和圆有关的比例线段-word文档资料
九年级奥数培训和圆有关的比例线段-奥数精讲与测试
知识点、重点、难点在圆中,有相交弦定理、切割线定理及其推论,这些定理统称圆幂定理。
1.相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等。
推论：若弦与直径垂直相交,则弦的一半是它分直径所成的两部分的比例中项。
2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
推论：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等。
3.与圆有关的比例线段问题的一般思考方法：(1)直接应用圆幂定理； (2)找相似三角形,当证明有关线段的比例式、等积式不能直接运用基本定理时,通常是由“三点定形法”证三角形相似,其一般思路为等积式→比例式→中间比→相似三角形。
圆幂定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系,它们之间有着密切的联系,我们应当熟悉以下基本图形。
例题精讲例1：如图,已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点,过点A 作⊙1O 的切线,交⊙2O 于点C ,过点B 作两圆的割线分别交⊙1O 、⊙2O 于点D 、E ,DE 与AC 相交于点P .当AD 与⊙2O 相切,且PA = 6,PC =2,PD =12时,求AD 的长。
解 连结AB .因为CA 切⊙1O ；于点A ,所以∠1 =∠D ．又∠1=∠E ,所以∠D =∠E .又∠2=∠3,所以△APD ∽△CPE ,所以PA PDPC PE=, 即PA ·PE = PC ·PD ．因为PA =6,PC =2,PD =12,得6×PE =2×12,得PE =4.由相交弦定理得PE ·PB =PA ·PC ,所以4PB =6×2,得PB =3.所以BD = PD －PB =9,DE =DP ＋PE =12＋4=16.因为DA 切⊙2O 于点A ,所以DA 2= DB ·DE ,即AD 2=9×16,得AD ＝12.例2：如图,已知圆内接四边形ABCD ,延长AB 、DC 交于E ,延长AD 、BC 交于F ,EM 、FN 为圆的切线,分别以E 和F 为圆心、EM 和FN 为半径作弧,两弧交于K ,求证：EK ⊥FK ．证明 连结EF ,过B 、C 、E 三点作圆交EF 于H ,连结CH .因为B 、C 、H 、E 共圆,所以∠1=∠2.因为A 、B 、C 、D 共圆,所以∠1=∠3,于是∠2 =∠3,故D 、C 、H 、F 共圆．由切割线定理得EM 2=EC ·ED=EH ·EF ,FN2= FC ·FB=FH ·FE ,所以EM2＋FN 2=(EH ＋FH )·EF =EF 2．又因为EM=EK ,FN=FK ,所以EK 2＋FK 2=EF 2．故△EKF 为直角三角形,且∠EKF =90°,即EK ⊥FK .例3：如图,⊙1O 与⊙2O 相交于P 、Q 两点,在公共弦QP 延长线上取一点M ,过M 作两圆割线分别交两圆于A 、B 、C 、D . 求证：.AD BD DMAC CB CM=证明 由切割线定理得MA ·MB = MP ·MQ =MC ·MD ,所以A 、B 、D 、C 四点共圆,可得∠ADB =∠ACB .又11sin ,sin 22ADB ACB S AD BD ADB S AC BC ACB ∆∆=∠=∠,所以.ADB ACB S AD BDS AC BC∆∆=过C 作CG ⊥MB ,垂足为G ,过D 作DH ⊥MB ,垂足为H .所以CG ∥DH ,得△MGC ∽△MHD ,得.ADB ACB S DH DMS CG CM∆∆==所以AD BD AC BC =.DMCM例4：如图,两个同心圆的圆心为O ,大圆的弦AD 交小圆于B 、C ,大 圆的弦AF 切小圆于E ,经过B 、E 的直线交大圆于M 、N ,求证：(1) AE 2= BN ·EN ；(2)若AD 经过圆心O ,且AE = EC ,求 ∠AFC 的度数。
与圆有关的比例线段
D．30°
解析：如图，连接 OO′，O′A ∵OA 为⊙O′的切线 ∴∠OAO′＝90° 又∵⊙O 与⊙O′为等圆且外切 ∴OO′＝2O′A ∴sin ∠AOO′＝OAOO′′＝12 ∴∠AOO′＝30° 又由切线长定理知∠AOB＝2∠AOO′＝60° 答案：B
6. 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和 ⊙O分别相切于L、M、N、P。 求证：AD＋BC＝AB＋CD 证明：由圆的切线长定理得 CM＝CN，BL＝BM，AP＝AL，DP＝DN ∵AB＝AL＋LB，BC＝BM＋MC CD＝CN＋ND，AD＝AP＋PD ∴AD＋BC＝(AP＋PD)＋(BM＋MC) ＝(AL＋ND)＋(BL＋CN) ＝(AL＋BL)＋(ND＋CN) ＝AB＋CD 即AD＋BC＝AB＋CD
∠PCE＝∠PAD (2) ∠CPE＝∠APD⇒ △PCE∽△PAD⇒DECA＝PPAC；
∠∠PAEPAE＝＝∠∠PBDPDB⇒△PAE∽△PBD⇒BADE＝PPAB PA 是切线，PBC 是割线⇒ PA2＝PB·PC⇒PPAB＝PPAC 故DECA＝BADE，又 AD＝AE 故 AD2＝DB·EC
方法规律小结： 运用切线长定理时，注意分析
其中的等量关系，即①切线长相等，②圆外点与圆心 的连线平分两条切线的夹角，然后结合三角形等图形 的有关性质进行计算与证明。
巩固练习
5． 两个等圆⊙O与⊙O′外切，过O作⊙O′的两条切线
OA、OB，A、B是切点，则∠AOB＝ ( )
A．90°
B．60°
C．45°
与圆有关的比例线段
1．相交定理 圆内的两条 相交弦 ，被交点分成的两 条线段长的积相等 。如图，弦AB与CD相 交于P点，则PA·PB＝ PC·PD 。
1-2.5.与圆有关的比例线段(切割线定理)
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条 割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等.
应用格式（几何语言描述）:
∵PAB,PCD是⊙O 的割线,∴ PA∙PB=PC∙PD.
C
C
B
点P从圆内移动到圆外
D
P
O
D
图5 O
P
A 图3
B A
PA∙PB=PC∙PD
PA∙PB=PC∙PD
使割线PA绕P点
证明:连接AC、AD,同样可以证明
又∵∠ACF=∠AEC. ∴∠CFG=∠ACF. 故FG//AC. ……(6)
你还能推出其他结论吗？
问题3 在图2中,使线段AC继续绕A旋转，使割线CFD 变成切线CD,得到图3. 此时又能推出哪些结论？
B
B
E
D
E
A
D
O 图2
A Q
O 图3
F
G
CG
PC
探究3:可以推出探究1、2中得到的(1)——(6)的所有结论. 此外，
同理可证BD•AE=AC•CE. …………………… (3) ∵AC=AB,∴由(2)(3)可得BE•CD=BD•CE. ………(4)
问题2 在图1中,使线段AC绕A旋转，得到图2.其中EC 交圆于G,DC交圆于F.此时又能推出哪些结论？
问题2 在图1中,使线段AC绕A旋转，得到图2.其中 EC交圆于G,DC交圆于F.此时又能推出哪些结论？
例3 如图，两圆相交于A、B两点，P P 为两圆公共弦AB上任意一点，从P引
D B
两圆的切线PC、PD，求证：PC=PD.
证明：由切割线定理可得：
A
PC2=PA∙PB, PD2=PA∙PB.
