江西财经大学历年微积分2试题

江西财经大学06-07学年第二学期期末考试试卷试卷代码：03034A 授课课时：64 课程名称：微积分Ⅱ 适用对象：2006级试卷命题人 邹玉仁 试卷审核人 王平平一、填空题（将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题3分，共15分.）1.若c x g dx x f +=⎰)()(，则=⎰dx x xf )(cos sin .2.极限=⎰→xtdt x x 020cos lim .3.已知xy z =而)tan(t s x +=，)cot(t s y +=则=∂∂sz . 4.设{}10,10),(≤≤≤≤=y x y x D 则=⎰⎰Dxy d xe σ.5.微分方程02=+''y y 的通解为.二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.） 1.设⎰=+21xdx .A. c x +arctanB. c x x +++)1ln(2C. c x ++212D. c x ++)1ln(212.2.下列积分值为0的是.A. ⎰+∞+0211dx x B. ⎰-1121dx xC. ⎰-++ππdx x xx)cos 1sin (2 D. ⎰--1121dx x . 3.函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微的充分条件是函数在该点处.A.有极限B.连续C.偏导数存在D.有连续的偏导数. 4. =⎰⎰100),(xdy y x f dx .A. ⎰⎰1010),(dx y x f dyB. ⎰⎰y dx y x f dy 010),( C. ⎰⎰100),(ydx y x f dy D. ⎰⎰101),(ydx y x f dy .5.下列级数收敛的是.A ．∑∞=-+-12123n n n n B. nn nn ∑∞=+1)1(C ． ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1)32(1n n nD. ∑∞=1!n n n n .三、（计算题请写出主要步骤及结果，每小题6分，共18分.） 1. ⎰dx e x x 2 2. ⎰+41)1(x x dx 3.请给出第七章（定积分）的知识小结.四、（请写出主要计算步骤及结果，6分.） 已知方程z x e z xy +=+ 确定函数),(y x z z = 求dz . 五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 求⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22,其中D 为圆周122=+y x 围成的区域.六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 求初值问题的解⎩⎨⎧=+==0)2(0x y dx y x dy 七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 求幂级数∑∞=-0)1(n nnnx的收敛半径，收敛区间.并求∑∞=03n nn的和.八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求由2x y =与2y x =所围成的平面图形的面积，并求此平面图形分别绕x 轴，y 轴旋转所成的体积.九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果，8分.）某厂生产某种产品的生产函数为y x Q 2005.0=，若甲、乙两种原料的单价分别为1万元和5万元，现用150万元购原料，求两种原料各购多少时，能使生产量最大？最大生产量为多少？十、证明题（请写出推理步骤及结果，6分.）设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且有M x f ≤'(及0)(=a f ，试证：⎰-≥b adxx f b a M )()(22江西财经大学06-07学年第二学期期末考试试卷答案和评分标准试卷代码：03034A 授课课时：64 课程名称：微积分Ⅱ 适用对象：2006级试卷命题人 邹玉仁 试卷审核人 王平平一、1.c x g +-)(cos 2.1 3.)(csc )tan()cot()(sec 22t s t s t s t s ++-++ 4.2-e 5.x c x c y 2sin 2cos21+=二、1 2 3 4 5三、1. c e xe e x dxe xe e x xde e x dx xe e x de x dx e x xx x x x x x x x x x x ++-=+-=-=-==⎰⎰⎰⎰⎰2222222222222. x t =2t x =⎰⎰⎰=-=+=+-=+=+41212121234ln 221ln 232ln 21ln 2)111(2)1(2)1(t t dt t t t t tdt x x dx四、z x e z xy z y x F +-+=),,(z x x e y F +-= x F y = z x z e F +-=111-+--=---=-=∂∂++z xy zxy y e e y F F x z zx z x Z x 11-+=--=-=∂∂+z xy xex F F y z zx Z y dy z xy xdx z xy z xy y dy y z dx x z dz 11-++-+--=∂∂+∂∂=五、⎰⎰⎰⎰+=++Drdr r d d y x 1022022)1ln()1ln(πθσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=+=⎰⎰⎰1022210221022201)1ln()1ln(21dr r r r r dr r d πθπ 1021021022)1ln(2ln )111ln(2ln r r dr r ++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰ππππ )12ln 2(2ln 22ln 2ln -=-=+-=ππππππ六、x y y 2=-'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰=⎰---c dx xe e y dxdx f )1()1(2 []c dx xe e x x +=⎰-2[][]⎰⎰++-=+-=---c dx e xe e c xde e x x x x x 222x ce x +--=22因为00==x y 所以c =2 所求特解为)1(2--=x e y x 七、111=+==+n na a R n n 当1±=x 时 ∑±n n )1(发散 收敛区间为)1,1(- 设∑∑∞=-∞===010)(n n n nnx x nxx S设∑∞=-=01)(n n nx x T则xx xdx nxdx x T n n x n n x n n x-====∑∑⎰∑⎰∞=∞=∞=-11)(00010 2)1(1)(x x T -=所以2)1()()(x x x xT x S -==31=x 时 439431)311(31)31(320==-==∑∞=S n n n八、31)(102=-=⎰dx x x S ()dx x x V x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10222)(π π103=()ππ103)(10222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰dy