18.1平行四边形的性质练习1

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华师大版初中数学八年级下册《18.1 平行四边形的性质》同步练习卷(含答案解析

华师大新版八年级下学期《18.1 平行四边形的性质》同步练习卷一．选择题（共23小题）1．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，α=60°．若AB=OD=2，则▱ABCD 的面积是（）A．8B．C．2D．42．如图，▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，BF平分∠ABC交AD于F点，CE平分∠BCD交AD于E点，则EF的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠BCD的平分线CE与边AB相交于E，若EB=EA=EC，那么下列结论正确的个数有（）①∠ACE=30°②OE∥DA ③S▱ABCD=AC•AD ④CE⊥DBA．1B．2C．3D．44．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB 上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC ＜2S△CEF；④∠DFE=4∠AEF．A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④5．如图，平行四边形纸片ABCD和CEFG上下叠放（G在CD上），CE∥AD且CE=AD，连结AF、CF．已知▱ABCD的面积为10，▱CEFG的面积为4，则图中阴影部分△AFC的面积为（）A．4B．6C．7D．86．如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．67．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF 相交于点G．下列结论错误的是（）A．∠BAD=2∠DFC B．若BC=4EF，则AB：BC=3：8C．AF=DE D．∠BGC=90°8．如图，已知点M为▱ABCD边AB的中点，线段CM角BD于点E，S△BEM=1，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．59．如图，▱ABCD中，AD=2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD=S△AEF；④∠上，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF=∠C；②EF=AF；③S△ABF BFE=3∠CEF中，一定成立的是（）A．只有①②B．只有②③C．只有①②④D．①②③④10．如图，在▱ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE平分∠DCB交BD 于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE，下列结论：①∠ACD=30°②S▱ABCD=AC•BC③OE：AC=1：4④S=2S△OEF△OCF其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．已知▱ABCD中，AD=2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，连结EF、AF，下列结论：①2∠BAF=∠BAD；②EF=AF；③S△ABF ≤S△AEF．中一定成立的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③13．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，E是AB上一点，连接CF、EF、EC，且CF=EF，下列结论正确的个数是（）①CF平分∠BCD；②∠EFC=2∠CFD；③∠ECD=90°；④CE⊥AB．A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD=AF；④S△ABE=S△CEF其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④15．如图所示，在▱ABCD中，BC=6，∠ABC的平分线与CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且点F为边AD的中点，AG⊥BE于点G，若AG=2，则BE的长度是（）A．10B．8C．4D．416．如图，在▱ABCD中，AB=8，BC=5，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AD、AB于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠DAB内交于点M，连接AM并延长交CD于点E，则CE的长为（）A．3B．5C．2D．6.517．如图，已知□ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，交AC于点F，且∠BCD=60°，BC=2CD，连结OE．下列结论：①OE∥AB；=BD•CD；②S平行四边形ABCD③AO=2BO；④S=2S△EOF．△DOF其中成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个18．如图，点P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：①S1+S3=S2+S4②如果S4＞S2，则S3＞S1③若S3=2S1，则S4=2S2④若S1﹣S2=S3﹣S4，则P点一定在对角线BD上．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．419．如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD=8，则图中阴影部分的面积是（）A．3B．4C．5D．620．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于E，AF⊥DE，垂足为F，已知∠DAF=50°，则∠B=（）A．50°B．40°C．80°D．100°21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°．①四边形ACED是平行四边形；②△BCE是等腰三角形；③四边形ACEB的周长是5+；④四边形ACEB的面积是16．则以上结论正确的是（）A．①②B．②④C．①②③D．①③④22．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD 于F，DE、BF相交于H，直线BF交线段AD的延长线于G，下面结论：①BD= BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④∠BHD=∠BDG；其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．423．如图，F是▱ABCD的边AD上一点，连接BD，BF，BF的延长线与CD的延长线交于点E．若∠E=∠A，∠BDC=90°，则下列结论中不正确的是（）A．2DF=BC B．BE=BCC．∠ADE=∠CBE D．D是CE的中点二．填空题（共4小题）24．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE交于点P，BF 与CE交于点Q，若S=20cm2，S△BQC=30cm2，则图中阴影部分的面积为△APDcm2．25．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交边AD于点E，若平行四边形ABCD的周长为20，则△ABE的周长等于．26．已知平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，BC边上的高AE=2，AF⊥DC于F，则DF的长是．27．如图，平行四边形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E在AB上，如果AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，那么DP：DC等于．三．解答题（共23小题）28．如图，在平行四边形中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=60°，BE=2，DF=3，求AB，BC的长及平行四边形ABCD的面积？29．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD于点F，交BC的延长线于点E，连结BF．（1）求证：BE=CD；（2）若点F是CD的中点．①求证BF⊥AE；②若∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．30．如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E 为AC的中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：DF=AE．31．如图，在▱ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF=∠CDE，连接AF，AE．（1）求证△ABF≌△EDA；（2）延长AB与CF相交于G．若AF⊥AE，求证BF⊥BC．32．在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F．（1）求证：BE=BF；（2）若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．求证：AG=CG；AG⊥CG．33．如图1，在平行四边形ABCD中，E，F分别在边AD，AB上，连接CE，CF，且满足∠DCE=∠BCF，BF=DE，∠A=60°，连接EF．（1）若EF=2，求△AEF的面积；（2）如图2，取CE的中点P，连接DP，PF，DF，求证：DP⊥PF．34．如图，在▱ABCD中，BD⊥BC，∠BDC=60°，∠DAB和∠DBC的平分线相交于点E，F为AE上一点，EF=EB，G为BD延长线上一点，BG=AB，连接GE．（1）若▱ABCD的面积为9，求AB的长；（2）求证：AF=GE．35．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：BF=CD；（2）连接BE，若BE⊥AF，∠F=60°，BE=2，求AB的长．36．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且点F恰好为边AD的中点．（1）求证：△ABF≌△DEF；（2）若AG⊥BE于G，BC=4，AG=1，求BE的长．37．已知，在平行四边形ABCD中，E为AD上一点，且AB=AE，连接BE交AC 于点H，过点A作AF⊥BC于F，交BE于点G．（1）若∠D=50°，求∠EBC的度数；（2）若AC⊥CD，过点G作GM∥BC交AC于点M，求证：AH=MC．38．如图，在▱ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∠AND=90°，连结CM交DN于点O．（1）求证：△ABN≌△CDM；（2）猜想：四边形CDMN是什么特殊四边形？并证明你的猜想；（3）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE=1，∠1=∠2，求AN的长．39．已知如图，▱ABCD，AD=a，AC为对角线，BM∥AC，过点D作DE∥CM，交AC的延长线于F，交BM的延长线于E．（1）求证：△ADF≌△BCM；（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求四边形ABED的面积（用含a的代数式表示）．40．如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2．（1）求证：CG=CD；（2）若CF=2，AE=3，求BE的长．41．如图，在▱ABCD中，E为AB中点，EF与CF分别平分∠AEC与∠DCE，G为CE中点，过G作GH∥EF交CF于点O，交CD于点H．（1）猜想四边形CGFH是什么特殊的四边形？并证明你的猜想；（2）当AB=4，且FE=FC时，求AD长．42．已知E为平行四边形ABCD中AB边上一点，且BE=AB，连接DE交BC于F，交AC于G．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）试探究OF与AB有什么位置关系和数量关系，并说明理由．43．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，联结DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）设CD与OE交于点F，若OF2+FD2=OE2，CE=3，DE=4，求线段CF的长．44．如图，在▱ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于F．（1）求证：CF=CD；（2）若AD=2AB，连接DE，试判断DE与AF的位置关系，并说明理由．45．如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，分别以BC和CD为边作等边△BCE和等边△CDF．求证：AE=AF．46．已知：如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长BC至E，使CE=BC，连接AE交CD于点F．（1）求证：CF=FD；（2）若AD=DC=6，求：∠BDE的度数和OF的长．47．在平行四边形ABCD中，E是BC上任意一点，延长AE交DC的延长线与点F．（1）在图中当CE=CF时，求证：AF是∠BAD的平分线．（2）根据（1）的条件和结论，若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图‚），请求出∠BDG的度数．（3）如图，根据（1）的条件和结论，若∠BAD=60°，且FG∥CE，FG=CE，连接DB、DG，求出∠BDG的度数．48．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于E，交直线DC于F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），讨论线段DG与BD的数量关系．49．在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连结DB、DG（如图2），求∠BDG 的度数．50．如图，已知平行四边形ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD，CE=3，AB=5．（1）求线段CF的长度；（2）求证：AB=DG+CE．华师大新版八年级下学期《18.1 平行四边形的性质》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共23小题）1．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，α=60°．若AB=OD=2，则▱ABCD 的面积是（）A．8B．C．2D．4【分析】根据等边三角形的判定得出△DOC是等边三角形，再根据平行四边形的性质和的面积公式即可求解．【解答】解：∵在▱ABCD中，∴AB=DC，∵α=60°．AB=OD=2，∴△DOC是等边三角形，∴△DOC的面积=，∴▱ABCD的面积=4△DOC的面积=4，故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质和面积，解此题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．2．如图，▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，BF平分∠ABC交AD于F点，CE平分∠BCD交AD于E点，则EF的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根据平行四边形的性质可知∠AEB=∠EBC，又因为BE平分∠ABC，所以∠ABE=∠EBC，则∠ABE=∠AEB，则AB=AE=3，同理可证FD=3，继而可求得EF=AE+DE﹣AD．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB=∠EBC，AD=BC=5cm，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，则∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=3cm，同理可证：DF=DC=AB=3cm，则EF=AE+FD﹣AD=3+3﹣5=1cm．故选：A．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠BCD的平分线CE与边AB相交于E，若EB=EA=EC，那么下列结论正确的个数有（）①∠ACE=30°②OE∥DA ③S▱ABCD=AC•AD ④CE⊥DBA．1B．2C．3D．4【分析】想办法证明∠ACB=90°，△BCE是等边三角形即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OD=DB，∴∠DCA=∠CEB，∵∠DCA=∠BCE，∴∠BCE=∠CEB，∴BC=EC，∵EB=EA=EC，∴∠ACB=90°，EC=BC=EB，∴△BEC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠CAB=30°，故①正确，∵OD=DB，AE=EB，∴OE∥AD，故②正确，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=90°，∴AD⊥AC，∴S▱ABCD=AC•AD，故③正确，假设CE⊥BD，则推出四边形ABCD是菱形，显然不可能，故④错误，故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB 上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC ＜2S△CEF；④∠DFE=4∠AEF．A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．【解答】解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故①正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴CF=EF，故②正确；③∵EF=FM，∴S=S△CFM，△EFC∵MC＞BE，∴S△BEC ＜2S△EFC故③正确；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故④错误．故选：B．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题关键．5．如图，平行四边形纸片ABCD和CEFG上下叠放（G在CD上），CE∥AD且CE=AD，连结AF、CF．已知▱ABCD的面积为10，▱CEFG的面积为4，则图中阴影部分△AFC的面积为（）A．4B．6C．7D．8【分析】作EN⊥AB，延长DC交EN与M，由S阴影=S四边形FEBA﹣S△EFC﹣S△ABC可求阴影部分面积．【解答】解：如图作EN⊥AB，延长DC交EN与M∵AB∥CD，AN⊥EN∴CM⊥EN∵AB∥CD∴且EC=AD=BC ∴EM=MN∵S阴影=S四边形FEBA﹣S△EFC﹣S△ABC=﹣EF×EM﹣AB×MN∴S阴影=（EF+AB）×EM﹣﹣EF×EM﹣AB×MN=EF×EM+AB×MN=S四边形EFGC +S四边形ABCD且S四边形EFGC=4，S四边形ABCD=10∴S阴影=7故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质，关键是作出平行四边形的高，用已知面积表示阴影部分面积．6．如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．6【分析】想办法证明S阴=S△ADE+S△DEC=S△AEC，再由EF∥AC，可得S△AEC=S△ACF解决问题；【解答】解：连接AF、EC．∵BC=4CF，S△ABC=12，∴S△ACF=×12=3，∵四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF，EF∥AC，∴S△DEB=S△DEC，∴S阴=S△ADE+S△DEC=S△AEC，∵EF∥AC，∴S△AEC=S△ACF=3，∴S阴=3．故选：B．【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．7．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF 相交于点G．下列结论错误的是（）A．∠BAD=2∠DFC B．若BC=4EF，则AB：BC=3：8C．AF=DE D．∠BGC=90°【分析】求出AB=CD，AD∥BC，根据平行线性质和角平分线性质求出∠ABE=∠AEB，推出AB=AE，同理求出DF=CD，求出AE=DF可知选项C正确，由∠A=∠BCD=2∠FDC，可知选项A正确，由∠GBC=∠ABC，∠GCB=∠BCD，又∠ABC+∠BCD=180°，推出∠GBC+∠GCB=90°，可知D正确；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∠A=∠BCD，∴∠AEB=∠EBC，∠BCF=∠DFC，∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠ABE=∠CBE，∠BCF=∠DCF，∴∠ABE=∠AEB，∴∠BAD=2∠DFC，故A正确∴AB=AE，同理DF=CD，∴AE=DF，即AE﹣EF=DF﹣EF，∴AF=DE．故C正确∵∠GBC=∠ABC，∠GCB=∠BCD，又∠ABC+∠BCD=180°，∴∠GBC+∠GCB=90°，∴∠BGC=90°，故D正确，故选：B．【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．如图，已知点M为▱ABCD边AB的中点，线段CM角BD于点E，S△BEM=1，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．5【分析】由四边形ABCD是平行四边形，推出AB=CD，AB∥CD，由AM=BM，推=2S△EBM，S△EBC=2S△EBM，由此即可解决问题；出===，可得S△DEM【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∵AM=BM，∴===，=2S△EBM，S△EBC=2S△EBM，∴S△DEM=1，∵S△BEM=S△EBC=2，∴S△DEM=2+2=4，∴S阴故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．如图，▱ABCD中，AD=2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD=S△AEF；④∠上，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF=∠C；②EF=AF；③S△ABF BFE=3∠CEF中，一定成立的是（）A．只有①②B．只有②③C．只有①②④D．①②③④【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．【解答】解：①∵F是BC的中点，∴BF=FC，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴BC=2AB=2CD，∴BF=FC=AB，∴∠AFB=∠BAF，∵AD∥BC，∴∠AFB=∠DAF，∴∠BAF=∠FAB，∴2∠BAF=∠BAD，∵∠BAD=∠C，∴∠BAF=2∠C故①正确；②延长EF，交AB延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠MBF=∠C，∵F为BC中点，∴BF=CF，在△MBF和△ECF中，，∴△MBF≌△ECF（ASA），∴FE=MF，∠CEF=∠M，∵CE⊥AE，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠BAE=90°，∵FM=EF，∴EF=AF，故②正确；③∵EF=FM，∴S△AEF=S△AFM，∴S△ABF ＜S△AEF，故③错误；④设∠FEA=x，则∠FAE=x，∴∠BAF=∠AFB=90°﹣x，∴∠EFA=180°﹣2x，∴∠EFB=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠CEF=90°﹣x，∴∠BFE=3∠CEF，故④正确，故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△AEF≌△DME．10．如图，在▱ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．想办法证明EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题；【解答】解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．∵CD=2AD，DF=FC，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，=S△CFG，∵S△DFE=S△EBG=2S△BEF，故③正确，∴S四边形DEBC∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选：D．【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．11．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE平分∠DCB交BD 于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE，下列结论：①∠ACD=30°②S▱ABCD=AC•BC③OE：AC=1：4=2S△OEF④S△OCF其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE是等边三角形，证得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；由AC⊥BC，得到S▱ABCD=AC•BC，故②正确，根据直角三角形的性质得到AC=BC，根据三角形的中位线的性质得到OE=BC，于是得到OE：AC=：6；故③错误；根据相似三角形的性=2S△OEF；故④正确．质得到=2，求得S△OCF【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵CE平分∠BCD交AB于点E，∴∠DCE=∠BCE=60°∴△CBE是等边三角形，∴BE=BC=CE，∵AB=2BC，∴AE=BC=CE，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；∵AC⊥BC，∴S▱ABCD=AC•BC，故②正确，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴AC=，∵AO=OC，AE=BE，∴OE=BC，∴OE：AC=，∴OE：AC=：6；故③错误；∵AO=OC，AE=BE，∴OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴=2：1，∴S△OCF ：S△OEF==2，∴S△OCF=2S△OEF；故④正确．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△BCE是等边三角形，OE 是△ABC的中位线是关键．12．已知▱ABCD中，AD=2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，连结EF、AF，下列结论：①2∠BAF=∠BAD；②EF=AF；③S△ABF ≤S△AEF．中一定成立的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．【解答】解：①∵F是BC的中点，∴BC=2BF，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴BC=2AB，∴BF=AB，∴∠AFB=∠BAF，∵AD∥BC，∴∠AFB=∠DAF，∴∠BAF=∠FAB，∴2∠BAF=∠BAD，故①正确；②延长EF，交AB延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠MBF=∠C，∵F为BC中点，∴BF=CF，在△MBF和△ECF中，，∴△MBF≌△ECF（ASA），∴FE=MF，∵CE⊥AE，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠BAE=90°，∵FM=EF，∴EF=AF，故②正确；③∵EF=FM，∴S△AFE=S△AFM，∴S△ABF ≤S△AEF，故③正确；故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△MBF≌△ECF．13．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，E是AB上一点，连接CF、EF、EC，且CF=EF，下列结论正确的个数是（）①CF平分∠BCD；②∠EFC=2∠CFD；③∠ECD=90°；④CE⊥AB．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①只要证明DF=DC，利用平行线的性质可得∠DCF=∠DFC=∠FCB；②延长EF和CD交于M，根据平行四边形的性质得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠A=∠FDM，证△EAF≌△MDF，推出EF=MF，求出CF=MF，求出∠M=∠FCD=∠CFD，根据三角形的外角性质求出即可；③④求出∠ECD=90°，根据平行线的性质得出∠BEC=∠ECD，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∵AF=DF，AD=2AB，∴DF=DC，∴∠DCF=∠DFC=∠FCB，∴CF平分∠BCD，故①正确，延长EF和CD交于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠FDM，在△EAF和△MDF中，，∴△EAF≌△MDF（ASA），∴EF=MF，∵EF=CF，∴CF=MF，∴∠FCD=∠M，∵由（1）知：∠DFC=∠FCD，∴∠M=∠FCD=∠CFD，∵∠EFC=∠M +∠FCD=2∠CFD ；故②正确，∵EF=FM=CF ，∴∠ECM=90°，∵AB ∥CD ，∴∠BEC=∠ECM=90°，∴CE ⊥AB ，故③④正确，故选：D ．【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．14．如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ，且AB=AE ，延长AB 与DE 的延长线交于点F ．下列结论中：①△ABC ≌△EAD ；②△ABE 是等边三角形；③AD=AF ；④S △ABE =S △CEF 其中正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④【分析】由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AD=BC ，由AE 平分∠BAD ，可得∠BAE=∠DAE ，可得∠BAE=∠BEA ，得AB=BE ，由AB=AE ，得到△ABE 是等边三角形，②正确；则∠ABE=∠EAD=60°，由SAS 证明△ABC ≌△EAD ，①正确；由△FCD 与△ABD 等底（AB=CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），得出S △FCD =S △ABD ，由△AEC 与△DEC 同底等高，所以S △AEC =S △DEC ，得出S △ABE =S △CEF ．④正确．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAD=∠AEB，又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，∵AB=AE，∴△ABE是等边三角形；②正确；∴∠ABE=∠EAD=60°，∵AB=AE，BC=AD，∴△ABC≌△EAD（SAS）；①正确；∵△FCD与△ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），=S△ABC，∴S△FCD又∵△AEC与△DEC同底等高，=S△DEC，∴S△AEC∴S=S△CEF；④正确．△ABE若AD与AF相等，即∠AFD=∠ADF=∠DEC即EC=CD=BE即BC=2CD，题中未限定这一条件∴③不一定正确；∴①②④正确，故选：B．【点评】此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．15．如图所示，在▱ABCD中，BC=6，∠ABC的平分线与CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且点F为边AD的中点，AG⊥BE于点G，若AG=2，则BE的长度是（）A．10B．8C．4D．4【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可求出AB=AF，再根据等腰三角形的性质可求出BG的长，进而可求出BF的长，根据全等三角形的性质得到BF=EF，所以BE=2BF，问题得解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABF=∠E，∵点F恰好为边AD的中点，∴AF=DF，在△ABF与△DEF中，，∴△ABF≌△DEF，∴BF=EF，BE=2BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=6，∵∠AFB=∠FBC，∵∠ABC的平分线与CD的延长线相交于点E，∴∠ABF=∠FBC，∴∠AFB=∠ABF，∴AB=AF，∵点F为AD边的中点，AG⊥BE．∴BG==，∴BF=2，∴BE=2BF=4．故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质、勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等．16．如图，在▱ABCD中，AB=8，BC=5，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AD、AB于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠DAB内交于点M，连接AM并延长交CD于点E，则CE的长为（）A．3B．5C．2D．6.5【分析】根据作图过程可得得AE平分∠DAB；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠DAE=∠DEA，证出AD=DE=5，即可得出CE的长．【解答】解：根据作图的方法得：AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠EAB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，AD=BC=5，∴∠DEA=∠EAB，∴∠DAE=∠DEA，∴AD=DE=5，∴CE=DC﹣DE=8﹣5=3；【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出AD=DE是解决问题的关键．17．如图，已知□ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，交AC于点F，且∠BCD=60°，BC=2CD，连结OE．下列结论：①OE∥AB；=BD•CD；②S平行四边形ABCD③AO=2BO；=2S△EOF．④S△DOF其中成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①证明BE=CE，OA=OC，根据三角形中位线定理可得结论正确；②证明BD⊥CD，可得结论正确；③设AB=x，分别表示OA和OB的长，可以作判断；④先根据平行线分线段成比例定理可得：DF=2EF，由同高三角形面积的比等于对应底边的比可作判断．【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∵∠BCD=60°，∴∠ADC=120°，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE=60°=∠BCD，∴△CDE是等边三角形，∴CE=CD，∵BC=2CD，∴BE=CE，∴OE∥AB；故①正确；②∵△DEC是等边三角形，∴∠DEC=60°=∠DBC+∠BDE，∵BE=EC=DE，∴∠DBC=∠BDE=30°，∴∠BDC=30°+60°=90°，∴BD⊥CD，∴S=BD•CD；平行四边形ABCD故②正确；③设AB=x，则AD=2x，则BD=x，∴OB=，由勾股定理得：AO==x，故③不正确；④∵AD∥EC，∴=，∴DF=2EF，=2S△EOF．∴S△DOF故④正确；故选：C．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△BCE是等边三角形，OE 是△ABC的中位线是关键．18．如图，点P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：①S1+S3=S2+S4②如果S4＞S2，则S3＞S1③若S3=2S1，则S4=2S2④若S1﹣S2=S3﹣S4，则P点一定在对角线BD上．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据平行四边形的对边相等可得AB=CD，AD=BC，设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出①正确；根据三角形的面积公式即可判断②③错误；根据已知进行变形，求出S1+S4=S2+S3=S△ABD=S△BDC=S平行四边形ABCD，即可判断④．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，则S1=ABh1，S2=BCh2，S3=CDh3，S4=ADh4，∵ABh1+CDh3=AB•h AB，BCh2+ADh4=C•h BC，又∵S=AB•h AB=BC•h BC平行四边形ABCD∴S2+S4=S1+S3，故①正确；根据S4＞S2只能判断h4＞h2，不能判断h3＞h1，即不能得出S3＞S1，∴②错误；根据S3=2S1，能得出h3=2h1，不能推出h4=2h2，即不能推出S4=2S2，∴③错误；∵S1﹣S2=S3﹣S4，∴S1+S4=22+S3=S平行四边形ABCD，此时S1+S4=S2+S3=S△ABD=S△BDC=S平行四边形ABCD，即P点一定在对角线BD上，∴④正确；故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，以及平行四边形对角线上点的判定的应用，用平行四边形的面积表示出相对的两个三角形的面积的和是解题的关键，也是本题的难点．19．如图，E 是平行四边形内任一点，若S 平行四边形ABCD =8，则图中阴影部分的面积是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半．所以S 阴影=S 四边形ABCD ．【解答】解：设两个阴影部分三角形的底为AD ，CB ，高分别为h 1，h 2，则h 1+h 2为平行四边形的高，∴S △EAD +S △ECB=AD•h 1+CB•h 2=AD （h 1+h 2）=S 四边形ABCD=4．故选：B ．【点评】本题主要考查了三角形的面积公式和平行四边形的性质（平行四边形的两组对边分别相等）．要求能灵活的运用等量代换找到需要的关系．20．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分∠ADC 交BC 于E ，AF ⊥DE ，垂足为F ，已知∠DAF=50°，则∠B=（）A ．50°B ．40°C ．80°D ．100°【分析】由平行四边形的性质及角平分线的性质可得∠ADC 的大小，进而可求解∠B 的度数．【解答】解：在Rt △ADF 中，∵∠DAF=50°，∴∠ADE=40°，又∵DE平分∠ADC，∴∠ADC=80°，∴∠B=∠ADC=80°．故选：C．【点评】本题主要考查平行四边形的性质及角平分线的性质，应熟练掌握，并能做一些简单的计算问题．21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°．①四边形ACED是平行四边形；②△BCE是等腰三角形；③四边形ACEB的周长是5+；④四边形ACEB的面积是16．则以上结论正确的是（）A．①②B．②④C．①②③D．①③④【分析】证明AC∥DE，再由条件CE∥AD可证明四边形ACED是平行四边形；根据线段的垂直平分线证明AE=EB可得△BCE是等腰三角形；首先利用三角函数计算出AD=4，CD=2，再算出AB长可得四边形ACEB的周长是10+2，利用△ACB和△CBE的面积和可得四边形ACEB的面积．【解答】解：①∵∠ACB=90°，DE⊥BC，∴∠ACD=∠CDE=90°，∴AC∥DE，∵CE∥AD，∴四边形ACED是平行四边形，故①正确；②∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴EC=EB，∴△BCE是等腰三角形，故②正确；③∵AC=2，∠ADC=30°，∴AD=4，CD=2，∵四边形ACED是平行四边形，∴CE=AD=4，∵CE=EB，∴EB=4，DB=2，∴CB=4，∴AB==2，∴四边形ACEB的周长是10+2故③错误；④四边形ACEB的面积：×2×4+×4×2=8，故④错误，故选：A．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、特殊角三角函数、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．等腰三角形的判定方法，属于中考常考题型．22．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD 于F，DE、BF相交于H，直线BF交线段AD的延长线于G，下面结论：①BD= BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④∠BHD=∠BDG；其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】通过判断△BDE为等腰直角三角形，得到BE=DE，BD=BE，则可对①进行判断；根据等角的余角相等得到∠BHE=∠C，再根据平行四边形的性质得到∠A=∠C，则∠A=∠BHE，于是可对②进行判断；根据“AAS”可证明△BEH≌△DEC，得到BH=CD，接着由平行四边形的性质得AB=CD，则AB=BH，运算可对③进行判断；因为∠BDH=90°+∠EBH，∠BDG=90°+∠BDE，由∠BDE＞∠EBH，推出∠BDG＞∠BHD，所以④错误；【解答】解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC，∴△BDE为等腰直角三角形，∴BE=DE，BD=BE，所以①正确；∵BF⊥CD，∴∠C+∠CBF=90°，而∠BHE+∠CBF=90°，∴∠BHE=∠C，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠C，∴∠A=∠BHE，所以②正确；在△BEH和△DEC中，∴△BEH≌△DEC，∴BH=CD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，∴AB=BH，所以③正确；∵∠BDH=90°+∠EBH，∠BDG=90°+∠BDE，∵∠BDE＞∠EBH，∴∠BDG＞∠BHD，所以④错误；故选：C．。