C
∴PC2=PD2. 即PC=PD．
第十六讲 和圆有关的比例线段(含解答)-
第十六讲和圆有关的比例线段【趣题引路】某建筑物上装有一块长方形广告牌,上下边相距5m,下底边距离地面5.6m.•如果人的眼部高度为 1.6m,那么从远处正对广告牌走近时,看广告牌效果最好的位置距该建筑物多远?解析广告牌AB在视线的水平线DF之上.如图,因此,可过AB•两点作一个圆,使圆与DF相切,这时可看到,当人从远处走来时,人眼在DF的水平线上,除D点外,•DF上的其余各点都在圆外 ,则当人走到DE处时∠ADB最大,看广告效果最好.那么如何求出CE的距离呢?由切割线定理可知,DF2=BF·AF,且CE=DF,因此,很容易得到D F2=4×9=36,∴DF=6(m)即人距离广告牌6m左右看广告牌的效果最好.【知识延伸】过一点P作与圆有关的两条直线,点P与圆的不同位置有两种:1.当点P在圆内时,这两条直线分别交圆于A、B和C、D,则PA·PB=PC·PD,•这就是相交弦定理,如图1.（1） (2) (3)2.当点P在圆外时,分两种情况:(1)这两条直线与圆都有两个交点,分别为A、B与C、D,则PA·PB=PC·PD 称作割线定理:如图2.(2)当这两条直线中一条与圆有两个交点,另一条只有一个交点(切点)M 时,得切割线定理:PA ·PB=PM 2.相交弦定理、切割线定理及切割线定理的推论(割线定理),•我们统称为圆幂定理.圆幂定理在形式上也可以进一步统一.如图3,点P 在圆内时,像所作的虚线那样,连OP,过点P 作弦EF ⊥OP,交圆于E 、F,由于PE=PF,故PA ·PB=PC ·PD=PE ·PF=PF 2=r 2-OP 2,其中r 为⊙O 的半径.如图4,点P 在圆外时,连OM 、ON 、OP,有 PA ·PB=PC ·PD=•PM ·PN=P M 2=OP 2-r 2. 综上所述,圆幂定理可以统一为PA ·PB=│r 2-OP 2│.换言之,•圆幂定理可叙述为:通过不在⊙O 上一定点P 向⊙O 任作一直线交⊙O 于A 、B 两点,则有PA ·PB=│r 2-OP 2│.(r 2-OP 2叫做点对于⊙O 的幂).圆幂定理揭示了圆中线段的比例关系,对于涉及相交弦,切割线的有关计算,•常可利用圆幂定理去求.例1 已知,如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,A 为切点,割线CDF 交AB 于E,并且CD:DE:EF=1:2:1,AC=4.求⊙O 的直径AB.解析 设CD=k,则DE=2k,EF=k,CF=4k.由切割线定理,有AC 2=CD ·CF.∴42=k ·4k,•k=2. ∴CE=6,DE=4,EF=2.在Rt △ACE 中,由勾股定理,有AE=22CE AC -=2264-=25,根据相交弦定理,得AE ·EB=DE ·EF. ∴25·EB=4×2，EB=455。
与圆有关的比例线段
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 1】
如图,☉O 内的两条弦 AB,CD 交于圆内一点 P,已知
1
4
PA=PB=4,PC= , 求的长.
解:设 CD=x,
则 PD=
4
,
5
=
1
,
5
由相交弦定理知 PA·PB=PC·PD,
1
5
4
5
即 4×4= · , 解得x=10.故 CD=10.
2.垂径定理、切线长定理、射影定理、相交弦定理、切割线定
理之间的关系
剖析:如图,PA,PB为☉O的两条切线,A,B为切点,PCD为过圆心O
的割线,连接AB,交PD于点E,则有下列结论:
(1)PA2=PB2=PC·PD=PE·PO;
(2)AE2=BE2=DE·CE=OE·PE;
(3)若AC平分∠BAP,
题型三
题型四
切割线定理的应用
【例 3】 如图,AB 切☉O 于点 B,ACD 为割线,E为 的中点
, 交于点. 求证: 2 = ·AD.
题型一
题型二
题型三
题型四
证明:如图,连接BC,BD.
∵E为 的中点,
∴∠DBE=∠CBE.
又AB是☉O的切线,
∴∠ABC=∠CDB.
∴
=
.②
又∵PA=5,AB=7,CD=11,
∴PB=PA+AB=12.
由①式,得 5×12=PC(PC+11),
解得 PC=4 或 PC=-15(舍去).
∴PD=PC+CD=4+11=15.
和圆有关的比例线段--旧人教版
A •P 切线长定理 PA=PB
B
•P C 点P在圆外 •P C A
A
切线与割线
•P
PA²=PC•PD
D B 割线与割线 PA•PB=PC•PD D
？
？
A •P C •O D 切线与割线 T A •P C 割线与割线 D
已知：PA切圆O于点A，PCD是割线，C、 D是它与圆O的交点。 求证：PA²=PC•PD PA PD 分析：要证PA²=PC•PD，需证 — = — ， PC PA 则必先证ΔPAD ∽ ΔPCA。
作业：
1、课本P119，习题7、4 A组5、7
课余探索：
在小结中把相交弦定理、切割线定理及其推论（割线定理 ）、切线长定理的结论统一为：过一点P（无论点P在圆内，还 是在圆外）的两条直线，与圆相交或相切（把切点看成两个重 合的“交点”）于点A、B、C、D，则PA•PB=PC•PD 。 下面，试探索PA•PB（ PC•PD ）的值等于什么？ （1）若⊙O的弦AB、CD相交于点P，试证明PA•PB=PC•PD = r² –OP² .(提示：作过点P的直径） （2）若PA是⊙O的切线，PCD是⊙O的割线，试证明PA² = PC •PD=OP²–r² （3）若PAB、PCD是⊙O的割线，试证明 PA•PB=PC•PD = OP² –r² （提示：作直线PO）
证明：连结AC、AD。 ∠PAC=∠D ΔPAD∽ ΔPCA ∠APC=∠DPA PA PD —=— PA²=PC•PD PC PA
思考：当从P点向圆引两条割线时， 则PA•PB=PC•PD是否成立？ （分析：可从P点向圆引一条切线PT， 则有PA•PB，PC•PD都等于PT² ）
B
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是
第2讲-5 与圆有关的比例线段
五与圆有关的比例线段1．相交弦定理(1)文字语言圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)图形语言如图2－5－1，弦AB与CD相交于P点，则PA·PB＝PC·PD.图2－5－12．割线定理(1)文字语言从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(2)图形语言图2－5－2如图2－5－2，⊙O的割线PAB与PCD，则有：PA·PB＝PC·PD.3．切割线定理(1)文字语言从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(2)图形语言如图2－5－3，⊙O的切线PA，切点为A，割线PBC，则有PA2＝PB·PC.图2－5－34．切线长定理(1)文字叙述从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．(2)图形表示如图2－5－4，⊙O的切线PA、PB，则PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.图2－5－41．能否用三角形相似证明相交弦定理？【提示】能．如图，⊙O的弦AB、CD相交于P点，连接AD、BC，则△APD∽△CPB.故有PAPC＝PDPB，即PA·PB＝PC·PD.2．垂径定理、切线长定理、射影定理、相交弦定理、切割线定理之间有何关系？【提示】如图，PA，PB为⊙O的两条切线，A，B为切点，PCD为过圆心O的割线，连接AB，交PD于点E，则有下列结论：(1)PA2＝PB2＝PC·PD＝PE·PO；(2)AE2＝BE2＝DE·CE＝OE·PE；(3)若AC平分∠BAP，则C为△PAB的内心；(4)OA2＝OC2＝OE·OP＝OD2；(5)AC＝BC，AD＝DB，PD⊥AB；(6)∠AOP＝∠BOP，∠APD＝∠BPD.3．