同角三角函数的基本关系式学案
同角三角函数的基本关系导学案
同角三角函数的基本关系教学目标：1、知识目标:把握同角三角函数的基本关系式;2、能力目标:能用同角三角函数的基本关系式化简或证明三角函数的恒等式;3、情感价值观:通过小组探究合作,体验观察、分析、归纳等数学学习中的基本方法;体验发现规律、运用规律的过程;通过学生自己归纳总结,提高学习兴趣和自信心。
学情分析：1、学生在初中已学习过直角三角形中的三角函数,会求一些特殊角的函数值,这为本节课开头的探讨提供了基础。
2、本班大部分学生学习基础和计算能力一般,而且对新概念的归纳总结能力还有待进一步培养和提高,所以在小组探究时要给予必要的引导。
重点难点：重点:三角函数式的化简或证明;难点:同角三角函数基本关系式的变用、活用、倒用。
一、同一角的三角函数之间存在如下关系：1. 平方关系:2.商数关系:二、公式变形： ①22sin cos 1αα+=cos α=22cos 1sin αα=-a a a cos sin tan=sin α=22sin 1cos αα=-()()1cos sin 22=+a a②aa a cos sin tan =,tan cos sin a a a =.tan sin cos a a a = 的值。
是第三象限角，求，已知例αααtan ,cos 53sin .1a -=的值。
求变式：已知αααtan ,cos ,53sin -=例2，已知tana=2，且a 是第三象限角，求sina ，cosa 的值。
αααααcos sin cos sin ,2tan 3-+=求、已知例变式、已知tana=2,求αααα22cos sin cos sin -变式、已知tana=2,求变式、已知tana=2,求方法总结若已知sina 或cosa,先通过平方关系得出另外一个三角函数值,再用商数关系求得tana ；若已知tana,先通过商数关系确定sina 与cosa 的联系,再用平方关系与其组成方程组,解方程组即可。
同角三角函数的基本关系 学案
5．2.2 同角三角函数的基本关系[目标] 1.记住并能推导同角三角函数基本关系式；2.能够利用同角三角函数基本关系式进行求值、化简和证明．[重点] 同角三角函数关系式的应用． [难点] 同角三角函数关系式的推导及应用．知识点一 同角三角函数基本关系式[填一填](1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α，其中α≠k π＋π2(k ∈Z )．[答一答]1．同角三角函数基本关系中，角α是否是任意角？提示：平方关系中的角α是任意角，商数关系中的角α并非任意角，α≠k π＋π2，k ∈Z .2．这里的“同角”是什么含义？提示：这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin 23α＋cos 23α＝1成立，但是sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立．3．下列四个结论中可能成立的是( B ) A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α是第二象限角时，tan α＝－sin αcos α[解析] (1)∵sin 2α＋cos 2α＝1，sin α＝－513，∴cos α＝±1－sin 2α＝±1－⎝⎛⎭⎫－5132＝±1213. 又∵α是第四象限角，∴cos α>0，∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512.(2)解：∵cos α＝－35<0，∴α是第二或第三象限角．当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45，tan α＝sin αcos α＝－43； 当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45， tan α＝sin αcos α＝43.[答案] (1)D (2)见解析已知角α的某种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择；若角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所在的象限不确定，应分类讨论，有两组结果.[变式训练1] 已知tan α＝2，则cos α＝±55.解析：由tan α＝sin αcos α＝2得，sin α＝2cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴4cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝15，∴cos α＝±55.类型二 整体代入，化切求值 [例2] 设tan α＝2，求下列各式的值： (1)1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α； (2)2sin 2α－3sin αcos α＋5cos 2α. [解] 因为tan α＝2≠0，所以(1)1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝tan 2α＋1＋2tan αtan 2α－1＝22＋1＋2×222－1＝93＝3.(2)2sin 2α－3sin αcos α＋5cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos α＋5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋5tan 2α＋1＝2×4－3×2＋54＋1＝75.[变式训练2] 已知tan α＝3，求下列各式的值： (1)cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α； (2)1sin αcos α； (3)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α.解：(1)cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α＝1－tan α1＋tan α＋1＋tan α1－tan α＝1－31＋3＋1＋31－3＝－52.(2)1sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝tan 2α＋1tan α＝103. (3)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α＝sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan α＋4tan 2α＋1＝9－6＋49＋1＝710. 类型三 三角函数式的化简 [例3] 化简下列各式： (1)1－2sin130°cos130°sin130°＋1－sin 2130°； (2)sin 2αtan α＋2sin αcos α＋cos 2αtan α. [分析] (1)中含有根号，运用三角函数平方关系将被开方式化为平方形式去根号；(2)观察式子中有正切，从而利用切化弦的思路进行变形．[解] (1)原式＝sin 2130°－2sin130°cos130°＋cos 2130°sin130°＋cos 2130°＝|sin130°－cos130°|sin130°＋|cos130°|＝sin130°－cos130°sin130°－cos130°＝1. (2)原式＝sin 2α·sin αcos α＋2sin αcos α＋cos 2α·cos αsin α＝sin 4α＋2sin 2αcos 2α＋cos 4αcos αsin α＝(sin 2α＋cos 2α)2sin αcos α＝1sin αcos α.化简三角函数式常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.[变式训练3] 化简下列各式： (1)2sin 2α－11－2cos 2α； (2)sin 2α－sin 4α(其中α是第二象限角)．解：(1)2sin 2α－11－2cos 2α＝2sin 2α－(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α＋cos 2α)－2cos 2α＝sin 2α－cos 2αsin 2α－cos 2α＝1.(2)sin 2α－sin 4α＝sin 2α(1－sin 2α)＝sin 2αcos 2α＝－sin αcos α.类型四 sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系 [例4] 已知sin α＋cos α＝－13，0<α<π.(1)求sin αcos α的值； (2)求sin α－cos α的值．[解] (1)由sin α＋cos α＝－13⇒(sin α＋cos α)2＝19，sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝19，sin αcos α＝－49.(2)因为0<α<π，sin α＋cos α＝－13，所以sin α>0，cos α<0⇒sin α－cos α>0. sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝173.(1)sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三个式子中，已知其中一个，可以利用平方关系求其他两个，即“知一求二”．(2)求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意判断它们的符号．[变式训练4] 已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15，则sin x －cos x ＝－75.解析：由sin x ＋cos x ＝15，两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x ＝－2425，(sin x －cos x )2＝1－2sin x ·cos x ＝4925.又－π2<x <0，∴sin x <0，cos x >0，sin x －cos x <0， ∴sin x －cos x ＝－75.1．下列结论能成立的是( C ) A ．sin α＝13且cos α＝23B ．tan α＝2且cos αsin α＝13C ．tan α＝1且cos α＝22D ．sin α＝1且tan α·cos α＝12解析：A 中，sin 2α＋cos 2α≠1，故A 选项不成立；B 中，tan α·cos αsin α≠1，故B 选项不成立；D 中，tan α·cos α≠sin α，故D 选项不成立．只有C 正确．2．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α＝( B )A.513 B ．－513 C.512 D ．－512 解析：由α为第四象限角，cos α＝1213，得sin α＝－1－cos 2α＝－1－(1213)2＝－513，故选B.3．若△ABC 的内角A 满足sin A cos A ＝13，则sin A ＋cos A 的值为( A )A.153B ．－153C.53 D ．－53解析：因为A 为△ABC 的内角，且sin A cos A ＝13>0，所以A 为锐角，所以sin A ＋cos A >0.又1＋2sin A cos A ＝1＋23，即(sin A ＋cos A )2＝53，所以sin A ＋cos A ＝153，故选A.4．已知tan α＝3，则2sin 2α＋4sin αcos α－9cos 2α的值为2110.解析：原式＝2sin 2α＋4sin αcos α－9cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α＋4tan α－9tan 2α＋1＝2×32＋4×3－932＋1＝2110.5．已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．解：∵cos α＝－817<0，∴α是第二或第三象限角．若α是第二象限角， 则sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.若α是第三象限角， 则sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－8172＝－1517，tanα＝sinαcosα＝－15 17－817＝158.——本课须掌握的五大问题1．同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1.2．sin2α是(sinα)2的简写，不能写成sinα2.3．在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式子tan90°＝sin90°cos90°不成立．4．注意公式变形的灵活应用．5．在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定的．当角所在象限不明确时，要进行分类讨论．。
