常用逻辑用语

1、命题 1．命题的定义：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的 叫做命题。

其中判断为真的语句叫做 ，判断为假的语句叫做 。

2．命题的结构：在数学中，具有“若p 则q ”这种形式的命题是较为常见的，我们把这种形式的的命题中的p 叫做 ，q 叫做 。

二．四种命题及其相互关系3．四种命题的概念：一般地，用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用p ⌝和q ⌝分别表示p 和q 的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p 则q ；逆命题： ；否命题： ；逆否命题： 。

4．否命题与命题的否定是不相同的，若p 表示命题，“非p ”叫做命题的否定。

如果原命题是“若p 则q ”，否命题是“若p ⌝，则q ⌝”，而命题的否定是“p 则q ⌝”，即只否定结论。

常用逻辑用语 命题及其关系充分条件与必要条件简单的逻辑连结词全称量词与存在量词5．当一个命题的真假不易判断时，往往可以判断原命题的逆否命题的真假，从而得出原命题的真假。

6．反证法常用于证明如下形式的问题：否定性问题、存在性问题、唯一性问题，至多、至少问题，结论的反面比原结论更具体更易于研究和掌握的问题。

7．常用的正面叙述词语和它的否定词语的关系（如下表）： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 有 是 都是 全是 否定词语 不等于（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 无 不是 不都是 不全是 正面词语 任意的 任意两个 至少有一个 至多有一个 所有的至多有n 个 或 否定词语 某个 某两个 一个也没有 至少有两个 某些 至少有1+n 个 且8．进行充分条件与必要条件的推理判断中要注意以下几点：一是要弄清先后顺序，“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A 且A 推不出B ，而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B 且B 推不出A ；二是要善于举出反例，如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，则可以举出反例来说明一个命题是错误的；三是要注意转化，根据命题之间的关系我们可以知道：如果p 是q 的充分不必要条件，那么p ⌝是q ⌝的必要不充分条件；同理，如果p 是q 的必要不充分条件，那么p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，如果p 是q 的充要条件，那么p ⌝是q ⌝的充要条件。

9．对逻辑联结词“或”“且”“非”的理解在集合部分中的学习的“并集”“交集”“补集”与逻辑联结词中的“或”“且”“非”关系十分密切，对于理解逻辑联结词“或”“且”“非”很有用处：（1）“或”与日常生活中的用语“或”的意义不同，在日常生活用语中的“或”带有不可兼有的意思，而逻辑用语中的“或”可以同时兼有。

对于逻辑用语“或”的理解我们可以借助于集合中的并集的概念：在A x x B A ∈=|{ 或}B x ∈中的“或”是指 “A x ∈”与“B x ∈”中至少有一个成立，可以是“A x ∈且B x ∉”，也可以是“A x ∉且B x ∈”，也可以是“A x ∈且B x ∈”，逻辑用语中的“或”与并集中的“或”的含义是一样的；（2）对“且”的理解，可以联想到集合中的交集的概念：在A x x B A ∈=|{ 且}B x ∈的“且”是指“A x ∈”、“B x ∈”都要满足的意思，即x 既要属于集合A ，又要属于集合B ；（3）对“非”的理解，可以联想到集合中的补集的概念：“非”有否定的意思，一个命题p 经过使用逻辑联结词“非”构成一个复合命题“非p ”，当p 为真时，非p 为假，当p 为假时，非p 为真。

若将命题p 对应集合P ，则命题非p 就对应着集合P 在全集U 中的补集P C U ；对于非的理解，还可以从字意上来理解，“非”本身就具有否定的意思，如“0.5是非整数”是对命题“0.5是整数”进行否定而得出的新命题。

一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定。

10．由于全称命题的否定变为特称命题，而特称命题的否定变为全称命题，因此，可以通过“举反例”来否定一个全称命题。

五、例题讲解例1．判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由。

（1）矩形难道不是平行四边形吗？（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？（3）求证：R x ∈，方程012=++x x 无实根.（4）5>x（5）人类在2020年登上火星.解：（1）是命题，且是真命题。

（2）不是命题，这是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两直线是否平行作出判断。

（3）不是命题，是祈使句。

（4）是开语句，不是命题。

（5）是命题。

但目前无法判断真假。

例2．写出“若2=x 或3=x ，则0652=+-x x ”的逆命题、否命题、逆否命题及命题的否定，并判其真假。

解:逆命题：若0652=+-x x ，则2=x 或3=x ，是真命题；否命题：若2≠x 且3≠x ，则0652≠+-x x ，是真命题；逆否命题：若0652≠+-x x ，则2≠x 且3≠x ，是真命题。

命题的否定：若2=x 或3=x ，则0652≠+-x x ，是假命题。

例3．（06年上海卷）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线x y 22=相交于A 、B 两点．（1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．解:（1）证法一:设过点T(3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2).①当直线l 的钭率不存在时,直线l 的方程为x =3,此时,直线l 与抛物线相交于点A (3,6)、B(3,－6). ∴OB OA ⋅=3；②当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，由22(3)y x y k x =⎧⎨=-⎩得 2122606ky y k y y --=⇒=- 又 ∵ 22112211,22x y x y ==，∴3)(41212212121=+=+=⋅y y y y y y x x OB OA 综上所述，命题“如果直线l 过点T(3,0)，那么OB OA ⋅=3”是真命题。