应用切割线定理应注意什么？【提示】应用切割线定理应记清关系式，防止做题时出错．(1)如图所示，把PC2＝PA·PB错写成PC2＝PO·PB；(2)如图所示，把关系式PT2＝PB·PA错写成PT2＝PB·BA，把关系式PB·PA＝PD·PC错写成PB·BA＝PD·DC.图2－5－5如图2－5－5，AC为⊙O的直径，弦BD⊥AC于点P，PC＝2，PA＝8，则tan∠ACD的值为________．【思路探究】由垂径定理知，点P是BD的中点，先用相交弦定理求PD，再用射影定理或勾股定理求AD、CD，最后求tan∠ACD.【自主解答】∵BD⊥AC，∴BP＝PD，∴PD2＝PA·PC＝2×8＝16，∴PD＝4.连接AD，则∠ADC＝90°，∴tan∠ACD＝AD CD.又AD＝PA2＋PD2＝82＋42＝45，CD＝PC2＋PD2＝22＋42＝25，∴tan∠ACD＝4525＝2.【答案】 21．解答本题的关键是先用相交弦定理求PD，再用勾股定理或射影定理求AD、CD.2．相交弦定理的运用往往与相似形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明．(2018·湖南高考)如图2－5－6，在半径为7的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．图2－5－6【解析】由相交弦定理得PA·PB＝PC·PD.又PA＝PB＝2，PD＝1，则PC＝4，∴CD＝PC＋PD＝5.过O作CD的垂线OE交CD于E，则E为CD中点，∴OE＝r2－CD22＝7－254＝32.【答案】32图2－5－7已知如图2－5－7所示，AD为⊙O的直径，AB为⊙O的切线，割线BMN交AD的延长线于C，且BM ＝MN＝NC，若AB＝2.求：(1)BC的长；(2)⊙O的半径r.【思路探究】由AB2＝BM·BN求得BC→由CD·AC＝CN·CM求得CD→结果【自主解答】(1)不妨设BM＝MN＝NC＝x.根据切割线定理，得AB2＝BM·BN，即22＝x(x＋x)．解得x ＝2，∴BC ＝3x ＝3 2. (2)在Rt △ABC 中， AC ＝BC 2－AB 2＝14， 由割线定理，得CD·AC＝CN·CM，由(1)可知， CN ＝2，BC ＝32，CM ＝BC －BM ＝32－2＝22， AC ＝14， ∴CD ＝CN·CM AC ＝2147， ∴r ＝12(AC －CD)＝12(14－2147)＝51414.1．解答本题的关键是先根据切割线定理求BC.2．切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等．图2－5－8(2018天津高考)如图2－5－8，在圆内接梯形ABCD 中，AB ∥DC.过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E.若AB ＝AD ＝5，BE ＝4，则弦BD 的长为________．【解析】 因为AB ∥DC ，所以四边形ABCD 是等腰梯形，所以BC ＝AD ＝AB ＝5.又AE 是切线，所以AE ∥BD ，AE 2＝BE·EC＝4(4＋5)＝36，所以AE ＝6.因为∠CDB ＝∠BAE ，∠BCD ＝∠ABE ，所以△ABE ∽△DCB ，所以AE DB ＝BE BC ，于是BD ＝5×64＝152. 【答案】152如图2－5－9B 两点的切线分别交于点E 、F ，AF 与BE 交于点P.图2－5－9求证：∠EPC ＝∠EBF. 【思路探究】 由切线→EA＝EC ，FC ＝FB→EC FC ＝EPPB→CP∥FB→结论【自主解答】 ∵EA ，EF ，FB 是⊙O 的切线， ∴EA ＝EC ，FC ＝FB ，∵EA ，FB 切⊙O 于A ，B ，AB 是直径， ∴EA ⊥AB ，FB ⊥AB ， ∴EA ∥FB ， ∴EA BF ＝EP BP ， ∴EC FC ＝EP PB ， ∴CP ∥FB ， ∴∠EPC ＝∠EBF.1．解答本题的关键是利用对应线段成比例得到CP ∥FB.2．运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，即(1)切线长相等，(2)圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明．图2－5－10如图2－5－10所示，已知⊙O 的外切等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝DC ，梯形中位线为EF. (1)求证：EF ＝AB ；(2)若EF ＝5，AD ∶BC ＝1∶4，求此梯形ABCD 的面积． 【解】 (1)证明：∵⊙O 为等腰梯形ABCD 的内切圆， ∴AD ＋BC ＝AB ＋CD.∵EF 为梯形的中位线，∴AD ＋BC ＝2EF.又∵AB＝DC，∴2EF＝2AB，∴EF＝AB.(2)∵EF＝5，∴AB＝5，AD＋BC＝10. ∵AD∶BC＝1∶4，∴AD＝2，BC＝8. 作AH⊥BC于H，则BH＝12(BC－AD)＝12(8－2)＝3.在Rt△ABH中，AH＝AB2－BH2＝52－32＝4.∴S梯ABCD＝EF·AH＝5×4＝20.(教材第40页习题2.5第3题)如图2－5－11，点P为⊙O的弦AB上的任意点，连接PO，PC⊥OP，PC交圆于C，求证：PA·PB＝PC2.图2－5－11(2018·湖南高考)图2－5－12如图2－5－12所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．【【解析】设⊙O的半径为r(r>0)，∵PA＝1，AB＝2，∴PB＝PA＋AB＝3.延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r.设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.由圆的割线定理知，PA·PB＝PD·PC，∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r＝ 6.【答案】61．如图2－5－13，⊙O的两条弦AB与CD相交于点E，EC＝1，DE＝4，AE＝2，则BE＝( )图2－5－13A．1 B．2C．3 D．4【解析】由相交弦定理得AE·EB＝DE·EC，即2EB＝4×1，∴BE＝2.【答案】 B2．如图2－5－14，P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，过点P的直线l交⊙O于B，C，且PB＝4，PC ＝9，则PA等于( )图2－5－14A．4 B．6C．9 D．36【解析】由切割线定理知，PA2＝PB·PC＝4×9＝36，∴PA＝6.【答案】 B3．如图2－5－15，PA、PB分别为⊙O的切线，切点分别为A，B，∠P＝80°，则∠C＝________.图2－5－15【解析】∵PA、PB分别为⊙O的切线，∴PA＝PB.又∠P＝80°，∴∠PAB＝∠PBA＝50°.∴∠ACB＝∠PAB＝50°.【答案】50°4．(2018·重庆高考)如图2－5－16，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为______．图2－5－16【解析】在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°.∵AB＝20，∴AC＝10，BC＝10 3.∵CD为切线，∴∠BCD＝∠A＝60°.∵∠BDC＝90°，∴BD＝15，CD＝5 3.由切割线定理得DC2＝DE·DB，即(53)2＝15DE，∴DE＝5.【答案】 5一、选择题1．PT切⊙O于T，割线PAB经过点O交⊙O于A、B，若PT＝4，PA＝2，则cos∠BPT＝( )A.45B.12C.38D.34【解析】如图所示，连接OT，根据切割线定理，可得PT2＝PA·PB，即42＝2×PB，∴PB＝8，∴AB＝PB－PA＝6，∴OT＝r＝3，PO＝PA＋r＝5，∴cos∠BPT＝PTPO＝45.