平行四边形的性质(一)

D平
行
四
B
C边
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 形
A B
D 记作： ABCD
C
读作：平行四边形ABCD
∵AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形 ( × )
A 如左图:D、 E、F 在三角形边上,
D
F DE∥AC , DF∥BC , EF∥AB
问图中有哪几个平行四边形?
B
E
C
ADEF DBEF
知识梳理平行四边形的性质
A
DBLeabharlann C1.平行四边形的对边平行且相等 2.平行四边形的对角相等
3.平行四边形的邻角互补．
当堂训练
1.在
。ABCD中,∠D=120。,则。 ∠A=__6_0 ,。
D
∠B=_1_2_0____ , ∠C=____60_______。
C
2四.平个行角四的边度形数的分一别个为角_7_比6_。_它__1的0_4邻_。_角_7_6大。__2_81_0。4_。_,则。
B
2C
∠2=∠1 (已证) AC=CA (公共边)
∠4=∠3(已证)
∴△ABC≌△CDA(ASA) ∴AB=CD, BC =AD
解法二: 连接BD （证法同上类似）
平行四边形的性质 1
平行四边形的对边平行且相等
这个性质用几何语言表示:
ABCD
AD BC，AB DC
练习检测：
1.平行四边形ABCD中，AB=5，BC=3，求它的周长。 C=16
100º 80º 8、在 ABCD中，∠A+∠C=200º，则∠A=
，∠B= .
9、一个平行四边形相邻两边的比是 2 : 3, 其周长是40,求它的各边长。

人教版数学八年级下册18.1.1 平行四边形的性质同步练习(解析版)

第十八章平行四边形 18.1 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质基础闯关全练1．如图18-1-1-1，如果AD ∥EF ∥BC ，AB ∥GH ∥CD ，EF 与GH 相交于点O ，那么图中的平行四边形一共有( )A ．4个B ．5个C ．8个D ．9个2．在平行四边形ABCD 中，如果∠A=55º，那么∠C 的度数是 ( )A ．45ºB ．55ºC ．125ºD ．145º3．如图18-1-1-2，在□ABCD 中，已知AC=4 cm ，若△ACD 的周长为13 cm ，则☐ABCD 的周长为( )A ．26 cmB ．24 cmC ．20 cmD ．18 cm4．如图18-1-1-3，在平行四边形ABCD 中，∠ADC 的平分线交BC 于点E ．若∠CED=35º，则∠B 的度数为( )A ．40ºB ．50ºC ．60ºD ．70。