高中数学_1.2.3 同角三角函数的基本关系式教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计(一)自主学习推导公式1、证明公式：（同角三角函数基本关系）（1）平方关系：（2）商的关系：回忆：任意角三角函数的定义？学生回答：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y）则：sinα=y；cosα=x，引导学生注意：单位圆中所以，sin2α+cos2α=1；设计意图：引导学生运用已知知识解决未知知识，体会数学知识的形成过程。
2、辨析讨论—深化公式辨析1思考：上述两个公式成立有什么要求吗？设计意图：注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的。
如（2）式中辨析2判断下列等式是否成立：设计意图：注意“同角”，至于角的形式无关重要，突破难点。
辨析3思考：你能将两个公式变形么？（师生活动：对于公式变式的认识，强调灵活运用公式的几大要点。
）设计意图：对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用）等(二)小组合作及时训练自然界的万物都有着千丝万缕的联系，大家只要养成善于观察的习惯，也许每天都会有新的发现。
刚才我们发现了同角三角函数的基本关系式,那么这些关系式能用于解决哪些问题呢？[例1] 已知sinα=0.8，且α是第二象限角，求cosα，tanα的值．思考1：条件“α是第二象限的角”有什么作用？思考2：如何建立cosα与sinα的联系？如何建立他们与tanα的联系？设计意图：借助学生对于刚学习的知识所拥有的探求心理，让他们学习使用两个公式来求三角函数值。
变式：α是第四象限角，tanα＝－5/12，求sinα.思考：本题与例题一的主要区别在哪儿？如何解决这个问题？设计意图: 对比之前例题，强调他们之间的区别，并且说明解决问题的方法：针对α可能所处的象限分类讨论。
小结：（由学生自己总结，师生共同归纳得出）2.注意：若α所在象限未定，应讨论α所在象限。
设计意图：利用例题与变式，共同总结两类问题的解决方法，培养学生归纳分析能力。
[例2]本题已知正切的值欲求sin α，tan α的值．设计意图：利用商的关系的灵活使用，解法多样，通过对公式正向、逆向、变式使用加深对公式的理解与认识。
人教a版必修4学案：1.2.2同角三角函数的基本关系(含答案)
1.2.2 同角三角函数的基本关系自主学习知识梳理1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：____________________.(2)商数关系：____________________.2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝__________；cos 2α＝__________；(sin α＋cos α)2＝__________；(sin α－cos α)2＝____________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________；sin α·cos α＝____________＝____________.(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝____________； cos α＝____________.自主探究1．利用任意角三角函数的定义推导平方关系．2．已知tan α＝2，求下列代数式的值．(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α； (2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.对点讲练知识点一 已知某一个三角函数值，求同角的其余三角函数值例1 已知cos α＝－817，求sin α、tan α.回顾归纳 同角三角函数的基本关系式揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用．变式训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．知识点二 利用同角的三角函数基本关系式化简例2 化简：1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.回顾归纳 解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系．化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解．变式训练2 化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α.知识点三 利用同角的三角函数基本关系式证明恒等式例3 求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α.回顾归纳 证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地进行化简．证明三角恒等式的基本原则：由繁到简．常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．常用技巧：切化弦、整体代换．变式训练3 求证：1－2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x.1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.课时作业一、选择题1．化简sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β的结果是( )A.14B.12 C ．1 D.322．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－13．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±434．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－8 D ．8二、填空题6．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________. 7．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝ ______________________________________________________________________.8．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．三、解答题9．证明：(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1＝sin α＋cos α； (2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．10．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π) 求：(1)m 的值；(2)方程的两根及此时θ的值．1.2.2 同角三角函数的基本关系答案知识梳理1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π2，k ∈Z ) 2．(1)1－cos 2α 1－sin 2α 1＋2sin αcos α1－2sin αcos α 2 (sin α＋cos α)2－121－(sin α－cos α)22(2)cos αtan α sin αtan α自主探究1．解 ∵sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x，x 2＋y 2＝r 2， ∴sin 2α＋cos 2α＝y 2r 2＋x 2r 2＝x 2＋y 2r 2＝1 (α∈R )． sin αcos α＝y r x r＝y x ＝tan α (α≠k π＋π2，k ∈Z )． 2．解 关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值．(1)原式＝4tan α－23tan α＋5＝611. (2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330. 对点讲练例1 解 ∵cos α＝－817<0且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限的角．(1)如果α是第二象限的角，可以得到sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517. tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. (2)如果α是第三象限的角，可得到：sin α＝－1517，tan α＝158. 变式训练1 解 由tan α＝sin αcos α＝43， 得sin α＝43cos α. ① 又sin 2 α＋cos 2α＝1， ②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925. 又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45. 例2 解 原式＝1cos α 1＋sin 2αcos 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α －(1－sin α)21－sin 2α ＝|cos α|cos α＋1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2tan α(α为第一或第四象限角)，－1－2tan α(α为第二或第三象限角). 变式训练2 解 原式＝(1－cos 4 α)－sin 4 α(1－cos 6 α)－sin 6 α＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4 α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4 α)－sin 6 α＝sin 2α(1＋cos 2α)－sin 4 αsin 2α(1＋cos 2α＋cos 4 α)－sin 6 α＝1＋cos 2α－sin 2α1＋cos 2α＋cos 4 α－sin 4 α＝2cos 2α1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. 例3 证明 左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边． ∴原式成立．变式训练3 证明 左边＝cos 22x ＋sin 22x －2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x＝(cos 2x －sin 2x )2(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x＝1－tan 2x 1＋tan 2x＝右边．∴原等式成立．课时作业1．C [sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β＝sin 2β＋cos 2β(cos 2β＋sin 2β)＝sin 2β＋cos 2β＝1.]2．B [∵α为第三象限角，cos α<0，sin α<0，∴原式＝cos αcos 2α＋2sin αsin 2α＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.] 3．A [α为第二象限角，sin α＝45，cos α＝－35， tan α＝－43.] 4．C [1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)·(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)·(sin α－cos α)＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13.] 