2013年高考数学总复习 7-1 不等式的性质及解法新人教B版

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不等式的基本性质和解法

不等式的基本性质和解法不等式在数学中扮演着重要的角色，它描述了数字之间的大小关系。

解不等式问题帮助我们确定未知数的取值范围，以便满足给定的条件。

本文将介绍不等式的基本性质和解法，以帮助读者更好地理解和应用不等式。

一、不等式的基本性质1. 传递性对于任意三个实数a、b、c，如果a < b且b < c，则a < c。

这意味着如果两个数中一个小于另一个数，它也小于比另一个数更大的数。

2. 加法性对于任意实数a、b和c，如果a < b，则a + c < b + c。

这表示在不等式两边同时加上或减去相同的数时，不等式的关系不会改变。

3. 乘法性对于任意实数a、b和c，如果a < b且c > 0，则ac < bc。

如果c < 0，则ac > bc。

这意味着当不等式两边同时乘以一个正数或负数时，不等式的关系可能发生改变。

需要注意的是，当乘以一个负数时，不等号的方向会反转。

二、不等式的解法1. 加减法解法当不等式中有加减运算时，可以通过加减法来解决。

例如，对于不等式2x + 5 > 13，我们可以先将5减去，得到2x > 8，然后再将2除以2，得到x > 4。

所以不等式的解为x > 4。

2. 乘除法解法当不等式中有乘除运算时，可以通过乘除法来解决。

例如，对于不等式3x/2 < 6，我们可以先将不等式两边同时乘以2/3，得到x < 4。

所以不等式的解为x < 4。

3. 绝对值不等式解法绝对值不等式是指形如|ax + b| < c或|ax + b| > c的不等式。

对于这类不等式，我们可以分别解决绝对值内部为正数和绝对值内部为负数的情况。

例如，对于不等式|2x - 1| < 5，我们可以分别解决2x - 1 < 5和2x - 1 > -5，得到x < 3和x > -2。

综合起来，不等式的解为-2 < x < 3。

高考数学不等式的解法知识点

高考数学不等式的解法知识点高考数学不等式的解法知识点在年少学习的日子里，大家都背过各种知识点吧？知识点也可以通俗的理解为重要的内容。

哪些知识点能够真正帮助到我们呢？以下是店铺帮大家整理的高考数学不等式的解法知识点，仅供参考，希望能够帮助到大家。

不等式的解法：(1)一元二次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零;注：要对进行讨论：(2)绝对值不等式：若，则 ; ;注意：(1)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值;(2).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。

(3).含有多个绝对值符号的不等式可用按零点分区间讨论的方法来解。

(4)分式不等式的解法：通解变形为整式不等式;(5)不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。

(6)解含有参数的不等式：解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析△)，比较两个根的大小,设根为 (或更多)但含参数，要讨论。

不等式与不等式组1.定义：用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。

2.性质：①不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号方向不变。

②不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。

③不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

3.分类：①一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。

《不等式的性质》课件

不等式的可乘性
总结词
如果a>b>0，且c>0，则ac>bc。
详细描述
这是不等式的另一个重要性质，称为可乘性。它表明当两个正数a和b之间存在一个正数c时，如果已知a大于b，并且c也大于0，那么在两边同时乘以c后，得到的结果仍然是ac大于bc。
不等式的可除性
总结词
如果a>b>0，且c>0，则a/c>b/c。
详细描述
这是不等式的另一个重要性质，称为可除性。它表明当两个正数a和b之间存在一个正数c时，如果已知a大于b，并且c也大于0，那么在两边同时除以c后，得到的结果仍然是a/c大于b/c。
PART 03
不等式的解法
代数法解不等式
代数法是解不等式最常用的方法之一，通过移项、合并同类项、化简等步骤，将不等式转化为容
总结词
如果a>b且b>c，则a>c。
详细描述
这是不等式的基本性质之一，称为传递性。它表明当两个数a和c之间存在一个中间数b，且已知a大于b且b大于c时，那么a必然大于c。
不等式的可加性
总结词
如果a>b，那么a+c>b+c。
详细描述
这是不等式的另一个重要性质，称为可加性。它表明当两个数a和b之间存在一个差值c时，如果已知a大于b，那么在两边同时加上c后，得到的结果仍然是a+c大于b+c。
在经济中的应用
资源配置
市场分析
不等式可以用来描述资源配置问题，例如在生产过程中如何分配资源以达到最大效益。
在市场分析中，可以利用不等式性质来分析市场供需关系，例如分析商品价格与需求量之间的关系。
决策分析

不等式的性质及解法

不等式的性质及解法不等式是数学中的一种重要的数值关系表示形式，与等式相比，不等式更能反映数值大小之间的差异。

在实际问题中，我们经常会遇到需要确定数值范围的情况，而不等式的性质和解法则帮助我们进行准确的数值分析和解决问题。

一、不等式的基本性质1. 传递性：如果 a<b，b<c，则有 a<c。

这一性质表明不等式的关系可以在数轴上进行传递，简化了分析比较的步骤。

2. 加减性：如果 a<b，则有 a±c<b±c。

对于不等式两边同时加减同一个数，不等式的关系保持不变。

3. 乘除性：如果 a0，则有 ac<bc；如果 abc。

这一性质需要注意，当乘以负数时，不等式的关系需要取反。

4. 对称性：如果a<b，则有b>a。

不等式两边的大小关系可以互换。

二、一元不等式的解法1. 加减法解法：通过加减法将不等式转化为更简单的形式。

例如：对于不等式 2x+3>7，我们可以先减去3，得到 2x>4，再除以2，得到x>2，即解集为 x>2。

2. 乘除法解法：通过乘除法将不等式转化为更简单的形式。

同样以不等式 2x+3>7 为例，我们可以先减去3，得到 2x>4，再除以2，得到x>2，即解集为 x>2。

3. 移项解法：利用不等式的基本性质，将所有项移到同一边，得到一个结果。

例如：对于不等式 3(x-2)>4x-7，我们可以先将右边的项移动到左边，得到 3x-6>4x-7，然后将 x 的系数移到一侧，得到 3x-4x>-7+6，化简得到 -x>-1，再乘以 -1，注意需要反转不等式的关系，得到x<1，即解集为 x<1。

