,)
FY ( y)
F(, y)
二维随机变量的分布函数
P{ x1 x x2 , y1 y y2 } F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y2 ) F ( x1, y1 ). 若已知 ( X ,Y )的分布函数F ( x, y), 则可由F ( x, y) 导出 X 和 Y 各自的分布函数 FX ( x) 和 FY ( y) :
标，则分布函数
F(x, y) P{X x,Y y} 就是随机点 ( X ,Y ) 落入区域
{(t, s) | t x, s y}
二维随机变量的分布函数
F(x, y) P{X x,Y y} 就是随机点 ( X ,Y ) 落入区域
{(t, s) | t x, s y}
二维随机变量的分布函数
FX ( x) P{X x} P{X x,Y } F( x,)
FY ( y) P{Y y} P{X ,Y y} F(, y)
二维随机变量的分布函数
P{ x1 x x2 , y1 y y2 } F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y2 ) F ( x1, y1 ). 若已知 ( X ,Y )的分布函数F ( x, y), 则可由F ( x, y) 导出 X 和 Y 各自的分布函数 FX ( x) 和 FY ( y) :
O x1
x2 x
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 )
F ( x1, y2 ) F ( x1, y1 ).
图 2.
二维随机变量的分布函数
P{ x1 x x2 , y1 y y2 } F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 )
F ( x1, y2 ) F ( x1, y1 ).
将 ( X ,Y ) 作为一个整体进行研究. 与一维情况类
似, 我们也借助“分布函数”来研究二维随机变量.
定义 设 ( X ,Y ) 是二维随机变量，对任意实数 x, y,
二元函数
记为
F ( x, y) P{( X x) (Y y)} P{X x,Y y}
称为二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数或称为随
前儿童的发育情况时，就要同时抽查儿童的身高 X 、 体重Y , 这里，X 和 Y 是定义在同一样本空间
S {某地区的全部学龄前儿童}
上的两个随机变量. 在这种情况下，我们不但要研究 多个随机变量各自的统计规律，而且还要研究它们之 间的统计相依关系，因而需考察它们的联合取值的统
二维随机变量的分布函数
记为
F ( x, y) P{( X x) (Y y)} P{X x,Y y}
称为二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数或称为随
二维随机变量的分布函数
记为
F ( x, y) P{( X x) (Y y)} P{X x,Y y}
称为二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数或称为随机 变量 X 和 Y 的联合分布函数. 若将二维随机变量 ( X ,Y ) 视为平面上随机点的坐
计规律，即多维随机变量的分布. 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，故我们
二维随机变量 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，故我们
二维随机变量 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，故我们 重点讨论二维随机变量.
定义 设随机试验的样本空间为 S, 而 X X (e),Y Y (e)
注：以上四个等式可从几何上进行说明.
（2）F ( x, y) 关于 x 和 y 均为单调非减函数，即
联合分布函数的性质 注：以上四个等式可从几何上进行说明.
（2）F ( x, y) 关于 x 和 y 均为单调非减函数，即 对任意固定的 y, 当 x2 x1, F( x2 , y) F( x, y1), 对任意固定的 x, 当 y2 y1, F( x, y2 ) F( x, y1); （3）F ( x, y) 关于 x 和 y 均为右连续，即 F ( x, y) F ( x 0, y), F ( x, y) F ( x, y 0).
二维随机变量的分布函数
P{ x1 x x2 , y1 y y2 } F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y2 ) F ( x1, y1 ). 若已知 ( X ,Y )的分布函数F ( x, y), 则可由F ( x, y) 导出 X 和 Y 各自的分布函数 FX ( x) 和 FY ( y) :
FX ( x) F ( x,) FY ( y) F (, y) 分别称 FX ( x)和 FY ( y) 为F ( x, y)关于 X 和Y 的
边缘分布函数. 联合分布函数的性质
完
联合分布函数的性质
随机变量 ( X ,Y )的联合分布函数
F ( x, y) P{ X x,Y y}.
联合分布函数的性质：
是定义在 S 上的两个随机变量，称( X ,Y )为定义在 S
上的二维随机变量或二维随机向量.
注： 一般地，称 n 个随机变量的整体 X ( X1, X2 , , Xn )为 n 维随机变量或随机向量.
完
二、二维随机变量的分布函数
二维随机变量 ( X ,Y )的性质不仅与 X 及 Y 有关，
而且还依赖于这两个随机变量的相互关系, 故需
F(x, y) P{X x,Y y}
就是随机点 ( X ,Y ) 落入区域
{(t, s) | t x, s y}
的概率(如图1).
由概率的加法法则，随机点( X ,Y ) 落入矩形域
{ x1 x x2 , y1 y y2 }
y
y2
( x2 , y2 )
的概率
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y1
P{ x1 x x2 , y1 y y2 }
(1) 0 F ( x, y) 1, 且 对任意固定的 y, F (, y) 0,
y
(x, y)
O
x
对任意固定的 x, F ( x,) 0,
F (,) 0, F (,) 1;
注：以上四个等式可从几何上进行说明.
（2）F ( x, y) 关于 x 和 y 均为单调非减函数，即
联合分布函数的性质
FX ( x) F( x,)
FY ( y)
F(, y)
二维随机变量的分布函数
P{ x1 x x2 , y1 y y2 } F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y2 ) F ( x1, y1 ). 若已知 ( X ,Y )的分布函数F ( x, y), 则可由F ( x, y) 导出 X 和 Y 各自的分布函数 FX ( x) 和 FY ( y) :
标，则分布函数
F(x, y) P{X x,Y y} 就是随机点 ( X ,Y ) 落入区域
{(t, s) | t x, s y}
二维随机变量的分布函数
F(x, y) P{X x,Y y} 就是随机点 ( X ,Y ) 落入区域
{(t, s) | t x, s y}
二维随机变量的分布函数
FX ( x) P{X x} P{X x,Y } F( x,)
FY ( y) P{Y y} P{X ,Y y} F(, y)
二维随机变量的分布函数
P{ x1 x x2 , y1 y y2 } F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y2 ) F ( x1, y1 ). 若已知 ( X ,Y )的分布函数F ( x, y), 则可由F ( x, y) 导出 X 和 Y 各自的分布函数 FX ( x) 和 FY ( y) :
O x1
x2 x
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 )
F ( x1, y2 ) F ( x1, y1 ).
图 2.
二维随机变量的分布函数
P{ x1 x x2 , y1 y y2 } F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 )
F ( x1, y2 ) F ( x1, y1 ).
将 ( X ,Y ) 作为一个整体进行研究. 与一维情况类
似, 我们也借助“分布函数”来研究二维随机变量.
定义 设 ( X ,Y ) 是二维随机变量，对任意实数 x, y,
二元函数
记为
F ( x, y) P{( X x) (Y y)} P{X x,Y y}
称为二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数或称为随