5．C [tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18， ∴tan α＋1tan α＝－8.] 6．－255 解析 由α是第二象限的角且tan α＝－12，则⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－12cos αsin 2α＋cos 2α＝1，则⎩⎨⎧ sin α＝55cos α＝－255.7．－32解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34，∵π4<α<π2，∴cos α<sin α.∴cos α－sin α＝－32.8.34解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k －32＝1，∴k 2＋6k －7＝0，∴k 1＝1或k 2＝－7. 当k ＝1时，cos θ不符合，舍去．当k ＝－7时，sin θ＝35，cos θ＝45，tan θ＝34.9．证明 (1)左边＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2αcos 2α－1＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2α－cos 2αcos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2α(sin α＋cos α)sin 2α－cos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α－cos α＝sin 2α－cos 2αsin α－cos α＝sin α＋cos α＝右边．∴原式成立．(2)∵左边＝4＋2tan 2α－2cos 2α－sin 2α ＝2＋2tan 2α＋2sin 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α右边＝(1＋2tan 2α)(1＋cos 2α)＝1＋2tan 2α＋cos 2α＋2sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α∴左边＝右边，原式成立．10．解 (1)由韦达定理知⎩⎨⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12①sin θ·cos θ＝m2 ②由①式可知1＋2sin θcos θ＝1＋32， ∴sin θcos θ＝34，∴m2＝34，∴m ＝32， (2)当m ＝32时，原方程2x 2－(3＋1)x ＋32＝0， ∴x 1＝32，x 2＝12. ∵θ∈(0,2π)∴⎩⎨⎧ sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎨⎧ sin θ＝12cos θ＝32. ∴θ＝π3或θ＝π6.。
4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)
4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)知识归纳1、 同角三角函数的基本关系式（1） 平方关系 （2） 商数关系 （3） 倒数关系）记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限（其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍，变与不变是指 的变化（2）利用诱导公式把任意的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：任意角的三角函数→正角的三角函数→00360 的角的三角函数→锐角三角函数 3、平方关系 s is α商数关系 t a nαc o t α倒数关系 s e c α 4、sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-三者之间的关系()2sin cos 12sin cos αααα+=+()2sin cos 12sin cos αααα-=- ()()22sin cos sin cos 2αααα++-=()()22sin cos sin cos 4sin cos αααααα+--=5、同角三角函数关系式和诱导公式的应用主要包括三类题型：求值、化简、证明典型例题例1、（1）已知()cot 2πα-=，求3sin 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值 （2） 已知()cot 0m m α=≠，求cos α例2、已知tan 1tan 1αα=--，求下列各式的值：()4sin 2cos 15cos 3sin αααα-+ ()2s i n c o s αα ()()23sin cos αα+例3、已知()()()()()3sin cos 2tan 2cot sin f ππαπααααππα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----（1） 化简()f α（2） 若α是第三象限角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值 （3） 若313πα=-，求()f α的值例4、（1）求证：tan sin tan sin tan sin tan sin αααααααα⋅+=-⋅（2）已知()()sin 2cos 2αππα-=- 求证：()()()()sin 5cos 233cos sin 5παπαπαα-+-=----例5、已知关于x的方程)2210x x m -+=的两根为sin θ和cos θ，()0,2θπ∈求（1）sin cos 1cot 1tan θθθθ+--的值（2）m 的值（3）方程的两根及此时θ的值堂清练习1、19sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于（ ）A 、12B 、12- C2D、2-2、如果A 为锐角，()1sin 2A π+=-，那么()cos A π-=（ ）A 、12- B 、12C、2-D23、已知a =200sin ，则160tan 等于A、- B、C、a-D、a4cos sin 1+=-，则θ是（ ）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角5、若022x π≤≤cos 2x =成立的x 的取值范围是（ ）A 、0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B 、3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C 、5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、30,,44πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦6、405cot 300tan +的值为＿＿＿＿。
导学案018同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系式和诱导公式考纲要求1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x＝tan x ． 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 考情分析1.利用同角三角函数的基本关系及诱导公式求值或化简三角函数式是考查重点．2.主要以选择题、填空题的形式考查. 教学过程基础梳理：一、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系：________. 2．商数关系： ________.对于角“k π2±α”(k ∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说k π2±α，k ∈Z 的三角函数值等于“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．”双基自测1．sin 585°的值为 ( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.322．(教材习题改已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于 ( ) A ．－π6B ．－π3 C.π6D.π33．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为 ( )A ．0 B.34 C ．1 D.544．(2011²重庆高考)若cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan α＝________.5．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－A 的值 是________． 典例分析考点一：同角三角函数的基本关系[例1] (2011²大纲全国卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________.变式1若例1中条件变为“若sin θ＝－45，tan θ>0”，则cos θ＝________.[例2] (2012²温州模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是 ( ) A.25 B ．－25C ．－2D ．2变式2(2011²杭州师大附中月考)如果f(tan x)＝sin2x －5sin xcos x ，那么f(5)＝________. 方法总结：1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用 sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.考点二：诱导公式[例3] (2012²衢州模拟)已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝1log 3aa(a >0，且a ≠1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α的值为 ( )A.1010 B ．－1010 C.31010 D ．－31010变式3.(2012²聊城模拟)已知f(x)＝asin(πx ＋α)＋bcos(πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β为非零实数)，f(2 011)＝ 5，则f(2 012)＝( )A ．3B ．5C ．1D ．不能确定方法总结;利用诱导公式化简求值时的原则 1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数． 2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数． 3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90° 的角的三角函数． 4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角 直接求得，若是非特殊角可由计算器求得.考点三：三角形中的诱导公式 [例4] 在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．变式4.△ABC 中，cos A ＝13，则sin(B ＋C )＝________.方法总结：1.诱导公式在三角形中经常应用，常用的变形结论有A ＋B ＝π－C ；2A ＋2B ＋2C ＝2π； A 2＋B 2＋C 2＝π2.2.求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范 围，最后求角．[考题范例](2012·九江调研)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－12，则tan θ的 值为 ( ) A ．－3或－33 B ．－33 C ．－ 3 D ．