4. 系数法解法：当不等式中存在系数时，我们可以通过判断系数的正负来确定解的范围。

例如：对于不等式 2x-3>0，我们观察到系数2>0，说明 x 的取值范围为正数，即解集为 x>3/2。

不等式的基本性质与解法知识点总结

不等式的基本性质与解法知识点总结不等式在数学中占据着重要的地位，它是描述数值关系的一种有效方式。

本文将总结不等式的基本性质和解法知识点。

一、不等式的基本性质1. 加法性质：若a>b，则a+c>b+c，其中c为任意实数。

2. 减法性质：若a>b，则a-c>b-c，其中c为任意实数。

3. 乘法性质：若a>b且c>0，则ac>bc；若a>b且c<0，则ac<bc。

4. 除法性质：若a>b且c>0，则a/c>b/c；若a>b且c<0，则a/c<b/c。

5. 对称性质：若a>b，则-b>-a。

6. 传递性质：若a>b且b>c，则a>c。

7. 绝对值性质：若|a|>|b|，则a^2>b^2。

8. 幂性质：若a>b且n为正整数，则a^n>b^n。

二、不等式的解法1. 图像法：将不等式转化为图像，利用图像直观地判断解集。

2. 对称法：当不等式具有对称性时，可以利用对称性质简化计算。

3. 分情况讨论法：将不等式分成不同的情况进行讨论，逐一求解。

4. 加减法合并法：将不等式中的项进行合并，简化计算。

5. 取绝对值法：若不等式中存在绝对值，可以通过取绝对值简化问题。

6. 平方法：若不等式中存在平方或平方根，可以通过平方或开方简化计算。

7. 代入法：将不等式中的变量代入，通过求解方程得到不等式的解集。

8. 倒置法：将不等式的方向倒置，从而转化为已知的不等式进行求解。

9. 寻找最值法：通过寻找函数的最值，确定不等式的解集。

10. 数学归纳法：对于一些特殊的不等式，可以通过数学归纳方法来证明。

三、实例分析以下是一些例子，通过上述解法来解答：例子1：解不等式2x+3>7。

解法：首先，我们可以使用加减法合并法将不等式化简为2x>4。

然后，再利用乘法性质除以2，得到x>2。

高考数学总复习第七章不等式第1节不等式的性质与一元二次不等式教案文(含解析)

