概率论与数理统计 随机变量函数的分布

故
y 8 , 8 y 16 fY ( y ) 32 0, 其它
概率论与数理统计
例4 设随机变量X～e(1),即
e , x 0, pX x 0, 其他.
x
求Y X 2的密度函数。
解
FY ( y) P(Y y) P( X y)
y 8 y 8 dFX ( ) d( ) 2 2 y 8 dy d( ) 2 y 8 1 fX ( ) 2 2
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复合函数求导法则
y 8 当0 4, 即8 y 16时，有 2
fY ( y ) f X y 8 1 y 8 1 ( ) 2 2 16 2
X , Y的分布函数FX ( x), FY ( y)分别称为F ( x, y) 关于X 和Y的边缘分布函数。
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FX ( x) P{X x} P{( X x) (Y )} F ( x, ). FY ( y) P{Y y} P{( X ) (Y y)} F (, y).
概率论与数理统计
设二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 所有可能取的 值为 ( xi , y j ), i , j 1, 2,, 记 P{ X xi , Y y j } pij , i , j 1, 2,, 称此为二维离散型随机 变量 ( X ,Y ) 的分布律 , 或随机变量 X 和 Y 的联合分布律.
y R.
所以Y aX b N (a b,(a )2 ).
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家庭衣食住行的花费分别为X1,X2,X3, X4。 某企业的利润率X 、总资产周转率Y 与 资金流动比率Z。 CET4的听力成绩X1，词汇成绩X2，阅读 成绩X3，写作成绩X4。
能不能将上述随机变量单独分别进行研究
二维联合分布律的性质：

(1) pij 0,
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(2) pij 1.
i 1 j 1
X， Y 的联合分布律也可以由 下表表示
Y X x1
y1 p11
p21
y2
p12 p22
„ „ „
yj
p1 j
„ „ „ „
x2

p2 j
pij
xi

pi1
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例7 已知二维分布(X,Y)分布律如下：
求随机变量 Y 2 X 8 的概率密度。 解 Y的分布函数FY(y)为
FY(y)=P{ Yy } = P (2X+8 y ) =P{ X
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y8 2
} = FX(
y8 ) 2
于是Y 的密度函数
y 8 dFX ( ) dFY ( y ) 2 fY ( y ) dy dy
P X ln y

ln y
1 (t )2 exp{ }dt 2 2 2
( y 0).
(ln y )2 pY ( y) exp 2 2 2 y 1
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定理1 设随机变量 X 具有概率密度
f X ( x), x
h( y ) 是函数 g ( x) 的反函数.
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例7 设随机变量 X ~ N ( , 2 ) ，证明
Y aX b
解
(a 0) 也服从正态分布。
由于y g ( x) ax b严格单调，
y b 1 且h( y ) , h ( y) ; a a
又设函数 g ( x) 处处可导，且 g ( x) 0（或 g ( x) 0）， 则 Y g ( X ) 是连续型随机变量，其概率密度为：
f X (h( y )) h( y ) , y fY ( y ) 0 其它
其中 min{g (), g ()}, max{g (), g ()},
40 60 0.15
获利的概率：0.45+0.15=0.60
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设连续型随机变量 X 的密度函数f(x)已 知，Y=g (X)，如何由X的分布求出Y的密度 函数？ 通常有两种方法： ①分布函数法；（通法） ②“公式法”。
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例3 设随机变量X具有概率密度
x , 0 x 4, f X ( x) 8 0 , 其它。
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y 0, y 0.
从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y) 的过程中， 关键的一步是设法从{ g(X) ≤ y }中解出X,从而得到与 {g(X) ≤ y }等价的X 的不等式 。
y 8 } 代替 {2X+8 ≤ y } 例如，用 { X 2 用 { y X y} 代替{ X2 ≤ y }
由于X,Y之间往往是有一定联系的，所以应 该把它们作为一个整体来看待。因而要研 究X，Ｙ的联合分布。
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联合分布函数的定义 设 ( X ,Y ) 是二维随机变量, 对于任意实数 x , y ,
二元函数 : F ( x , y ) P{( X x ) (Y y )} P{ X x ,Y y } 称为二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数, 或称为随 机变量X 和 Y 的联合分布函数 .
2
P yX
FX
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X