【答案】 A图2－5－172．如图2－5－17，⊙O的直径CD与弦AB交于P点，若AP＝4，BP＝6，CP＝3，则⊙O半径为( ) A．5.5 B．5C．6 D．6.5【解析】由相交弦定理知AP·PB＝CP·PD，∵AP＝4，BP＝6，CP＝3，∴PD＝AP·BPCP＝4×63＝8，∴CD＝3＋8＝11，∴⊙O的半径为5.5.【答案】 A图2－5－183．如图2－5－18，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.以BC上一点O为圆心作⊙O与AC、AB都相切，又⊙O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为( )A．1 B.12C.13D.14【解析】观察图形，AC与⊙O切于点C，AB与⊙O切于点E，则AB＝AC2＋BC2＝5.如图，连接OE，由切线长定理得AE＝AC＝4，故BE＝AB－AE＝5－4＝1.根据切割线定理得BD·BC＝BE2，即3BD＝1，故BD＝13 .【答案】 C4.图2－5－19(2018·北京高考)如图2－5－19，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是( )A．①② B．②③C．①③ D．①②③【解析】①项，∵BD＝BF，CE＝CF，∴AD＋AE＝AC＋CE＋AB＋BD＝AC＋AB＋CF＋BF＝AC＋AB＋BC，故①正确；②项，∵AD＝AE，AD2＝AF·AG，∴AF·AG＝AD·AE，故②正确；③项，延长AD于M，连结FD，∵AD与圆O切于点D，则∠GDM＝∠GFD，∴∠ADG＝∠AFD≠∠AFB，则△AFB与△ADG不相似，故③错误，故选A.【答案】 A二、填空题图2－5－205．(2018·天津高考)如图2－5－20，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交wEw.【解析】因为AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，所以34＝2BD，即BD＝83.设CD＝x，AD＝4x，所以4x2＝649，所以x＝43 .【答案】4 36．(2018·北京高考)如图2－5－21，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________，AB＝________.图2－5－21【解析】由于PD∶DB＝9∶16，设PD＝9a，则DB＝16a.根据切割线定理有PA2＝PD·PB.又PA＝3，PB＝25a，∴9＝9a·25a，∴a ＝15，∴PD ＝95，PB ＝5. 在Rt △PAB 中，AB 2＝PB 2－AP 2＝25－9＝16，故AB ＝4.【答案】 954 三、解答题图2－5－227．如图2－5－22所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，D 为⊙O 上的点，且AD ＝AC ，AD ，BC 相交于点E.(1)求证：AP ∥CD ；(2)设F 为CE 上的一点，且∠EDF ＝∠P ，求证：CE·EB＝FE·EP.【证明】 (1)∵AD ＝AC ，∴∠ACD ＝∠ADC.又∵PA 与⊙O 相切于点A ，∴∠ACD ＝∠PAD.∴∠PAD ＝∠ADC ，∴AP ∥CD.(2)∵∠EDF ＝∠P ，且∠FED ＝∠AEP ，∴△FED ∽△AEP.∴FE·EP＝AE·ED.又∵A 、B 、D 、C 四点均在⊙O 上，∴CE·EB＝AE·ED，∴CE·EB＝FE·EP.8．如图2－5－23，圆的两弦AB 、CD 交于点F ，从F 点引BC 的平行线和直线AD 交于P ，再从P 引这个圆的切线，切点是Q ，求证：PF ＝PQ.图2－5－23【证明】 ∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠ADF ＝∠ABC.∵PF ∥BC ，∴∠AFP ＝∠ABC.∴∠AFP ＝∠FDP.∵∠APF ＝∠FPD ，∴△APF ∽△FPD.∴PF PA ＝PD PF.∴PF 2＝PA·PD.∵PQ 与圆相切，∴PQ 2＝PA·PD.∴PF 2＝PQ 2，∴PF ＝PQ.9．如图2－5－24，已知PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，PO ＝4cm ，∠APB ＝60°，求阴影部分的周长．图2－5－24【解】 如下图所示，连接OA ，OB.∵PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∴PA ＝PB ，∠PAO ＝∠PBO ＝π2，∠APO ＝12∠APB ＝π6，在Rt △PAO 中，AP ＝PO·cos π6＝4×32＝2 3 (cm)，OA ＝12PO ＝2 (cm)，PB ＝23(cm)．∵∠APO ＝π6，∠PAO ＝∠PBO ＝π2，∴∠AOB ＝2π3， ∴l AB ＝∠AOB·R＝2π3×2＝43π(cm)，∴阴影部分的周长为PA ＋PB ＋l AB ＝23＋23＋43π＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋4π3cm.10.如图，已知AD 是⊙O 的切线，D 为切点，割线ABC 交⊙O 于B 、C 两点，若DE ⊥AO 于E. 求证：∠AEB ＝∠ACO.【证明】 连接DO.∵AD 为切线，∴AD ⊥DO.∴△ADE ∽△AOD.∴AD AE ＝AO AD .即AD 2＝AE·AO.又∵AD 为切线，∴AD 2＝AB·AC.∴AE·AO＝AB·AC，即AE AB ＝AC AO .∵∠EAB ＝∠CAO ，∴△EAB ∽△CAO.∴∠AEB ＝∠ACO.。
和圆有关的比例线段(二)
和圆有关的比例线段(二)引言在前一篇文档中，我们介绍了圆和比例线段的基本概念，并给出了一些例题来帮助读者更好地理解这些概念。
本文将继续探讨和圆有关的比例线段，介绍一些相关的性质和定理，并提供一些例题帮助读者加深理解。
一、增量法在前一篇文档中，我们提到了圆内的比例线段的特性，即相交于同一弦上的两个比例线段相等。
接下来，我们将介绍一个很有用的方法，即增量法，用于计算比例线段的长度。
当我们已知两个比例线段中的一个，以及一个边上的长度，如何求另一个比例线段的长度呢？这就是增量法的应用。
我们假设已知比例线段AB和AC，即AB:AC，以及边AB的长度a，边AC的长度b。
下面介绍求比例线段BC的长度的步骤：1.根据相似三角形的性质，我们可以得到a:AB = b:AC。
2.根据等式a:AB = b:AC，我们可以得到a * AC = b * AB。
3.我们将上式进行展开，得到a * (AB + BC) = b * AB。
4.将上述等式变形，得到BC = (b * AB - a * AC) / a。
通过上述步骤，我们可以通过已知的比例线段和边长来求得另一个比例线段的长度。
二、圆与切线圆与切线是圆的一个重要性质，也与比例线段有关。
在圆上任意取一点P，并且作P点的切线，切线与半径的交点分别为A和B。
则有以下性质成立：1.在圆上任取一点P，连接P与圆心O，并做切线PA、PB。
2.连接AO、OB。
3.则有AO ⊥ PA、OB ⊥ PB。
4.根据直角三角形的性质，我们可以得到AO:PA = OB:PB，即AO:AO + PA = OB:OB + PB。
由上述性质可知，AO:PA = OB:PB，即AO与PA的比例等于OB与PB的比例。
三、圆的外切线除了切线以外，圆还有另外一种线与圆相关，它被称为圆的外切线。
圆的外切线有以下几个重要性质：1.圆的外切线与切线相比，多了一个交点，即切点。
2.外切线上的两个切点分别在圆的两条半径上。
圆的基本性质9：与圆有关的比例线段