5．在平行四边形ABCD 中，已知∠A-∠B=60º，则∠C=________.6．如图18-1-1-4，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AD 的中点，求证：∠ABF=∠CDE.7．如图18-1-1-5，l ₁∥l ₂，AB ⊥l ₂，DC ⊥l ₁，则下列结论：①AB ⊥l ₁；②AB ∥CD ；③AB=CD ；④AC=BD ，其中正确的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．18．如图18-1-1-6，在☐ABCD 中，D 是对角线AC ，BD 的交点，若△AOD 的面积是4，则☐ABCD 的面积是( )A ．8B ．12C ．16D ．20 能力提升全练1．如图18-1-1-7，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 、∠BCD 的平分线分别交AD 于点E 、F ，且AD=8．EF=2，则AB 的长是( )A ．3B ．4C ．5D ．62．如图18-1-1-8，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点M ，N ，若△CON 的面积为2，△DOM 的面积为4，则△AOB 的面积为_______.3．如图18-1-1-9①，☐ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF 过点O 且与AD 、BC 分别相交于点E 、F ，则OE=OF.若将EF 向两边延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（如图②和图③），OE 与OF 还相等吗？若相等，请你说明理由.三年模拟全练一、选择题1．（2018黑龙江大庆肇源期末，3，★☆☆）如图18-1-1-10，在平行四边形ABCD 中，不一定成立的是 ( )①AO=CO ；②AC ⊥BD ；③AD ∥BC ；④∠CAB=∠CAD.A ．①和④B ．②和③C ．③和④D ．②和④2．如图18-1-1-11，☐ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BC ，垂足为E ．AB=3．AC=2．BD=4，则AE 的长为( )A ．23 B ．23C ．721D ．7212 二、填空题3．如图18-1-1-12，在☐ABCD 中，∠A=130º，在边AD 上取一点E ．使DE=DC ，则∠ECB=_______.三、解答题4．如图18-1-1-13，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线AE 交CD 于点F ，交BC 的延长线于点E ． (1)求证：BE=CD ；(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60º，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．五年中考全练一、选择题1．在☐ABCD中，若∠BAD与∠CDA的平分线交于点E，则△AED的形状是 ( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定2．如图18-1-1-14，将☐ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F．若∠ABD=48º，∠CFD=40º，则∠E为( )A．102º B．112º C．122º D．92º3．在☐ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，则AB的长为 ( )A．3 B．5 C．2或3 D．3或5二、填空题4．如图18-1-1-15，☐ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC 的周长为________．5．如图18-1-1-16，在☐ABCD中，AB=10，AD=6，AC⊥BC，则BD=_______.三、解答题6．如图18-1-1-17，在☐ABCD中，点E，F分别在边CB、AD的延长线上，且BE=DF，EF分别与AB，CD交于点G，H，求证：AG=CH.核心素养全练1．如图18-1-1-18，已知□ABCD.(1)试用三种不同的方法用一条直线MN将它分成面积相等的两部分；（保留作图痕迹，不写作法）(2)由上述方法，你能得到什么样的结论？(3)解决问题：兄弟俩分家，原来他们共同承包了一块平行四边形田地ABCD，现要拉一条直线将田地平均划分，在这块地里有一口井P，如图18-1-1-19所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？（保留作图痕迹，不写作法）2．我们知道：平行四边形的面积=底边×底边上的高．如图18-1-1-20，四边形ABCD 是平行四边形，AD∥BC，AB∥CD，设它的面积为S：(1)如图①，点肼为AD上任意一点，则△BCM的面积S₁=_______S，△BCD的面积S₂与△BCM的面积S₁的数量关系是_______；(2)如图②，设AC、BD交于点D，则O为AC、BD的中点，试探究△AOB的面积与△COD 的面积之和S₃与平行四边形ABCD的面积S的数量关系，并说明理由：(3)如图③，点P为平行四边形ABCD内任意一点，记△PAB的面积为S′，△PCD的面积为S″，猜想S′、S″的和与S的数量关系：(4)如图④，点P为平行四边形ABCD内任意一点，△PAB的面积为3，△PBC的面积为7，求△PBD的面积．第十八章平行四边形 18.1 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 1．D根据平行四边形的定义，可知图中的平行四边形有☐AEOG,☐GOFD ，☐EBHO,☐OHCF,☐AEFD ，☐EBCF,☐ABHG,☐GHCD ，☐ABCD 共9个． 2.B ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A =∠C ，∵∠A=55º，∴∠C=55º． 3.D 根据平行四边形的两组对边分别相等，得在☐ABCD 中AB=CD,BC=AD.由C △ACD=AD+AC+CD=13 cm,AC=4 cm ，得AD+CD=9 cm,∴C ☐ABCD =2(AD+CD)=2×9=18 cm ，故选D.4.D 在□ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=∠ADC,∴∠A DE =∠C ED=35º．又∵DE 平分∠A DC ，∴∠A DC=2∠A DE=70º，∴∠B =∠A DC=70º. 5．答案 120º解析如图所示，由平行四边形的邻角互补可知∠A +∠B =180º，又∠A -∠B =60º，所以∠A=120º，又因为平行四边形对角相等，所以∠C=∠A =120º．6．证明 ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB=CD,AD=BC,∠C=∠A ,∵E 、F 分别是边BC 、AD 的中点，∴CE=21BC,AF=21AD ， ∴AF=CE,∴△ABF ≌△CDE(SAS),∴∠A BF=∠C DE. 7．A ①②③④全部正确，故选A ．8．C 因为平行四边形对角线互相平分，所以BO=DO ，AO=CO ，则△ABO 与△ADO 是等底同高的三角形，所以面积相等，同理，△ABO 与△CBO 面积相等．因此△ABO ，△ADO ，△CDO ，△CBO 面积都相等，所以S ☐ABCD =4S △ADO =16.1.C ∵BE 是∠A BC 的平分线,∴∠A BE =∠EBC,∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC,∴ ∠A EB=∠EBC ，∴∠A EB =∠A BE,∴AB=AE ，同理DF=DC ．又平行四边形的对边相等， ∴AB=CD,故AE=DF.∴AE-EF=DF-EF,即AF=DE,∵AF+EF+DE=AD=8,∴ 2AF+EF=8, 又∵EF=2.∴AF=3，AB=AE=AF+EF=5. 2．答案6解析 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC, OA=OC,OB=OD ．∴∠CAD =∠A CB, ∵∠A OM =∠NOC,∴△AOM ≌△CON(ASA)，∴S △AOM =S △CON =2，∴S △AOD =S △DOM +S △AOM =4+2=6．又∵△AOB 与△AOD 等底同高，∴S △AOB =S =6. 3．解析题图②中OE=OF.理由：在☐ABCD 中,AB ∥CD,OA=OC, ∴∠E=∠F,叉∵∠A OE=∠COF, ∴△AOF ≌△COF(AAS)， ∴OE=OF. 题图③中OE=OF.理由：在☐ABCD 中,AD ∥BC,OA=OC, ∴∠E =∠F, 又∵∠A OE =∠C OF ，∴△AOE ≌△COF(AAS)， ∴OE=OF. 一、选择题1．D ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AO=CO ，故①成立；AD ∥BC ，故③成立，利用排除法可得②与④不一定成立．故选D ．2.D ．∵四边形ABCD 是平行四边形，AC=2，BD=4， ∴AO=21AC=1.BO=21BD=2, ∵AB=3．∴AB ²+AO ²=（3）²+1²=2²=BO ², ∴∠B AC=90º,在Rt △BAC 中,BC=()7232222=+=+AC AB ，∴S △BAC =21•AB •AC=21•BC •AE, ∴3×2=7AE ． ∴AE=7212．故选D ．二、填空题 3．答案 65º解析因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，∠A +∠D=180º．因为∠A=130º，所以∠D =50º，因为DE=DC ，所以∠D EC =∠D CE 、由AD ∥BC 得∠D EC =∠B CE ，所以∠ECB =∠D EC =∠D CE=21(180º-∠D )=21×(180º-50º)=65º. 三、解答题4．解析(1)证明： ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠D AE =∠E,∵∠B AD 的平分线AE 交CD 于点F ，交BC 的延长线于点E ，∴∠BAE=∠DAE ，∴∠E =∠B AE ， ∴AB=BE,又在平行四边形ABCD 中，AB=CD,∴BE=CD.(2)由BE=CD=AB ，∠B EA=60º得△ABE 为等边三角形，∴AE=AB=4,又∵BF ⊥AE,∴AF=EF=2，根据勾股定理得BF=23，易证△ADF ≌△ECF ，∴S △AFD =S △ECF ，又S ☐ABCD =S 四边形ABCF+S △AFD ，S △ABE =S 四边形ABCF +S △CFE ，∴平行四边形ABCD 的面积等于△ABE 的面积，故S ☐ABCD =S△ABE=21AE •BF=21×4×23=43.一、选择题1．B ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠B AD+∠A DC=180º,∵∠B AD 与∠C DA 的平分线交于点E ，∴∠EAD=21∠B AD, ∠EDA=21∠C DA ，∴∠EAD+∠EDA=21(∠B AD+∠C DA)=21×180º=90º, ∴∠A ED=90º，故△AED 是直角三角形．2.B 设∠A=∠E=x ，∵∠DBE =∠A BD=48º,∠B FE =∠D FC=40º，∴∠FBD=180º-x-48º=132º-x ，∴∠EBF =∠D BE-∠FBD=48º-(132º-x)=x-84º，又∠E+∠BFE+∠EBF=180º．即∠EBF=180º-∠E-∠BFE=180º-x-40º=140º-x, ∴x-84º=140º-x,∴x=112º.3.D 分两种情况讨论：(1)如图①，在□ABCD 中,BC ∥AD,∴∠D AE =∠A EB,∠A DF =∠D FC ．∴AE 平分∠BAD 交BC 于点E,DF 平分∠A DC 交BC 于点F,∴∠BAE=∠D AE,∠A DF=∠C DF, ∴∠BAE=∠A EB, ∠C FD=∠C DF, ∴AB=BE,CF=CD.在□ABCD中 ,AB=CD,∴BC=BE+CF -EF=2AB-EF,即2AB-2=8,∴AB=5.(2)如图②，在☐ABCD中,BC∥AD,∴∠D AE=∠A EB,∠A DF=∠D FC,∵AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠A DC交BC于点F, ∴∠BAE=∠DAE, ∠A DF=∠CDF,∴∠B AE=∠A EB,∠C FD=∠C DF,∴AB=BE,CF=CD.在☐ABCD中,AB=CD,∴BC=BE+CF+EF=2AB+EF,即2AB+2=8，∴AB=3．综上所述，AB的长为3或5．二、填空题4．答案14解析在☐ABCD中,BC=AD=6,OB=OD=21BD,OA=OC=21AC，且AC+BD=16，∴OB+OC=21(AC+BD)=8,∴△BOC的周长为OB+OC+BC=14.5．答案413解析过点D作DE⊥B C交BC的延长线于点E，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC=6，∴AC⊥BC,∴DE=AC=226-10=8．∵BE=BC+CE=6+6=12,∴BD=22812+=413．三、解答题6．证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC,AD∥BC,∠A=∠C,∴∠F=∠E,∵BE=DF．∴AD+DF=CB+BE．即AF=CE,在△AGF和△CHE中，⎪⎩⎪⎨⎧E,∠=F∠，CE=AFC,∠=A∠∴△AGF≌△CHE(ASA)，∴AG=CH.1．解析(1)作图如下．(2)过对角线交点的任意一条直线都能将平行四边形分成面积相等的两部分． (3)作图如下．2．解析(1)21；S ₁=S ₂，设在☐ABCD 中,BC 边上的高为h ₁， ∵S ☐ABCD =BC •h ₁=S,∴S △BCM =21BC •h ₁=21S,S △BCD =21BC •h ₁=21S, ∴S ₁=21S,S ₂=21S,∴S ₁=S ₂. (2)S ₃=21S ．理由：∵O 为AC 、BD 的中点，∴S ₃=S △AOB +S △COD =21S △ABD +21S △BCD =21(S △ABD +S △BCD =21S. (3)S ′+S ″=21S ．设在☐ABCD 中,CD 边上的高为h ₂,△ABP 中AB 边上的高为h ₃，△PCD 中CD 边上的高为h ₄，∵AB ∥CD,∴ h ₃+h ₄=h ₂,又AB=CD ，∴S △PAB +S △PCD )=21AB •h ₃+21CD •h ₄=21AB •(h ₃+h ₄)=21AB •h ₂=21S ，即S ′+S ″=21S ． (4)易知S △PAB +S △PCD =21S=S △BCD , ∵S △PAB =3,S △PBC =7,∴S △PBD =S 四边形PBCD -S △BCD =S △PBC +S △PCD -S △BCD =7+（21S-3）-21S=7-3=4.。

18.1平行四边形及其性质(一)训练单

八年级数学（学科）训练单
第3周第3课时总课时第13节
主题
18.1平行四边形及其性质(一)
设ห้องสมุดไป่ตู้人
刘慧香
授课人
课型
问题解决
授课时间
必做题
1．填空：
（1）在□ABCD中，∠A=50，则∠B=度，∠C=度，∠D=度．
（2）如果□ABCD中，∠A—∠B=240，则∠A=度，∠B=度，∠C=度，
∠D=度．
（3）如果□ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm．
边形一共有（）．
（A）4个（B）5个（C）8个（D）9个
5．如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE．
6、如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE．
2．如图4.3－9，在□ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF．
选做题
3．（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（）．
（A）对角相等（B）对角互补（C）邻角互补（D）内角和是360
4．在□ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四

平行四边形知识点及经典例题

第十八章平行四边形18.1.1 平行四边形的性质第一课时平行四边形的边、角特征知识点梳理1、有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形ABCD记作□ABCD。

2、平行四边形的对边相等，对角相等，邻角互补。

3、两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条直线之间的距离。

知识点训练1．(3分)如图，两X对边平行的纸条，随意穿插叠放在一起，转动其中一X，重合的局部构成一个四边形，这个四边形是________．2．(3分)如图，在□ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH相交于点O，那么图中共有平行四边形( )A．6个B．7个C．8个D．9个3．(3分)在□ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，那么□ABCD的周长为cm.4．(3分)用40 cm长的绳子围成一个平行四边形，使其相邻两边的长度比为3∶2，那么较长的边的长度为cm.5．(4分)在□ABCD中，假设∠A∶∠B＝1∶5，那么∠D＝；假设∠A＋∠C＝140°，那么∠D＝．6．(4分)(2014·XX)如图，在□ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，那么□ABCD 的周长是．7．(4分)如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，假设∠EAD ＝53°，那么∠BCE的度数为( )A．53°B．37°C．47°D．123°8．(8分)(2013·XX)如下图，在平行四边形ABCD中，BE＝DF.求证：AE＝CF.9．(4分)如图，点E，F分别是□ABCD中AD，AB边上的任意一点，假设△EBC的面积为10 cm²，那么△DCF的面积为。

10．(4分)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，记△ABO的面积为S1，△COD的面积为S2，那么S1，S2的大小关系是( )A．S1>S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法比拟11．在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是( )A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶1C．2∶2∶1∶1 D．2∶1∶2∶112．如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：①MN∥BC；②MN＝AM，以下说法正确的选项是( )A．①②都对B．①②都错C．①对②错D．①错②13．如图，在□ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E，F，CE＝2，DF＝1，∠EBF ＝60°，那么□ABCD的周长为__．14．(2013·XX)如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，那么∠DAE的度数为。

2020年春季人教版八年级数学下册18.1专题训练平行四边形的证明 (含答案)

18.1 专题训练平行四边形的证明1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：四边形ABCD 是平行四边形．2．如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD.求证：四边形BECD是平行四边形．3．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，点E，F在AC 上，且AF＝CE.求证：四边形BEDF是平行四边形．4．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF＝DE，连接BF.求证：(1)BF＝DC；(2)四边形ABFD是平行四边形．5．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形．6．如图，在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点．求证：四边形DECF是平行四边形．7．如图，▱ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O，与AD，BC 分别相交于点E，F，GH 过点O，与AB，CD 分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形．8．已知：如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE ＝DF.连接EF，与对角线AC交于点O.求证：OE＝OF.9．如图1，在▱ABCD中，∠ABC，∠ADC的平分线分别交AD，BC于点E，F.(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索．连接AF，CE，分别交BE，FD 于点G，H，得到四边形EGFH.此时，他猜想四边形EGFH是平行四边形，请在框图(图2)中补全他的证明思路．图1小明的证明思路由(1)可知BE∥DF，要证明四边形EGFH是平行四边形，只需证GF∥EH．由(1)可证ED＝BF，则AE＝FC，又由AE∥CF，故四边形AFCE是平行四边形，从而可证得四边形EGFH是平行四边形．10．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝12BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．11．如图，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA 的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．求证：四边形EFGH是平行四边形．12．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：OE＝OF.13．如图，在▱ABCD中，AE＝CF，M，N分别是BE，DF的中点，求证：四边形MFNE是平行四边形．14．如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H.求证：AG＝CH.15.如图，在▱ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，试判断四边形AECF是不是平行四边形，并说明理由．16.如图，已知□ABCD的对角线AC ，BD相交于点O ，直线EF经过点O ，且分别交AB ，CD于点E ， F.求证：四边形BFDE是平行四边形．17.如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：四边形BCEF是平行四边形．18．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24 cm，BC＝30 cm，点P从点A向点D以1 cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B 以2 cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？参考答案18.1 专题训练平行四边形的证明1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°.∵∠A＝∠C，∴∠B＝∠D.∴四边形ABCD是平行四边形．2．如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD.求证：四边形BECD是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，即BE∥DC.又∵EC∥BD，∴四边形BECD是平行四边形．3．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，点E，F在AC 上，且AF＝CE.求证：四边形BEDF是平行四边形．证明：连接BD交AC于O，∵AB＝CD，BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AO＝CO，BO＝DO.∵AF＝CE，∴AF－AO＝CE－CO，即OF＝OE.又∵OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形．4．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF＝DE，连接BF.求证：(1)BF＝DC；(2)四边形ABFD是平行四边形．证明：(1)∵DE是△ABC的中位线，∴CE＝BE.在△DEC和△FEB中，⎩⎨⎧CE ＝BE ，∠CED ＝∠BEF ，DE ＝FE ，∴△DEC ≌△FEB(SAS )． ∴BF ＝DC.(2)∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥AB ，且DE ＝12AB. 又∵EF ＝DE ， ∴DE ＝12DF. ∴DF ＝AB. 又∵DF ∥AB ，∴四边形ABFD 是平行四边形．5．如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O ，分别与AB ，CD 的延长线交于点E ，F.求证：四边形AECF 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OD ＝OB ，OA ＝OC ，AB ∥CD. ∴∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO. 在△FDO 和△EBO 中，⎩⎨⎧∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∴△FDO ≌△EBO(AAS)． ∴OF ＝OE .又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．6．如图，在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点．求证：四边形DECF是平行四边形．证明：∵D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，∴DF，DE为△ABC的中位线．∴DF∥BC，DE∥AC.∴四边形DECF是平行四边形．7．如图，▱ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O，与AD，BC 分别相交于点E，F，GH 过点O，与AB，CD 分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD∥BC.∴∠EAO＝∠FCO.∵O为AC的中点，∴OA＝OC.在△OAE和△OCF中，⎩⎨⎧∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△OAE ≌△OCF(ASA )．∴OE ＝OF.同理可证得OG ＝OH.∴四边形EGFH 是平行四边形．8．已知：如图，在▱ABCD 中，延长AB 至点E ，延长CD 至点F ，使得BE ＝DF.连接EF ，与对角线AC 交于点O.求证：OE ＝OF.证明：证法一：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD.∵BE ＝DF ，∴AB ＋BE ＝CD ＋DF ，即AE ＝CF.∵AB ∥CD ，∴AE ∥CF.∴∠E ＝∠F.又∵∠AOE ＝∠COF ，∴△AOE ≌△COF(AAS )．∴OE ＝OF.证法二：连接AF ，CE.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD.∵BE ＝DF ，∴AB ＋BE ＝CD ＋DF ，即AE ＝CF.∵AB ∥CD ，∴AE ∥CF.∴四边形AECF是平行四边形．∴OE＝OF.9．如图1，在▱ABCD中，∠ABC，∠ADC的平分线分别交AD，BC于点E，F.(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索．连接AF，CE，分别交BE，FD 于点G，H，得到四边形EGFH.此时，他猜想四边形EGFH是平行四边形，请在框图(图2)中补全他的证明思路．图1小明的证明思路由(1)可知BE∥DF，要证明四边形EGFH是平行四边形，只需证GF∥EH．由(1)可证ED＝BF，则AE＝FC，又由AE∥CF，故四边形AFCE是平行四边形，从而可证得四边形EGFH是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，AD＝BC.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC＝12∠ABC.∵DF平分∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF＝12∠ADC.∴∠EBC＝∠ADF.∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC.∴∠AEB＝∠ADF.∴EB∥DF.又∵ED∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形．10．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝12BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是BD的中点．又∵点E是边CD的中点，∴OE是△BCD的中位线．∴OE∥BC，且OE＝12BC.又∵CF＝12BC，∴OE＝CF.又∵点F在BC的延长线上，∴OE∥CF.∴四边形OCFE是平行四边形．11．如图，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA 的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．求证：四边形EFGH是平行四边形．证明：连接BD.∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH是△ABD的中位线．∴EH＝12BD，EH∥BD.同理FG＝12BD，FG∥BD.∴EH＝FG，EH∥FG.∴四边形EFGH是平行四边形．12．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：OE＝OF.证明：连接BE，DF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵AE＝CF，∴DE＝BF.又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．∴OE＝OF.13．如图，在▱ABCD中，AE＝CF，M，N分别是BE，DF的中点，求证：四边形MFNE是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.又∵AE＝CF，∴AD－AE＝BC－CF，即DE＝BF.∴四边形BEDF是平行四边形．∴BE∥DF，BE＝DF.∵M，N分别是BE，DF的中点，∴EM＝12BE＝12DF＝NF.∴四边形MFNE是平行四边形．14．如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H.求证：AG＝CH.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC.∴∠HCF ＝∠GAE.又∵E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，∴AE ＝FC ，DE ＝BF.又∵DE ∥BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形．∴∠BED ＝∠BFD.∴∠AEG ＝∠CFH.在△AGE 和△CHF 中，⎩⎨⎧∠GAE ＝∠HCF ，AE ＝CF ，∠AEG ＝∠CFH ，∴△AGE ≌△CHF(ASA )．∴AG ＝CH.15.如图，在▱ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ，试判断四边形AECF 是不是平行四边形，并说明理由．解：四边形AECF 是平行四边形．理由如下：∵AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ，∴∠AEF=∠CFE=90°，∴AE∥CF（内错角相等，两直线平行），在平行四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，在△ABE与△DCF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）16.如图，已知□ABCD的对角线AC ，BD相交于点O ，直线EF经过点O ，且分别交AB ，CD于点E ， F.求证：四边形BFDE是平行四边形．证明：∵□ABCD的对角线AC ，BD相交于点O ，∴OA＝OC ，OB＝OD ，∠DCO=∠BAO又∵∠AOE=∠COD，∴△AOE≌△COF ，得OE＝OF ，∴四边形BFDE是平行四边形．17.如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：四边形BCEF是平行四边形．证明：在△AFB和△DCE中，{AB=DE∠A=∠DAF=DC∴△AFB≌△DCE（SAS），∴FB=CE，∴∠AFB=∠DCE，∴FB∥CE，∴四边形BCEF是平行四边形．18．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24 cm，BC＝30 cm，点P从点A向点D以1 cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B 以2 cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？解：设当P，Q两点同时出发t s后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形．根据题意，得AP＝t cm，PD＝(24－t)cm，CQ＝2t cm，BQ＝(30－2t)cm(0≤t≤15)．①若四边形ABQP是平行四边形，∵AD∥BC，∴还需满足AP＝BQ.∴t＝30－2t.解得t＝10.∴10 s后四边形ABQP是平行四边形；②若四边形PQCD是平行四边形，∵AD∥BC，∴还需满足PD＝CQ.∴24－t＝2t.解得t＝8.∴8 s后四边形PQCD是平行四边形．综上所述：当P，Q两点同时出发8秒或10秒后，所截得两个四边形中其中一个四边形为平行四边形．。