第1节不等式的性质与一元二次不等式最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一二次不等式模型；3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图.知识梳理1.实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.2.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c ＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒n∈N，n≥2).3.三个“二次”间的关系二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图像一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集{x |x ＞x 2或x ＜x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅∅[微点提醒]1.有关分数的性质(1)若a >b >0，m >0，则b a b －ma －m(b －m >0).(2)若ab >0，且a >b ⇔1a <1b.2.对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记a ＝0时的情形. 3.当Δ<0时，不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)a ＞b ⇔ac 2＞bc 2.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( ) (3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R .( )(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a ＜0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( )解析 (1)由不等式的性质，ac 2＞bc 2⇒a ＞b ；反之，c ＝0时，a ＞b ac 2＞bc 2.(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0(a <0)的解集为∅.(4)当a ＝b ＝0，c ≤0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0也在R 上恒成立. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(必修5P72思考交流改编)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a d ＞b cB.a d ＜b cC.a c ＞b dD.a c ＜b d 解析因为c ＜d ＜0，所以0＞1c ＞1d，两边同乘－1，得－1d＞－1c＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式的性质可知－a d ＞－bc ＞0.两边同乘－1，得a d ＜bc. 答案 B 3.(必修5P113A1改编)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B ＝( ) A.(－2，3) B.(－2，2) C.(－2，2]D.[－2，2]解析因为A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |－2<x <3}，所以A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}＝(－2，2]. 答案 C4.(2018·抚州联考)若a ，b ，c 为实数，且a a bD.a 2>ab >b 2解析 c ＝0时，A 项不成立； 1a －1b ＝b －a ab>0，选项B 错；b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝（b ＋a ）（b －a ）ab<0，选项C 错. 由a ab >b 2.D 正确. 答案 D5.(2019·河北重点八所中学模拟)不等式2x 2－x －3>0的解集为________.解析由2x 2－x －3>0，得(x ＋1)(2x －3)>0，解得x >32或x <－1.∴不等式2x 2－x －3>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32或x <－1.答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32或x <－16.(2018·汉中调研)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值范围是______.解析若a ＝0，则f (x )＝－1≤0恒成立，若a ≠0，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝a 2＋4a ≤0，解得－4≤a <0，综上，得a ∈[－4，0]. 答案 [－4，0]考点一不等式的性质多维探究角度1 比较大小及不等式性质的简单应用【例1－1】 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c ≥b >a B.a >c ≥b C.c >b >aD.a >c >b(2)(一题多解)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( )A.①④B.②③C.①③D.②④解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0， ∴b >a ，∴c ≥b >a .(2)法一因为1a ＜1b＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A ，B ，D.法二由1a ＜1b＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1ab，即①正确； ②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误；③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1b＞0，所以a －1a ＞b －1b，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误.由以上分析，知①③正确. 答案 (1)A (2)C角度2 利用不等式变形求范围【例1－2】 (一题多解)设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________.解析法一设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1).又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4. ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. 法二由⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b ，f （1）＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f （－1）＋f （1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1). 又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. 法三由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分所示，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3，1)时，取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10. 答案 [5，10]规律方法 1.比较两个数(式)大小的两种方法2.与充要条件相结合问题，用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用.3.与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.4.在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.【训练1】 (1)(2019·东北三省四市模拟)设a ，b 均为实数，则“a >|b |”是“a 3>b 3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2018·天一测试)已知实数a ∈(1，3)，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14，则ab 的取值范围是________.解析 (1)a >|b |能推出a >b ，进而得a 3>b 3；当a 3>b 3时，有a >b ，但若b <a <0，则a >|b |不成立，所以“a >|b |”是“a 3>b 3”的充分不必要条件.(2)依题意可得4<1b <8，又1<a <3，所以4<ab<24.答案 (1)A (2)(4，24)考点二一元二次不等式的解法【例2－1】 (1)(2019·河南中原名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.(2)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是{x |－12<x <－13}，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________.解析 (1)设x <0，则－x >0，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ). 又f (0)＝0. 于是不等式f (x )>x等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2－2x >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2－2x >x ，解得x >3或－3<x <0.故不等式的解集为(－3，0)∪(3，＋∞).(2)由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝ba，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2.答案 (1)(－3，0)∪(3，＋∞) (2){x |x ≥3或x ≤2} 【例2－2】解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 解原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a ＞0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a ＜0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意；当2a＜－1，即－2<a <0时，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a 或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a .规律方法 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R 或∅). (3)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集. 2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用.【训练2】 (1)不等式x ＋5（x －1）2≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3](2)(2019·铜川一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( ) A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(1，3) C.(－1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)解析 (1)不等式可化为2x 2－5x －3（x －1）2≤0，即（2x ＋1）（x －3）（x －1）2≤0，解得－12≤x <1或1<x ≤3.(2)关于x 的不等式ax －b <0即ax 0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3， ∴所求不等式的解集是(－1，3). 答案 (1)D (2)C考点三一元二次不等式恒成立问题多维探究角度1 在实数R 上恒成立【例3－1】 (2018·大庆实验中学期中)对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2) B.(－∞，2] C.(－2，2)D.(－2，2]解析当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立；当a －2≠0，即a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝[－2（a －2）]2－4×（a －2）×（－4）<0，解得－2<a <2.综上，实数a 的取值范围是(－2，2]. 答案 D角度2 在给定区间上恒成立【例3－2】 (一题多解)设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________.解析要使f (x )＜－m ＋5在[1，3]上恒成立，故mx 2－mx ＋m －6＜0，则m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立. 法一令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]. 当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，所以m ＜0. 综上所述，m的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0.法二因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可.因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 . 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 角度3 给定参数范围的恒成立问题【例3－3】已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( ) A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)解析把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立，得f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.答案 C规律方法 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (1)(2019·河南豫西南五校联考)已知关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是( )A.[0，1]B.(0，1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞)(2)(2019·安庆模拟)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( ) A.0B.－2C.－52D.－3解析 (1)当k ＝0时，不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0可化为8≥0，其恒成立，当k ≠0时，要满足关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝36k 2－4k （k ＋8）≤0，解得0<k ≤1.综上，k 的取值范围是[0，1]. (2)由于x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12时恒成立，令g (x )＝x ＋1x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12，易知g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数，则y ＝－g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是增函数.∴y ＝－g (x )的最大值是－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝－52. 因此a ≥－52，则a 的最小值为－52.答案 (1)A (2)C [思维升华]1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单. [易错防范]1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是( ) A.f (x )＝g (x ) B.f (x )＞g (x )C.f (x )＜g (x )D.随x 的值变化而变化解析 f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0⇒f (x )＞g (x ). 答案 B2.(2019·北京东城区综合练习)已知x ，y ∈R ，那么“x >y ”的充要条件是( ) A.2x>2yB.lg x >lg yC.1x >1yD.x 2>y 2解析因为2x>2y⇔x >y ，所以“2x>2y ”是“x >y ”的充要条件，A 正确；lg x >lg y ⇔x >y >0，则“lg x >lg y ”是“x >y ”的充分不必要条件，B 错误；“1x >1y”和“x 2>y 2”都是“x >y ”的既不充分也不必要条件.答案 A3.不等式|x |(1－2x )>0的解集为( )A.(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析当x ≥0时，原不等式即为x (1－2x )>0，所以0<x <12；当x <0时，原不等式即为－x (1－2x )>0，所以x <0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫0，12.答案 A4.(2018·延安质检)若实数m ，n 满足m >n >0，则( ) A.－1m<－1nB.m －n <m －nC.⎝ ⎛⎭⎪⎫12m>⎝ ⎛⎭⎪⎫12nD.m 2<mn解析取m ＝2，n ＝1，代入各选择项验证A ，C ，D 不成立.只有B 项成立(事实上2－1<2－1). 答案 B5.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1，2)D.(－2，1)解析易知f (x )在R 上是增函数，∵f (2－x 2)>f (x )， ∴2－x 2>x ，解得－2<x <1，则实数x 的取值范围是(－2，1). 答案 D 二、填空题6.若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________.解析原不等式可化为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a.答案⎝⎛⎭⎪⎫a ，1a7.规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是________. 解析由题意知k 2＋1＋k 2<3，化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1，所以－1<k <1. 答案 (－1，1)8.(2019·宜春质检)设a <0，若不等式－cos 2x ＋(a －1)cos x ＋a 2≥0对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.解析令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]，则不等式f (t )＝t 2－(a －1)t －a 2≤0对t ∈[－1，1]恒成立，因此⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f （1）≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a －a 2≤0，2－a －a 2≤0，∵a <0，∴a ≤－2. 答案 (－∞，－2] 三、解答题9.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值. 解 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}. (2)∵f (x )＞b 的解集为(－1，3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3，∴⎩⎪⎨⎪⎧（－1）＋3＝a （6－a ）3，（－1）×3＝－6－b 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.故a 的值为3±3，b 的值为－3.10.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围. 解(1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎪⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，解得0≤x ≤2.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为{x |0≤x ≤2}.(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134.所以x的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.已知0<a 0B.2a －b<12C.log 2a ＋log 2b <－2D.2a b ＋b a <12解析由题意知0<a <1，此时log 2a <0，A 错误；由已知得0<a <1，02a b ·b a ＝2，所以2a b ＋b a>22＝4，D 错误；由a ＋b ＝1>2ab ，得ab <14，因此log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )<log 214＝－2，C 正确.答案 C12.(2019·保定调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)B.(－2，0)C.(－∞，0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析因为f (x )在R 上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，所以f (x )在R 上是增函数，结合题意得－4t >2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立⇒mt 2＋4t ＋2m <0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝16－8m 2<0⇒m ∈(－∞，－2). 答案 A13.已知－1<x ＋y <4，2<x －y <3，则3x ＋2y 的取值范围是________.解析设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4，2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10，1<12(x －y )<32， ∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232， ∴3x ＋2y 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232 14.(2019·济南质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x.若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，求实数a 的取值范围.解因为函数f (x )是偶函数，故函数图像关于y 轴对称，且在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增.所以由f (x ＋a )≥f (2x )可得|x ＋a |≥2|x |在[a ，a ＋1]上恒成立，从而(x ＋a )2≥4x 2在[a ，a ＋1]上恒成立，化简得3x 2－2ax －a 2≤0在[a ，a ＋1]上恒成立，设h (x )＝3x 2－2ax －a 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝0≤0，h （a ＋1）＝4a ＋3≤0，解得a ≤－34. 故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34.。