圆的基本性质9：与圆有关的比例线段295．如图7-168，⊙O 中半径OC 与弦AB 相交于点P ，AP ＝3，BP=5，CP ＝1，则⊙O 的半径为___；如果另一条弦CD 平分AB ，C 到AB 中点的距离为2，则CD=____.296．如图7-169，已知△ABC 内接于⊙O ，过A 点作⊙O 的切线AE ，并作BD ∥AE 交AC于点D ，且AC ＝6，AD ＝4，则AB ＝____.297．如图7-170，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC 切①O 于点D ，割线CFG 过圆心，已知①O 的直径EB=6厘米，AD ＝4厘米，则AE ＝____ ；CO ＝_____298．如图7-171，在⊙O 中，弦AB 和直径CD 相交于点P ，M 是DC 延长线上的一点，MN 是⊙O 切线，N 是切点，若AP ＝8，PB=6，PD ＝4，MC=6，则MN=____.299．如图7-172，在⊙O 中，半径R ＝6，OM ⊥CD ，CD=6，BM=9，则AM=_____; AB=___;____; BDAC O 到AB 的距离OH ＝____·300．△ABC 内接于⊙O ，过A 点作圆的切线，交BC 的延长线于P 点，∠APB 的平分线与AB 、AC 分别相交于点E 、F ，则( )等式成立．(A)AE •AF ＝BE •CF (B)AE •CF ＝AF •BE(C)AE •BE ＝AF •CF (D)AE •AB ＝AF •AC301．如图7-173，已知⊙01交⊙02于点C 、F ，EF 切⊙02于点F ，交⊙O 1于点E ，AD 过点，交两圆于点A 、D ，AB ＝3厘米，BC=4厘米，CD=5厘米，求EF 的长．302．在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点P ，且PA=PB=4，又PC =41PD ，求CD 的长． 303．已知PA 与⊙O 切于点A ，线段PO 交⊙O 于点D ，过点P 作割线交⊙O 于B 、C 两点，如果PD=OD ＝4，BC=2，求PA 与PC 的长．304．如图7-174，在⊙O 中，弦AB 和直径CD 相交于点P ，M 是DC 延长线上的一点，MN 是⊙O 的切线，N 是切点，若AP ＝8，PB=6，PD=4，MC ＝8，求①O 的半径r 及CP 、MN 的长．305．如图7-175，AB 为⊙O 的弦，点P 在AB 上，且∠OPC ＝90°．求证：PC 是PA 和PB 的比例中项．306．如图7-176，已知半径为r 的⊙O l 与半径为R 的半圆内切于点E ，又⊙01切半圆的直径AB 于点C ，CD ⊥AB 于点C ，且交AB 于点D ．求证：CD 2＝2Rr ．307．如图7-177，⊙O分别与△ABC的AB、AC边分别切于点M、N，交BC边于点E、F，且BE＝EF=FC．求证：∠B=∠C．308．如图7-178，已知⊙O的两条直径AB与CD垂直，OE=OF，BE的延长线交DF于点G．求证：FO•FB=FG•FD309．在Rt△ABC中∠C=90°，射线AD交BC于点D，以AC为直径的圆交AB、AD于点E、F．求证：AE•AB＝AF•AD310．如图7-179，△ABC的内切圆把BC边上的中线AD三等分，AN=MN=MD，且与AB、BC、CA分别相切于点G、E、F，若AG＝2，求DE，并求出BC：AC的值．311．如图7-180，设AB、CD是⊙O的两条平行弦，过点B作⊙O的切线与CD的延长线相交于点G，在CD上任取一点P，连结PA、PB，与弦CD相交于点E、F．求证:EF•FG ＝CF•FD．312．如图7-181，AB为半圆O的直径，D为AB上任意一点，以AD为直径在已知半圆外部作小半圆O l，又CD⊥AB，交大半圆于点C，BE切小半圆于点E，F是CE的中点．求证：BF⊥CE．313．如图7-182，AD为⊙O直径，AB是⊙O的切线，过点B的割线BMN交AD的延长线于点C，且BM=MN=NC，若AB＝2厘米，求⊙O的半径．314．如图7-183，已知⊙O直径为4厘米，P是弧AB的中点，Q是弧CD的中点，弦PQ 为23厘米，求∠1、∠2以及AB和CD延长线交角的度数．315．如图7-184，已知在⊙O中，AP为⊙O的切线，户为切点，ABC为割线，AB：BC=1：3，AP=6，∠A=45°，求⊙O的半径．316．如图7-185，A、B为圆上两点，经过B点作⊙O的切线BC，经过A点作弦AD，延长AD交切线BC于C点，∠DAB=∠OAB，已知BC＝4，CD＝2，求AB的长．317．如图7-186，PAB为圆的割线，PC为圆的切线，C为切点，由A、B向切线PC及其延长线作垂线，E、F为垂足，且CD⊥BP．求证：CD是AE与BF的比例中项．318．EA 切⊙O 于点A ，AD 是直径，EF 切⊙O 于点F ，交AD 延长线于点C 求证:CE •CD=CF •CO319．已知PAB 是⊙O 割线，PD 是⊙O 切线，D 是切点，C 是圆内一点，若PC ＝PD ，求证：PBPC CB CA = 320．’如图7-187，已知CA 、CB 切⊙O 于点A 、B ，割线CPQ 交⊙O 于点P 、Q ，CO 交 AB 于点N ，延长QN 交⊙O 于点E ．求证：(1)C 、E 、O 、Q 四点共圆；(2)∠α＝∠β321．如图7-188，在△ABC 中，AM 是BC 边上的中线，AD 是∠BAC 的平分线，△AMD的外接圆交AB 于点L ，交AC 于点N ．求证：BL ＝CN ．322．如图7-189，AD 是⊙O 的弦，AD ＝8厘米，半径OH ⊥AD ，交AD 于点B ，HB ＝2厘米，AC 是直径，求BC 的长。
和圆有关的比例线段课件
建筑案例
通过分析一座建筑物的பைடு நூலகம்计 和结构，我们可以探索比例 线段在建筑领域中的应用。
• 比例线段的使用方法 • 如何确保建筑物的平
衡和结构 • 实际案例分析
艺术案例
通过研究一幅艺术作品的构 图和比例关系，我们可以深 入理解比例线段在艺术创作 中的应用。
• 艺术作品中的比例线 段运用
• 构图的重要性和原则 • 艺术家的案例分析
艺术构图
在艺术中，比例线段可以帮助我们创造符合审 美标准的平衡和比例感的作品。
地图绘制
在地图绘制中，比例线段可以帮助我们准确地 表示和测量地理距离和尺寸。
工程设计
在工程设计中，比例线段可以帮助我们计算和 绘制精确的图纸和设计图。
案例分析
通过一些案例分析，我们可以深入了解比例线段在实际问题中的应用和重要性。
2
分数比较
将线段的长度表示为分数，可以更方便地计算比例关系。
3
比例计算公式
通过比例计算公式，我们可以准确地计算比例线段的各个部分长度。
比例线段的应用场景
比例线段在许多实际场景中起到重要的作用，帮助我们解决现实生活中的问题。
建筑设计
在建筑设计中，比例线段可以帮助我们计算和 绘制精确的蓝图和设计图纸。
数学应用
通过比例线段的计算和应用，我们可以在数学
比例线段的性质
比例线段具有许多独特的性质和特点，帮助我们理解几何图形中的相对大小和比例关系。
黄金比例
比例线段中的黄金比例是一种特殊比例，广 泛应用于艺术和建筑领域。
相似性
比例线段的性质与几何图形的相似性密切相 关，帮助我们研究和理解这一概念。
比例关系
地理案例
通过研究地图的绘制和比例 尺的使用，我们可以了解比 例线段在地理学中的应用。
初中数学专题22 与圆相关的比例线段