2021备考平行四边形专题一 43题解析

《18.1平行四边形》专题一1．在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是( D)A. 4∶3∶3∶4B. 7∶5∶5∶7C. 4∶3∶2∶1D. 7∶5∶7∶52．在□ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则□ABCD 的周长是（ C ）A．22 B．20 C．22或20 D．183．在□ABCD中，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝2，则AB的长为（ D ）A．3 B．5 C．2或3 D．3或54.如图，AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形还需要条件( D)A. AB＝DCB. ∠1＝∠2C. AB＝ADD. ∠D＝∠B5．已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线α的取值范围为（ B ）A. 4＜α＜16B. 14＜α＜26C. 12＜α＜20D. 以上答案都不正确6．如图，设M是平行四边形ABCD边上任意一点，设△CMB的面积为S2, △CDM的面积为S，△AMD的面积为S1,则有（A）．A. S=S1+S2B. S>S1+S2C. S<S1+S2D. 不能确定7．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（ D ）A. OE＝DCB. OA=OCC. ∠BOE＝∠OBAD. ∠OBE＝∠OCE8．顺次连接四边形各边中点所得的四边形是________顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的四边形是：，顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的四边形是：9．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45°，且2，则平行四边形ABCD的周长是__8___．10．如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③图中共有四对全等三角形；④四边形ABCD是平行四边形；其中正确结论的是______①②④___．11．如图，△ABC中，如果AB＝30，BC＝24，AC＝27，DN∥GM∥AB，EG∥DF∥AC，则图中阴影部分的三个三角形周长之和为___81_____．12.能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）．A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠DC．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD13．如图，□ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为（ C ）A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm 14．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB 边上一动点，以PA，PC为边作□PAQC，则对角线PQ长度的最小值为（ D ）A．6 B．8 C．2 2 D．4 215．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（ B ）A．②③B．②⑤C．①③④D．④⑤16．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ B ）A．7 B．8 C．9 D．1017．如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折，若点B的落点记为B′，则DB′的长为 2 ．18.如图，□ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O，与AD，BC 分别相交于点E，F，GH 过点O，与AB，CD 分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形．19．如图所示，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF，求证：AB=2OF．20.梯形中位线定理是几何学的一个定理，是指连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半已知：如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，E 、F 分别是AB 、CD 边上的中点，求证：EF ∥AD ，且EF=21（AD+BC ）证明：连接AF 并延长交BC 的延长线于G 。

平行四边形的性质() 分层作业(解析版)

人教版初中数学八年级下册18.1.2平行四边形的性质（2）同步练习夯实基础篇一、单选题：1．下列说法不正确的是（）A ．平行四边形两组对边分别平行B ．平行四边形的对角线互相平分C ．平行四边形的对角互补，邻角相等D ．平行四边形的两组对边分别相等【答案】C【分析】根据平行四边形的性质依次分析判断即可．【详解】解：A ．平行四边形两组对边分别平行，原说法正确，故该项不符合题意；B ．平行四边形的对角线互相平分，原说法正确，故该项不符合题意；C ．平行四边形的对角相等，邻角互补，原说法不正确，故该项符合题意；D ．平行四边形的两组对边分别相等，原说法正确，故该项不符合题意；故选：C ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行且相等，平行四边形的对角相等，邻角互补，平行四边形的对角线互相平分，熟记性质是解题的关键．2．如图，ABCD Y 的周长为30cm ，ABC 的周长为27cm ，则对角线AC 的长为（）A ．27cmB ．17cmC ．12cmD ．10cm【答案】C 【分析】因为平行四边形对边相等，所以平行四边形的周长为相邻两边之和的2倍，即 230AB BC ，则15AB BC ，而ABC 的周长27AB BC AC ，即可求出AC 的长．【详解】∵ABCD Y 的周长是30cm ，∴ 230AB BC ∴15AB BC ，∵ABC 的周长是27cm ，∴27AB BC AC ，∴ 27271512cm AC AB BC ．故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，根据题意列出三角形周长的关系式，结合平行四边形周长的性质求解是本题的关键．3．如图，ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AB AC ．若4AB ，6AC ，则BD 的长是（）A ．10B ．8C ．12D ．14【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和勾股定理，属于基本题型，熟练掌握上述知识是关键．Y中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是4．ABCD（）A．3≤AB≤4B．2＜AB＜14C．1＜AB＜7D．1≤AB≤7△的周长比ABEBCD的周长大8，则BE的长有可能为（）A．2B．3C．4D．5【分析】依据平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得到BO 的长，再根据BE BO ，即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC AB CD ，，O 是BD 的中点，又∵OE BD ，∴OE 垂直平分BD ，∴BE DE ，∴AE BE AE DE AD ，∵BCD △的周长比ABE 的周长大8，∴ 8BC CD BD AB AE BE ，即 8BC CD BD AB AD ，∴8BD ，则4BO ，又∵Rt BOE 中，BE BO ，∴4BE ，观察四个选项，BE 的长可能为5，故选：D ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形周长等知识，解答本题的关键是判断出OE 是线段BD 的垂直平分线．6．如图，已知平行四边形ABCD 的面积为48，E 为AB 的中点，连接DE ，则ODE 的面积为（）A ．8B ．6C ．4D ．3已知点A（4，0），E（3，1），则点C的坐标为（）A． 2,3B． 1,2C． 2,2D． 3,2【答案】C【分析】由平行四边形的性质得AE=CE，即点E是AC的中点，设C（a，b），利用中点坐标公式，进而求解C点坐标．【详解】解：设C（a，b），∵四边形ABCO为平行四边形，8．在平行四边形中一边长为8cm，它的一条对角线的长12cm，那么它的另一条对角线m的长度的取值范围______．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形三边关系定理，关键是把已知数和未知数设法放在一个三角形中，题目比较好，难度适中．9．如图，在ABCD Y 中，点O 是对角线AC BD 、的交点，AC 垂直于BC ，且6cm,8cm AC AD ，则OB ______cm ．的周长大1，则ABCD Y 的周长等于__________．【答案】10【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分，由于△ADO 的周长比△ABO 的周长大1，则AD 比AB 大1，所以可以求出AD ，进而求出周长．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BO =DO ，AB =CD ，AD =BC ，∵△ADO 的周长比△ABO 的周长大1，∴AD ﹣AB =1，∵AB =2，∴AD =3，∴AB +AD =5，∴平行四边形的周长为 22510AD AB ．故答案为：10．【点睛】本题考查了平行四边的性质：平行四边形的两组对边分别相等且平行四边形的对角线互相平分．11．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE BC ，垂足为E ，4AB ，6AC ，10BD ，则AE 的长为______．于点M，N，若∠MDO＝∠MOD，BN＝2．则MN的长为________．又∵MDO MOD ，∴2O M D M ，∴2ON ，∴224MN OM ON ，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明MDO NBO ≌是解答本题的关键．13．如图，ABCD Y 中，4AB ，5BC ，60ABC ，对角线AC ，BD 交于点O ，过点O 作OE AD ，则OE 等于______．连接CE ，若CED △的周长为6，则四边形ABCD 的周长为___________．【答案】12【分析】由平行四边形的性质得出DC AB ，AD BC ，由线段垂直平分线的性质得出AE CE ，得出CDE 的周长AD DC ，即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ，AD BC ，∵AC 的垂直平分线交AD 于点E ，∴AE CE ，∴CDE 的周长6DE CE DC DE AE DC AD DC ，∴四边形ABCD 的周长2612 ；故答案为：12．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．三、解答题：15．在▱ABCD 中，AC 、BD 交于点O ．过点O 作OE ⊥BD 交BC 于点E ，连接DE ．若∠CDE ＝∠CBD ＝15°．求∠ABC 的度数．【答案】45【分析】由线段垂直平分线的性质得出BE ＝ED ，得出15CBD BDE ，求出30ABD ，则可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB =OD ，∵OE ⊥BD ，∴BE =ED ，∴15CBD BDE ，∵15CDE ，∴30BDC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ，∴30ABD BDC ，∴301545ABC ABD CBD ．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．16．如图，在ABCD Y 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，分别过点A ，C 作AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为点E ，F ，求证：AC ，EF 互相平分．【答案】证明见解析【分析】证出AEO CFO ≌，得出OE ＝OF 即可得证．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO =CO ．∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEO =∠CFO =90°．在△AEO 和△CFO 中，AEO CFO EOA FOC OA OC，∴△AEO ≌△CFO （AAS ），∴OE ＝OF ，AC ，EF 互相平分．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，证明△AEO ≌△CFO 是解题的关键．17．已知：如图，在ABCD Y 中，过AC 的中点O 的直线分别交CB ，AD 的延长线于点E ，F ．求证：BE DF ．【答案】证明见解析．【分析】证明 AOF COE ASA ≌，可得：AF CE ，再利用AD BC ，即可证明BE DF ．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO OC，AD BC ，DAO BCO ，在AOF 和COE 中，DAO BCO AO OC FOA COE∴ AOF COE ASA ≌，∴AF CE ，∵AD BC ，∴ AF AD CE BC ，即BE DF ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定定理及性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定定理及性质，证明 AOF COE ASA ≌．18．如图，ABCD Y 的对角线AC 和BD 相交于点O ，EF 过点O 且与边BC ，AD 分别相交于点E 和点F .(1)求证：OE OF ；(2)若4BC ，3AB ，2OF ，求四边形CDFE 的周长.【答案】(1)见解析(2)四边形CDFE 的周长为11【分析】（1）由四边形ABCD 是平行四边形，可得OA OC ，AD BC ∥，继而可证得 ASA AOE COF ≌△△，则可证得结论；（2）由全等三角形的性质及平行四边形的性质可得出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA OC ，AD BC ∥，∴OAF OCE，∵在OAF △和OCE △中OAF OCE OA OC AOF COE，∴ ASA AOE COF ≌△△，∴OF OE ．（2）解：∵AOF COE ≌△△，∴AF CE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ，AB CD ，∵4BC ，3AB ，2OE OF ，∴CDFE EF DF CE CDC 四边形2OE DF AF CD2OE AD CD44311 ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．能力提升篇一、单选题：1．如图，ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE BC ，垂足为E ．2,4AB AC BD ，则AE 的长为（）A B ．32C D ．72．如图，在▭ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，线段EF 经过点O ，AH ⊥BC 于点H ．若AH =2，BC =3，则图中阴影部分的面积为(）A ．1.5B ．2C ．3D ．4.5①OE OF ；②图中共有4对全等三角形；③若4AB ，6AC ，则214BD ；④ABC ABFE S S 四边形；其中正确的结论有（）A．①④B．①②④C．①③④D．①②③的边OA在x轴上，对角线OB，AC相交于点E，已知A点坐标为(6,0)，4．如图，OABC点E 的坐标为 4.5,2，则OABC 的周长为______．掌握平行四边形的性质，勾股定理是解题的关键．5．如图，在ABCD Y 中，32AO ，30ACB ，AC AB ，点E 在AC 上，1CE ，点P 是BC 边上的一动点，连接PE PA 、，则PE PA 的最小值是________．∵点A 与点F 关于直线BC 对称，∴CA CF ，30ACB FCB ，则∴ACF △是等边三角形，∵在ABCD Y 中，32AO ，∴23CF AC AO ，∴30CEG ，∴1122CG CE ，2213122EG，∴52FG FC CG ，∴2235722EF，∴PE PA 的最小值是7．故答案为：7．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．6．如图，在▱ABCD 中，45DBC DE BC ，于E BF CD ，于F DE ，、BF 交于H BF AD ，，的延长线交于G ，给出下列结论：①2DB BE ；②A BHE ；③AB BH ；④若BG 平分DBC ，则21BE EC ；其中正确的结论有______.(填序号)【答案】①②③④【分析】①由题意可知BDE △是等腰直角三角形，故此可得到2BD BE ；②由HBE CBF HEB CFB ，证明即可；③先证明BHE DEC △≌△，从而得到BH DC ，然后由平行四边形的性质可知AB BH ；④连接CH ，证CEH △是等腰直角三角形，DH CH ，设EH EC a ，得出22DH CH EC a ，进而得出21BE DE EC ．【详解】解：DH BC ∵，90DEB ，AB CD∵，，③正确；AB BH7．如图所示，ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE BC ，垂足为点E ，AB ，2AC ，4BD ．(1)求证：AB AC ；(2)求AE 的长．(1)如图1，若BD AB 的长；(2)如图2，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，连接AE ，过点A 作AF ⊥AE 交BD 于点F ，求证：OF ＝CE ＋OE ．∴∠FAC =∠OCG ，∠AFO =∠OGC ，∵OA =OC ，∴ AFO CGO AAS ，∴OF=OG，∵AB⊥AC，AF⊥AE，∴∠BAC=∠FAE=90°，∴∠BAC-∠FAO=∠FAE-∠FAO，∴∠BAF=∠CAE，∵CE⊥BD，∴∠CED=∠CEF=90°，∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=90°+∠AEF，∵∠AFB是AFE的一个外角，∴∠AFB=∠FAE+∠AEF=90°+∠AEF，∴∠AEC=∠AFB，∵AB=AC，∴∠AFE=∠AEF=45°，∴∠AFE=∠CGO=45°，∴CEG是等腰直角三角形，∴CE=EG，∵OG=OE+EG，∴OF=OE+CE．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形的全等、等腰三角形的性质以及勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．。