【走向高考】高考数学总复习 7-1不等关系与不等式课后作业北师大版

【走向高考】2013年高考数学总复习 7-1不等关系与不等式课后作业北师大版一、选择题1．若1<a <3，－4ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0[答案] A[解析] 由a >b >c 且ac <0，得a >0，c <0，b ∈R ，所以可得ab >ac .(理)如果a 、b 、c 满足c ac B ．bc >ac C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0[答案] C[解析] ∵c 0，c <0. ∴ab －ac ＝a (b －c )>0，bc －ac ＝(b －a )c >0，ac (a －c )<0，∴A 、B 、D 均正确．而b 可能等于0，也可能不等于0. ∴cb 2<ab 2不一定成立．3．(文)设a ＞b >0，则下列不等式成立的是( ) A ．|b －a |≥1 B ．2a <2bC ．lg ab <0 D ．0b >0 ∴00，则( ) A ．a 2<－ab 0，则0<a <－b ，则a 2<－ab b >0，则下列不等式中总成立的是( ) A.b a >b ＋1a ＋1 B.a ＋1a >b ＋1bC.a ＋1b>b ＋1aD.2a ＋b a ＋2b >ab[答案] C[解析] 解法1：由a >b >0⇒0<1a <1b ⇒a ＋1b >b ＋1a，故选C.解法2：(特值法)令a ＝2，b ＝1，排除A 、D ，再令a ＝12，b ＝13，排除B.5．已知－1<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，比较A 、B 、C 的大小结果为( )A ．A 0，A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0得A >B ，C －A ＝11＋a －(1＋a 2)＝－a a 2＋a ＋11＋a＝－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋122＋341＋a>0，得C >A ，∴B <A <C .6．(文)(2011·陕西文，3)设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b2D.ab <a <a ＋b2<b[答案] B[解析] 本题考查均值不等式，不等式比较大小，可以直接作差比较(有时需要进行平方变形后比较)，更可以“特值法”排除．取a ＝1，b ＝2，易排除A 、C 、D.(理)设0<a <b ，且a ＋b ＝1，则四个数12，a,2ab ，a 2＋b 2中最小的数是( )A. 12B ．aC ．2abD ．a 2＋b 2[答案] B[解析] 由0<a 0，c ＝5－25＝25－20>0，且b －c ＝35－7＝45－49<0，∴a 0；②c a >d b；③bc >ad .若以其中两个为条件，余下的一个作为结论，请写出一个正确的命题________．[答案] ①②⇒③或①③⇒②或②③⇒①[解析] ①②⇒③，因为ab >0，c a >d b，两边同乘以ab ，所以bc >ad . ①③⇒②，因为bc >ad ，ab >0，两边同乘以1ab ，所以c a >db.②③⇒①，因为c a >d b ，即bc －adab>0，且bc >ad ，所以ab >0. 三、解答题9．已知m 为实数，试比较代数式32m 2＋1和1m 2－m ＋2的大小．[解析] ∵m 为实数，∴2m 2＋1>0，m 2－m ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫m －122＋74>0.∴32m 2＋1－1m 2－m ＋2＝3m 2－3m ＋6－2m 2－1m 2＋m 2－m ＋＝m 2－3m ＋5m 2＋m 2－m ＋＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322＋114m 2＋m 2－m ＋>0，∴32m 2＋1>1m 2－m ＋2.一、选择题1．(2011·浙江理，7)若a 、b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 本题主要考查不等式的性质及充要条件的判定等基础知识． “0<ab <1”，则a ，b 同号，若a >0，b >0，由ab <1得a <1b ；若a <0，b <0，由ab <1，得b >1a，故“0<ab <1”⇒“a <1b 或b >1a”．当a <1b 时，a －1b ＝ab －1b<0，若b >0，则ab <1，但ab 不一定满足ab >0；若b <0，则ab >1.故“a <1b 或b >1a”⇒/ “0<ab <1”．2．(文)设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1，其中能推出“a 、b 中至少有一个大于1”的条件是( )A ．②③B ．①②③C ．③④⑤D ．③[答案] D[解析] ③必符合题意，②中a ＝b ＝1，满足a ＋b ＝2，但a 、b 都等于1，排除A 、B.⑤中取a ＝－1，b ＝－2满足ab >1，但a 、b 都小于1，排除C.(理)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则( ) A ．R Q ，即P <Q <R . 解法2：∵a >b >1， ∴lg a >lg b >0.∴P ＝lg a ·lg b ＝lg a ·lg b <lg a ＋lg b2＝Q ， ∴Q ＝12(lg a ＋lg b )＝lg ab <lg a ＋b 2＝R ，∴P <Q <R . 二、填空题3．(2010·辽宁文)已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是__________．(答案用区间表示)[答案] (3,8)[解析] 考查不等式中整体范围的求解．令2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y ) ＝(m ＋n )x ＋(m －n )y∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝m ＋n －3＝m －n ，∴m ＝－12 n ＝52∴z ＝2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )∵－1＜x ＋y ＜4 2＜x －y ＜3 ∴－2＜12(x ＋y )＜12 5＜52(x －y )＜152∴3＜－12(x ＋y )＋52(x －y )＜8，故z ∈(3,8)．4．(文)(2012·潮州模拟)比较大小：lg9·lg11________1(填“>”“<”或“＝”)． [答案] <[解析] lg9·lg11<⎝ ⎛⎭⎪⎫lg9＋lg1122＝lg 2994<lg 21004＝1.(理)(2012·潍坊模拟)已知0<x <y <a <1，设m ＝log a x ＋log a y ，则m 的取值范围为________． [答案] (2，＋∞)[解析] 由0<x <y <a <1知0<xy <a 2，且y ＝log a x 在(0，＋∞)上为减函数，又m ＝log a x ＋log a y ＝log a xy >log a a 2＝2，故m >2.三、解答题5．已知x 、y 、z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1z－1>8.[分析] 利用已知条件及不等式性质灵活运用“1”去推证． [解析] ∵x 、y 、z 互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，∴1x －1＝1－x x ＝y ＋z x >2yxx>0① 1z－1＝x ＋y z >2xyz >0 ②1y－1＝x ＋z y >2xz y>0 ③将①②③三式相乘，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1z－1>8.6．建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比不应小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．[分析] 要确定住宅采光条件是变好了，还是变坏了，就是要比较原来窗户面积和地板面积的比值与窗户面积和地板面积增加以后的比值哪个大哪个小．如果是增加了面积以后的窗户面积和地板面积的比值大，则采光条件变好了，否则采光条件变坏或没变．[解析] 设原来的窗户面积与地板面积分别为a ，b ，于是原来窗户面积与地板面积之比为ab，且a b ≥10%.窗户面积和地板面积同时增加的面积为c ，则现有窗户面积与地板面积比为a ＋c b ＋c，因此要确定采光条件的好坏，就转化成比较a b 与a ＋cb ＋c的大小，采用作差比较法．a ＋cb ＋c －a b ＝b －a cb ＋c b. 因为a >0，b >0，c >0，又由题设条件可知a ab≥10%. 所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．7．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2(x >0且x ≠1)，试比较f (x )与g (x )的大小．[解析] f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2 ＝log x 3x －log x 4＝log x 3x4.(1)当log x 3x4>0时，⎩⎪⎨⎪⎧ x >13x4>1或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <10<3x 4<1，即x >43或0<x <1时，f (x )>g (x )；(2)当log x 3x 4＝0时，3x 4＝1，∴x ＝43，此时f (x )＝g (x )．(3)当log x 3x4<0时，⎩⎪⎨⎪⎧ x >10<3x4<1或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <13x4>1，即1<x <43时，f (x )<g (x )．综上所述：当x >43或0<x <1时，f (x )>g (x )；当x ＝43时，f (x )＝g (x )；当1<x <43时，f (x )<g (x )．。