－32 法一：由sin θ＋cos θ＝3－12两边平方得sin θ·cos θ＝－34，由sin θ·cos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝－34， 解得tan θ＝－3或tan θ＝－33，由于θ∈(0，π)，0<sin θ＋cos θ＝12(3－1)<1， ∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，|sin θ|>|cos θ|，∴|tan θ|>1，即θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，34π，∴tan θ<－1，∴tan θ＝－33，舍去． 故tan θ＝－ 3. 法二：由sin θ＋cos θ＝3－12，两边平方得sin θ·cos θ＝－34，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1＋32＝4＋234＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋122， ∵θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝12(3－1)<1，∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ－cos θ>0，∴sin θ－cos θ＝3＋12，由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3－12sin θ－cos θ＝3＋12得sin θ＝32，cos θ＝－12.∴tan θ＝－3.一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限． 三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝…. 三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．本节检测1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( )A ．sin θ<0，cos θ>0B ．sin θ>0，cos θ<0C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<02．(2012²临沂一模)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( )A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 33．(2012²淄博模拟)已知sin 2α＝－2425，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，则sin α＋cosα＝( )A ．－15 B.15 C ．－75 D.754．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin π－θ＝( )A ．2B ．－2C ．0 D.235．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的值是________． 6．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________.自我反思。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 同角三角函数的基本关系学案(含解析)北师大版必修4-北师大版
第三章三角恒等变形§1同角三角函数的基本关系知识点同角三角函数的基本关系式[填一填]常用的同角三角函数基本关系式的变形：(1)sin2α＋cos2α＝1的变形：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝±1－cos2α，cosα＝±1－sin2α.(2)tanα＝sinαcosα的变形：sin α＝cos αtan α，cos α＝sin αtan α.[答一答]已知某角的一个三角函数值，求它的其他三角函数值时，应注意些什么？提示：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其他三角函数值时，要注意这个角的终边所在的象限．①由sin 2α＋cos 2α＝1变形可知，cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α，因此，在使用这两个变形公式计算时，要根据角α的终边所在的象限，确定根号前面的正负号．②在使用tan α＝sin αcos α时，没有选择正负号的问题，只是在sin α，cos α的计算中会出现上述①中的情形．(2)如果已知的三角函数值中含有字母，且没有指定角的终边在哪个象限，那么就需要结合数学中分类讨论的思想来确定其他三角函数值．对同角三角函数的基本关系式的四点说明(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”如π3与π3，2α与2α都是同角，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin 234α＋cos 234α＝1.(2)sin 2α是(sin α)2的简写，不能写成sin α2.因为sin α2与sin 2α含义不同． (3)在使用同角三角函数基本关系时要注意使式子有意义，如式子tan90°＝sin90°cos90°不成立． (4)在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定的，不可凭空想象．类型一 利用同角三角函数的关系求值 【例1】 (1)已知sin α＝513，求cos α和tan α；(2)在△ABC 中，若tan A ＝63，求sin A 和cos A . 【思路探究】 (1)已知角α的正弦值，先用平方关系求cos α，再求tan α，注意角α是第几象限角不确定，故需要分类讨论；(2)已知角A 的正切值，可利用角A 终边上一点的坐标，根据三角函数的定义求解；也可利用同角三角函数的商数关系和平方关系求解，注意角A 是△ABC 的内角这一隐含条件．【解】 (1)∵sin α＝513>0，∴α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝1－(513)2＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝5131213＝512.当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－1－(513)2＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝513－1213＝－512.(2)法1：因为tan A ＝63，角A 为三角形的内角，可知角A 终边上一点的坐标为(3，6)，则该点到原点的距离r ＝15，故sin A ＝615＝105，cos A ＝315＝155.法2：因为tan A ＝63，所以sin A cos A ＝63，则sin A ＝63cos A ， 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以23cos 2A ＋cos 2A ＝1，即cos 2A ＝35.因为角A 是△ABC 的内角，且tan A >0，所以角A 为锐角，所以cos A ＝155，sin A ＝63cos A＝105. 规律方法 已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时，要注意角的终边所在的象限，这主要是因为在使用cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α时，要根据角α的终边所在的象限，恰当地选择正、负号．tan α＝sin αcos α的正、负号是由sin α和cos α共同决定的．这类问题通常有下列几种情况：(1)如果已知三角函数值，且角的终边所在的象限已被指定，那么只有一组解． (2)如果已知三角函数值，但没有指定角的终边所在的象限，那么先由已知三角函数值确定角的终边可能在的象限，再求解，这种情况一般有两组解．(3)如果所给的三角函数值是用字母表示的，且没有指定角的终边所在的象限，那么就需要对表示该值的字母的正、负进行讨论．另外，还要注意其角的终边有可能落在坐标轴上．已知cos α＝－1517，求sin α，tan α的值．解：∵cos α<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角．当α是第二象限角时， sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－15172＝817， tan α＝sin αcos α＝817×⎝⎛⎭⎫－1715＝－815.当α是第三象限角时， sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－15172＝－817， tan α＝sin αcos α＝⎝⎛⎭⎫－817×⎝⎛⎭⎫－1715＝815.类型二 关于sin α，cos α齐次式的求值 【例2】 已知tan α＝13，求值：(1)5sin α＋7cos αsin α－3cos α； (2)1cos 2α－2sin αcos α＋5sin 2α. 【思路探究】 可以将分子、分母中的“1”化成“sin 2α＋cos 2α”，进而将原来的代数式化成关于sin α，cos α的齐次分式，求解．【解】 ∵sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝13，∴cos α≠0.(1)原式＝5tan α＋7tan α－3＝5×13＋713－3＝－134.(2)解法一：∵1＋tan 2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1cos 2α， ∴原式＝1cos 2α(1－2tan α＋5tan 2α)＝1＋tan 2α1－2tan α＋5tan 2α.将tan α＝13代入上式得：原式＝1＋191－23＋5×19＝9＋19－6＋5＝54.解法二：∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴原式＝cos 2α＋sin 2αcos 2α－2sin αcos α＋5sin 2α＝1＋tan 2α1－2tan α＋5tan 2α. 将tan α＝13代入上式得，原式＝ 1＋191－23＋5×19＝9＋19－6＋5＝54.解法三：∵tan α＝13，∴sin αcos α＝13，令sin α＝k ，cos α＝3k ，则1＝cos 2α＋sin 2α＝10k 2.∴原式＝10k 29k 2－6k 2＋5k 2＝54.规律方法 关于sin α，cos α的齐次式的求值问题关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子，且它们的次数相同，其求解策略为：可用cos n α(n ∈N ＋)去除原式分子、分母的各项，这样可以将原式化为关于tan α的表达式，再整体代入tan α＝m 的值，从而完成求值任务．具体如下：(1)形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α，a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αd sin 2α＋e sin αcos α＋f cos 2α的分式，分子、分母分别同时除以cos α，cos 2α，将正、余弦转化为正切或常数，从而求值．(2)形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin 2α＋cos 2α，转化为形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αsin 2α＋cos 2α的式子．已知tan α＝2，求下列各式的值： (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α； (2)sin 2α－3sin αcos α＋1.解：(1)解法一：因为tan α＝2，所以cos α≠0，2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2sin αcos α－3cos αcos α4sin αcos α－9cos αcos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.