18平行四边形预习题

学校________________ 班级____________ 姓名______________ 考号_____________ 密封线18.1 平行四边形18.1.1 平行四边形的性质第1课时1.知道什么是平行四边形以及平行四边形的对边、对角、对角线等.2.掌握平行四边形的对边平行且相等、对角相等的性质以及简单的运用. 一、平行四边形边的性质1.▱ABCD 的周长是28 cm,△ABC 的周长是22 cm,则AC 的长为( )(A)4 cm (B)6 cm (C)8 cm (D)12 cm2. 如图,在平行四边形ABCD 中,AE 平分∠BAD交DC 于点E,AD=5 cm,AB=8 cm,求EC 的长.3. 如图所示,小明用一根36 m 长的绳子围成了一个平行四边形场地,其中一条边AB 长为8 m,其他三边各长多少?二、平行四边形角的性质4.在▱ABCD 中,若∠A ∶∠B=5∶4,则∠C 的度数为( B ) (A)80° (B)100°(C)110° (D)120°5.已知▱ABCD 中,∠A=140°,你能求出其他各角的度数吗?6. 如图,在▱ABCD 中,已知B+D=100°,求∠A,∠B,∠C,∠D 的度数.1.下面的性质中,平行四边形不一定具备的是( )(A)对角互补 (B)邻角互补 (C)对角相等 (D)内角和为360° 2.在平行四边形ABCD 中,∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可以是( ) (A)1∶2∶3∶4 (B)1∶2∶1∶2 (C)1∶1∶2∶2 (D)1∶2∶2∶13.如图所示,在平行四边形ABCD 中,AD=5,AB=3,AE 平分∠BAD 交BC 边于点E,则线段BE 、EC 的长度分别为( ) (A)2和3 (B)3和2 (C)4和1 (D)1和44. 如图,在△MBN 中,BM=6,点A 、C 、D 分别在MB 、NB 、MN 上,四边形ABCD 为平行四边形,∠NDC=∠MDA,那么▱ABCD 的周长是( ) (A)24 (B)18 (C)16 (D)125.如图:在▱ABCD 中,AE=CF:①写出图中全等三角形; ②选择①中的任意一对进行证明.学校________________ 班级____________ 姓名______________ 考号_____________ 密封线第2课时掌握平行四边形对角线互相平分的性质以及运用.1.已知平行四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O,AC=12 cm,BD=18 cm,AD=13 cm,求△BOC的周长.2.如图,四边形ABCD 是平行四边形,AB=10,AD=8,AC ⊥BC,求BC、CD 、AC 、OA 的长以及▱ABCD 的面积.3. ▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O,且AC+BD=36,AB=5,求△OCD 的周长.1.平行四边形对角线将其分成对全等三角形( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)52.▱ABCD 的对角线交于O,AC=12 cm,BD=5 cm,△OAB 的周长为15.5 cm,则CD 的长度等于( )(A)7 cm (B)8 cm (C)9 cm (D)9.5 cm3.若平行四边形的一边长为5,则它的两条对角线长可以是( )(A)12和2 (B)3和4 (C)4和6(D)4和84. 如图,EF 过▱ABCD 对角线的交点O,交AD 于E,交BC 于F,若AB=4,BC=5,OE=1.5,那么四边形EFCD 的周长是( ) (A)12 (B)13 (C)14 (D)165.▱ABCD 的周长为60 cm,对角线交于O,△AOB 的周长比△BOC 的周长大8 cm,则AB 、BC 的长分别是.6. 如图,▱ABCD 中,∠ABC=3∠A,F 是CB 的延长线上一点,EF ⊥DC 于E,CF=CD,若EF=3 cm,求DE 长.18.1.2 平行四边形的判定第1课时1.掌握平行四边形的判定方法.2.会用平行四边形的判定方法解决简单的实际问题.一、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 1. 如图,已知AB=CD=EF,AD=BC,DE=CF,则(1)AB ∥CD;(2)CD ∥EF;(3)AD ∥BC;(4)DE ∥CF;(5)AD ∥CF;(6)AB ∥EF; 以上说法中,正确的有( )(A)3个 (B)4个(C)5个 (D)6个2. 如图,▱ABCD 中,E,F 分别是AD,CB 上的两点,且AE=CF.求证:四边形EBFD 是平行四边形.二、对角线互相平分的四边形是平行四边形3. 如图,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,E,F 是对角线AC 上的两点,当E,F 满足下列哪个条件时,四边形DEBF 不一定是平行四边形( ) (A)AE=CF(B)DE=BF(C)∠ADE=∠CBF (D)∠AED=∠CFB学校________________ 班级____________ 姓名______________ 考号_____________密封线4. 已知:如图,平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,M 、N 分别是OA 、OC 的中点,求证:BM ∥DN,且BM=DN.1.下列条件中能判断四边形是平行四边形的是( ) (A)一组对边相等 (B)对角线相等 (C)一组对角相等(D)对角线互相平分2.四边形ABCD 中,AD ∥BC,当满足下列哪个条件时,可以得出四边形ABCD 是平行四边形( )(A)∠A+∠C=180°(B)∠B+∠D=180° (C)∠A+∠B=180° (D)∠A+∠D=180°3.如图,在四边形ABCD 中,AC 、BD 相交于点O,(1)若AD=8 cm,AB=7 cm,那么当BC= cm,CD= cm 时,四边形ABCD 为平行四边形.(2)若AC=8 cm,BD=10 cm,那么当AO= cm,DO= cm 时,四边形ABCD 为平行四边形.4.将两个全等的不等边三角形拼成平行四边形,可拼成不同的平行四边形的个数为 .5.在四边形ABCD 中,∠A 和∠B 互补,∠A=∠C,那么四边形ABCD 是平行四边形吗?试说明理由.6. 如图,已知在▱ABCD 中,AE 、CF 分别是∠DAB 、∠BCD 的角平分线. 求证:四边形AFCE 是平行四边形.第2课时1.探索并掌握:“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法.2.理解三角形中位线的含义并能应用三角形中位线定理.3.理解两条平行线间的距离. 【重点难点】“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法一、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形1. 已知:如图,▱ABCD 中,E 、F 分别是AD、BC 的中点,求证:BE=DF.2. 已知:如图DE ⊥AC,BF ⊥AC,DE=BF,且∠ADB=∠DBC.求证:四边形ABCD 是平行四边形.二、三角形中位线定理3.在▱ABCD 中,点O 是对角线AC 、BD 的交点,点E 是边CD 的中点,且BC=10,则OE= .第3题第4题4.如图,D 是△ABC 内一点,BD ⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点,则四边形EFGH 的周长是 .学校________________ 班级____________ 姓名______________ 考号_____________ 密封线1.在下列给出的条件中,能判定四边形ABCD 为平行四边形的是( )(A)AB ∥CD,AD=BC (B)∠A=∠B,∠C=∠D (C)AB=CD,AD=BC (D)AB=AD,CB=CD 2.下列条件中,能判定四边形是平行四边形的是( )(A)一组对边相等,另一组对边平行 (B)一组对边平行,一组对角互补 (C)一组对角相等,一组邻角互补 (D)一组对角互补,另一组对角相等3.已知△ABC 的周长为16,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,那么△ADE 的周长等于( ) (A)1 (B)2 (C)4 (D)84.如图所示,在△ABC 中,D 、E 分别为AB 、AC 的中点,延长DE 到F,使EF=DE,若AB=10,BC=8,则四边形BCFD 的周长= .第4题第5题5. 已知:如图,在平行四边形ABCD 中,E,F 分别是AB,CD 上的两点,且AE=CF,求证:BD,EF 互相平分.6. 已知:如图,▱ABCD 中,E 、F 分别是AC 上两点,且BE ⊥AC 于E,DF ⊥AC 于F.求证:四边形BEDF 是平行四边形.18.2.1 矩形第1课时1.掌握矩形的性质,能熟练运用矩形的性质解决问题.2.在解决问题的过程中,进一步发展推理论证能力与主动探究习惯.3.通过探究括动,激发学生的学习兴趣,渗透转化思想,学会类比的研究方法.体会矩形的内在美和应用美.一、矩形的性质1. 如图,在矩形ABCD 中,对角线交于点O,DE 平分∠ADC,∠AOB=60°,则 ∠COE= .2.如图,矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形,如果四个小三角形的周长的和是86cm,对角线长是13 cm,那么矩形的周长是多少?二、直角三角形斜边中线的性质3.直角三角形斜边为10 cm,斜边上的中线长为 .4.斜边上中线分直角三角形成两个三角形,这两个三角形面积之间的关系是 .1.矩形具有一般平行四边形不具有的性质是( )(A)对边相互平行 (B)对角线相等 (C)对角线相互平分 (D)对角相等2.如果矩形的两条对角线所夹的钝角是120°,那么对角线与矩形短边的长度之比为( )(A)3∶2 (B)2∶1 (C)1.5∶1 (D)1∶1学校________________ 班级____________ 姓名______________ 考号_____________ 密封线3. 如图,E 为矩形ABCD 的边BC 的中点,且∠BAE=30°,AE=2,则AC 等于( ) (A)3 (B)2(C)(D)第3题第4题4. 如图,矩形ABCD 中,E 为AD 上一点,EF ⊥CE 交AB 于F,若DE=2,矩形的周长为16,且CE=EF,则AE= .5. 如图,在矩形ABCD 中,点E 是BC 上一点,AE=AD,DF ⊥AE,垂足为F.线段DF 与图中的哪一条线段相等?先将你猜想出的结论填写在下面的横线上,然后再加以证明.即DF=.(写出一条线段即可)6. 如图,矩形ABCD 中,AE ⊥BD,∠DAE ∶∠BAE=3∶1,求∠BAE 、∠EAO 的度数.第2课时1.会证明矩形的两个判定定理.2.会根据矩形的定义和判定定理判定一个四边形是矩形,并能进行有关的论证或计算.3.经历探究矩形判定条件的过程,通过观察——总结——猜想——证明,发展学生的合情推理能力,培养主动探究的习惯.一、对角线相等的平行四边形是矩形1. 已知如图,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,且∠OBC=∠OCB. 求证:四边形ABCD 是矩形.2. 如图,O 是矩形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点,E 、F 、G 、H 分别是AO 、BO 、CO 、DO 上的一点,且AE=BF=CG=DH. 求证:四边形EFGH 是矩形.二、有三个角是直角的四边形是矩形3.已知四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=90°,则该四边形的形状是 .4. 已知:如图,▱ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.求证:四边形EFGH 是矩形.1.要使▱ABCD 成为矩形,需添加的条件是( )(A)AB=BC (B)AC ⊥BD (C)∠ABC=90° (D)∠BAD=∠BCD 2.下列给出的条件中,不能判断一个四边形是矩形的是( ) (A)一组对边平行且相等,有一个内角是直角 (B)有三个角是直角 (C)两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形 (D)一组对边平行且相等,且两条对角线相等3.工人师傅在做门框或矩形零件时,常用测量平行四边形两条对角线是否相等来检测直角的精度,请问工人师傅根据的几何道理是 .4. 已知,如图,平行四边形ABCD 中,M 为AD 的中点,且BM=CM.试说明:四边形ABCD 是矩形.学校________________ 班级____________ 姓名______________ 考号_____________ 密封线5. 如图,在四边形ABCD 中,点E 、F 是对角线BD 上的两点,且BE=DF. (1)若四边形AECF 是平行四边形,求证四边形ABCD 也是平行四边形;(2)若四边形AECF 是矩形,试判断四边形ABCD 是否也是矩形.不必写理由.18.2.2 菱形第1课时1.知道菱形的定义及性质,知道菱形与平行四边形的关系.2.会用菱形的定义及性质进行有关的论证和计算,会计算菱形的面积.3.通过运用菱形知识解决具体问题,提高分析能力和观察能力.根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系,通过画图向学生渗透集合思想. 【重点难点】菱形的定义及性质、菱形的面积.一、菱形的四条边都相等1.已知菱形的周长为12 cm,则它的边长为 .2.已知菱形ABCD 中,∠ABC=60°,则∠BAC= .二、菱形的对角线3.如图,四边形ABCD 是菱形,∠ACD=30°,BD=6,求: (1)∠BAD,∠ABC 的度数; (2)边AB 及对角线AC 的长.4. 如图,在菱形ABCD 中,∠ABC 与∠BAD 的度数比为1∶2,周长是48.求: (1)两条对角线的长度; (2)菱形的面积.1.菱形的周长为8.4 cm,相邻两角之比为5∶1,那么菱形一组对边之间的距离为( ) (A)1.05 cm (B)0.525 cm (C)4.2 cm (D)2.1 cm2.在菱形ABCD 中,∠BAD=80°,AB 的垂直平分线交AC 于F,交AB 于E,则∠CDF 等于( )(A)80° (B)70° (C)65° (D)60°3.菱形周长为40,一条对角线长为16,则另一条对角线长为 ,菱形的高为.4. 菱形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 上的点,且∠B=∠EAF=60°,∠BAE=40°,求∠CEF 的度数.5. 已知,如图,菱形ABCD中,∠ADC=120°,AC=12,(1)求BD 的长;(2)求菱形ABCD 的面积; (3)写出A 、B 、C 、D 的坐标.第2课时1.掌握菱形的三种判定方法.2.理解菱形判定定理的证明过程.3.会应用菱形的判定定理解决问题. 【重点难点】1.掌握菱形的三种判定方法.学校________________ 班级____________ 姓名______________ 考号_____________ 密封线2.理解菱形判定定理的证明过程.3.会应用菱形的判定定理解决问题.一、四条边相等的四边形是菱形1.木工做菱形窗棂时总要保持四条边框一样长,道理是.2. 如图,梯形ABCD 中,AB ∥CD,AC 平分∠BAD,CE ∥AD 交AB 于点E.求证:四边形AECD 是菱形.二、对角线互相垂直的平行四边形是菱形3.如图,平行四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O,AB=,AO=1,OB=2,则AC 、BD 的位置关系是 ,四边形ABCD 是菱形的道理是 .4. 如图,在平行四边形ABCD 中,BE 平分∠ABC 交AD 于点E,DF 平分∠ADC 交BC 于点F. 求证:(1)△ABE ≌△CDF;(2)若BD ⊥EF,则判断四边形EBFD 是什么特殊四边形,请证明你的结论.1.下列命题中正确的是( )(A)对角线相等的四边形是菱形 (B)对角线互相垂直的四边形是菱形 (C)对角线相等的平行四边形是菱形 (D)对角线互相垂直的平行四边形是菱形2.▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,下列条件中,不能判定▱ABCD 是菱形的是( ) (A)AB=AD (B)AC ⊥BD (C)∠A=∠D (D)CA 平分∠BCD3. 如图所示,过四边形ABCD 的各顶点作对角线BD 、AC 的平行线围成四边形EFGH,若四边形EFGH 是菱形,则原四边形ABCD 一定是( )(A)菱形 (B)平行四边形 (C)矩形 (D)对角线相等的四边形第3题第4题4. 如图,在菱形ABCD 中,∠ADC=72°,AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P,垂足为E,连接CP,则∠CPD= 度.5.已知:如图▱ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F. 求证:四边形AFCE 是菱形.18.2.3 正方形1.知道正方形的定义及性质,知道正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系.2.会用正方形的定义及性质进行有关的论证和计算,会计算正方形的面积.3.会用正方形的判定方法判定四边形是正方形. 【重点难点】1.知道正方形的定义及性质,知道正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系.2.会用正方形的定义及性质进行有关的论证和计算,会计算正方形的面积. 一、正方形的性质学校________________ 班级____________ 姓名______________ 考号_____________ 密封线1. 已知:如图,正方形ABCD 中,对角线的交点为O,E 是OB 上的一点,DG ⊥AE 于G,DG 交OA 于F.求证:OE=OF.2. 已知:如图,点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点,点F 是CB 的延长线上一点,且DE=BF. 求证:EA ⊥AF.二、正方形的判定方法3.对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是( ) (A)正方形 (B)菱形 (C)矩形 (D)等腰梯形4. 如图,已知平行四边形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O,E 是BD 延长线上的点,且△ACE 是等边三角形.(1)求证:四边形ABCD 是菱形; (2)若∠AED=2∠EAD,1.下列命题是假命题的是( )(A)邻边相等且有三个角是直角的四边形是正方形 (B)对角线互相垂直平分的四边形是菱形(C)对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 (D)对角线相等的平行四边形是矩形 2.顺次连接正方形各边中点所得到的四边形是( ) (A)平行四边形 (B)矩形 (C)菱形 (D)正方形3.四边形ABCD 中,AC 、BD 相交于点O,能判别这个四边形是正方形的条件是( ) (A)OA=OB=OC=OD,AC ⊥BD (B)AB ∥CD,AC=BD(C)AD ∥BC,∠BAD=∠BCD (D)OA=OC,OB=OD,AB=BC4.在正方形ABCD 中,AB=12,对角线AC 、BD 相交于O,则△ABO 的周长是( ) (A)12+12 (B)12+6 (C)12+(D)24+65.正方形ABCD 的边长为a,点E 、F 分别是对角线BD 上的两点,过点E 、F 分别作AD 、AB 的平行线,如图所示,则图中阴影部分的面积之和等于.6. 如图,在正方形ABCD 中,点E,F 分别在边BC,CD 上,AE,BF 交于点O,∠AOF=90°.求证:BE=CF.。

八年级数学下册第十八章平行四边形18.1平行四边形18.1.2平行四边形的判定练习人教版

18.1.2 平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定（1）1．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC= cm，CD= cm时，四边形ABCD为平行四边形；（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=CO = cm，DO=BO= cm时，四边形ABCD为平行四边形．（3）若∠A=65°，∠B=115°，那么当∠C=°，∠D= °时，四边形ABCD为平行四边形．2、一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（）A、88°，108°，88°B、88°，104°，108°C、88°，92°，92°D、88°，92°，88°3、在四边形ABCD中，ADBC，要使四边形ABCD是平行四边形，则应满足的条件是（）A、∠A+∠C=180°B、∠B+∠D=180°C、∠A+∠B=180°D、∠A+∠D=180°4、下列能判定四边形一定为平行四边形的个数有（）（1）两组对边分别相等的四边形。

（2）两组对边分别平行的四边形。

（3）两组对角分别相等的四边形。

（4）有两组邻角分别互补的四边形。

（5）两组对角线互相平分的四边形。

（6）两条对角线相等的四边形。

A、2B、3C、4D、55、已知：如图，ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE，EF交BD于点O．求证：EO=OF．6、如图，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别是各边中点。

PFED CBA求证：四边形EFGH 是平行四边形。

7、如图，在四边形ABCD 中，AD=12，DO=BO=5，AC=26，∠ADB=90°。

求BC 的长和四边形ABCD 的面积。

8、如图，ABC ∆是等边三角形，P 是三角形内任一点，,//,//BC PE AB PDAC PF //，若ABC ∆周长为12，求PD+PE+PF 的值．18.1.2 平行四边形的判定第2课时平行四边形的判定（2）一、选择——基础知识运用1．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（） A ．两组对边分别平行B．一组对边平行，另一组对边相等C．两组对边分别相等D．一组对边平行且相等2．如图，在四边形ABCD中，∠DAC=∠ACB，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件不能是（）A．AD=BC B．OA=OCC．AB=CD D．∠ABC+∠BCD=180°3．分别过一个三角形的3个顶点作对边的平行线，这些平行线两两相交，则构成的平行四边形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知四边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么可以判定四边形ABCD是平行四边形的是（）①再加上条件“BC=AD”，则四边形ABCD一定是平行四边形．②再加上条件“∠BAD=∠BCD”，则四边形ABCD一定是平行四边形．③再加上条件“AO=CO”，则四边形ABCD一定是平行四边形．④再加上条件“∠DBA=∠CAB”，则四边形ABCD一定是平行四边形．A．①和② B．①③和④C．②和③D．②③和④5．如图，在平面直角坐标系中，以A（-1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（）A．（3，1）B．（-4，1） C．（1，-1） D．（-3，1）二、解答——知识提高运用6．如图，凸四边形ABCD中，AB∥CD，且AB+BC=CD+AD．求证：ABCD是平行四边形。