高中数学知识点不等式的性质及解法

不等式的性质及解法知识要点：不等式与等式有许多不同，主要包括：1、等式两边同乘（或除）以一个数（或式），等式仍然成立；不等式两边同乘（或除）以一个数（或式），不等式能否成立，要考虑该数（式）的符号，即a b ac bc c ac bc c ac bc c >⇒>>>=<<⎧⎨⎪⎩⎪()()()0002、解方程时允许出现不等价转化，出现增根时以验根弥补；解不等式要求必须是等价转化。

3、解方程组时，方程组中的方程之间允许进行加、减等运算，以达到消元目的；解不等式组时，不等式组中的不等式之间只能独立求解，再求交集。

不等式的性质可分为：1、公理a b a b a b a b >⇔-><⇔-<⎧⎨⎩0这也是将不等式问题——比较两个实数a 、b 的大小，转化为恒等变形问题的依据。

2、基本性质：（1）对称性 a b b a >⇔<这个性质等式中也存在，即a b b a =⇔=，对称性说明了每一个已知的不等式都有两种形式，如：a b ab a b R +≥∈2(,) 这个基本不等式本身就有a b ab 222+≥及222ab a b ≤+两种形式，要能灵活运用。

当然若进行等价转化还会有许多变式。

（2）传递性 a b b c a c >>⇒>,这个性质是媒介法比较两个实数大小的依据，是放缩法证明不等式的依据。

（3）移项法则 a b a c b c >⇔+>+如：x x +>⇔>-321,相当于在x +>32这个不等式两边同时加上－3得到的。

3、运算性质：（1）加法运算：a b c d a c b d >>⇒+>+,（2）减法运算：统一成加法运算 a b c d a b d c a d b c >>⇒>->-⇒->-,, （3）乘法运算：a b o c d ac bd >>>>⇒>>,00 （4）除法运算：统一成乘法运算a b c d a b d c a d bc>>>>⇒>>>>⇒>>0001100,,（由y x =1在（0，+∞）上是减函数，c d d c>>⇒>>0110）（5）乘方运算：a b a b n N n n n >>⇒>∈≥02(,)（6）开方运算：a b a b n N n n n>>⇒>∈≥02(,)4、函数的单调性：（1）a b a b >⇒>33 （y x =-∞+∞3在上是增函数(,)）（2）a b a b >⇒>22 （y x =-∞+∞2在上是增函数(,)）诸如此类：a b a b y x >>⇒<=+∞00121212log log (log (,)在上是减函数)已知幂函数、指数函数、对数函数等函数的单调性可做为不等式的性质运用。

原创1：3.1.2 不等式的基本性质

初中不等式的性质
初中不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向
不改变，
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方
向不改变，即若 > ， > 0，则 > ；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方
向改变，即若 > ， < 0，则 < .
由①②及不等式的传递性，得 > .
新知探究
（一）不等关系的基本性质
推论2. 若 > > 0，则 > ( ∈ + ， > 1).
>>0
>>0
证明：∵
ൢ 个
⋯
>>0
∴ 由推论1， >
新知探究
（一）不等关系的基本性质

推论3. 若 > > 0，则 >
新知探究
（一）不等关系的基本性质
例1. 证明下列不等式的性质.
性质1. 对称性：若 > Fra bibliotek，则 < .
证明：∵ > ，
∴ − > 0，
该不等式两边同乘以−1，得− + < 0，即－ < 0，
∴ < ；
同理可证，如果 < ，那么 > .
新知探究
（一）不等关系的基本性质

( ∈ + ， > 1).
证明：用反正法.

假设 ≤

，即 <

或

=

则由性质4的推论2和根式的性质，得 < 或 = .

关于不等式的基本性质的高考数学知识点总结

关于不等式的基本性质的高考数学知识点总结
关于不等式的基本性质的高考数学知识点总结
1.不等式的定义：a-bb， a-b=0a=b， a-b0a
① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。

它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。

②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。

作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。

2.不等式的性质：
① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。

不等式基本性质有：
(1) abb
(2) ab， bc (传递性)
(3) aba+cb+c (cR)
(4) c0时，a;bc
c0时，abac
运算性质有：
(1) ab， cda+cb+d.
(2) a0， c0acbd.
(3) a0anbn (nN， n1)。

(4) a0(nN， n1)。

《不等式的基本性质》知识清单

《不等式的基本性质》知识清单一、不等式的定义用不等号（大于“＞”、小于“＜”、大于等于“≥”、小于等于“≤”）连接两个数或代数表达式的式子叫做不等式。

例如：3 ＜ 5 ，x ＋ 2 ＞ 1 ，y 1 ≤ 0 等都是不等式。

二、不等式的基本性质1、对称性如果 a ＞ b ，那么 b ＜ a ；如果 a ＜ b ，那么 b ＞ a 。

简单来说，就是两个数的大小关系，反过来也是成立的。

比如，已知 5 ＞ 3 ，那么必然有 3 ＜ 5 。

2、传递性如果 a ＞ b 且 b ＞ c ，那么 a ＞ c ；如果 a ＜ b 且 b ＜ c ，那么 a ＜ c 。

这意味着，如果有多个数按照大小顺序排列，那么它们之间的大小关系可以依次传递。

例如，因为 7 ＞ 5 ，5 ＞ 3 ，所以 7 ＞ 3 ；同理，因为 2 ＜ 4 ，4 ＜ 6 ，所以 2 ＜ 6 。

3、加法性质如果 a ＞ b ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c ；如果 a ＜ b ，那么 a ＋ c ＜ b ＋ c 。

也就是说，在不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不变。

比如，若 x ＞ 5 ，两边同时加上 3 ，得到 x ＋ 3 ＞ 8 。

4、减法性质如果 a ＞ b ，那么 a c ＞ b c ；如果 a ＜ b ，那么 a c ＜ b c 。

与加法性质类似，在不等式两边同时减去同一个数，不等号的方向也不变。

例如，已知 y ＞ 10 ，两边同时减去 5 ，则有 y 5 ＞ 5 。

5、乘法性质（1）如果 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc ；如果 a ＜ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＜ bc 。