解法二：因为tan α＝2，所以sin α＝2cos α， 故原式＝2×2cos α－3cos α4×2cos α－9cos α＝－1.(2)sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos α＋(sin 2α＋cos 2α)＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋1tan 2α＋1＝2×22－3×2＋122＋1＝35.类型三 含sin α±cos α，sin αcos α的式子的求值【例3】 已知0<α<π，sin α＋cos α＝15，求sin α－cos α的值．【思路探究】 欲求sin α－cos α的值，可先求(sin α－cos α)2，为此需由已知条件求出sin α·cos α的值，解题时需注意sin α－cos α的符号．【解】 将已知等式两边平方，得1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425.又∵0<α<π，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝75. 规律方法 1.sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三个式子中，已知其中一个，可以求出其他两个，即“知一求二”．它们的关系是：(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.2．求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号．已知0<α<π，sin αcos α＝－60169，求sin α－cos α的值．解：∵0<α<π，sin αcos α＝－60169<0，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0.由(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×(－60169)＝289169，∴sin α－cos α＝1713.类型四 化简三角函数式【例4】 化简：(1)1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α；(2)1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.【思路探究】 所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少、次数尽可能的低、函数的种类尽可能的少、分母中尽量不含三角函数符号、能求值的一定要求值．【解】 (1)解法一：原式＝(cos 2α＋sin 2α)2－cos 4α－sin 4α(cos 2α＋sin 2α)3－cos 6α－sin 6α＝2cos 2α·sin 2α3cos 2αsin 2α(cos 2α＋sin 2α)＝23. 解法二：原式＝1－(cos 4α＋sin 4α)1－(cos 6α＋sin 6α)＝1－[(cos 2α＋sin 2α)2－2cos 2α·sin 2α]1－(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α－cos 2α·sin 2α＋sin 4α)＝1－1＋2cos 2α·sin 2α1－[(cos 2α＋sin 2α)2－3cos 2α·sin 2α] ＝2cos 2α·sin 2α3cos 2α·sin 2α＝23. 解法三：原式＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝sin 2α(1＋cos 2α－sin 2α)sin 2α(1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. (2)原式＝1cos α1＋sin 2αcos 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α－(1－sin α)21－sin 2α＝|cos α|cos α＋1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2tan α(α是第一、四象限角)，－1－2tan α(α是第二、三象限角).规律方法 化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．若α为第二象限角，则sin 2α－sin 4αcos α＝( B )A ．sin αB ．－sin αC ．cos αD ．－cos α 解析：sin 2α－sin 4α＝sin 2α(1－sin 2α)＝sin 2α·cos 2α＝|sin αcos α|.因为α为第二象限角，则cos α<0，sin α>0，则|sin αcos α|＝－sin αcos α，所以原式＝－sin α.类型五 证明三角函数式【例5】 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.【思路探究】思路1：等号右边分子、分母同乘tan α－sin α→利用平方关系和商数关系由右向左进行化简即可思路2：商数关系，平方关系→分别对等号两边的式子进行化简即可【证明】 法1：右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， 故原等式成立．法2：因为左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α(1－cos α)＝sin α1－cos α. 所以左边＝右边，故原等式成立． 规律方法 证明三角恒等式的方法证明恒等式的过程就是通过转化消去等式两边的差异来促成统一的过程，证明方法常有以下几种：(1)从等式的一边证得另一边，一般从比较复杂的一边化简到另一边，其依据是等式的传递性．(2)综合法：由一个已知等式或公式恒等变形得到要证明的等式，其依据是等价转化的思想．(3)证明左、右两边都等于同一个式子(或值)，其依据是等式的传递性． (4)比较法：证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”．(5)化异为同法：即化异名为同名，化异角为同角等．求证：tan 2α－sin 2α＝tan 2α·sin 2α.证明：法1：右边＝tan 2α(1－cos 2α)＝tan 2α－tan 2α·cos 2α＝tan 2α－sin 2αcos 2α·cos 2α＝tan 2α－sin 2α＝左边，所以等式成立．法2：左边＝sin 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α－sin 2αcos 2αcos 2α＝sin 2α(1－cos 2α)cos 2α＝tan 2α·sin 2α＝右边． 等式成立．——规范解答—— 利用同角三角函数关系式求值【例6】 在△ABC 中，sin A －cos A ＝1713，求tan A 的值． 【审题】审条件→一个三角形：△ABC一个关系：sin A －cos A ＝1713 ↓ 建联系→求解tan A 的值，根据已有的关系把tan A 与sin A ，cos A 联系起来↓找思路→由在△ABC 中，确定A ∈(0，π)，再结合已知的关系与sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解方程，先求解sin A ，cos A ，再求解tan A【解题】 由sin A －cos A ＝1713知，cos A ＝sin A －1713，又因cos 2A ＋sin 2A ＝1，有(sin A －1713)2＋sin 2 A ＝1， 化简得sin 2A －1713sin A ＋60169＝0， 解得sin A ＝1213或sin A ＝513. 又因为A 为△ABC 的内角，所以sin A >0，当sin A ＝1213时，cos A ＝－513，tan A ＝－125， 当sin A ＝513时，cos A ＝－1213，tan A ＝－512. 【小结】 1.隐含条件的挖掘对题目的条件要认真分析，找出隐含条件，并要学会辨析使用，如本例中在三角形中，内角都是有范围的，均为(0，π)，从而有sin A >0这一条件．2．常用知识应用一些常见常用的知识要记牢，并会应用，如三角函数求值中，只要涉及sin α与cos α，就有sin 2α＋cos 2α＝1，这一条件往往是解题的关键．已知sin α＋cos α＝－13，其中0<α<π，求sin α－cos α的值． 解：因为sin α＋cos α＝－13， 所以(sin α＋cos α)2＝19， 所以1＋2sin αcos α＝19， 所以sin αcos α＝－49. 因为0<α<π且sin αcos α<0，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0.又因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179，所以sin α－cos α＝173.一、选择题1．化简 1－sin 2π5的结果是( A )A ．cos π5 B ．－cos π5C ．sin π5D ．－sin π5解析：原式＝cos 2π5＝cos π5.2．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α 的值为( B )A ．0 B.34C ．1 D.54解析：本小题主要考查同角三角函数基本关系式． 原式＝2tan α－1tan α＋2＝34，故选B.3．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于( D) A.15 B ．－15C.513 D ．－513解析：∵tan α＝－512，∴sin αcos α＝－512，即cos α＝－125sin α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴16925sin 2α＝1，解得sin α＝±513. 而α是第四象限角，∴sin α＝－513. 二、填空题4．化简1＋2sin4cos4＝－(sin4＋cos4)． 解析：原式＝sin 24＋2sin4cos4＋cos 24 ＝(sin4＋cos4)2＝|sin4＋cos4|.∵π<4<3π2，∴sin4<0，cos4<0. ∴原式＝－(sin4＋cos4)．5．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝－35. 解析：考查同角三角函数值间的关系．∵sin θ＝－45<0，tan θ>0， ∴θ在第三象限．∴cos θ＝－35. 三、解答题6．已知tan α＝3，求下列各式的值． (1)4cos α－sin α4cos α＋sin α； (2)2sin 2α－3sin α·cos α.解：(1)原式＝4－tan α4＋tan α＝4－34＋3＝17. (2)原式＝2sin 2α－3sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan αtan 2α＋1＝2×32－3×332＋1＝910.。
人教版高中数学必修四第一章1-2-2同角三角函数的基本关系式《学案》
班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语在年轻人的颈项上，没有什么东西能比事业心这颗灿烂的宝珠更迷人的了。