专题22 与圆相关的比例线段例1 设CE =4k ，则DA =DF =3k ,AF =AC =8√5，由FA 2=FD ∙FC ，即(8√5)2=3k ∙10k ,得k 2=323,而AE =√EF 2−AF 2=√36k 2−320=8，又BE =CE∙DE AE=12k 28=16，故AB =AE +BE =24. 例2 C例3 1 提示：设EB =x ，则AE =4x .设CB =y ，则由CD 2=CB ∙CA ， DE 2=AE ∙EB ，DE 2+EC 2=DC 2，得4=y (y +5x )，4x 2+(x +y)2=4. 例4（1）联结OB ，OP ，可证明△BDC ∽△P AE ，有PE 2=PA ∙PF .又∵OC 为△ABD 的中位线，∴OC ∥AD ，则CE ⊥OC ，知CE 为☉O 的切线，故PC 2=PA ∙PF ,有PE 2=PC 2,即PE =PC .例6 解法一：如图1，过P 作PH ⊥ST 于H ，则H 是ST 的中点，由勾股定理得PC 2=PH 2+CH 2=PS 2−SH 2+CH 2=PS 2−SH 2+CH 2=PS 2−(SH −CH )(SH +CH )=PS 2−SC ∙CT .又由切割线定理和相交弦定理，有PC 2=PA ∙PB −AC ∙CB =PA ∙PB −(PC −PA )(PB −PC )=2PA ∙PB −(PA +PB )PC +PC 2，∴PC =2PA∙PBPA+PB，即1PC =12(1PA +1PB ).解法二：如图2，联结PO 交ST 于D ，则PO ⊥ST .联结SO ，作OE ⊥PB 于E ，则E 为AB 的中点，于是PE =PA+PB 2.∵C ，E ，O ，D 四点共圆，∴PC ∙PE =PD ∙PO .∵Rt △SPD ∽Rt △OPS ，∴PS 2=PA ∙PB ，∴PC ∙PA+PB 2=PA ∙PB ，即1PC =12(1PA +1PB).A 级 1.√22 2.√6 提示：△BDE ≌△CFE ，DE =EF ，OF =FE =ED ，设OF =x ，则OA =OD =3x ，AE =5x ，由CE ∙BE =AE ∙ED ，得(√5)2=x ∙5x,x −1，∴CD =√CE 2+DE 2=√6. 3. 4cm 4.4 5.D 6.B 7.A 8.C 9.(1)略 (2)AB =AE 2AD =12，△AED ∽△ABE ，DE BE =AE AB =√22.设DE =√2x ，BE =2x ，而DE 2+BE 2=BD 2，解得x =√6.∴DE =√2∙√6=2√3. 10.（1）略 （2）PA 2=PB ∙PC,PA =PD,PD =DC,(PB +BD )2=PB ∙2(PB +BD ).可得PB =BD =12PD ，∴PB =PD =12DC ，∴2BP 2=BD ∙CD.又∵BD ∙CD =AD ∙DE ，∴2BP 2=AD ∙AE . 11.作DE ⊥AC 于E ，则AC =54AE ，AG =52D D E .由切割线定理得AG 2=AF ∙AC =AF ∙54AE ，故254DE 2=AF ∙54AE ,即5DE 2=AF ∙AE .∵AB =5DE ，∴AB ∙ED =AF ∙AE ,于是ABAE =AFED .又∠BAF =∠AED =90°，∴△BAF ∽△AED ，于是又∠ABF =∠EAD .∵∠EAD+∠DAB=90°，∴∠ABF+∠DAB=90°，故AD ⊥BE.12. ⑴如图，连接AD ，AE. ∵∠DAC=∠DAE ，∴△ADC ∽△EAC AD EAAD AC DC EA DC AC⇒=⇒•=• . ⑵∵∠CDF=∠1=∠2=∠DEA ，∴tan ∠CDF=tan ∠DEA=AD AE .由⑴知=AD DC AE AC ，故tan ∠CDF= DCAC.由圆的切割线定理知2AC DC EC =•，而EC=ED+DC ，则()2AC DC DC ED =+.又AC=nAB ，ED=AB ，代入上式得()22n AB DC DC AB =+，即222n 0DC AB DC AB +•-=，故DC .显然，上式只能取加号，于是n DC DC tan CDF AC AB ∠==.B 级1. B2. B3. C4. A5.提示：1=2AD CD ACtanB CD DB BC===.设AD=x ，则CD=2x ，DB=4x ，AB=5x ，由△PAC ∽△PCB 得，1=2PA AC PC CB =，∴PA=5，又2PC PA PB =•，即()210=555x +，解得：x=3，∴AD=3，CD=6，DB=12，∴1362BCDSCD DB =•=. 6. ⑴略. ⑵连接FB ，证明PF=PE ，∠BFA=∠AFC.7. ⑴能.连接BC ，作∠ACE=∠B ，CE 交AB 于E. ⑵ PB 与⊙O 相切. ⑶C 是PE 的中点.8. 连接OA 、OB 、OC ，则2PA PD PO PB PC =•=•，于是，B 、C 、O 、D 四点共圆，有△PCD ∽△POB ，则=PC PO PO CD OB OC = ①，又由POC ∽△PBD 得PO PB OC BD = ②，由①②得PB PCBD CD =. 9. ⑴略 ⑵ A （4,3），OA=5. ⑶P （3，94）. 10. ⑴延长BA ，CD 交于点G ，由Rt △CAG ∽Rt △BDC ，得AC CGBD BC=，即AC BC BD CG •=•，又12DG CD CG ==，故2AC BC BD CG •=• . ⑵由Rt △CDE ∽Rt △CAG ，得CE CD CG AC=，即2545=，解得CE=5，从而AG=()()222245354CG AC +=--=，GA GB GD GC•=•，即()442545AB +=⨯，解得AB=6，()222261035BC AB AC =+==++.11. 延长AD 交⊙O 于E ，连接PE 、BE 、CE ，∵PA 为⊙O 的切线，PO ⊥AE ，∴PE=PA ，12AD DE AE ==，易证△PAB ∽△PCA ，△PEB ∽△PCE ，∴,AB PA EB PEAC PC EC PC==，则AB EBAC EC=，即AB EC AC EB •=•，由托勒密定理得=AB EC AC EB AE BC •+•• . ∴=AB EC AC EB AD BC •+••，即AB BC AC BCAD EC AD EB==，，有∵∠BAE=∠BCE ，∠CAD=∠CBE ， ∴△ABD ∽△CBE ，△CAD ∽△CBE ，则△ABD ∽△CAD ，∴AD CDBD AD=，故2AD BD CD =• .。
25与圆有关的比例线段
析：PC²=PA•PB 又PD²=PA•PB
B A
PC²= PD²
D
PC=PD
2020/1/4
例4.如图,AB是⊙O的直径,过A,B引两
条弦AD和BE,相交于点C, 求证:AC•AD+BC•BE=AB². D 分析:A,F,C.E四点共圆 E C
BC•BE=BF•BA.
A
FO
B
F,B,D,C四点共圆
例2.E是圆内的两条弦AB,CD的交点,直线
EF//CB,交AD的延长线于F,FG切圆于G.
求证:(1)△DFE∽△EFA;
C
(2)EF=FG △DFEEF∽△FEDFA
FA EF
3
O
E
B
EF²=FA•FD
1
2
A
D
又GF²=FA•FD
G
F
GF²= EF²
EF=FG 2020/1/4
例3.如图,两圆相交于A,B两点,P是两圆公共弦 AB上的任一点,从P引两圆的切线PC,PD. 求证:PC=PD
∴∠1=∠2 ⑤ ∴B⌒D=F⌒D ⑥
∴△ABE∽=△ ACE
∴ BE=CE ⑦
B
E
4 3
∴ AE⊥BC ⑧ A
D
∴ 四边形ABEC各边中点 F
共圆2020/1/4
⑨
C
2
1
G
2020/1/4
B
CF•CE=CD•CG ②
E
∵AC=AB
∴AC²=AD•AE
A
即AC AD AE AC
∵∠CAD= ∠EAC,
D
O
C
F
G
∴ △ADC∽△ ACE ∴∠ACD=∠AEC=∠G
与圆有关的比例线段
1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交 点分成的两条线段长的积相等. 2.割线定理：从圆外一点引圆的两条割 线，这一点到每条割线与圆的交点的两 条线段长的积相等 3.切割线定理：从圆外一点引圆的切线 和割线，切线长是这点到割线与圆交点 的两条线段的比例中项. 4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相等，圆心和这 一点的连线平分两条切线的夹角.
（2）若AB=2 ，求PA的长
（1）∠P=60 （2）PA=AC=
3
应用举例：
例1.如图，AB是⊙O的直径，过A、B引两 条弦AD和BE，相交于点C. 求证：AC•AD + BC•BE = AB2
Fห้องสมุดไป่ตู้O
例2.如图,已知BC是☉O的直径,AH⊥BC,
的中点,BF交AD于点 垂足为D,点A为 BF
E,且BE·EF=32,AD=6.