证法二:设直线l ：3+=ty x 代入抛物线y 2=2x 消去x ，得0622=--ty y .设),(11y x A ，),(22y x B ，则t y y 221=+，621-=y y ，从而→--OA →--⋅OB =+++=+)3)(3(212121ty ty y y x x 21y y 21212129)(3y y y y t y y t ++++=3692362=-+⋅+-=t t t ，∴“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题。

(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果OB OA ⋅=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(21,1)，此时OA OB =3,直线AB 的方程为：2(1)3y x =+，而T(3,0)不在直线AB 上.对于(2)的证明如下：证明:设直线l ：b ty x +=代入抛物线y 2=2x 消去x ，得0222=--b ty y .，设),(11y x A ，),(22y x B ，则t y y 221=+，b y y 221-=，∴→--OA →--⋅OB =+++=+))((212121b ty b ty y y x x 21y y 21221212)(y y b y y bt y y t ++++= b b b b t bt bt 2222222-=-+⋅+-=，令322=-b b 得3=b 或1-=b .此时直线l 过点(0,3)或(0,1-)，故原命题为假命题。

例4．已知)1,0(,,∈c b a ，求证：b a )1(-，c b )1(-，a c )1(-三式中至少有一个不大于41. 证明:（用反证法）若b a )1(-，c b )1(-，a c )1(-三式中都大于41.则有 23)1()1()1(>-+-+-a c c b b a （＊） 而2)1()1(b a b a +-≤-，2)1()1(c b c b +-≤-，2)1()1(a c a c +-≤-，三式相加得23)1()1()1(≤-+-+-a c c b b a ，此与（＊）式矛盾，故假设错误，从而原命题成立。

例5．求关于x 的方程0)12(22=+-+k x k x 的两个实根都大于1的充要条件。

解法一:设方程的两个根为21,x x ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧>>≥∆11021x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧>->-≥∆0101021x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+-≥∆0)1)(1(0)1()1(02121x x x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧>++->+≥∆01)(20212121x x x x x x解得2-<k ，故所求的充要条件是2-<k .解法二:记=)(x f 22)12(k x k x +-+，故所求的充要条件是：⎪⎩⎪⎨⎧>>--≥∆0)1(12120f k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-+-<≥--⇔01212104)12(222k k k k k ［解］得2-<k ，故所求的充要条件是2-<k 。

例6．已知数列{n a } 、{n b }、{n c }，其中{n a } 、{n b }是等比数列.对于任意正整数n ，n a 、n b 、n c 都成等差数列，且01≠c .试证明：“数列{n c }成等比数列”的充要条件是“数列{n a } 与{n b }公比相等”.证明:充分性 设数列{n a } 与{n b }的公比都是q ，则11-=n n q a a ，11-=n n q b b ，而)(21n n n b a c +=11111)(21--=+=n n q c q b a ，又01≠c ，故{n c }是公比为q 的等比数列.充分性得证.必要性 若数列{n c }是等比数列，设数列{n a } ,{n b },{n c }的公比分别为r q p ,,，则)3()2()1(222212121111111⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=q b p a r c q b p a r c b a c ，由)3()1(⨯得：2212211221221)(4q b q p b a p a r c +++= (4) 将(2)的两边平方得2211122122124q b pq b a p a r c ++= (5)比较(4)(5)两式得pq q p 222=+，故q p =，即数列{n a } 与{n b }公比相等.必要性得证.例7. 设命题1|34:|≤-x p ;命题0)1()12(:2≤+++-a a x a x q ,若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.解:设}1|34||{≤-=x x A ，}0)1()12(|{2≤+++-=a a x a x x B ，易知}121|{≤≤=x x A ，}1|{+≤≤=a x a x B .由p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即B A ≠⊂，⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤∴1121a a ，故所求实数a 的取值范围是]21,0[ 例8. 已知集合}53|{><=x x x M 或，}0)8)((|{≤--=x a x x P .（1）求实数a 的取值范围，使它成为}85|{≤<=x x P M 的充要条件；（2）求实数a 的一个值，使它成为}85|{≤<=x x P M 的一个充分但不必要条件；（3）求实数a 的取值范围，使它成为}85|{≤<=x x P M 的一个必要但不充分条件.解:（1）由 }85|{≤<=x x P M ，得53≤≤-a ，因此}85|{≤<=x x P M 的充要条件是}53|{≤≤-a a ；（2）求实数a 的一个值，使它成为}85|{≤<=x x P M 的一个充分但不必要条件，就是在集合}53|{≤≤-a a 中取一个值，如取0=a ，此时必有}85|{≤<=x x P M ；反之，}85|{≤<=x x P M 未必有0=a ，故0=a 是所求的一个充分而不必要条件；（3）求实数a 的取值范围，使它成为}85|{≤<=x x P M 的一个必要但不充分条件就是另求一个集合，故}53|{≤≤-a a 是它的一个真子集。