——哈菲兹学习目标1．理解同角三角函数的基本关系.2．会利用同角三角函数的基本关系化简、求值、证明恒等式.学习重点同角三角函数的基本关系式的推导，会利用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明学习难点会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明自主学习同角三角函数的基本关系平方关系： .商的关系：.tanα=预习评价1．已知θ是第一象限角且，则cosθ＝.2．化简：= .3．已知3sinα+cosα=0，则t a n = .♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．同角三角函数基本关系设角是一个任意象限角，点P(x，y)为角α终边上任意一点，它与原点的距离为r(r= >0)，那么：，请根据三角函数的定义思考下面问题：(1)从以上三角函数的定义，试计算sin2α+cos2α与的值，并根据你计算的结果，写出sin ,cos ,t a n 之间的关系式.(2)同角三角函数的两个基本关系成立的条件各是什么？2．利用同角三角函数关系可以解决哪些问题？教师点拨对同角三角函数基本关系的三点说明(1)关系式中的角一定是同角，否则公式可能不成立，如sin230°+cos260°≠1.(2)同角不要拘泥于形式，将换成或2α也成立，如.(3)商的关系中要注意公式中的隐含条件，cos ≠0，即交流展示——利用基本关系求值1．已知( )A. B. C. D.2．已知，则等于A. B. C. D.3．______．4．已知是第二象限角,,则变式训练1．(2011·山东省潍坊市月考)已知cos α-sin α=-,则sin αcos α的值为()A. B.± C. D.±2．已知tan α=-2,且<α<π,则cos α+sin α=.交流展示——三角函数式的化简5．若，则sinαcosα=A. B. C. D.6．当角α的终边在直线3x+4y=0上时,sin α+cos α=B. C. D.±7．(2012·聊城测试)已知tan α,是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两个实根,且3π<α<π,则cos α+sin α=.变式训练已知，求(1)；(2)的值.交流展示——三角恒等式的证明8．求证：.9．证明:(1-tan4A)cos2A+tan2A=1.变式训练求证：学习小结1．三角函数求值的常用方法若已知tan =m，求其他三角函数值，其方法是解方程组求出sin a和cos a的值.若已知tan =m，求形如的值，其方法是将分子、分母同除以co s a(或cos2a)转化为tan 的代数式，再求值.形如a sin2 +bsin •cos +c•cos2 通常把分母看作1，然后用sin2 +cos2 代换，分子分母同除以cos2 再求解.提醒：在应用平方关系求sin 或cos 时，函数值的正、负是由角的终边所在的象限决定的，切不可不加分析，凭想象乱写结果.2．三角函数式化简的本质及关注点(1)本质：三角函数式化简的本质是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.(2)关注点：不仅要熟悉和灵活运用同角三角函数的基本关系式，还要熟悉并灵活应用这些公式的等价变形，如sin2α=1－cos2α，cos2α=1－sin2α，1=sin2α+cos2α，sinα=tanα•cosα，cosα= .3．对三角函数式化简的原则(1)使三角函数式的次数尽量低.(2)使式中的项数尽量少.(3)使三角函数的种类尽量少.(4)使式中的分母尽量不含有三角函数.(5)使式中尽量不含有根号和绝对值符号.(6)能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示.4．证明三角恒等式的常用方法证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则.(2)证明左右两边等于同一个式子.(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.当堂检测1．已知A为三角形的一个内角，且，则cos A−sin A的值为A. B. C. D.2．化简(1+tan2α)·cos2α=__________.3．已知在△ABC中，.(1)求sin A·cos A的值.(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形.(3)求tan A的值.知识拓展在中，，求的值．详细答案♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒【自主学习】(1)sin2α+cos2α＝1(2)【预习评价】1．2．cos20°3．♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒【合作探究】1．(1)sin2α+co s2α= + = =1，由以上计算结果可得出以下结论；sin2α+cos2α=1及tanα= .(2)对于平方关系只需同角即可；对于商的关系第一保证是同角，第二保证α≠kπ+ (k∈Z).2．(1)求值：已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数的值；(2)化简三角函数式；(3)证明三角恒等式.【交流展示——利用基本关系求值】1．C.【备注】对于与之间的关系，通过平方可以表达出来.2．A,结合可得,所以3．1【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系.原式．4．【解析】本题考查同角三角函数基本关系式的应用.利用同角三角函数基本关系式,已知一个角的一个三角函数值可求这个角的其它三角函数值.,又,∴【变式训练】1．A【解析】由已知得(cos α-sin α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α=1-2sin αcos α=,解得sin αcos α=,故选A.2．【解析】本题主要考查了三角函数的概念,意在考查考生对基本概念的理解和应用能力由tan α=-2,得=-2,又sin2α+cos2α=1,且<α<π,解得sin α=,cos α=-,则sin α+cos α==.【交流展示——三角函数式的化简】5．B【解析】由，得，即t a nα.故选B.6．D【解析】在角α的终边上取点P(4t,-3t)(t≠0),则|OP|=5|t|.根据任意角的三角函数的定义,当t>0时,sin α==-,cos α==,sin α+cos α=;当t<0时,sin α==,cos α==-,sin α+cos α=-. 7．-【解析】∵tan α·=k2-3=1,∴k=±2,而3π<α<π,则tan α+=k=2,得tan α=1,则sin α=cos α=-,∴cos α+sin α=-.【变式训练】(1)；(2).的一次或二次齐次式,所以可将分子和分母同除以或,然后将代入求解即可.【备注】注意到的应用.【交流展示——三角恒等式的证明】8．证明： 因为1cos sin sin 1cos x x x x+--(1cos )(1cos )sin sin sin (1cos )x x x x x x +--=- 22221cos sin sin sin 0sin (1cos )sin (1cos )x x x xx x x x ---===--，所以1cos sin =sin 1cos x x x x+-. 9．∵左边=·cos 2A+=+=+==1=右边,∴原等式成立. 【变式训练】右边左边.【解析】通过“切割化弦”将右边分子、分母中的正切化为再进行通分求解.【备注】在三角恒等式的证明中化异为同是基本思想，“1”的代换要灵活运用. 【当堂检测】 1．D【解析】由A 为三角形的内角且，可知，，∴cosA −，.故选D. 2．13．（1）由1sin cos 5A A +=，两边平方，得112sin cos 25A A +⋅=，所以12sin cos 25A A ⋅=-. （2）由（1）得12sin cos 025A A ⋅=-<.又0A π<<，所以cos 0A <， 所以A 为钝角.所以ABC ∆是钝角三角形.（3）因为12sin cos 25A A ⋅=-， 所以22449(sin cos )12sin cos 12525A A A A -=-⋅=+=， 又sin 0,cos 0A A ><，所以sin cos 0A A ->，所以7sin cos 5A A -=. 又1sin cos 5A A +=，所以43sin ,cos 55A A ==-. 所以4sin 45tan 3cos 35A A A ===--. 【知识拓展】解：∵，①∴，即，∴．∵，∴，．∴．∵，∴．②①+②，得．①−②，得．∴．【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系以及三角形中函数符号的判定。
数学《同角三角函数的基本关系》教案
数学《同角三角函数的基本关系》教案教案：同角三角函数的基本关系一、教学目标：1.理解同角三角函数的概念及意义。
2.掌握正弦、余弦和正切函数之间的基本关系。
3.能够在给定角度范围内计算同角三角函数的值。
二、教学重点与难点：1.理解同角三角函数的概念及意义。
2.掌握正弦、余弦和正切函数之间的基本关系。
三、教学准备：1.教材、课件、黑板、粉笔。
2.学生课前复习笔记。
四、教学过程：1.引入（10分钟）教师可通过提问的方式引导学生复习和回忆上节课所学的三角函数概念及性质，例如：“什么是三角函数？它们有什么特点？”2.概念讲解（10分钟）教师介绍同角三角函数的概念和意义，同角三角函数是以角度的大小和方向为自变量，以比值为因变量的一类函数。
其中，正弦函数、余弦函数和正切函数是最常用和基础的三角函数。
通过图示的方式向学生展示正弦函数、余弦函数和正切函数的形象及它们之间的关系。
3.基本关系的推导（15分钟）3.1正弦函数与余弦函数的基本关系：教师指导学生通过绘制各象限内角度相同的锐角三角形，并利用其定义推导出正弦函数和余弦函数的基本关系：sin^2θ + cos^2θ = 13.2正切函数与正弦函数、余弦函数的基本关系：教师指导学生通过绘制直角三角形，利用其定义推导出正切函数、正弦函数和余弦函数的基本关系：tanθ = sinθ / cosθ。
4.同角三角函数的计算及性质（25分钟）4.1计算角度对应的三角函数值：教师引导学生通过练习，掌握计算给定角度对应的正弦、余弦和正切函数值的方法和技巧。
4.2使用同角三角函数的性质：教师讲解同角三角函数的周期性和奇偶性，并指导学生根据这些性质简化计算，例如，sin(180° + θ) = -sinθ，cos(π + θ) = -cosθ，等等。
5.练习与巩固（20分钟）教师提供一系列基础练习题，让学生在课堂上进行计算和解答，以巩固所学的同角三角函数的基本关系和计算方法。
同角三角函数的基本关系_学案
人教A 版必修四 同角三角函数的基本关系 学案要点一 利用同角基本关系式求值例1 已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值． 跟踪演练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． 要点二 三角函数代数式的化简例2 化简下列各式： (1) 1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 2 10°； (2) 1－sin α1＋sin α＋ 1＋sin α1－sin α，其中sin α²tan α<0. 跟踪演练2 已知tan α＝3，则(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝ ； (2)sin 2α－3sin αcos α＋1＝ .答案 (1)1 (2)1要点三 三角函数恒等式的证明 例3 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α. 跟踪演练3 已知2cos 4θ＋5cos 2θ－7＝asin 4θ＋bsin 2θ＋c 是恒等式．求a 、b 、c 的值．1．化简1－2sin 40°cos 40°＝ .2．已知α是第三象限角，sin α＝－13，则tan α＝ . 3．若α是第三象限角，化简 1＋cos α1－cos α＋1－cos α1＋cos α. 4．求证：tan θ²sin θtan θ－sin θ＝1＋cos θsin θ.一、基础达标1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α等于 ( ) A ．－1213B ．－513 C.513 D.12132．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15 B ．－35 C.15 D.353．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( ) A.34 B ．±310 C.310 D ．－3104．若sin α＋sin 2 α＝1，则cos 2 α＋cos 4 α等于( )A ．0B ．1C ．2D ．35．化简：sin 2 α＋sin 2 β－sin 2 αsin 2 β＋cos 2 αcos 2 β＝ .6．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan α＝ . 7．(1)化简1－sin 2100°；(2)用tan α表示sin α＋cos α2sin α－cos α，sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2α. 二、能力提升8．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43 B.54 C ．－34 D.459．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－8 D ．810．已知直线l 的倾斜角是θ，且sin θ＝513，则直线l 的斜率k ＝ . 答案 ±51211．已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，求下列各式的值． (1)5cos 2θsin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2θ； (2)1－4sin θcos θ＋2cos 2θ.12．求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α. 三、探究与创新13．已知sin α＋cos α＝－13，其中0<α<π，求sin α－cos α的值．。