(1)求证：AE=BE.
(2)求DE的长. (3)求BD的长. DE=2 BD= 2 3
例3.如图，Rt△BDE中，∠BDE=90，BC 平分∠DBE交DE于点C，ACCB交BE于点 A，△ABC的外接圆的半径为r. （1）若∠E=30，求证：BC•BD = r•ED； （2）若BD=3，DE=4，求AE的长
O F
例4.如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC 是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC =30. （1）求∠P 的大小；
和圆有关的比例线段(一)
和圆有关的比例线段(一)1. 引言在几何学中，比例线段指的是将一条线段等分成若干份，每一份之间满足一定的比例关系。
本文将探讨和圆有关的比例线段问题，从最基础的概念开始，逐步引入相关定理和应用。
2. 圆的基本概念回顾在开始讨论和圆有关的比例线段问题之前，我们先回顾一些与圆相关的基本概念。
2.1 圆的定义圆是由平面上和一个确定点距离相等的所有点组成的集合。
这个确定点称为圆心，距离称为半径。
2.2 圆的要素在讨论和圆有关的比例线段问题时，会涉及到圆的几个重要要素，包括：•圆心：圆的中心点。
•半径：从圆心到圆上任意一点的距离。
•直径：通过圆心的线段，且等于半径的两倍。
•弧：圆上的一段弧线。
•弦：圆上的一段线段，连接圆上的两个点，且不经过圆心。
3. 比例线段的定义比例线段是指将一条线段分割成若干份，每一份之间满足一定的比例关系。
具体来说，如果将线段AB分为两部分，其中一部分的长度为m，另一部分的长度为n，且满足$\\frac{m}{n}=\\frac{a}{b}$，则称线段AB上的点C将线段分割成了比值为$\\frac{a}{b}$的比例线段。
4. 圆的比例线段定理接下来，我们将讨论和圆有关的比例线段定理。
4.1 弧分割定理假设圆的半径为R，圆心角对应的弧长为l，当圆心角为θ时，弧所在的比例线段为m:n。
根据弧分割定理，我们可以得到以下关系：$\\frac{m}{n} = \\frac{R \\cdot θ}{l}$其中，l为弧长，R为半径。
4.2 弦分割定理假设圆的半径为R，连接弦的线段分割弦为m:n。
根据弦分割定理，我们可以得到以下关系：$\\frac{m}{n} = \\frac{\\sqrt{(2R)^2 - d^2} - l}{\\sqrt{(2R)^2 - d^2} + l}$其中，d为弦与圆心的距离，l为弦长，R为半径。
5. 圆的比例线段应用举例为了更好地理解和圆有关的比例线段定理，我们来看一个具体的应用举例。
和圆有关的比例线段( A3纸用)
和圆有关的比例线段一、从学生原有的认知结构提出问题1.如图7-162(1)、(2)、(3)，说出相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容.相交弦定理：＿＿＿＿＿＿；切割线定理：＿＿＿＿＿＿；割线定理：＿＿＿＿＿＿＿；切线长定理＿＿＿＿＿＿＿。
2.相交弦定理、切割线定理及割线定理切这三者之间是否有联系呢?(1)如图7-163，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD.这便是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例：一是如果圆内的两条弦交于圆心O，则有PA＝PB＝PC＝PD＝圆的半径R，此时AB，CD是直径，相交弦定理当然成立.(如图7-164)二是当P点逐渐远离圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，这时PB＝PD＝O，仍然有PA·PB＝PC·PD＝O，相交弦定理仍然成立.(图7-165)(2)点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外一点P，成为两条割线，则有PA·PB＝PC·PD，这就是我们学过的割线定理.(图7-166)(3)在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点旋转，使C，D两点在圆上逐渐靠近，以至合为一点C，割线PCD变成切线PC.这时有PA·PB＝PC·PD＝2PC，这就是我们学过的切割线定理.(图7-167)(4)如果割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线PA.这时应有22PA PB=，可得PA＝PB，这就是我们学过的切线长定理.(图7-168)至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和切线长定理之间有着密切的联系.3.启发学生理解定理的实质.经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169.观察图7-169，可以得出：(设⊙O半径为R)在图(1)中，PA·PB＝PC·PD＝PE·PF＝(R-OP)(R+OP)＝22R OP-；在图(2)中，PA·PB＝PT2＝OP2-OT2＝OP2-R2；在图(3)中，PA·PB＝PC·PD＝PT2＝OP2-R2.由于PA·PB均等于｜OP2-R2｜，为一常数，叫做点P关于⊙O的幂，所以相交弦定理、切割线定理及割线定理统称为圆幂定理.二、例题分析：如图7-171，在以O为圆心的两个同心圆中，A、B是大圆上任意两点，过A、B作小圆的割线AXY和BPQ.求证：AX·AY=BP·BQ分析：在平面几何比较复杂的图形中，往往都是由几个简单的图形组合而成的.但本题不直接含有这样的图形，我们应考虑通过添加适当的辅助线来构造出这样的图形，以此为出发点，师生共同探索，得出以下几种不同的辅助线的添法.方法1：在图7-172中，过点A，B分别作小圆的切线AC，BD，C，D为切点.这时就出现了切割线定理的基本图形，于是有AC2＝AX·AY，BD2＝BP·BQ. 再连结CO，AO，DO，BO，易证Rt△AOC≌△Rt△BOD，得出AC＝BD所以AX·AY＝BP·BQ.方法2：在图7-173中，作直线XP交大圆于E，F，分别延长AY，BQ，交大圆于C，D.这样就出现了相交弦定理的基本图形.于是有AX·XC＝EX·XF，BP·PD＝FP·PE. 易证AX＝CY，BP＝DQ，EX＝FP.所以AX·XC＝AX·AY，BP·PD＝BP·BQ，EX·XF＝FP·PE.所以AX·AY＝BP·BQ.方法3：如图7-174，由于点O是圆内的特殊点，考虑过O点的特殊割线，作直线AO交小圆于E，F，作直线BO交小圆于C，D，则出现了割线定理的基本图形.于是有AX·AY＝AE·AF，BP·BQ＝BC·BD. 易证AE＝BC，AF＝BD，所以AE·AF＝BC·BD.从而AX·AY＝BP·BQ.通过对以上方法的分析，将“和圆有关的比例线段”这一节的几个定理紧密结合起来，沟通了知识间的联系，最后可启发学生联想基本图形，思考还有哪些辅助线的作法来证明此题?三、小结1、圆幂定理的基本图形(如图7-176)，让学生观察并说出相应的定理.教师指出：以上定理形式虽然不同，但实质相同，它们是相互统一的.2、补充其它定理：①弦切角定理：弦切角等于所夹弧所对的圆周角。
25与圆有关的比例线段
B O
∴△MBP∽△PMC
C
∴∠2020M/7/9PB=∠MCP
习题2.5
7.如图, AD,BE,CF分别是△ABC三边的高,H
是垂心,AD延长线交△ABC外接圆于点G,
A
求证:DH=DG
3
F
E
H
2C
1
D B
2020/7/9
G
习题2.5
8.如图,⊙O直径AB的延长线与弦CD的延长线
交于点P,A⌒E=A⌒C. 求证:PF•PO=PA•PB
思路： △POC∽△PDF
E
A
O
FB
1
2
C
D
PO PC PD PF
P
又PD•PC=PB•PA
2020/7/9
PF•PO=PD•PC PF•PO=PB•PA
习题2.5 9.将例5的图(1)作如下变化:以A为中心,把线段AC绕A 逆时针旋转一个角度,连接EC并延长与圆相交于F,连接 DC并延长与圆相交于G,连接FG,其他条件同例5,能推出 哪些结论?如果∠BAD= ∠CAD,又有什么结论?