18.1~18.2平行四边形的性质与判定练习题

E D C OF B A 18.1~18.2平行四边形的性质与判定一、选择题1、下面各条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）A 、对角线互相垂直B 、对角线互相平分C 、一组对角相等D 、一组对边相等2、已知下列四个命题：①一组对边平行且相等的四边形；②两组对角分别相等的四边形；③对角线相等的四边形；④对角线互相平分的四边形。

其中能判定平行四边形的命题的个数为（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个3、下列说法中错误的是（）A ．平行四边形的对角线互相平分B ．有两对邻角互补的四边形为平行四边形C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形D ．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形4、平行四边形的两条对角线及一边的长可依次取（）A 、6、6、6B 、6、4、3C 、6、4、6D 、3、4、55、以不共线三点为三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是（）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个6、四边形ABCD 的四个角∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 满足下列哪一条件时，四边形ABCD 是平行四边形？（）A 、1∶2∶2∶1B 、2∶1∶1∶1C 、1∶2∶3∶4D 、2∶1∶2∶17、四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要判定四边形ABCD 是平行四边形，还应满足（）A 、∠A ＋∠C ＝180°B 、∠B ＋∠D ＝180°C 、∠A ＋∠B ＝180°D 、∠A ＋∠D ＝180°8、根据下列条件，得不到平行四边形的是（）A 、AB ＝CD ，AD ＝BC B 、AB ∥CD ，AB ＝CD C 、AB ＝CD ，AD ∥BC D 、AB ∥CD ，AD ∥BC9、如图，在□ABCD 中，EF 过对角线的交点，若AB ＝4，BC ＝7，OE ＝3，则四边形EFDC 的周长是（）A 、14B 、11C 、10D 、179题图 10题图 11题图 12题图10、如图，线段a 、b 、c 的端点分别在直线l 1、l 2上，则下列说法中正确的是（）A ．若l 1∥l 2，则a=bB ．若l 1∥l 2，则a=cC ．若a∥b，则a=bD ．若l 1∥l 2，且a∥b，则a=b11、如图，△ABC 中，AB=AC=15，D 在BC 边上，DE∥BA，DF∥CA，那么四边形AFDE 的周长是（）A .30B ． 25C ． 20D ． 1512、如图，AB=CD ，BF=ED ，AE=CF ，由这些条件能得出图中互相平行的线段共有（）A ．1组 B ． 2组 C ． 3组 D ． 4组13、若□ABCD 的周长为40cm ，ΔABC 的周长为27cm ，则AC 的长是（）A 、13cmB 、3cmC 、7cmD 、11.5cm14、平行四边形的对角线长分别是x 和y ，一边长为12，则下列各组数据可能是x 与y 的值的是（）A 、8与14B 、10与14C 、18与20D 、10与3615、□ABCD 中,∠A:∠B=13：5，则∠A 和∠B 的度数分别为（）A ．80° ，100°B ．130°，50°C ．160°，20°D ．60°，120°16、一个平行四边形的两条对角线把它分成的全等三角形的对数是( )A.2B.4C.6D.817、E 、F 分别是□ABCD 的边AB 、DC 中点，DE 、BF 交AC 于M 、N ，则( )A.AM=MEB.AM=DFC.AM=NCD.AM ⊥MD18、在□ABCD 中若∠A ＞∠B ，则∠A 的补角与∠B 的余角之和( )A.小于90°B.等于90°C.大于90°D.不能确定19、从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线与两腰所围成的平行四边形的周长等于三角形( )A B E C F DO A B D C A.周长 B.周长的一半 C.腰长 D.两腰长的和20、已知平行四边形两条邻边的长分别是6厘米和4厘米，它们的夹角是60°，则它的面积是( )A.123cm 2B.73cm 2C.63cm 2D.43cm 221、下列说法正确的有（）①平行四边形的对角线相等；②平行四边形的对边相等；③平行四边形的对角线互相垂直；④平行四边形的对角线互相平分；⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形；⑥一组对边平行而且另一组对边相等的四边形是平行四边形．A ．4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个22、平行四边形的一条对角线与一边垂直，且此对角线为另一边的一半，则此平行四边形两邻角之比为( )A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶523、如图，□ABCD 和□EAFC 的顶点D 、E 、F 、B 在一条直线上，则下列关系中一定正确的是( )A.DE ＞BFB.DE=BFC.DE ＜BFD.DE=EF=BF23题图 24题图 25题图24、如图，□ABCD 中，∠ABC=60°，AE∥BD，EF⊥BC 交BC 的延长线于点F ，DF=2，则EF 的长为（） A ．2 B ． 2 C ． 4 D ． 425、如图，∠BAC=120°，AD⊥AC，BD=CD ，则下列结论正确的是（）A ． A D=ACB ． A B=AC C ． A B=2ACD ． A B=AC二、填空题1、□ABCD 中，∠B －∠A ＝40°，则∠D ＝________.2、□ABCD 的周长是44cm ，AB 比AD 大2cm ，则AB ＝________cm ，AD ＝________cm.3、平行四边形的两个相邻内角的平分线相交所成的角的度数是________.4、平行四边形的两条邻边的比为2∶1，周长为60cm ，则这个四边形较短的边长为________.5、如右上图，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠BAD ＝120°，BE ＝2，FD ＝3，则∠EAF ＝________，□ABCD 的周长为________.6、若平行四边形的两邻边的长分别为16和20，两长边间的距离为8，则两短边间的距离为________．7、□ABCD 中，AB=6cm,BC=8cm ，∠B=70°,则AD=__________,CD=__________, ∠D=__________,∠A=__________,∠C=__________.8、平行四边形周长为50cm ，两邻边之差为5cm,各边长为 . 9、如右图，平行四边形ABCD 的周长为30cm,它的对角线AC 和BD 相交于O,且△AOB 的周长比△BOC 的周长大5cm,则AB=________，BC=________. 10、□ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O,则其中全等的三角形有________对.(1)由平行四边形的一个顶点在形内向两边引垂线，二垂线夹角为65°，则这个平行四边形各内角的度数分别为________.(2)在□ABCD 中，∠A 的补角与∠B 的和等于210°，则∠A=________,∠B=________.(3)在□ABCD 中，AB ∶BC=1∶2，∠D=30°，AE ⊥BC 于E ，AE=3cm,则AB=________cm.这个平行四边形的周长是________cm.(4)平行四边形周长是40cm ，二邻边的比为3∶2，则两邻边长分别是________.(5)在□ABCD 中，两邻边AB 、AD 的比是1∶2，M 是大边AD 的中点，则∠BMC 的度数是________.(6)平行四边形的周长为50厘米，那么它两邻边之和是______cm ，每条对角线的长不能超过______cm.(7)□ABCD 中，周长为50厘米，AB=15cm ，∠A=30°，则此平行四边形的面积为______cm 2.(8)□ABCD 的周长为50厘米，对角线交于O 点，△AOB 的周长比△BOC 的周长大5厘米，则AB 、BC 的长分别是______、______.(9)有五条平行的直线，每相邻两条的距离相等，有一条直线和这组平行线相交成30°角，它介于相邻两条A BF CD EA BE CFDA BFOC DE平行线之间的线段长是10厘米，则这一组平行线最外面两条之间的距离是______厘米.(10)已知平行四边形周长为68厘米，被两条对角线分成两个不同的三角形的周长的和等于82厘米，两条对角线的长度比为2∶1，则两条对角线的长分别为______厘米，______厘米.11、等腰△ABC底边上任意一点D，AB=AC=5cm，过D作DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，则四边形AEDF的周长为．12、如图（在下页），已知等边△ABC的边长为8，P是△ABC内一点，PD∥AC，PE∥AD，PF∥BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，则PD+PE+PF= ．第12题第13题第14题13、如图，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有个平行四边形．14、如图，在□ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且AE=CF，在①BE=DF；②BE∥DF；③AB=DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE=S△ABE；⑥AF=CE这些结论中正确的是．15、如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，∠B+∠C=90°，EF=10，E，F分别是AD，BC的中点，则BC﹣AD= ．第15题第16题第17题16、如图，六边形ABCDEF的每个内角都是120°，AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，且AB=4，BC=5，CD=6，DE=7，那么，六边形ABCDEF的周长是．17、如图，△ABC中，如果AB=30，BC=24，AC=27，DN∥GM∥AB，EG∥DF∥BC，FM∥EN∥AC，则图中阴影部分的三个三角形周长之和为．18、如右图所示，木工师傅把曲尺的一边紧靠木板边缘，从曲尺的另一边上可以读出木板另一边缘的刻度，然后将曲尺移动到另一处（紧靠木板边缘），如果两次读数相同，说明木板两个边缘平行，其中道理是 .三、解答题与证明题1、在□ABCD中，E、F分别在DC、AB上，且DE＝BF。

2020-2021学年华东师大版八年级下册数学 18.1平行四边形的性质同步测试(含解析)

18.1平行四边形的性质同步测试一．选择题1．平行四边形一边长是10cm，那么它的两条对角线的长度可以是（）A．8cm和6cm B．8cm和8cm C．8cm和12cm D．8cm和16cm 2．▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的度数比可能是（）A．1：1：2：3B．1：2：1：2C．1：1：2：2D．1：2：2：1 3．如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E．若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．120°B．100°C．110°D．90°4．如图，在△ABC中，∠C＝50°，AC＝BC，点D在AC边上，以AB，AD为边作▱ABED，则∠E的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°5．如图，在▱ABCD中，BC＝6，∠A＝135°，S▱ABCD＝12．若点E、F分别在边BC、AD上，且AF＝CE，∠EFD＝30°，则AF的长为（）A．﹣1B．2﹣1C．6﹣6D．4﹣26．如图，在▱ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若AB＝6，BC＝10，CF＝4，则BE的长为（）A．4B．8C．8D．107．如图，在平行四边形ABCD中，N是CD的中点，AB＝2BC，BN＝m，AN＝n，则CD的长为（）A．+n B．m+C．D．8．如图1，平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝20．今沿两对角线将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD、CB重合）形成一个对称图形戊，如图2所示．则图形戊中的四边形两对角线长度和为（）A．29B．26C．24D．259．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O（AD＞AB）．下列说法：①AB＝CD；②S△AOB ＝S△AOD；③∠ABD＝∠CBD；④对边AB，CD之间的距离相等且等于BC的长．其中正确的结论有（）个A．1B．2C．3D．410．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长是30，OE＝3，则四边形ABFE的周长是（）A．21B．24C．27D．18二．填空题11．已知▱ABCD中，∠B＝4∠A，则∠A＝．12．如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，D＝102°，则∠BAC的度数是．13．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5，则对角线BD＝．14．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝4，P为AB边上一动点，以P A，PC为邻边作平行四边形P AQC，则对角线PQ的最小值为．三．解答题16．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，请问AF与CE有何关系？请说明理由．17．如图，在▱ABCD中，∠ADC的平分线经过BC的中点E，与AB的延长线交于点F．求证：AE⊥DF．18．如图1，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC于点E，连接ED，且ED平分∠AEC．（1）求证：AE＝BC；（2）如图2，过点C作CF⊥DE交DE于点F，连接AF，BF，猜想△ABF的形状并证明．参考答案一．选择题1．解：A、取对角线的一半与已知边长，得4，3，10，不能构成三角形，舍去；B、取对角线的一半与已知边长，得4，4，10，不能构成三角形，舍去；C、取对角线的一半与已知边长，得4，6，10，不能构成三角形，舍去；D、取对角线的一半与已知边长，得4，8，10，能构成三角形．故选：D．2．解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知B正确．故选：B．3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠CAB＝∠1＝20°，∵BE⊥AB，∴∠ABE＝90°，∴∠2＝∠EAB+∠EBA＝20°+90°＝110°．故选：C．4．解：∵∠C＝50°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝（180°﹣50°）＝65°，∵四边形ABED是平行四边形，∴∠E＝∠A＝65°．故选：C．5．解：作CN⊥AD于点N，作EM⊥AD于点M，则CE＝MN，∵S▱ABCD＝12，BC＝6，∴EM＝CN＝＝2，∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝135°，∴∠A+∠B＝180°，∠B＝∠D，AD＝BC＝6，∴∠B＝∠D＝45°，∵∠CND＝90°，∴∠D＝∠DCN＝45°，∴DN＝CN＝2，∵EM⊥AD，∵CM⊥AD，∠EFD＝30°，∴MF＝＝＝2，∵AD＝6，AF＝CE，CE＝MN，∴AF+FM+MN+DN＝AD＝6，∴AF+2+MN+2+6，∴2AF＝4﹣2，∴AF＝2﹣1，故选：B．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，∴∠EBC+∠FCB＝∠ABC+∠DCB＝90°，∴EB⊥FC，∴∠FGB＝90°．过A作AM∥FC，交BC于M，交BE于O，如图所示：∵AM∥FC，∴∠AOB＝∠FGB＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝6，∵AO⊥BE，∴BO＝EO，在△AOE和△MOB中，，∴△AOE≌△MOB（ASA），∴AO＝MO，∵AF∥CM，AM∥FC，∴四边形AMCF是平行四边形，∴AM＝FC＝4，∴AO＝2，∴EO＝＝＝4，∴BE＝8．故选：C．7．解：∵N为CD中点，∴CN＝DN＝CD＝AB＝BC＝AD，∴∠DAN＝∠DNA，∠CBN＝∠CNB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠C+∠D＝180°，∴∠C＝2∠DNA，∠D＝2∠CNB，∴∠DNA+∠CNB＝（∠C+∠D）＝90°，∴∠ANB＝180°﹣（∠DNA+∠CNB）＝90°即△NAB为直角三角形，∵BN＝m，AN＝n，∴CD＝AB＝＝．故选：D．8．解：如图，连接AD、EF，则可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等．∵平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝20，∴BC＝AD＝20，EF×AD＝×120，∴EF＝6，又BC＝20，∴则图形戊中的四边形两对角线之和为20+6＝26，故选：B．9．解：A．∵平行四边形ABCD的对边相等，故此选项正确；B．∵四边形ABCD被对角线分成的四个三角形面积都相等，故此选项正确；C．∵四边形ABCD对角线不会平分对角，故此选项不正确；D．∵四边形ABCD对边之间的距离是垂线段的长度，故此选项不正确；故选：B．10．解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线的交点为O，∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，AE＝CF，∵平行四边形ABCD的周长为30，∴AB+BC＝×30＝15，∴四边形ABFE的周长＝AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE＝AB+BC+2×3＝15+6＝21，故选：A．二．填空题11．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠A＝∠C，∴∠A+∠B＝180°，∵∠B＝4∠A，∴∠A＝×180°＝36°．故答案为：36°．12．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，∵AD＝AE＝BE，∴BC＝AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，∴∠ACB＝2∠CAB，∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，∴∠BAC＝26°，故答案为：26°．13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴OA＝AC＝，∴OB＝＝＝，∴BD＝2OB＝2；故答案为：2．14．解：设∠ADE＝x，∵AE＝EF，∠ADF＝90°，∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，∵AE＝EF＝CD，∴DE＝CD，∴∠DCE＝∠DEC＝2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCA＝x，∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，∴2x＝63°﹣x，解得：x＝21°，即∠ADE＝21°；故答案为：21°．15．解：如图所示，过C作CD⊥AB于D，∵∠BAC＝45°，AB＝AC＝4，∴△ACD是等腰直角三角形，∴CD＝AD＝，∵四边形P AQC是平行四边形，∴AP∥CQ，∴当PQ⊥AP时，PQ的最小值等于CD的长，∴对角线PQ的最小值为，故答案为：．三．解答题16．解：AF＝CE，AF∥CE，理由如下：∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵E，F分别AD，BC的中点，∴，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴AECF是平行四边形，∴AF＝CE，AF∥CE．17．证明：∵E是BC边的中点，∴BE＝EC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠F＝∠CDE，在△BEF和△CED中，∴△CDE≌△BFE（AAS）；∵DF平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠F＝∠CDE，∴∠F＝∠ADF，∴AD＝AF，∵△CDE≌△BFE，∴EF＝ED，∴AE⊥DF．18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，又∵ED平分∠AEC，∴∠ADE＝∠CED＝45°，∴∠AED＝∠ADE，∴AE＝AD，∴AE＝BC；（2）△ABF是等腰直角三角形，证明：∵CF⊥DE，∴∠CFE＝90°，又∵∠CEF＝45°，∴∠ECF＝45°，∴∠FEC＝∠FCE＝∠AEF，∴EF＝CF，在△AEF和△BCF中，，∴△AEF≌△BCF（SAS），∴AF＝BF，∠AFE＝∠BFC，∴∠AFE﹣∠BFE＝∠BFC﹣∠BFE，即∠AFB＝∠EFC＝90°，∴△ABF是等腰直角三角形．。

人教版八年级数学下《第十八章平行四边形》课时作业(含答案)