同角的三角函数的基本关系学案
公式可要 记住噢！ 记住噢！
思考： 思考： 1． 角的特征： ______________ ． 角的特征： 2．公式的条件：__________ ．公式的条件： _________________________
注意啦！ 注意啦！
sin α=(sinα) ≠sinα
2 2 2
你能总结一下解题思路 吗？
三角函数线的利用
变式 1： 1-sin24400 动动脑子 噢！
变式 2： 1-2sin200cos200 ： 试试身手： 试身手： 2cos2α－1 化简： 化简： 1－2sin2α －
sinθ－cosθ θ θ 变式 3： ： tanθ－1 θ
（五）小结 这节课我学到了…… 这节课我学到了……
2． 应用之二：三角恒等式的证明 ． 应用之二： cosα 1＋sinα α ＋ α 例2． 求证： ． 求证： ＝ 1－sinα cosα α － α
想一想： 想一想： 还有其他方法吗？ 还有其他方法吗？
tanα α 求证： α 变式 1：求证：sinα•cosα＝ α 1+tan2α
一起来动手！ 一起来动手！
导学设计 复习回顾： （一）复习回顾： 任意角的三角函数
P(x,y)
y α x o A(1,0)
[背景] 单位圆是一个非常好 背景] 的数学模型！ 的数学模型！
（二）自主探究： 自主探究： 1． sin2300 +cos2300 =_________ ． 你还能举出类似的例子吗？ 你还能举出类似的例子吗？
sin2450 +cos2450 =_________ sin2900 +cos2900 =_________
… …
sin2400 +cos2400 =
人教B版必修4,同角三角函数的基本关系学案
总结规律： （1） sin cos , sin cos 三个式子中，已知其中一个可 以 求 其 他 两 个 ， 即 “ 知 一 求 二 ”。 它 们 之 间 的 关 系 是
(sin cos ) 2 1 2 sin cos
（2）求 sin cos 时要注意判断它们的符号 变式 1： sin cos
4 ，且角 是第三象限角，求 的正弦 5
值和正切值．
-1-
在数学的领域中， 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.——康托尔 【目标 1、2】2、已知 tan 值和余弦值．
3 ，且角 是第四象限角，求 的正弦 4
【目标 1、2】3、已知 cos
3 ，求 的正弦值和正切值． 5
标
并且运用构造的思想进行有关的运算 自学课本 p22 p23 至例 2
自 学 指 导
1、同角三角函数的两个最基本关系式： （1）平方关系______________ （2）商数关系______________（3）倒数关系 思考： （1）同角的含义 （2）变形公式： sin
2
cos2
12 , 求 tan 的值 25
【变式 3】 、已知 sin cos （1） sin cos （3） sin cos
4 4
2 , 求下列各式的值
3 3
(2) sin cos (4) sin cos
4 4
本节课收获了什么？
课 堂 小 结
5 , 0 ，求 tan 5
变式 2： （1）已知 sin cos
1 ，且 ，求 cos sin 8 4 2
-3-
同角三角函数的基本关系式
同角三角函数的基本关系式（讲学案）南大附中 张子超【教学目标】1、知识与技能掌握同角三角函数的基本关系式；已知某角的一个三角函数值，能熟练地求它的其余各三角函数值；2、过程与方法探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习已知一个三角函数值，求它的其余两个三角函数值；通过讲练结合，总结方法． 3、情感态度与价值观通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的两个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立分类讨论思想和化归的思想．【重、难点】重点：公式及的推导及运用：已知某一个角的任意一个三角函数值，求其余两个． 难点：根据角α终边所在象限求出其三角函数值；【复习巩固】1．角α的终边经过点()3,4-，则sin α= ；cos α= ；tan α= ；你还记得任意角的三角函数的定义吗？ 2．你记得单位圆中的三角函数线吗？ sin α= ； cos α= ； tan α= ．【问题探究】1、22sin 30cos 30︒︒+= ，s i n 30c o s 30︒=︒ ， t a n 30︒= ； 2、22sin 45cos 45︒︒+= ，s i n 45c o s 45︒=︒ ， t a n 45︒= ； 3、22sin 60cos 60︒︒+= ，s i n 60c o s 60︒=︒ ， t a n 60︒= ； 4、角α的终边经过点()3,4-，22sin cos αα+= ，s i n c o s αα= ， t a n α= ． 观察计算的结果，你有什么发现吗？【引入课题】（1）22sin cos αα+= （2）tan α=【公式证明】的终边【公式理解】1、下列说法正确的有 ．22222222sin ()cos ()1sin 2cos 21sin cos 1sin 90cos50tan 50sin 50tan 90cos1sincos9022A B C D E F αβαβαααβαα︒︒︒+++=+=+=︒︒=︒==-、、、、、、2、〖我的启发〗【公式应用】例1：已知4sin 5α=，且α是第二象限角，求cos α、tan α的值．★变题★（1）已知4sin 5α=，求cos α、tan α的值．例2：已知12tan 5α=，求sin α、cos α的值．【能力提升】例3：已知12tan 5α=，求sin cos sin cos αααα+-的值．【本节小结】【课后作业】课本10P ，11P ．【课后思考】已知12tan 5α=，求222sin 1sin cos ααα+-和sin cos αα⋅的值．。
第12讲同角三角函数关系与诱导公式(学案)
同角三角函数关系及诱导公式知识要点：1.同角三角函数基本关系： （1）基本关系：①平方关系: sin 2α＋cos 2α＝1 2211tan cos αα+=②商数关系: tan α＝sin αcos α（α≠k π＋π2，k ∈Z ）；cot α＝cos αsin α（α≠k π，k ∈Z ）．③倒数关系: 1tan cot αα=（12k απ≠） （2）常用变换形式:（1）根据这三大关系，若已知一个角α的位置，及其一个三角函数值，则一定能求出其余的三角函数值． （2）几个常用关系式：sinα+cosα，sinα--cosα，sinα·cosα；三式之间可以互相表示。
2.诱导公式： （（①六组诱导公式统一为“()2k k Z πα±∈”，记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. ②求任意角的三角函数值方法和步骤：负化正---→大化小---→小化锐，体现了化归思想。
(1)利用诱导公式（三）将负角的三角函数变为正角的三角函数. (2)利用诱导公式（一）化为0°到360°间的角的三角函数. (3)进一步转化成锐角三角函数. 二.基础练习1.化简1－sin 24 的结果为2.化简sin 4θ＋cos 2θ＋sin 2θcos 2θ=3. 已知tan θ＝2aa 2－1 (其中0＜a ＜1，θ是三角形的一个内角)，则cos θ的值是4.化简：2－sin 221°－cos 221°＋sin 417°＋sin 217°·cos 217°＋cos 217°=5．已知sin （π－α）＝log 814，且α∈(－π2 ，0)，则tan α的值是6． ︒⋅--⋅︒690cos )619cos()313tan(330sin ππ的值是.7.求值：23456tantantan tan tan tan tan 777777πππππππ++++++= 8. 设002900,3cos 2sin 3≤≤=-βαβα，，则________αβ==。
同角三角函数的基本关系教案中职
同角三角函数的基本关系教案中职一、教学目标：1.掌握同角三角函数的定义和基本关系。
2.能够应用同角三角函数的基本关系解决有关三角函数的数学问题。
二、教学重难点：1.同角三角函数的基本关系2.应用同角三角函数的基本关系解决有关三角函数的问题三、教学内容：1.同角三角函数定义①正弦函数sina，余弦函数cosa，正切函数tana，余切函数cota②割函数seca，余割函数cotca2.同角三角函数的基本关系①正弦函数与余弦函数的关系sina=cosa（90°-α）cosa=sina（90°-α）②正切函数与余切函数的关系tana=1/cota，cota=1/tana ③割函数与余割函数的关系seca=1/cosa，cotca=1/sina ④正切函数与正弦函数的关系tana=sina/cosa⑤正切函数与余弦函数的关系tana=1/sqrt（（1/cosa）²-1）⑥余切函数与正弦函数的关系cota=1/sqrt（（1/sina）²-1）四、教学过程：1.引入回顾角的概念和三角函数的定义，为同角三角函数定义打下基础。
2.讲解同角三角函数定义讲解同角三角函数的概念，包括正弦函数sina，余弦函数cosa，正切函数tana，余切函数cota，割函数seca，余割函数cotca，强调同角性质。
3.讲解同角三角函数的基本关系在讲解同角三角函数的基本关系时，教师可利用具体图形进行解释，让学生更好地理解。
可以分情况介绍，并提供相应的例子，使学生能够灵活运用。
4.小结通过复习和讲解，学生理解了同角三角函数的定义和基本关系，并掌握了应用同角三角函数的基本关系解决有关三角函数的数学问题。
五、教学方法：1.演示法2.综合使用法3.巩固法六、贯彻落实：布置相关的作业，巩固所学知识，并在下一节课进行检查。
在学习过程中，老师要及时给予学生相关的反馈，鼓励他们积极思考，提出问题，使学生产生学习兴趣。
高中数学《同角三角函数的基本关系》导学案
第一章三角函数第二节同角三角函数的基本关系（第2课时）一、学习目标1.识记同角三角函数的基本关系。
2.初步掌握其应用。
【重点、难点】同角三角函数的基本关系及其应用。
二、学习过程【情景创设】1.阅读教材，根据下面的知识结构图阅读教材，并识记同角三角函数间的关系式，初步掌握其应用.【导入新课】1.三角函数的推广定义：设角α终边上任一点坐标（x,y）,它与原点距离为r,则（）2.正切函数y=tan α的定义域：3.同角三角函数基本关系（1）写出下列各角的三角函数值，观察它们的值，猜想它们之间的联系.（30°、45°、60°）（2）从以上的过程中，你能发现什么一般规律？你能否用代数式表示这些规律？（3）根据以上探究过程，试着写出同角三角函数基本关系.a.平方关系：_______________.b.商数关系：_____________【典型例题】例1.21sin7π-的结果是___________.2.已知tanα=错误!未找到引用源。
，α∈错误!未找到引用源。
，则cosα的值是.【变式拓展】1.已知α∈错误!未找到引用源。
，sinα=错误!未找到引用源。
，则cosα= ( )A.错误!未找到引用源。
B.-错误!未找到引用源。
C.-错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
2.若α是第三象限角，则错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
的值为( )A.3B.-3C.1D.-1三、总结反思1.对同角三角函数基本关系的三点说明(1)关系式中的角一定是同角，否则公式可能不成立，如sin230°+cos260°≠1.(2)同角不要拘泥于形式，将α换成或2α也成立，如22sin2sin cos 1,tan .222cos 2αααα+==α (3)商的关系中要注意公式中的隐含条件，cos α≠0，即k (k Z).2πα≠π+∈2.同角三角函数基本关系式的变形形式(1)平方关系：1-sin2α=cos2α，1-cos2α=sin2α. (2)商数关系：sin sin tan cos ,cos .tan αα=ααα=α四、随堂检测 1.若tan α=2，则错误!未找到引用源。