y y V y 九、解 )1502(005.0),,(2-++=y x y x y x F λλ 0001.0=+=λxy F x02005.02=+=λx F y ⎩⎨⎧==⇒25100y x01502=-+=y x F λ==25*100*005.02Q 十、b a a x f a f x f x f <<-'=-=ξξ))(()()()(Mx f ≤')()()(a x M x f -≤22)(212)()()(a b M a x M dx a x M dx x f baba b a-=-⋅=-≤⎰⎰dx x f dx x f b ab a⎰⎰≥)()(2)(2)(a b Mdx x f b a-≤⎰dxx f b a M b a⎰-≥)()(22江西财经大学07-08学年第二学期期末考试试卷试卷代码：03034A 授课课时：64 课程名称：微积分Ⅱ 适用对象：2007级试卷命题人 邹玉仁 试卷审核人 王平平一、填空题（将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题3分，共15分.）1.已知cos()z xy =，而()y x ϕ=可导,则dz dx=.2.若2()1f x xdx c x x=++⎰,则()f x =. 3p 时，广义积分22111(1)p dx x --⎰发散. 4.若20cos (1),(,)(2)!nnn x x x n ∞==-∈-∞+∞∑,则函数2sin x 的麦克劳林级数等于. 5.微分方程0y ay y '''+-=的通解为12x x y c e c e -=+，则a =.二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.）1.设xy z xe =，则'x z .A.xy xyeB.xy e x 2C.xy eD.xy e xy )1(+ . 2=⎰.x c + B. c +c +3x c +.3.下列结论正确的个数是.（1）112300x dx x dx <⎰⎰ （2）22211x e e dx e ---<<⎰（3）cos 0x xdx ππ-=⎰ （4）2221[sin ]2sin x t dt x x '=⎰ A.0 B.1 C.2 D.3. 4.1200(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ=⎰⎰ .A. 1100(,)dy f x y dx ⎰⎰B. 100(,)dx f x y dy ⎰⎰C. 1100(,)dx f x y dy ⎰⎰D. 100(,)dy f x y dx ⎰⎰.5.微分方程1y y '-=的通解是.A ．x y ce = B. 1x y ce =+ C ．1x y ce =- D. (1)x y c e =+.三、（请写出主要计算步骤及结果，每小题8分，共16分.） 1. arctan x xdx ⎰ 2. 41⎰四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 已知方程sin xy x z yz += 确定函数(,)z f x y =，求dz .五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求2()Dx y d σ-⎰⎰,其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =围成的区域.六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求由y =与3y x =所围成的平面图形的面积，并求此平面图形绕x 轴旋转所形成的立体的体积.七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）判断级数n ∞=的敛散性.八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求幂级数1(1)nn n e x n∞=-∑的收敛半径，收敛区间.九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 某工厂生产A 、B 两种产品，单位成本分别为2元和14元，需求量分别为1Q 件和2Q 件，价格分别为1P 元和2P 元，且满足关系式1214()Q P P =-，2128048Q P P =+-，试求A 、B 两种产品的价格1P ，2P ，使该厂总利润最大（要求利用极值的充分条件）.十、证明题（请写出推理步骤及结果，6分.） 设)(x f 为连续函数，试证：()()(())x xtf t x t dt f u du dt -=⎰⎰⎰.江西财经大学07-08学年第二学期期末考试试卷答案和评分标准试卷代码：03034A 授课课时：64 课程名称：微积分Ⅱ 适用对象：2007级试卷命题人 邹玉仁 试卷审核人 王平平一、填空题（每小题3分，共15分）1.sin[()][()()]x x x x x ϕϕϕ'-+2. 21x x ⎛⎫⎪+⎝⎭3.1p ≥4.()()1212121,(2)!n n n n x x n --∞=-∈-∞+∞∑ 5.0二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1 2 3 4 5三、（请写出主要计算步骤及结果，每小题8分，共16分.）1.2222222221arctan arctan (1211arctan (32211111arctan (5221111arctan arctan 22211(1)arctan (822x xdx xdx x x x dx x x x x dx x x x x x c x x x c ==-++-=-+=-++=+-+⎰⎰⎰⎰分）分）分）分）2.44114141(2(42ln(1(632ln(82===+=⎰⎰⎰分）分）分）分）.四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）sin (1sin cos (4sin (5cos (6cos sin (8cos cos x y z x z y z F xy x z yz F y z F x z F x z y F z y z x F x z yF z x z y F x z y y z x zdz dx dyx z y x z y=+-'''=+=-=-'∂+=-='∂-'∂-=-='∂-+-=+--分），，分）分）分）分）五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 图(1分）222022220222303420()()(31()(5231()(68211()(7881(8yy Dy y x y d dy x y dx x xy dyy y dy y y σ-=-=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰分）分）分）分）分）六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）图(1分）130341201260)(321()(4345(512](75(814x S x dxx x V x dx ππ=-=-==-=⎰⎰分）分）分）分）分）七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）1(4n =分）由比较判别法的极限形式知级数3121,n n n∞∞==∑敛散性相同，因为3121,n n∞=∑所以0n ∞=收敛。