y
y F y

求导，得
1 pX pY ( y ) FY y 2 y , y p y
X
y 0, y 0.
0,
1 y e , 2 y 0,
y (x, y)
(X, Y )
o
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如何利用分布函数计算概率
P{x1 X x2 , y1 Y y2 }
y
y2
y1
O
x1
x2
x
P{x1 X x2 , y1 Y y2 } F ( x2 , y2 ) F ( x1 , y2 ) F ( x2 , y1) F ( x1 , y1 )
y b 1 故fY ( y ) f X [ ] | | a a
y b 2 ( a ) 1 1 exp | | 2 2 2 a
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2 1 [ y (b a )] exp , 2 2(| a | ) 2 | a |
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（1）F (x , y )是变量 x , y 的单调非减函数，即 对于任意固定的 y ,当 x1< x2时， F ( x1 , y ) F ( x 2 , y ); 对于任意固定的 x , 当 y1< y2时，F ( x, y1 ) F ( x, y 2 );
( 2) 0 F ( x , y ) 1, 且
Y X 0 1 0.3 0.3 0.3 0.1 0 1
求边缘分布。
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Y X 0 1
0 0.3 0.3 0.6
1 0.3 0.1 0.4
p.j
0.6 0.4
pi.
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例1 离型随机变量X的分布律如下： X P
2
-1
0
1
2
0.2 0.3 0.1 0.4
求Y ( X 1) 的分布律。
解
X
-1
0
1
2
Y P
4 1 0 1 0.2 0.3 0.1 0.4
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所以Y的分布律为： Y P 0 1 4 0.1 0.7 0.2
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这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出 相应的概率。
这就是分布函数法。
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例5 已知随机变量X～ N(0,1)。
求Y e X的密度函数。 解 FY ( y) P(Y y) P(e X y)
P X ln y
ln y
1 pY ( y ) (ln y) y
F (, y ) P{( X ) (Y y )} ? F ( x, ) ?
F (, ) ?
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X， Y 落 在 F x， y 表 示 平 面 上 的 随 机 点 以 x， y 为 右 上 顶 点 的 无 穷 矩 中 形的 概率 ．
对于任意固定的 y , F ( , y ) 0; 对于任意固定的 x , F ( x ,) 0;
F ( ,) 0;
F ( ,) 1.
（3） F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0)。
概率论与数理统计
若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有 限对或可数对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型 随机变量.
由于同一对象的不同指标之间往往是有一定联 系的，所以应该把它们作为一个整体来看待。
概率论与数理统计
在试验E 中如果定义了两个随机变量X、Ｙ， 则它们构成的向量（X，Ｙ）叫做二维随机 变量。
例如， 考察某地区的气候状况，令 X：该地区的温度； Y：该地区的湿度． 则 X， Y 就是一个二维随机变量．
例2 加油站代营出租车业务，每出租1辆车收入3 元。该油站每天要付出60元工职。每天出租汽车 数X的分布律如下： X 10 20 30 40 P 0.15 0.25 0.45 0.15 求加油站获利的概率。
解 纯收入Y = 3 X – 60
X Y P
10 -30 0.15
20 0 0.25
30 30 0.45
在实际应用中，人们常常对随机变量的函数 感兴趣.
比如，某厂的电机的噪声电压V 的密度分布：
0
t0
t
求功率 W=V2/R (R 为电阻)的分布.
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随机变量的函数是一个这样的随机变量，若 随机变量Y 满足： Y=g(X) 则称随机变量Y 是X 的随机变量的函数。 设随机变量 X 的分布已知，Y=g (X) (设g 是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的 分布？
(ln y) 1 exp 2 2 y
2
( y 0).
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2 N ( , ). 例6 已知随机变量X～ X 2 则Y e 服从对数正态分布LN (, )，求其密度。 解 FY ( y) P(Y y) P(e X y)