同角三角函数的基本关系教案
同角三角函数的基本关系教案教案标题：同角三角函数的基本关系教学目标：1. 理解同角三角函数的定义及其基本关系。
2. 掌握同角三角函数之间的基本关系公式。
3. 能够运用同角三角函数的基本关系解决相关问题。
教学准备：1. 教师：黑板、白板、彩色粉笔/白板笔、教学投影仪。
2. 学生：教科书、笔记本、计算器。
教学过程：步骤一：导入新知1. 引入同角三角函数的概念，解释其在几何图形中的应用。
2. 提问学生是否了解正弦、余弦和正切函数，以及它们之间的关系。
步骤二：同角三角函数的定义及基本关系1. 介绍正弦、余弦和正切函数的定义，并在黑板上绘制三角函数的单位圆图。
2. 解释同角三角函数之间的基本关系：- 正弦函数：sinθ = 对边/斜边- 余弦函数：cosθ = 邻边/斜边- 正切函数：tanθ = 对边/邻边3. 强调同角三角函数之间的关系：sinθ/cosθ = tanθ，以及1 + tan²θ = sec²θ 和1 + cot²θ = csc²θ。
步骤三：同角三角函数的基本关系公式1. 教师在黑板上列出同角三角函数之间的基本关系公式，并解释每个公式的意义。
2. 提供示例问题，引导学生使用基本关系公式计算同角三角函数的值。
步骤四：解决相关问题1. 提供一些与同角三角函数相关的问题，要求学生运用所学知识解决问题。
2. 学生独立或合作完成问题，并在黑板上展示解题过程。
步骤五：总结和拓展1. 总结同角三角函数的基本关系及其应用。
2. 引导学生思考其他可能的应用场景，并展示相关例子。
教学延伸：1. 提供更多的练习题，巩固学生对同角三角函数基本关系的理解和运用能力。
2. 引导学生探索其他三角函数的基本关系，如余切、正割和余割函数。
评估方法：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和理解程度。
2. 批改学生完成的问题解答，并提供反馈。
拓展阅读：1. 探索三角函数的周期性和图像变换。
同角三角函数的基本关系学案
1．2．3 同角三角函数的基本关系【学习目标】1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式，能举例说明它们之间的联系；熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法；2.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力；3.通过对三角函数的基本关系式的推导与运用感悟函数之间的必然联系，感悟分类讨论的思想在本节课的重要运用.【学习重点】同角三角函数的基本关系式及其运用.【难点提示】三角函数值符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变形应用. 【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材1822P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一．学习准备请同学们回顾前面所学，完成下列填空：1.象限角的概念 ；与α同终边角的集合 ；2.单位圆 ；在Rt ABC ∆中勾股定理 ；3.任意角三角函数定义 ；预备练习 求下列各式的值：sin___;cos___;tan___;333=== 22sin3sin cos ___;___;33cos 3ππππ+== 解后反思 你能从练习中观察出什么吗？若将练习中的3π换成α呢？ 二．学习探究阅读思考 从角α的三个三角函数的定义看，它们都是来自角α终边与单位圆的交点P 的坐标x y 、在坐标系中对应的有向线段与角α终边构成的直角三角形，在近一步分析、探究角α的三角函数有没有一个内在的关系呢？（在独立思考的前提下，在阅读教材P19）归纳概括 同角三角函数基本关系，完成填空：平方关系：=+a a 22cos sin ； 商数关系：=a tan ； 快乐体验 1.已知4cos 5α=-，且α为第三象限角，求sin ,tan αα的值. 解：2.化简：222cos 1(1)cos tan ___12sin αααα-⋅=-； (2)=____；解后反思 在第1题中若将“α为第三象限角”的条件去掉，又怎样求解？结论一样吗？从第2题的求解，感悟上面公式有哪些运用方式？挖掘拓展 （1）上面两个公式有什么特征？成立的条件是什么？怎样才能牢记呢？ （2）学习上面的公式的目的是什么?上面公式有怎样的运用？ （3）上面公式有关键词吗？在运用应注意些什么？易错点在哪里？（4）在1.2.1中对任意角α还有三个函数，即任意角α可有六个三角函数，类比上面公式的探究方法，探究一下这六个函数还有怎样的内在联系呢？（链接2）三、典例赏析例1已知3sin 5α=-，求αcos ，αtan 的值（教材P19例6，先独立完成，再看答案）●解后反思 该题的题型怎样？你的求解与教材的解法一致吗？该题求解的易错点在哪里？（链接3）●变式练习 已知3tan 4α=-，求sin ,cos αα的值. 解：例2.求证：cos 1sin 1sin cos x xx x+=-（教材P19例7，先独立完成，再看答案）.证：●解后反思 该题的题型怎样？你的求解与教材的解法一致吗？代数恒等式有哪些证明方法？那么三角恒等式的证明呢？有哪些区别呢？你还有别的证法吗？（链接4）●变式练习 证明：αααα2222sin tan sin tan =-例3化简下列各式：（1） 100sin 12-； （2）化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+，其中α为第二象限角. 解：●解后反思 上面两个小题的题型如何？有何区别？求解的关键点、易错点在哪里？若将（2）小题中条件“α为第二象限角”去掉，又有怎样的结果？●变式练习 化简：（1= ；（2）θθθθ22sin )cot 1(cos )tan 1(++-=___________●解后反思 由上面三个题化简题的求解，你感悟到三角函数式的化简有哪些规律与步骤？有哪些需要注意的地方？（链接5） 四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？ 你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：对“同角”的含义理解了吗？同角三角函数的关系掌握了吗？怎样用这些关系求值、化简、证明三角函数式；本节课有哪些题型？运用了哪些思想方法求解？有哪些需要我们注意的？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？ 五、学习评价1.已知54sin =α，()πα，0∈，则αtan 等于（ ） A 34 B 43C 43±D 34±2.下列关系式能同时成立的是（ ）A ．21cos sin ==θθ B ．65.0cos ,35.0sin ==θθ C ．0cos ,1sin =-=θθ D. 1cot tan =-=θθ3.已知55sin =a ，则a a 44cos sin -的值为（ ） A. 53-B. 51-C. 51D. 53 4. 化简：θθθθ6644sin cos 1sin cos 1----5.已知c b a ++=-+θθθθ2424sin sin 7cos 5cos 2是恒等式． 求a 、b 、c 的值． 解：6.已知02<<-απ，21cos sin =+αα． 求值：(1)sin cos αα⋅ ； (2)sin cos αα-； （3）αtan 解：8.教材P20练习5；习题1.2A 组11、12、13（可以作在书上，但一定要作）.◆承前启后 现在我们已经学习了任意角三角函数的定义、同角三角函数的基本关系等 相关知识，也见到了一些相关题型，那么还有一些什么重要题型及求解方法呢？2222222.sin cos 1;tan 1;cot 1;sin cos ;cot ;tan cot 1;sec cos 1;csc sin 1.cos sin αααααααααααααααααα+=-=-===⋅=⋅=⋅=链接sec csc tan 链接3.该题是一知角α的一个三角函数值，求角α其它三角函数值；由链接2知角α有六个三个三角函数，该题是“知一求五”． 该题的入手点是抓住公式的变形运用，易错点在于确定函数值的符号，一般地说，这类计算题可分为以下三种情况：⑴已知象限，由象限定符号；⑵已知值，由值分情况讨论；⑶值是字母，开平方时，分情况讨论链接4.三角恒等式与代数恒等式证明的基本策略和方法类似，即： (1)单向证明，从一边开始证得它等于另一边，即：由繁到简；(2)双向起动,两头往中走，即：左=A,右=A 则左=右，A 起中间传递作用； (3)证：左-右=0或左/右=1（分母不等于0）；在化简证明过程中注意化归与转化的思想的运用，特别是等价转化.三角恒等式与代数恒等式证明不同的是：三角恒等式中更复杂，因为在三角函数中有较多的公式变换（以后还会学到几组公式！），所以，我们需要将三角函数的所有公式熟练掌握！ 链接 5.化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧妙的变形，三角函数值所在象限的符号的确定！（5）在同一个式子中同时有“切”和“弦”时，一般是“切”化“弦”.。
同角三角函数基本关系式
重点：同角三角函数基本关系式的推导及其应用
难点：关系式的灵活运用
【预习案】（【自主学习·秀出风采】）
1、同一个角 的正弦、余弦的平方和等于，
商等于。的角，求角 的余弦值和正切值。
2、已知 ，且 是第四象限的角，求角 的正弦值和余弦值。
4、把学案中自己的疑难问题和易忘、易出错的知识点以及解题方法规律，及时整理在典型题本上，
多复习记忆。
【学习目标】
1、知识与技能：理解同角三角函数的基本关系式
2、过程与方法：培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力
3、情感态度与价值观：通过学习，揭示事物之间普遍联系的规律，培养辩证唯物主义思想
3、证明三角恒等式实质是消除等式两端的差异，根据不同题型，可采用：
⑴左边 右边⑵右边 左边⑶左边、右边 中间。这是就证明的“方向”而言，从“繁、简”角度讲一般由繁到简。
【课后作业】
3、已知 ， ，求 的值
4、若 ，化简
5、化简
6、求证：（1） （2）
【训练案】（【当堂训练·巩固落实】）
1、 ，则 的值等于（）
A． B． C． D．
2、若 ，则 ； ．
3、化简sin2 ＋sin2β－sin2 sin2β＋cos2 cos2β=．
4、已知 ，求 的值．
5、已知A是三角形的一个内角，sinA＋cosA=,则这个三角形是（）
同角三角函数的基本关系式导学案
编者：邹茂鹏审核：马俊杰
【使用说明与学法指导】
1、请同学认真阅读课本22-24页，划出重要知识，规范完成预习案内容并记熟基础知识，用红笔做好
疑难标记。
2、在课堂上联系课本知识和学过的知识，小组合作、讨论完成探究案内容；组长负责，拿出讨论
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同角三角函数的基本关系式
1、知识回顾：
1．任意角的三角函数定义： 设角是一个任意角，终边上任意一点(,)P x y ，它与原点的距离为
，那么：sin =________ cos =________ tan =________
2．填写象限符号: sin cos tan
2、同角三角函数的基本关系式：
1. 由单位圆与三角函数线一节，我们可以得到以下关系：
（1） 1s sin 22=+ααco （2）αα
αcos sin tan =
2. 观察关系式，判断下列等式是否成立：
22sin 4cos 41αα+=
2
cos 2sin 2tan αα
α
=
1s sin 22=+βαco 其中α、β为不相同的角
总结：
○1、注意“同角”的含义，角的形式无关重要；
○2、注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的；
○3、灵活运用公式（正用、反用、变形用），如：
22sin 1cos αα=-，*tan α, sin cos tan ααα
=等。
3．例题分析：
例1、 已知，并且α是第二象限角，求、
变式1、 已知，求、
总结：
已知，求
变式2、 已知，求(1)
； (2)； (3)
；
总结：
1.已知tan θ，计算cos θ、sin θ的齐次分式时，分子分母同除以cos θ的n 次幂，可以化为关于tan θ的式子，再根据已知求值
2.若给出的是齐次式，不是分式的形式，利用
1s sin 22=+ααco 的逆用作为分母先构造齐次分式。
已知
(2)
(3)
思考？
在例3中，若不计算出的值，怎么计算和的值？
随堂练习、
.。