人教版八年级数学下《第十八章平行四边形》课时作业（含答案）第十八章平行四边形18．1平行四边形18．1.1平行四边形的性质第1课时平行四边形的边、角特征01基础题知识点1平行四边形的概念1．如图，在▱ABCD中，EF∥BC，则图中平行四边形有3个．第1题图第2题图2．如图，AB∥EG，EF∥BC，AC∥FG，图中有3个平行四边形，它们分别是▱ABCE，▱ABGC，▱AFBC．知识点2平行四边形的边、角特征3．(教材P43T1的变式)在▱ABCD中，AD＝3 cm，AB＝2 cm，则▱ABCD的周长等于(A) A．10 cm B．6 cmC．5 cm D．4 cm4．(2016·衢州)如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD的度数是(A)A．45°B．55°C．65°D．75°5．在▱ABCD中，两邻边的差为4 cm，周长为32 cm，则两邻边长分别为10__cm，6__cm．6．(1)在▱ABCD 中，若∠A∶∠B＝5∶4，则∠C＝100°；(2)已知▱ABCD 的周长为28 cm，若AB∶BC＝3∶4，则AB＝6__cm，BC＝8__cm．7．如图，在▱ABCD中，CM⊥AD于点M，CN⊥AB于点N，若∠B＝45°，求∠MCN的大小．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠B＝∠D.∵∠B＝45°，∴∠BCD＝135°，∠D＝45°.∵CM⊥AD，CN⊥AB，∴∠BNC＝∠DMC＝90°.∴∠BCN＝∠DCM＝45°.∴∠MCN＝∠BCD－∠BCN－∠DCM＝45°.8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一直线上，且BE＝DF.求证：AE＝CF.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD. ∴∠ABD ＝∠CDB. ∴∠ABE ＝∠CDF.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDF ，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△CDF(SAS )． ∴AE ＝CF.知识点3 平行线间的距离9．如图，a ∥b ，AB ∥CD ，CE ⊥b ，FG ⊥b ，点E ，G 为垂足，则下列说法不正确的是(D )A ．AB ＝CD B ．EC ＝GFC ．A ，B 两点的距离就是线段AB 的长度D ．a 与b 的距离就是线段CD 的长度第9题图第10题图10．(2016·柳州)如图，若▱ABCD 的面积为20，BC ＝5，则边AD 与BC 间的距离为4．02 中档题11．在▱ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可能是(A)A ．2∶5∶2∶5B ．3∶4∶4∶5C ．4∶4∶3∶2D ．2∶3∶5∶612．如图，在▱ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，AC 的垂直平分线交AD 于点E ，则△CDE 的周长是(B )A ．7B ．10C ．11D ．12第12题图第13题图13．如图所示，直线a ∥b ，A 是直线a 上的一个定点，线段BC 在直线b 上移动，那么在移动过程中△ABC 的面积(C )A ．变大B ．变小C ．不变D ．无法确定 14．(2017·鹤岗)在▱ABCD 中，∠A 的平分线把BC 边分成长度是3和4的两部分，则▱ABCD 的周长是(C)A ．22B ．20C ．22或20D ．18 15．(2017·武汉)如图，在▱ABCD 中，∠D ＝100°，∠DAB 的平分线AE 交DC 于点E ，连接BE .若AE ＝AB ，则∠EBC 的度数为30°．第15题图第16题图16．如图，▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等，且∠BAD ＝60°，∠F ＝110°，则∠DAE 的度数为25°．17．如图，在▱ABCD 中，点P 是对角线BD 上的一个动点(点P 与点B 、点D 不重合)，过点P 作EF ∥BC ，GH ∥AB ，则图中面积始终相等的平行四边形有3 对． 18．(2016·温州)如图，E 是▱ABCD 的边CD 的中点，延长AE 交BC 的延长线于点F.(1)求证：△ADE ≌△FCE ；(2)若∠BAF ＝90°，BC ＝5，EF ＝3，求CD 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC.∴∠DAE ＝∠F ，∠D ＝∠ECF. ∵E 是CD 的中点， ∴DE ＝CE.在△ADE 和△FCE 中，⎩⎨⎧∠DAE ＝∠F ，∠D ＝∠ECF ，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△FCE(AAS )． (2)∵△ADE ≌△FCE ， ∴AE ＝EF ＝3. ∵AB ∥CD ，∴∠AED ＝∠BAF ＝90°. 在▱ABCD 中，AD ＝BC ＝5， ∴DE ＝AD 2－AE 2＝52－32＝4. ∴CD ＝2DE ＝8.03 综合题19．如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是CD 上一点，且AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA.(1)求∠APB 的度数；(2)如果AD ＝5 cm ，AP ＝8 cm ，求△APB 的周长．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥CB ，AB ∥CD ，AD ＝BC ，AB ＝DC. ∴∠DAB ＋∠CBA ＝180°.又∵AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ， ∴∠PAB ＋∠PBA ＝12(∠DAB ＋∠CBA)＝90°.∴∠APB ＝180°－(∠PAB ＋∠PBA)＝90°. (2)∵AP 平分∠DAB ，AB ∥CD ， ∴∠DAP ＝∠PAB ＝∠DPA. ∴AD ＝DP ＝5 cm .同理：PC ＝BC ＝AD ＝5 cm . ∴AB ＝DC ＝DP ＋PC ＝10 cm .在Rt △APB 中，AB ＝10 cm ，AP ＝8 cm ， ∴BP ＝102－82＝6(cm )．∴△APB 的周长为6＋8＋10＝24(cm )．第2课时平行四边形的对角线性质01 基础题知识点1 平行四边形的对角线互相平分1．如图，在▱ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，下列结论错误的是(C )A ．AB ∥CD B ．AB ＝CDC ．AC ＝BD D ．OA ＝OC第1题图第2题图2．(教材P 44T 1的变式)如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，已知AD ＝8，BD ＝12，AC ＝6，则△OBC 的周长为(B)A ．13B ．17C ．20D ．263．如图，在▱ABCD 中，已知∠ODA ＝90°，AC ＝10 cm ，BD ＝6 cm ，则AD 的长为(A )A ．4 cmB ．5 cmC ．6 cmD ．8 cm第3题图第4题图4．如图，▱ABCD 的周长为16 cm ，AC ，BD 相交于点O ，EO ⊥BD 交AD 于点E ，则△ABE 的周长为(C)A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm5．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AC ，BD 相交于点O.若AC ＝6，则线段AO 的长度等于3.6．在▱ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA 的取值范围是1＜OA ＜4．7．如图所示，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点M ，N 在对角线AC 上，且AM ＝CN ，求证：BM ∥DN.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD. ∵AM ＝CN ，∴OM ＝ON.在△BOM 和△DON 中，⎩⎨⎧OB ＝OD ，∠BOM ＝∠DON ，OM ＝ON ，∴△BOM ≌△DON(SAS )．∴∠OBM＝∠ODN.∴BM∥DN.知识点2平行四边形的面积8．如图，在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，若△AOD的面积是5，则▱ABCD的面积是(C) A．10 B．15C．20 D．25第8题图第9题图9．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若DO＝1.5 cm，AB＝5 cm，BC＝4 cm，则▱ABCD的面积为12cm2.02中档题10．如图，▱ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则▱ABCD的两条对角线的和是(C) A．18 B．28C．36 D．46第10题图第11题图11．如图，▱ABCD的对角线AC的长为10 cm，∠CAB＝30°，AB的长为6 cm，则▱ABCD的面积为(B) A．60 cm2B．30 cm2C．20 cm2D．16 cm212．(2017·眉山)如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE ＝1.5，则四边形EFCD的周长为(C)A．14 B．13 C．12 D．10第12题图第13题图13．如图，若▱ABCD的周长为22 cm，AC，BD相交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长小3 cm，则AD ＝4__cm，AB＝7__cm.14．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折，若点B的落点记为B′，则DB′15．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝25，且AO∶BO＝2∶3.(1)求AC 的长；(2)求▱ABCD 的面积．解：(1)∵AO ∶BO ＝2∶3， ∴设AO ＝2x ，BO ＝3x (x ＞0)．∵AC ⊥AB ，AB ＝25， ∴(2x)2＋(25)2＝(3x)2. 解得x ＝2. ∴AO ＝4.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AC ＝2AO ＝8. (2)∵S △ABC ＝12AB·AC＝12×25×8 ＝85，∴S ▱ABCD ＝2S △ABC ＝2×85＝16 5.16．(2016·本溪)如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF 过点O 且与AB ，CD 分别相交于点E ，F ，连接EC.(1)求证：OE ＝OF ；(2)若EF ⊥AC ，△BEC 的周长是10，求▱ABCD 的周长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OD ＝OB ，DC ∥AB. ∴∠FDO ＝∠EBO.在△DFO 和△BEO 中，⎩⎨⎧∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∠FOD ＝∠EOB ，∴△DFO ≌△BEO(ASA )． ∴OE ＝OF.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，OA ＝OC. ∵EF ⊥AC ，∴AE ＝CE. ∵△BEC 的周长是10，∴BC ＋BE ＋CE ＝BC ＋BE ＋AE ＝BC ＋AB ＝10. ∴C ▱ABCD ＝2(BC ＋AB)＝20.03综合题17．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上一动点，以P A，PC为边作▱P AQC，则对角线PQ长度的最小值为(D)A．6B．8C．2 2D．4 218.1.2平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定01基础题知识点1两组对边分别相等的四边形是平行四边形1．如图，AB＝CD＝EF，且△ACE≌△BDF，则图中平行四边形的个数为(C)A．1B．2C．3D．42．若四边形ABCD的边AB＝CD，BC＝DA，则这个四边形是平行四边形，理由是两组对边分别相等的四边形是平行四边形．知识点2两组对角分别相等的四边形是平行四边形3．下面给出四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD为平行四边形的是(B)A．1∶2∶3∶4 B．2∶3∶2∶3C．2∶2∶3∶3 D．1∶2∶2∶34．一个四边形的三个相邻内角的度数依次如下，那么其中是平行四边形的是(D)A．88°，108°，88°B．88°，104°，108°C．88°，92°，92°D．108°，72°，108°知识点3对角线互相平分的四边形是平行四边形5．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO＝CO，请添加一个条件BO＝DO(答案不唯一)(只添一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．6．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO.求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO.又∵AO＝CO，∴△ABO≌△CDO(AAS)．∴BO＝DO.∴四边形ABCD是平行四边形．7．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是OB ，OD 的中点，求证：四边形AECF 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD.∵点E ，F 分别是OB ，OD 的中点， ∴OE ＝12OB ，OF ＝12OD.∴OE ＝OF.又∵OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形．知识点4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形8．如图所示，四边形ABCD 和AEFD 都是平行四边形，则四边形BCFE 是平行四边形，理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．9．(2016·新疆)如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥AD 交BD 于点E ，CF ⊥BC 交BD 于点F ，且AE ＝CF.求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵AE ⊥AD ，CF ⊥BC ， ∴∠EAD ＝∠FCB ＝90°.∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CBF.在△AED 和△CFB 中，⎩⎨⎧∠ADE ＝∠CBF ，∠EAD ＝∠FCB ，AE ＝CF ，∴△AED ≌△CFB(AAS )． ∴AD ＝BC. 又∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．02 中档题10．小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC ，BD 的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD 就是平行四边形，这种方法的依据是(A )A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形11．(2016·衢州)已知直角坐标系内有四个点O(0，0)，A(3，0)，B(1，1)，C(x，1)，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝4或－2．12．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，点E，F在AC上，且AF＝CE.求证：四边形BEDF是平行四边形．证明：连接BD交AC于O，∵AB＝CD，BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AO＝CO，BO＝DO.∵AF＝CE，∴AF－AO＝CE－CO，即OF＝OE.又∵OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形．13．(2017·南京)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：OE＝OF.证明：连接BE，DF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵AE＝CF，∴DE＝BF.又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．∴OE＝OF.14．(2016·张家界)已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F.试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．解：四边形ABFC 是平行四边形．证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠CFE.∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE. 在△ABE 和△FCE 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠CFE ，∠AEB ＝∠FEC ，BE ＝CE ，∴△ABE ≌△FCE(AAS)．∴AB ＝CF .又∵AB ∥CF ，∴四边形ABFC 是平行四边形．03 综合题15．如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝24 cm ，BC ＝30 cm ，点P 从点A 向点D 以1 cm /s 的速度运动，到点D 即停止．点Q 从点C 向点B 以2 cm /s 的速度运动，到点B 即停止．直线PQ 将四边形ABCD 截成两个四边形，分别为四边形ABQP 和四边形PQCD ，则当P ，Q 两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？解：设当P ，Q 两点同时出发t s 后，四边形ABQP 或四边形PQCD 是平行四边形．根据题意，得AP ＝t cm ，PD ＝(24－t)cm ，CQ ＝2t cm ，BQ ＝(30－2t)cm (0≤t ≤15)． ①若四边形ABQP 是平行四边形， ∵AD ∥BC ，∴还需满足AP ＝BQ. ∴t ＝30－2t.解得t ＝10.∴10 s 后四边形ABQP 是平行四边形； ②若四边形PQCD 是平行四边形， ∵AD ∥BC ，∴还需满足PD ＝CQ.∴24－t ＝2t.解得t ＝8.∴8 s 后四边形PQCD 是平行四边形．综上所述：当P ，Q 两点同时出发8秒或10秒后，所截得两个四边形中其中一个四边形为平行四边形．第2课时三角形的中位线01基础题知识点三角形的中位线1．如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为(A)A．2 B．4C．6 D．82．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是(C) A．8 B．10C．12 D．14第2题图第3题图3．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C的度数为(C) A．50°B．60°C．70°D．80°4．(2016·梧州)如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E，F分别为AB，BC，AC中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是(B)A．5 B．7C．9 D．11第4题图第5题图5．如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝20 m，则A，B之间的距离是40m.6．(2017·怀化)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长为10cm.第6题图第7题图7．如图，CD是△ABC的中线，点E，F分别是AC，DC的中点，EF＝1，则BD＝2．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝8 cm，E，F分别为边AC，AB的中点．(1)求∠A的度数；(2)求EF的长．解：(1)∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∴∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.(2)在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AB ＝8 cm ， ∴BC ＝12AB ＝4 cm .∵E ，F 分别是AC ，AB 的中点， ∴EF 是△ABC 的中位线． ∴EF ＝12BC ＝2 cm .9．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为边AB ，BC ，CA 的中点．求证：四边形DECF 是平行四边形．证明：∵D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点， ∴DF ，DE 为△ABC 的中位线． ∴DF ∥BC ，DE ∥AC.∴四边形DECF 是平行四边形．02 中档题10．如图，点D ，E ，F 分别为△ABC 各边中点，下列说法正确的是(C )A ．DE ＝DFB ．EF ＝12ABC ．S △ABD ＝S △ACD D ．AD 平分∠BAC11．如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC ，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，量得EF ＝5米，他想把四边形BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是(C )A ．15米B ．20米C ．25米D ．30米第11题图第12题图12．(2016·陕西)如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝8，BC ＝6.若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为(B)A ．7B ．8C ．9D ．1013．如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，点E 是AD 的中点，△BCD 的周长为18，则△DEO 的周长是9．第13题图第14题图14．如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD ＝BC ，∠PEF ＝18°，则∠PFE 的度数是18°．15．如图，四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，顺次连接E ，F ，G ，H ，得到的四边形EFGH 叫中点四边形．求证：四边形EFGH 是平行四边形．证明：连接BD.∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴EH 是△ABD 的中位线． ∴EH ＝12BD ，EH ∥BD.同理FG ＝12BD ，FG ∥BD.∴EH ＝FG ，EH ∥FG.∴四边形EFGH 是平行四边形．16．如图，在▱ABCD 中，点O 是对角线AC ，BD 的交点，点E 是边CD 的中点，点F 在BC 的延长线上，且CF ＝12BC ，求证：四边形OCFE 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴点O 是BD 的中点．又∵点E 是边CD 的中点， ∴OE 是△BCD 的中位线． ∴OE ∥BC ，且OE ＝12BC.又∵CF ＝12BC ，∴OE ＝CF.又∵点F 在BC 的延长线上，∴OE ∥CF.∴四边形OCFE 是平行四边形．03 综合题17．如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD ，AE 分别为△ABC 的中线和角平分线，过点C 作CH ⊥AE 于点H ，并延长交AB 于点F ，连接DH ，求线段DH 的长．解：∵AE 为△ABC 的角平分线， ∴∠FAH ＝∠CAH. ∵CH ⊥AE ，∴∠AHF ＝∠AHC ＝90°. 在△AHF 和△AHC 中，⎩⎨⎧∠FAH ＝∠CAH ，AH ＝AH ，∠AHF ＝∠AHC ，∴△AHF ≌△AHC(ASA )． ∴AF ＝AC ，HF ＝HC. ∵AC ＝3，AB ＝5，∴AF ＝AC ＝3，BF ＝AB －AF ＝5－3＝2. ∵AD 为△ABC 的中线， ∴DH 是△BCF 的中位线． ∴DH ＝12BF ＝1.小专题(三) 平行四边形的证明思路类型1 若已知条件出现在四边形的边上，则考虑：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形1．如图，在▱ABCD 中，点E 在AB 的延长线上，且EC ∥BD.求证：四边形BECD 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，即BE ∥DC. 又∵EC ∥BD ，∴四边形BECD 是平行四边形．2．如图，已知：AB ∥CD ，BE ⊥AD ，垂足为点E ，CF ⊥AD ，垂足为点F ，并且AE ＝DF.求证：(1)BE ＝CF ；(2)四边形BECF 是平行四边形．证明：(1)∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ， ∴∠AEB ＝∠DFC ＝90°. ∵AB ∥CD ，∴∠A ＝∠D . 在△AEB 和△DFC 中，⎩⎨⎧∠AEB ＝∠DFC ，AE ＝DF ，∠A ＝∠D ，∴△AEB ≌△DFC (ASA)． ∴BE ＝CF .(2)∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ， ∴BE ∥CF . 又∵BE ＝CF ，∴四边形BECF 是平行四边形．3．如图，在▱ABCD 中，分别以AD ，BC 为边向内作等边△ADE 和等边△BCF ，连接BE ，DF.求证：四边形BEDF 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ＝AB ，AD ＝CB ，∠DAB ＝∠BCD. 又∵△ADE 和△BCF 都是等边三角形，∴DE ＝AD ＝AE ，CF ＝BF ＝BC ，∠DAE ＝∠BCF ＝60°.∴BF ＝DE ，CF ＝AE ，∠DCF ＝∠BCD －∠BCF ，∠BAE ＝∠DAB －∠DAE ，即∠DCF ＝∠BAE. 在△DCF 和△BAE 中，⎩⎨⎧CD ＝AB ，∠DCF ＝∠BAE ，CF ＝AE ，∴△DCF ≌△BAE(SAS )． ∴DF ＝BE. 又∵BF ＝DE ，∴四边形BEDF 是平行四边形．4．(2016·钦州)如图，DE 是△ABC 的中位线，延长DE 到F ，使EF ＝DE ，连接BF.求证：(1)BF ＝DC ；(2)四边形ABFD 是平行四边形．