2020/7/9
2020/7/9
2020/7/9
2020/7/9
连接AC,AD易证△PAC∽△PDA
故PA·PB=PC·PD仍成立
D
因为A,B重合，
C O
上式可变形为
P
PA²=PC·PD
A(B)
3.切割线定理 从圆外一点引圆的切
线和割线，切线长是这点到割线与圆
交点的两条线段长的比例中项.
2020/7/9
故202C0/7/9,E,B,Q四点共圆 ⑽
习题2.5
5.如图, ⊙O与⊙O´相交与点A,B.PQ是⊙O的 切线,求证:PN²=NM•NQ
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和圆有关的比例线段
教材分析
(1)知识结构
(2)重点、难点分析
重点：相交弦定理及其推论，切割线定理和割线定理.这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点，而且还是中考试题的热点;这些定理和推论是重要的工具性知识，主要应用与圆有关的计算和证明.
难点：正确地写出定理中的等积式.因为图形中的线段较多，学生容易混淆.
2、教学建议
本节内容需要三个课时.第1课时介绍相交弦定理及其推论，做例1和例2.第2课时介绍切割线定理及其推论，做例3.第3课时是习题课，讲例4并做有关的练3.
(1)教师通过教学，组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题，逐步培养学生研究性学习意识，激发学生的学习热情;
(2)在教学中，引导学生观察猜想证明应用等学习，教师组织下，以学生为主体开展教学活动.
第1课时：相交弦定理
教学目标：
1.理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的
简单证明和计算;
2.学会作两条已知线段的比例中项;
3.通过让学生自己发现问题，调动学生的思维积极性，培养学生发现问题的能力和探索精神;
4.通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法. 教学重点：
正确理解相交弦定理及其推论.
教学难点：
在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理.
教学活动设计
(一)设置学习情境
1、图形变换：(利用电脑使AB与CD弦变动)
①引导学生观察图形，发现规律：D，B.
②进一步得出：△APC∽△DPB.
.③如果将图形做些变换，去掉AC和BD，图中线段 PA，PB，PC，PO之间的关系会发生变化吗?为什么?
组织学生观察，并回答.
2、证明：
已知：弦AB和CD交于⊙O内一点P.
求证：PAPB=PCPD.
(A层学生要训练学生写出已知、求证、证明;B、C层学生在老师引导下完成)
(证明略)
(二)定理及推论
1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.
结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理：在⊙O中;弦AB，CD相交于点P，那么PAPB=PCPD.
2、从一般到特殊，发现结论.
对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互相垂直如图，AB是直径，并且ABCD于P.
提问：根据相交弦定理，能得到什么结论?
指出：PC2=PAPB.
请学生用文字语言将这一结论叙述出来，如果叙述不完全、不准确.教师纠正，并板书.
推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.
3、深刻理解推论：由于圆是轴对称图形，上述结论又可叙述为：半圆上一点C向直径AB作垂线，垂足是P，则PC2=PAPB. 若再连结AC，BC，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：
PC2=PAAC2=APCB2=BPAB
(三)应用、反思
例1 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段，第二条弦的长为32厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长.
引导学生根据题意列出方程并求出相应的解.
例2 已知：线段a，b.
求作：线段c，使c2=ab.
分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段.
作法：口述作法.
反思：这个作图是作两已知线段的比例中项的问题，可以当作基本作图加以应用.同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图.
练习1 如图，AP=2厘米，PB=2.5厘米，CP=1厘米，求CD. 变式练习：若AP=2厘米，PB=2.5厘米，CP，DP的长度皆为整数.那么CD的长度是多少?
将条件隐化，增加难度，提高学生学习兴趣
练习2 如图，CD是⊙O的直径，ABCD，垂足为P，AP=4厘米，PD=2厘米.求PO的长.
练习3 如图：在⊙O中，P是弦AB上一点，OPPC，PC 交⊙O
于C. 求证：PC2=PAPB
引导学生分析：由APPB，联想到相交弦定理，于是想到延长CP交⊙O于D，于是有PCPD=PAPB.又根据条件OPPC.易证得PC=PD问题得证.
(四)小结
知识：相交弦定理及其推论;
能力：作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力;
思想方法：学习了由一般到特殊(由定理直接得到推论的过程)的思想方法.
(五)作业
教材P132中 9，10;P134中B组4(1).
第2课时切割线定理
教学目标：
1.掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明;
2.掌握构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力
3.能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点.
教学重点：
理解切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理.
教学难点：
定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点.
教学活动设计
(一)提出问题
1、引出问题：相交弦定理是两弦相交于圆内一点.如果两弦延长交于圆外一点P，那么该点到割线与圆交点的四条线段PA，PB，PC，PD的长之间有什么关系?(如图1)
当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点(如图2)时，由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA，PB，PT之间又有什么关系?
2、猜想：引导学生猜想出图中三条线段PT，PA，PB间的关系为PT2=PAPB.
3、证明：
让学生根据图2写出已知、求证，并进行分析、证明猜想. 分析：要证PT2=PAPB，可以证明，为此可证以 PAPT为边的三角形与以PT，BP为边的三角形相似，于是考虑作辅助线TP，PB.(图3).容易证明PTA=B又P，因此△BPT∽△TPA，于是问题可证.
4、引导学生用语言表达上述结论.
切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
(二)切割线定理的推论
1、再提出问题：当PB、PD为两条割线时，线段PA，PB，PC，PD之间有什么关系?
观察图4，提出猜想：PAPB=PCPD.
2、组织学生用多种方法证明：
方法一：要证PAPB=PCPD，可证此可证以PA，PC为边的三角形和以PD，PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AC，BD，容易证明PAC=D，P，因此△PAC∽△PDB. (如图4)
方法二：要证，还可考虑证明以PA，PD为边的三角形和以PC、PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AD、CB.容易证明D，又P. 因此△PAD∽△PCB.(如图5)
方法三：引导学生再次观察图2，立即会发现.PT2=PAPB，同时PT2=PCPD，于是可以得出PAPB=PCPD.PAPB=PCPD
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.(也叫做割线定理)
(三)初步应用
例1 已知：如图6，⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6厘米，AB=8厘米， PO=10.9厘米，求⊙O的半径.
分析：由于PO既不是⊙O的切线也不是割线，故须将PO延长交⊙O于D，构成了圆的一条割线，而OD又恰好是⊙O的半径，于是运用切割线定理的推论，问题得解.
(解略)教师示范解题.
例2 已知如图7，线段AB和⊙O交于点C，D，AC=BD，AE，
BF分别切⊙O于点E，F，
求证：AE=BF.
分析：要证明的两条线段AE，BF均与⊙O相切，且从A、B 两点出发引的割线ACD和BDC在同一直线上，且AC=BD，AD=BC. 因此它们的积相等，问题得证.
学生自主完成，教师随时纠正学生解题过程中出现的错误，如AE2=ACCD和BF2=BDDC等.
巩固练习：P128练习1、2题
(四)小结
知识：切割线定理及推论;
能力：结合具体图形时，应能写出正确的等积式;
方法：在证明切割线定理和推论时，所用的构造相似三角形的方法十分重要，应注意很好地掌握.
(五)作业教材P132中，11、12题.
探究活动
最佳射门位置
国际足联规定法国世界杯决赛阶段，比赛场地长105米，宽68米，足球门宽7.32米，高2.44米，试确定边锋最佳射门位置(精确到l米).
分析与解如图1所示.AB是足球门，点P是边锋所在的位置.最佳射门位置应是使球员对足球门视角最大的位置，即向P 上方或下方移动，视角都变小，因此点P实际上是过A、B
且与边线相切的圆的切点，如图1所示.即OP是圆的切线，而OB是圆的割线.
故，又，
OB=30.34+7.32=37.66.
OP= (米).
注：上述解法适用于更一般情形.如图2所示.△BOP可为任意角.。