即在不等式两边同时乘以一个正数，不等号的方向不变。

比如，已知 2 ＞ 1 ，两边同时乘以 3 ，得到 6 ＞ 3 。

（2）如果 a ＞ b 且 c ＜ 0 ，那么 ac ＜ bc ；如果 a ＜ b 且 c ＜ 0 ，那么 ac ＞ bc 。

2013年高考数学一轮复习 7.3 不等式的解法精品教学案(学生版) 新人教版

2013年高考数学一轮复习精品教学案7.3 不等式的解法【考纲解读】1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.不等式是历年来高考重点内容之一, 在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度中低高都有，在解答题中，经常与数列、三角函数、解析几何等知识相结合，在考查不等式知识的同时，又考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查不等式的基本知识或与其他知识相结合，命题形式会更加灵活. 【要点梳理】1.一次型不等式通常等价转换为ax>b 的形式（1）当a>0时，该不等式的解集为|b x x a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭; （2）当a<0时，该不等式的解集为|b x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭（3）当a=0时，若b<0，则该不等式的解集为R ；若b ≥0时，则该不等式的解集为空集. 2.对于一元二次不等式ax 2+bx+c>0(a>0)或ax 2+bx+c<0(a>0)，.（1）若△>0， x 1,x 2是方程ax 2+bx+c=0的两根，且x 1<x 2则不等式ax 2+bx+c>0(a>0)的解集为{}12|x x x x x <>或；不等式ax 2+bx+c<0(a>0)的解集为{}12|x x x x <<.（2）若△=0，则ax 2+bx+c>0(a>0)的解集为|2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭；ax 2+bx+c<0(a>0)的解集为∅. （3）若△<0，则ax 2+bx+c<0(a>0)的解集为∅；ax 2+bx+c>0(a>0)的解集为R. 3.分式不等式的解法先将不等式整理为()0()f x g x >或()0()f xg x ≥的形式,再转化为整式不等式求解,即()0()f x g x >⇔()()0f x g x >;()0()f x g x <⇔()()0f x g x <;()0()f x g x ≥⇔()()0()0f x g x g x ≥⎧⎨≠⎩;()0()f x g x ≤⇔()()0()0f xg x g x ≤⎧⎨≠⎩.4.绝对值不等式的解法(1)当a>0时,|x|>a ⇔x 2>a 2⇔x a >或x a <-;|x|<a ⇔x 2<a 2⇔a x a -<< (2)|f(x)|>g(x)⇒f(x)>g(x)或f(x)<－g(x); |f(x)|<g(x)⇒- g(x)<f(x)<g(x). (3)去掉绝对值符号是解绝对值不等式的常用方法.(4)根据绝对值的几何意义,通过数形结合解绝对值不等式. 【例题精析】考点一一元二次不等式解法例1. （2012年高考江苏卷13）已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为．【变式训练】1. (2012年高考天津卷文科5)设x ∈R ，则“x>12”是“2x 2+x-1>0”的( )（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件考点二分式不等式与绝对值不等式的解法例2.(2012年高考江西卷文科11) 不等式的解集是___________。

2013年高考数学总复习课件第3章1.2《不等式的性质》

④a＞b＞0⇒－a＜－b⇒c－a＜c－b.
∵c＞a，∴c－a＞0. ∴0＜c－a＜c－b. 两边同乘以c－a1c－b，得c－1 a＞c－1 b＞0. 又 a＞b＞0，∴c－a a＞c－b b. 故该命题为真命题．
综上可知，命题②、③、④都是真命题．故选 B.
【答案】 B 【名师点评】解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需要条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手推出与结论相反的结论或举出一个反例予以否定．
∵2<x－y<3， ∴5<52(x－y)<125， ∴3<2x－3y＝－12(x＋y)＋52(x－y)<8.
【答案】 (3,8)
【误区警示】此题易错解为：“∵－1<x＋y<4 且 2<x－y<3， ∴12<x<72且－2<y<1，
∴－ 2<2x－3y<13.”所得结果的范围显然要比 (3,8)大．错误的原因在于多次使用同向不等式相加这一性质，扩大了变量的取值范围．
自我挑战 1 对于实数 a，b，c，下列命题中为真命题的是( ) A．若 a＞b，则 ac2＞bc2 B．若 a＞b＞0，则1a＞1b C．若 a＜b＜0，则ba＞ab
D．若 a＞b，1a＞1b，则 a＞0，b＜0
解析：选 D.法一：∵c2≥0，∴c＝0 时，有 ac2＝ bc2，故 A 为假命题；
法二：特殊值排除法．取 c＝0，则 ac2＝bc2，故 A 错；取 a＝2，b＝1，则1a＝12，1b＝1，有1a<1b，故 B 错；取 a＝－2，b＝－1，则ba＝12，ab＝2，
有ba<ab，故 C 错．
利用不等式的性质证明简单不等式