证明：(1)∵DE 是△ABC 的中位线， ∴CE ＝BE.在△DEC 和△FEB 中，⎩⎨⎧CE ＝BE ，∠CED ＝∠BEF ，DE ＝FE ，∴△DEC ≌△FEB(SAS )． ∴BF ＝DC.(2)∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥AB ，且DE ＝12AB.又∵EF ＝DE ， ∴DE ＝12DF.∴DF ＝AB. 又∵DF ∥AB ，∴四边形ABFD 是平行四边形．5．如图，已知D ，E ，F 分别在△ABC 的边BC ，AB ，AC 上，且DE ∥AF ，DE ＝AF ，将FD 延长到点G ，使FG＝2DF，连接AG，则ED与AG互相平分吗？请说明理由．解：ED与AG互相平分．理由：连接EG，AD.∵DE∥AF，DE＝AF，∴四边形AEDF是平行四边形．∴AE∥DF，AE＝DF.又∵FG＝2DF，∴DG＝DF.∴AE＝DG.又∵AE∥DG，∴四边形AEGD是平行四边形．∴ED与AG互相平分.类型2若已知条件出现在四边形的角上，则考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°.∵∠A＝∠C，∴∠B＝∠D.∴四边形ABCD是平行四边形．类型3若已知条件出现在对角线上，则考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”7．如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O ，分别与AB ，CD 的延长线交于点E ，F.求证：四边形AECF 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OD ＝OB ，OA ＝OC ，AB ∥CD. ∴∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO. 在△FDO 和△EBO 中，⎩⎨⎧∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∴△FDO ≌△EBO(AAS)． ∴OF ＝OE . 又∵OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形．8．如图，▱ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O ，与AD ，BC 分别相交于点E ，F ，GH 过点O ，与AB ，CD 分别相交于点G ，H ，连接EG ，FG ，FH ，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥BC.∴∠EAO ＝∠FCO. ∵O 为AC 的中点， ∴OA ＝OC.在△OAE 和△OCF 中，⎩⎨⎧∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△OAE ≌△OCF(ASA )． ∴OE ＝OF.同理可证得OG ＝OH.∴四边形EGFH 是平行四边形．周周练(18.1)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题 4分，共32分)1．下面的性质中，平行四边形不一定具有的是(A )A ．对角互补B ．邻角互补C ．对角相等D ．对边相等2．平行四边形的周长为24 cm ，相邻两边的差为2 cm ，则平行四边形的各边长为(B )A ．4 cm ，8 cm ，4 cm ，8 cmB ．5 cm ，7 cm ，5 cm ，7 cmC ．5.5 cm ，6.5 cm ，5.5 cm ，6.5 cmD ．3 cm ，9 cm ，3 cm ，9 cm3．下列说法错误的是(D)A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 4．(2017·丽水)如图，在▱ABCD 中，连接AC ，∠B ＝∠CAD ＝45°，AB ＝2，则BC 的长是(C)A. 2B ．2C ．2 2D ．4第4题图第5题图5．(2016·株洲)如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC ，BD 交于点O ，E 是BC 的中点，以下说法错误的是(D)A ．OE ＝12DCB ．OA ＝OCC ．∠BOE ＝∠OBAD ．∠OBE ＝∠OCE6．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点E ，∠CBD ＝90°，BC ＝4，BE ＝ED ＝3，AC ＝10，则四边形ABCD 的面积为(D )A ．6B ．12C ．20D ．247．在▱ABCD 中，AD ＝8，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，DF 平分∠ADC 交BC 于点F ，且EF ＝2，则AB 的长为(D)A ．3B ．5C ．2或3D ．3或58．如图，点A ，B 为定点，定直线l ∥AB ，P 是l 上一动点，点M ，N 分别为PA ，PB 的中点，对下列各值：①线段MN 的长；②△PAB 的周长；③△PMN 的面积；④直线MN ，AB 之间的距离；⑤∠APB 的大小．其中会随点P 的移动而变化的是(B )A．②③B．②⑤C．①③④D．④⑤二、填空题(每小题4分，共24分)9．如图所示，在▱ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有4个平行四边形．第9题图第10题图10．(2016·江西)如图所示，在▱ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为50°．11．(2016·河南)如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数是110°．12．在▱ABCD中，AB，BC，CD的长度分别为2x＋1，3x，x＋4，则▱ABCD的周长是32．13．如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件答案不唯一，如：AB＝CD(写一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．第13题图第14题图14．(2017·河池)如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD＝5，DE＝6，则AG的长是8．三、解答题(共44分)15．(10分)(2017·山西)已知：如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF.连接EF，与对角线AC交于点O.求证：OE＝OF.证明：证法一：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵BE＝DF，∴AB＋BE＝CD＋DF，即AE＝CF.∵AB∥CD，∴AE∥CF.∴∠E＝∠F.又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(AAS)．∴OE＝OF.证法二：连接AF，CE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD.∵BE ＝DF ，∴AB ＋BE ＝CD ＋DF ，即AE ＝CF. ∵AB ∥CD ，∴AE ∥CF.∴四边形AECF 是平行四边形．∴OE ＝OF.16．(10分)(2016·黄冈)如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，对角线AC 分别交BE ，DF 于点G ，H.求证：AG ＝CH.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC.∴∠HCF ＝∠GAE.又∵E ，F 分别是边AD ，BC 的中点， ∴AE ＝FC ，DE ＝BF.又∵DE ∥BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形． ∴∠BED ＝∠BFD.∴∠AEG ＝∠CFH. 在△AGE 和△CHF 中，⎩⎨⎧∠GAE ＝∠HCF ，AE ＝CF ，∠AEG ＝∠CFH ，∴△AGE ≌△CHF(ASA )．∴AG ＝CH.17．(12分)已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E ，F ，G 分别是AD ，BC ，BD 的中点，GH 平分∠EGF 交EF 于点H.(1)猜想：GH 与EF 间的关系是GH 垂直平分EF ； (2)证明你的猜想．证明：∵E ，G 分别是AD ，BD 的中点， ∴EG ＝12AB.∵F ，G 分别是BC ，BD 的中点， ∴GF ＝12CD.∵AB ＝CD ， ∴EG ＝GF.又∵GH 平分∠EGF ， ∴GH 垂直平分EF.18．(12分)如图1，在▱ABCD 中，∠ABC ，∠ADC 的平分线分别交AD ，BC 于点E ，F.(1)求证：四边形EBFD 是平行四边形； (2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索．连接AF ，CE ，分别交BE ，FD 于点G ，H ，得到四边形EGFH.此时，他猜想四边形EGFH 是平行四边形，请在框图(图2)中补全他的证明思路．图1小明的证明思路由(1)可知BE ∥DF ，要证明四边形EGFH 是平行四边形，只需证GF ∥EH ．由(1)可证ED ＝BF ，则AE ＝FC ，又由AE ∥CF ，故四边形AFCE 是平行四边形，从而可证得四边形EGFH 是平行四边形．图2证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∠ABC ＝∠ADC ，AD ＝BC. ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠EBC ＝12∠ABC.∵DF 平分∠ADC ，∴∠ADF ＝∠CDF ＝12∠ADC.∴∠EBC ＝∠ADF.∵AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠EBC. ∴∠AEB ＝∠ADF. ∴EB ∥DF. 又∵ED ∥BF ，∴四边形EBFD 是平行四边形．18.2特殊的平行四边形18．2.1矩形第1课时矩形的性质01基础题知识点1矩形的性质1．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是(C)A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对边平行2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是(D)A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OB D．OA＝AD第2题图第3题图3．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是(C) A．8 B．6 C．4 D．24．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为(B) A．30°B．60°C．90°D．120°第4题图第5题图5．(2017·怀化)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6 cm，则AB的长是(A)A．3 cm B．6 cmC．10 cm D．12 cm6．如果矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，那么这个矩形的另一边长是8．7．如图，已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO＝1，则BD＝2．第7题图第8题图8．(2016·昆明)如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形EFGH的面积是24．9．(2016·岳阳)已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF.求证：BF＝CD.证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠C＝90°.∴∠BFE＋∠BEF＝90°.∵EF ⊥DF ，∴∠DFE ＝90°.∴∠BFE ＋∠CFD ＝90°. ∴∠BEF ＝∠CFD .在△BEF 和△CFD 中，⎩⎨⎧∠BEF ＝∠CFD ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，∴△BEF ≌△CFD (ASA)．∴BF ＝CD .知识点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半10．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10 cm ，D 为AB 的中点，则CD ＝5cm .第10题图第11题图11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，若CD ＝5 cm ，则EF ＝5cm .12．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，AH 是高，如果ED ＝5 cm ，求HF 的长.解：由题意得：DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ＝12AC .∵HF 是Rt △AHC 的斜边AC 的中线， ∴HF ＝12AC .∴HF ＝DE ＝5 cm.02 中档题 13．(2016·荆门)如图，在矩形ABCD 中(AD>AB)，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是(B)A ．△AFD ≌△DCEB ．AF ＝12ADC ．AB ＝AFD ．BE ＝AD －DF第13题图第14题图14．(2016·绵阳)如图，▱ABCD 的周长是26 cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，AC ⊥AB ，E 是BC 中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，则AE 的长度为(B)A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．8 cm15．如图，已知在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，若∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，则∠EAC 的度数是(C )A ．18°B ．36°C ．45°D ．72°第15题图第16题图16．(2016·宜宾)如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，矩形的两条边AB ，BC 的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是(A )A ．4.8B ．5C ．6D ．7.2 17．(2017·广西四市同城)如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 在BD 上，BE ＝DF.(1)求证：AE ＝CF ；(2)若AB ＝6，∠COD ＝60°，求矩形ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，∠ABC ＝90°. ∵BE ＝DF ，∴OE ＝OF . 在△AOE 和△COF 中，⎩⎨⎧OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，OE ＝OF ，∴△AOE ≌△COF (SAS)． ∴AE ＝CF .(2)∵OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，∴OA ＝OB . ∵∠AOB ＝∠COD ＝60°， ∴△AOB 是等边三角形．∴OA ＝AB ＝6.∴AC ＝2OA ＝12.在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝63，∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝6×63＝36 3.18．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，延长CB 到点E ，使BE ＝BC ，连接AE.求证：(1)四边形ADBE 是平行四边形；(2)若AB ＝4，OB ＝52，求四边形ADBE 的周长．证明：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD＝BC.又∵BE＝BC，且点C，B，E在一条直线上，∴AD∥BE，AD＝BE.∴四边形ADBE是平行四边形．(2)∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°，OB＝OD.∴BD＝2OB＝5.在Rt△BAD中，AD＝52－42＝3.又∵四边形ADBE为平行四边形，∴BE＝AD＝3，AE＝BD＝5.03综合题19．如图，将长8 cm，宽4 cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，则折痕EF的长为.习题解析第2课时矩形的判定01基础题知识点1有一个角是直角的平行四边形是矩形1．下列说法正确的是(D)A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形B．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形C．对角线互相平分的四边形是矩形D．对角互补的平行四边形是矩形2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形，求证：四边形ADBE 是矩形．解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.又∵四边形ADBE是平行四边形，∴四边形ADBE是矩形．3．(2016·内江)如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.(1)求证：D是BC的中点；(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．解：(1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCB.又∵∠AEF＝∠DEC，AE＝DE，∴△AEF≌△DEC(AAS)．∴AF＝DC.又∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中点．(2)四边形AFBD是矩形．证明：∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.∴四边形AFBD是矩形．知识点2对角线相等的平行四边形是矩形4．能判断四边形是矩形的条件是(C)A．两条对角线互相平分B．两条对角线相等C．两条对角线互相平分且相等D．两条对角线互相垂直5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD.试添加一个条件答案不唯一，如：AB ∥CD ，使四边形ABCD 为矩形．6．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，点E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，请问四边形EFGH 是矩形吗？请说明理由．解：四边形EFGH 是矩形．理由：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO.∴AO ＝CO ＝BO ＝DO.∵点E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点， ∴EO ＝FO ＝GO ＝HO.∴OE ＝OG ，OF ＝OH. ∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵EO ＋GO ＝FO ＋HO ，即EG ＝FH ，∴四边形EFGH 是矩形．知识点3 有三个角是直角的四边形是矩形7．已知O 为四边形ABCD 对角线的交点，下列条件能使四边形ABCD 成为矩形的是(D )A ．OA ＝OC ，OB ＝OD B ．AC ＝BD C ．AC ⊥BDD ．∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝90°8．已知：如图，在▱ABCD 中，AF ，BH ，CH ，DF 分别是∠BAD ，∠ABC ，∠BCD ，∠ADC 的平分线．求证：四边形EFGH 为矩形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠DAB ＋∠ADC ＝180°.∵AF ，DF 分别平分∠DAB ，∠ADC ， ∴∠FAD ＝∠BAF ＝12∠DAB ，∠ADF ＝∠CDF ＝12∠ADC.∴∠FAD ＋∠ADF ＝90°.∴∠AFD ＝90°. 同理可得：∠BHC ＝∠HEF ＝90°. ∴四边形EFGH 是矩形． 02 中档题9．以下条件不能判定四边形ABCD 是矩形的是(D )A．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°B．OA＝OB＝OC＝ODC．AB＝CD，AB∥CD，AC＝BDD．AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD10．(2016·菏泽)在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论：①AC＝5；②∠A＋∠C ＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD，正确的有(B)A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④11．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是(A)A．2 3 B．3 3C．4 D．4 3第11题图第12题图12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD 的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．13．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且FC＝AB，E为AD上一点，EC交AF于点G.(1)求证：四边形ABCF是矩形；(2)若ED＝EC，求证：EA＝EG.证明：(1)∵AB∥DC，FC＝AB，∴四边形ABCF是平行四边形．又∵∠B＝90°，∴四边形ABCF是矩形．(2)∵四边形ABCF是矩形，∴∠AFC＝∠AFD＝90°.∴∠DAF＝90°－∠D，∠CGF＝90°－∠ECD.∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD.∴∠DAF＝∠CGF.又∵∠EGA＝∠CGF，∴∠DAF＝∠EGA.∴EA＝EG.14．如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接BD，DE，EC，DE交BC于点O.(1)求证：△ABD≌△BEC；(2)若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．证明：(1)∵在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，AD ∥CB ， ∴∠A ＝∠EBC.在△ABD 和△BEC 中，⎩⎨⎧AB ＝BE ，∠A ＝∠EBC ，AD ＝BC ，∴△ABD ≌△BEC(SAS )．(2)∵在▱ABCD 中，AB ∥ CD ，且AB ＝BE ， BE ∥CD.∴四边形BECD 为平行四边形． ∴OB ＝12BC ，OE ＝12ED.∵∠BOD ＝2∠A ＝2∠EBC ，且∠BOD ＝∠EBC ＋∠BEO ，∴∠EBC ＝∠BEO.∴OB ＝OE.∴BC ＝ED. ∴四边形BECD 是矩形．03 综合题15．如图，在△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN ∥BC.设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F.(1)求证：OE ＝OF ；(2)若CE ＝12，CF ＝5，求OC 的长；(3)当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．视频讲解解：(1)证明：∵CF 平分∠ACD ，且MN ∥BD ， ∴∠ACF ＝∠FCD ＝∠CFO. ∴OF ＝OC.同理可证：OC ＝OE. ∴OE ＝OF.(2)由(1)，知∠OCF ＝∠OFC ，∠OCE ＝∠OEC ， ∴∠OCF ＋∠OCE ＝∠OFC ＋∠OEC.∵(∠OCF ＋∠OCE)＋(∠OFC ＋∠OEC)＝180°， ∴∠ECF ＝∠OCF ＋∠OCE ＝90°. ∴EF ＝CE 2＋CF 2＝122＋52＝13. 又∵OE ＝OF ， ∴OC ＝12EF ＝132.(3)当点O 移动到AC 中点时，四边形AECF 为矩形．理由：连接AE ，AF.当点O 移动到AC 中点时，OA ＝OC ，。

18.1平行四边形的性质(原卷版)

【变式21】在▱ABCD中（如图），连接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，则∠BCD＝（）
A．80°B．100°C．120°D．140°
【变式22】如图，在▱ABCD中，AE⊥CD于点E，∠B＝60°，则∠DAE等于（）
A．15°B．25°C．30°D．65°
【变式23】如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，∠DEC＝30°，则∠A的度数为（）
【变式35】（2021春•靖远县期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于F，交DC的延长线于E，过点B作BG⊥AE于点G．
（1）求证：AG＝FG；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由；
（3）若AB＝10，AD＝15，BG＝8，求四边形ABCD的面积．
【例题4】（2023•雁塔区校级一模）如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，连接AB、AC、ED．若AE＝AB，求证：AC＝DE．
◆3、对角线：平行四边形的对角线互相平分．
几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，BO=OD
◆1、定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
◆2、两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
◆3、如果有两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.
【变式54】（2022春•顺平县期末）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为5cm，b与c间的距离为2cm，则a与c间的距离为（）cm．
A．3B．7C．3或7D．2或3
【变式55】（2021秋•新罗区校级月考）如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝1.5，则两平行线AB、CD间的距离等于．