高考数学总复习 71不等式的性质及解法新人教B版

7-1不等式的性质及解法基础巩固强化1.(文)(2012·天津文，5)设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题考查充要条件，解一元二次不等式的知识．由2x 2＋x －1>0得(x ＋1)(2x －1)>0，即x <－1或x >12，又因为x >12⇒2x 2＋x －1>0，而2x 2＋x －1>0⇒/ x >12，选A.(理)(2012·河北保定模拟)若a >0且a ≠1，b >0，则“log a b >0”是“(a －1)(b －1)＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] ∵a >0且a ≠1，b >0，∴log a b >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，01，b >1.⇔(a －1)(b －1)>0.2．(文)(2011·甘肃天水一中期末)已知a 、b 为非零实数，且a 1bC.1ab 2<1a 2bD.1a －b >1a[答案] C[解析] ∵a ，b 为非零实数，且a 0，∵a NC ．M ＝ND ．不确定[答案] B[解析] 由题意得M －N ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)>0，故M >N ，选B.3．(2011·山东临沂模拟)已知0<a 0B ．2a －b<12C ．2b a ＋a b <12D ．log 2a ＋log 2b <－2[答案] D[解析] 当a ＝14，b ＝34时A 不成立；对B 有2a －b<12⇒2a －b <2－1⇒a －b <－1，又a ＋b ＝1，可得a <0，与a >0矛盾；对C 有2b a ＋a b <12⇒2b a ＋a b<2－1⇒b a ＋a b <－1，与b a ＋a b>2(∵a ≠b ，且a >0，b >0)矛盾，故选D.4．(2011·海南三亚联考)已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥1B ．m ≤－1C ．m ≤－1或m ≥1D ．－1≤m ≤1[答案] A[解析] ∵p ∨q 为假命题，∴p 和q 都是假命题．由p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤2为假，得∀x ∈R ，mx 2＋2>0， ∴m ≥0. ①由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0为假，得∃x 0∈R ，x 20－2mx 0＋1≤0， ∴Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1. ② 由①和②得m ≥1，故选A.5．(文)(2011·吉林长春模拟)已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，则不等式f (log 4x )>2的解集为( ) A ．(0，12)∪(2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(0，22)∪(2，＋∞) D ．(0，22)[答案] A[解析] 作出函数f (x )的示意图如图，则log 4x >12或log 4x <－12，解得x >2或0<x <12.故选A.(理)(2011·河南郑州第二次模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3x 2－1，x ≥2，则不等式f (x )<2的解集为( )A ．(10，＋∞)B ．(－∞，1)∪[2，10)C ．(1,2)∪(10，＋∞)D ．(1，10)[答案] B[解析] f (x )<2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <2，2e x －1<2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，log 3x 2－1<2.⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x <1，或⎩⎨⎧x ≥2，x <10.⇔x <1或2≤x <10，故选B.6．(2012·哈尔滨三中模拟)已知f (x )是周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝lg x .设a ＝f (65)，b ＝f (32)，c ＝f (52)，则( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b[答案] D[解析] ∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (52)＝f (12)，f (32)＝－f (12)，f (65)＝－f (45)，∵0<x <1时，f (x )＝lg x ，∴f (12)<f (45)<0，∴f (12)<0<－f (45)<－f (12)，即c <a x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数m 的值为________． [答案] 2[解析] 解法1：由m (x －1)>x 2－x 整理得(x －1)(m －x )>0，即(x －1)(x －m )<0，又m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，所以m ＝2.解法2：由条件知，x ＝2是方程m (x －1)＝x 2－x 的根， ∴m ＝2.9．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a 、b 为正实数)，若1⊙k <3，则k 的取值范围为________．[答案] (0,1)[解析] 由题意得1⊙k ＝k ＋1＋k <3，即(k ＋2)(k －1)<0，所以0<k <1. 10．欣园食品加工厂要为职工每人配一身工作服和若干副手套，市场价每套工作服53元，手套3元一副，该工厂联系了两家商店，由于用货量大，这两家商店都给出了优惠办法．商店甲：买一赠一，买一套工作服赠送一副手套；商店乙：打折，按总价的95%收款．现该工厂需要工作服75套，手套若干(不少于75套)，若你是厂长，你选择哪一家？ [解析] 设需要手套x 副，付款数为y 元，按商店甲的优惠办法付款：y 1＝75×53＋3(x －75)＝3x ＋3750(x ≥75)；按商店乙的优惠办法付款：y 2＝(75×53＋3x )×95%＝2.85x ＋3776.25(x ≥75)．令y 1＝y 2，即3x ＋3750＝2.85x ＋3776.25，解得x ＝175，即购买175副手套时，两商店优惠相同．当75≤x <175时，y 1<y 2，选商店甲省钱；当x >175时，y 1>y 2，选商店乙省钱．综上所述，当买175副手套时，两商店的价格一样，选择哪个商店都可以；当买的手套数多于75套少于175套时，选商店甲优惠；当买的手套数多于175副时，选商店乙优惠.能力拓展提升11.(文)若关于x 的不等式(m －1)x <4x －x 2的解集为{x |0<x <2}，则实数m 的值是A.12 B ．1 C ．2 D ．0[答案] C[解析] 在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝4x －x 2和y ＝(m －1)x 的图象，结合题意及图象可知，函数y ＝(m －1)x 的图象必经过点(2,2)，即有2(m －1)＝2，求得m ＝2.故选C.(理)(2011·杭州二模)对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么使不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0成立的x 的取值范围是( )A ．(32，152)B ．[2,8]C ．[2,8)D ．[2,7][答案] C[解析] 由4[x ]2－36[x ]＋45<0，得32<[x ]<152，又[x ]表示不大于x 的最大整数，所以2≤x <8.12．(文)(2012·延边州质检)函数f (x )的定义域为R ，f (1)＝8，对任意x ∈R ，f ′(x )>6，设F (x )＝f (x )－6x －2，则F (x )>0的解集为( )A ．(1，＋∞)B ．(－1,1)C ．(－∞，－1)D ．(－1，＋∞)[答案] A[解析] ∵f ′(x )>6，∴F ′(x )＝f ′(x )－6>0， ∴F (x )为增函数，又F (1)＝f (1)－6－2＝8－6－2＝0， ∴F (x )>0，即F (x )>F (1)，∴x >1，故选A.(理)(2012·包头一中期末)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x－4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}[答案] B[解析] 令t ＝x －2，则f (x －2)>0化为f (t )>0，∴t ≥0时，2t－4>0，∴t >2，又f (x )为偶函数，∴t <0时，f (t )>0的解为t <－2，∴x －2>2或x －2<－2，∴x >4或x <0，故选B.[点评] 也可以先由偶函数定义求出f (x )在R 上的解析式，再代入f (x －2)>0中化为关于x 的不等式组求解．13．(2011·海淀抽检)若关于x 的不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．[答案] (－∞，0] [解析] ∵4x－2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，∴4x－2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x－2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1.∵1≤x ≤2，∴2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x ＝1时，y 有最小值0，∴a ∈(－∞，0]． 14．(2012·重庆市期末)已知a >1，若不等式log a ＋1x －log a x ＋5<n ＋6n对任意n ∈N *恒成立，则实数x 的取值范围是________．[答案] (1，＋∞)[解析] ∵n >0，n ＋6n≥26，当n ＝6时取等号，但n ∈N *，∴n ＝2或3，当n ＝2时，n ＋6n ＝5，当n ＝3时，n ＋6n ＝5，∴n ＋6n≥5，由条件知，log a ＋1x －log a x ＋5<5，∴log a ＋1x <log a x ，又a >1，∴x >1.15．已知关于x 的不等式ax －5x 2－a<0的解集为M . (1)当a ＝4时，求集合M ；(2)若3∈M 且5∉M ，求实数a 的取值范围．[解析] (1)a ＝4时，不等式化为4x －5x 2－4<0，解得M ＝(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫54，2. (2)a ≠25时，由⎩⎪⎨⎪⎧3∈M ，5∉M ，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －59－a <0，5a －525－a ≥0.∴a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53∪(9,25)；当a ＝25时，不等式化为25x －5x 2－25<0，∴M ＝(－∞，－5)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，5. 满足3∈M 且5∉M ，∴a ＝25满足条件．综上得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53∪(9,25]． 16．(文)已知向量a ＝(x ，m )，b ＝(1－x ，x )，其中m ∈R .若f (x )＝a ·b . (1)当m ＝3时解不等式f (x )<x ；(2)如果f (x )在(－2，＋∞)上单调递减，求实数m 的取值范围． [解析] 由于a ＝(x ，m )，b ＝(1－x ，x )，所以f (x )＝a ·b ＝－x 2＋(m ＋1)x .(1)当m ＝3时，f (x )＝－x 2＋4x ，不等式f (x )<x ，即－x 2＋4x <x ，解得x >3或x <0，所以m ＝3时，不等式f (x )<x 的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞)． (2)如果f (x )＝－x 2＋(m ＋1)x 在(－2，＋∞)上单调递减，则有m ＋12≤－2，解得m ≤－5，所以实数m 的取值范围是m ≤－5.(理)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)；销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8 0≤x ≤5，10.2 x >5.假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律． (1)要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么范围内？ (2)工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？ [解析] 依题意，G (x )＝x ＋2 设利润函数为f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.80≤x ≤5，8.2－x x >5.(1)要使工厂有赢利，即解不等式f (x )>0，当0≤x ≤5时，解不等式－0.4x 2＋3.2x －2.8>0即x 2－8x ＋7<0，得1<x <7， ∴1<x ≤5.当x >5时，解不等式8.2－x >0，得 x <8.2， ∴5<x <8.2综上所述，要使工厂赢利，x 应满足1<x <8.2，即产品产量应控制在大于100台，小于820台的范围内．(2)0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6，故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6，而当x >5时，f (x )<8.2－5＝3.2.所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多．1．设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] ∵0<x <π2，∴0<sin x <1，∴0<sin 2x <sin x <1∴x sin 2x <x sin x则x ·sin x <1⇒x ·sin 2x <1成立，但x sin 2x <1成立时，得不出x sin x <1成立，∵x sin 2x <1⇒x sin x <1sin x ，但1sin x<1一定不成立．故选B.2．已知a >b ≥2，有下列不等式：①b 2>3b －a ；②1＋4ab>2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ；③ab >a ＋b ；④log a 3>log b 3，其中正确的是( )A ．②④B ．①②C ．③④D ．①③[答案] D[解析] ∵a >b ≥2，∴b 2－(3b －a )＝b (b －2)＋(a －b )>0，∴b 2>3b －a ，①正确；1＋4ab－⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2a －1⎝⎛⎭⎪⎫2b －1≥0，当b ＝2时，取等号，∴②错；ab －(a ＋b )＝a (b －1)－b ≥a－b >0，故③正确；y ＝log 3x 为增函数，∴log 3a >log 3b ≥log 32>0，∴1log 3a <1log 3b，即log a 3<log b 3，故④错，∴选D.3．已知实数x 满足x 2＋x <0，则x 2、x 、－x 的大小关系是( ) A ．－x <x <x 2B ．x <－x <x 2C ．x 2<x <－x D ．x <x 2<－x[答案] D[解析] ∵x 2＋x <0，∴－1<x <0， ∴0<x 2<1,0<－x <1，又x 2－(－x )＝x 2＋x <0， ∴x 2<－x ，故x <x 2<－x .[点评] 可取特值检验，由x 2＋x <0得－1<x <0，取x ＝－13知，x <x 2<－x .4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ≥0，0 x <0.则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________．[答案] (－∞，1][解析] 原不等式化为①⎩⎪⎨⎪⎧2x ≤2，x ≥0，或②⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x <0.它们的解集分别为[0,1]，(－∞，0)，取并集得原不等式的解集为(－∞，1]． 5．(2012·山东青岛市检测)已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a >0.[分析] 函数y ＝fx 的定义域为R ，即f (x )≥0恒成立，ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，1≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0.不等式x 2－x －a 2＋a >0，可利用分组分解因式得，(x －a )(x ＋a－1)>0.[解析] 因为函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立(*)．当a ＝0时，1≥0恒成立，满足题意，当a ≠0时，为满足(*)必有a >0且Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上可知：a 的取值范围是0≤a ≤1，原不等式可化为(x －a )[x －(1－a )]>0，当0≤a <12时，解得x <a ，或x >1－a ；当a ＝12时，解得x ≠12；当12<a ≤1时，解得x <1－a ，或x >a ，综上，当0≤a <12时，不等式的解集为{x |x <a 或x >1－a }，当a ＝12时，不等式的解集为{x |x ∈R ，x ≠12}，当12<a ≤1时，不等式的解集为{x |x <1－a 或x >a }．。

高考数学总复习 7-1不等式的性质及解法课件新人教B版

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6．应用题是高考命题的热点，而且应用问题多数与不等式相关，需要根据题意，建立不等关系，设法求解；或者用均值不等式、函数单调性求出最值等．
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●备考指南 1．加强与函数性质、三角、数列、平面向量、解析几何、导数的交汇训练，难度不宜太大，注意体现不等式的工具作用． (1)要加强对不等式性质的理解与复习，对于常混易错点应反复训练强化．可通过判断不等式是否成立，找不等式成立的条件，比较数的大小等形式命题练习． (2)解不等式可重点训练一元二次不等式，含绝对值、分式的不等式，含参数的不等式，含指数、对数的不等式．
5．解含参数的不等式时，要对参数分类讨论(常见的有一次项系数含字母、二次项系数含字母、二次不等式的判别式 Δ、指对不等式中的底数含参数等)． 6．超越不等式讨论解的个数可用图解法．
考点典例讲练
不等式的性质
[例 1]
适当增加不等式条件使下列命题成立：
①若 a>b，则 ac≤bc； ②若 ac2>bc2，则 a2>b2； ③若 a>b，则 lg(a＋1)>lg(b＋1)； a b ④若 a>b，c>d，则 > . d c 分析：可对照不等式的性质找出缺少条件．
解析： ①不等式 a>b 的两边同乘以一个负数，则不等号改变方向，故若 c≤0 则 ac≤bc 故可增加条件“c≤0”． ②由 ac2>bc2 可得 a>b，但只有 b≥0 时，才有 a2>b2，故可增加条件“b≥0”． ③由 a>b 可得 a＋1>b＋1 但作为真数，应有 b＋1>0，故应增加条件“b>－1”． a b ④ > 成立的条件有多种(如 a>b>0，c>d>0)与性质 6 相关 d c 的一个是 a>b>0，c>d>0 因此，可增加条件“b>0，d>0”．